Kurze Darstellung
der
Manschen Trigonometrie
Mit
einigen Anwendungen auf die Astronomie, Geographie und Feldmeßkunst
fik-
Anfänger und Liebhaber dieser Wissenschaften
besonders
für die höher» Classen des Werderschen Gymnasiums
von
C. G. Zimmermann,
Professor am Werderschen Gymnasium und Lehrer der vractischen Feldmeßkunst an der Kvnlgl. Vau-Academie.
Mit
einer Vorrede
von
I. A. Eytelwein,
Königl. Preuß. Geheimen-üder-Vau-Rathe, Director des Kdnigk. über- Bau-Departements, ordentlichem Mitgliede der Kvnigl. Academie der Künste und Wissenschaften tc. tc.
Zweite durchaus umgearbeitete Auflage.
Mit 2 Kupfertafeln.
*SSSSSSSSSSssSS5SSSSSSSl-SSSSSSSSS!»*
Berlin, 1310.
Dci C. Salseld.

Vorrede
Aie mathematischen Wissenschaften, so weit sie zur Grundlage in dem weiten Gebiete der Ausübung nöthig sind, erfordern keinen geringen Aufwand von Zeit und Anstrengung, wenn man bei ihrer Anwendung nicht deshalb oft in Verlegenheit gerathen soll, um dasjenige für unauflösbar zu halten, was der geübte Mathematiker leicht bewerkstelliget. Hiernach wäre zu wünschen, daß die Mathematik als HülsSwissenschaft betrachtet, so vollständig wie möglich vorgetragen und erlernt würde, weil hierdurch übrigens gebildete Geschäftsmänner die vorzüglichsten Mittel erhielten, in ihrem Wirkungskreise, so weit eö bei dem jetzigen Zustande

IV
der Künste und Wissenschaften möglich ist, einen Theil von derjenigen Bestimmtheit über zu tragen, welche eine Eigenheit der Mathematik ist. Die Neigung zur Erlernung der mathematischen Wissenschaften ist aber noch nicht so allgemein, daß den jenigen, welche sich auf Schulen bilden, mehr als die Ansangsgründe derselben vorgetragen werden könnten; es wird daher auch immer noch Bedürs niß bleiben, einzelne Theile derselben nach den verschiedenen vorgesetzten Endzwecken zn bearbeiten.
Die sphärische Trigonometrie, welche bei der höher» Feldmeßkunst, der mathematischen Geographie und der Astronomie unentbehrlich ist, auch selbst wenn man sich nur eine gründliche Uebersicht verschaffen will, bleibt daher ein Erfordernis; für jeden vollständigen Schulunterricht, weil es dem gebildeten Menschen Bedürfniß sein muß, mit der Einrichtung des Weltgebäudes vertraut zu werden, wenn er auch gleich nicht auf die eigentliche Kenntnisse des Astronomen Anspruch machen will.
Die erlangten mathematischen Vorkenntnissc haben noch Las Angenehme, daß sie sich bei der Anwendung auf Naturkunde überhaupt, durch die Bekanntschaft mit den unwandelbaren Gesetzen der

V
Schöpfung und besonders bei einer nähern Vertraulichkeit mit der Einrichtung des Weltgebäudes in Entzücken auflösen; und wenn uns äussere Verhältnisse alle Freuden rauben könnten, so würden doch diese unser unzertrennliches Eigenthum bleiben, wenn wir so weit gelangen, um mit dem Dichter zu erkennen:
Wie verbreitet! wie ineinander gewickelt!
welche Heere von wimmelnden Welten! — sie lachen der Erd?!
unermeßlich groß! in unermeßlichen Sphären
eine von der andern entfernt! Wie mehr noch ein Wunder
jener Raum, durch welchen sie gehen? Ein völliger Abgrund!
Und in nichts, so viel wir auch sehen, herrscht wilde Verwirrung.
Durch dies ganze Chaos des Himmels, den glänzenden Schauplatz
sieht man alles mit Schönheit vertheilt; in heiligster Ordnung
unverletzlich wandelt ein Stern nach der Vorschrift die Laufbahn
und beschämt ein vernünftig Geschlecht, das irret und ausschweift.
Stets sich schneidende Kreise von Welten, und keine der andern

VI
je im Wege; jetzt Knoten schürzt, bald wieder gelösct, und Planeten, die, wie es scheint, sich verbanden, in Freiheit!
Ewig irrend, und ewig ohne Irrthum irrende Körper; eine Verwirrung, wo nichts sich verwirrt! — Kein kleineres Wunder;
diese Tumulte sind ohne Tumult; und alles im Fluge! Alles bewegt sich! uud doch dabei die tiefste Ruhe!
Wie mit Eifer im Werk, und kein Getöse! in Stille ehrerbietig, vor der gegenwärtigen Gottheit. —
Berlin, am i» Mai igoo.
Eytelwein.

V o r e r i n n e r u n g.
Diese kleine Schrift ist für Liebhaber der Astronomie, besonders aber für die Mitglieder der hohem Classen des Friedrich - Werderschen Gymnasiums bestimmt. Für Liebhaber der Astronomie, welche an Einsichten der Jugend nicht nachstehen, welche sich in den Stunden der Erholung bei den größer» oder geringern Aufwande ihrer Kräfte für das Geschäftsleben Vorkenntnisse sammeln wollen, um sich mit den Bewegungen der Himmelskörper, mit den davon abhängigen Erscheinungen, und dem innern Zusammenhange des Weltalls einiger Maßen bekannt zu machen. Für die Zöglinge des Gymnasiums, welche den Unterricht der Mathe-

VIII
matik so weit benutzt haben, daß sie die ersten Früchte ihres Fleißes dadurch genießen, daß sie nun einsehen lernen, wie diese Lehren zur nahem Kenntniß der erhabensten Gegenstände der Natur und zur Entwickelung ihrer mit so vieler Sorgfalt verborgenen Gesetze führen.
Indessen können auch Freunde dieser Wissenschaft anders keinen Nutzen von der Lecmre dieser Schrift erwarten, als wenn man bei ihnen voraus setzen darf, daß sie sich mit den erste» Gründen der Geometrie und Buchstabenrechnung bekannt gemacht haben und wenigstens so viel davon mitbringen, als in dem AuSzuge aus den Anfangögründen der mathematischen Wissenschaften des Herrn Hos- rach Karsten enthalten ist. Da nun dieser Auszug unfehlbar in den Händen derer ist, die sich mit der Erlernung der Geometrie beschäftigen; so habe ich an Stellen, wo man auf die Grundsätze der Geometrie zurückkommen muß und selbige nachzuschlagen nöthig hat, auf diesen Auszug gewiesen. Solche Ziffern also, die mit beigefügtem Paragraphzeichen, als H. 114., in dieser Schrift vorkommen, zeigen an, daß man den zum Beweise rc. angeführten Satz, in dem gedachten Auszuge nach der zweiten

Auflage von dem Jahre i ?85 nachzusehen hat; diejenigen Ziffern aber, bei welchen zum Unterschiede von den vorigen, die Paragraphzeichen fehlen, als (115.) beziehen sich unmittelbar auf die in dieser Schrift befindlichen Paragraphen selbst.
Meine Hauptabsicht bei Ausarbeitung dieser Schrift, war, einen Theil der Schwierigkeiten, welche Anfänger bei dem Studio der spharischen Trigonometrie finden, aus dem Wege zu räumen. Zur Erreichung dieses Zweckes habe ich sie in Verbindung mit einigen Lehren der Geometrie und der ebenen Trigonometrie vorgetragen. Aus der Geometrie sind die Betrachtungen der Kugel und deren verschiedenen Schnitte entlehnt, weil selbige unmittelbar zur Entwickelung der Eigenschaften spha- rischer Dreiecke führen; und die Hauptlehren der ebenen Trigonometrie sind um deßwillen hier aufgenommen, weil selbige bei der sphärischen Trigonometrie zum Grunde liegen und beide Wissenschaften mit einander in der engsten Verbindung stehen, so daß diese ohne jene nicht vollkommen verstanden werden kann. Nimmt man z. B. in der ebenen Trigonometrie die Formeln rechtwinkliger geradliniger Dreiecke; so kann man selbige auch für sphä-

X
rische Dreiecke brauchen, wenn man darin anstatt der Seiten:c. die Sinus derselben schreibt, und so wird man bei einer aufmerksamen Betrachtung zwischen den genannten Wissenschaften überall eine sehr große Ähnlichkeit und genaue Verschwisterung entdecken.
Da aber bei den Constructionen der in der spharischen Trigonometrie vorkommenden Begriffe, die Lage der durcheinander laufenden Linien und einander schneidenden Ebenen, nicht ohne große Anstrengung der Phantasie, vermittelst der Zeichnungen allein, die nöthige Deutlichkeit erhalten; sondern häufig Verwirrung veranlassen, die Aufmerksamkeit des Lesers schwächen, und ihn ohne Noth ermüden; so sind zur Erleichterung der ersten Vorstellungen und Versinnlichung dieser Gegenstände Modelle aus Pappe angefertiget, an welchen alle Theile der, bei den Hauptbeweisen der sphärischen Trigonometrie vorkommenden Figuren, ausgebildet und dargestellt sind. Ich habe mich ihrer bereits bei dem mündlichen Vortrage dieser Wissenschaft mit dem besten Erfolge bedient, und wage daher wenigstens nach meiner Erfahrung, selbige als ein sehr gutes Hülfsmittel Anfängern die Sache be-

grciflich zu machen, ohne Anmaßung zu empfehlen. Es sind deren neun, drei davon beziehen sich auf die in den H§. ic>8, 109 und 112 rc. vorgetragenen Lehren, und die sechs übrigen kommen im fünften rc. Abschnitte vor, sie sind der Folge nach, durch die am Rande stehenden römischen Ziffern I<lo. I., l§o. II. rc. bezeichnet, und müssen bei dem Gebrauche dieser Schrift allemahl zur Hand genommen und mit den Sahen und den Zeichnungen gehörig verglichen werden. So kann man sich z. B. bei der Erklärung des Kugelausschnittes S. 6. §. 2. zur Erläuterung der (Fig. 1.) auf der ersten Kupfertafel auch des ersten Modelles (l>io.I.) bedienen. Diese sechs Modelle kann jeder bei dem Ankaufe dieser Schrift sogleich erhalten; wer aber auch die drei übrigen verlangt, der wird gebeten, sich durch eine besondere Bestellung, deshalb an den Herrn Verleger zu wenden.
Auch wird der Leser dieser Schrift die Lehren der Trigonometrie, wie ich es bereits auf dem Titel angezeigt, mit einigen Gegenständen der Astronomie durchflochtcn finden. Dieses ist nicht aus Geringschätzung der mathematischen Methode geschehen; ich kenne die Strenge derselben, ich ehre

XII
und schätze sie. Ich habe daher seit mehreren Jahren bei dem Vortrage der Geometrie, die Elemente des Euklides, nach der Übersetzung des Herrn Professor Lorenz, die in einer reinen und verständlichen Sprache abgefaßt ist, zum Grunde gelegt. Allein eS hält gewöhnlich schwer, Anfänger in ein neues Gebiet abstracter Wahrheiten zn führen, ohne sie auf ein Beispiel, ohne sie auf Anwendungen weifen zu dürfen, welche nicht nur die Sache erläutern, sondern sich auf alltägliche Erscheinungen in der Natur beziehen. Auch gewährt es einem Anfänger nicht nur Vergnügen, sondern es flößt ihm auch ein gewisses Zutrauen zur Mathematik überhaupt ein, wenn ihm zur Uebung solche Aufgaben vorgelegt werden, die in astronomischen Tagebüchern aufgelöset sind, und er sich durch das Resultat seiner Berechnung überzeugt, daß alles auf Minuten, und, wenn man will, auf Secunden rc. übereinstimmt. Hierzu kommt noch, daß, wegen des Lehrplanes im Gymnasium, der Unterricht der eigentlichen Astronomie, worin sich die Gegenstände so sehr vermannigfaltigen, auf eine sehr kurze Zeit eingeschränkt ist, und daß ich also in dieser Hinsicht die sphärische Trigonometrie als eine

XII t
Vorbereitung zum Studio der Astronomie mit ansehen muß. Daher habe ich kein Bedenken getragen, von jenen strengen Forderungen einiger Maßen abzugehen und die Grundsätze der Trigonometrie anf die Größe, Lage rc. der Weltkörper anzuwenden; zumahl da dieses bereits vor mir, von mehrern Schriftstellern geschehen ist. Damit aber die Einheit der Methode für diejenigen, welche ihr schlechterdings nichts vergeben wollen, nicht zum Nachtheil der Wissenschaft, unterbrochen würde; so habe ich die Anwendungen in besondern Abschnitten vorgetragen, welche demnach des Ganzen unbeschadet, leicht können Übergängen werden. Jedoch mnß man nicht glauben, die sphärische Trigonometrie lasse sich auf Gegenstände der Astronomie allein anwenden. Ihre Lehren haben auf alle übrige Theile der Mathematik großen Einfluß, und sind so allgemein, daß sie überall können angewandt werden, wo man die Lage verschiedener Ebenen gegen einander in Betrachtung zieht.
Es ist überflüssig zu erwähnen, daß ich bei Ausarbeitung dieser Schrift, die Werke eines Karsten, Klügel, Bürja rc. benutzt habe; allein Plan und Einrichtung nöthigten mich oft, von den schätzbaren

XIV
Vorarbeiten dieser großen Männer abzuweichen und einen andern Weg einzuschlagen. Glücklich, wenn es mir auf diesem durch »leine Absicht mir vorge- zeichneten Wege nur gelange, hier und da die Wißbegierde eines Jünglings zu reizen, der seinen Geist im Umgänge mit den Wissenschaften zu bilden wünscht und so manche Abendstunde den einsamen Betrachtungen der Schönheiten der Natur, des mit Sternen gezierten Himmels zum Opfer bringt, wo der Genius eines Kepplerö oder Newtons seine Seele zu reiner Freude und hoher Begeisterung erhebt.
Der Verfasser.

Nachricht zur zweiten Auflage.
Wen» diejenigen Gegenstände der Mathematik besonders znm ersten Unterrichte der Jugend, geeignet sind, welche ohne große Anstrengung mit Klarheit und Deutlichkeit erkannt werden, welche die Aufmerksamkeit durch das Interesse reizt, welche das Nachdenken üben und scharfen, die Seelenkraste in Wirksamkeit sehen und überall mannigfaltigen Stoff zu neuen Untersuchungen und Anwendungen darbieten; so hat die sphärische Trigonometrie, welche allen jenen Forderungen eine Genüge leistet, einen entschiedenen Einfluß auf die Ausbildung und Veredlung des menschlichen Geistes. Als ein Zweig der mathematischen Wissenschaften tragt sie überall das Gepräge der Wahrheit und Vollkommenheit an

sich, Lurch die Simplicität und Faßlichkeit ihrer inhaltsvollen Lehren beschäftiget sie den menschlichen Verstand auf eine leichte und lehrreiche Art, und außer diesem höher» auf Geistesbildung hinwirkenden Zwecke, gewährt sie gleichsam an ihrem Eingänge, ohne daß ihre Tiefen ganz durchschauet worden sind, der Wißbegierde derjenigen, welche überall die Verbindung zwischen der Theorie und ihrer Anwendung aufzusuchen bemühet sind, eine völlige Befriedigung. Auf sie gründen sich die wichtigsten Aufgaben der praktischen Fcldmcßkunst *), der Geographie, Mark- scheidekunst und viele andere theils physikalische, theils in die verschiedenen Geschäfte des gesellschaftlichen Lebens eingreifenden Untersuchungen. Sie ist das beste Vorbereitungömittel zur Astronomie, wenn man einiger Maßen in die Geheimnisse dieser Wissenschaft eindringen **) und sich nicht bloß mit den historischen Nachrichten, von den wirklichen Bewegungen der Weltkörper, die wie der Feuer-stoss im Wassertropfen nur dem Auge des Verstandes sichtbar sind, begnügen will.
Diese Umstände haben mich bewogen, Liesen
Zweig
*) Man vergl. z. B. die Aufg. S. 172, ?. no. S. igz, tz. 112. S. 110, §. ag. S. ZZ2, §. gH u. ci. m. a. Stellen.
") Man sehe S.Z2 — ß. 22.

xvn
Zweig der mathematischen Wissenschaften nach dem angegebenen GefichtSpuncte für angehende Feldmesser, Geographen und überhaupt für diejenigen von neuem zu bearbeiten, welche sich mit der Elemen- targeometrie und den ersten Gründen der Algebra bekannt gemacht haben. Mir scheint dieses Unternehmen um so zweckmäßiger, da die meisten Schriftsteller die sphärische Trigonometrie zu unvollständig oder gar zu weitläufig abgehandelt und dadurch wenig beigetragen haben, die Schwierigkeiten, welche Anfänger bei dem Studio dieser Wissenschaft zu finden pflegen, aus dem Wege zu räumen *), indem ihr Vertrag in jenem Falle unverständlich und in diesem zu ermüdend werden mußte. Selbst die vorzüglichsten Schriftsteller Deutschlands, Kästner in seinen Anfangsgründen der Geometrie, Karsten in seinem oben gedachten Auszuge, scheinen die deutliche Auseinandersetzung dieser Lehren unfehlbar andern Zwecken aufgeopfert zu haben, und das was Karsten in seinen Lehrbcgriff aufgenommen hat, weicht von der angeführten Bestimmung gänzlich ab. Häseler aber ist in seiner sphärishen Trigonometrie, die voller Druckfehler ist, zu wcitläuftig und das Ganze ist beinahe wörtlich aus Karstenö Lehrbegriff der Mathematik abgeschrieben.
*
') Man s. S. Z
5 , §-

In wie weit es mir gelungen ist, die gedachten Fehler zu vermeiden, diesen Gegenstand für den Unterricht der Jugend auf Schulen und Gymnasien zweckmäßig bearbeitet zu haben, den Geographen und praktischen Feldmessern in ihren oft so wichtigen Operationen zn leiten, sie vor falschen und fehlsamen Anwendungen sicher zu stellen und überhaupt zur Erweiterung und Verbreitung dieser Wissenschaft etwas beizutragen, das bleibt allein der Einsicht und Beurtheilung des Kenners und Kunstrichters überlassen. Zn dem Ende habe ich im Verfolge des Vertrages da, wo ich Veranlassung fand, andere Schriftsteller, außer den im Vor- berichte zur ersten Aussage genannten, zu benutzen, überall nahmentlich angeführt.
Die wichtigsten Veränderungen, welche bei dieser zweiten Auflage gemacht worden sind, und welche sowohl die Anordnung des Ganzen, als der einzelnen Theile betreffen, sind folgende: i) Die ebene Trigonometrie ist von der sphärischen ganz getrennt und nur in einem Ausznge als eine besondere Abhandlung dem Ganzen beigefügt worden. Weil man in der sphärischen Trigonometrie so oft genöthigt wird, auf die Ausdrücke der ebenen zurückzugehen; so muß man sich dieselben geläufig und genau bekamu machen, damit man nicht bei jedem einzelnen Ge danken stehen bleiben und erst mit vielem Zeitver

XIX
luste, die sich darauf beziehenden Sahe nachschlagen darf. Daher habe ich bei denjenigen Gleichungen der sphärishen Trigonometrie, welche nach den Grundsätzen der ebenen bestimmt worden sind, wegen dc6 häufigen Gebrauches derselben Sätze, keine Citata angeführt. Um aber diese Schrift gemeinnütziger zu. machen, so find vermittelst der ebenen Trigonometrie diejenigen Aufgaben aus der practischen Feldmeßkunst aufgelöset, welche in der Ausübung am häufigsten vorkommen und die sich auf die Messung unzugänglicher Entfernungen und auf die Hoheumessung beziehen.
Bei der Hoheumessung zeigen sich oft da unerwartete Schwierigkeiten, wo der Anblick des Terrains sie nicht vermuthen läßt und da wo man un- übersteigliche Hindernisse zu finden glaubt, öffnen sich uns Wege und Zugänge zu den Gegenden, auf welche unser Augenmerk gerichtet war. Denn im Gebirge verändern sich die Scenen beinahe mit jedem Schritte. Gegenstände von unermeßlicher Größe, die uns so nahe waren, scheinen sich plötzlich zu verlieren und andere, gleich erhaben und bewundernswürdig, von neuem hervorzutreten und fast überall stellt sich unserm Auge das Gemählde aller Jahreszeiten dar. Als ich im Jahr Igc >2 den Sommer in Schlesien zubrachte; so habe ich diese Gelegenheit benutzt, verschiedene Höhen vom Niesengebirge geometrisch zu messen. Die Resultate davon werde

ich zu einer andern Zeit dem Publicum vorlegen. Hier bemerke ich nnr, daß ich in dem für die Hö- henmessung bestimmten Abschnitte, nicht nur die gewöhnlichen Falle durchgegangen bin, sondern, daß ich durch die eingeschalteten praetischen Erläuterungen und Anmerkungen diejenigen, welche sich mit Liesen Gegenständen beschäftigen wollen, auf die, bei solchen Operationen vorkommenden Umstände aufmerksam gemacht und sie in den Stand gesetzt habe, Geschäfte dieser Art gehörig beurtheilen und erforderlichen Falles, unternehmen zu können.
2) Diejenigen Satze und Aufgaben, welche für Anfänger nicht die nöthige Deutlichkeit haben Dürften, sind durch Erläuterungen, welche den Beweisen und Auflösungen vorangehen, oder durch beigefügte Anmerkungen näher bestimmt und ins Licht gesetzt worden.
3) Nicht alle, durch die Auflösungen gefundenen Ausdrücke, lassen sich ohne Unterschied auf alle Falle anwenden. Es kommen Umstände vor, um derentwillen man der einen vor der andern, den Vorzug gibt. Daher sind von einigen Ausgaben mehrere Auflösungen vorgetragen, ihr Gebrauch und ihre Anwendung gezeigt worden. — Im Texte aber ist in der Regel die geometrische und die leichteste gewählt, damit diejenigen, welche diese Wissenschaft entweder durch eigenen Unterricht, oder durch

- XXI -
fremde Anleitung zum ersten Mahle durchgehen, sich in kurzer Zeit einen Ueberblick vom Ganzen verschaffen können.
4) Die Beweise und Auflösungen der hierin vorkommenden Aufgaben und Lehrsätze sind durchaus umgearbeitet. Von mehreren kann ich ohne Anmaßung sagen, daß sie mir zugehören *), und überall bin ich bemüht gewesen, den Zusammenhang der Gründe, aus welchen die Richtigkeit des Verfahrens oder die Nothwendigkeit der Behauptung hervorgeht, durch Kürze und Deutlichkeit darzustellen. Die meisten Veränderungen beruhen auf den einfachsten und leichtesten arithmetischen und algebraischen Operationen, und selbst bei einigen etwas ausführlichen: Auflösungen, die in den Anmerkungen vorkommen, habe ich mich zur Umformung der Gleichungen, bloß der Substitutionen bedient.
5) Die Alten lernten die Eigenschaften der sogenannten platonischen Körper auf einem sehr mühsamen Wege kennen. Mit Hülfe der sphärischen Trigonome- rrie aber lassen sich dieselben auf eine sehr einfache und einleuchtende Art entwickeln. Zum Beweise dieser Behauptung habe ich, vermittelst ihrer, die Theorie der regulären Körper **) aus den Eigen-
") Man s. S. 271, 2gi, L<)>, li. a. m. O. ") Ma» s. S. 192 vr» tz. 114 — iLg.

XXII
schaffen der gleichseitigen Pyramide hergeleitet und dadurch gezeigt, daß sich die sphärische Trigonometrie auf alle Gegenstände anwenden läßt, bei welchen die Lage der Ebenen in Betrachtung gezogen wird.
6) Habe ich noch einmahl das Ganze sorgfältig durchgesehen und die Druckfehler, die ich aufgefunden habe, und den Sinn entstellen könnten, hinten angemerkt. Ich bin von der Nothwendigkeit dieser Revision um so mehr überzeugt, da ein Buch, welches mit für den Unterricht der Jugend bestimmt ist, aus Mangel an Correctheit allein unbrauchbar wird.
Der Verfasser.

Inhalt der sphärischen Trigonometrie
Äle ganze Abhandlung zerfällt, außer der ebenen Trigonometrie, in sieben Abschnitte, deren specieller Inhalt durch folgendes Verzeichniß angegeben werden kann:
Erster Abschnitt. VondcnKugclschnitten Wo» vcr Bestimmung spharischer Dreiecke und ihrem Unterschiede von den ebenen geradlinigen . . . . .
Von der Entstehung, dem Gebrauch der Kugel in der sphärischen Trigonometrie Von den vornehmsten Eigenschaften der Kugclschnitte in Bezug auf die Pole, Are, den Mitielpunct der Kugel und der Kreise und ihre Lage Von den sphärischen Winkeln, deren Größe, Bestimmung rc. . . .
Zweiter Abschnitt. Von den Kreisen, Linien, Puncten an der Himmels- und Erdkugel.
Von den drei durch den Standpunct des Beobachters bestimmten Kreisen, dem Horizont, Aeguawr und Meridian Von der Bestimmung der Polhöhe, der Stcrnzcit ic. .....
Von der Abweichung, geraden Aufst. rc. Von der Sonnenbahn, dem Thicrkrcise astr. Lange, Breite rc., der künstlichen Himmclskugel, der Ringkugcl Von der Bestimmung dieser Kreise bei der Erdkugel . . . . .
Dritter Abschnitt. Von den sphar. Dreiecken überhaupt . . . .
Von der Verbindung spharischer Dreiecke mit dem körperlichen Dreiecke Von den Hauptcigenschaftcn der sphar, Dreiecke ......
Vom Supplcmcntardrciccke Von der Berechnung des Flächeninhaltes spharischer Dreiecke . . . .
Seite. §.
L— I— 21
6— 8 2 — Z
9—27 Z— 17
27— Jl 17— 21
Zr —
4 a
21 —
^9
4 °
5 °
56
41 —
45
Zr —
46-
55
36 —
45
55 —
62
46-
50
65-
82
51 —
65
63
5 *
65 —
77
52 —
60
77 —
3 o
5 i —
65
Lo-
82
65

XXIV
Seite.
8 .
Vierter Abschnitt. Von de» rechtwinkligen spharischen Dreiecken . Geometrischer Lehrsatz .... Hauptsag der spharischen Trigonometrie/ welcher mit dem für die ebene Trigonometrie übereinstimmt, wenn man hier anstatt der Seiten, die Sinus der
Seiten nimmt.
Von den Regeln zur Auflösung rechtwinkliger spharischcr Dreiecke . Verzeichniß der sechs Haupkgleichungen zwischen den Seiten und Winkeln rechtwinkliger Dreiecke .... Von der Rcpcrschen Regel Betrachtung der zufälligen Bedingungen, welche mit den zur Berechnung einer Aufgabe gegebenen Stücken verbunden sind . . . . .
Wie die Seiten und Winkel eines solchen Dreiecks ihrer Gattung nach, bcstinimr
werden.
Tabellarische Uebersicht der bei einem rechtwinkligen Dreiecke vorkommenden gegebenen und gesuchten Stücke nebst den dazu gehörigen Bestimmungen
Fünfter Abschnitt. Anwendung obiger Regel» auf die Lage der Welikörper . Verzeichnis der geogr. Lange und Breite einiger Ocrter auf der Erde Aufgaben zur Berechnung der geraden Aufsteigung, Abwcichnng, Lange und Breite der Welikvrper....
Sechster Abschnitt. Von der Auflösung schiefwinkligcr spharischcr Dreiecke Von der Lage des aus der Spitze eines spharischen Dreieckes auf die entgegengesetzte Seite herabgelassenen Perpendikels .......
Von der Anwendung des Hauptsatzes in (67.) auf sphar. Dreiecke überhaupt . Von der Vcrgleichung zweier spharischcr rechtw. Dreiecke mit einer gemeinschaftlichen Seite.
Von der Berechnung der Seiten aus den Winkeln und dieser aus jenen Aus (86.H hergeleitete Auflösungen zweier
Aufgabe».
Drei Auflösungen der zur Berechnung der dritten Seile, aus zwei Seiten und dem eingeschloffenen Winkel eines spharischen Dreieckes.
Bemerkungen über die «Resultate dieser
83
6«
83-
64
66
65
67
87 —
9*
68-
7^
92
75
95
75
95 —
94
74
95-
99
75 —
77
100
73
toi —
I2Z
79 —
64
loch
8-
^06 —
-25
82-
84
85
,25
85
26
36
«27-
129
67-
88
-9 —
-36
89-
92
57 —
-38
95-
94
38-
-4-
95

Seile. 8.
Auflösungen nebst einer kurzen Auseinandersetzung, eines durch Logar. bequem zu berechnenden Ausdruckes. . . ' 4 '
Drei Auflösungen der Aufgaben, nach welchen man aus den obigen Dalis einen der beiden Winkel berechnen kann 142—145 96 Berücksichtigung der Vortheile der dritten Aufl. nebst der daraus entspringenden Beschränkung der zweifelhaften Falle ....... 145
Drei Auflösungen der Aufg. nach welcher aus einer Seite und den beiden anliegende» Winkeln eines sphar. Dreieckes eine der beiden obigen berechnet werden soll ...... -45 "-'49 97
Auflösung der übrige» Aufgaben . . '5> — >5Z .99 — 102
Bemerkungen über spharische Dreiecke, ' > deren eine Seite — 90° ist. , . . 155
Bemerkungen über das sphar. gleichschenklige Dreieck ...... 154
Uebersicht der Aufg. sphar. schiefwinkli-
gcr Dreiecke.155 —'56 105 — 104
Tabellarisches Vcrzcichniß der analytischen Formeln zur Auflösung sphari- scher Dreiecke ..... 158—161 105
Siebenter Abschnitt. Anwend. schief- winkliger spharischcr Dreiecke auf die
Astronomie rc.162 106
Von der Berechnung der Weite zweier Sterne und der Differenz ihrer Rccta- sccnsion, aus ihren Abweichungen . 162 —164 106 Von der Redaction der Winkel rc.. . 164—'66 -07
Von der Bestimmung der Zeit durch die 166 108
Sonnenhöhe und umgekehrt. . . 166—172 108 — 109
Aus der gcogr. Lange und Breite zweier Oerlcr auf der Erde, ihre Weile von einander zu berechnen .... 172—176 110 Von der Berechnung der astron. Länge und Breite eines Sterns, aus der Schiefe der Ekliptik rc. ... 176 — 185 m Vori der Berechnung der dritten Seile eines Dreieckes, acks zweien Seilen und dem eingeschlossenen Winkel nach den Grundsätzen der ebenen und spharische»
Trigonometrie ..... >65 — 186 112 Von der Dauer der Morgen - und Abenddämmerung rc.136—>92 11z
Von den Eigenschaften der gleichseitigen
Pyramide.' . >95 — 201 114—1,3
Von der Berechnung der regulären Körper. ..... .201 — 258119—129

Inhalt der ebenen Trigonometrie.
Seile.
Erste Abtheilung. Von den trigonometrische» Linien ..... . LffI—260 I
tteberstchi deS-Jnhalts dieser Abhandlung uud Vorzug der Berechnung geradliniger Dreiecke vör deren Verzeichnung . . 241 —24z r
Erklärung der trigonometrischen Linien . 24g 2
Von dem Ursprünge, dem Wachslhumc, dem Mariino, der Abnahme und dem Verschwinden der Sinus . >. . 244 5
Der Sinns als die halbe Sehne des doppelte» Bogens oder als die halbe Seite regulärer, in den Kreis gezeichneter Polygone, betrachtet .... 246 4
Won den Vorzeichen desselben. . . 2^9 g
Einrichtung der Siiiustafeln . . . 2gz 9
Erklärung der übrigen trigouom. Linien.
Von den Veränderungen der Sinus und Cosinus, welche sie in den vier Quadranten des Kreises erleiden . . 255 ro
Zweite Abtheilung. Von der Berechnung der «rigonom. Linien und deren Erläuterung durch Beispiele . . 260 11
Aus dem Cosinus eines Bogens den Sinus seiner Halste zu berechnen . . 271 iz
Bemerkungen über diesen Satz, nebst dessen Erläuterung durch Beispiele . 272 —27z Von der Berechnung der Sinus und Cosinus der Summe und Differenz zweier Bogen, aus den glcichnahmigen Linien der einzelnen Bogen .... 274 17
Einige merkwürdige Folgerungen daraus 276
Dritte Abtheilung. Von der Auflös.
der Aufg. geradliniger Dreiecke . . 278 ig
Hauptsatz der ebenen 'Trigonometrie . 279 2»
Von der Berechnung rechtwinkl. Dreiecke 2go Von der Berechnung qleichschenkl. Dreiecke 232 Daraus hergeleitete Methode, Winkel auf dem Papier zu messen, und auf dem Felde gemessene Winkel, aufzutragen .283 — 300 24

xxvn
Seite.
Von der Auflösung schiefer Dreiecke. Erläuterung der bei (8> 22.) vorkommenden Fweidemigkeit .... 286 Aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die beide» übrigen Winkel und die dritte Seite; oder die dritte Seite und dann die beiden übrigen Winkel zu berechnen; oder wenn anstatt der Seilen nur ihr Verhältniß durch Logarithmen gegeben ist ... . 289 — 296
Von der Berechnung der Winkel aus den drei Seilen ...... 296 —zoo
Anwendung der ebenen Trigonometrie . gor 7 . Auf die Höhenmeffung.
Vorläufige Bemerkungen » . . 501
Die Hohe eines Gegenstandes zu berechnen, wenn der Fuß desselben und die Standli- nic auf einer Horizontalflache liegen und sonst keine Hindernisse vorkommen . 502 Auslöst dieser Aufg. vermittelst der Sonnenhöhe und des Schattens :c. . . 502
Aufl. der vorigen Aufg. wenn man nicht die Standliuie bis an das Object fortsetzen kann . . . . . .50z
Einige pracnsche Bemerkungen zu der
obigen Aufgabe.304
Aufl. der vorigen Aufg. wenn die Standlinie nicht in der Vcrtiralcbcne durch die Hohe des zu bestimmenden Gegenstandes liegt.506
Bemerkungen über die Aufl. dieser Aufg. zog Die Höhe eines Gegenstandes zu berechnen, dessen Fuß durch andere Gegenstände als Mauern, Gebüsche rc. verdeckt wird.Zog
Die Höhe eines Berges zu messen, mit Rücksicht auf die dabei vorkommende Projcciion, auf die Erhebung über die Mccreeflache, auf die Rcfraction, auf die Krümmung der Erde:c. . , 510
Einige Erinnerungen wegen der auszu- steckenden Signale .... 512
Erläuterung aller dieser Umstände durch ein Beispiel ..... gi.-i
Formel zur Berechnung der Rcfraction 316 Formel zur Berechnung der Krümmung der Erde ......
Ausdruck, welcher beide Bestimmungen
'» sich fußt. .5-8
Nöthige Vorsicht wegen der Refraclion der Lichtstrahlen und deren Berechnung 519
8 .
22
2Z
24
25
25
27
23
2A

- .XWl 11 -
Seite.
II. Auf die Messung unzugänglicher Entfernungen.
Von der Messung der Grundlinien und den dazu gebräuchliche» Instrumenten.
Von den durch Maupertuis veranlaßten Fehlern, von der durch Swa»< bcrg wiederholten Gradmeffnng am nördlichen Polarkreise w. . . . zig
Welche Fehler man von der Krümmung der Erde, bei einer zu messenden Grundlinie zu befürchten habe °. . ZLc>
Von der Messung einer unzugänglichen
Linie.Z22 50
Anwendung dieses Satzes zur Aufnahme der um die Skandlinie ringsumher liegenden Objecte ..... zaz
Auflösung der vorigen Aufg. aus einem Skandpuncte. ..... gaz
Won der Messung unzugänglicher Entfernungen, zwischen Gegenständen, zu welchen man nicht kommen kann. . Z24 Z2
Aus einem gegebenen Puncte -0 eine Pa- rallellinie mit der unzugänglichen Linie zu ziehen ...... 526
b) einen Perpendikel auf die unzugängliche Linie zu fallen und die Größe der daraus entstandene» Abschnitte zu berechnen . Z26
Von der Reduction der Winkel mittelst der Grundsätze der ebenen Trigonometrie ....... 327
Von einer bekannten Höhe über der Horizontalflache verschiedener Gegenstände, deren Entfernung von einander zu berechnen . 527 zz
Zu drei Puncten von bekannter Lage und Entfernung den vierten u) durch Rechnung ....... 52g Z4
bh durch Zeichnung zu bestimmen . . Zzr
Die Entfernung zweier weit entlegenen Gegenstände, die sich doch aber übersehen lassen, durch eine Verbindung mehrerer Dreiecke zu berechnen . . ZZ2 Lss
Erläuterung dieser Aufgabe durch ein Beispiel nebst einigen dahin gehörigen Bemerkungen . . . . . Zgz — Z 55

sphärischc Trigonometrie.

Erster Abschnitt.
Von den K u g e l s ch » i t t e n.
§. i.
Alle Zweige der mathematischen Wissenschaften sind zu einem solchen Grade der Vollkommenheit ausgebildet, daß man sie im Gebiete des menschlichen Wissens sonst nirgends zu erreichen vermag. Dahin gehört auch die spharische Trigonometrie. Ihr Gegenstand ist das auf der Kugel liegende Dreieck, dessen Seiten zu größten Kreisen gehören. Daher lassen sich die Lehren dieser Wissenschaft auf eine sehr einfache Art aus den Eigenschaften der Kugel entwickeln, und es wird keine große Anstrengung erfordert, sich von ihren Wahrheiten zu überzeugen, wenn man sich nur von der eigentlichen Beschaffenheit spharifchcr Dreiecke vermittelst der Ku- gelfchnitte, welche die Grundlage der spharifchcn Trigonometrie und Astronomie ausmachen, eine deutliche Vorstellung verschafft hat. Denn dadurch wird man in der Folge desto leichter in den Stand gesetzt, das Ganze mit einem Blicke zu umfassen, die vorkommenden mög-
A 2

lichen Falle aufzuzahlen, ihre Natur und zufälligen Bedingungen, die sich an gewisse Aufgaben knüpfen, bestimmt anzugeben und Forderungen eine Genüge zu leisten, welche über die Grenzen des menschlichen Verstandes hinaus zu gehen scheinen. Ein großer Theil der Schwierigkeiten, welche Anfänger bei dem Vortrage dieser Wissenschaft finden, rühret vornehmlich davon her, daß man fphärische Dreiecke wie ebene geradlinige betrachten will, und daß man die Kreise auf der Oberfläche der Kugel und deren Verbindung zu früh aus dem Auge verliert, da man Loch alles was bei Dreiecken dieser Art vorkommt, auf die Kugel zurückführen sollte. Der kürzeste Weg zwischen zwei Puncten auf der Oberfläche der Kugel gezogen, ist ganz was anderes, als wenn man denselben zwischen zwei Puncten auf einer Ebene verzeichnet. Der Winkel, welchen zwei Seiten eines sphärischen Dreieckes einschließen, läßt sich nicht auf dieselbe Art, wie bei einem geradlinigen Dreiecke beurtheile». Denn die Größe des sphärischen Winkels, wird entweder Lurch den geradlinigen ausgedruckt, welchen zwei Tangenten einschließen, deren jede den Scheitelpunct des gegebenen Winkels berührt und mit dem Kreisbogen als dem Schenkel desselben in einerlei Ebene liegt; oder durch den Neigungswinkel zweier, in dem Mittelpuncte der Kugel zusammenstoßenden Ebenen, wovon die Bogen des sphärischen Winkels die Grenzlinien sind und auf der Kugelfläche liegen; oder durch den Bogen eines größten Kreises, dessen Pol der Scheitclpunct ist; oder durch den Bogen eines kleinern Kreises, wozu der Scheitelpunkt als Pol gehört. Dieses wird in der Folge weiter ausgeführt, und ich bemerke nur noch,

daß es allemahl seinen guten Nutzen haben wird, wenn sich Anfänger daran gewöhnen, jedes gegebene sphäri- sche Dreieck in Gedanken auf eine Kugel aufzutragen, die Seiten desselben als Kreisbogen auf deren Oberfläche zu verzeichnen, aus den Scheitelpuncten gerade Linien nach dem Mittelpuncte der Kugel zu ziehen, und aus der Gestalt eines solchen Dreieckes sich den Kugelausschnitt, als einen pyramidenförmigen Körper vorzustellen, dessen gekrümmte Grundfläche ein Stück der Kugelflache ist. Bei Verglcichung der von drei Seiten eingeschlossenen Figuren, wird man zwar in manchen Fällen zwischen ebenen und sphärischen Dreiecken eine gewisse Achnlichkeit und Uebereinstimmung finden; dessen ungeachtet aber muß man sich sehr hüten, Eigenschaften jener Dreiecke unbedingt und u»erwiesen auf diese überzutragen. In der Geometrie wird bewiesen, daß in einem geradlinigen Dreiecke alle Winkel so groß als zwei Rechte sind; wie sehr würde man aber irren, wenn man dasselbe auch von den Winkeln eines sphärischen Dreieckes behaupten wollte.
Auch ist hier nicht, wie bei den Aufgaben der ebenen Trigonometrie nöthig, daß unter den drei bekannten Stücken allemahl eine Seite befindlich sei, sondern die Aufgabe kann bestehen, wenn lauter Winkel oder lauter Seiten, oder theils Seiten, theils Winkel gegeben sind. Im Grunde sind alle Theile des Kugeldrei- eckes als Winkel zu betrachten. Damit man aber den Zusammenhang und die innere Verbindung der Lehren in der sphärischen Trigonometrie desto leichter übersehen könne; so sind in diesem Abschnitte die wichtigsten Sätze von den Kugelschnitten kürzlich vorgetragen.

Erklärung. Wenn man (Fig. i.) den Quadranten eines Kreises um den Halbmesser ^ 6 als um eine feste Linie so lange herum bewegt, bis er wieder in die vorige Lage kommt; so heißt der Körper, der auf diese Art beschrieben worden ist, eine Halbkugel. Sie wird von einer Kreisfläche und von einer krummen Oberfläche begrenzt; jene entsteht durch den Halbmesser LL und diese durch den Bogen Erreicht aber der Quadrant dieselbe Lage nicht, so entsteht ein Ausschnitt der Halbkugel. Drehet man aber einen Halbkreis eben so um seinen Durchmesser, wie vorher den Quadranten um so entsteht durch die Umdrehung dieses Halbkreises im ersten Falle eine Kugel, und im andern ein Ausschnitt derselben.
Zusatz i. Halbkugeln, welche mit gleichen Quadranten beschrieben werden, sind daher von gleicher Größe. Eben dieses gilt auch von Kugeln, welche durch die Umdrehung gleicher Halbkreise entstanden sind.
Zusatz 2 . Alle Puncte des Halbkreises bleiben wahrend der Bewegung desselben um den Durchmesser, vop dem Mittelpuncte gleichweit entfernt. Diesen Abstand behalten daher auch alle Puncte auf der Oberfläche der Kugel, weil man sich dieselben als zurückgelassene Spuren aller Puncte des gedachten Halbkreises vorstellen kann. Daher sind die geraden Linien, welche aus der Mitte der Kugel nach der Oberflache gezogen und Halbmesser der Kugel genannt werden, einander gleich. Alle übrige gerade Linien, welche von dem Mittelpuncte der Kugel ausgehen, können entweder ihre

7
Oberfläche nicht erreichen wie 6 N (Fig. 2 .), .oder gehen über die Grenzen derselben hinaus wie 6 M; in jenem Falle sind sie kleiner, und in diesem größer als der Halbmesser 61,.
Ansatz 5 . Liegen zwei Halbmesser der Kugel nach entgegen gesetzter Richtung in einer geraden Linie, so machen sie einen Durchmesser aus. Daher sind auch alle Durchmesser einer Kugel einander gleich.
§« 3 .
Auf Kugeln, welche den Himmel oder die Erde nach ihrer kugelförmigen Gestalt vorstellen, wird man gewöhnlich verschiedene Puncte und Kreise, letztere nach verschiedenen Lagen und Richtungen beschrieben, antreffen. Man muß sich daher ähnliche Kreise am Himmel und auf der Erde denken, wovon die vorhin erwähnten bloße Abbildungen sind. Die Betrachtung der Kreise auf der Oberfläche einer Kugel überhaupt aber, nach ihrer Entstehung, Größe, Lage, nach ihrem Verhältniß gegen einander, macht uns mit den merkwürdigen Eigenschaften bekannt, wodurch der Lauf der Planeten, die Bahn der Sonne, ihre Stellungen gegen die Erde, der Abstand der Gestirne rc. nach der Art und Weise, wie diese Erscheinungen in die Sinne fallen, bestimmt werden. Dieses ist auch der Zweck, warum man sich dieselben auf künstlichen Kugeln entwirft, und ihre Kenntniß ist daher für die sphärische Trigonometrie und Astronomie von vieler Wichtigkeit. Bekanntlich wird die Kugel als ein geometrischer Körper durch eine Ebene geschnitten und dieser schneidenden Ebene kann man in Hinsicht auf die Kugel jede willkührliche Lage geben.

8
Geht nu>)i eine an sich unbegrenzte Ebene durch die
Kugel durch; so kann man
1) auf denjenigen Theil sehen, welchen sie mit der Kugel gemein hat und der in derselben enthalten ist;
2 ) auf denjenigen, der ganz außerhalb der Kugel liegt; Z) auf die Grenzlinie, wodurch beide Größen, die
Ebene und die Kugel von einander getrennt werden. Diese gemeinschaftliche Grenze muß eine Linie sein, weil die Kugel von einer Flache begrenzt wird und die Ebene nicht eher die Kugel verlassen kann, als bis sie aus deren Grenze hinausgegangen ist, außerhalb welcher sie nichts mit einander gemein haben. Dasjenige Stück der Ebene aber, welches von dieser Grenze auf der Kugclflache eingeschlossen ist, haben die schneidende Ebene und die geschnittene Kugel mit einander gemein. Betrachtet man nun die, durch die schneidende Ebene von einander getrennten Kugelstncke auf den Seiten, wo die Theilung geschehen ist; so nennt man die Figur, welche sich aus dieser Betrachtung ergiebt, einen Kugelschnitt.
§. 4 -
Jeder Kugelschnitt gibt einen Kreis, die schneidende Ebene mag durch den Mittelpunct gehen oder nicht.
I- Gehet die schneidende Ebene (Fig. 2 .) durch den Mittelpunct 6, so ziehe man aus 6 die geraden Linien 6^,, LL, Diese Linien laufen von dem
Mittelpunkte aus, liegen alle in der Kugel und in

der schneidenden Ebene, und endigen sich in der Umfangslinie der Durchschnittsfigur und zugleich in der Oberflache der Kugel. Daher müssen sie einander gleich, die Umfangslinie muß ein Kreis und die Dnrchschnittsflache, eine Kreisfläche sein.
11. Gehet die schneidende Ebene LKHL nicht durch den Mittelpunct 6, so falle man aus demselben auf die Ebene den Perpendikel 60 . Nun ziehe man aus 6 nach der Unifangslinie, als nach der gemeinschaftlichen Grenze der schneidenden Ebene und der Kugel, die geraden Linien 6L, 61 ?, 6H rc. nach Willkühr; so sind selbige einander gleich (§.2. Zus.2.), die Dreiecke 60 k, 601 ?, 60 H rechtwinklig und daher ist
OK- -- 60 - -l- Ok->
61?- 6 0- -k- 01?->)
12Z.)
OK- — 6 L- Ok- ^ 6 K-
6 0 60
-) (§. 126.)
OK- — 60 - ^ 6K- — 60 '
OK-
01?-
Ok OK und aus eben den Gründen ist OK — OKl, und so ließ es sich von asten Puncten beweisen, daß ihre Entfernungen von 6 gleich sind, folglich die Umfangslinie der Durchschnittsfigur ein Kreis ist.
Zusatz 1. Man kann sich nun von jedem Kreise auf der Kugelflache nach (5.) die Vorstellung machen, als wäre er durch eine die Kugel durchschneidende Ebene entstanden. Ware nun diese nicht durch den Mittelpunct 6 der Kugel gegangen; so kann man von demselben auf die Ebene, wie z. B. aufkkll, einen Perpendikel herablassen, und dieser wird allemahl durch

den Mittelpunkt des gedachten Kreises gehen. Man nehme in dem Kreise einen beliebigen Punct b', so ist dessen Entfernung, an welcher Stelle des Kreises er auch angenommen sein mag, von dem Mittelpuncte überall gleich groß, d. h. es ist 6l? —v(6?- —66-). Diese unter dem Wurzelzeichen enthaltene Differenz, bleibt für jeden Punct ^ von gleicher Größe. Denn für 6? kommt nur ein anderer Halbmesser derselben Kugel und 66 bleibt beständig einerlei.
Zusatz 2 . Jeder Perpendikel, welcher in der Mitte 6 einer Kreisfläche, wie 6 6, errichtet und gehörig verlängert wird, geht allemahl durch den Mittelpunct der Kugel. Denn würde dieser Perpendikel nicht den Mittelpunct der Kugel treffen; so würde er eine andere Lage etwa wie 6L haben. Nun aber kann man auch aus 6 eine senkrechte Linie nach der Kreisfläche Lb'HL ziehen, welcher ihren Mittclpunct trifft (Zus. i.). Alsdann aber könnten durch einen Punct 6 dieser Ebene Lb'HL zwei lothrechte Linien 6K und6 6 gezogen werden, welches aber nicht möglich ist.
Zusatz Z. Verbindet man demnach die Mittel- puncte 6 und 6 der Kugel und des Kreises Lb'IIL durch eine gerade Linie 66, so stehet sie auf der Ebene dieses Kreises senkrecht. Denn stände 6 6 auf der Ebene Lb'HL nicht in 6 senkrecht; so fälle man auf selbige aus 6 einen Perpendikel. Dieser geht, nach (Zus. i.) durch den Mittelpunct 6 des KreisesLIHIL. Zwischen zwei Puncten ist nur eine gerade Linie möglich, folglich muß diese mit der vorigen zusammenfallen und die Verbindungslinie 66 auf der Ebene L6IZL senkrecht stehen.

§. Z.
Erklärung. Kreise, welche eiuf der Oberfläche der Kugel abgebildet werden, indem die schneidende Ebene durch den Mittelpunct derselben gehet, heißen größte Kreise; die andern aber, deren Durchschnittsebene nicht durch die Mitte der Kugel gehet, werden kleinere Kreise genannt.
Zusatz i. Alle größte Kreise einer Kugel sind einander gleich; denn sie haben mit der Kugel einen gemeinschaftlichen Mittelpunct und einen gemeinschaftlichen Halbmesser.
Zusatz 2 . Die Grundfläche einer Halbkugel gehet allemahl durch den Mittelpunct der Kugel, folglich ist der Umfang derselben ein größter Kreis.
§. 6 .
Jeder größte Kreis theilt die Kugel in zwei gleiche Theile.
Es sey (Fig. Z-) ein größter Kreis der
Kugel und Nöl einer ihrer Durchmesser,
wozu der aus den beiden gleichen Quadranten öl6v und ölLv bestehende Halbkreis gehört; so kann man sich die Entstehung der Kugel durch die Umdrehung des Halbkreises ölOöl um öl öl begreiflich machen. Diese Kugel aber würde auch. entstanden seyn, wenn die beiden gleichen vermittelst des Halbmessers 6 v zusammenhangenden Quadranten öl 6 v und öl 6 O, welche den gedachten Halbkreis ausmachen, sich auf die in ( 2 .) erklärte Art, zugleich um ölO und öl 6 ge- brehet hatten. Allein jeder Quadrant für sich genom-

men, hat eine Halbkugel und der gemeinschaftliche Halbmesser 6V, die den beiden Halbkugeln gemeinschaftliche Grundfläche beschrieben. Beide Quadranten
aber, mithin auch beide Halbkugeln sind einander gleich, und der Umfang ihrer gemeinschaftlichen Grundfläche ist ein größter Kreis. Also wird die Kugel durch denselben in zwei gleiche Theile getheilt.
§. 7 .
Zwei verschiedene Kreise auf der Oberfläche der Kugel gehören allemahl zu zwei verschiedenen, die Kugel durchschneidenden Ebenen. Schneiden sich nnn diese beiden Kreise einander auf der Oberfläche der Kugel; so müssen sich auch die von den gedachten Kreisen begrenzten Ebenen einander schneiden. Ihr Durchschnitt ist eine gerade Linie, welche in der Kugel liegt, weil die Ebenen sich darin schneiden, die Stellen aber, worin Die Kreise als Linien einander schneiden, sind Puncte. Nun liegen die Durchschnittspuncte in beiden verschiedenen Kreisen, diese in den verschiedenen Ebenen, diese aber haben nur eine gerade Linie mit einander gemein, also müssen in ihr die Durchschnittspuncte liegen. Die übrigen hierher gehörigen Bestimmungen werden folgende Sätze erläutern und deutlich machen.
§. 8 .
Jede gerade Linie, welche durch einen Punct innerhalb der Kugel gezogen und gehörig verlängert wird, trifft ihre Oberfläche nicht in mehr als zwei Puncten.
Es sei l? (Fig. 4.) ein beliebiger Punct in der durch

ihre Oberfläche begrenzten Kngel. Durch k' gehe eine gerade Linie, welche nöthigen Falles nach beiden Seiten verlängert, die Kugelfläche an zweien Stellen M und N durchschneidet. Durch diese Linie und den Mittclpnnct der Kngel 6 lege man eine Ebene, so liegen a) alle Puncte der geraden Linie tLL und deren Verlängerung in der schneidenden Ebene und k>) alle Puncte, die diese mit der Kugelfläche gemein hat, in einem Kreise, den sie, ehe sie die Kugel verlaßt, auf ihrer Oberfläche abbildet. Sollte demnach die Kugelfläche von der geraden Linie an drei Stellen geschnitten werden; so kann dieses nicht anders geschehen, als wenn drei Puncte der geraden Linie mit drei Puncten des Kreises zusammenfallen. Dieses ist aber unmöglich, folglich auch jenes. Daher schneidet eine gerade Linie die Kugelfläche in nicht mehr als zwei Puncten.
Zusatz i. Zwei auf der Oberfläche der Kugel einander schneidende Kreise und LllOOL
(Fig, 6.) haben nur eine gerade Linie mit einander gemein, diese aber kann nur an zweien Stellen durch die Kugelfläche gehen, folglich müssen diese die Durchschnittspuncte der Kreise sein, welche sich also auch nur in zwei Puncten schneiden können.
Zusatz 2 . Zwei Kreise, welche auf der Oberfläche der Kngel einander schneiden, nicht aber halbi- ren, können beide kleinere, aber nicht beide größte Kreise sein. Denn wären beide größte Kreise, so lagen in der gemeinschaftlichen Durchschnittslinie, außer den beiden Durchschnittspunctcn, auch der Mittelpunct der Kugel. Dieser wäre alsdann der gemeinschaftliche Durchmesser beider Kreise und beide würden dadurch halbirt.

§. 9 .
Wenn eine Kugel in gleichen Entfernungen von dem Mittelpuncte geschnitten wird; so sind die Kreise der DnrchschnittSfiguren einander gleich. Die andern Kreise aber werden immer kleiner, je weiter die schneidende Ebene von dem Mittelpunkte entfernt ist.
I. Man lasse aus dem Mittelpuncte der Kugel L (Fig. Z.) auf ^.LIL^. und LNVL, die beiden Linien LII und H lothrecht herab; so sind diese einander gleich und jede derselben trifft den Mittelpunct des Kreises, LII den Punct II, und LK, den Punct k. Nun ziehe man aus L nach L und v ein Paar Hülfslinien LL und Lv; so sind sie als Halbmesser der Kugel auch einander gleich. .Nun sind bei II und L rechte Winkel, folglich
L L-— LII--j-iiv->>
,2^) (§. 12Z.)
-j- LO-
IIL' — LL- Lv- —LO-
126.)
IIL —V (L L- — LII') Lv —V (LO- — LL-)
IIL — K.O. Dieses sind aber die gleichen Halbmesser der Kreise tlNLtl und ObMC, folglich sind diese Kreise auch einander gleich.
II. Aus der Betrachtung der Ausdrücke IIL — —
LN-), kv—i/(LV- —LL-) erhellet zugleich, daß IIL immer größer werden mnß, je kleiner Lii wird,

15
h. je kleiner die Entfernung des Kreises von L ist; und daß Hü immer kleiner werden muß, je mehr LII zunimmt, d. h. je weiter der Kreis von dem Mittelpunkte der Kugel entfernt ist, indem Lü oder L v als Halbmesser immer dieselbe Größe behalt.
Zusatz i. Ist nun der Kreis von dem Mittel- Puncte der Kugel gar nicht entfernt, so wird c>
und NL —V(LL- —o-) —VLL- —LL, d. h. der Kreis geht durch den Mittelpunct der Kugel, und sein Umfang ist ein größter Kreis. Ist aber LH dem Halbmesser gleich, so-wird — LN') —
— LL') —o, d.h. es gibt auf der Oberfläche der Kugel gar keinen Kreis mehr, der um den Halbmesser Lü von dem Mittelpuncte entfernt wäre.
Zusatz 2 . Sind auf der Oberfläche der Kugel zwei kleinere Kreise einander gleich; so sind sie auch von dem Mittelpunkte der Kugel gleich weit entfernt. Ist aber der eine größer als der andere, so liegt jener dem Mittelpuncte der Kugel näher als dieser. Die beiden gleichen Kreise ü und 6 O sind von dem
Mittelpuncte der Kugel gleich weit entfernt, wenn die lothrechten Linien Lii und LL einander gleich sind. Dieses aber sieht man daraus, weil LL- — LH- -j- nü- Lr>2 ^ OK- -s- KOHL — V (LL- — IIÜ-)
LL — V (LO- — LO")
V (LL- — Oü^) V (ÖD- — KV-)
IIL --- Lk.

— i6 —
Der Kreis 1^0 aber ist weiter von 6 entfernt als der Kreis wenn LI. > LH ist. Dieses aber folgt daraus, daß in dem Ausdrucke LQ—v 6-),
L6 kleiner ist als 14 L in dem Ausdrucke L I I--- — klL'), indem b'O und LL als Halbmesser der Kugel dieselbe Große behalten.
§. 10.
Zwei größte Kreise einer Kugel schneiden und halbiern einander, und Kreise, welche auf der Kn- gelflache einander halbiren, sind größte Kreise.
I. Wenn und l>6Lirr> (Fig. 6.) zwei
größte Kreise vorstellen; so gehen beider Ebenen durch den Mittelpunct der Kugel 6. Verschiedene Ebenen aber, die durch den Mittelpunct der Kugel gehen, müssen auch durch einander gehen, d. h. sie müssen einander schneiden.
Weil nun die Ebenen beider Kreise, welche durch den Mittelpunct gehen, ausser dem Durchschnitte keinen Punct mit einander gemein haben, so muß der Mittelpunkt der Kugel im Durchschnitte liegen und dieser ein gemeinschaftlicher Durchmesser beider Kreise und seine Endpnncte ihre Durchschnittspuncte sein. Alsdann aber sind die Kreisbogen zu beiden Seiten der Durchschnittspunctc einander gleich. Denn es sind die zu demselben Durchmesser gehörenden gleichen Halbkreise.
II. Die Ebenen der einander halbirenden Kreise, schneiden sich in einer geraden Linie, welche ihr gemeinschaftlicher Durchmesser ist. Dieser aber muß auch
zru-

zugleich eiu Durchmesser der Kugel sein. Denn sonst könnte man aus ihrem Mittelpunkte e auf die einander schneidenden .Kreisflächen einen Perpendikel fallen, der durch beider Mittelpunct gehet. Folglich würde der Perpendikel auf beiden Kugelschnitten senkrecht stehen, welches unmöglich ist (§. 25Z.).
Zusatz. Zwei Kreise einer Kugel, welche einander schneiden, nicht aber halbircn, können beide kleinere aber nicht beide größte Kreise sein. Denn in diesem Falle müßten sie einander halbiren. Durch die letzte Bestimmung dieses Satzes ist die Behauptung nicht ausgeschlossen, daß einer der einander schneidenden Kreise, nicht ein größter sein könnte.
§. 11.
Erklärung. Wenn man sich den Halbkreis vorstellt, durch dessen Umdrehung um den Durchmesser die Kugel entstanden ist; so nennt man diesen Durchmesser die Axe, und ihre Endpuncte die Pole der Kugel.
Parallel-Kreise einer Kugel nennt man diejenigen, deren Ebenen mit einander parallel laufen.
§. 12.
Erklärung. Die obigen Benennungen der Pole und der Axe finden auch bei jedem Kreise Lk' (Fig. 7.) Statt, der so beschaffen ist, daß alle Theile seines Umfanges von einem gewissen Puncte U auf der Kugel- flache gleichweit entfernt sind. Dieser Punct heißt der' Pol des Kreises. Eine gerade Linie aber, welche von dem Pole durch den Mittelpunct des Kreises geht, Wird die Axe dieses Kreises genannt.
B

13
§. 15 .
Die Axe eines Kreises steht auf seiner Ebene senkrecht, geht durch den Mittelpunct der Kugel und erreicht, gehörig verlängert, auf der andern Seite des Kreises, den andern Pol.
I. ES sei (Fig. g.) ^LLVIH ein Kreis, dessen Axe
I>0 ist, so geht diese (nach 12.) von dem Pole I? durch dessen Mittelpunct 6. Nun nehme man in dem Umfange des Kreises zwei beliebige Puncte v an, ziehe aus ^ und v die Durchmesser und V6L und aus k die geraden Linien UIZ, U0, kL; so sind die beiden Dreiecke ^I?0 und LUS wegen der Gleichheit ihrer Seiten einander gleich und es ist der W. — U6L ^11. Aus demselben Grunde sind die Dreiecke DU 6 und LUO desgleichen die W. I?6O und U6L einander gleich und jeder —U. Also steht UO auf dem DurchschnittspuncL der beiden geraden Linien OL, folglich auf der Ebene des Kreises senkrecht.
II. Geht durch den Mittelpunct eines Kreises eine gerade Linie der Ebene senkrecht durch, so trifft sie verlängert den Mittelpunct der Kugel (4. Zns. 2.). Jene Eigenschaft kommt nach (I.) der Axe zu, also auch diese.
III. Verlängert man die Axe U 0 auf der andern Seite des Kreises, bis sie die Kugelflache in x> erreicht; so ist dieser Punct der andere Pol des Kreises, weil die Entfernung xv oder xL, wo man den Punct v oder L im Umfange des KreiseS auch annimmt, übe;all von gleicher Größe bleibt.

Zusatz i. ES gibt aber auf der Kugelflache zu jeder Seite des Kreises nur einen Pol. Denn gäbe es deren zwei, so könnte man aus jedem eine gerade Linie durch den Mittelpunkt des dazu gehörigen Kreises ziehen, jede wurde eine Axe (12.) und auf der Kreisebene senkrecht sein, welches nicht möglich ist (252.).
Zusatz 2. Eine Axe U (Fig. 7.) hingegen kann zu mehreren Kreisen LU, einer Kugel gehören und diese steht alsdann auf ihren Ebenen senkrecht.
Zusatz Z. Also laufen die Ebenen aller zu einerlei Axe gehörigen Kreise LL, kO rc., mit einander parallel, weil die Axe auf allen senkrecht steht (2.).
Zusatz 4. Unter den parallellaufenden Kreisen kann nur einer 611 ein größter sein. Denn gäbe es deren zwei, so müßten sie sich schneiden und alsdann würde die Axe auf zwei einander schneidenden Ebenen senkrecht stehen.
Zusatz 5. Sind U und p die Pole eines Kreises (Fig. 8.), so ist die gerade Linie zwischen denselben, dessen Axe, und hat die vorhin angeführten Eigenschaften. Denn zwischen zwei Puncten ist nur eine gerade Linie möglich.
Zusatz 6. Wenn man demnach durch den Mittelpunct O (Fig. 8.) eines Kreises eine gerade Linie 6l? senkrecht ziehet und bis an die Kugelflache verlängert, so ist diese gerade Linie die Axe und ihre Durchschnittspuncte sind die Pole des Kreises KLUVlH Denn hätte dieser Kreis eine andere Axe, so würde man aus seinem Mittelpuncte zwei gerade Linien ziehen können, die auf seiner Ebene senkrecht ständen, welches nicht möglich ist.
B 2

Zusatz 7 . Wenn aus dem Pole k (Fig. 8.) eines Kreises, auf seine Ebene ein Perpendikel herabgelassen wird; so trifft er den Mittelpunct O desselben und ist also dessen Axe. Denn nimmt mau im Kreise einen beliebigen Punct v an und bezeichnet 6 den Punct, durch welchen der Perpendikel durch die Kreisebene geht, so ist VO —V Diese Entfernung behalt überall einerlei Große, an welcher Stelle des Umkreises der Punct!) auch angenommen werden mag. Denn sie wird durch die Quadratwurzel der Differenz der beiden Quadrate von Uv und UO ausgedruckt, wovon jene allemahl, weil U der Pol ist von gleicher Lange, diese die unveränderliche Linie U6 ist.
Anmerkung. Die Lehren der vorhergehenden §. §. beziehen sich vornehmlich auf folgende Stücke:
1) auf die Pole eines Kreises,
2) auf seine Axe,
z) auf seinen Mittelpunkt,
4) auf die mit ihm parallellaufenden Kreise, worunter auch ein größter sein kann,
5) auf den Mittelpunkt der Kugel.
Diese sechs Stücke (die beiden Pole eines Kreises sind als zwei verschiedene Puncte anzusehen) stehen mit einander in einer solchen Verbindung, daß aus zwei derselben, die vier übrigen allemahl bestimmt werden können. Kennt man z. B- den Mittelpunkt der Kugel und eines gegebenen kleinern Kreises, so weiß man daß die Verbindungslinie auf seiner Ebene senkrecht steht, daß sie, gehörig verlängert die Pole trifft, daß sie also die Are ist, daß sie auf allen mit den gegebenen parallellaufenden Kreisen, worunter der, welcher durch den Mittelpunkt der Kugel geht, der größte ist, senkrecht sieht.

21
§. i4.
Ein Kreis, welcher auf der Kugelflache durch die Pole eines andern Kreises geht, sieht auf ihm senkrecht, halbiret ihn und ist ein größter Kreis.
Gehet ein Kreis (Fig. 8-) durch die Pole
U, 1 > eines andern, so liegt die Axe ULp dieses, in der Ebene jenes Kreises. Nun steht die Axe Up auf der Ebene des Kreises ^LVlH senkrecht, folglich auch die Ebene des andern Kreises. Die Axe geht durch den Mittelpunct 6 des Kreises folglich auch die
Ebene des andern Kreises, also geht auch ihr gemeinschaftlicher Durchschnitt durch diesen Punct und er ist daher ein Durchmesser des Kreises Er
wird daher durch in zwei gleiche Theile getheilt. Endlich geht die Axe durch den Mittelpunct der Kugel, folglich auch die Ebene des andern Kreises, welcher daher ein größter ist.
Zusatz. Die Bogen U ^, k ^ zweier größten Kreise, welche zwischen dem Pole I? in dem Umfange eines andern Kreises enthalten sind, sind
einander gleich, d. h. es ist der Bogen ^ kk'. Man ziehe die geraden Linien und so sind dieses zwei gleichnahmige Seiten der beiden kongruenten Dreiecke H.kL und k'Lt-, folglich einander gleich. Don den Bogen und kk' sind sie also die gleichen Sehnen; zu gleichen Sehnen aber gehören gleiche Bogen. Also ist der Bogen 1'^ — kk'- Auch ist Denn es ist der Bogen p>^k — und der Bogen kk', diese von jenen abgezogen lassen die gleichen Kreisbogen xH. und xk.

§. 15 -
Ein größter Kreis, der auf einem andern (nicht größten also kleinern) senkrecht steht, theilet ihn in zwei gleiche Theile, geht durch dessen Pole und seine Ebene durch dessen Are.
Es sei (Fig. g.) ein größter Kreis, der
auf einem andern wie senkrecht stehe; und
aus dem Mittelpuncte 6 des größten Kreises, der zu- gleich der Mittelpunct der Kugel ist, lasse man einen Perpendikel anf den gemeinschaftlichen Durchschnitt beider Kreise herab; so geht derselbe durch den Mittel- pnnct des andern Kreises ^LVO^(4.Zus.i.), der Durchschnitt ist also ein Durchmesser desselben und theilt den andern Kreis in zwei gleiche Theile.
Dieser Perpendikel 6 6 aber ist auch die Axe des kleinern Kreises, welcher, gehörig verlängert, auf der Kugelflache zwei überall von dem Kreise gleich weit abstehende Puncte (die Pole U, x desselben) trifft.
Laßt man nun aus einem beliebigen Puncte 6 der einen Ebene, auf den gemeinschaftlichen Durchschnitt der andern auf der vorigen senkrecht stehenden Ebene, einen Perpendikel LO herab; so liegt dieser, da er die Axe ist, ganz in der Ebene des größten Kreises H.l'LpH, und also die Pole des Kreises in
x und u in jenes Umfange.
Zusatz i. Bewegt man die schneidende Ebene des Kreises in paralleler Lage so weit herab, bis
6 mit 6 wie in (Fig. 9.) zusammenfällt; so bleibt die Lage beider Kreise senkrecht, auch bleiben die Axe und Pole in ihrer Lage ungeandcrt; allein der andere Kreis

ist nun auch ein größter Kreis und er hat nun eben dieselbe Stellung und Lage gegen den vorigen, als dieser gegen jenen, d. h. er lauft durch die Pole n, --- des Kreises H.ULx» und dessen Axe liegt in seiner Ebene.
Zusatz 2. Da nun ans (15.) der Kreis den andern, und nach (Zusatz 1.) dieser jenen hal- birt, so sind die Bogen zwischen ihren wechselseitigen Durchschnittspunctcn, Quadranten und diese sind alle einander gleich, weil sie zu gleichen Kreisen gehören.
H. r6.
Zwei größte Kreise, deren jeder durch die Pole des andern geht, stehen auf einander senkrecht.
Die größten Kreise sind und
Da nun jener durch die Pole l?, x des Kreises und dieser durch die Pole n, ^ des Kreises geht; so geht jedes Kreises Ebene durch die Axe des andern Kreises, folglich stehen diese Ebenen, also auch ihre Kreise auf einander senkrecht.
Zusatz 1. Wenn zwei oder mehrere größte Kreise durch die Pole eines andern größten Kreises geführt werden; so liegen die Pole jener Kreise sämmtlich in dem Umfange dieses Kreises. Ist (Fig. io.)
durch die Pole U, p des Kreises H.L6-V geführt; so liegen auch die Pole des Kreises in dem
Umfange Geht der Kreis UOpl? auch durch
die Pole U, p; so liegen die Pole des Kreises ebenfalls in dem Umfange des Kreises Dieses findet
aber allemahl Statt, man mag durch die Puncte U, p so viel Kreise führen, als man will»

Zusatz 2 . Die Pole mehrerer größter Kreise einer Kugel, welche sich in einem gemeinschaftlichen Durchmesser schneiden und auf einem andern größten Kreise senkrecht stehen, liegen sämmtlich in dem Umfange dieses letzter» Kreises.
§>. i?.
Die Bogen zweier Parallelkreise, welche zwischen zwei größten, durch deren Pole gehenden Kreisen enthalten sind,, gehören zu gleichen Winkeln und sind einander ähnlich.
Es mögen nun LO und HO (Fig. n.) die Bogen zweier Parallelkreise, UOp und ULx die größten durch die Pole der vorigen gehenden Kreise vorstellen; so ist zu beweisen, daß die Winkel OLL und OUH einander gleich, folglich die Bogen 6 kl und OL einander ähnlich sind.
Die Puncte k und p, durch welche die größten Kreise kvx und ULx geführt sind, sind die Pole der Parallelkreise; die gerade Linie l?p, also ihre Axe und zugleich der Durchschnitt der größten Kreise und lllLp. Als Axe sieht sie auf den Ebenen der Parallelkreise senkrecht, also stehen auf ihnen auch die Ebenen der größten Kreise senkrecht, welche durch I>p gehen. Diese schneiden aber die Parallelkreise in geraden Linien und zwar ,'n 6O und kO, und kLx in OL
und kkl. Jene sowohl als diese treffen die Puncte 6 und k, durch welche die Axe geht. Daher ist im Kreise kvx der W. kk6 und im Kreise I?Lx der

25
W. I> 6L, — I'I'tt. Folglich ODchkk'O und OLNl?H; also der W. VOL^- Ol^tt und der Bogen VL N OH.
Zusatz i. Theilt man jeden Parallelkreis in seine 560 Grade ein; so bekommen ähnliche Dogen Lv, HO ungleicher Parallelkreise eine gleiche Anzahl von G'-a- den. Daher ist der Bogen LO und jeder andere llO, welcher diesem ähnlich ist, das Mast des von den beiden größten Kreisen 1?Ll> und eingeschlossenen
Flächenwinkels.
Zusatz 2. Man kann aber allemahl einen der Parallelkreise durch den Mittelpunct der Kugel legen. Dieser wird ein größter Kreis und der Bogen LO das Mast des von den beiden größten Kreisen l?Lp und kvp eingeschlossenen Flächenwinkels an der Ape kz, sein. Diesen Bogen wählt man zur gedachten Absicht am meisten, weil er mit der Kugel einen gemeinschaftlichen Halbmesser hat.
Zusatz Z. Jeder dieser Winkel DLL, 111?O bestimmt die Neigung der beiden Halbkreise kvp und kLp gegen einander und aus ihrer gleichförmigen Ausdehnung erhellet, daß ihre Neigung überall gleich sei» muß. Es ist daher die Neigung derselben an dem Puncte k eben so groß als an x, oder der Bogen VZ? schließt mit einen Winkel ein, der so groß ist als der Winkel, der an x durch Dp und gebildet wird. Will man nun die Neigung der beiden Kreise kvx» und gegen einander angeben; so geschiehet dieses dadurch, daß man die Anzahl der Grade, Minuten rc. angibt, welche im Bogen VL des größten Kreises enthalten sind.

Zusatz 4. Wenn man die Endpuncte v unk' X zweier Quadranten größter Kreise durch einen Bogen verbindet, dessen Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel 6 geht; so stehen die Quadranten kv und 1'L auf dem Bogen VX senkrecht und dieser geht durch ihre Pole. Man ziehe aus dein Mittelpuncte der Kugel 0 nach den Endpuncten der Quadranten Ich v und X die geraden Linien 6k, 6O und 6X; so liegen die letzter» in der Ebene des Bogens VX und die Ebenen der Quadranten kO und kX gehen durch die Puncte I', 6, O und Ich 6, X. Die Linien 6 k und 6 V sind einander gleich, der Bogen kv ein Quadrant und zugleich das Maß des Winkels k 6 v, folglich ist der W. k(O —II. Aus gleichem Grunde ist der W. k6X —II. Folglich schließt k 6, wodurch die Ebenen der Quadranten gehen, mit 6 v und 6X rechte Winkel ein. Also stehen sie auf dem Bogen OX senkrecht; folglich steht auch der zu OX gehörige Kreis auf den beiden andern senkrecht und geht durch ihre Pole.
Zusatz 5. Wenn man also zwei größte Kreise und kXj, (Fig. 15.) auf einen dritten senkrecht setzt, so sind ihre Durchschnittspuncte k, des dritten größten Kreises Pole. Um also überhaupt eines größten Kreises Pol k auf der Kugelflache zu
bestimmen, so darf man nur einen andern größten Kreis kXp auf ihn senkrecht setzen, auf diesem von X bis k 90° abzahlen, wo alsdann k der verlangte Pol sein wird.
Zusatz 6. Will man nun auf der Kugelfiache einen größten Kreis HXt^iI so beschreiben, daß er durch die Pole zweier andern größten Kreise lauft, so darf man nur eine Ebene auf ihren gemeinschaftlichen

Durchschnitt I'p durch den Mittelpunct der Kugel 6 senkrecht setzen, diese bildet auf der Kugel einen größten Kreis ab, worin die Pole der gegebenen Kreise und liegen.
§. 18.
Erklär n n g. Unter einem spharischen Winkel versteht man allemahl denjenigen, welchen zwei Bogen größter Kreise an ihrem Durchschnittspuucte einschließen. Dieser heißt der Scheitclpuuct und die von ihm anfangenden Bogen, die Schenkel des spharischen Winkels. In (Fig. ii.) ist der Winkel LUD, welchen die Bogen UL und Uv größter Kreise an der Spitze? einschließen, ein spharischer Winkel, l? sein Scheitel- punct und l?o und UL seine Schenkel.
§. 19.
Jeder spharische Winkel ist so groß als der geradlinige, welchen die Tangenten der Schenkel an dem Scheitelpuncte des spharischen Winkels mit einander einschließen.
Wenn man in jeder der erweiterten Ebenen und kvp, worin die Schenkel des spharischen Winkels liegen, die geraden Linien UD und rk so ziehet, daß sie die Kreise in ihrem Durchschnittspuncte k berühren; so kommt an dieser Stelle k die Lage und Richtung der Tangenten mit der Lage und Richtung der Kreisbogen überein, d. h. kl mit l?ll und k t mit I?6. Daher haben auch die Tangenten U k und rl? eben die Lage gegen einander, welche die Bogen gegen einander

28
!
haben. Diese aber sind die Schenkel des spharischen -Winkels, folglich ist derselbe mit dein geradlinigen Winkel einerlei. Dieser von den Tangenten gebildete geradlinige Winkel aber ist eben so groß als der Neigungswinkel L(kO, weil l'b'i'— N (§. 156.)
und auch t?i> — N — folglich -ch LL und
tl' chs VL, folglich der W. H't —LLV ist (§. 259.). Also ist auch der spharifche Winkel Ll'v der beiden Ebenen l?Lp und worin seine Schenkel liegen,
so groß wie der geradlinige, welchen die Tangenten 1 ^ 1 ' und kr am Scheitelpuncte des spharischen Winkels uüt einander einschließen.
Zusatz. Ist nun (Fig. ,1.) 6VH ein spharischcr Winkel, l? sein Cchcitelpunct und verlängert man seine Schenkel v <5 und I' II. bis sie Halbkreise werden, und zwischen sich also den Flachenraum I'vpLP einschließen; so verhalt sich die eingeschlossene Flache znr ganzen Kn-- gelfläche, wie der spharifche (durch Grade ausgedruckte) Winkel zu vier Rechten oder 56a". Setzt man nun den Halbmesser der Kugel — r, die Anzahl der Grade des spharischen Winkels — -1 und bezeichnet ^ die Lange des Halbkreises aus dem Halbmesser ,; so laßt sich die gedachte Proportion auf folgende Art bezeichnen: Es ist die eingeschlossene Oberfläche: 41'^ — 3:560°, also ist der Flächeninhalt zwischen den beiden Halbkreisen
4 ar"n-
2r'n-.
360° iflo Es sei z. B. 0 — 24°, der Kugel Halbmesser r —6, - 5 ,i 4 i 59 ».. und k* der Flächeninhalt; so ist der
3 . 24
gedachte Flächeninhalt k'!
-2 r ^ ^ -O- .2.56.
18a- 180

2 . 56.5,14*59 ^
5 ,* 4*59
4.2.,-r. 5,14,59
3,14129 —-»
50
— 50,1592 Q. F>
A11 merk u 11 g. Man kann sich zur beguemern Berechnung dergleichen zwischen zwei größten Kreisen enthaltener FlÜ« chenraume, der XXIII. Tabelle der Zusätze zu den Log. und Trig. Tabelle» zur Erleichterung und Abkürzung der bei Anwendung der Math. verfallenden Berechnungen von Lanibert, bedienen. Man findet sie S- 146 bis 149 und sie enthalt die von Grad zu Grad rc. fortschreitenden Bogen durch's Längenmaß aus dem Halbmesser 1 ausgedruckt. Gehören zu dem Bogen Minuten und Secunden, so erhalt man dessen Lange aus der angeführten Tabelle durch cinc leichte Addition. Es sei z. B. 2 — 56° 24^ 16" und
.1 a -r !I.
setze —21-2N- — — . 2 r 2 , so findet man — IN der ge- >8c> iZo iZo
dachten Tabelle. Es ist nehmlich der Bogen von
Also 56° 24' 16" — 1,0,9547. Diese Zahl mit 2r» multiplicirt gibt für r—6, den Tlacheiiinhaltik' —75,592954 Q- F.
Sphärische Scheitelwinkel sind einander, und sphä- rische Nebenwinkel zwei Rechten gleich.
I. /tkL und 6 I?V sind (Fig. 12.) die sphänschen Scheitelwinkel; und L?v die sphänschen Nebenwinkel. Nun ziehe man die Tangenten lULdl
56°
1,01229c»
5817
116z
Lo*
4 '
6 "
43
29

5 »
und durch den Scheitelpunkt der spharischen
Winkel, so ist der Winkel lVIUt) einerlei mit dem Winkel (19.), der Winkel einerlei mit dem Winkel LUO (19.); aber ist so groß als
(§. 20.), folglich auch der Winkel —
erv.
H. ist einerlei mit und LUV einerlei
mit allein die Winkel M -j-s)1'l§ sind so
groß wie 2 k (§. 17.), folglich sind ^UU-j-Ll?O auch so groß als 2 U.
§. 21.
Wenn zwei größte Kreise einer Kugel einander schneiden, so bilden sie spharische Winkel, welche dem von ihren Axen eingeschlossenen geradlinigen Winkel gleich sind.
Die einander auf der Kugel schneidenden Kreise mögen (Fig. iZ.) und VSLk'V, ihre Apen
k p und n ihre Pole ? und x, n und ^ sein; so sind die Winkel ^.6O,L6L,^.leO, L?L, unter welchen sie sich schneiden, einander gleich und jeder derselben so groß, als der Winkel ll?6n oder x6^, unter welchen sich die Axen schneiden. Denn man nehme UL ---90° — k'L und lege durch L und L einen größten Kreis, so steht derselbe auf beiden Kreisen ^6 L IH und VOLl?O senkrecht (i7.Aus.4.); folglich ist jenes Ebene und Umfang durch dieser Kreise Apen Up, ir---, und Pole k,?, u, --- geführt (17.). Der Bogen LL -j- Lk? aber ist — 90° und so ist auch UL -j- kn — 90°, folglich LL-j-Lk —Lk-j-kli, also LL —Uu. LL aber ist

das Maß des spharischen Winkels Ll?L und kn das Maß des Winkels, welcher die Axen I?p und n--- beider Kreise ZcOLkH und O6Lkv einschließen, folglich ist der W. —ULn.
Erklärung. Unter dem Abstände oder der Entfernung zweier Puncte auf der Kugclflache, versteht man den kleinsten Dogen eines größten Kreises zwischen den gedachten Puncten auf der Oberfläche der Kugel gezogen. Beide Puncte ri und U aber lassen sich durch zwei verschiedene Bogen eines und eben desselben größten Kreises mit einander verbinden; nehmlich durch den Dogen und npU. Der kleinste Bogen aber liegt auf demjenigen Kugelstücke, in welchem nicht der Mittelpunkt der Kugel befindlich ist. Diesen muß man allemahl verstehen, wenn von dem kleinsten, zwischen zwei Puncten auf der Kugelflache gezogenen Bogen die Rede ist.
Zusatz. Die Entfernung der Pole nl? der beiden größten Kreise auf der Oberfläche der Kugel genommen, ist daher eben so groß, als das Maß des sphas rischen Winkels Lk'L, unter welchem die gedachten Kreise einander schneiden.

Zweiter Abschnitt.
Erklärungen einiger Kreise, Linien und Puncte an-der Himmel»- und der Erdkugel.
§. 22.
Ä8enn in des Jahres kürzern Tagen der Himmel von keinen Wolken getrübt wird und die letzten Strahlen der untergehenden Sonne aus dem Gesichte verschwinden; so eröffnet sich unserm Auge eine neue Aussicht in den unendlichen Weltraum. Das majestätische Bild der Schöpfung tritt mit seiner ganzen Pracht Hervor, der Himmel erscheint uns in der Gestalt einer oben etwas eingedrückten Kugel, an deren innerer Flache die Dunkelheit der Nacht das unzählbare Heer der Sterne über unsern Scheitel führt. Einige derselben kündigen sich bei dem ersten Anblick durch ihren Glanz und ihre Klarheit als Sterne erster Größe an. Ihr Lickt gewinnt unter dem Vergrößernngsglase eine solche Stärke, daß es das Auge kaum zu ertragen vermag. Andere sind von diesen wenig verschieden, aber ihr Glanz ist milder und nicht ganz so durchdringend als bei den vorigen und diese nennt man Sterne der zweiten

tcn Ordnung. So gehet man in dieser Abstufung fort und ein etwas geübtes Auge, unterscheidet den Glanz und die Lichtstarke der Sterne der neunten, zehnten rc. Ordnung, bis endlich nicht nur einzelne Sterne, sondern auch ganze Sterngruppen so unkenntlich werden, daß sie unsere Aufmerksamkeit fast gar nicht zu reizen und in ein unbedeutendes Ncbclwölkchcn zusammen zu fließen scheinen. Vielleicht aber giebt es für den denkenden und fühlenden Menschen in dem unendlichen Reiche der Schöpfung, keine so überraschende, keine so hinreißende Scene, als die Betrachtung eines solchen Nebelwölkchens durch ein gutes Fernrohr. Dieses löset die Nebelschimmcr in einzelne von einander durch merkliche Zwischcnraume getrennte und hellstrahlende Sterne auf, ein neuer, nie gesehener Himmel scheint auf einmahl aus diesem dunkeln Grunde hervorzutreten, so, daß man in einem Raume, den der Mond am Himmel zu bedecken scheint, viele tausend hellfunkelnde Sterne findet. Der Verstand trauet den Sinnen nicht, man wahnt sich getauscht und mit Begierde sucht das bloße Auge diese Stelle unter den übrigen Sternen am Himmel auf; aber es ist Wahrheit, Wahrheit wie sie die Natur zu geben und der Verstand zu fassen vermag, und man empfindet es in seinem ganzen Umfange, was Kastner so schön sagt: „einen einzigen neblichkeN
„Stern verwandelt das Fernglas in einen Himmel s,voll Sonnen." Denn alle diese Sterne vom Sirius bis zum kleinsten schwächsten Puncte hin, welchen das Auge des Sterblichen nur zu erreichen vermag, sind Sonnen, die nach aller Wahrscheinlichkeit andern unzählbaren Weltkörpern Licht und Warme ertheilen,
C

Sonnen, von der Natur wie die unsrlge ist, von welcher man nur alsdann eine ihrer Größe angemessene und würdige Vorstellung hat, wenn man mit einem Halbmesser, der zweimahl so groß als der Mond von uns entfernt ist, d. h. mit einem Halbmesser von mehr als 105200 Meilen *) einen Kreis beschreibt und in diesen Raum die Sonnenkugel setzt. Auf diese Art erweitert die Sternkunde unsere Einsichten und berichtiget unsere Begriffe über die Gegenstände der Narur. Selbst der kühnste Flug der Phantasie würde es nicht gewagt haben, jene kaum sichtbaren Puncte des Firmaments zu Weltkörpern von so erstaunlicher und unermeßlicher Größe umzuschaffen, wenn wir uns nicht davon durch unleugbare Gründe der Vernunft überzeugen könnten. Diese wenigen Bemerkungen zeigen zur Euüge, wie schön und erhaben diese Wissenschaft in ihrem Innern sei, wie reich au Wahrheit, wie befriedigend für Geist und Herz.
Die vollständige Entwickelung dieser Lehren gehört in das eigentliche Gebiet der Astronomie, deren erstes Geschäft es ist, die Bewegung und den Abstand der Sterne, nach der Lage und Richtung gewisser Kreise am Himmel mit Hülfe einiger wenigen leicht zu machenden Beobachtungen zu bestimmen. Da nun die Kenntniß derselben, selbst den wenigen, in der Folge hier vorkommenden Anwendungen der sphärischen Trigonometrie zum Grunde liegt; so ist dieser Abschnitt den Betrachtungen der Kreise, Linien und Puncte an der Himmelskugel gewidmet.
') Genauer betragt der Halbmesser der Sonne, wie in der Folge gezeigt werde» soll, gegen 112 Erdradjcn.

Wenn man auf der Oberfläche der Erde einen Ort für die Beobachtungen der sich am Himmel zeigenden Erscheinungen fest gefetzt hat, so giebt es drei größte Kreise, welche in ihrer Lage gegen einander unverändert bleiben. Diese sind der Horizont, der Aequa- tor und der Meridian. Wählt man sich nun zu seinem Standpuncte eine Anhöhe oder einen solchen Ort, von welchem aus man rings umher eine freie, durch keine Gegenstände oder andere Hindernisse unterbrochene Aussicht hat; so heißt die äusserste Grenze »R, (Fjg. 14 .) an der Himmelskngel, über welche man nicht weiter hinaus sehen kann und durch welche also die über uns befindliche sichtbare Halbkugel, von der unter uns liegenden unsichtbaren abgesondert wird, der wahre oder astronomische Horizont (Gesichtskreis). Seine Ebene geht durch den Mittelpunkt der Erde und heißt die Ebene des wahren Horizonts. Denkt man sich nun durch den Standpnnct des Beobachters eine mit der vorigen parallellaufende, bis an die Himmelskugel erweiterte Ebene, so, daß diese von der vorigen um den Halbmesser der Erde absteht; so heißt dieser Kreis der scheinbare Horizont.
Der Auf- und Untergang, die Morgen- und Abendweite, die Höhen rc. der Gestirne, beziehen sich vornehmlich auf den Horizont. Alle mit dem Horizonte parallellaufende Kreise, wie L56, nennt man daher -Almucantharars- oder Höhenkreise,
§. 24.
Ziehet man nun eine gerade Linie 2 b? (Fig. 14.)
C 2

durch den Mittelpunct des Horizonts auf seiner Ebene senkrecht und verlängert diese zu beiden Seiten bis an die Hinimelskugel; so ist sie die Axe des Horizonts und heißt die Vertical- oder Scheitellinie und ihre Endpunctc sind die Pole des Horizonts, deren einer 2 über dem Horizont der Scheitelpunkt oder das Zenits), der andere N, der Fußpunct oder das Nadir genannt wird.
Anmerkung. Diese fremden Ausdrücke sind arabischen Ursprungs und schreiben sich aus einem Zeitalter her, in welchem die Araber die einzige Nation waren, die bei ihre» weit ausgedehnten Eroberungen in Griechenland, Geschmack' an Wissenschaften, vorzüglich au der Astronomie fanden und von der Zeit an, die gedachte Wissenschaft auf ihre» einheimischen Boden zu verpflanzen suchten, wo sie sich lange, doch ohne beträchtliche Erweiterungen erhalten hat. Die Benennung Horizont aber kommt aus dem Griechischen von ich begrenze, her und hecht ein
begrenzender (Kreis). So lange hier von dem Horizonte an sich die Rede ist, wird allemahl der astronomische verstanden, in den Stellen, wo von dem andern die Rede ist, soll dessen Benennung beigefügt werden.
§. 2Z.
Ein größter Kreis der Hinimelskugel wie 28 V oder 2811 (Fig. 14.), welcher durch den Scheitelpunkt und durch einen beliebigen Punct des Himmels geführt wird, heißt ein Vertical- oder Scheitelkreis. Man ziehet gewöhnlich nur den vierten Theil dieser Kreise, von» Scheitelpunkte bis an den Horizont, aus. Ein solcher Quadrant hat eine doppelte Bestimmung. Ein Theil desselben nehmlich der Dogen 8H zwischen dem Sterne und dein Horizonte, mißt die Höhe des Sterns 5 , und

37
M
t>er andere Theil desselben d. i. der Bogen 82 zwischen dem Sterne und dem Zenith, bezeichnet den Abstand des Sternes vom Scheitelpuncte. Alle Ebenen dieser Kreise gehen durch die Scheitellinie, und stehen also auf dem Horizonte senkrecht.
§. 26.
Alle Theile der Himmelskugel sind in einer beständigen Bewegung, nur zwei Puncte k, x, (Fig. 14.) die Pole genannt, bleiben fest und unbeweglich, so, daß alle übrige Himmelskörper sich in der Oberfläche der Kugel, nach ihren verschiedenen Entfernungen von den beiden unbeweglichen Puncten, in größer» und kleinern Kreisen um selbige zu bewegen scheinen. Einer dieser Pole k ist in unsern Gegenden dem Auge deS Beobachters sichtbar, er ist nicht weit vom Polarstern entfernt und heißt der Nordpol; der andere ist diesem gerade entgegen gesetzt, uns unsichtbar und heißt der Südpol. Diese beiden Puncte werden allemahl verstanden, wenn von Polen, überhaupt ohne Beifügung des ihnen zugehörigen Kreises die Rede ist; man nennt sie auch die Welt- oder Himmels pole. Eine gerade Linie, welche von dem einen Pole I' nach dem andern x> gezogen wird, heißt die Weltapc.
Anmerkung. Die Bewegung, vermöge welcher sämmtliche Sterne nach derselben Richtung hin, von Morgen gegen Abend innerhalb vier und zwanzig Stunden einmahl ihren Umlauf um die Erde vollenden, ist scheinbar und heißt die gemeine oder tägliche Bewegung der Sterne.
§. 27.
Derjenige größte Kreis am Himmel (Fig. ig.),

welcher in allen seinen Puncten von den Wcltpolen gleich weit entfernt ist, heißt der Aeguator oder Ae-- qui noctialkreis. Die Ebene dieses Kreises theilt die Himmelskugcl in die nördliche und südliche Halste ab, die Weltpole sind die ihm zugehörigen Pole, die Weltaxe steht auf ihm senkrecht. Daher schneiden ihn alle Kreise, die durch seine Pole gehen, unter rechten Winkeln und alle am Himmel von den Sternen in ihrer Bewegung beschriebenen Kreise, laufen mit ihm parallel.
Anmerkung. Man macht bei dem Aeguator, um die Lange gewisser Buge» auf ihm, »der die Entfernungen der Welt- körper von ihm, zu bestimmen und anzugeben, einen gewissen Punct zum AnfangSpnnci. Dieser ist eine von den Heiden Stellen, an welcher er von einem nachher noch naher zu beschreibenden größten Kreise geschnitten wird. Gibt man nun die Abstände gewisser Puncte durch einen Theil des Acguators an, so zahlt man seine Grade von Abend gegen Morgen ununterbrochen bis zsto fort; bezeichnet man aber die Entfernung anderer Kreise und Puncte vom Acquaror, so gehen die Kreisbogen vom Akgualor nach Norden oder Süden 90 Grade fort.
§. 2Z.
Ein größter Kreis der Himmclskugel, welcher wie (Fig. 14.) 2kk x durch einen der Pole l? oder x,
durch das Zenith 2 und Nadir N geführt wird, heißt der Meridian oder Mittagskrcis; die durch diesen Kreis begrenzte Flache, die Mittagsflache. Dieser Kreis steht auf dem Horizonte und dem Aequator senkrecht (14.), und die gerade Linie IZK, worin seine Flache die Horizontalebene schneidet, heißt die.Mittagslinie. Ihre Endpuncte liegen in dem Horizonte und

39
bestimmen darin zwei Puncte, der eine, den Mitternachtspunct u oder Norden, der andere den Mit- tagspunct L oder Süden. Zahlet man auf beiden Seiten des Mittags- oder Mittcrnachtspunctcs 90° auf dem Horizonte ab, so wird dadurch auf der einen Seite der Morgenpunct O oder Osten, und auf der andern der Abendpunct oder Westen bestimmt. Eine gerade Linie, welche diese beiden Puncte mit einander verbindet, schneidet die Mittagslinie unter rechten Winkeln und durch beide gerade Linien und O VV wird der Horizont in vier gleiche Theile oder Quadranten getheilt. Die Mittagsflache aber theilet die ganze Himmelskugel in die östliche und westliche Halste ab.
. §. 29.
Alle Sterne, die sich über den Horizont erheben, gehen in der Mitte ihres Weges durch den Meridian, haben daselbst ihren höchsten Standpnnct und sinken auf der andern Seite des Meridians wieder unter den Horizont herab. Bei jener ersten Erscheinung, wenn Sterne auf der einen Seite des Horizontes sichtbar werden, sagt man, sie gehen auf; wenn sie durch den Meridian gehen, sie culminiren; und wenn sie auf der andern Seite des Horizontes unter denselben hinab sinken und verschwinden, sie gehen unter. Alle Kreisbogen, welche die Sterne von ihrem Auf- gange bis zu ihrem Untergänge über dem Horizonte beschreiben, heißen Tagckr eise oder Ta gebogen. Sie laufen alle mit einander parallel, werden von dem Meridian sämmtlich halbirt, und der größte Bogen wird von demjenigen Gestirn beschrieben, welches genau im

4o
Ostpuncte aufgeht. Nahe am Nordpole beschreiben ei- rüge Sterne in ihrer scheinbaren Laufbahn Kreise, in welchen sie so wohl in ihrer größten als kleinsten Höhe über dem Horizonte, sichtbar bleiben. Daher gehen diese Sterne nie auf oder unter. Denn sie erheben sich nie über den Horizont und sinken nie unter denselben herab. Zins der andern Seite der Himmelskugel in der Nahe des Südpols findet das Gegentheil Statt.
Anmerkung. Dieser Sterne kann man sich znr Bestimmung der Polhohe, welche für die Geographie und Astronomie sehr wichtig ist, bedienen. Man mißt in langen Mitternächten die größte und kleinste Hohe Oll. und gib (Fjg. i.j.) eines der gedachten Sterne O. Ziehet die letztere g k von der ersten Oll. ab, nimmt von der Differenz ihre Halste und setzt sie znr kleinsten Höhe gll. Die Summe dieser beiden Bogen 4- All. giebt die gesuchte Polhöhc Nil an;
nur muß die Angabe der Höhe wegen der Brechung der Lichtstrahlen noch allemahl berichtiget werden. Kastner fuhrt in s. A. S. 26. tz. 64 folgendes Beispiel des I. dl. I)- l'lsls vom I. 1728 für die Polhöhe von Petersburg an: Die scheinbare größte Hohe des Polarsterns war 62° 4 Zg" wegen der Brechung der Lichtstralcn aber stand er zu hoch um -------- Zi"
daher ist die wahre größte Höhe - - 62° 4 4t
die scheinbare kleinste Höhe des Polarsterns war 57° 0"
wegen der Strahlenbrechung stand er zu hoch um - Z7" daher die wahre kleinste Höhe - - - 57° 47^25"
die Differenz beider Höhen - - - 4 °r/ 4 r"
ihre Halste ------- 2° 450"
die kleinste Höhe ----- 5?°4?'2g"
Also die Polhohe 59° 56^2"
§. 30 .
Der Abstand eines Sterns * L von dem Mittags-

kreise wie HV (Fig. > 4 .) auf dem Horizonte gemessen, heißt das Azimuth oder der Bogen des Azimuts) alw in kcls, d. h. desjenigen Winkels, welchen der Echcitelkreis des Sterns * L mit dem Mittagskreise einschließt.
§. 5i.
Die Bewegung aller Sterne geschiehet mit gleichförmiger Geschwindigkeit. Daher gehen in gleichen Zeiten, gleich große Theile des mit der ganzen Himmcls- kugel bewegten Aequators durch den Meridian, folglich der ganze Aeguator oder 560 Grade in 24 Stunden; also in einer Stunde oder in 6c> Minuten der vier und zwanzigste Theil, d. i. 15 Grade des Aequators. Daher braucht ein Grad 4 Minuten und eine Minute des Aequators 4 Secunden Zeit. Sind daher z. B. in einer gewissen Zeit 6 Grade des Aequators durch den Meridian gegangen, so gibt die Regel Le Tri, die wahrend dieser Bewegung verflossene Zeit, indem man schließt: 1 ° : 6 ° — 4 Minuten : 24 Minuten Zeit. Dieses ist die gesuchte Sternzeit, welche man auch die Zeit der ersten Bewegung nennt. Eben so leicht kann man auch umgekehrt aus der Zeit, die Grade, Minuten rc. des Aequators bestimmen, welche wahrend derselben durch den Meridian gehen. Dieses Verfahren nennt man Eternzcit in Bogen des Aequators, und Bogen des Aequators in Eternzcit verwandeln.
§. 52.
Jeder größte Kreis, welcher durch die Pole und durch irgend einen Punct oder Stern an der Himmels-

kugel geführt wird, heißt ein Declinations - oder Abweichungs kreis. Ein solcher Kreis ist U8Li> (Fig. -Z-). Er sieht auf dem Aequator senkrecht und theilt ihn in zwei gleiche Theile (14.). Der Dogen desselben 8L zwischen dem gedachten Puncte 8 und dem Aequator heißt die Declination oder Abweichung. Diese ist entweder südlich oder nördlich, je nachdem der Stern in der nördlichen oder südlichen Halbkugel befindlich ist. Die Abweichung übersteigt nie die Größe eines Quadranten.
§. 53 .
Theilet man nun den Aequator ^.0 L nach (Fig. ia.) in 24 gleiche Theile, so erhalt die östliche Halste der Himmelskugel, die hier die Figur vorstellen mag, deren 12. Ziehet man nun durch die Pole und jeden Thci- lungspunct des Aequators, die vorhin beschriebenen Ab- weichungskreife; so nennt man diese hier Ctundcnkreise, wenn sie in ihrer Lage fest und unveränderlich bleiben. So find also die Kreise durch kk'p, I?6p, UIIp :c. Stundenweise. Die Winkel rc. aber, welche
von jedem dieser Kreise Uk' mit dem Meridian am Pole gebildet wird, heißt der Stundcnwinkcl.
Unter den oben angeführten Zwölf-Stundenwei- sen ist der Meridian der letzte. Wegen der gleichförmigen Bewegung der Sterne (Zr.) braucht jeder derselben den L4sien Theil seiner Umlaufszeit, um aus einem Stundenweise in den andern zu kommen. Dieses gibt die Sternzeit. Der Bogen des Aequators (Zeitbogen), der zwischen den Schenkeln des Stundenwinkels enthalten ist, ist das Maß desselben. Verwandelt man

diesen Bogen in Zeit, so weiß man wie lange es noch dauert, bis der Stern von dem angenommenen Stun- denkreise, in seiner Bewegung den Meridian erreicht. Die scheinbare Bewegung der Sonne ist zwar gleichförmig, aber etwas langsamer als bei den Sternen. Dieses rührt von der ihr eigenen Bewegung her. Im bürgerlichen Leben richtet man sich nach der Sonnen- zeit. Auch sie braucht den aqsten Theil ihrer Umlaufszeit, um aus einem Stundenkrcis in den andern zu kommen. Tritt ihr Mittelpunct in den raten über dem Horizont, so ist dann der wahre Mittag. Auf die Art kann man die Ctundenkreise sich so vorstellen, daß die Sonne von 12 Uhr Mitternacht, mit jeder folgenden Stunde in den folgenden Stundenkrcis nach den dabei geschriebenen Zahlen tritt.
H. 34.
Nimmt man den Bogen des Aequators L 6 (Fig. 16.) zwischen seinem Anfangspuncte L, d. i. demjenigen, in welchen die Sonne mit der Rückkehr des Frühlinges tritt, und dem Durchschnittspuncte L des Declinationskreises und des Aequators von Abend gegen Morgen zu; so heißt derselbe die gerade Aufsteigung oder Recta- scension des Gestirnes L.
Bemerkt man nun in dem Augenblicke, wo ein Stern L in den Horizont tritt und aufgeht, diejenige Stelle « desselben, wo er vom Aequator geschnitten wird; so heißt der Theil des Aequators L«, welcher zwischen diesem Puncte « und seinem Anfangspuncte L enthalten ist, von Abend gegen Morgen gerechnet, die schiefe Aufsteigung des Sterns L>

Nimmt man nun den Bogen des Acquators, welcher die schiefe Aufsteigung L« ausdruckt und zieht man diesen von demjenigen LO ab, welcher die gerade Aufsteigung bezeichnet; so bleibt der Bogen «6 übrig. .Diesen Bogen nennt man die Afcensioualdifferenz.
Anmerkung i. Liegt ein Stern tz in der südlichen Halbkugel; so ist die Abweichung cl> negativ. Diese bestimmt bei der Berechnung auch die Lage der Asccnsionaldiffcrcnz. Aus der Betrachtung der drei Bogen L6, L-r und «6 des Acquators ergibt sich, daß 6« —L6 —«6, d. h. die schiefe Aufsteigung ergibt sich aus der geraden und der Asccnsionaldiffcrcnz. Würde aber diese negativ werden, so mußte sie in dem angegebenen Ausdruck das entgegengesetzte Vorzeichen erhalten und es würde L« —66-s-«6 werden, welches auch vollkommen mit den Begriffen der allgemeinen Sublraction übereinstimmt.
Anmerkung 2 . Der Horizont theilt den Acquator in zwei gleiche Theile ei». Die eine Halste desselben liegt also über, die andere unter dem Horizonte. Der Meridian aber geht durch beider Pole, steht auf beiden Kreisen dem Horizonte und Acquator senkrecht und -4 ist von -- um gc>° entfernt, d. h. es ist —go". Zur Zeit des Aufganges des Sternes L steht ^ im Meridian und 6 ist derjenige Punct, der mit dem Sterne U zugleich culminirt. Wahrend der Zeit aber, daß der Stern aus U in den Meridian tritt, bewegt sich der Bogen des Acquators .46 —go<> -s- «6, d. h. ein Bogen von gc>° nebst der Asccnsionaldiffercnz durch dcir Meridian. Verwandelt man diesen Bogen in Zeit, so ergibt sich aus dieser Zeit, doppelt genommen, weil der Stern so viel Zeit von seinem Aufgangc bis zur Culmi- nation, als von dieser bis zu seinem Untergänge braucht, wie lange derselbe sich über dem Horizonte verweilt.

§« 35 «
Ausser der gemeinen oder täglichen Bewegung der Sonne, womit sie, wie alle übrige Sterne, einen Umlauf an dem Himmel in 24 Stunden zu vollenden scheint, entdeckt man noch eine andere, welche die ihr eigene oder ihre jährliche Bewegung genannt wird. Auch diese Bewegung, von welcher die Verschiedenheit der Jahreszeiten, die Lange und Kurze der Tage rc. abhängt, ist eigentlich nur scheinbar; allein hier betrachtet mau die Gegenstände nur so, wie sie uns in die Sinne fallen. Vermittelst weniger Erfahrungen aber kann mau sich von der eigenen Bewegung der Sonne leicht überzeugen. Man darf nur die Stellung derjenigen Sterne am Himmel bemerken, welche einige Zeit nach Sonnenuntergang sichtbar sind. Setzt man nun diese Beobachtungen einige Tage hinter einander fort, so wird mau finden, daß sich die Sonne diesen Sternen von Tage zu Tage nähert, bis sie durch die Sonnenstrahlen ganz bedeckt werden und verschwinden, d. h. Sterne, welche vorher später untergingen, als die Sonne, gehen nun mit ihr zugleich und in der Folge früher, als sie, unter. Eben diese Erscheinungen finden auch bei denjenigen Sternen Statt, welche vorher von der Sonne weiter nach Morgen entfernt waren. Und so geht die Sonne nach einer Richtung, welche der täglichen Bewegung von Morgen gegen Abend entgegen gesetzt ist, durch alle Sterne hindurch, bis man sie etwa nach Verlauf einer Zeit von 565 Tagen wieder zwischen den Fixsternen findet, wo man sie zuerst erblickt hatte, und dieses ist die jährliche Bewegung der Sonne. Zu gleicher Zeit wird man aber auch bemerken, daß sich nicht die Sterne

46
der Sonne nahem, sondern daß sich diese den Stemm nähere. Denn diese behalten immer denselben Abstand von einander, gehen täglich bei einerlei Puncten des Horizontes auf und unter, und treten an jedem Tage beinahe um vier Minuten früher über den Gesichtskreis, als an dem nächstvorhcrgehenden. Die Sonne aber geht täglich an andern Stellen des Horizontes auf und unter, verändert auch ihren Abstand von den Fixsternen. Die Zeit zwischen zwei nächsten Durchgängen der Sonne durch den Mittagskreis heißt ein Lag. Die Zeit der Umdrehung des Himmels oder ein Stern tag beträgt 23 Stunden, 56 Minuten und 4 Secunden.
§. 56.
Die Bahn der jährlichen Bewegung der Sonne ist ein Kreis, welcher in den frühesten Zeiten für die Sternkundigen den Gegenstand ihrer sorgfältigsten Beobachtungen ausmachte. Auf Babylons weiten Ebenen, wo die Höhe des Aequators ungefähr 54 Grade betrug, wurde diese Bahn zuerst bestimmt, weil daselbst mancherlei Veränderungen am meisten in die Augen fallen. Hätte nun die Sonne mit dem Aequator beständig dieselbe Lage gegen den Horizont, so würde sie daselbst täglich zur Mittagszeit 54° hoch erschienen sein. Allein die Sonne erreicht nicht wie die andern Sterne täglich denselben Punct zur Mittagszeit im Meridian. Die ältesten Beobachter nahmen daher wahr, daß die Sonne in den längern Tagen des Sommers in der Gegend bei L (Fig. 17.) und am längsten Tage in L stand und sich 24° über den Aequator erhoben hatte. Hierauf

47
nahm ihre Hohe nach und nach ab, so daß sie ungefähr nach sechs Monaten, d. i. im Herbste bei durch den Mittagskreis ging. Nach dieser Zeit senkte sie sich immer tiefer hinab, bis sie endlich in den kürzern Tagen des Winters in der Gegend bei L und am kürzesten Tage in k 24° unter dem Aequator stand, und also so weit von entfernt war, als der höchste Punct L im Sommer von so baß ihre Höhe des Mittags im Sommer 78°, im Winter aber nur Zc>° betrug. Alsdann aber stieg die Sonne wieder allmählig in die Höhe, bis sie den Punct L erreicht hatte, ging wie vorher weiter fort, und alle Erscheinungen kehrten mit den gedachten Abwechselungen von Zeit zu Zeit zurück. Hieraus folgerte man nun, daß die Sonnenbahn ein Kreis sei und daß dieser Kreis den Aequator jährlich in zwei entgegen gesetzten Puncten schneiden müsse, weil man zweimal)! im Jahre bemerkt hatte, daß die Höhe des Aequators und die Mittagshöhe der Sonne genau mit einander übereinstimmten und 54° betrugen.
§. 57 .
Die Bahn, welche die Sonne jährlich von Abend gegen Morgen am Himmel so zu beschreiben scheint, daß sie unter, über und in dem Aequator ihre Lage erhält, heißt die S 0 nnenbah n oder Ekliptik. Eine gerade Linie n-r, welche auf der Ebene dieses Kreises lothrecht durch den Mittelpunct gezogen und bis an die Flache der Himmelskugcl verlängert wird, ist ihre Axe, und die Endpuncte n,--- sind die Pole der Ekliptik. Die Puncte k., IVI, worin beide Kreise, die Ekliptik und der Aequator, einander schneiden, heißen die Aequi-

43
noctialpuncte oder die Puncte der Nachtglei- chen. Diese Benennung schreibt sich daher, weil auf -er Erde überall der Tag so lang ist wie die Nacht, wenn die Sonne in diesen Puncten steht. In einen derselben L. tritt sie mit dem Anfange des Frühlinges und in den andern mit dem Anfange des Herbstes. Jener wird der Punct der Frühlingsnachtgleiche, und dieser der Punct der Herbstnachtgleiche genannt. Von dort steigt sie täglich über den Aeguator hinauf; von hier senkt sie sich täglich unter denselben herab. Ziehet man nun einen Kreis durch die Weltpole
und durch die Aeguinoctialpuncte, so nennt man selbigen den Colurus der Nachtgleichcn.
§. 58 .
Von der Zeit an, wo die Sonne von dem Früh- lingspuncte sich täglich in dem Mittagskreise zu einer großem Höhe erhebt, beschreibt sie auch vermöge der täglichen Bewegung größere Kreisbogen über dem Horizonte, welche sämmtlich mit dem Aeguator parallel laufen. Die Tage nehmen immer mehr zu und derjenige wird am längsten, an welchem sie die größte Höhe (Fig.17.) L. im Meridian erreicht hat. Dieser Punct heißt der Sommerstillstandspunct, weil es scheint als wenn die Sonne ohne merkliche Veränderung eine Zeit lang in dieser Gegend stehen bliebe. In der Folge werden die Kreise wieder kleiner, die Sonne entfernt sich von L, sie verweilet nicht mehr so lange über dem Horizonte als vorher, doch betragen die Bogen über demselben noch immer mehr als die Halste, bis sie in ihrer Laufbahn den Aeguator im Herbstpuncte durchschneidet und
Tag

Tag und Nacht gleich sind. Alsdann aber werden die Bogen kleiner als ein Halbkreis, die Sonne bleibt nicht so lange über dem Horizonte mehr, die Tage werden demnach kürzer, und derjenige ist am kürzesten, an welchem die Sonne durch den tiefsten Punct K. des Meridianes geht. Dieser Punct heißt der Winterstillstands Punct. Diese beiden Puncte, im Sommer und Winter, welche die größte und kleinste Höhe der Sonne dcS Mittags im Meridiane bezeichnen, heißen gemeinschaftlich Solstitial- oder Stillstandspuncte oder auch die Puncte der Sonnenwende. Denn die Sonne scheint sich gleichsam an diesen Stellen umzukehren und ihre Laufbahn von neuem anzutreten. Ziehet man nun durch die Stillstandspuncte mit dem Aequator Parallclkreise LI^ und klk, so werden diese die Wendekreise genannt, und zwar LI. der Wendekreis des Krebses und lVIL der Wendekreis des Steinbockes. Beide Bilder bezeichnen auf eine sehr zweckmäßige Art den jedesmahligen scheinbaren Lauf der Sonne. Ziehet man nun durch die Solstitialpuncte und die Weltpole einen Kreis l?Li>Ll?, so wird dieser der Colurus der Stillst» ndspuncte genannt.
Anmerkung. Man nimmt zwar an, daß die Sonne lauter mit dem Aequator parallel laufende Kreise wahrend der Umdrehung des Himmels beschreib»; allein bei einer genauern Prüfung dieser Sache findet man, daß die Sonne ihre Stellung gegen den Aequator vielmehr in jedem Augenblicke verändert und daß also keine Parallclkreise entstehen, sondern daß ihre Laufbahn eigentlich die Gestalt einer Schraubenlinie vorstellt. Allein da es für den Erfolg gleichgültig ist, ob die Sonne sich nach und nach in jedem Lage weiter bewege, oder ob diese Bewegung mit einem
D

50
Mahle geschehe; so kann man bei den gegenwärtigen Untersuchungen, wo nur die scheinbare Bewegung erwogen wird, diesen Umstand noch ganz aus der Acht lassen.
H. 59-
Den spharischcn Winkel (Fig. 17.), unter welchem die Sonnenbahn den Aeguator durchschneidet, nennt mau die Schiefe der Ekliptik. Das Maß dieses Winkels ist der Bogen eines größten Kreises, der 90° von dem Scheitel bl durch die Schenkel und lVIL lauft. Der Scheitelpunkt dieses Winkels aber ist einer der Aeguinoctialpnncte. Nimmt man nun auf der Ekliptik 90° von M, so ist L der Solstitialpunct, der in -K-U am weitesten vom Aeguator entfernt ist. Zieht man nun durch die Pole des Aeguators und den Punct L einen größten Kreis; so erhalt man den Coluruö der Solstitialpuncte als einen Abweichungskreis. Mißt man nun zur Zeit der Sonnenwende, wo die Sonne in L steht, ihre Abweichung, so gibt diese die Schiefe der Ekliptik an. Als eine Mittelzahl kann man diesen Dogen 23° setzen.
Die Pole n, --- der Ekliptik (Fig. iJ.) beschreiben bei der täglichen Umdrehung des Himmels um die Pole des Aeguators die Polarkreise ün und ---U. Der Winkel l?Ln, welchen die Axen der Ekliptik und des Aeguators einschließen, ist so groß als derjenige, durch welchen die Neigung der Ebenen des Aeguators und der Ekliptik bestimmt wird.
Anmerkung. Die Schiefe der Ekliptik ist Veränderungen unterworfen, die zum Theil von der schwankenden Bewegung der Erdaxe herrühren. Für das Jahr -gio ist die scheinbare Schiefe der Ekliptik vom rsten Januar bis zum

ifien April Lz° 27' zi", dazu komme» wegen der gedachte» periodischen Bewegung 9"; voin isten April bis zum isten Juli 25° 2/50,7", wozu 9,2" kvnnncn-, von, isten Juli bis zuni isreu Oktober 25° 27^ 50,5", wozu noch 9, 5" kommen; von, istcn Oct. bis zu Ende d. I. 25027^50,5", wozu noch 9,4" kommen.
H. 40.
Ein größter Kreis, welcher durch die Pole n» (Fig. 19.) der Ekliptik und durch einen beliebigen Stern 8 am Himmel gezogen wird, heißt ein Breitenkreis. Der Bogen dieses Kreises 6 8 von der Ekliptik 6 bis an den Stern 8 , heißt seine Breite. Sie ist nördlich oder südlich, je nachdem der Stern in der nördlichen oder südlichen Hälfte der Himmelskugcl, von der Ekliptik gerechnet, liegt und kann nie größer als 90° werden. Der Breitenkreis steht auf der Ekliprik allemahl senkrecht (14.).
Anmerkung. Der Mittclpunct der Sonne ist beständig in der Ekliptik. Daher hat die Sonne nie eine Breite.
H. 41.
Man macht den Durchschnittspunct der Ekliptik und des Aequators, worin die Sonne im Frühlinge steht, zum Anfangspunkte beider Kreise, so, daß alle Abmessungen, welche vermittelst dieser Kreise geschehen, von diesem Puncte aus bestimmt werden. Auch auf der Ekliptik zahlt man von Abend gegen Morgen, nach der Ordnung der Zeichen 560° ununterbrochen fort. Der Bogen 1/6 aber, welcher von dem FlühIingSpuncte V an, bis zu der Stelle 6 gerechnet wird, wo der Breitenkreis die Ekliptik durchschneidet, heißt die Lange des Sternes 8.
D 2

52
H. 42.
Die Gegenden des Himmels, durch welche die Son- „enbahn als ein größter Kreis geführt werden muß, machen sich durch mancherlei Erscheinungen so merkwürdig, daß man auf jeder Seite derselben in einer Entfernung von zehn Graden Parallelkreise, gleichsam als gewisse Grenzlinien gezogen hat. Diesen Theil der Himmelskugel haben bereits die ältesten Sternkundigen mit Bildern besetzt, welche so wohl auf die zu gewissen Zeiten des Jahres vorzunehmenden Beschäftigungen, als auch auf die Einrichtungen der Natur, eine nahe Beziehung hatten. Der Krebs stellt auf eine sehr sinnliche Art die Rückkehr der Sonne vor, die Wage theilet dem Tage und der Nacht eine gleiche Anzahl Stunden z», der Schütze führet die Zeiten der Jagd herbei rc. In diesen Bildern findet man wohl nun noch einige Spuren eines hohen Alterthumes, und wenn gleich die Griechen späterhin alles mit ihren Nationalgötzen und Helden vertauschten; so ist doch so viel wahrscheinlich, daß sie wenigstens einige Sternbilder dieser Gegend unverändert ließen, welche sich bis auf unsere Zeiten erhalten haben. Da nun die meisten dieser Sterne mit dem Nahmen gewisser Thiere belegt sind, so nennt man diese in die gedachten Schranken eingeschlossene Himmelszone, den Thierkreis, der aber mit der Ekliptik nicht verwechselt werden muß, indem diese auf der Himmelskugel durch eine Kreislinie, hingegen der Thier- kreis, ungeachtet seiner Benennung einen gewissen, durch die oben gedachten Parallelkreise, bestimmten Raum einschließt.

J>t diesem Raume stehen die zwölf Sternbilder, welche der Ordnung nach folgende sind:
1. Der Widder v
2. Der Skier ^
5. Die Zwillinge H 4 . Der Krebs S
Z. Der Löwe N
6. Die Jungfrau nz>
7. Die Wage L-
8. Der Scorpion
9. Der Schütze T in. Der Steinbock Z
11. Der Wassermann nr
12. Die Fische X
Allein die Sonne hat zu unsern Zeiten nicht dieselbe Stellung gegen die Sterne, wie ehedem. Der Frühlingspunct lag damahls genau in dem Anfangspuncte des Widders, jetzt aber liegt er in den Fischen. Es wird daher auch gegenwärtig der Thierkreis in zwölf Theile abgetheilt, deren jeder Ic>° enthalt; allein diese Abtheilungen heißen Zeichen des Thierkreises und führen nur den Nahmen nach den Sternbildern, daher man jetzt Zeichen und Sternbilder sorgfältig zu unterscheiden hat. Man rechnet die Länge eines Sternes vom Frühlingspnncte an gewöhnlich nach der angegebenen Ordnung der Zeichen.
Anmerkung. Die bisher erklärte» Kreise mit ihren Bogen und dazu gehörigen Linien lind Puncten bestimmen die Lage, Rill)- tung, scheinbare Bewegung und Entfernung der Wcltkör- per :c. gegen einander. Dieses kann nun vermittelst derselben mit einer solchen Genauigkeit geschehen, daß nur ein einziger Punct an der ganzen Himmelskugel die jedesmahlige Beziehung auf einen der gedachten Hauplkreise haben kann. So wird die Lage und Richtung eines Sterns gegen den Horizont, durch seine Höhe und sein Azinnuh; gegen den Acquator durch die gerade Aufsteigung und Abweichung; und gegen die Eklivtik durch die Lange und

Breite so genau angegeben, baß, wie gesagt, keinem andern Puncte am ganzen Himmel gleiche Bestimmungen znkcmmicn können.
§> 45 »
Wenn man sich nun eine Kugel von einem beliebigen Durchmesser verfertiget, und alle Sterne des Himmels nach ihrer scheinbaren Größe, nach ihren verhalt- Uißmäßigen Entfernungen von einander, nebsi den dazu gehörigen, im vorigen erklärten Kreisen und Linien, aufdiefelbe aufträgt, und das Ganze mit einigen mechanischen Vorrichtungen versieht; so stellt solche eine sogenannte künstliche Himmclskugcl vor, welche man brauchen kann, sich mancherlei Erscheinungen im Kleinen deutlich, sich mit den Veränderungen und den verschiedenen Stellungen der Sterne bekannt zu machen, eine Menge nützlicher Aufgaben mechanisch auszulösen und sich dazu zu ihren Berechnungen vorzubereiten.
Anmerkung. Die älteste künstliche Himmelekugel befindet sich im Bergianischen Museum zu Veliiri. Unter den neuern künstlichen Himmclskugeln empfehlen sich die von Herrn Professor Bode veranstalteten Globi ganz vorzüglich durch genaue und sorgfältige Bearbeitung und durch Schönheit des Stiches. Man erhalt sie seit den, Jahr 1792 in der Wcigel- und Schneidcrschen Buchhandlung zu Nürnberg.
§. 44 .
Setzt man sich eine Maschine, die aus dem Horizont, Meridian und Aequator, aus den Colurcn, Wendekreisen und Polarkreisen unter solchen Winkeln und Richtungen zusammen, welche zu den gedachten Kreisen an der Himmelskugel angenommen werden; so nennt man

— 5ä -—
diese Verbindung von Kreisen eine Ringkugel. Sie hat mit der vorigen eine gleiche Absicht, dort lassen sich freilich noch die Sterne auf der Oberfläche entwerfen; allein in dieser übersieht man den innern Zusammenhang genauer und die Alten haben sich ihrer zu wirklichen Beobachtungen bedient.
§- 4-Z-
Da die Erde von allen Himmelskörpern gleich weit entfernt, und gleichsam in der Mitte zu sein scheint und man sie überdies; für eine Kugel halten kann; so kann man sich auch Kreise und Linien vorstellen, die auf ihrer Oberfläche von den Kreisen und Linien der Himmclskngel abgebildet und bestimmt werden.
Wenn man die Weltape durch den Mittelpunkt der Erde führt, so trifft sie die Erde (Fig. 7 .) auf ihrer Oberfläche in zwei entgegengesetzten Puncten, die man die Erdpo lc nennt; einer derselben, der nach der nördlichen Seite des Himmels gerichtet ist, wird der Nordpol, der andere der Südpol genannt, und die gerade Linie zwischen den beiden Polen heißt die Erdape. Es ist hier völlig gleichgültig, ob man annimmt, daß die Erd - und Wcltaxe mit einander parallel laufen, oder daß sie zusammen fallen.
H. 46.
Auch hier nennt man den Aequator denjenigen Kreis OII auf der Erde, welcher überall von den Polen gleich weit entfernt ist. Er theilt daher auch die Erde in die nördliche und südliche Halbkugel. Die mit dem Aequator auf der Erdkugel parallel-

laufenden kleinern Kreise, führen den Nahmen Parallelkreise.
Anmerkung. Dieser Kreis wird von den Schiffern gewöhnlich die Linie genannt. Auf der Erdkugel lauft er durch Africa, gehl durch die Insel» Sumatra, Bornes und Cele- bes unter Asien weg, verbreitet sich über einen großen Theil der Südsce, geht alsdann an der Grenze von Tcrra- firma, durch Südamerica und erreicht endlich, indem er noch durch das große Weltmeer geht, wieder Africa. Bei allen Einwohnern der genannten Gegenden ist zu allen Zeiten der Tag so lang wie die Nacht, woher dieser Kreis auch wohl seine Benennung haben mag. Die Sonne entfernt sich auf ihrer Bah» nicht weit von ihrem Scheitel; ain weitesten steht sie von ihnen in den Wendekreise», dann nähert sie sich ihnen wieder, bis sie zur Zeit der Nachtglei- chen über ihrem Scheitel steht.
Ein größter Kreis, der durch die Pole k, x> (Fig. 19.) und durch einen Ort k auf der Oberflache der Erde geführt wird, heißt der Meridian oder Mittagskreis dieses Ortes. Der Aequatop und die Mittagskreise der Erdkugel liegen mit den gleichnahmigen Kreisen deS Himmels in einerlei Ebene; allein die kleinern Kreise der Erde und des Himmels laufen nur mit einander parallel.
Anmerkung. Alle Puncte, die in der gedachten Hälfte des MiltagSkreiseS liegen, haben zu gleicher Zeit Mittag und alle Puncte auf der andern Halste des Mittagskrciscs haben zwölf Stunden spater Mittag. Die Miltagsflache trifft erweitert, den Meridian am Himmel und die Eulmi- nation der Sonne bestimmt für die gedachten Orte den wahren Mittag; allein sie tritt zwölf Stunden spater in

57
die andere Halste des Meridianes, daher in diesen Ge« gcndcn auch zwölf Siunden spater Mittag ist.
§. 48.
Man pflegt auch die Erde in fünf Zonen oder Gürtel abzutheilen. Es sei daher (Fig. 20 .) ein Mittagskreis und der Aequator, alsdann ziehe man in einer Entfernung von sz4 Graden vom -Aequa- tor zwei Parallelkreise 141 und 144., so sind solches die gleichnahmigen Wendekreise, und der zwischen diesen beiden Kreisen befindliche Erdstrich wird die heiße Zone genannt. Diese umschließet einen beträchtlichen Theil der Erdflache. Denn zu ihr gehört der südliche Theil von Asien, der mittlere Theil von Africa und America, ein Theil von Neuhollond; auch viele Inseln des Sädmcers, liegen in dieser Zone. Die Sonnenstrahlen fallen fast in senkrechter Richtung auf diesen Erdstrich; allein sie werden auch durch viele Umstände, z. B. durch die Länge der Nächte, durch die Lage und Höhe der Gebirge rc. sehr gemäßigt und die Erzählungen der Alten von der Unbewohnbarkcit dieser Gegenden, von der alles verzehrenden Gluth der Sonne, sind fabelhaft. Ziehet man nun in einem Abstände von 664 Graden vom Aequator zwei andere Kreise VOL, k'NV mit demselben parallel, so sind dieses die Polarkreise, der eine der arctifche oder nördliche, der andere der antarc tische oder südliche, durch beide werden die übrigen Zonen und zwar folgender Gestalt bestimmt: die beiden gemäßigten Zonen HILV und 144.6k gehen von jedem Wendekreise bis an den auf derselben Seite des Aequators befindlichen Polarkreis. Jede Zone hat

58
daher eine Ausdehnung von 4z°; eine von dem Wendekreis des Krebses bis au den nördlichen Polarkreis, und die andere vom Wendekreis des Steinbockcs bis an den südlichen Polarkreis. Diese Polarkreise schließen nun auch die kalten Zonen, in deren Mitte die Pole liegen, ein und zwar wieder, der eine, die nördliche und der andere, die südliche.
Wann nun die Sonne am Himmel ihren Stand im Aequator hat, so fallen ihre Strahlen in senkrechter Richtung auf die Ocrter des Erdaquators. Rückt sie aber weiter nach Norden fort und tritt sie endlich in den Wendekreis des Krebses, so steht sie daselbst den Einwohnern des Kreises NI zu Mittage senkrecht. Eben dieses geschiehet auch mit den Einwohnern des Kreises NU, wenn sie den Wendekreis des Stcinbockes erreicht hat. Eine dunkele Kugel kann von der Sonne oder einem andern ähnlichen Körper, allemahl nur halb erleuchtet werden. Stehet daher die Sonne senkrecht über dem Puncte I, so gehet auf der einen Seite die Erleuchtung bis an den Punct v, und auf der andern bis an den Punct 0, folglich ist die Erde um ein gam zcs Stück auf der nördlichen Seite über den Pol 1' hinaus erleuchtet; allein auf der andern Seite reichen die Sonnenstrahlen nur bis 6, und die ganze südliche kalte Zone liegt in Dunkelheit gehüllt. Daher haben alsdann alle Gegenden um den Nordpol bis au den Kreis VOL wahrend eines täglichen Umlaufes der Sonne Tag, hingegen um den Südpol bis an UNO Nacht. Wenn nun die Sonne wieder allmählig nach dem Aequator zurückkehrt, so heben sich die Gegenden um den Südpol nach und nach aus ihrer Dunkelheit,

lind die Erleuchtung am Nordpol faßt daselbst nicht mehr einen so großen Raum als vorher. Stehet die Sonne aber über dem Aequator senkrecht, so ist der Sag überall auf der Erde eben so lang als die Nacht. Rückt sie nun weiter nach Süden fort; so erfolgen auf diesir Halste der Erdkugel, alle Erscheinungen eben so als vorher auf der andern. Das Licht verbreitet sich jetzt immer mehr über den Südpol, und die Gegend um den Nordpol liegt im Dunkeln.
Anmerkung r. In der Natur sind solche genaue Grenzlinien, wie hier angenommen sind, nicht vorhanden. Der Uebergang der gemäßigten in die heiße und kalte Zone geschiehet nach und nach und die zu der gemäßigten Zone gerechneten Theile an der kalten und heißen Zone, sind auf der eiticn Seite nach Beschaffenheit der Warme und Witterung wehr zu den angrenzenden Zonen als den gemäßigten Erdstrichen zu rechnen. Tiefe Benennung käme physisch nur deni mittlern Theile derselben zu. Nach der gewöhnliche» Angabe ihrer Größe gehört dazu der größte Theil des festen Landes, nehmlich zum nördlichen beinahe ganz Nordamerika, ganz Europa, ein ansehnlicher Theil von Asien, zum südlichen Erdstriche aber ein Theil von Südamerica, der obere Theil von Africa, Neuseeland und mehrere Inseln des Sudmeercs.
Anmerkung 2. Die kalten Zonen sind wenig bekannt. Sie sind besonders nach den Polen hin, mir Eis und Schnee bedeckt. Die Dauer der längsten Tage und Nachte betragt beinahe ein halbes Jahr. In der nördlichen kalten Zone liegt beinahe ganz Grönland und die Nordkusten von Lapp- land und Sibirien. Von der kalten Zone am Nordpol sind von Reisenden bisher kaum die Grenzen berührt worden.

6c>
§. 49 -
Unter der geographischen Breite eines Ortes KV versteht man den Abstand desselben vom Aeguator, welcher durch den Bogen eines Mittagskreises gemessen wird. Die geographische Breite ist nördlich oder säd-r lich, je nachdem der Ort selbst auf der nördlichen oder südlichen Halbkugel liegt. Sie kann nie größer als 90" werben. Alle Puncte, die im Aequator liegen, haben weder eine Breite noch eine Polhöhe, weil beide Pole im Horizonte liegen.
§. Zo.
Zur Bestimmung der Langen wählt man irgend einen Meridian, als den ersten. Es ist zwar an sich völlig gleichgültig, durch welchen Punct des Aeguators man denselben legen will; allein die meisten Geographen ziehen ihn zwischen der westlichen Küste der Insel Ferro und der Stadt derselben, so, daß er genau 20° weiter nach Westen liegt, als der, durch die Pariser Sternwarte gezogene Mittagskreis. So bald man die Lage des ersten Meridianes fest gesetzt hat, so bezeichnet man durch die Lange eines Ortes U den Bogen des Aeguators ^V, welcher zwischen zwei Mittagskreisen, nehmlich den ersten und dem Mittagskrcise
des Ortes kkp befindlich ist. Man zahlt die Grade des Aeguators von Abend gegen Morgen ununterbrochen fort; oder man zahlt nur 130° auf der Morgenoder Abendseite von und unterscheidet dann die
östliche und westliche Lange.
Anmerkung 1 . Aus der Lange und Breite eines Orics laßt sich die Lage desselben, wie in der Folge gezeigt werden

soll, mit mathematischer Genauigkeit angeben, und an« diesen Angaben lassen sich alsdann größere und kleinere Theile der Erdflache mit den andern zu einer Gegend, oder zu einem Lande gehörigen Stucke, als Berge, Quellen, Flüsse -c. abbilden und zeichnen. Städte, deren Lange und Breite bekannt sind, geben z. B. die festen Puncte auf einer Landkarte ab.
Anmerkung 2. Diejenigen Bewohner der Erde, durch deren Gegenden derselbe Meridian gehl, deren Breite aber entgegengesetzt ist, wie z. B. die Gegenden von H und k (Fig. 20.), haben zu gleicher Zeit Mittag, aber entgegengesetzte Jahreszeiten. Diejenigen aber, welche an entgegengesetzten Stellen desselben MillagSkrcises unter einerlei Breite wohnen, haben einerlei Jahreszeiten, aber die Tageszeiten zahlen sie 12 Stunden spater. Auf zwei entgegengesetzte» Stellen eines Erddurchmessers wohnen.Antipoden.
Anmerkung Z. Der Aeguaior wird wie jeder andere Kreis in g6o° getheilt. Macht man auf diesem Kreise außer dem »och 24 gleiche Abtheilungen, so erhalt jede derselben Grade. Ziehet man nun durch alle Theilungspuncte des Aequators Mittagskreise, so tritt die Sonne wahrend ihres täglichen scheinbaren Umlaufes um die Erde, in einen Meridian, der 15° weiter nach Westen liegt, als ein anderer, eine Stunde spater als in diesen; in einen derzo" weiter liegt, zwei Stunden, in eine» der 45° westlicher liegt, drei Stunden spater und so früher oder spater, je nachdem der Bogen des Aequators, dcrzwischc» dem Meridian des Ortes und dem östlichen, von welchem man zu rechnen anfangt, größer oder kleiner ist. Ueberall, wo die Sonne in den Meridian tritt, ist Mittag. Man würde daher, wenn man ig° von Morgen gegen Abend in einer Richtung zurückgelegt hatte, in einem Orte, wo man ankommt, eine Stunde früher sein, als an dem, welchen man verlassen hat. Daher kommt es auch, daß Reisende, welche die Erde von

Morgen gegen Abend umschiffen, bei ihrer Zurückkunft einen ganze» Tag verkehren, und bei der cingcgen gesehen Richtung eine» ganzen Tag gewinnen.
Ferdinand Magcllan seegeltc den roten August rZig westwärts von Sevilien ab »nd kam nach seiner Meinung den 6len Seplenibcr 1522, wo er zum ersten Mahle die Erde »mschifft haue, wieder zurück; allein die Einwohner von Sevilien zahlten nicht den 6n-n, sondern 7>en September des gedachten Jahres. M. s. darüber die von Kastner in seiner Geogr. 8. 59. angeführten Verfasser.

Dritter Abschnitt,
Allgemeine Betrachtungen über die spharischen Dreiecke.
Erklärung. Ä^an nehme auf der Oberfläche der Kugel drei Puncte L und 6 (Figur 21 .) nach verschiedenen Richtungen in beliebiger Entfernung von einander an, und lege durch jede zwei und den Mittelpunct der Kugel O eine Ebene: so schließen die drei Ebenen und L66 an dem Mittelpunkte
der Kugel O und die Kreisbogen dieser Ebenen auf ihrer Oberfläche einen gewissen Raum eiu; an dem Mittelpuncte der Kugel auf eine ähnliche Art, wie die Schenkel eines Winkels an dessen Scheitclpunct, auf der Ku- gclfläche wie die Seiten eines geradlinigen Triangels auf einer Ebene. Der an dem Mittelpunct der Kugel, auf die beschriebene Art, begrenzte Raum heißt ein körperliches Dreieck und die auf der Kugelfläche durch die Umkreise der Ebenen gebildete Figur, ein sphärishes Dreieck. In diesem nennt man die Kreisbogen und L 6 oder c,k> und a die Seiten und L/^e, und oder L und e die Winkel

Bei dem körperlichen Dreiecke nennt man die Ebenen und ^06 seine Seitenflächen, die Durchschnittslinien 6^., 6L,6L dieser Ebenen, seine Seitenlinien und 6 die körperliche Ecke. Alles dieses wird sehr deutlich werden, wenn man die Zeichnung mit den körperlichen Figuren wo. I. und II. vergleicht, indem bei diesem, wie bei jenen gleichliegende Theile Lurch einerlei Buchstaben ausgedruckt sind. Aus diesen Begriffen folgt nun:
,) daß die zur Verzeichnung des sphärischen Dreieckes auf der Kugelflache gegebenen oder nach Willkühc angenommenen Puncte nicht in dem Umfange eines größten Kreises liegen können;
2) daß die Seiten des spharischen Dreieckes allemahl Theile größter Kreise einer Kugel sind, weil ihre Ebenen durch deren Mittclpunct gehen;
3) daß die Durchschnittslinien der Seitenflächen des körperlichen Dreieckes zugleich der Kugel Halbmesser sind;
4) daß der Neigungswinkel zweier Seitenflächen des körperlichen Dreieckes zugleich die Größe des dazu gehörigen Winkels im sphärischen Dreieck angebe;
5) daß jede Seite des sphärischen Dreieckes wie
ein Kreisbogen ist, der den zugehörigen Winkel
der Seitenfläche des körperlichen Dreieckes mißt;
6) daß aus jedem Winkel der Seitenfläche des körperlichen Dreieckes, allemahl die zugehörige Seite c des spharischen Dreieckes gegeben ist;
7) daß aus dem körperlichen Dreiecke das sphäri- sche und aus diesem jenes bestimmt, und daß aus der Gleichheit zweier körperlichen Dreiecke auf die Gleichheit

6Z
holt der sphärischen, wie auch umgekehrt von diesen auf jene geschlossen werden kann.
H. 52.
Erklärung. Die sphärischen Dreiecke theilt man wie die ebenen geradlinigen, sowohl in Absicht der Seiten, in gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige, als auch in Absicht der Winkel, in rechtwinklige, stumpfwinklige und spitzwinklige ein. Nur von dem rechtwinkligen sphärischen Dreiecke kann man noch folgendes merken: dieses hat entweder drei oder zwei rechte Winkel, oder nur Einen. Hat es wie (Fig. 21.) lauter rechte Winkel, so macht jede Seite 90" und es ist daher in einem solchen Dreiecke alles bekannt. Sind in demselben zwei Winkel Rechte, so sind die gegenüber liegenden Seiten 90° und von der dritten Seite weist man, daß sie das Mast des entgegengesetzten Winkels, und daß aus einem dieser beiden Stücke, welches gegeben werden muß, zugleich das andere bekannt ist. Also wird unter den rechtwinkligen sphärischen Dreiecken nur dasjenige in Betrachtung gezogen, welches einen rechten Winkel hat. Bei diesem aber nennt man die dem rechten Winkel entgegengesetzte Seite, wie beim geradlinigen, die Hyp oth enuse und die diesen Winkel einschließenden Seiten, die Katheten oder Perpendicular - oder die lothrechten Seiten.
Anmerkung. Bei der Betrachtung der sphärischen Dreiecke, welche mit einander verglichen werden, muß man sich erinr nern, daß sie allemahl auf der Oberflache einer und derselben Kugel oder auf der Oberflache gleicher Kugeln »erreich-
E

66
ncc werde». Die Kennzeichen also, aus welchen man die Gleichheit oder Ungleichheit, oder andere Eigenschaften spharischer Dreiecke herleitet, können, in so fern die gedachte Bestimmung zum Grunde liegt, von solchen spharischen Dreiecken gelten, die auf Kugeln von gleichen Halbmesser» beschrieben find.
§. 53 .
Wenn in einem spharischen Dreiecke eine Seite kleiner oder größer ist, als ein Halbkreis; so ist in jenem Falle der gegenüber liegende Winkel kleiner, und in diesem größer als zwei rechte Winkel.
Es sei 6 der Mittelpunct des Kreises L6kH. (Fig. 22 .), 6 k dessen Durchmesser, und in 6 werde die gerade Linie 6L —66 nach einer beliebigen Richtung auf dieses Kreises Ebene gestellt. Ferner lege man durch die Puncte L, 6,6 eine Ebene, welche erweitert durch den Punct k geht und beschreibe aus 6, als dem Mittelpuncte mit dem Halbmesser 66, einen Kreis, dessen Halste 6Lk ist. Endlich nehme man auf der ersten Kreisfläche ^.k6 einen willkührlichen Aus- schnitt 6 6^, der jedoch kleiner als der Halbkreis sein muß; so erhalt man, wenn man anfänglich den Kreisausschnitt L6k in Gedanken wegläßt, die beiden sphä- rischen Dreiecke ^.L6 und ^rk6L^, in jenem sind die Seiten ^-L, L6, 6^., und in diesem ^k6, 6L,
I. Ist NUN in dem Dreiecke LL6 die Seite H.6 kleiner als ei» Halbkreis, so muß auch der Winkel 6L^ kleiner als 2 k sein. Denn in welchen Punct des

Halbkreises ekk der Endpunct k der geraden Linie 6L auch fallen mag; so sind die Winkel 6-j- kkr — sk (2Z.), folglich muß allein, kleiner als 2 k sein.
II. Nimmt man nun das andere Dreieck, welches die Leiden Seiten KL und 6L mit dem vorigen gemein, zur dritten Seite aber den Bogen ^^6 hat, welcher größer als ein Halbkreis ist; so ist auch der dieser Seite gegenüber liegende Winkel ein erhabener und größer wie 2 k. Denn dieser erhabene Winkel, und der vorige eben so bezeichnete hohle Winkel machen zusammen 4 k aus. Nun war aber dieser hohle Winkel kleiner wie 2 k, folglich muß der andere größer als 2 k sein.
Zusatz 1. Aus gleichen Gründen laßt sich nun auch umgekehrt behaupten, daß, wenn ein Winkel in einem sphärischcn Dreiecke kleiner oder größer als 2 k ist, alsdann auch die gegenüberstehende Seite kleiner oder größer als 180° sein muß.
Zusatz 2. Die ungleichen Seiten ^6 und ^^6 beider sphärischen Dreiecke sind so beschaffen, daß sie einander zu 360 Graden ergänzen. Denn beide zusammen genommen bilden auf der Kugelflache den Umfang eines größten Kreises.
Zusatz Z. Verzeichnet man nun wieder den anfänglich weggelassenen Kreisausschnitt KVb', indem man OL in der Ebene 6L6 so lange um den festen Punct O bewegt, bis L den Punct k erreicht hat; so erhält man wieder zwei sphärifche Dreiecke und KLie, an welchen man in Absicht der Seiten und Winkel folgende Eigenschaften entdecken wird. Die Seite
E 2

63
^3 ist beiden Dreiecken gemein, die Seiten ^.6 und ^.3 wie auch 3 6 und 33 ergänzen einander zu 130°. Es ist demnach ^3 — 180— 3.6 und 33 — 130° — 3 6; oder wenn der Halbkreis von 180° mit ^ bezeichnet wird, so ist 33 —36 und 33 — 3 0.
Die Winkel 333 und 3 63 sind in beiden Dreiecken gleich groß, die Winkel 336 und 333 aber, wie auch die Winkel 33 6 und 33 3 ergänzen einander zu zweien Rechten; oder es ist 336 — 23 — 333 und 33 3 — 23 — 336.
Zusatz 4. Kennt man daher eines der beiden (Zus. 1. und 2.) erklärten Dreiecke; so kann man sich daraus das andere verzeichnen, und man hat nicht einmahl nöthig, Dreiecke, deren Seiten oder Winkel größer als 2 3 sind, in Betrachtung zu ziehen»
Zusatz 5. Vollendet man nun noch den zur Seite 33 gehörigen Kreis, wie die beiden übrigen, welche zu 36 und 3 0 gehören; so erhält man durch diese drei einander schneidende größte Kreise, acht sphärische, wie auch acht körperliche Dreiecke, wovon man wieder je zwei und zwei, nehmlich diejenigen, welche einander entgegengesetzt sind, mit einander vergleichen kann. Diese Dreiecke zeigen sich an dem hierher gehörigen Modell sehr deutlich.
Zusatz 6. Hat man also ein sphärischesDreieck336 (Fig.2Z.), so erhält man nach (51.Z.6.7.) das dazugehörige körperliche Dreieck 3360. Verlängert man nun die Seitenlinien desselben von dem Mittelpunkt der Kugel O aus, nach entgegengesetzter Richtung, bis an ihre Oberfläche; so erhält man das entgegengesetzte körperliche Dreieck VL3 0 und auf der Kugelflache ergibt

6g
sich durch die erweiterten, sie durchschneidenden Nei- gungsebenen, ein zweites fpharisches Dreieck vTb) welches im folgenden Satze mit dem ersten verglichen werden soll.
§» 64 »
Die Seiten und Winkel des auf die vorhin beschriebene Art auf der andern Halbkugel aus entstandenen sphärischen Dreieckes 0151°, welches durch die Bogen vk, VL und L k dreier größten Kreise begranzt wird, sind den Seiten und Winkeln des Dreieckes 4VL gleich.
Die Winkel 6 0,4 und k'OO sind Verticalwinkel, folglich einander gleich. In Bezug auf die Kreisbogen ^0 und Ok Winkel am Mittelpunkt, daher sind die Bogen L O und Ll? und aus gleichen Gründen die Bogen 40 und Ok, wie auch 4 V und OL einander gleich. Diese Bogen aber sind die Seiten der sphari- schen Dreiecke 4K0 und OLI4 Die Winkel 4L6 und OLb', desgleichen 408 und V8L, und 840 und k'OL sind die einander entgegengesetzten Flachenwin- kel und in der angeführten Ordnung einander gleich.
§» 55 »
In jedem sphärischen Dreiecke sind zwei Seiten zusammen genommen größer als die dritte, wenn jeder Winkel kleiner ist, als zwei Rechte. Die Seiten sind entweder gleich oder nicht. Ist das erste, so ist der Satz für sich klar; im andern Falle aber ziehe man des Beweises wegen in dem Dreiccke (Fjg. 22 .) die gerade Linie von 8 nach k, mache

den Winkel ll66 —ll6^. Die Linke 6X —6Q und verbinde L und mit L durch LL und llL; so sind in den gleichen Dreiecken b'OK und k66 die Seiten 1^6 und llk einander gleich, (§. 60.) und es ist (§. 25.)
kb*—IH (nach der Verzeichnung) folglich LL>Lk' —d. i.
folglich ^.LOL>v66 (§.71.) NUN ist ^.k-OL —1^66
also ^ L6L-s-66L >6 66-4-666 d. k. ^.L6L-j-66L >666
folglich ^.6-4^.6>66.
Zusatz. Auch ist begreiflich, daß die Summe aller Winkel an der Spitze eines körperlichen Dreieckes kleiner, als 4 6 ist. Denn beschreibt man in einer Ebene (Fig. 22.) einen Kreis von beliebiger Größe und ziehet aus dem Mittelpuncte 6 die geraden Linien 6^., 66, Ob' nach der Peripherie, so machen die drei Winkel ^.66 -s- 6 66 -s- 66^ — 560°. In dieser Lage aber ist es auch nicht möglich, daß die Kreisausschnitte gegen einander eine Neigung erhalten können. Sollte dieses aber geschehen, so muß wenigstens einer dieser Kreisausschnitte kleiner, folglich muß auch die Summe der gedachten Winkel kleiner, als 4 6 sein.
§. 56.
Zwei spharische Dreiecke decken einander 1) wenn sie einen gleichen Winkel haben, und die diesen Winkel einschließenden gleichnahmigen Sei-

ten in dem einen so groß sind, als in dem andern; oder 2) wenn sie eine gleiche Seite haben und die an dieser Seite anliegenden gleichnahmigen Winkel in beiden von gleicher Größe sind; oder z) wenn alle drei Seiten des einen mit den drei gleichnahmigen Seiten des andern von gleicher Größe sind.
l. Man lege (Fig. 24.) b auf L und da aufL^., so fallt, weil —da ist, a in ^ und dc aufLtü. Denn fiele d c nicht auf L 6, so fallt d c entweder innerhalb oder außerhalb der Figur, und hatte die Lage L ä oder L e. In jenem Falle Ware der Winkel bei d kleiner und in diesem größer als bei L und beides ist der Voraussetzung entgegen, folglich fallt dc auf L6 und c in 6. Durch die drei Puncte 6 und den Mittelpunct der Kugel, kann aber nur eine Ebene gelegt werden, deren Umfang ein größter Kreis ist, wovon ein Theil zwischen und 6 und weil mit a und 6 mit c zusammenfallt, auch zwischen a und c liegt, folglich ist der Kreisbogen ^6 als eine Seite zu betrachten, worin ^0 mit ac zusammenfallt. Folglich fallen alle Seiten beider Dreiecke zusammen, d. h. sie decken sich.
H. Man lege die gleiche Seite beider Dreiecke so auf einander, daß ac auf ^.6, a auf ^ und c auf 6 fallt; so wird weil und 6 —c, da gegen ac eben die Lage haben, wie gegen -K.6 und dc gegen sc eben die Lage als L6 gegen L6, und weil da und ca, wie auch LH. und 6^. größte Kreise

einer Kugel sind, so wird unter den angeführten Umstanden, da uc auf 5 D gelegt ist, da auf und b c auf U6 liegen, d. h. die Dreiecke werden einander decken.
III. Da die Seiten beider Dreiecke lauter Bogen größter Kreise einer Kugel sind, zwischen zwei Puncten aber nur allemahl ein größter Kreis möglich ist, deren Ebene der Lage nach dadurch, daß sie auch durch den Mittelpunct der Kugel geht, völlig bestimmt ist, so muffen die Seiten dieser Dreiecke einander decken. Folglich schließen sie gleiche Flachenraume ein und haben bei ^ und a, L und d, 6 und c gleiche Winkel, welches auch von den vorigen Fallen gilt,
H. 57.
In zwei spharischen Dreiecken sind zwei Seiten nebst einem Winkel oder zwei Winkel nebst einer Seite gegeben, doch so, daß in jenem Falle der Winkel einer der gegebenen Seiten, in diesem die Seiten einem der gegebenen Winkel gegenübersteht; nun ist die Frage, ob deshalb auch die übrigen Bestimmnngsstücke in beiden Dreiecken von gleicher Große sein müssen oder nicht?
Die Beantwortung dieser Fragen laßt sich aus folgenden Betrachtungen herleiten:
I. Es sei 6 (Fig. 25.) der Mittelpunct einer Kugel, auf deren Oberfläche das Dreieck verzeichnet ist. Nun werde durch 0 und L und einen Punct o

des Bogens L6 eine auf ^66 lothrecht stehende Ebene 6LO geführt (266.); so schneidet selbige die Ebene H.66 in 6O und bildet mit ihr die rechten Winkel LO6 — Von v aus schneide man den
Bogen OL ab, so, daß OL — O6 werde, und lege durch die Puncte L, 6 und L eine zweite Ebene L6L; so ist
vr> —Lv
v 6 — vL nach der Verzeichnung und W. LVL —LV6 —k
folglich das Dreieck LvL — LO 6. Nun vergleiche man die beiden Dreiecke L^.6 und mit einander, so ist zwar
—allein es ist ^.6 > LL^LLund ^.L6>^LLtlNd
^.L^6 —UN-i-^.LL.
Dieser beiden Winkel Ungleichheit erhellet daraus, weil 2U(2Z.) —-j-LLL. Da nun LL auf -L.6 nicht lothrecht steht; so können diese beiden Winkel und L6^e nicht von gleicher Größe sein. Es lassen sich also aus zwei Seiten und dem Winkel, der einer der gegebenen Seiten gegenüber liegt, zwei verschiedene Dreiecke zeichnen und es sind also. die gegebenen Stücke zur Bestimmung eines Dreieckes nicht hinreichend.
II. Man drehe (Fig. 26.) 6^. und 6L um 6, bis und L den Punct k erreichen, 6 L in der Ebene 66 L und OL in der Ebene 6 6^.; so schließen die Bogen L k' und eben den Winkel bei k ein, welchen L6 und ^6 bei 6 mit einander machen, und es

ist also -er Winkel k' —6. Ferner werde durch H, 6 und einen Punct des Bogens LL auf k'LO eine loth- rechte Ebene gesetzt, und gemacht;
so ist ^ H.VL — k und das Dreieck
^VL. Folglich der Winkel ^Lv — ^.Lv. Nun ist auch —weil jeder, von den beiden vorigen gleichen Winkeln, ein Nebenwinkel ist. Daher ist in den beiden Dreiecken ^L6 und der Winkel LIH ^ H.LL und die Seite
Da nun die beiden Seiten sind;
so können sie nur in dem Falle gleich groß sein, wenn jede einem Quadranten gleicht. Alsdann aber macht auch jede der Seiten k'O und VO einen Quadranten aus. Zöge man nun VL und VL von vk' und VO ab; so hatte man die gleichen Seiten und LL und die Dreiecke und ^L6 bestanden aus lauter
gleichen Seiten und Winkeln. Ist aber kein Quadrant, so ist auch folglich auch k'v nicht 90°, also sind alsdann und VL, mithin auch IH und LL von ungleicher Größe.
§. 58 .
In einem sphärischen gleichschenkligen Dreiecke sind die Winkel an der Grundlinie einander gleich.
Man schneide von den gleichen Schenkeln 6L (Fig. 27.) die gleichen Bogen LL und Lv ab, und ziehe zwischen 6 und L, und ^ und v die Bogen der größten Kreise derjenigen Kugel, worauf das Dreieck verzeichnet ist; so sind die Dreiecke und

6 8L, wie auch ä-LL und ä-ve einander gleich. Jene, weil
VL und ^.LL6"VL^. folglich
^^LV-^LLL (56.)
also —L6 und
L6L —L^.v. Diese, weil 6L —
— LO indem — LL —L6 — Lv 6
folglich das Q ^ L 6 — L v ^ (56.)
also L^.6—V6^. oder L^.L—L6^>
Zusatz. Ist daher ein spharisches Dreieck gleichseitig, so ist es auch gleichwinklig.
§. 59 .
Sind in einem sphärishen Dreiecke die Winkel an der Grundlinie einander gleich, so sind auch die, diesen Winkeln gegenüber liegenden Seiten, einander gleich und das Dreieck ist gleichschenklig.
Denn man mache ^ 6V und ziehe wie im vorigen §. die Kreisbogen und 6L, so sind die Dreiecke und wie auch LLL und ^VL
einander gleich. Jene, weil der Winkel

76
nach der Zeichnung
-V6 —^,6
folglich ^ ^ LL — LO ^ und
/.^L6^6V^. Diese, weil
LL6 —Lv^ als Nebenwinkel der vorigen L 6 — wegen der Gl. der vorigen ^ LL —VL folglich
QLLL —Ll)^ also
LL —Lv und da —O6, so ist auch
LL-j-^L-^LV-i-ve, d. i.
Zusatz. Also hat ein gleichwinkliges spharischeS Dreieck lauter gleiche Seiten.
§. 6c>.
Im sphanschen Dreiecke liegt dem größer» Winkel die größere Seite, und der großem Seite der größere Winkel gegenüber.
I. Es sei (Fig. 23 .) der Winkel L 6 ^. > L ^ 6, so muß bewiesen werden, daß >L6 sei. Man führe eine Ebene durch 0 6 und bringe sie alsdann in eine solche Lage, daß die Winkel 0 6^. Und O^6 einander gleich werden; so wird das Dreieck ^V6 gleichschenklig und V6 —sein. Setzt man nun zu beiden Schenkeln den Bogen LO; so hat man —
Lv-s-O6 d. i. --Lv-s-V6. Nun ist aber LV-^V6>L6 ( 55 .), folglich auch >L6.

77
H. Ist nun die Seite ^.8 > 80 ; so muß der Winkel ^,08 > 8^0 sein. Denn Ware der Winkel ^08 nicht größer als 8^.0, so. müßte entweder ^ 08 ^ 8^.0 oder ^08 < 8^0 sein. Aus jener Annahme würde gegen die Voraussetzung folgen, daß 08 — ^8 und aus dieser, daß 08 > ^8 sei, welches mit der Voraussetzung ebenfalls nicht bestehen kann.
H. 6i.
Aufgabe. Auf der Oberfläche einer Kugel ist ein sphärisches Dreieck von bekannter Lage und Größe verzeichnet, man fragt, wie man auf eben dieselbe Flache ein anderes auftragen könne, besten Seiten die Winkel des gegebenen, und dessen Winkel die Seiten des gegebenen Dreieckes zu igo" ergänzen.
Es sei (Fig. 29.) ^80 das gegebene Dreieck, so gebe man jeder der drei Seiten eine Lange von 90°, d. h. man mache aus ^8, ^ck —90°, aus ^.0,
— 90°, aus 80 , 85 — 9 c>°, aus 8^., 8§ — 90°, aus 0 ^., 08 90° und aus 08 , OK --- 90°. Legt
man nun durch den Mittclpunct der Kugel und durch jede zwei Puncte ci und e, k und §, 8 und k eine Ebene; so bilden diese drei Ebenen auf der Oberfläche der Kugel drei größte Kreise (Z.), welche einander schneiden (10.) und das Dreieck adc mit den verlangten Eigenschaften darstellen.
I. Da nun die Kreisbogen a 8 und a c in a einander schneiden; so ist von allen Puncten der äs, folglich auch von a und aus gleichem Grunde 8 von

78
allen Puncten der k§, folglich auch von a gleich weit enk^rnt/ d. h. es ist a^-^aL —90°. Also ist a der Pol des durch laufenden Kreises. Aus gleichen Gründen sind die Durchfchnittspuncte 6 und c Pole der Kreisbogen LL und ^6. Daher ist av — all-^ 06^90°, folglich all-s-co — lgo°. Es ist aber all -j- ce " all -j- lls -s- llc oder " lls -j- (llc -s- lla)
lls -f- ac, folglich lls -j- ac — igo°. Es ist aber lls das Maß des Winkels ^ und ac eine der Seiten des gesuchten Dreieckes, folglich kann man ^ für lls setzen und es ist ^.-f-ac— Igo°. Eben dieses laßt sich anch von L-j-ad und L-f-bc beweisen, d. h. es ist L-s- ak — Igo° und O-f-bc igo°. Also ergänzen die drei Seiten ac, ad, ca die drei Winkel L und 6 zu r8°°.
II. Es ist der Kreisbogen -L.ll —L§ — 90", folglich ^.ll-j-Lg —igo°, es ist aber ^ll-s-LZ —^.ll -f- oder >—^ ^ ll -f- ^.IZ —j— ll^.
Allein ll§ ist das Maß des W. das oder a, folglich ist ^L-s-a^igc>° und aus gleichen Gründen Ir6-j-k — 180° und iZo°. Es ergänzen also die
Seiten des gegebenen Dreieckes, die Winkel des gesuchten zu 130°.
§. 6s.
Erklärung. Ein Dreieck wievLksFig.Zo.) wird in Hinsicht auf das Dreieck >KLL ein Supplement oder Polardreieck genannt. Da aber auch das Dreieck OLk' gegeben, und das andere gesucht werden kann; so heißt jenes in Hinsicht auf dieses ebenfalls das Supplementdreieck. Denn es sind die Seiten und

Winkel des Dreieckes die Supplemente der Winkel und Seiten des Dreieckes OLd'.
§. 6z.
Die Summe aller Winkel eines spharischen Dreieckes ist größer als zwei, und kleiner als sechs Rechte.
I. Man verzeichne (Fig. Zo.) nach den Vorschriften der vorhergehenden Aufgabe das Dreieck OLk, zu dem gegebenen so ist —
2K— Lb'unde —2K— vk. Daher ist -s-6^6k —(OL-s-Lk'-j-b'r)), folglich ch- e < 6 n.
n. Da die Seiten VL-f-Lb' -s-r'v < 4k sind, so müssen die Winkel ^-s-L-j-L^Lk sein.
§. 64.
Gleichwinklige spharische Dreiecke sind einander gleich.
Wenn in den beiden Dreiecken (Fig. Zo.) LL6 und sd c der Winkel — a, L k>, 6 — c ist, so muß auch die Seite LL — 3 c, —ac und
2 3 sein. Denn man verzeichne für und s 3 c nach den Vorschriften der Aufgabe (61.) die Dreiecke OLL' und clek; so ist die Seite OL —Igc>°—— a^r äe, die Seite Lk—iZc>°—L ^ lgc >°—3 —ek und die Seite l?O — 130° — 6 — 13»° — c — (cl. Also sind die Seiten der Dreiecke VLk' und äek, folglich auch ihre Winkel gleich, d. i. und
Nun ist aber v-j-^c---r Lo°---cl-s-2c', L

go
-si-^ igo^ — 6 -f- all und l?-f- L O I go^ k -f-lio; also sind die Seiten der Dreiecke ^L6 und skü auch einander gleich und beide von gleicher Größe.
§. 65»
Aufgabe. Den Flächeninhalt eines jeden sphä- rischen Dreieckes zu berechnen.
Es sei LL6 (Fjg. Zi.) das gegebene Dreieck, dessen Inhalt O gefunden werden soll und L, 6 die Winkel desselben; so drucke man diese Winkel aus dem Halbmesser durch die Verhaltnißzahlcn in Bezug auf den durchs Längenmaß bestimmten halben Umfang 5,14159... aus. Dann ziehe man ^ von der Summe der drei Winkel ab, und endlich multiplicire man diese Differenz mit dem Quadrate des Halbmessers der Kugel. Ist dieser — i-, so ist d- — r- -j- L -f- 6— ^.)
Die Figur (51.) stelle die beiden Halsten einer Kugel und und OLO den Kreis auf ihrer
Oberfläche vor, wodurch sie von einander getrennt werden. Nun zeichne man sich zu dem Dreiecke 7VL6 das damit zusammengehörige gleiche, aber auf der andern Seite liegende Dreieck OIH; so sind Od' und LI? die verlängerten Schenkel von Lv und LL, welche in L ihren Scheitelpunct haben und sich in ^ zum zweiten Mahle schneiden. Ist nun die Größe des gegeben und r der Halbmesser der Kugel; so wird der zwischen den beiden Halbkreisen enthaltene Flachenramn nach (21.) gefunden. Auf dieselbe Art bestimmt man nun den Flachenramn zwischen und
Bezeichnet man nun die Anzahl der Grade von den Winkeln

kein 8/46, 86i4 und ^486 —V 8 X ( 19 .) durch a, a und d die respcctiven vorher bemerkten Flächenraume aber durch I-, M und und den gesuchten Flächeninhalt des Q ^486 durch I?; so ist die getrennte Oberfläche — der ersten Halbkugel d. i.
4X —t4 8 L6t4-j-6/48,8 6-^48 6-s-8OXL8
—148 6 d. i.
— 8-s-lVk—-X-j-N — X ^x —8-j-kk-j-Xl — 2 X; oder 2 X 8 -s- lV4 ^ X. Nun ist aber
Sar'T-- 2br"!7- 2cr"!>'
X —
i4I —
igo igo igo
und die Oberfläche der Halbkugel, d. i. ^X — 21 - Setzt man nun diese Ausdrücke für einander, so hält man
er-
oder
a ^ ki ^
(— -!- — -h-
ViZa ^ igo ^
X r'(tV-j-L-j-L —Tl-); wenn man nehmlich die Winkel in der obigen Bedeutung nimmt.
Es sei z. D. ^48 6 ein sphärisches Dreieck auf der Erdkugel und a — 8 r° 12 ^, b — 120 ° 2 c/ und 0 — 79 " 51 ', so ist
— 8r° 12 ^. Z,i4i5S ^ 487^ . 5, 14 .»
igo " igo" Ivgoch
2c>Z » Z,i4 »» 45»
1,417206. Bedient man
sich dazn der Lamb. S- 29 angeführten Tabelle, s»

82
find
ISO"
so'
2,094395
58-7
also
ISO so' A-
igo
97 '
5 »'
2,i002l2 und
— ',69^969
— i 45 i 4
— 290
also -— —
97 ° 51' ^
r,7o73oZ
igo igo
Folglich — (1,417206 -s- 2,100212 -j- 1,707305
— -r) 360^
(5,225221 — ---) 360- (5,225221 — 5,14...) 360- — 2,03562.360^ — 1541045,552.
Anmerkung. In der zweite» Abtheilung des Mö 11 nicht scheu Lehrbuches der Mathematik finden stchindemS. 112 angeführten Beispiele verschiedene Fehler. Die Differenz zwischen 4,558 und 5,142 ist nicht 1,595, sondern 1,596. Nimmt man aber auf diesen Tauscndthcil keine Rücksicht; so ist doch das Product (unfehlbar durch eine» Druckfehler) einstellt und es muß 10517.420 anstatt 1021742a stehen. Endlich ist auch die Abtheilung unrichtig angegeben, das Einheirszcichcn muß nicht nach der 7 und 10517,420 sondern nach der 2 und also 10)1742,0 geschrieben werden.

Vierter Abschnitt.
Von den rechtwinkligen spharischen Dreiecken.
§. 66 .
L e h n s a ß.
Wenn man von einem beliebigen Puncte (Fig. Zs.) 8, über einer Ebene zwei gerade Linien 8 0 und 88 zieht, deren jene 80 auf der gedachten Ebene, diese 88 auf einer in dieser Ebene gezogenen geraden Linie senkrecht steht und man alsdann die beiden Puncte O und 8 durch 0 8 zusammenziehet; so steht diese Verbindungslinie auf senkrecht.
gesetzt V8 stände nicht senkrecht auf 6^, so kann man durch 8 eine andere gerade Linie etwa wie 88 auf -V6 senkrecht ziehen. Nun lasse man aus 8 den Perpendikel 8? auf 88 herab; so steht diese 8 8 und der Annahme gemäß auch 8v auf der Ebene 68 senkrecht. Beide aber sind aus demselben Puncte
F a

auf66 herabgelassen; dieses aber ist unmöglich (§.2Z,. Auf. 5.); folglich kann auch L6 auf ^6 nicht senk- recht stehen.
Zusatz 1. Legt man nun durch Lv (Fig. 55.) eine Ebene 1)66, welche die andere ^66 in 60 durchschneidet; so steht jene auf dieser senkrecht (§. 261.). Beschreibt man nun mit dem Halbmesser 6^ — 66, die beiden Kreisbogen ^.6 und L6, so pflegt man auch zu sagen, diese beiden Dogen schließen bei 6 einen rechten Winkel mit einander ein, welches also eigentlich nichts anders heißt, als die durch diese Bogen und den Punct 6 gelegten Ebenen stehen auf einander senkrecht.
Zusatz 2. Legt man nun durch v, 6 eine Ebene und beschreibt alsdann mit dem Halbmesser ^,6 den Kreisbogen so erhalt man dadurch das (Z,.) beschriebene körperliche Dreieck ^666, welches mit dem rechtwinkligen spharischen ^L6 zusammengehört, dessen Seiten und Winkel sich wie eines jeden spharischen Dreieckes überhaupt in Graden, Minuten rc. angeben lassen.
Zusatz Z. Stehen aber die beiden Ebenen ^.66 und L66 auf einander senkrecht und laßt man alsdann aus einem beliebigen Puncte L einen Perpendikel auf den gemeinschaftlichen Durchschnitt 6 6 beider Ebenen herab; so liegt dieser Perpendikel L O ganz in der Ebene L66. Der Endpunct O des Perpendikels LO liegt im Durchschnitte 6 6, dieser in der Ebene L66, worin der Punct L liegt und die zwischen den beiden Puncten L und v gezogene gerade Linie, liegt ganz in der Ebene L66.

§. 67 .
In jedem rechtwinkligen sphärischen Dreiecke, verhalten sich die Sinus der Seiten, wie die Sinus der diesen Seiten gegenüber liegenden Winkel.
Man ziehe aus den Scheitelpunkten der Winkel (Fig. 55.) K, 6 nach 6 dem Mittelpuncte der Kugel, auf deren Oberfläche man sich das rechtwinklige Dreieck ^L6 verzeichnet hat, die geraden Linien 6^, 6L, 6 6; so sind selbige Halbmesser der Kugel und zugleich Durchschnittslinien der durch die Winkelpuncte L, O und den Mittelpunkt 6, gelegten Ebenen. In 6^. schneiden sich die Ebenen L6^ und 6 6^, in 6L die Ebenen ^61» und 66L und in 66 die auf einander lothrecht stehenden Ebenen ^66 und L66. Alle drei Ebenen aber bilden am Mittelpunkte der Kugel 6, das zu 6 gehörige körperliche Dreieck L 6>V6.
Na. !V.
Nun lasse man aus dem Puncte L zwei gerade Linien 1k O und 1,6, jene auf die Ebene 6 6^, diese auf der in dieser Ebene befindlichen Durchschnittslinie 6^v der beiden Ebenen L und 66^. lothrecht herab; so trifft jene, weil beide Ebenen auf einander senkrecht stehen, auch den Durchschnitt 6 6 der Ebenen L66 und 6 6^. in v; folglich ist LLV der Neigungswinkel der beiden Ebenen V6^. und 66^, welcher die Größe des sphärischen Winkels L^.6 ausdruckt. Ferner ziehe mau VL, so ist VL senkrecht auf 6 7k. und LL, Lv und VL schließen ein ebenes, geradliniges, rechtwinkliges Dreieck LOL ein.

86
Endlich ist Lv der Sinus des L6O im rechtwinkligen Dreiecke LVO oder des Bogens LL, durch welchen der gedachte Centriwinkel gemessen wird, d. h. es iss LO — sin L 6 6 — siri L 6 — sin n und aus gleichem Grunde LL —sinL6L —sinL^.r^!sin c. Im rechtwinkligen Q LLO aber verhalt sich LL ! Lv — r: sili LLO oder nach obiger Bezeichnung
srric : sins — r : sin ^, weil LL.O —L oder
sin c : sin n : sin (F. 91.) oder
r: sinc — sin ^: sin L. Aus diesen Gründen iss auch r : sin c — sinL : sin d und daraus
sin ^ : sin a — sin L : sin d.
Anmerkung 1. Bei dem rechtwinkligen ist ^ der
Winkel an der Grundlinie, welcher von der Hypoihenuse c und der Grundlinie t> eingeschlossen wird. Diesem Winkel steht die lothrcchle Seile a gegenüber.
Anmerkung 2. Nimmt man in dem rechtwinkligen spharir scheu H 6 L den (schiefen, nicht aber den rechten) Winkel an der Grundlinie ^ und die gegenüber stehende Seile », oder den und die gegenüberliegende Seite K und vergleicht damit in beiden Fallen die Hypoihenuse c; so lassen sich die drei Stücke s, ^ und c oder t>, R und c so mit einander verbinden, daß aus zwei derselben, allemahl das dritte gefunden werden kann. Unterscheiden wir also die gegebenen Stücke von dem gesuchten: nehmlich aus
s, c wird gesucht oder aus b, c wird gesucht U c — — a — — V
-I — — 0 u, h — — c
so ergeben sich folgende Proportionen
1) sin c : sin s — r : sin L.» ss) sin 0 : sin l> — r : sin V
2 ) r : sin s — sin c : sin .1. Z) 1 : sin U — sinc : sin d
g) sin ^: sin r: sin c. 6) sin I): sin L — r : sin c.

87
§. 6g.
Im rechtwinkligen sphärischen Dreiecke, verhalt sich der Halbmesser *) zum Sinus der einen loth- rechten Seite, wie die Tangente des an dieser Seite anliegenden schiefen Winkels, zur Tangente der andern lothrechten Seite.
Denn im 8V6 (Fig. ZZ.) ist 81) — 6 v. tari§8 6v und im Q 8LV ist 8O — OL. tun§ DLL
Folglich 6 v. MUA 8 6 O O L. MNA O L 8.
Also 6V : OL OL8:MNA86O.
Allein es verhält sich auch 6V:VL —r:sinv6L folglich auch r : sin O 6 L MUA vL 8: tariA 8 6V
oder r: sin d — dang ^: rang a. Nach der angenommenen Bezeichnung
Zusatz. Nimmt man anstatt 6 die andere loth- rechte Seite a und anstatt des Winkels ^ den andern schiefen Winkel 8, so laßt sich aus denselben Gründen folgende Proportion beweisen. Es verhalt sich r:sin a rang 8: rang k>.
Anmerkung. Auch hier stehen, wie schon im vorigen Z. bemerkt worden ist, die drei Stucke a, k>,-V oder a, d, N in einer solchen Verbindung, daß man aus zweien allemahl das dritte finden kann. Man bestimmt daher aus a und l> die Größe desgl. aus a und k> die Größe L n und ^ — — d; -- und N — — l»
^ und b— — »; L und k>— — »
') Der Halbmesser steht hier und in den folgenden Sagen, der Kürze wegen für den Halbmesser der Tafeln oder SinusioluS.

— 88 — mich den Propeetioncn:
1) sin b : — cr; s :
2) 1° ä. : cg s — r' : sin Ii z) r : sin d — kA ^ L
§. 69.
In jedem rechtwinkligen spharischen Dreiecke, verhält sich der Halbmesser, zu dem Cosinus einer lochrcchren Seite, wie der Cosinus der andern, zu dem Cosinus der Hypothcnuse.
Man wird sich sehr leicht von der Wahrheit dieses Satzes überzeugen können, wenn man das mit dlc>. V. bezeichnete Modell bei dem Beweise zu Hülfe nimmt und die, durch gleiche Buchstaben ausgedruckten Kreisbogen und Winkel der Figur, und des Modelles mit einander vergleicht.
Man verzeichne das rechtwinklige sphärische Dreieck H.V6 (Fig. 54.) und verlängere dessen beide Seiten und so weit, bis jede derselben einem Quadranten gleicht, d. h. bis L, ^6 bis O, so dasi ——90°; so bildet der durch O und L geführte größte Kreis mit den Quadranten und rechte Winkel (17. Zus. 4.). Die Dogen L6 und V L, welche auf - 4 .O senkrecht stehen, schneiden sich in dem Pole des Kreises (17. Zus. 5.). Folglich ist auch 0^^290°.
Die Kreisbogen LL, Lll und Lb' bilden ebenfalls ein sphärishes Dreieck, worin die Seiten VL und Lll einen rechten Winkel einschließen. In einem rechtwinkligen Dreiecke aber verhält sich
sin LI': §iu LL — r: LÜ1 1 * (67). Nun ist
H sina: r — t» k : t- L
5) v: sin a — rg 6 : lA I,
6) rg L : rg b — r : sin L.

89
L k' die Ergänzung des Bogens HL zu 90 ^
LL die Ergänzung der Hypothenuse zu ga°
k oder GO die Ergänzung des Bogens zu 90 °. Also ist
sin L b' — cos kl 6 — cos n, sin II17 cos ^ L — cos c,
sin k'cos G — cos d. Druckt man nun die Glie« der der obigen Proportion durch diese Cosinus aus; so erhält man Statt ihrer: cos n: cos c — r: cos b oder
, : cos I, — cos n : cos c oder
r : cos n cos d : cos c.
Anmerkung. Man siehet aus dem geführten Beweise leicht ein, daß wenn von den drei Stücken a, b und c zwei gegeben sind, das dritte durch eine bloße Versetzung der Glieder der obigen Proportion gefunden werden kann.
§. ?o.
In einem rechtwinkligen sphärischen Dreiecke, verhalt sich der Halbmesser, zum Cosinus einer lothrechten Seite, wie der Sinus des anliegenden Winkels, zum Cosinus des entgegengesehen Winkels.
Das Dreieck LLb' ist rechtwinklig, daher verhalt sich in demselben r : sin LI? — sin 17 L17: «in 17 17 Es ist aber LLl-- —
sin L17 — cos L G — cos n und
sin k17 — cos 17O — cos Folglich ist
1 : cos u — sin L : cos

Zusatz. Die Nichtigkeit dieses Satzes erhellet aus eben den Gründen, wenn man anstatt s die Seite i, nimmt, nur muß man alsdann auch v für ^ und ^ für L schreiben, und die Proportion auf folgende Art ordnen: r: cos d " siri ^: cos L. Hieraus lassen sich eben so wie vorher noch sin ^ und cos d aus den übrigen Gliedern der Proportion bestimmen.
Anmerkung. Es laßt sich leicht einsehen, daß sich aus diesem Sage, auf eine ähnliche Art wie in (6g.) mit gehöriger Verwechselung der beiden lothrcchicn Seiten und anliegenden schiefen Winkeln, sich ähnliche Proportionalsaize zur Auflösung derjenigen Aufgabe» herleiten lassen, in welchen aus zwei gegebenen das dritte Stuck gefunden werden soll. Ein Gleiches gilt von den beiden folgenden Salzen, welche ich hier anführe, um das Gesagte nicht noch einmahl zu wiederholen.
§.
In einem rechtwinkligen sphärischen Dreiecke verhalt sich der Halbmesser, zur Cotangente eines der schiefen Winkel, wie die Cotangente des andern, zum Cosinus der Hypothenuse.
Es sei (Fig. 54.) das rechtwinklige sphari- sche Dreieck, dessen Hülfslinien eben so wie vorher ausgezogen sind; so verhalt sich in dem Dreiecke LllL Nach (6g.) r : siw LL — lang LLll : tunZ L k'.
Nun ist aber sin LL ^ cos cos c WWA LL— WIIA ^ L 6 ^ WNA L und tunA Lk — cor LO cor ^ folglich

verhält sich r : cos c ^ tMF l) : cor^ oder
r: tgngL — cos c: cot.4, (§. i66.) allein es verhält sich r: tsnz L — cor L : r
folglich cot L : r — cos c : cot^. oder I: cotL — cot : cos c oder r: cotH. ^ cotL : cos c.
§. 72 .
Im rechtwinkligen spharischen Dreiecke verhalt sich der Halbmesser, zum Cosinus des einen schiefen Winkels, wie die Cotangente der anliegenden lothrechten Seite, zur Cotangente der Hypotenuse.
Denn in dem rechtwinkligen Dreiecke kLL verhält sich
r : sin Lk' — tariA : lang L L (6g.)«
Es sind aber «in Lle — cos LO — coseV
— tMA 6 O — cot ^ 6 — cot d> tsug L L cot L ^ cot c. Folglich
verhalt sich r : cos cot d : cot c.
Zusatz. Man kann in diesen Proportionen auch überall L für H. und a für k> schreiben, so daß r:cosL co>-I: cot c. Die Cotangenten aber verhalten sich umgekehrt wie die Tangenten, daher laßt sich dieser Satz auch so ausdrucken:
r: cos ^ — tiinA c: tMA d. Auf dieselbe Art kann man auch die andern Proportionalsätze verändern.

§. 75 -
Aur leichtern Uebersicht der vorgetragenen Satze rechtwinkliger spharischcr Dreiecke, kann man jede Proportion in eine Gleichung verwandeln. Man erhalt daher eben so viel Gleichungen als man Proportional- satzc hat. Indessen kann man selbige auf sechs Haupt- gleichnngcn bringen, die sich in eine einfache Regel zusammen fassen und so dem Gedächtnisse leicht einprägen lassen.
Die sechs Hauptgleichungen, die sich aus den gefundenen Proportionen herleiten lassen, sind folgende:
I) sin L sin sin c : r (67.)
II) cos L—sin H.. cosd:r (70.)
III) cos c — cos .1. cos d : r (69.)
IV) cos^I —tunAl,. cotc:r (72.)
V) sind —UinAg. coc^.:r (6g.)
VI) cos c — cot^. cocL : r (71.)
Setzt man nun den Halbmesser r 1 und nimmt man anstatt der lothrechten Seiten, ihre Ergänzungen zu 90°; so ergeben sich daraus folgende Gleichungen:
l) cos (90" — a) — sin sin c.
L) cos L — sin sin (90° — U).
Z) cos c — sin (90 "—s) sin (90 — v).
4) cos ^ — coc (90° — k>) coc c.
5) cos (90 — d) — cot (90° — s). cük
6) cos c — coc cor L.
In diesen sechs Gleichungen hat man dadurch, daß man von den lothrechten Seiten ihre Ergänzungen genommen hat, den Vortheil erreicht, daß die gesuchten Größen durch lauter Cosinus und die gegebenen in den

drei ersten Gleichungen durch lauter Sinus und in den übrigen, durch lauter Cotangenten ausgedruckt werden. Unterscheidet man nun die Theile des rechtwinkligen Dreieckes mit Weglassung des rechten Winkels bei O so von einander, daß man die gegebenen Stücke, welche nicht unmittelbar an den gesuchten Stücken lie- gen, indem zwischen jenen und diesen noch eine Seite oder ein Winkel befindlich ist, durch den Ausdruck getrennte Großen; diejenigen gegebenen Stücke aber, welche unmittelbar an dem gesuchten liegen, ohne daß zwischen jenen und diesem ein Winkel oder eine Seite befindlich ist, durch den Ausdruck anliegende Größen und nennt man alsdann das gesuchte Stück selbst die mittlere Größe; so ergibt sich für alle Gleichungen rechtwinkliger spharischer Dreiecke folgende Hauptregel: Der Cosinus der mittlern Größe ist dem Pro ducke aus den Sinus der getrennten Größen und dem Producte aus den Cotangenten der anliegenden Größen gleich. Diese Regel wird von ihrem Erfinder die Nep ersehe Regel genannt.
§. 74 .
Da nun die Regeln zur Auflösung rechtwinkliger Dreiecke vorgetragen sind; so muß man nun noch auf den Umstand Rücksicht nehmen, daß zu ungleichen Winkeln dieser Dreiecke nicht selten gleiche trigonometrische Linien gehören, wenn gleich überall die Voraussetzung zum Grunde liegt, daß die Winkel nicht größer als zwei Rechte sein dürfen. Nach den Vorschriften der Auflösungen aber erhalt man bei allen Dreiecken einen

Proportionalsatz, in welchem die drei ersten Glieder völlig bekannt sind. Daher muß man an die gegebenen Stucke zugleich die zufälligen Bedingungen ihre Lage und Beschaffenheit knüpfen, selbige durch die vorgesetzten Vorzeichen -j- oder — ausdrucken und daraus das Vorzeichen des vierten Gliedes bestimmen. Auf diese Art wird die Zweideutigkeit in den meisten Fallen glücklich gehoben, nur in einem Falle ist es noch ungewiß, wie der Bogen beschaffen sein muß und dieser findet alsdann Statt, wenn das vierte Glied ein Sinus und zwar der Sinus der Hypothcnuse ist und diese aus zwei gegenüber liegenden Stücken, den rechten Winkel nicht mitgerechnet, und der in den folgenden Untersuchungen immer aus der Acht gelassen werden soll, zu bestimmen ist. Der Grund davon ist der, weil der in (§. 57.) angeführte Satz — nach welchem, aus zwei Winkeln und einer Seite, zwei und nicht ein Triangel bestimmt werden kann, wenn nehmlich die Seite, dem einen der gegebenen Winkel, gegenüber liegt — auch, auf das rechtwinklige Dreieck ausgedehnt ist. Zu mehrerer Deutlichkeit darf man nur noch die beiden rechtwinkligen spharischen Dreiecke (Fig. 40 .) ULO und xLv betrachten. In beiden ist —
LOp —U, und Lv —Lv welche den Winkeln U und x gegenüberliegt, aber darum sind die beiden sehr verschieden, wenn xv un-^-kv ist.
Um nun zunächst die vorigen Falle leichter zu bestimmen, muß man diejenigen Umstände erwägen, durch welche man einen gewissen Zusammenhang zwischen den Seiten und Winkeln sphärischer rechtwinkliger Dreiecke in Hinsicht ihrer gegenseitigen durch, die trigonometri-

— 95 —
scheu Linien herzuleitenden Luge und Beziehungen, zn entdecken im Stande ist.
§. 75 .
Aus den oben angeführten Eigenschaften der rechtwinkligen fpharischen Dreiecke, laßt sich zwischen den lothrechten Seiten und den ihnen gegenüber liegenden Winkeln eine solche Verbindung entdecken, daß sie in Hinsicht ihrer Art durch einander bestimmt werden, so, daß in einem solchen Dreiecke die beiden loth- rechtcn Seiten, mit den ihnen gegenüberliegenden Winkeln, allemahl von gleicher Gattung sind.
Erläuterung. Die lothrechten Seiten eines rechtwinkligen fpharischen Dreieckes sind mit den ihnen gegenüber liegenden Winkeln von gleicher Gattung, heißt nicht, daß sie einander gleich, sondern daß die beiden mit einander zu vergleichenden Stücke > oder < oder — 9»° sind. Ist aber das eine der beiden gedachten Stücke > 90° und das andre < 90° oder umgekehrt, so nennt man solche Theile des Winkel oder Seiten von ungleicher Gattung. Ist z. B. (Fig. 34.) a — 35 und 6^76° oder 3^-97" und d —112°, so sind es Seiten von gleicher Gattung; ist aber 3 — 76° und d —ng°, so nennt man sie Seiten von ungleicher Gattung.
Der angeführte Satz heißt demnach so viel: ist (Fig. 34 ») die Seite a<9c>° oder 3 >90°; so ist auch der ^.>90" oder ^ <90°. Dasselbe gilt von K und L. Aus (§. 6g.) erhellet noch die Richtigkeit folgender Proportion; r: sink ^ 4 : cnuA ->. Hier-

aus folgt, daß r: i!sin d : Zur völligen Gleichheit der Producte wird nun auch erfordert, daß sie gleiche Vorzeichen haben. Hierbei erwäge man nun, baß die trigonometrischen Linien allemahl zu Bo<- gen gehören, die nicht größer als is)o° sind, daß so wohl die Seiten als Winkel eines spharischcn Dreieckes durch Grade angegeben werden können und daß alle trigonometrische Linien im ersten Quadranten, folglich auch der Sinus totus positiv sind.
Nun ist zu beweisen, baß ^ < 90" ist, wenn a < 90° oder daß ^ > 90°, wenn a > 90° ist. Nun betrachte man die beiden gleichen Producte r . wnZ a und sin b:raiiA^. Ist nun »<90°, so ist auch WIIA a folglich auch r. WNA a weil I immer das Vorzeichen -j- hat, positiv. Also muß, das Product si-c l, ranz ^ und da der sin V in den beiden ersten Quadranten positiv bleibt, auch positiv sein. Ist die Tangente eines Bogens, der nicht größer als -8»° ist, positiv, so muß der zu dieser Tangente gehörige Bogen kleiner, als 90° sein.
Ist aber »>90°, so ist r lang a negativ. Also muß auch «Ind wnA negativ sein. Allein «luv ist positiv, folglich muß und daher das Product
negativ, folglich ^>90 sein. Dieselbe Verbindung findet auch zwischen d und L Statt. Daher man nur denselben Beweis mit Vertauschung dieser Größen zu wiederholen hat. Folglich ist jeder Winkel mit der entgegengesetzten Seite von gleicher Gattung.
Zusatz i. Ist NUN a —9»°, so ist rlanZa^-^, folglich muß auch «in d ranZ ^ — -2 sein und da der Dogen immer < igo ist, so muß —-2, folglich
L—90°. Ist nun auch so muß auch L—90°,
folglich

folglich das rechtwinklige LX gleichschenklig sein. Von den beiden übrigen Stücken weiß man nur daß sie einander gleich sind.
Zusatz 2. Diesen Satz kann man aus gleichen Gründen auch umkehren und man kann sagen, die Winkel stehen mit ihren respectiven entgegengesetzten Seiten in einer solchen Verbindung, daß jene mit diesen allemal von gleicher Gattung sind. Sucht man also -I, li, ^ oder L aus ^ und b>; 2 und L; g und b; oder 3 und d, so kann in Ansehung der gleichen Gattung keine Zweideutigkeit entstehen.
Zusatz 5. Soll aber die Prop. 3 —r:sln b
angewandt werden, um zu untersuchen ob d > oder < 9«° ist; so laßt sich dieses aus den gegebenen Stücken a und ^ nicht bestimmen. Beide sind in der Figur einander entgegen gesetzt, also haben sie gleiche Vorzeichen und sind allemahl von gleicher Gattung. Daher reichen diese Data nicht zu, daraus zu schließen, ob d > oder < 90° sei. Diese Zweideutigkeit rührt davon her, daß sich aus zwei Winkeln und einer Seite, welche einem der gegebenen Winkel gegenüber steht, nicht ein Dreieck bestimmen laßt.
§. 76.
In einem rechtwinkligen spharischen Dreiecke, stehen die lothrechten Seiten mit der Hypothenuse in einer solchen Verbindung, daß die Hypothenuse kleiner oder größer als 90° ist, je nachdem die Seiten von gleicher oder ungleicher Art sind.
Denn aus der Proportion r: cos a — co« d : cos c folgt, cos 3 . cos b ^ r. CVS c. Sind u und 1' von gleicher
G

98
Gattung, so haben cosa und cosd beide das Vorzeichen -st, !veil-stcos o)H-stco 8 8 ^-st cos o (.08 1 - und — cos — cos 8 — -st- cos 2. cos 8 , also muß alsdann auch r cos c positiv , folglich cos 0 positiv und also c d, i. die H»- pothenusc < 90° sein. Sind :> und d von ungleicher Gattung, so ist ihr Product cos cos >> folglich auch rcosc also cosc negativ. Alsdann aber ist c > 90°« Zusatz i. Ist der Bogen 2 oder 8 einem Quadranten gleich, so ist der zugehörige Cosinus —0 und hieraus folgt, daß auch cos c — o, also daß c — 90° sei.
Zusatz 2. Untersucht man aber die Beschaffenheit des vierten Proportionalgliedes, wenn cos 2 : r — costV: sin u oder wenn cos 8:1 —cosL:siil^; so bleibt es in beiden Proportionen »»ausgemacht, ob der Sinus zu einem spitzen oder stumpfen > 4 ; oder zu einem spitzen oder stumpfen U gehöre (74. Zus. Z.).
Zusatz I. Aus den eben angeführten Proportionen erhellet auch, daß die lothrechten Seiten von gleicher oder ungleicher Gattung sind, je nachdem die Hypotenuse kleiner oder größer als 90° ist.
H. -7.
In einem rechtwinkligen spharischen Dreiecke, steht die Hnpothenuse - mit den an ihr anliegenden Winkeln in einer solchen Verbindung, daß wenn beide gleicher oder ungleicher Art sind, sie im ersten Falle kleiner, im andern aber größer, als 90° ist.
Denn es verhalt sich r: cottV — cotU : cos c. (yz. k§,.6.) Aus dieser Proportion folgt, daß cor8. corL ^ r cos c.

99
Sind die Winkel und L von gleicher Gattung, so haben sie beide daö Vorzeichen -j- oder —, in beiden Fallen wird das Product cot cot L, folglich auch r cos c daher auch cos c positiv, also c< 90°.
Zusatz 1. Ist einer, der an der Hypothenuse anliegenden Winkel 90°, so ist die Hypothenuse selbst auch 9»°. Denn ist ^ oder 8—90°, so sind deren Cotangenten — o und cos c 0, ein Dogen dessen Cosinus — 0 ist, berragt, wegen obiger Einschränkung — 90°, also ist ^^-90^.
Zusatz 2. Aus der angeführten Proportion aber folgt auch, daß die beiden an der Hypothenuse anliegenden Winkel, von gleicher oder ungleicher Gattung sind, je nachdem die Hypothenuse kleiner oder größer, als 90° ist. Denn es ist c: cor^. cotL : cos c, folglich I LOS c — cot cot L. Ist also das Product I cos c folglich cos c positiv, so muß auch das Product cot cocL positiv, folglich tV und L von gleicher Gattung sein. Ist aber cos c negativ, so ist auch das Product cot ^. cotL folglich einer der beiden Cotangenten positiv, der andere negativ und also auch einer der beiden Winkel > der andere < 90°, folglich beide von ungleicher Gattung.
Zusatz Z. Ist die Hypothenuse c — 90°, so ist rcosc — o, also auch cot tle cot L — 0, folglich MUß ^ oder L — 90° sein.
Man siehet also hieraus, daß sich in allen übrigen Fallen das gesuchte Stück aus den gegebenen, der Art nach leicht bestimmen laßt, nur der Fall ist der Zweideutigkeit unterworfen, wo das gesuchte Stück ein Sinus, und dieser aus zwei einander gegenüber liegenden Stücken im rechtwinkligen Dreiecke herzuleiten ist.
G s

loo
§. 78 .
Es folgt nun eine Uebersicht der Aufgaben rechtwinkliger spharischcr Dreiecke mit Rücksicht auf die Bestimmungen, nach welchen das gesuchte Stück entweder kleiner oder größer, als 90° ist. Zur Auflösung einer jeden Aufgabe werden, den rechten Winkel mit eingeschlossen drei Stücke gegeben, und drei gesucht. In nachstehendem Verzeichnisse enthalt der erste Spalt, die gegebenen, der zweite, die gesuchten Stücke. In dem dritten Spalt ist der Cosinus des gesuchten Stückes nach Beschaffenheit der gegebenen entweder durch das Product der Sinus oder der Cotangenten ausgedruckt, je nachdem die Factoren dieses Products, von der gesuchten Größe im Dreiecke getrennt sind oder an derselben anliegen. Im vierten ist die vorige Gleichung nach sehr einfachen arithmetrischen Veränderungen zur bequemern Berechnung eingerichtet. In dem fünften wird bestimmt, ob das gefundene Stück, es sei eine Seite oder ein Winkel, kleiner oder größer als 90° ist, oder ob der vorliegende Fall unbestimmt bleibt. Ueberall bezeichnet k den rechten Winkel im spharischen Dreiecke und r den Halbmesser.

Tabellarische Uebersicht der gegebenen nnd gesuchten Stücke, welche bei einem rechtwinkligen sphärischc» Dreiecke vorkommen können.
Zll S. ioc>
T ie
geaelenen
Stücke
Die
gesuchtcn
Stucke
Verbindung
der gegebene» und gesuchten. Stücke nach der Rcvcrschcn Regel
Einrichtn ug
der vorigen Gleichungen zur Berechnung dergejuchte» StückeanSden gegebenen
Dos gesuchte Stück ist in icder Gleichung yo°, wenn
Das gesuchte Stück ist in ieder Elcichnng <90°;
wenn
4
c
L
b
15
cos (90° — a) — sin c. sin 4 : c cos 4 —cot (90° — b).cotc:r cos c —cot 4 . cot 15 : r
sin It — sin 4 . sin c: r ti»>A k> —cos 4 . tnn^ c 1 v cot 15 — cos c.taug 4 I r
4 <l 90° oder wenn > 4 und c vo!, gleis ) chcr Gnllung sind.
4 > 90° oder wenn ^ 4 und c >90° sind.
L
b
003(900 —!)) — siii12. 3 inc:i?
siu!) —sin 12 .8111 c: r
U <; 90° oder ivcnn
k> >90° ist; oder wenn
o
a
cos 15 — cot c . cot (90° — u)
sin n — cos 15 . tuu° . c: v
X c und L von gleicher
> c und 4 von ungleicher Art
Ii
4
t os c —col ^2.. col 12.
col ^ " L08 c. rruiA 12 : i?
) Art sind
sind.
c
b
cos c — sin (90° — n) . sin (90° — ki): v
cos ^ . cos c: cos a
c u. a von gleicher Art
c und n voll ungleicher Art sind
4
cos (90O — — sin . 8111 c: 1'
sin ^ —i'. sinri: sin e
4 < 90° ist oder wenn
4 >90° ist; oder wenn
k
15
co8 12.— col (900 — .i). col c: 1
Q08 12 — beinA.1. col. c: 1'
c u. -i von gl. Art sind.
c und n von ungleicher Art sind.
o
a
cos c —cos (90° — u). cos (90° — b) : r
sinn — i'sin b 1 cosc
k> u. c von gleicher Art
k> und c von ungleicher Art sind
b
4
cos 4 —cot tgo° —b) .cotc:o
cos ckV — l.in-^ . col.. c : r
l><9o° ist
si > 90° ist
Ii.
15
cos (90° — k>) —sin L . sin c : c
sin 12i'. sin Ii: sin c
k> u. c von gl. Art sind.
k> und c vo» ungleicher Art sind.
4
cos 4 sin 15 .si» (90° — n) : n
co8 -m: cos.i. sin I!: i'
»<90° ist oder wenn
n > 90" i st
! L
b
cos (90° — u) —cot L . cot(90° — k>)ir
l.<in^ 1) — sin.1. brin«'. 12 :1?
n n. .ii gleicher Art sind
-I und v von ungleicher Art sind
! ^
c
cos 15 — cot (96° — u).cot c: r
cot c — cos i! .cot n t r
L<go° ist.
c>9o°jsi:
a
cos (90" — k) —cot 4 .cot (90° — n): r
tunAN —sind r.in ^4 : v
4^90° ist
4 >90° ist
! ^
c
cos .4 —cot (go° —b).cotc:r
col. c —cos col Ii: i'
4 u. k> von gl. Art sind
4 und k> von nnglcichcr Art sind
kr
L
cos 12 — 8111. 4 .. 5111 (900 — I)): 1?
cos 12 — sin^. cosli: i'
k>< 90° ist
k>>9o° ist.
> u.
4
cos (90° —b) — cot 4 . cot (90° — n) :r
cot 4 — sin k>. cot n 1 c
90° ist
»>90° ist
i b
L
cos (90° — n) —cot (90° — b). cot 15 : t
col 12 — sin .1. col Ii: r
k><! 90° ist
k> > 90° ist
Ii
e
003(900—e) — 8111(900—a). 5111(90—
cos c — cos ri. cos Ii: r
n u. k> von gl. G- sind.
n und b von unglcichcr ?!rt sind.
4
L
cos 4 —sin 15 . sin (90° — n).: 0
sin n — r. cos 4 : sin it
4 <90° ist
4 > 90° ist
i;
b
cos L —sin 4 . sin (90° — k>) : r
cos Ii — i'. cos 12 : sin
Ii<9o° ist
ii>9o° ist
P
0
cos c —cot 4 . cot 15 1 r
cos c —cüt 4 . cvt !5 : t
4 n. L von gl. G> sind.
n und b von ungl. G. sind.
4
15
cos 4 — sin 15 . sin (90" — n) : c
sin 4 —i'. cos I>! cos n
.1
ii
cos(90° — b) —cot 4 . cot (90°— n) : r
sin k> — rnnAa. cot 4 : v
ii
c
cos (90° — n) — sin 4 .sinc: n
sin e — i'. sin a: sin .
In diesen Fällen bleibt das gesuchte Stuck unbc-
Ii
,4
cos (90° — k>) —sinlZ . si» c: r
sin k> —sin L.cos n: v
!>
ll
cos (90° — n) — cot (90° — !,) . cot 15 - r
sin n — tan-; b. cot 8 : r
! ^ !
o
cos (90° — k>) — sin 15 . sin c
sin c^i'. sin!): sin 12.

Fünfter Abschnitt.
Einige Anwendungen der rechtwinkligen spharischcn Dreiecke auf die Lage der WcUkörpcr.
§. 79 -
Die Polhöhe macht an jedem Orte auf der Erde mit der Höhe des Aequators 90°.
^X'1111 es stelle (Fig. 14.) I 421 'I 4 dlH einen Mittagskreis, 141 ^ den Horizont, 2 dessen Pol oder das Ze- nith, den Aequator, v den Weltpol vor; so ist —90°, 1.^3 die Polhöhe, ^11 die Höhe des Aegua- tors und diese uiacht mit der Polhvhe zusannnen 90°, das ist
tt-j-1'N90°. Denn es ist
— igv°
^ 41 ' ^ 90°
folglich -j- — ^.l? -j- 1>N — 130° — 90° oder
—90°.
Zusatz i. Ist also in einer Aufgabe die Polhöhe gegeben, so kennt man auch an diesem Orte die Höhe

102
des Acquators, unk' umgekehrt laßt sich aus dieser wieder die Polhöhe bestinunen. Ist z. B. die Polhöhe von Berlin 52° ZO 44", so ist die Höhe des Aequa-- tors — 89° 59' 6c>" — 52° 51' 4g" — 47° 23' 16".
Zusatz 2. Das Zenith 2 ist voin Horizont überall 90° entfernt, folglich ist ^2^:90°; allein - 5 . 1 > ist auch — 90°, folglich ist II 2 ; zieht man nun von beiden das Stück?2 ab, fo bleibt t 4 2 —I'k. Jener Bogen ^2 druckt den Abstand des Punctes 2 voin Aequator durch einen Theil des größten Kreises aus, welchen man die Breite nennt; dieser ist die Polhöhe.
Also ist die Polhöhe so groß, als die Breite eines Ortes, und man kann die eine für die andere setzen.
§. 80.
Aufgabe. Aus der Mittagshöhe der Sonne und ihrer Abweichung, die Polhöhe eines Orts auf der Erde Hu finden»
Man ziehe von der durch Beobachtung gefundenen Mittagshöhe der Sonne IllL (Fig. 55.) die gegebene Declination IVIL ab, fo erhalt man aus dieser Differenz die Höhe des Aeguators durch den Bogen lVlll, welche von 90° abgezogen die Polhöhe klr gibt.
Anmerkung i. Bei Beobachtung der Mittagshöhe der Sonne, muß der Abstand ihres obern und untern Ran« des bemerkt und der Halbmesser dazu addirt, oder davon abgezogen werden; auch muß man dabei auf die Slrah« lenbrechung Rücksicht nehmen, wodurch die Sterne etwas mehr oder weniger erhöhet werden, je nachdem sie dem Horizonte naher oder von demselben entfernt sind. Statt

der Sonne kann man anch Sterne nehme». — Line andere Auflösung dieser Aufgabe ist schon in der Anmerkung des (2g.) vorgekommen.
Anmerkung 2. Für südliche Sterne muffen die Abweichungen als negativ angesehen und zur Höhe des Acquarors addirl werden. Es sei z. B. die Mittagshöhe des obern
Sonnenradcs — 42° 1' 57" Strahlenbrechung — 55"
— g2°
2"
Abzuziehender Halbmesser der Sonne
— 'S'
59"
Scheinb. Höhe des Mittelp. der Sonne
3"
Nördl. Abw.
— 3° >7'
19"
Höhe des Aequators
— ZÜ° 27^
44"
Also die Polhöhe
— S'° 32'
-6"
Durch wicderholcniliche Beobachtungen aber wurde diese Polhöhc von Mvningen, durch Herrn Professor Mayer i» der Folge berichtiget und auf S'°3''S4" gesetzt. Man sehe Kastncr'S AnfangSgründc der Astronomie, /jtc Aufl. Göttingen 1792. §. 6g. S. 2g.
Zusatz. Es ist leicht einzusehen, daß sich aus der Polhöhe eines Orts und der Abweichung der Sonne, ihre Mittagshöhe finden laßt, wenn man zu der Aegua- torhöhe die Abweichung der Sonne addirt. Es sei z. B. die nördliche Abweichung der Sonne im ersten Quadranten — 19° 1'/ 6" und die Polhohe eines Ortes
52° zO 44", so nehme man 89° 59' 60"
Polhohe ^ 52° zO 44"
Höhe des Aequators ^ 37° 23' 16"
Abweichung — 19° 14' 6"
Mittagshöhe der Sonne ^ 56° 42' 22".

§. 8i.
Ehe ich zu den wettern Anwendungen der bisherigen Lehren der spharischen Trigonometrie übergehe, werde ich zu dieser Absicht noch die Längen und Breiten einiger Oerter auf der Oberfläche der Erde anführen. Man kann diese Angaben zur Beantwortung verschiedener geographischen Fragen und zur Auflösung mancherlei Aufgaben benutzen. Will man zum Beispiel wissen, um wie viel an einem Orte, etwa in Paris, früher oder später, Mittag ist als in Petersburg, so darf man nur die Differenz ihrer Längen in Zeit verwandeln. Die Länge von Paris ist 2e>°, von Petersburg 47° 5ch Za", die Differenz ist,also 27° 59^ zo", welche in Zeit verwandelt i St. 2Z M- 2g See. gibt. Das hier folgende Verzeichnis der Längen und Breiten ist größtentheils aus Herrn Pros. Bode's Anleitung zur allgemeinen Kenntniß der Erdkugel hergenommen.
Die Lange der hier angeführten Oerter ist mit den Franzosen und den meisten Geographen von der Insel Ferro, der westlichsten unter den Canarischcn Inseln, von einem Meridian, der genau um 20° westlicher liegt, als der von der Pariser Sternwarte, gerechnet.

N a l> m e
Vcr
s e r t e r.
L ä
n g e.
B
v e
i t c.
Vemerkungen.
Alcrandricn .
47°
35'
50"
5*0
514-
Amsterdam . Archangel
22
5«
3*
59
43
>5
52
64
22
35
3^
Astrachan
l>5
42
5»
46
21
12
V.H. V.A-
Barcelona .
*9
50
25/5
4*
22
38 n-
Bagdad . .
62
5°
53
>9
40
v. Humboldt
Batavia . .
124
35
46
6
1 2
0 3.
Berlin . .
2
52
3*
44
Boston . .
zv6
4^
0
42
21
11
Bucnos Ayres
3>9
8
45
34
35
26 8.
Vergeb, d. q.
Eadix . . .
11
22
30
56
32
0 N.
Constantinopcl
46
55
0
41
1
27
Hoffnung.
St. Croir auf Teneriffa .
1
26
55 v.H.
23
23
3°
Nach Borda.
Danzig . .
36
-7
45
54
21
5N-
Sternwarte
Droncheim .
-8
2
O
63
26
2
Dublin . .
11
21
45
53
21
11
Edinburg. .
22
5»
55
56
42^
Genua. . .
26
58
O
44
23
43
bei Gvlha
2g
25
45
50
56
*7
Sternwarte
Göttnigen
27
34
30
5'
3>
54
Grömvich
»7
59
45
5r
29
4"
Hamburg
27
53
45
55
34
Jipahan . .
50
0
52
24
54
Kopenhagen .
30
15
50
55
5*
4
Sternwarte
Leipzig . .
Z0
1
5°
5»
*9
*4
Lissabon . .
8
3*
13
53
42
50
London . .
-7
54
>4
5r
50
49
Pauls-Kirche
Madrit . .
rZ
57
4c>
40
25
r8
Malta. . .
32
10
5"
55
53
4r
Manilla . .
^58
52
0
>4
56
8
Sternwarte
Manhcim. .
26
7
50
49
-8
59
Marseille. .
r
45
45
17
49
Mexico . .
L77
54
Ig
'9
25
50
Moskau . .
55
12
45
55
45
45
Nangasaki in Japan . . .
147
55
0
32
45
0
berichtigt
Neapvlis . .
3i
53
45
4"
50
>5
Paris . . .
20
0
0
43
50
-4
Nat.Sternw.
Pekin . . .
-34
5
3»
39
5^
*5
d. d. Sternw.
Petersburg .
47
59
50
59
5^
25
d. d. Sternw.
Peter u. Pauls» Hagen . .
176
28
>5
55
I
20
in Kami-
Philadelphia
502
25
45
39
56
55
schatka
Pondichcry .
97
5'
50
11
55
4*

N a l> m e der
Serie r.
l! n
n g e.
r c
i t e.
Bemerkungen.
Port Jackson
16g--
59'
Zo"
35°
52'
zo 3.
Neuholland
Prag . . .
4
50
5"
5
Von H. A. David
Ouito . . .
299
45
o
O
>3
iv 3.
Riga . . .
4-
4o
Zo
56
57
5,-N-
Vom H. Pr. Sandt
Nom . . .
zo
7
4»
4i
53
54 N-
St. Peter
Sän Joseph .
267
57
Zo
23
3
42
in Californien
Smnrna . .
44
55
38
38
28
7
Siockbolm
33
43
45
59
20
5^
Tabago . .
3>7
12
30
10
20
IZbl.
Nach Herrn ».Humboldt
Tahiti . . .
228
9
Zo
17
29
17 8.
VcnuSspitzc
Teneriffa . .
1
0
O
-8
^7
oN.
Tornea . .
4-
52
O
65
50
5o
Turin . . .
25
20
O
45
4
-4
Upsal . . . Venedig . .
35
>8
'5
59
5r
50
30
0
45
45
25
55
Warschau. .
38
4o
45
52
12
2«
d. d. Stcrnw.
Wien . . .
54
2
50
48
12
Z6
Anmerkung. Durch die Bestimmung der Lange und Breite eines Ortes, erhalt man eine deutliche Vorstellung von dessen Lage auf der Erde. Man hat verschiedene Methoden, zur Kenntnis; der Langen zu gelangen, die aber alle mehr oder weniger unsicher sind. Hatte man eine vollkommene Uhr, deren Gang durch keine Erschütterungen noch auf irgend eine andere Art gestört würde; so wäre diese ein sehr brauchbares Werkzeug, die Lange der verschiedenen Ocrter auf der Erde anzugeben. Gesetzt diese Uhr zeigt im Augenblicke wo zu Berlin Mittag ist, auf 12, so wird dieses an jedem andern Tage auch geschehen. Ist man nun an einem andern Ort, wo diese Uhr zur Mittagszeit auf i weiser; so schließt man daraus, daß der Unterschied der Zeit zwischen diesem Ort und Berlin eine Stunde und der Unterschied ihrer Meridiane 15° betrage, folglich daß die Lange des gedachten Orres 16° 2^ 15" sei, weil die Lange von Berlin zi° 2^ 15" ist. Vorzüglich wichtig ist die Kenntniß der Lange und Breite zur See.

io7
Daher haben der König Philipp IV. in Spanien, die niederländische Republik, der Herzog von OrleanS, Regent von Frankreich, auf die Auflösung dieser Aufgabe ansehnliche Belohnungen gesetzt. England aber setzte einen dreifachen Preis darauf, nehmlich loooo, 15000 und 20000 Pfund Sterling, wenn der Irrthum in Bestimmung der Lange nicht über einen Grad, oder 40 oder zo Minuten betrüge. Einen Theil dieses Preises erhielt Joh. Harri- svn, der zu Barrow in Lincoln wohnte, wegen der von ihm vers engten Uhr, deren Anordnung und Zusammensetzung cic !a chamäe in seiner Astronomie Art. 1921 beschreibt. Man sehe hierüber die Abhandl. der Königl. Schweb. Akad. der Wiss. 1765, übersetzt von K., von S. » bis >Z. Andere Methoden zur Bestimmung der Langen, gründen sich auf die Beobachtung der Mondfinsternisse, der Finsternisse des Jupiters Trabanten, des Mondes und der Bedeckungen der Fixsterne, auf die Einrichtung der Magnetnadel rc.
§. 8 ?.
Aufgabe. Aus der Schiefe der Ekliptik uud der Lange der Sonne, ihre Abweichung, gerade Aufsteigung und die Größe des Winkels zu bestimmen, der von der Sonnenbahn und dem Abweichungskreise auf der Himmelskugel gebildet wird.
Man stelle sich vor IblH (Fig. 56.) sei der Halbkreis deS AequatorS, Lk. die Hälfte der Ekliptik auf der HimmelSkugel, M der erste Durchfchiiittspunct (der FrühlingSpunct) der beiden gedachten Kreise und ziehe alSdann einen AbweichungSkrciS I'Lp durch L, welcher den Aequator senkrecht durchschneidet; so erhalt man dadurch daS rechtwinklige Dreieck MVO, dessen Theile

mir den gleichnamigen Theilen des spharischen rechtwinkligen Dreiecks (Fig. 55.) genau übereinstimmen. In dem (Fig. 56.) bezeichnet nun — c
die Lange der Sonne, der W. die Schiefe der
Ekliptik; hieraus soll nun ,) die Abweichung L6 —a, s) die gerade Aufsteigung —k> und 5) der Winkel gefunden werden, welchen der Bogen L6 mit dem Bogen als der Lange der Sonne einschließt.
Beispiel Es sei z. B. die Lange der Sonne —c —22. 6° Z4> oder 66° 54I die Schiefe der Ekliptik oder ^ — 25° 2gI so erhalt man 1) ihre
-Abweichung, d. i. die gesuchte Seite L nach (67.) aus der Prop. r : sil, c — si„ ^ : sin a, folglich «in a siir . sln c
— -^-- Hiervon ist die logarithmische Gleichung
IoA 8IN g — Io§ sin 8111 c —10, weil 10 der Logarithmus des Sinus totus in den Tabellen ist. Es ist aber
kc>L — IliA sin 2Z° 28^ — 9,6c>ni,gi 1c>Z sin c Io§ 8in 66° 54/ — 9,9626,72
^ 9,5627555 IoA sin rot— ,0,0000000
1o- 8i,i s ^ 9,5627555-
Zu diesem Logarithmus gehört zunächst die Zahl 21° 25, welches die Lange des Bogens L6 als der gesuchten Seite, für die Abweichung der Sonne ist.
2) Soll aus den obigen Angaben dem und der Seite die gerade Aufsteigung d. i.
gefunden werden. Diese erhalt man nach der Nep. Regel aus der Gleichung cos^ ^ cor (90 — d) .cor c (74.^0.4-)

oder cos^---wii§d.cotc, folglich — cos^.tauZc.
cos 5 ..tr>iiL c ^ ^
tsn§d^----. Hiervon ist die logar. Gleichung
loA tanZK — lo§ cos ^ -j- Io§ WNA c — 10. Es ist aber Ic>A cos — lo§ cos 25° 23^ --- 9,9625076 loZtLNA c^ loZ tanZ 66° 54^ — 10,5650815
20,525539*
1o§ «in tot — 10,0000000 IoZ tsiiAb — 10,5255391.
An diesem Logarithmus gehört zunächst die Zahl 64° 42^ für die Länge der Seite 6, welche die gerade Aufsteigung der Sonne ist.
3) Findet man aus dem ^ und der Seite
c, den W. ^L6 oder L nach der Neperschen Regel
aus der Gleichung cos c^: cot^. cotL (75. dio. 6.) oder
cos c cos c . t°:
cotL —-7- — cos c. taue ^ oder cot L —-
cot .5 ^ r
Hiervon ist die logarithmifche Gleichung lo^cotL —lo§
cos c1oA tan§ ^—10. Es ist aber
1o§ cos c log cos 66° 54^ — 9,5995557
loA t-1I1gt4 — loZ tanZ 25° 23/ — 9,6576106
19,257*465
1oA slri tot ^ 10,0000000 1o§ cot L -- 9,2571465.
Zu diesem Logarithmus gehört die Zahl von 30° *2^, welche die Größe des gesuchten Winkels L angibt.
Beispiel 2. Es sei nun nach den Berliner Ephemeriden, am gten Jan. 18*0 die Länge der Sonne ^ L c ^ 2 2.17° 52^ 47" in den n. d. h. 77 ° 52^ 47"

und die Schiefe der Ekliptik . 4 . —2g°2/5i^; so erhält man 1) die Abweichung aus der Proportion
r: sin c — sin , 4 : sin a (66.) sin 4 . sin c
sin a—---. Hiervon ist die log. Gleichung
log sin ll — log sin 4 -j- log sin c — IN. Es ist aber log sin 4 ^ log sin 2Z° 27^ 51" — 9,6000744 log sin c — log sin 77^52^ 4?" — g/ggngn^O
i 9 , 59 " 28 ^o log sin col— 10,0000000
log sin a ^ 9,5902g4o.
Dazu gehört die Zahl von 22° 54^ 59", welche die verlangte Abweichung der Sonne ist.
2) Aus den eben gegebenen Stücken soll nun auch die gerade Aufsteigung d. i. der Dogen des Aegua- tors 46—8 vom Frühlingspuncte 4 an, bis zum Ab- rveichungskreife gerechnet, angegeben werden. Es sind also 4 und c gegeben und 8 wird gesucht. Nach der Nep. Regel wird
cos 4 —coe c. cot(9o— 8) (74. l^lo. 4.) gesunde», oder cos 4 ^:cocc . tangli cos 4
rang 8 — — 008 4 . rang c. Logarithmisch ausgedruckt , ist log rang k> — log cos 4 -j- log lang c -s- 10. log cos 4 -^log cos 25° 27^51" — 9,962515g log rang c — log rang 77° 52^ 4?"" 10,6630656
20,6505794 log sin ror—10,0000000 log rang 8 — 10,6505799, folglich
8 76' 49^25".

111
5) Soll aus den obigen Datis auch die Größe des Winkels bestimmt werden, welcher von den
Bogen ^L — c und der Sonnenbahn und des
Abweichungskreises auf der Himmelskugcl abgebildet wird. Es sind also ^ und c gegeben und L wird gesucht. Es ist aber nach der Nep. Regel (75. I^o. 6.) cos cs^corcV. cod 8 oder corL —cos c . caiiA ^4 oder cos c . taiiA ^4
co>8 —---, oder logarithmisch ausgedruckt ist
loZ cor 8 — 1oA cos c -f- log taiiA ^ —10. Es ist aber lag cos c — koA cos 77° 52^ 47" — 9,8221460 kogtanA^.^ loZ tan§ 25° 2/ 51" ^ 9,6Z75587
r 8,9597047 1oA cor 8 22210,0000000
8, 9597 « 47 ,
folglich 8 — 84 ° 43 ^ 53".
Zusatz 1. Wenn man die Theile des rechtwinkligen Dreieckes mit einander vergleicht, so wird man bald bemerken, daß die Seiten und Winkel folgende Stücke bezeichnen können: die Schiefe der Ekliptik, die Lange, die Abweichung, die gerade Aufsteigung der Sonne und den Winkel, welchen die Sonnenbahn mit dem Abweichungskreife einschließt und daß diese fünf Stücke in einer solchen Verbindung mit einander stehen, daß aus zweien derselben, allemahl eines von den beiden übrigen berechnet werden kann.
Zusatz 2. Ziehet man durch den Sonncnstillsiands- Punct einen größten Kreis senkrecht auf den Aequator; so wird der Abstand beider Kreise, nehmlich des Aequa-

- 112 -
torS und der Ekliptik von demselben gemessen und dieser Bogen druckt die Abweichung der Sonne aus, wenn sie sich im Sommerpuncce befindet. Er ist also zugleich das Maß für die Schiefe der Ekliptik.
Zusatz Z. Man muß bei dieser Aufgabe noch allemal auf die Stellung der Sonne Rücksicht nehmen und bemerken, zwischen welchen Parallelkreisen sie sich befindet, ob zwischen dem Acquator und dein Wendekreise des Krebses oder des Steinbockcs. In jenem Falle ist ihre Abweichung nördlich und in diesem südlich. Betragt die gegebene Lange mehr als 90°, so zieht man die Zahl von i8c>° und sucht den Logarithmen der trigonometrischen Linie des übrig gebliebenen Bogens und daraus die zugehörige Zahl.
Zusatz 4. Gehet die Lange der Sonne über die Frühlingszeichen hinaus und soll alsdann aus ihr und der Schiefe der Ekliptik die gerade Aufsteigung gefunden werden; so muß man anstatt des gegebenen Bogens, dessen Ergänzung zu igc>° nehmen. Aus diesem Grunde muß man daher auch die für die gerade Aufsteigung gefundene Zahl von 180° abziehen. Die Lange der Sonne ist am i'8ten August 1811 nach den Berliner Ephemeriden 4 2.24° 35^ oder 144° 33^, wie groß ist ihre gerade Aufsteigung? — Man darf nur die obige Gleichung zur Beantwortung dieser Frage gebrauchen und nach geschehener Auflösung, nach der in diesem Zusätze gemachten Bemerkung verfahren. Es ist nehmlich igo° — 144° Z5° 2/. Folglich ist
cos ^ . tLNA c
rcwA b—---, d. i. durch Log. 1c>§ tanZ d —
Ic>° eos -j- log c — 10.
Es

Es ist aber cos ^ — cos 25° 23^ — 9,9625076
tanZ c — taiiA 55° 2/ — 9,8524661
- 9 , 8-49757
lvA SIN tot ^ 10,0000000
Io§ t 3 N§ 8 — 9,8-49757
Diese Tangente gehört zu einem Dogen von etwa 55° 6^. Ziehet man diese Zahl von 180° ab, so erhalt man für die gerade Aufsteigung 146° 5^.
Zusatz 5. Auf eine ähnliche Art verfahrt mau auch, wenn die Sonne sich im dritten oder vierten Quadranten der Ekliptik befindet, und also in den Herbst- oder Winterzeichen steht. In jenem Falle nimmt man von der gegebenen Länge denjenigen Theil, der über 180° hinausgehet oder den Bogen von 130° bis zu dem Standpuncte der Sonne, welcher gefunden wird, wenn man von der ganzen Lange 180^ abzieht. In diesem Falle hingegen, wo die Sonne sich auf ihrer Bahn in den Winterzeichen verweilet, darf man nur die ganze Lange von 560° abziehen, oder mit Weglaf- sung der sechs ersten Zeichen, von der Wage an gerechnet, die Ergänzung zu 180° nehmen.
Es fei z. B. die Schiefe der Ekliptik 25° 23/, die Sonne im 25° 41^ des Schützen, man soll ihre gerade Aufsteigung am -8ten December 18", wo sie die gedachte Lange hak, berechnen. Die Lange 0 ist hier 6 2 25° 41^ d. i. 2 2 25° 41/ über 180° oder 85 ° 4^. Es ist
auch hier wnA l, ^ ^ ' ^7 -^ oder durch Logarithmen
r
1o§ tanA b — 1oZ co8 ^ 1o§ ranz L —- xo.
H

log cos ^ log cos 250 28 ^ 9,9625076
log tangc — IoZt 3 ng 85 ° 41^ ^ 10,1221515
20,0346539
10,0000000
log lang 8 — 11,0346539
Dieser Logar. gehört zur Tangente von etwa 35° 138 Daher ist die gerade Aufsteigung 180°^ 85 ° 18^—265° 138 Betragt die Schiefe der Ekliptik 25° 23^ und macht die Lange der Sonne 10 2.23° 55^ d. i. 525° 55/ oder mit Weglassung der 6 ersten Zeichen 4 2 25° 55^ d. i. i 43 ° 55 ^ und also die Ergänzung dieses Bogens zu 130°, — 56°^; so findet man die gerade Aufsteigung wieder
^ . , cos . W112 c . . ,
aus der Gleichung rang 8 —-oder durch
1
Logarirthmcn ausgedruckt log wng 8 — cos -j- log wng c — 10. Nun ist aber
log cos — log cos 25O 23^ — 9,9625076 log turig c log rgngZ6° 51^ 9,8625337
19,8250965
10,0000000
log rang c— 9,8250963
DieserLogarithmus gehört zu einer Tangente von 55° 45^. Zieht man nun diese Zahl von 560" ab/ so erhält man für die gerade Aufsteigung am rzten Februar 18" die gedachte Differenz von 546° 14^
Anmerkung 1. Die Abweichung der Sonne ist in unsern Gegenden voni Frühlinge bis zum Herbste auf der nördlichen, vom Herbste bis zum Frühlinge auf der südlichen Halbkugel des Himmels. Aus der oben angeführten Formel für die Abweichung aus der Lange der Sonne und

Schiefe der Ekliptik, kam, man Tafeln berechnen, welche die Abweichungen der Sonne für jeden Punct in ihrer Bahn das ganze Jahr hindurch, darstellen- Man findet sie unter andern im ersten Bande der Berliner Sammlung astronomischer Tafeln, unter der Aufschrift: Die Abweichung der Sonne für die Schiefe der Ekliptik :c.
Anmerkung 2. Aus der Schiefe der Ekliptik find der Lange der Sonne laßt sich ihre gerade Aufsteigung berechnen. Die Differenz zwischen dieser und der Lange der Sonne, wird die Redaction der Ekliptik auf den Acguawr genannt. Setzt man diese zur Lange der Sonne, so findet man ihre gerade Aufsteigung. Es findet sich in dem, Anm. 1. angeführten Werke auch eine Tafel für die gedachte Reduction und zwar im ersten Bande S. 26g.
Anmerkung Z. Die gerade Aufsteigung der Sonne laßt sich auch aus ihrer Abweichung und der Schiefe der Ekliptik, also aus
. - , . . ^ . t-ni» a
der Gleichung srn b —cor^.t-E -r (7Z.l>lo.Z.) ——'—
t-IN° L
berechnen. Die größte Abweichung der Sonne betragt 25 ° 2 /Zi". Diese kann das ganze Jahr hindurch nur zwcimahl Statt finden. Jede andere z. B. a —ig° 12^ ist kleiner und kann also vier- oder doch wenigstens, wenn man die südliche von der nördlichen unterscheidet, zwcimahl vorkommen. Daher muß bei der Abweichung noch bemerkt werden, in welchem Quadranten sie sei.
§. 83 .
Aufgabe. Aus der durch Beobachtung gefundenen Abweichung und geraden Aufsteigung der Sonne, die Schiefe der Ekliptik zu berechnen.
Es fei an der Himmelskugel I> lv x> L M (Fig. 56.) d/If) der Aequator, Lk die Ekliptik, welche den Aequa- tor in H., als im Frühlingspuncte, durchschneidet und
H 2

durch dett Endpunct 6 der gegebenen geraden Aufsteigung, ziehe man den Bogen des Abweichungs-
kreises; so ergibt sich hieraus das spharische rechtwinklige Dreieck Die bekannten Stucke dieses Dreieckes sind, die gerade Aufsteigung der Sonne ^.6 —b, ihre Abweichung L6 ^ <r und überdies der rechte Winkel bei 0 ; aus diesen wird die Schiefe der Ekliptik d. i. der Winkel Li 46 oder r 4 gesucht. Nach der Neper- schen Regel (75. No. 5.) findet man aus den drei auf einander folgenden Stücken b und a, das mittlere d aus den beiden übrigen, vermittelst der trigonometrischen Linien, auf folgende Art: aos (90 — d) — cot ^4 . cot (90 — a) oder siri 6 — cot r 4 . tairs a oder
cot^.— - d. h. die Cotangente der Schiefe der
WNA a
Ekliptik -^4 wird gefunden, wenn man den Sinus der geraden Aufsteigung 6 durch die Tangente der Abweichung dividirt. Man nehme z. B. aus den Berliner Ephemeridcn, die Abweichung der Sonne am 9ten Juni igic, nehmlich « — 22° 54/59" und ihre gerade Aufsteigung 76^49/25"; so erhalt man cot^4 — ^
r°' 22° 54' 59"
oder durch Logarithmen ausgedruckt, hat man loZ cor
A, ^ 10 -f- loZ sin 76° 49/ 2Z" - lOA tariA 22° 54/ Z9",
wo 10 den Logarithmen des Sinus totus bezeichnet.
IoZ . sii, rot -f- loA. siir d — ^9,9Zg4^2r loZ . tairZ a — 9,6259699 1o° . cot /V — 10,5624422
Folglich i 4 23° 27/51". Diese Zahl gibt also die gesuchte Schiefe der Ekliptik an.

ii7
H. 84«
Aufgabe. Aus der Polhöhe eines Ortes und der Abweichung der Sonne, die Länge des Tages und der Nacht, die Morgen - und Abend- weite, nebst dem Azimuth zu finden, l. Es stelle (Fig. 16 .) die Lage der Himmelskugel für den Zeitpunct vor, wo der Stern L im Amfange begriffen sei und in den Horizont trete; so ist der Punct des Aequators, der in diesem Augenblicke culminirt. Während dessen sich nun der Stern vom Horizont bis zum Meridian erhebt, geht bei der Umdrehung der Himmelskugel der Bogen des Aequators 0^4 durch den Meridian. Dieser Dogen stellt den halben Tagbogen vor, dessen doppelte Lange die Dauer des ganzen Tages gibt. Man kann sich den Dogen 6 ^. aus L« und -^4 zusammengesetzt, vorstellen und die Größe beider Theile untersuchen.
Der Meridian geht durch die Weltpole, das Zenit!) und Nadir, d. h. durch die Pole des Aequators und des Horizonts, folglich gehen diese auch durch die Pole des Meridians und da sie größte Kreise und ihrer Lage nach verschieden sind, so müssen sie sich in zwei entgegen gesetzten Puncten, als den Polen des Meridians schneiden, deren einer durch « bezeichnet sein mag. Folglich durchschneidet dieser die beiden andern unter rechten Winkeln (Z4-). Also ist «— « n — 90 o,
Man darf also nur noch die Lange des Bogens »6 berechnen. Zu diesem Ende muß man aus dem außer dem rechten ^ 6 , zwei Stücke ken-

neu. Das eine ist der Winkel «, welcher durch die gegebene Höhe des Acguators 74 14 , als das Maß des gedachten Winkels, bekannt ist; das andere ist die gegebene Abweichung L L — a. Hieraus findet man den Dogen «L —d, welcher die Ascensionalbifferenz ist. Denn es ist «in d — coe «
. coe (90° —a) (7z. No, 5.) — coe «,. iun° a —
Allein anstatt der Tangente von «,— 7414 kann man auch die Cotangente der Polhöhe UI 4 —(90—«)
nehmen. Alsdann ist sind — —— — wnZa
c»t(9n — «)
. r-ui§(90— «) d. h. der Sinus der Ascensionaldiffc- renzdist dem Producte aus der Tangente der Abweichung a in die Tangente der Polhöhe (90 — «) gleich. Diese Gleichung vermittelst der Logarithmen berechnet, gibt IoA «in d — loA WNA a -j- loA tariA (90 — «) — 10. Ist nun die Abweichung LL— a ^ 25° 27^ 45" und die Höhe des Aequators « — 57° 28' 16", anstatt deren man auch die Polhöhe, d. i. den Bogen von (90° —«) —(90°— Z7°- 3 '12") --Z2°Z>//,4" nehmen kann; so ist lo§ 25° 27' 45" — 9,6575241 1o§ WNA52° Zi^44" — 10,115473a
19,7329971 10,0000000 lOKsind— 9,7529971 Zu diesem Logarithmus gehört zunächst die Zahl von 84° 29/ 17". Der Berechnung gemäß könnte der gesuchte Sinus auch zu dem stumpfen Winkel gehören, welcher den gefundenen zu 180° ergänzt. Allein aus den Umständen geht es deutlich hervor, daß hier der

"S
spitze Winkel genommen werden muß. Setzt man diesen Bogen für «6 mit dem Bogen —^"zusammen; so erhalt man den halben Lagbogen — 90° -f- Z4° 29^ 17" — 124° 2</ 17". Um nun die Dauer des Tages zu bestimmen, muß dieser Bogen in Zeit verwandelt werden, und weil das Fortrücken der Sonne bei ihrer stets veränderlichen Abweichung beinahe völlig so viel ausmacht, als wenn die Sonne sich wie ein Stern bewegt hatte, so muß man die 124° 29/ 17" in Sternzeit verwandeln.
120° g St. o^ 0" 0"^
4° 16^ 0" o"^
0° 29^ — 1^ 56" o"^
0° 17" — 1" 8^"
124" 29^ 17" 8 St. 1/ 57" 8"^
d. i. die halbe Taglange in Sonnenzelt. Ziehet man diese Zahl, welche die Stunde des Sonnenunterganges bezeichnet, von 12 Stunden ab d. i.
ii St. 59 Min. Z9 See. 60 Tert.
8 '7 57 8 _
5 42 2 52
so ist diese Differenz, welche zugleich den Aufgang der Sonne bezeichnet, die halbe Nachtlange. Es ist demnach die Lange des ganzen Tages 16 St. 55^ 57 " 8^"
die Lange der ganzen Nacht 7 24 5 44
Sonnenaufgang Z 42 2 52
und Sonnenuntergang 3 r7 57 3 .
II. Da nun die Figur die östliche Halste der Himmels- kugel vorstellt, so ist der Durchschnittspunct « des Aequators mit dem Horizonte, der Ostpunct. Ist nun

ISO
die Sonne bei ihrem Aufgange in V; so bezeichnet der Dogen «L die Morgenweite. Dieser Bogen laßt sich aber aus den gegebenen Stücken, nehmlich dem Winkel « und der Seite durch folgende Proportion bestimmen: r : sin c ^ sii, « : «in a ( 6 g.) d. h» der Sinus totus, verhalt sich zum Sinus der Mor- genweire, wie der Sinus der Höhe des Aeguators, zum Sinus der Abweichung der Sonne. Folglich ist
. siii a . , . . , ., , .
sur c ^- d. h. logarlthmijch loZ sm c— 10 -j-
sin -t
1oZ sin s — log sin «. Behalt man nun die obigen Angaben in Zahlen für a und « bei; so ist ko§ sin tc>e — 10,0000000 log sin A — 9,600045z
19,600045z ioA «in « — 9,78416 > 6
loZ sin c — 9,6159837- Dieser Sinus gehört zu einem Bogen des Horizontes von 40 ° 55 ^ g" oder zu dessen Ergänzung zu igo°. Es ist aber bekannt, daß die Morgenwcite nie über 90 ° gehen kann. Da- hex jiiuß hstr der spitze Winkel genommen werden, nehmlich von dem Ostpuncte an, nach Norden gerechnet, welcher also die gesuchte Morgenweite angibt. Aus demselben Ausdruck findet man auch die Abenhweite, Da aber die Sonne bei ihrem Aufgange eine andere Abweichung hat, als bei ihrem Untergänge; so müßte man eigentlich die Rechnung für die Abendweite mit dieser, wahrend des Tages veränderten Abweichung, führen. Indeß leidet die Sonne in ihrer angenommenen Stellung an den lang-

steil Tagen nur eine unmerkliche Aenderung. Daher kann man da, wo es nicht auf die höchste Genauigkeit ankommt, die für die Mittagszeit der Sonne gegebene Abweichung, zur Berechnung der Abendweite beibehalten.
III. Das Azimuth (50.) ist in der Figur durch ^6 vorgestellt. Es wird daher durch eine leichte Addition des Bogens zu 90° oder im Falle das Gestirn südlich wäre, durch die bloße Subtraktion des Bogens «a von 90° gefunden. Also ist das Azimuth hier — 90° -j- » 0 . Gewöhnlich ist mit dem astronomischen Mauerqnadranten, noch ein Horizon- talkrcis verbunden, der so eingerichtet ist, daß man die Höhe und das Azimuth eines Sterns zugleich, durch eine Beobachtung finden kann.
Zusatz 1. Sollte nun noch der Winkel berechnet werden, welche» der Abweichungskreis mit dem Horizonte bei L einschließt; so kann man sich dazu der Gleichung cos « — slil L . cos 0 (75. lb!n. 2.), also sin L —
5 !^-^ bedienen, aus welcher man ebenfalls nicht bestim-
cos
men kann, ob L > 90° oder < 90° sei. — Ueberhaupt stehen die fünf Stücke: die Abweichung IkL —:>, die Morgcnweite «6—c, die Ascensionaldifferenz »6 — die Höhe des Acguators — « und der Winkel, welchen der Horizont mit dem Abweichungskreise an der Himmclskngel bildet, in einer solchen Verbindung mit einander, daß man aus zwei gegebenen Stücken allemahl die übrigen berechnen kann.
Zusatz 2. Auf eben die Art, wie sich in der obigen Aufgabe die Ascensionaldifferenz berechnen laßt,

122
kann man auch die Defcensionaldifferenz d. h. die Differenz zwischen der geraden und schiefen Absteigung finden.
Zusatz Z. Geht die Sonne in ihrer Laufbahn durch die südlichen Zeichen, so wird die Berechnung für die Lange und Kürze der Lage ganz nach der Auflösung der obigen Aufgabe geführt; nur muß die Afccn- fionaldifferenz von dem Quadranten d. i. «L von 90° abgezogen, und der Ucberrest des Bogens in Zeit verwandelt werden. Es liegt z. B. Petersburg unter der Breite von 59° 56^, wie lang ist der kürzeste Tag und die längste Nacht, wenn die Abweichung 25° 25^ betragt? Hier wird «c aus den gegebenen Stücken gesucht und es ist der Sinus der Afcensionald. — Tang. der Abw» X Tang. der Polhöhe. Es ist aber
loz «AI1A 2Z° 2^ ^ 9,6576106
Io§ MI1§ 59° 56' — 10,2375944
i 9 , 875 o» 5 c>
io,onooooc>
9 , 875 oc> 5 o.
Dieser Sinus gehört zu einem Bogen von 48 ° 55^ beinahe, welcher von 90° abgezogen 41° 25^ betragt. Diese in Zeit verwandelt, geben 41° — 2 St. 44 Min.
o 25/ — - 1 Min. 40 See.
41° 25^ — 2 St. 45 Min. 40 See. für die halbe Lange des Tages. Zieht man diese Zahl von 12 Stunden ab; so erhalt man die halbe Lange der Nacht nehmlich 11 St. 59 Min. 6» See. — 2 St. 45 Min. 40 Sec. — 9 St- 14 Min. 20 See. Es ist also

12Z
die Dauer
des ganzen Tages 5
St. Zt
Min. so Sec.
die Dauer
der ganzen Nacht ig
28
40
Sonnenaufgang 9
*4
20
Sonnenuntergang 2
45
40
beinahe.
Berechnet man den längsten Tag und die kürzeste Nacht des gesuchten Ortes, so findet man die Ascensionaldif- ferenz von gleicher Größe und man siehet daraus, daß überall der kürzeste Tag mit der kürzesten Nacht und der längste Tag mit der längsten Nacht übereinstimmt.
A um erkling i. Diese Aufgaben gehen nur bis auf 66° nördlicher und südlicher Breite d. i. bis an die Polarkreise. Denn die Sonne erleuchtet die Hälfte der Erdkugel und ihre Strahlen fallen ein halbes Jahr hindurch auf die eine oder die andere der kalten Zonen, je nachdem sich die Sonne diffcilS oder jenseits des Aequawrs befindet szg.). Vergleicht mal, nun die Lange und Kurze der Tage und Nächte an verschiedenen Oertcrn das ganze Jahr hindurch, so wird man finden, daß die Summe der Dauer der Tage und Nachte überall gleich groß ist und nicht bloß an den Polen, wo es an sich offenbar ist, sondern überall ein halbes Jahr betragt.
Anmerkung 2. Es ist schon oben bemerkt worden, daß die Sonne bei ihrem Untergänge eine andere Abweichung hat, als die gegebene, welche mit ihrer Culminaiion zusammen gehört. Es müßte also eigentlich die Declination der Sonne gegeben sein, welche sie bei ihrem Aufgange um Z Uhr 42 Minuten 4 Secunden' und bei ihrem Untergänge um g Uhr -7 Minuten Z Secunden hatte. Will man diese Veränderung auch in Rechnung bringen, so darf man nur erst die halbe Lange des Tages beiläufig suchen, sich mit der Abweichung, welche die Sonne an den beiden nächsten Durchgangen durch den Meridian des Mittages gehabt haue, bekannt machen, welche man aus den Ephemcriden

leicht finden kann, und dann zu den drei Zahlen, nehmlich zu 24 Stunden, zur gefundenen halben Lange des Tages, zu der in 24 Stunden veränderten Abweichung der Sonne, die vierte Proportionalzahl suchen, welche diejenige Abweichung ist, die noch zur gegebenen hinzugesetzt oder von derselben abgezogen werden muß, je nach dem die Abweichung der Sonne zu- oder abnimmt. Dann löset man die Aufgabe mit dieser nunmehr berichtigten Abweichung auf, wodurch man den halben Tagbogcn viel genauer erhalt. Nach diesem Verfahren findet man auch die andere Halste des Tagbogens. Dieses Verfahren kann man nun wiederholen und die Rechnung bis zu einer Genauigkeit ausführen, die selbst in der Astronomie nur selten verlangt wird. Zu einer beiläufigen Berechnung kann man sich, in Ermanglung anderer Hülfsmittel, die Abweichung nach den vorhergehenden Ausgaben, aus der geraden Aufsteigung und Schiefe der Ekliptik berechnen und dabei die mittlere Bewegung der Sonne, nehmlich für jeden Tag im Durchschnitte 59' g" 20'" annehmen.
Anmerkung z. Bei der Bestimmung der Lange und Kürze der Tage in der obigen Aufgabe, sind zwei Stücke aus der Acht gelassen, welche die Datier des Tages beträchtlich verlängern und zwar 1) die Strahlenbrechung und 2h die Dämmerung. Jene benagt im Ganzen ungefähr 3 Minuten und diese hängt von der Lage des Oris und der Stellung der Sonne gegen die Erde ab, und diese Umstände sollen neck in der Folge betrachtet werden. — Diese wenigen Ausgäbet, mögen hinreichend seit,, den Nutzen der Formeln für die Berechnung rechtwinkliger sphärischer Dreiecke zur Bestimmung der Lage und Stellung der Sonne gegen die Erde und der andern Wcltkörper zu zeige». Ausführlicher kann dieses vermittelst der Auflösung der schiefwinkligen Dreiecke geschehen. Daher wollen wir deren Lehren kürzlich auseinander setzen und ihre mannigfaltige Anwendung in einigen Beispielen zeigen.

Sechster Abschnitt.
Von der Auflösung schicfwinkliger sphärischer Dreiecke.
§. 85 .
In einem schiefwinkligen spharischen Dreiecke (Figur I?.), fälle der aus der Spitze L auf die gegenüber liegende Seite lothrecht gezogene Bogen, innerhalb oder außerhalb des Dreieckes; je nach dem die an der Grundlinie -4.6 anliegenden Winkel von gleicher oder verschiedener Gattung sind.
I. Ätan nehme an, beide Winkel ^ und waren spitzig, und also von gleicher Art, so ist der Nebenwinkel von d. i. der Winkel LLL größer alS
kk (an.). Fiele nun der Perpendikel nicht innerhalb des Triangels, so fallt er ausserhalb desselben, wie LL. Alsdann liegt dem spitzen Winkel ^ gegenüber und ist daher kleiner als 90° (75.); allein LL liegt auch dem stumpfen Winkel LLL gegenüber und ist daher größer als 90°. Beides aber kann mit einander nicht bestehen; folglich der Perpendikel nicht

126
ausserhalb des Triangels fallen. Ware jeder
der beiden Winkel und /eOL größer als 90°; so ist der Winkel LLL spitzig und der Perpendikel II L muß wegen des Winkels bei größer, und wegen des Winkels L6L kleiner als 90° sein, welches ebenfalls nicht bestehen kann.
II. Man nehme an, beide Winkel ^ und (Fig. zg.), waren ungleichartig, < 90° und > 9»°.
Fiele nun der lothrechtc Bogen nicht außerhalb des Triangels so mußte er innerhalb desselben,
etwa wie LL fallen. Alsdann aber ist 6L wegen des Winkels -<V, < 90°, und wegen des Winkels -KLL, > 90°. Da dieses nicht möglich ist, so muß der Perpendikel ausserhalb des Triangels fallen.
§. 66 .
In jedem sphärifchen Dreiecke verhalten sich die Sinus der Seiten, wie die Sinus der diesen Seiten gegenüber liegenden Winkel.
Alle spharische Dreiecke sind entweder rechtwinklig oder schiefwinklig. Von jenen ist der Satz bereits (67.) erwiesen worden; und von diesen laßt sich der Beweis auf folgende Art führen. Es fei (Fig. 59.) ein
schicfwinkliges Dreieck. Durch die Spitze L und den Mittelpunct der Kugel, worauf verzeichnet ist,
werde eine Ebene geführt, welche auf der Ebene der Seite ^.6 senkrecht ist; so wird das fchiefwinklige Dreieck in zwei rechtwinklige und LOO,
der Winkel bei I- in zwei andere p und 9 und die diesem Winkel entgegengesetzte Seite ^0, in zwei Ab-

127
schnitte 6V ^ k und ^ir — § zerfallt. Nun verhält sich in dem Dreiecke ^LO.
l : sili L — sili ^ : sili L O (67) und
r : sili L 6 — sili 6 : sili L O folglich
sili lV 8 : sili L 0 — sili L: sili lV oder sili c : 8117 a — sili 6 : sili ^ oder sili c : sili 0 — Sili a : sili lV.
Zusatz. Da man aus jeder Spitze auf die entgegengesetzte Seite einen lothrechten Dogen ziehen kann; so erhellet daraus die Richtigkeit der obigen Proportion auch für die Winkel ^ und L. Denn es verhält sich sili 0 : sili ^ — sili li: sili 8, vorhin aber war
sili -i : Sili ^ sili c: sili (ü. Hieraus folgt, daß
Sili i>: Sili 8 sili c : Sili L.
§. 87 .
Wenn aus der Spitze eines schiefwinkligen Dreieckes ein Perpendikel auf die Grundlinie gefällt wird; so verhalten sich die Sinus der beiden Abschnitte der Grundlinie umgekehrt, wie die Tangenten der anliegenden Winkel; die Cosinus dieser Abschnitte aber, wie die Cosinus der anliegenden Seiten.
l. Es sei 8v (Fig. 59.) der Perpendikel, k und § bezeichnen die Abschnitte; so ist erweislich, daß sln 5 : sln § ^ rang-h.: wiiZ L. Denn es ist
1) sili 5 — cc>r 0 . wliA 8 O (7^. l^c>. Z.)
2) «in A — vor ^ . luiig I» O
Z) sln b: «in § — cal O : cot lV oder /j.) sili t': sili A rallA ^ : tail» 0.

128
Die Prop. i) sollte eigentlich nach der N»p. Regel, so ausgedruckt werden cos (90° — 5) — coi Q . 601(90" — VV), welche aber gehörig verändert, die obige Proportion gibt. In Z) sind die Glieder des andern Verhältnisses durch Lv dividirt. 4) einsieht aus 5), weil sich die Tangenten umgekehrt wie ihre Cotangenten verhalten.
II. Eben so läßt sich auch beweisen, daß cos k: cos g ^ co8 L : cos c. Denn es isi
cos 3 — 608 k. 608 l; v (7Z. Kko. Z.)
folglich cos L O — und aus dens. Gr. j,u an- 608 t'
dern cos LO — folglich
cos g
cos 3 cos c
-- —-Daher ist
cos k cos A
cos 5 : cos 3 — cos A : cos c oder
cos k : cos Z — cos a : cos c.
§. 88 -
Wenn aus der Spitze eines schicfwinkligen Dreieckes, auf die Grundlinie ein Perpendikel gefällt wird, so verhalten sich die Sinus der beiden Winkel an der Spitze, wie die Cosinus der Winkel an der Grundlinie; die Cosinus jener Winkel aber, umgekehrt, wie die Tangenten der anliegenden Seiten.
I. Es isi hier Zu beweisen, daß siu p : sln 9 cos e : cos ^ sei. Denn es ist (Fig. 59») ^ L — siu ^.
SLN

129
siii (90 — k>) (7Z. Ko. 2.) — sili L. cos d oder cos b
cos L . ... , cos.-V
—.—. Eben so ist auch cosa — —-und die-
«in ^ bin L
ses gibt, wenn wir die Theile der rechtwinkligen Dreiecke in (Fig. 39.) eben so vergleichen, cos L Q ^ cos L eben dein Grunde ist auch iur
SII1 p
andern Dreieck cos VO — ^ folglich —
cos 9 siii ^
und hieraus folgt die Proportion slu^ :cos6
sin 9
— sin 9 : cos ifl. oder sin ^ : 8111 9 — cos dl : cos /V.
II. Eden fo laßt sich beweisen, daß cos i'r cos g — tan° c : tanA a. Denn es ist ' Fig. Z9.) cos ^ — cor a. taug L O (7Z. ldlo. I.) cos 9 ^ cot c. tantz L O cos : cos 9 — cora : cor c oder cos ^ : cos 9 — tunZ c : tsiiA u.
Anmerkung. Diese Formeln sind zur Entwickelung der Eigenschaften aller spharischen Dreiecke, in welchen aus einer Spitze auf die entgegengesetzte Seite ein Perpendikel gefallt wird, sehr geschickt und werden vorzüglich in den Fallen mit Vortheil gebraucht, wenn die Auflösung schieft winkliger Dreiecke, vermittelst der Logarithmen geschehen soll.
§« üsi«
Aufgabe. Die drei Seiten eines spharischen Dreieckes sind ihrer Größe nach einzeln in Zahlen gegeben, man soll daraus die Größe der Winkel berechnen.
Auflösung. Man subtrahire (Fig. 59.) von dem Cosinus der, dem gesuchten Winkel gegenüber liegenden
Ä

1Z0
Seite, das Product aus den Cosinus derjenigen Seiten, welche den gedachten Winkel einschließen und die Differenz dividire man durch das Product aus den Sinus dieser jetzt genannten Seiten, so ist dieser Quotient dem Cosinus des gesuchten Winkels gleich, d. h. es ist
. cos — cos b . cos c
cos -
sin l) . sin c
Es ist hier nehmlich zu beweisen, daß
. cos a — cos b . cos c
cos L .-..
sin l> . sin c
cos c : cos a ^ cos A : cos k ( 67 - II.)
cos § : cos (b — Z).
— cos § : cos b cos g -s- sin b . sin ^ _ cos p cos A -s- sin b . sin A
- cos §
— i : cos l> -j- sin d . tsn§ ^
— i : cos b -j- sin d . N>NA c . cos L
folglich cos a— cosd . cos c -j-sin d . cos c . tsn§ c . cos^
cos L — also cos -V —
cos d . cos c sin b . sin c . cos cos.o — cosl) . cos c sin b . sin c
Die dritte Proposition folgt in dem obigen Beweise aus der zweiten nach den Grundsätzen der ebenen Trigonometrie. In der vierten sind die beiden letzten Glieder durch cos A dividirt. In der fünften ist ranZ § anstatt
- gesetzt; in der sechsten istcosH..tsnZc fürwnAZ ge-
co«A
schrieben, weil cos ^ cot c . cor (90 — (7Z. Nr. 6.)
— coc c . wnA§, folglich wn§ ° -cos
coc c

t-inA c. Aus der sechsten Proposition entsteht die folgende Gleichung nach (§. 9^) und in der siebenten ist
—für tanA c geschrieben, cos c
Zusatz. Der für cos ^ gefundene Ausdruck laßt sich mit der nöthigen Beziehung auf die Seiten, auch unmittelbar auf cos L anwenden und es ist cos L —
.-— und so ist auch cos G
sin u . siir c
cos c — cos u . cos d>
siu u . sin d
Anmerkung. So vortheilhaft und einfach dieser Ausdruck zur Bestimmung der Seiten eines spharischcn Dreieckes auch ist; so laßt sich derselbe doch nicht bequem durch Logarithmen berechnen. Daher wollen wir uns diese Aufgabe noch einmahl und zwar mit Rücksicht auf den gedachte» Umstand vorlegen und der gefundene» Gleichung, eine zur Berechnung durch Log. bequemere Gestalt geben.
§. 90 .
Aufgabe. Aus den drei nach (88.) gegebenen Seiten eines sphärischen Dreieckes, einen Winkel vermittelst der Logarithmen zu berechnen.
Ist (Fig.Z9.) das gegebene Dreieck, —c, —k>, LL — s, die gegebenen Seite», ^ der gesuchte Winkel; so erhalt man den Sinus von 4 ^, nach folgenden Regeln:
-) Man addire zu der, dem gesuchten Winkel ^ gegenüberstehenden Seite a, einen der beiden übrigen I> und ziehe alsdann das dritte c von der Summe n -st li ab, d. i. man nehme a-st d — c.
R- 2

152
2) Man addire zu der, dem gesuchten Winkel ^ gegenüberstehenden Seite a, die andere der gegebenen Seiten c und ziehe von der Summe a -s- c die noch Übrig gebliebene 8 ab, d. i. man nehme ac— 8.
Z) Von den Halsten dieser beiden Reste nehme man die Sinns und multiplicirc sie in einander, d. i. »in ^(a-s-8 — c) . sin ^ (a -j- c — 8).
4) Dieses Product dividire nian durch das Pro- duct der Sinus, der den gegebenen Winkel ^ einschließenden Seiten, d. i. durch «in 8 . sin c.
5) Endlich ziehe man aus diesem Quotienten die Quadratwurzel aus, so ist
iiin !
^ (a -s- 8 — c) . sin ^ (a -j- c —
Beweis. Es ist sin
sin 8 . SIIL c (i —cos^)
oder
2sin^'—1 — cos^. u. für cos den Werth
aus (88.) gibt 2 sin
(
cos a — cos 8 . cos c
)
sin 8 . sin c
_sin 8 . sni c — cos s -j- cos 8 . cos c
sin 8 . sin c
_(cos 8. cos c -H sin 8. sin c) — cos a
sin 8 . sin c cos (8 — c) — cos a
Nun ist
sin 8 . sin c
cos /Z — cos « ^ 2 sin (« . sin ^ (« — /Z). Setzt
man nun /;^8 — c und a; so ist cos (8 — c)—. cos a—2sin^(a,-j-8 — c) . sin ^ (s — 8-j-c). NllN cos (8 — c) — cos a
War 2 sin^
d. i.
sin 8 . «in c

iZo
2 sin 2 '
2 sin ^ (it-j-d—-c) . sin^ (a—li-s-c)
oder «in ^
sin li . sin c
sin ^ (g -s- li — c) . sin ^ (a—k> -j- c)
endlich sin ^ ^ ^
«in l) . sin c
sin ^(n -j- d — c). sin ^(a—d -P c)
siii lo . sin o
Anmerkung. Der Sinus des Winkels ^.4. gehöre sowohl zu einem spitzen als zu einem stumpfen Winkel; allein ^ ist allemahl kleiner als 2 kl, folglich kleiner als k- Dahcr muß, ungeachtet des zweideutigen Wurzelzeichens, allemahl der Sinus des spitzen Winkele genommen werden.
§. 9i.
Aufgabe. Die drei Winkel eines spharischen
Dreieckes sind ihrer Größe nach einzeln bekannt, man soll daraus die Größe der Seiten berechnen.
Auflösung. Man addire zu dem Cosinus des, der gesuchten Seite gegenüber liegenden Winkels, das Produkt aus den Cosinus der beiden übrigen Winkel und dividire die gefundene Summe durch das Product der Sinus der beiden gedachten Winkel d. h. es ist
(108 -I- 003 Ir . cos 6
cos a ^ --
8111 L . 8111 6
Man lasse des Beweises wegen aus L einen Perpendikel Lv auf die Grundlinie L6 herab; so verhalt sich cos L l cos ^ — sin p : sin g (gg. I.)
sin p : siii (L—
^ siii p : sin IZ . cos p — cos L . sin p — i ; sin L . cor x — cos L

1I4 —
cos 6 : cos n — I: siir 8 . tanA 6 . cos a — cos 8.
cosN r^siir8. lair° O.cos 0. cosu— cos 8. cos (i (92.) cos N — sin 8. sin (l. cos a — cos 8 . cos 0
sin I, . sin L . cos a cos N -s- cos 8 . cos L
cos a
cos d
cos N -fi- cos 8 . cos 6 sin 8 . sin L cos 8 -s- cos N. cos 6 sin . sin
Eben so ist und
cos 6 -I- cos N . cos 8 cos c — .-!-
sin N . sin 6
Anmerkung. Man vergleiche diesen Satz mit dem (§. glg.) des Llcn Th. Ablh. des Lehrb. von Karsten. Hier ist derselbe aus den Ergänzungsstuckcn des Polardreiceks cnl> wjchelt.
H. 9^.
Aufgabe. Aus den drei nach ( 91 .) gegebenen Winkeln eines spharischen Dreieckes, die Seiten vermittelst der Logarithmen zu berechnen.
Auflösung. Ist das Dreieck, wie vorher, bezeichnet und a die gesuchte Seite, so wie N, 8 und 6 die gegebenen Winkel; so findet man den Cosinus der halben Seite nach folgenden Regeln:
r) Man addire zu dem, der gesuchten Seite s, entgegengesetzten Winkels, einen der beiden übrigen 8 und ziehe den dritten 6 von dieser Summe ab, das ist. . . n -j-8 —c.
2 ) Man addire zu dem, der gesuchten Seite 3 , entgegen gesetzten Winkelnden andern 6 der beiden übrigen Winkel und ziehe den vorigen 8 ab, das ist . . . n -s- e —8.

5 ) Von den Hälften dieser beiden Reste nehme man die Cosinus und multiplicire sie in einander d. i.
cc >5 ^ -s-8 — 6). co8 4 -s-6— 8).
4) Dieses Product dividier man durch das Pro- duct der Sinus der an der gesuchten Seite liegenden Winkel 8 und 6 d. i. sin 8 . 5in 6.
5 ) Endlich ziehe man aus diesem Quotienten die Quadratwurzel aus; so ist
sin 8 . 8in 6
(cn8 8 . cn8 6 -s- 8in 8 . 8in 0) -s- cc>8
8N1 8 . 81N 6
cc>8 (8 — 6) -s- c 08
8111 8.8IN 0
Run bezeichne man 8 — 6 mit einem Buchstabens^, setze « und schreibe den Zahler des obigen Bruches mit diesen Buchstaben; so ist
Alsdann stelle man in derselben Gleichung die vorige Bezeichnung wieder her, so ist
cv8 (8 — 6) co8 ^4. — 2 co8 ^ (^-^-8—6)cc>8^(^.-j-6—8),
cc>3 4a — s/
co8 z (/e-ch- 8 —6) . cci8 4 (^.-j-6 —8)
«in 8 . sin 6
Beweis. Esistco8 42
Es ist co8^a^:8/ s^—
2 cos 4 — i co8 o oder
2 cv5 ^ a" — i -s-
, ce>8^-l-cc,8 8. co3 6 .
L- — I -s---^— oder
8 in 8.8iii 6
8in8 .siii6-^-ca8-V-^c:c>88. co8 0
cc>8 /Z -s- co8 « — 2 co8 ^ -s- /Z) - oc>3 T — /Q-
folglich ist 2 co 8 ^s"
2 oos4l^--^8—6).cc>84(^-^-6—8)
8iii 8 . siii 6

156
oder cos ss n'
cos -f-D >—- 6) . cos ^ (/4 —f- 0 — ^)
sin L . siii 0
folglich coZ4n^: j/
cos^(^.-f-L— (H. cos ^(,4-^6—so) sin lö . sui ti
Anmerkung. So wohl in Ansehung dieser als der vorhergehenden Aufgabe muß man bemerken, daß cos i a- —
cos a. (i4 -s- li — 6) . cos ^ ; .4 ch 6 — 1H .
-1—-—:—77--für den Halbmesser i
SIN ri . SIII 6
gilt. Die trig- Linien aber verhalten sich wie der Halbmesser. Bezeichnet man nun durch cos iah i a denjetii- gcn Cosinus, der zum berechneten Halbmesser der gewöhnlichen Tafeln gehört und den man hier-- nennen kann; so verhalt sich i- : cos iah i a 771 1 icos^a, also ist cos^a —
cos iah . 1 . .1
Folglich cosja^
cos tah . ^ a^
r ' " 11
Ans gleichen Gründen wird nack> obiger Voraussetzung cos 4 (^-s-L- 6 ).cosi(t 1 -s- 6 -^)^- cos tah 1 (.4 > i; — 6 ) . cos,akj(.4-s-6 —L)
und endlich
sin 8 . siii 6 7
sin Iah D . sin Iah 6 .cos tah ^ 2 °
^ ^----, folglich ^—-r—
oder
scostah 1 (i4 -s- D — 6) . cos iah 1 sl4 ch « — 6)^ -11 (sin lah . L . sin iah 6- : 11 cos lab^ a° cos tab^(l4 lä — 6). cos tahi(^-l-Ii — 6) I'r sin Iah I!. sin Nil) . 6 ^
folglich
i? cos tahi(.4-s-k) — 6) . cos tah^(i4-s-IZ — 6)
cos lab ja- oder cos
sin iah . sin tah . 6
^ > cos tahis^-HL—6). cos rahis^-s-6—Is) ^ sin L . sin 6
Nnn könnte zwar wegen des doppelten Vorzeichens, a so w6 l größer als kleiner denn igo° sein; allein da a nie > igo° werden kann; so muß auch j-a allemahl kleiner als 90 ,cin.

§. 95 -
Aufgabe. Aus zwei Seiten und einem Winkel, welcher einer der gegebenen Seiten gegenüber liegt, den Winkel zu finden, welcher der andern gegenüber liegt.
Es mögen WL — c und 66 — a die bekannten Seiten sein, der, der Seite 66 entgegen gesetzte gegebene, und 6 der gesuchte Winkel; so laßt sich 6 ohne Herablassung eines lotbrechtcn Bogens unmittelbar aus der Proportion sinn : sin^—sinc : sin6 (g6.) herleiten, und
sin a
Anmerkung Das Resultat dieser Aufl. gehört, wie bei der ebenen Trig. zu den zweifelhaften Fallen, weil sich aus den gegebenen Stücken, zwei Dreiecke bestimmen lassen. Indeß kann man die Anzahl dieser Falle in der sphärischcn Trig. durch folgende Regel sehr vermindern, nach welcher die, den gegebene» Seiten entgegen gesetzten Winkel, > oder < oder — >8o°'sind, je nach dem die Summe der gc d ach te n S e ite n > oder < oder — igo° ist- Der Grund dieser Vorschrift wird aus (95.) Am». Z. erkannt.
Anmerkung L. Auch wird in der Folge die obige Aufgabe sich nach Anm. z. (95.) entscheiden und bestimmen lassen, wenn anstatt des bekannten Winkels, die Summe oder Differenz der beiden, den gegebenen Seilen entgegen gesetzten Winkel, bekannt sind.
H. 94»
Aufgabe. Aus zwei Winkeln und einer Seite, die einem dieser Winkel gegenüber liegt, die dem andern Winkel entgegen gesetzte Seite zu

1Z8
Die gegebenen Stücke dieser Aufgabe sind die bei- den Winkel ^ und L, und die Seite LO — a und hieraus soll die Seite ^ 6 ^ d gefunden werden. Man kann aber diese vier Größen nach (86.) so ordnen, daß sin ^ : «In a ^ sln L : sin d. Folglich ist
. , sin 3 . sii 3 L
riu 8 —-
siu^.
Zusatz. Zu eben solchen Verhältnissen lassen sich nach den Vorschriften der Aufgabe jede zwei Winkel und Seiten verbinden, so daß aus gleichgclegencn Theilen des Dreieckes jede Seite bestimmt werden kann. Nur laßt sich auch hier aus den gegebenen Stücken allein nicht beurtheilen, ob die Seite kleiner oder größer als 90" sei. — Ist die Summe der gegebenen Winkel ^ oder < oder — 18"°, so ist die Summe der den gedachten entgegengesetzten Seiten auch ^ oder < oder — 180°.
§. 95 .
Aufgabe. Aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel eines spharischen Dreieckes, die dritte Seite zu finden.
Die beiden gegebenen Seiten nebst dem eingeschlossenen Winkel mögen in (Fig. 59.) ^.6 — c, ^,6 — 8 und der W. sein; so ist LL ^3, die gesuchte
Seite. Nun lasse man aus der Spitze des Winkels L, auf die gegenüber liegende Seite einen Bogen loth- recht herab, und beobachte bei diesem Verfahren allemahl folgende Regel: Man ziehe den loth rechten Dogen so, daß eines von den beiden rechtwinkligen Dreiecken, in welche das schief-

winklige H-LL dadurch zerfallt wird, zwei der gegebenen Stücke enthalte. In diesem Falle sind —c und der W. die bekannten Stücke.
Nun hat man im rechtwinkligen Dreiecke drei Stücke, nehmlich —c, den W. und den rechten W. Vermittelst der Neperschen Regel
findet man hieraus nun leicht entweder die gesuchte Seite unmittelbar oder ein solches Stück, woraus die gesuchte Größe durch Anwendung einer der vier Pro« portionalsatze (§. 86. 87.) hergeleitet wird.
Indem man aber den senkrechten Bogen ziehen will, so entsteht die Frage, ob derselbe innerhalb oder außerhalb des Dreieckes falle, d. h. ob er die Lage von LO nach (Fig. 37.) oder nach (Fig. Z 8 .) erhält. Diese bestimmt sich durch folgende Betrachtung. In dem rechtwinkligen Dreiecke v (Fig. 59.) sind die beiden Stücke — s und der W. bekannt. Daher weiß man, ob sie beide von gleicher oder ungleicher Gattung sind (75.). In jenem Falle ist v von um weniger, in diesem Falle aber um mehr als um 9»° entfernt. Da nun die Seite ^<9 auch bekannt ist; so laßt sich leicht beurtheilen, wo der Perpendikel hinfallt, wenn man den Abstand mit der gegebenen Seite ^.6 vergleicht.
Nach diesen Bestimmungen berechne man in dem rechtwinkligen Dreiecke aus ^ und c; so ist nach der Neperschen Regel
cos— cor c . coe (90— g) (7Z. Nr. 4 -) oder cos. 4 . — cor c . rang . « oder cos ^ .
rang . g —- — cos . tang c.
coe c
Hieraus erhalt man nun k—k> —§.

Ferner verhält sich cos : cosk — cos c: cos a (37.),
folglich cosa —
cos c. cos
k
cos A
Endlich erwäge man noch, ob die gefundene Seite a < oder > 90° sei. Jener Fall tritt ein, wenn die beiden lothrechten Seiten Ilv und V6 im Dreiecke von gleillier Art, dieser, wenn sie von ungleicher Art sind. Ob aber die lothrechte Seite Lv < oder > als 90° ist, laßt sich aus dem gegebenen Winkel ^ nach (7Z.) beurtheilen.
Das ganze Verfahren dieser Auslösung beschrankt sich also auf folgende Stucke. Man berechne zuerst vermittelst der Nepcrfchen Regel, den einen Abschnitt derjenigen Seite, auf welche der Bogen LO senkrecht herabgelassen ist. 2) Man bestimme daraus den andern Abschnitt der gedachten Seite. Z) Durch gehörige Anwendung einer der (g6. 87 -) Proportionen leite man die gesuchte Seite her. 4) Endlich bestimme man aus der Vergleichung desselben mit dem aus (Z.) gefundenen Abschnitt und dem gegebenen Winkel, ob sie größer oder kleiner als 90° fei.
Anmerkung 1 . Aur Auflösung der obigen Aufgabe kann man sich auch des in (88-) gefundenen Ausdruckes bedienen. Es ist nehmlich
cos a — cos b . cos c
cos.L —-—-- oder
s>ii b . sm c
sin d . sin c. cos ^ — cos <1 — cos I> . cos c oder cos a — cos k> , cos c -f- sin ll . sin 6 cos In Ansehung dieser beiden Auflösungen ist nur noch zu bemerken, daß man die gesuchte Seite vermittelst der Cosinus nicht mit der nöthigen Genauigkeit finden kann, wenn sie sehr klein ist. In diesem Falle bediene man sich folgender

Auflösung. Es ist
cos (8 — c) -
(89. Gl. 5.) oder
sin 8 . sin c
2 sin j iL- . I, . §iii c — cos (8 — c) — cos a 2 sin j il.- - sin 8 . sin c — 2 sin ja — 2 (sin j l8 — c))- oder sin j a — 1 / s(si n j l8 — c))- fl- sin 8 sinc . sin j iV-sj oder
sin 8 . sin 0 . sin j L.->
!
Sin j a — sin j (8 — c) V l 1 fl-
sin j (8 — c) -
Anmerkung 2 . In der dritten Auflösung entsteht die dritte Gleichung aus der zweiten, indem 1—2 sin ja- f(,r cosa und 1 — 2 (sin j <8— 0 ))- für cos (8 — 0 ) gesetzt und jene von dieser abgezogen worden ist. Zur größer» Bequemlichkeit, den sin ja durch Logarithmen zu berechnen, theile man das, was auf der rechten Seite sieht, in zwei Theile
ab, so daß MatltAaaa- —
,-z,-
(b-a)
^ sin 8 . sin 0 und
sin j (8 — c) .
alsosinja —---fetzt.
Anmerkung g. Der Grund der gedachten Abtheilung beruhet auf der log. Berechnung des Ausdruckes x — ^
/- s88->
(in- ch- N-) — r/ (in- -I- xirK-) — IN 1 / (^1 -l- — —
288 - II
Setzt man nun --— r»---, so ist tZ« ——r/gli und
IN- IN
X—IN V (1 -j- t^ «-) — NI sec -L — - . Setzt man nun
^ cos »
x — ein j a A — sin Ii Ii — sin e Is — sin j ^
IN sin! (I, — c); so erhall man lK-ra
sin j (8 — xd und sin ja— --.
sin j.4. r/ sin 8 sin 0 sin j (a — 8)
cos »

142
§. 96 .
Aufgabe. Aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, einen der beiden übrigen Winkel zu finden.
i) Die bekannten Stücke dieser Aufgabe sind nach (Fig. 59 «) —und der und
der gesuchte Winkel sei Man lasse aus L wieder Lv senkrecht auf herab; so ist in dem rechtwinkligen nach der Ncp. Regel
cos ^4 — cor c . cor (90°—Z) (7I. I^o. 4-) oder cos ^4 — cor c . wiiA A oder cos^4 ^
tMLA—- oder
cor c
iilNAA— cos V4 . WNA c.
2 ) Nun dienen die beiden gegebenen Stücke c und zur Bestimmung des Abschnittes §, ob nehun- lich dessen Lange mehr oder weniger als 90 ° betragt. Sind die gedachten Stücke von ungleicher Gattung, so ist § > 9 «°, im entgegengesetzten Falle aber < 90 ° (77. Zus. Z.).
Z) Fallt nun der Abschnitt § nach der in 2 ) angestellten Prüfung großer aus, wie d d. i. Z > d; so ist b — A — 5 , und 5 ist negativ, und nun ergibt sich der ^4LL aus der Proportion sink: Z1n° — wn§Le4L:
tsnA LLL oder es ist wn§ ^468
sin A . wnZ 8 ^4 6
sin k
Es ist aber der ^.-408 > oder < als 90 °, je nachdem 8 v > oder < 90 ° ist und 8 v ist wieder >- oder < als 90 °, je nachdem der gegebene Winkel 8^46 > oder < 90° (75-).

145
4) Auf diese Art hat man nun eigentlich den Winkel LLV (Fig. Zgch gefunden. Dieser aber macht mit dem gesuchten Winkel igr>°, folglich darf man nur von dem gefundenen Winkel die Ergänzung zu i8n° nehmen.
Zusatz. Wollte man nun auch den dritten ^ berechnen; so findet man denselben aus folgender Proportion. Es verhalt sich nehmlich sinc:slnd-^: sirr 0 : siir L (86.).
Anmerkung i. Wollte man aber den Winkel L auf dein vorigen Wege suchen; so musste man aus L einen Bogen senkrecht aus die Seile c herablassen und zu dessen Berech« nung die obigen Vorschriften anwenden.
Anmerkung 2 . Soll aus den, in der Aufgabe genannten Stücken, der Winker 6 gefunden werden und man laßt aus dem dritten Winkel L die ÜO senkrecht herab; so verhalt sich
r§ L : ra; 4. — sin A : sin k ( 87 -)
— sin A : sin (b — g)
— sin » : sin I> . cos g — cos h . sin A
^ I : sin d . coc A — cos h
— 1 : sin l>-cos k> s^z.
cos
r-r6.
sin b cvr cos
"— cos k>
sin L,
sin k>. coc c — cos h. cos ^
Anincrkung g. Ncpcr hat diese Aufgabe auf folgende Art ausgelöset. Es verhalt sich
1) sin c : sin a — sin L : sin -ä. (86.> hieraus
2 ) sin c -s-sin a: sin c — sin a — sin 6 -h sinrt: sin 6 — sin
oder
Z) rg 4 (c 4 - a) : l» j (c — a) — r§ L (6 ch : 1 ° z (L —
Es ist aber

4) tZ z(6 4 -^)-
cor z 1, -rZ 4(g — p)
5 ) >LT^^a)-rsz(c—^) —
col 4 8 .tA 4 (g—p)
kA 4 (-^ — 6 )
lA(C-^)
oder
6)
tAj- (c-l-a) :r§4 (c-7>) -
r cor^L. tg
s (4 — ?) - ('§4
Es ist aber
7)
sin (c f- ,i) : sin
(c —->)-col4(g4-i>):
t 2 ^(g — x) oder
8)
Lsin4 (c -j- ,i) .
cos 4 (c ch a)
: 2 sin 4 (c —
' a) . co§4 ( 0 — ->)
^colj
8 .- ex 4 (g — 1 >)
9)
sin4 (c -h- a) . co§4 i,c4- n) :
sinj(c —
l LOS 4 (0 — il) ^
coi^ 15
rZ lr 4- ?) '
10 )
ran» 4 (c 4- ll) sin 4 (c 4- a)
cos 4 öc 4° a)
: lanA j (c — il)
sin 4 (c — a) cos 4 (0 — lt)
— col 4 II- :
(l»4<L —i4,)-.
, 1 ) (sin^lo-s-L))^ :
(sin4'c— »;
°) —cor 77 II
eyt 15 . sin — a) ^ ,
IL) kA T (L — ^) — -—-—-. Auf eine ähnliche
All ist auch r^( 6 ->-^)^
si» 4 (c 4 - -) cor ^ L . cos 4 (o — a)
^ ^ ^ ^ sin 4 (o 4 - a)
In der obige» Auflösung erhalt man z) aus 2) weil
§in 0-1- sln .T L 2 : 7 ^(e-^-L^
-:—— -. Die Gl- bei 4) folgl, weil
sin c — SIN a lA 4 (,c — a)
cos i 4 . —sin g . cos LO (7Z.ldir. 2.) dgl. cos L —sin x cos ij O,
daher cos i 4 .: cos L —sin g : sin^, daraus wieder cos^.4-
cos L : cos , 4 . — cos c — St» g fl- Stil p : sin g — «in I' oder ...
cos i 4 4- cos 6 cor 4 (L 4-- 4 .) sin 0 4-sin v
-—-— und -7-:- —
cos, 4 . — cos 6 tA 4 (L — , 4 .) sin g — sin p
>? 4 ( 4 ^p) . , , ^ 7^ . > coc 4 ( 64 -i 4 I.tA 4 g-x)
i-folglich lZL(<ich p) —-
t? ^ (4 — ?)
'S L (L -i- - 4 .) . lZ 4 (6 — ^ 4 )
r §^(6 —
oder tZ4(L-l-^.)
eor

— i45 —
cvl ; (g -st st>). t.-»,A ^ (c, — p) ^ cotst 7; , taii» r (g—p) tauA ^ s(l -n t.auA j (0-^z.)
Ferner 9) wird aus g), indem das erste Verh. durch 2 und das andere durch tg^sg—x) dividirl >vird. in) entsteht aus 9) durch die Multiplicaiion der 5) mit 9). In ir) sind die sich gegen einander aufhebenden Faciore» der in) weggelassen worden.
Die Vortheile dieser Ausdrucke fallen, wie auch Cagnoli bemerkt, deutlich in die Aikgcn. Bei wirklicher Berechnung findet man vermittelst 7 Log. beide Winkel. Ferner sind sie sehr bequem, den dritten Winkel zu berechnen, wenn die beiden andern und die ihnen entgegengesetzten Seiten gegeben sind. Endlich folgt hieraus, daß in jede in spharischen ^ die halbeSumine der beiden Seiten, mit der halben Summc der ihnen gegenüber liegenden Winkel von gleicher Gattung sind, weil raiiA j (L -st Lt und cus a, (.1 -st e) j,l dein gefundenen Satze immer dasselbe Vorzeichen haben, und die übrigen Stücke nie negativ werden könne», wodurch die zweifelhaften Falle sehr vermindert werden, wie in
(§. 92-)-
§. 97.
Aufgabe. Aus einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln eines sphärischen Dreieckes, eine der beiden übrigen Seiten zu finden.
Die gegebene Seite des sphar. Q ist
— c und die beiden anliegenden Winkel ^.L L und LXo, hieraus soll man die Seite —LL finden.
1) Setze man LO senkrecht auf ^.6, so erhalt man nach der Nep. Regel
cos c — out g . ccn (7Z. Nr. 6.) oder
cnt 9 — ^0^ 7 — cos c . ttMA . cot^.
K

— 14 6 —
s) Dadurch erhalt man x — L —- 9. Nun verhält sich cos x : cos g — tanz c : tanz u (87-),
. ^ . cos n . wia°; c
folglich wn§ a i^—
cos ^
Die gefundene Seite a — LL ist < oder > 90°, je nach dem die Größen LLundOL, welche sich aus den beiden Winkeln L^v und OLL beurtheilen lassen, von gleicher oder ungleicher Gattung sind.
Zusatz 1. Ist die Seite a gefunden; so kann mau mit der nöthigen Veränderung auch den Beweis für die dritte Seite 8 finden oder ihn aus (85«) herleiten und es verhalt sich sin ^: sin u — «In L: sin l>.
Anmerkung 1. Man kann die Auflösung auch so einrichten.
Es ist nehmlich
^ rg -L : rA c — cos g : cos 1' (88.)
— cos g : cos (8— g)
— cos g : cos 8 . cos g fl- sili 2 . sin g
— i : cos 8 -j- sin 8 . g
sin 8 . cor ^
^ 1. : cos 8 -s- --
cos c
k" c sin c
IL a — ---- — — - —.-.
^ ,, . sin 8 . coc.4. cos 8 . cos c-l-sin8 . cor L
cos 8 g-_ '
cos c
Wegen Bestimmung der dritten Seite s. m. Ztts. I. Anmerkung 2. Auflösung III. Es ist i) sin : sin c— sin Ll.: sin 6 (8Z>)
sin a fl- sin c sin ^ fl- siiL 6
L) -7-I— — -7—-— oder
sin a — sin e sin ^— sin(^.
s) (a ch c) - LA r (^ — c) — rz^(.i. ch 6) : (ä — 6).
Es ist aber
t— — r)
rZj- (-L — c)
4) tF L (a ch c):

i47
L) tan-stst . tA st (§ —k) - (k»stc-r —c)) Es ist aber
tKst -st 61 - rZ r (^1 — 6).
tAstst. sin —6)
sin (.-Ist-6)
6) k§z(§-5)—-
rAst b. siii st (.4. — 6). cos st (.4. — 6) ri» st (^1 st- 6) . cos st (.1 -I- 6)
7) tAstO —c)--
r» st 6 - 81 » st (^ — 6) . cos st (^1 — 6) _
sin st (.1 st- 6) . cos ?st 01 — 6)
igLO-l-stL)-iK^(^-L).
L) rs^(-i-c)^ —
iLstd^. sinst(^1—6).cosst01—00 siii st(-1st-60 co^st(^1—0) sinst(^1 -st 6) . cosstchl st- 6) . cosstOI -st 6) . sinst(^— 6)
siii st I> 2 . (cos st(^ — 0)1 ° cos st 01 -st 6) 2
9) l§ st 0 — c) —
siii st Ii > cos st 0^ — 6)
cos st (/I -st 6)
Es folgt 4 ) daraus, daß cos ,i: cos c — cos : cos k (8?-) cos <i -st cos o cos A -st cos k
cos ,i — cos c cos A— cos l?
cot st (-1 -st c) ^ cotst <A st- f)
t.niAstO — c) tini°st(A—k)
corst (§ -stk) : cotst (-1 -stc) — i-st (Z — k) : tAst (a — c) vd. rciiA st O-st c) : t§ st (g-st y — tA st(ß —k) : rg st (-— c)
ran° st (a-st c):
tilNA st li . t<11,A st(g—5)
rangst (a —c)
Auf eine ähnliche Art crhiflt man 6 ) au'L siii A : siii k — ninA ^1: tmiA 6 (86-) oder
sin A -st «in 5 raiiA ^1 -st taiiA 6
sin"— sin 5 caii" ^ — run" 6
l^st fA -st k) - tzst (A — k) — siii Q1 -st 6 ): sin()1—6) oder
- (8^-^) - can^stst --i siii st 0-1 -st 6).cos st (L-st 6) - sin st (ii — 6) . cos st (.-1 — 6)

i43
—k)
lA T ^ 4 (--1 4- ^.) - cas j- -I- 6)
sin x (^1 — 6) . cos ^
Zusatz. Aus der hier in 4) angeführten Proportion, nach welcher cor 4 O -s- c) : ran§ ^ (a — c) cor ^ d : wnZ ^ (Z — k) ist, folgt die Gleichung cot ^ d . wiiZ ^ — c) ^
t8T(8^l)
kennt man nun die
cot ^ (a -s- c)
Differenz dieser Abschnitte, so findet man auch jeden einzelnen. Ist nun der Abschnitt Z bekannt; so kann man auch den . 4 . finden, weil cos ^4 — cor c
cot (90 —§) (73- 5-) — cot c
Dieser Aufl.
pflegt man sich anch zuweilen zu bedienen, um aus deu drei Seiten einen Winkel zu berechnen.
§. 98 .
Aufgabe. Aus einer Seite und den an dieser Seite anliegenden Winkeln, den dritten Winkel eines schiefwinkligen sphärishen Dreieckes zu finden.
Die gegebenen Stücke sind (nach Fig. 59.) die Seite LL — c und die beiden an c anliegenden Winkel ^4 und L. Um hieraus den dritten W. 0 zu finden, so lasse man 1) aus der Spitze des W. L den Bogen LO senkrecht auf herab und bestimme nach der Nep. Regel den W. — <;. Es ist aber
cos c — cot . cot. 4 (7Z. I^r. 64 , folglich cos c ^
cot 4 —- oder
cnt^.
cot 4 cos c . taiiA tV.
2) Hieraus ergibt sich nun — 4.
Endlich erhalt man z) den Winkel 6 aus (87.)

— i 49 —
«IN g : sin — cos ^ : cos 6, also
sin i>. cos 7^
cos G — -.--
sin g
Hier ist noch zu bemerken, daß die beiden Winkel 6 und ^ stets von gleicher Gattung sind, nur in dem Falle, wo g > ist, ist der W. — igo° — VGV.
Anmerkung i. Auflösung II. Es ist
cos 6 4- cos 4 . cos 77
cosc —-1-:--oder
SI» 4. «in 77
cos o . «in 4. sin I- — cos 6 -s- cos 4. cos 8
cos 6 — cos c . «in 4 . «in 77 — co« 4 . cos 77
Anmerkung 2. Beide Auflösungen geben die gesuchte Seite, wenn sie sehr klein ist, nicht mit der nöthigen Genauigkeit. Für diesen Fall setze man:
2 «in ) c ° — i — cos c
^cos 6 ch- cos 4 . cos 77 >
-- ('
-) (9°-)
sin 4 . sin 77 sin -4 . sin 77 — cos 4 . cos 77 — cos L
sin 4 . sin 77
— (cos 4 . cos I? — sin 4 . sin 77 ) — cos 6
sin 4 . sin 6 — cos ( 4 -fl 77 ) — cos (7
sin 4 . sin 77
cos (4 -fl 17 ) — 2 cos 4 (4 4 - 77 ) ° - cos 6 — 2 cos 4 6 ° — i — i
- Es ist aber und
: sin ) 6 °.
Also 2 sin)c°sin 4 .sinl 7 —i— 2(cos) ( 4 -fl 77 ))°— i 4 - 2 sin) 6 °, sin) c° sin 4 . sin 17 — sin) <72 — (cos) (4 4 - 77 ))°
sin ) 6 — s/ (^(cos)<4 ch 77°)) ch sin4 .sin77 .sin)c-^)
sin4. sin77 ! sin)c°>
7 ^(> - 1 -

Zur bequemern Berechnung dieses Ausdrucks mittels« der Logarithmen, zerfalle man ihn nach (9Z. Anmcrk. 2.) in zwei andere Gleichungen:
1) taiiA «
2) sin x e
-—^- Vsrn ^ . siu L und
cos^s.g. ->-lZ) cos «
§. 99 -
Aufgabe. Aus zwei Seiten und einem Winkel, welcher einer dieser Seiten gegenüber liegt; den von den gegebenen Seiten eingeschlossenen Winkel eines sphärischen Dreieckes zu finden.
Die gegebenen Stücke sind in dem sphärischen Q LLL, die Seiten ^.8 — c, L6 —n und der Winkel Hieraus wird der Winkel gesucht.
Man setze r) Lv senkrecht auf ^6, so ist nach der Nep. Regel
cos a 222 aor p . cor 6 (7Z. dir. 6.) oder cns a .
col p 22:- — cos a . tun«: 6.
colO °
2) Alls ( 87 «) verhalt sich cos g : cos p 222 «SNA a :
tan§ c oder es ist cos g 222 —!-
ruuA c
Z) Hieraus ergibt sich nun der W. /r 8 6 — p ch y, je nach dem die Prop. innerhalb oder ausserhalb des Q fallt. Daher nimmt man die Summe, wenn die beiden andern /. von gleicher und die Differenz, wenn sie von ungleicher Gattung sind. Es tritt also hier derselbe Fall wie in (92.) ein.
Anmerkung. Ost kann man die Art des ^(.8 vermittelst folgender Regel, welche Cagnoli aus BvScovickS

sphär. Tngon. anfuhrt, erkennen. Ist die Summe der Segmente > igo°, so nimmt man die Differenz und ist diese negativ, so nimmt man die Summe.
H. 100.
Aufgabe. Aus zwei Seiten und einem Winkel, welcher einer der gegebenen Seiten entgegengesetzt ist, die dritte Seite eines schiefwinkligen sphärischen Dreieckes zu finden.
In dem Dreiecke sind die beiden Seiten
i;6 —n und der W. gegeben und hieraus soll die Seite —k> gefunden werden.
1) Man setze aus N den Bogen LO senkrecht auf die gesuchte Seite ^,0 ^ b, so erhält man nach der Neperscheu Regel
cos — cot c . cot (go — z) (7Z. diir. 2.) oder cos ^ cot c . tanz z oder cos^
tsnzz—- — cos-V. tanz c.
cot c
2) Verhalt sich cos c : cos a cos z : cos k und es
lst cost —-
cos c
Aus r) erhielt man z, aus 2) k, folglich hat man dadurch die gesuchte Seite c gefunden. Ist nun a<c, so ist k < F und es ist unbestimmt, ob die gesuchte Seite d z -st k oder — z — k sei. Ist aber a > c,
so ist auch k > § und es ist allemahl d —k-stz.
§. 101.
Aufgabe. Aus zwei Winkeln nebst der Seite, welche einem dieser Winkel entgegengesetzt ist,

die zwischen den gegebenen Winkeln liegende Seite des sphärishen Dreieckes zu finden.
In dem /X sind die Winkel und tl nebst
der Seite gegeben und man sucht die zwischen
und ti liegende Seite b — ^ 0. In diesem Falle setze man i) den Bogen LO senkrecht auf ^.(i; so er- hält man nach der Ncpcrschcn Regel
aus — cor c . cot (90 — ß) (7z, dir. 4.) cc>3 vX. — cot c . tanZ § odcp cos^ .
tariA § —- cos . tanZ c.
cot a
2) Verhalt sich MNA 6 : MUA ^ — siri L : «in f (86.),
folglich «in k ^
sin A . lanß ^ tanA ti
Nun ist L6 ^ » 4 .V > V6, je nachdem die gegebenen Winkel von gleicher oder ungleicher Art sind.
H. i»e.
Aufgabe. Aus einer Seite und zwei Winkeln, deren einer an der gegebenen Seite anliegt, der andere aber derselben entgegen gesetzt ist, den dritten Winkel eines sphärishen Dreieckes zu finden»
Die bekannten Stücke dieser Aufgabe sind (Fig. 59.) die beiden Winkel ^ und 6 und die Seite a; der Winkel L aber wird gesucht. Nun lasse man 1) den Dogen Lv aus der Spitze des gesuchten Winkels L auf die Seite .VO lothrecht herab; so fallt der Perpendikel in- nxrhalb oder außerhalb des /X, nachdem die gegebenen

153
^ und 6 von gleicher oder ungleicher Gattung
sind.
2': I„r ersten Falle ist nun nach der Nep. Regel (7Z. Nr. 4.) cos u — col p . col O oder cos 2 .
co^, —-oder
cotO
cc>e p — cos 2 . lunA 6.
Z) Nun ist cos <3 : cos -V cos ^: cos g (8?-)» Auf diese Art erhalt man also i> und g «nd es ist L, L — ? -tt 1-
4 ) Sind aber die Winkel ^ und 6 von ungleicher Gattung, so ist dieser Winkel L — — < 3 LO.
Anmerkung 1. Die gesuchte Größe wird, bei den obigen Aufgaben der schiefwinkligc» spharischcn Dreiecke allemahl aus den gegebenen Stücken/ vermittelst der trigonometrischen Linien hergeleitet. Diese aber können, selbst bei der Einschränkung, daß die Bogen nicht über -8"° gehen, mit Beibehaltung ihrer Größe, so wohl zu einem spitzen als zu einem stumpfen Winkel gehören. Daher muß zu dem gesuchten Stücke noch allemahl die Bestimmung dazu kommen, aus welcher man ersteht, ob der gefundene Winkel ein spitzer oder stumpfer, oder ob die gefundene Seite > oder < als 90° sei, oder ob die gesuchte Größe in dieser Hinsicht unbestimmt bleibe. Diese Angabe, welche bei den oben angeführten Aufgaben Statt finden muß, hat der Verfasser der Dr, Meßk. Johann Carl Schulze, Lehrer der Mathem. beim K. P. Feld-Artillerie-Corps, im 2tcn Hefte seines Taschenbuches, ganz aus dem Auge gelassen, welches um so mehr zu bewundern ist, da er diesen Gegenstand übrigens nicht ohne Gründlichkeit behandelt hat,
Anmerkung 2. Kommt unter den gegebenen Stucken eines schiefwinkligen Dreieckes eine Seite ö. i ein Bogen von 90° vor, so laßt sich dasselbe als ein rechtwinkliges bcr

- iZ/j. -
trachte» und die Auflösung desselben, kaun nach den in (67 — 72) enthaltenen Vorschriften geschehen. Zur Erläuterung dieses Gegenstandes darf man nur die Z7 und Zgste Figur betrachten und in beiden setzen.
Alsdann ist .4 6 entweder > oder < 90°. Die Z?ste Figur stelle den Fall vor, in welchem ^6 > cjc>° wäre. Man mache —90° und ziehe durch D und D einen Bogen, der zu einem größten Kreise der Kugel gehört, worauf das ^4.4L6 liegt; so wird D6 —^46 —^46> — .46 — 90° und /.6lZO^4L6 —r4IN4 —.466 —90° sein und zwar aus dem Grunde, weil der Bogen ^41) — 90°, von L um 90° entfernt und also das Maß dcs^.e4i;i1 'st (r?- Zus. So ist auch L O das Maß des ^.lj^4D, weil ^v —90° ist. In den Dreiecke» ^156 und
-4LO sind also die Seite.4^ — 90° und der ^..46>1> —R. als bekannte Stucke anzusehen. Verbindet man nun die Angaben mit der bekannten Seile ^41); so wird man die Aufgabe nach den Regeln für rechtwinklige Dreiecke auflösen können.
Ist aber a46 < 90° (Fig. gg.); so mache man
— 90° und ziehe VO wie vorher. Alsdann ist 6 6> — .4O—.46 —90° —^6; der W. 6 Nv — .4VV — ^4 U6
— 90 —^L6, der Bogen LO ist das Maß des ^.r4 und LllL ist — 16 Es gilt also auch hier dasjenige, was vorhin vorn ersten Falle bemerkt worden ist.
Ware endlich .46 -- ^4S — 90; so ist L, welcher von ^4 6 gemessen wird — kl. Uebcrdicß ist auch V6 das Maß des ^.L^6 und also der Triangel gleichschenklig.
Anmerkung g. Was das gleichschenklige Dreieck Hl6 (Fig. 27.) betrifft, so kann man dasselbe vermittelst eines aus der Spitze 14 auf die Grundlinie .4 6 herabgelassenen Perpendikels IlL, (der hier nicht ausgezogen ist) in zwei andere gleich- und rechtwinklige Dreiecke zerfallen und aus der Tabelle für die rechtwinkligen ^4 ^4 S" S. re>4 diejenigen Sage, wodurch sich alle Falle auflösen lassen, herleiten-

^55
1) Der Simiö der einen Seite, verhält sich znm Si- nnS der halben Grundlinie, wie der Halbmesser zum halben Winkel an der Spitze.
2) Die Tangente der einen Seite, verhalt sich zur Tangente der halben Grundlinie, wie der Halbmesser zum Cosinus eines Winkels an der Grundlinie.
5) Der Cosinus einer Seite, verhalt sich zur Cotangente des halben Winkels an der Spitze, wie der Halbmesser zur Tangente eines Winkels an der Grundlinie.
4) Der Cosinus der halben Grundlinie, verhalt sich znm Cosinus des halben Winkels an der Spitze, wie der Halbmesser zum Sinus eines Winkels an der Grundlinie.
Anmerkung 4. Die Absichten, welche ich mir bei der Bearbeitung dieser Schrist vorgeschrieben habe, verstatten mir nicht die Lehren der Diffcrcnzial - und Integralrechnung zu Hülfe zu nehmen, wodurch die Theorie der spharischc» Trigonometrie an Leichtigkeit, Simplicität und Vollkommenheit, wie die Anwendung an Umfang »nd Brauchbarkeit gewinnt. Wer sich über diesen Gegenstand weiter zu unterrichten wünscht, findet denselben im XIX —XXII. Abschn. der ebene» und spharischen Trigonometrie von Cagnoli mit vieler Gründlichkeit behandelt. Auch Euter Hai die spharischc Trigonometrie zum Gegenstände seiner Untersuchung gemacht und aus ihren Lehren, mit der ihm eigenen Kürze und Deutlichkeit aus einigen allgemeinen Vorstellungen, in einer Abhandlung, welche in den Xciis
scientiailuni I>etvopoliti>mi8 VVM I. 177g
sieht, entwickelt. Fr. Lacroix hak sie bei der Bearbeitung seiner ebenen, spharischen Trigonometrie und höhern Geometrie zum Grunde gelegt.
§. 10Z.
Die von 87. bis ,02. vorgetragenen Aufgaben lassen sich ohne sie, wie Wolf in seinen Llenie-mis 'lchiL. Ls'lmer. gethan hat, unter eine allgemeine Regel

— 156 —
zusammen zu fassen, durch folgende Betrachtung leicht dem Gedächtnisse einprägen.
Aus dem Satze (95.) kann man 1) aus zwei Seiten und einem Winkel, welcher einer der gegebenen Seiten gegenüber liegt, den Winkel finden, welcher der andern der gedachten Seiten gegenüber liegt. Und 2) läßt sich aus zwei Winkeln und einer Seite, welche dem einen der gegebenen Winkel gegenüber steht, diejenige Seite finden, welche dem andern der gedachten Winkel gegenüber sieht (94.). Z) Aus den drei Winkeln kann man nach (92.) die drei Seiten; und 4) aus den drei Seiten (89.) auf eine ähnliche Art die drei Winkel berechnen.
In den vier folgenden Aufgaben kommen allemahl zwei Seiten und ein Winkel vor und zwar fo daß in (95. und 96.) der Winkel eingeschlossen ist, in der Aufg. (99. und ioo.) aber nicht. Daher wird in der fünften Aufgabe, aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte (95.) Seite und in (96.) aus denselben Datis, einer der beiden übrigen Winkel gefunden. In der siebenten sucht man aus zwei Seiten und einem Winkel, welcher einer der gegebenen Seiten gegenüber liegt, die dritte Seite (100.), oder wie in der Aufg. (99.) den eingeschlossenen Winkel.
In den vier letzten Aufgaben kommen allemahl zwei Winkel und eine Seite vor. Die beiden Winkel liegen entweder an der gegebenen Seite an; oder einer liegt an der gegebenen Seite an und der andere derselben gegenüber. Daher heißt die Aufgabe in (98.): aus einer Seite und den an dieser Seite anliegenden Winkeln, den dritten Winkel zu finden; oder in (.97.):

157
aus denselben Datis eine der beiden übrigen Seiten zu finden. In der Aufg. (102.) aber: aus einer Seite und zwei Winkeln, deren einer an der gegebenen Seite anliegt, der andere derselben entgegen gesetzt ist, den dritten Winkel; oder nach der Aufg. (97.) eine der beiden übrigen Seiten zu finden.
H. 104.
Um aber gesammte Aufgaben nach einer systematischen Zusammenstellung zu übersehen; so darf man nur auf die Bestimmungsstücke dieser Dreiecke Rücksicht nehmen. Jedes schiefwinklige spharische Dreieck besteht aus Winkeln und Seiten, daher sucht man aus drei gegebenen Stücken entweder
I . eine Seite oder
II. einen Winkel.
I. Die Seite wird
1) entweder aus drei Winkeln, oder
2) aus zwei Winkeln und einer Seite, oder
5) aus einem Winkel und zwei Seiten gefunden»
Sind nach (2.) zwei Winkel und eine Seite gegeben; so können diese beiden Winkel
a) an der gegebenen Seite, oder
b) an der gesuchten Seite, oder
c) an der dritten Seite liegen.
Sind aber nach (5.) zwei Seiten und ein Winkel gegeben; so liegt dieser Winkel entweder
-») zwischen den gegebenen Seiten, oder
er liegt zwischen der gesuchten und einer der gegebenen Seiten.

153
Ik. Wird ein Winkel gesucht; so können O alle drei Seiten, oder
2) zwei Seiten und ein Winkel, oder
.5) zwei Winkel und eine Seite gegeben sein.
Sind nach (2.) zwei Seiten und ein Winkel gegeben, so schließen entweder
.1) die Seiten den gegebenen Winkel ein, oder
3 ) die Seiten schließen den gesuchten Winkel, oder
c) die Seiten schließen den dritten Winkel ein.
Sind aber nach (g.) zwei Winkel und eine Seite gegeben, so liegt entweder
-r) die Seite zwischen den gegebenen Winkeln oder
B) sie liegt zwischen dein gesuchten und einem gegebenen Winkel.
§- i»5-
Nach diesen Bemerkungen werde ich hier im nachstehenden Verzeichnis; die sogenannten analytischen Auflösungen, durch welche der vollständige Werth einer jeden trigonometrischen Linie aus den Theilen des spha- rischen Dreieckes angegeben wird, aufstellen. Diese Werthe, welche sich bei analytischen Operationen sehr Vortheilhaft gebrauchen lassen und oft zu sehr nützlichen Resultaten führen, sind aus den angeführten Lehrsätzen entweder unmittelbar oder vermittelst sehr einfacher Veränderungen hergeleitet worden.
l) Liii ^
(92.)

— —
2 )
5 )
4 )
5 )
6)
7 )
8 )
9 )
ic>)
i')
12 )
sin ^ —
sin 8 " bin 8 —
bin 6 — bin 6 —
cos-V —
cos 8 —
cos 6 —
cos ^4. — cos 8 — cos L —
sin
3
. sin
e
81N 0
81N
i>
31)
ii a
8111
8 ,
. siii
6
8111 0
301
0 .
> sin
V
81113.
81N
0
. sin
8
(92.)
(92.)
(92.)
(92.)
(92.)
sind
cos -i — cos 8 . cos c bin 8 . sin c cos 8 — cos .1 . cos c
sin. sin c
( 89 .)
( 89 >)
cos 0
008 cl . 008 0 .
- ( 89 .)
sin a.sin8 cos a . cos 8. cos L — sin 8 . sin 0 cos 8 . cos ^ . cos 6 — sin ^ . sin 6 cos c . cos ^ . cos 8 — sin . sin 8
sin 8
(96. AllM. 2.)
1 Z) l->n§ ^
cos c. cos 8
sin 6
(96. AllM. 2.)
14) tanA /V
cos 8. cos 6
sin8.cotri
sin ^4
(96. AllM. 2.)
15 ) t-m§ 8
cos c. cos
sink. cot8
sin 0
(96. AllM. 2.)
16 ) lANA 8
cos c. cos 0
sin
(96. AllM. 2.)
17 ) t!>n§ 6
cos 8. cos ^5,
sin8.cotc
(96. Anm. 2.)
,3) wn§ 6
cos- 1 . cos 8

20 ) sin 2
sin ^4 . sin c
sin <3
2 >) sin b "
sinL . sin 2
sin ^
22 ) sin d
sin 13 . sin c
sin (3
2 Z) sin c —
2 ^) sin c —
sin (3 . sin 2
sin ^4
sin (3 . sin d
sin 1 i
(93.)
(93.)
(93»)
(93-)
(93.)
2 Z) cos a
26 ) cos d
27 ) cos c 2 Z) cos 2
29 ) cos d
Zo) cos c
Zl) t2N§2 32 ) tllNZa:
55) iun°d:
_ cos^V-§-cosD. cos 6
sin L . sin 0 coscos . cos (3 sin ü. sin <3 cos (3 -7- cos . cosL
(9".)
(90.)
(9o.)
sin ^ . sin Z cos . sin d . sin c cos d . cos c
(9Z.ANIN.1.)
cos L . sin^ d . sin c -3- cos d . cos c
(95.AMN. 1 .)
cos <3 .sin 2 . sin c -j- cos 2 . cos c
( 95 .AMN, ,.)
sind
(97. Anm. 1 .) ( 97 /Anm.l.) (97.ANM.1.)
sin <3 . cot^.-i-cnsO. cosb sin c
sinL . cot^.-^-cos L . cos c sin 2
sinl3 . cotL -^-cos(3 . cos»
54) t-u>§ d

— 161 —
54) tanZ d- 35) tsnA c —
sin c
sin/^ . cotL -j-cos^V . cosc sin a
sin ^4 . coli^ -j-cosL,. cos a
Z6) tsnA c —
sin a
sin^ . cot O-§-cos^. . coss
(97-AlUN.i.) ( 07 - Amil.i.) (97.AIMI.I.)
L

Siebenter Abschnitt.
Einige Anwendungen schicfwinkliger spharischcr Dreiecke auf die Lage der Welikörpcr ic.
§. 106.
Aufgabe. Aus den Abweichungen zweier Sterne und ihrer scheinbaren Weite von einander, die Differenz ihrer geraden Aufsteigungen zu berechnen.
Es mögen (Fig. 40.) und L die Stellen zweier Sterne auf dem Theil der Himmelskugel bezeichnen, welche in der Figur durch kLH abgebildet ist, ferner sei k der Nordpol- LH der Aequator,
die scheinbare Weite beider Sterne, die Abweichung des Sterns in LO die Abweichung des Sterns in L; so ist, wenn man L als den Anfangspunct des Aequators betrachtet, k'O die gesuchte Differenz der geraden Aufstei-

gungen beider Sterne. Dieser Bogen aber ist das Maß des Winkels oder k. Dieser Winkel kann nun
aus den drei Seiten Lk und berechnet
werden.
Es ist aber — 90° — UI? — 90° —LO und ist die gegebene scheinbare Weite beider Sterne. Es sind demnach die drei Seiten bekannt, welche zur Berechnung des I? dienen. Setzt man nun
Hat man auf diese Art die Größe des halben Winkels gefunden, so gibt das Doppelte davon den ganzen Winkel bei U, der in Graden, Minuten rc. ausgedruckt, den verlangten Unterschied kO der geraden Aufsteigungen Lk und LO ausmacht.
Es sei z. B. die scheinbare Weite zweier Fixsterne L und L von einander, — 56° 45 ch die nördliche Abweichung des einen in — 9° 15^ und des andern in L, ---40° 2^; so ist in der Figur, Z6° 45^,
^ d — 90° — ^ 90° — 9° 15/ — gc>° 45/ und
Lk — s — 90° — OU — 90° — 40° 21 — 49° 59^. Nun setze man diese Zahlen an die Stelle der allgemeinen Größen in die vorhergehende Formel; so ist sin ^ I? ^
/" sin4(36°4Z'-l-49°Zch—8»°45). -inz(Z6°45'4-3o°4s'-49°39') >
V sili 49°Zg^. 8LN gu° 45 ' ^
diesen Ausdruck durch Logarithmen; so erhalt man
—dundLk? —a; soistcosl? —
oder sin
sln ^ 5 c-j-s—b). «iriz(c-s-l)—. 1 )
> ^ (sin 2° 49 ' 30" . 8111 ZA^Zv") sili 49° 39 'd 81N 8„0 42^
Berechnet man
L 2

— 164 —
IoA r ' — 20,0000000 lOA'8111 2°49^Z0" — 8,6927198 loA sln ZZ° 55^ 50" — 9,7467176 Io§ des Zählers 38/4594574 IoZ8in49°59^ 9,8820140
Io§ sin 80 ° 4S^ — 9/9943^56
loZ des Nenners — 19,3765296
2)^18^565^78^
IvK «in ^ 9/2815559'
Dieser Logarithmus gehört zum Sinus eines Bogens von 11° 1^ 23". Folglich ist I> — 22° 54".
Zusatz. Ware die Abweichung des einen Sterns nördlich, des andern südlich, so müßte man diese zu 90° addiren; wäre aber der eine Stern im Aequator, so würde die eine Seite des Dreieckes 90° sein und solches sich nach (75.) als ein rechtwinkliges berechnen lassen.
§. 107.
Aufgabe. Aus einem angenommenen Standpuucte O (Figur 21 .) ist ein Winkel aufgenommen, dessen Schenkel durch Gegenstände D und 15 von verschiedener Höhe über dem Horizonte gehen; man fragt, um wie viel dieser von dem Horizontalwinkel ^.66 unterschieden sei.
Auflösung. Man nehme an, der Winkel V6L, dessen Schenkel durch die, in verschiedenen Höhen aus- gesteckten Signale gehen, betrüge 65° 13^ 12". Vermittelst eines Höheninstruments kann man nun auch leicht den Abstand der einvisirten Stellen vonr Zenith L

i6z —
finden und man setze Lv — 82° 14/ ig" und LL — 79° 16^ 16"; so ist der spharische Winkel der
verlangte Horizontalwinkel, welcher den Bogen -^6 zum Maße hat und aus den drei Seiten O L OOL (gi.^ir.Z.), LO und LL berechnet werden kann. Es ist also hier
, . ^ I - 5111 -(!> I 5 ^ 8O - 8 15 ) si>ij(I)i:g-vt5—I?D)> ^ ^
sin^L— I^i---' ^ -)(9o-)
>. LinDD.sinLL
das ist nach den gegebenen Zahlen
sin^L:
1° 8iri^(6z°ig' I2"-s-82° 14-18"— 79" 16-16") «in g2° 14- iZ"
^ / ^rin^(6z° ig^is" -p 7g" 16-16"—82" 14- ig")> v sin^g° 16-16-- >
1 ^ sin^ (66° 16- 17") 5111 ^ (6n° 20- 10")
)x
sinZL° >4' -8" siii"g° 16' 16"
Es ist aber
lag r ^ — 20,0000000
IoASinZZ° 8^ 7" log siir 30--10^ 5"
9,7376836
9,7o i'689
39,4388525
Io§sin82° >4^ 18" — 9,9960029 log sin 79" 16- 16" — 9,9925410
-9,9883439
2) 19,4505086
logsio^L — 9 , 7252543 .
Der mit diesen Logarithmen zusammenhangende Sinus, stimmt mit einem Bogen von^L ^ 32° 5- 10", wovon das Doppelte — 64° ich 21" ist, übereilt. Es betrüge demnach die Differenz zwischen dem durch Messung und dem hier auf den Horizont reducirtcn Winkel 52^ 9".
Anmerkung. Wird mit Beibehaltung der andern Seiten, der durch unmittelbare Messung gefundene Winkel kleiner, so wird auch der Unterschied zwischen ihm und dem ge, suchten Horizontalwinkcl geringer. Betragt jener z. B'

IZ°, so ist die gesuchte Differenz 6^ 6", indem der Horn zvmalwinkel ^LL — 14° 54" ist.
§. 108.
Aufgabe. Aus der gegebenen Abweichung der Sonne, ihrer Höhe über dem Horizonte und der Polhöhe, die Zeit des Tages zu finden, welche mit der gedachten Stellung der Sonne zusammen gehört.
Es sei (Fig.4i.)I4LI?() der Meridian, M der Horizont, der Aequator dessen Nordpol ist, und die Sonne habe ihren Standpunkt auf der Himmelskugcl in -X; so ist ihre Abweichung, ^6 ihre Höhe über dem Horizont und die Polhöhe. Diese drei Stücke ^6 und kk sind die ergänzenden Theile der drei Bogen und Lk, welche auf der Kugel ein
spharisches Dreieck bilden. Aus jenen gegebenen Stücken werden demnach auch diese bekannt. Denn es ist ^l> 90° —
— 90° — ^.0 und
Lv — 90° — I>li. Aus diesen Lrei Seiten H.L und Lk kann man nun den W. 1 - 1 ^ — I? suchen und setzt man nun ^ c, Lb' ^ a und H.I? ^ b; so ist
»IN
slu^sc-j-s—. sln^c-j-l,—g) süa a . sin b.
Äo-)
Dovon ist die logarithmische Gleichung log sln — s(loZ sin ^ (L -s- L — d) -s- laA T (c -ch d — a) — (IvA sin Ä
-j- l»A «in d)^ : 2. Dieser Winkel 2 wird nun in Graden und Minuten rc. gefunden und muß dann in Zeit verwandelt werden.

167
Anmerkung i. Soll die Abweichung der Sonne genau bekannt sei», so setzt diese Angabe die gesuchte Zeit schon voraus, weil man eigentlich diejenige Abweichung kennen muß, welche die Sonne nicht zur Mittagszeit, sondern im Augenblicke der anzustellenden Beobachtung hat. Daher nimmt man die Abweichung anfänglich nur beiläufig an, und sucht die fehlende Genauigkeit durch eine zu wiederholende Anwendung, der in der Auflösung gegebene» Vorschriften, zu berichtigen.
Es sei z. B. die Polhohe von Berlin d. j. l? R. Zr°g^ 44 ", die Abweichung der Sonne, wie am rg. April -8", zur Mittagszeit ^ 1 ? —10°55^58", ihre Höhe^S^- Z3°rbZ2"; man fragt, zu welcher Zeit die Sonne die gedachte Höhe an diesem Tage erreicht habe.
Die gegebenen Stücke sind, wie gesagt, die ergänzenden Theile der drei Seite» und Lk des Dreiecks
zu 40°. Es ist also
— 9»° — -LO —90° — z3° >6^ Z2" — Zi° 43^ 23"
^ — 90° — — 90° —10° g8" — 79° 24^ 22" und
L? — 90° — kR, — 90° — 52° 44" — J7° 28' 16".
Es ist aber im Dreiecke (nach 89.)
eos
cos ^ 15 — cos L k . cos rV k
oder
sin^k
siir I! k . siir l?
)( 9 o-)-
sin L k . stzr H k oder in Zahlen mit Rücksicht auf den Stil. tat. ratz. und weil dieses bloß zur vorläufigen Berechnung dienen soll, mit Weglassung der bei den angegebenen Zahlen, bemerkten Secunden, siu^k —
r° -ru 2 (Z 1 ° 4 ^- s- 37 ° 23^ — 79° 24^)-in 4 (gr° 4 , ^-i- 79 ° 24 ')
sur Z70 2Z< zin ^9° 24/
r (srn 4° 5Z^ zo" . siir 46° 4ch Zo")
)
1/(-
(sur Z70 2Z- sin ^90 240
-
Es ist aber

-— i6g
IvAr- — 20,
1o§ -in 4° 5z' zo" — 8,9508065 lox -in 46° 49' zo" — 9,8628667 Sogar. des Zahlers — 58,7936752 IvA -in 57° 2g' — 9,7841177
log -in 79° 24' — 9,9925250
Logar. des Renners — 19,7766427 1oZ ^ -in ^ - — 19,0170505
1oA a. -in x — 9,5085252 — lox -in ig» 49' beinahe, wovon das Doppelte d. i. ?, 27° z3' betragt. Verwandelt man diese» Bogen in Zeit; so erhalt man 2 Stunden zo Minuten 29 Secunden.
Anmerkung 2. Durch dieses vorläufige Resultat wird man nun in den Stand gesetzt, die obige Aufgabe mit mehrerer Genauigkeit aufzulösen, indem man nur die Differenz der Abweichungen am gegebenen hier am ig,en und am vorhergehenden Tage, hier am 17,0,1 April d. g. I. das heißt ro° 25' 38 " — 10° 14' zo" — 21' 10" nimmt, zu 24 Stunden zur gefundenen Zeit und gedachten Differenz die vierte Proportionalzahl sucht, welche hier 2' iz" ist, diese von 10° 55' zg" abzieht und dadurch die berichtigte Abweichung, nehmlich 10° 5z' 25" erhalt. Mit dieser Abweichung und den in der Aufgabe bis auf Secunden gegebenen Stucken, stelle man noch einmahl die geführte Berechnung an; so erhalt man den gesuchten Winkel und also die verlangte Zeit viel genauer. Diese Rechnung kommt mit den gedachten Abänderungen auf folgende Art zu stehen. Es ist
-in2r 1/ °i,i^ (51-45' 2g" -P Z7°2g' 16"—79°26'z5")
V -11127° 2g' l6"
sili z (51 ° 4z' 2g" -I- 79° 26' 25" — 57° 2g ' 16") -in 79° 26'25"
1 < r'°(-in4°5-31L") -Qi>i4 i° 5"^58^)>
V. -in 27° 2g'16"-11179° 26'55" ^
Ausdruck durch Logarithmen berechnet, gibt
)

169
logr? ^ 2c>,
log -In 4° §2' 54z" — 8,929^89 log 811-46° Z0^ 58-" — 9,3350614 Sogar. des Zahlers — 38,7925003 log siu 37" 28^ 16" — 9,7841616 log rin 79° 2t? 35" — Y, 992 Z 859 Sogar. des Nenners — -9 ,7767476 2 ) -9,0*57528
log S-11 ? — 9,5078764 — log rii- Zo0
47^ 5". Nimmt man nun diesen Bogen doppelt, so erhalt man einen Bogen von 37° 34' -c>". Verwandelt man diesen Bogen in Zeit, so erhalt man 2 St. 30 Min. zoSec. Ziehet man diese von der Mittagszeit, d. h. von -2 Uhr ab, so findet man die mit der Sonnenhöhe zusammengehörige Zeit und es steht daher die Sonne um 9 Uhr 20M11. -0 See. in der gegebenen Höhe von 38°-6'32" über dem Horizont.
Anmerkung 3. Es kann aber auch die Auflösung dieser Aufgabe aus der (97. Anm. 2. Zus.) angeführten Proportion hergeleitet werden, nach welcher, wenn man aus L den Bogen Lv senkrecht auf seht, sich in (Fig. 40.) cot j (Ul> : taug 4 (U?—— cot ^ -
taug ^ (Ul) — verhalt, folglich ist
, cor n? . taug ^ (u u — UL)
taux 4 ("O — ^ O ) — -----
^ cor^(LI>-s-L4.)
Hieraus ergibt sich also die halbe Differenz der beiden Abschnitte Uv und ^O. Ihre Summe aber ist auch bekannt und durch die Seile alk gegeben. Aus der halben Summe und halben Differenz kann map nun die Abschnitte und kv selbst berechnen. Alsdann erhält man aus und L in dem rechtwinkligen sphärischen Dreiecke cos^.— cot^U.cot (90° — ^.D) (73 ^1-5-) —
taug ^4 l)
cor^L taug^I)
laug ^.ll

— 17^ —
§. iog.
Aufgabe. Aus der Abweichung der Sonne, der Zeit des Tages und der Polhöhe eines Ortes, die Sonnenhöhe über dem Horizont zu finden.
Es fci (Fig. 41.) in die Sonne der Acquator — L<Z, der Horizont ttk,
ein Schcitelkreis durch — LO, der Abweichungs^reis — l'k'; so ist die Abweichung der Sonne, --- ^.k', die Polhöhe — l'i;, k der Punct des Aequators Ls), der mit dem Mittelpuncte der Sonne ^ zugleich culminirt, folglich Lk der Zcitbogen, auf dem Acquator gerechnet, welcher das Maß des Winkels ist. Es kommt daher hier
auf die Auflösung des spharischen Dreieckes an, in welchem aus den beiden Seiten und nebst dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnet werden soll, welche von 90° abgezogen, die verlangte Sonnenhöhe ^,6 gibt, d. h. es ist 90° —
Aus der gegebenen Polhöhe I?I 4 erhalt man LI', weil k?L 90° —1?IV ist. So ist auch durch die Abweichung , der Bogen bekannt, indem
^90° — ist. Der Punct k aber durchlauft den
Bogen des Aequators Lk, wahrend der Zeit, welche die Sonne nöthig hat, um aus dem Punct in den Meridian 14 L 1^14 zu kommen. Verwandelt man die gegebene Zeit in Bogen des Aequators, so gibt derselbe die Größe des Winkels bei I? an. Nun ziehe man aus der Spitze L auf einen Bogen lothrecht

herab; so wird man dessen Lage aus den Umständen leicht beurtheilen können. Es ist aber tMA I?O ^ tMA Lk . cos u (7Z.) Aus k v laßt sich nun der andere Abschnitt bestimmen. Sind nun die Abschnitte
bekannt; so ist cos --- Ziehet
cos UO
man nun ^ L von 90° ab, so gibt der Rest die gesuchte Sonnenhöhe an.
Beispiel. Wie hoch steht die Sonne am 6ten August des Morgens um 9 Uhr über dem Horizonte, wenn die Polhöhe des Beobachlungsortes 52° 51', und die nördliche Abweichung 16° 49' betragt?
Es ist demnach — 16° 49', folglich ^ 90° — 16° 49' — 73° n'. Die Polhöhe ist 52° 3^, folglich U 8 — 90° — 52° 31' — 37° 29'. Da nun von 9 Uhr bis zur Mittagszeit, wenn die Sonne culminirt, drei Stunden verfließen; so machen diese, in Bogen des Aequators verwandelt 45° und dieser Bogen mißt den Winkel bei U.
Nun ist nach der obigen Formel die Tangente des einen Abschnittes, d. i. r-mA l?v — rsnZ 8l? . cos I?, oder vermittelst der Logarithme
1oZ tMA Ll? — 1oZ rsns 37° 29/ 1^: 9,8847189
1oZ cos k -- 1oZ cos 45° — 9,8494850
19,734^959
^_
log wnZ ?v 9,734i939
Zu diesem Logar. gehört zunächst der Bogen von 28° 25'. Da nun Uv bekannt ist; so ist dadurch auch der andere Abschnitt nehmlich H.V gefunden. Er ist 73° n' — 28° 28' — 44° 43^.

172
Nun sind auch die zur Berechnung der zweiten Formel erforderlichen Stücke bekannt. Ll? ist die Ergänzung der Polhöhe zu 90°, folglich — 57° 29/; ist durch ll'v bestimmt uud beträgt 44° 45^ und l'v macht nach der vorigen Formel 23° 23^ Hieraus kann man die Seite nach der Formel
cos L k. cas
cos^L — —-vermittelst der Logarithmen
cos V O
auf folgende Art berechnen. Es ist
log cos LI' — log cos Z7° 29^ — 9,8995656 log cos.'Vv—log cos 44° 45^ — 9,351622»
^ 9 , 75 ^ >856
log cos log cos 23° 23^ — 9,9g40556
la^cos^L — 9,8071500. Hierzu gehört die Zahl 50° 7^. Ziehet man nun diese Zahl von 90° ab, so erhalt man iVl) —59° gzch wodurch die Höhe der Sonne für die gegebene Zeit gefunden ist.
Anmerkung. Bei einer genauern Berechnung mußte man die Abweichung aus der Differenz der Abweichung am gegebenen und nächst vorhergehenden Tage zu bestimmen suchen. M. s. (rog. Anm. 2.)
§. HO.
Aufgabe. Aus der gegebenen Lange und Breite zweier Oerker auf der Oberfläche der Erde, ihre Entfernung von einander zu finden.
Es mögen (Fig. 42.) ^ und L zwei Ocrter auf der Oberfläche der Erde sein, LI'flpL der erste Meridian, I? Il 01> der Meridian des Ortes L und ^ der Meridian des Ortes -V, und L k <5 der Aeguator;

so ist die Lange des Ortes -k, — Lk,
die Länge des Ortes k, ^ k6, folglich L6— Lk — 6k und 6 k das Maß des Winkels bei k. Ferner ist die Breite des Ortes " ^k und die Breite des Ortes L, " L6.
Ziehet man nun sowohl ^k als L6 von 90° ab; so erhält man ^l? und Lk, und da der Winkel bei k auch bekannt ist; so sind in dem Dreiecke die Seiten Lk und H.I' und der eingeschlossene Winkel bei k gegeben. Ans diesen Stücken aber läßt sich die Seite berechnen, welche die gesuchte Entfernung der beiden Oerter und L ist. Denn man fälle aus L einen Perpendikel auf ^k, so ist cos k — cor Lk . ranz kO (75. diir. 6.) oder tanz I?O — cos k . csn§ Lk. Ferner — kv und cos —
cos . cos Lk , .
Beispiel 1. Die Lange und Breite von Berlin und Genua sind gegeben; man fragt, wie weit diese Stadt von jener entfernt sei.
Es sei die Länge von Berlin 51° 5^ die Länge von Genua 26° 16^ die Breite von Berlin 52° Zck die Breite von Genua 44° 25^; so ist unter dieser Voraussetzung ^k 44° 25 ^ und L6 — 52° Zck, folglich ist alsdann ^l? — kk — ^.k --- 90° - 44° 25' - 45° 55'; Lk - 6k - 86 ^ 90° — 52° Zck — 57° Lt/. Der Winkel bei k wird durch den Bogen k6^-k,6 — kk gemessen. Es ist aber 8 6 — zi° und kk 26° 16^, folglich 8 6 — 8k --- 51° 5^ — 26° 16/ --- k6 — 4° 47^ --- k^

174
Setzt man nun diese Werthe in die erste Formel; so erhalt man wnA kO ^ cos 4" 47^ . tsnZ 57° 29^ und in Logarithmen
IoZ cos 4° 47/ — 9,9984348 Io§ Z 7 ° 29 ' — 9,8847i89
»9,8852057
^0,
Io§ tsn§ OO — 9,8852057.
Hierzu gehört die Zahl 37° 25/.
Nun ist ^.I> — 45° 55', Ok — 57° 25^, folglich — Oli — 45° 55/ — 57° 25, --- 6° 12' — ^.O.
Es ist aber cos ^.L
cos 8° 12^. cos 57° 29^
cos 57^ 25'
Dieses durch Logar. ausgedruckt, gibt cos 8° 12^ — 9,9955570 1oZ cos 57° 29' — 9,8995656
19,8951006 Io§ cos 57° 25^ — 9,9001453 1oZ cos — 9 , 99 /> 9568 .
Hierzu gehört zunächst die Zahl 8° 45 ^, welche die Entfernung der gegebenen Oerter ausdruckt und indem man 15 Meilen auf einen Grad rechnet, 1Z1 Meilen betragt.
Beispiel 2. Die Lange und Breite von Berlin und Moskau sind bekannt; wie weit ist dieser Ort von jenem entfernt?
Es sei die Lange von Berlin — 51° 2^ 15" die Lange von Moskau — 55° 12^ 45" die Breite von Berlin — 52° 3^ 44" die Breite von Moskau ^ 55 ° 45 ^ 45 "; so ist in der Figur, wenn durch L der erste Meridian

kkp()k geht, und und k die beiden Stellen für Berlin und Moskau bezeichnen, die Lange von Berlin Lk' — Zi° 2^ ig", die Breite dieses Ortes — 52° 44", die Länge von Moskau LO — 55" 12^ 45", die Breite dieses Ortes OL — 55° 45^ 45". Folglich 6L — kL — kO d. i. 55 ° 12' 45" — Zi° 2' 15" 24° 10/ Zv", welcher Bogen das Maß des sphäri- schen Winkels kk^ ist.
Ferner ist die Seite ^k—90°— 90°— Z2°Zi^
44"^Z7°2g^ 16" und endlich die Seite Lk —90°— L 6 — 900 — ZZ° 45/ 45" — 54° ,4/ 15". Diese beiden Seiten schließen den vorhin gedachten Winkel bei kein. Es kommt also hier auch auf die Auflösung des ^X^kL aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel an ( 95 .). Denn es ist nach der obigen Vorschrift wnZ kO — cos 24° 10^ 50" . tsriA Z4" 14/15". Durch Logarithmen berechnet ist demnach
1o§ cos 24° 10^ Zo" — 9,9601572 Ic>§ tunZ 54° 14/ 15" — 9,8523642
19 , 79500^4
i",
loZ rang kO — 9,7950014 Io§ wuZ Zi° 6". Folglich ist — ^k — kv Z7° 28^ 16" — Zi° 50^ 6" ^ 5° Z8^ 10". Nun ist
cos
cos 5° Z8^ 10" . cos 54° 14/ 15" Los 51° 5 c/ 6"
Dieser
Ausdruck durch Logarithmen berechnet, wird ausfolgende -Art geordnet. Es ist log cos 5° 53^ 10" 9,9978954
log cos 54° 14^ 15" — 9,9175545
19,9152499
log cos Zi" flch 6 " " 9,9291995 log cos ^ 9,9860504

176
^ IoA cos 14° 26^ Zg". Rechnet man nun 15 geogr. Meilen unfeinen Grad; so erhalt man für die gesuchte Weite 216,66 Meilen.
Zusatz. Liegen die gegebenen Oerter unter demselben Mittagskreise; so darf man nur den Unterschied ihrer Breite in Meilen verwandeln, um die Entfernung derselben von einander anzugeben.
§. iir.
Aufgabe. Aus der Schiefe der Ekliptik, der Abweichung und geraden Aufsteigung eines SrernS, seine Länge und Breite zu fmdm.
Auflösung. Man entwerfe sich zuerst eine Figur, in welcher die gegebenen von den gesuchten Glücken deutlich von einander können unterschieden werden, und nehme anfänglich dabei an, daß die Sonne sich in der nördlichen Halbkugel des Himmels befinde. Besonders ist die Stellung der Sonne im ersten Quadranten sehr geschickt, doch nicht nothwendig, die vorgelegte Aufgabe in ihrer Allgemeinheit aufzulösen, weil man dadurch im Stande ist, die hier angenommenen Vorschriften auf jeden andern Fall anzuwenden, wenn man nur die nöthigen Veränderungen mit den trigonometrischen Linien vornimmt. Es sei daher (Fig. 4Z.) die Stelle eines Sterns in ^ der Aequator — L und dessen Pol in I? die Ekliptik LL. und deren Pol in L ein Breitenkreis durch L, — Ll? ein Declinationskreis durch H. —und XL? H stelle den Colurus der Sonnenstiüstandspuncte vor,
welcher

welcher durch die Endpuncte des ersten und dritten Quadranten des Aequators und der Ekliptik geht. Alsdann druckt nach der Ordnung .der Zeichen
genommen, die gesuchte Lange und die verlangte Breite aus.
I. Es ist aber —90°, folglich ^VLI?---
^VI>L — 90°. Der Dogen ^VO aber bezeichnet die gerade Aufsteigung und H.0 die Abweichung, folglich ist — >VI^L — VVVO — 9»° — VVVO —
90° —>V6 d. i. — 90°— der geraden Aufsteigung und I? I> o — ^6 — 90° — ^ 6 — 90° — der Abweichung. Es beruhet also die ganze Aufgabe auf der Auflösung des Dreieckes Da nun in diesem
Dreiecke die beiden Seiten und I?L und der eingeschlossene Winkel bekannt sind;' so kann man daraus die dritte Seite berechnen, deren Ergänzung zu 90° die verlangte Breite ist. Zur Bestimmung dieser Seite gelangt man, wenn man von L auf einen Perpendikel LO herablaßt, durch folgende oben festgesetzte Gleichungen. Es ist nehmlich 1) rsnA I?O — cos . tan§ I?L (7I. No. 6.). Folglich ist — ll?O und 2) cos ^2
co8 L k . cos ^ O cos Ob'
(82. II.),
also — 90° — LL
d. i. die gesuchte Breite.
II. Zur Bestimmung der Lange darf man nur die Größe des Bogens 1 .?, von Abend gegen Morgen gerechnet, angeben. Dieser Bogen leidet mancherlei Abänderungen, je nachdem die Lange des Sterns im ersten oder zweiten, im dritten oder vierten Quadranten
M

ist, und sie kommt in ihrer Lage in Hinsicht des Quadranten mit der geraden Aufsteigung uberein. Um aber den Dogen ^Vk' zu finden, berechne man aus der gefundenen Seite und den gegebenen Stätten, den des spharifchen nehme
dessen Ergänzungswinkel k'UI., dessen Mast der Dogen kb, ist, durch den alsdann der Bogen d. i. die Länge des Sterns angegeben wird. Es ist aber i) cot k L O ^2: cos . wog L l? v (75.N0.6.)
> z ^os OUL . wog 3U
2 ) cosvL 1^.222!-o-(gg. II.)
Z) 222 -j- OLU und
4) k'LI. — igo° —
Beispiel. Die nördliche Abweichung eines Sterns betrage 33° Z(?, seine gerade Aufsteigung 277° ZZ^ und die Schiefe der Ekliptik 25° 23^; man soll die Lange und Breite des Sterns in angeben. Zur Bestimmung der Breite, bediene man sich der Formeln bei l. und der Länge, der Formeln bei II.
Der /. wird durch 0() gemessen und es ist 6Y — 277° ZZ/ — 270° 22: 7° 55/ und Lp 222 2Z° 2lss. Daher gibt die Formel 1) durch Logarithmen ausgedruckt:
Ic>K cos — log cos 7° 55/ 222 9,9962135
log taug Lk — log lang 2Z° 2Z^ 222 9,6576106
19,6353291
10, '
log t-ing xr> — 9,6333291 -- log 2Z° 17^ beinahe. Es macht demnach der Dogen

von 23° 1/ den Abschnitt l?O aus. Allein ^6 ist die gegebene Abweichung, --- 38 ° 3^. Ziehet man nun diese von 90° ab d. i. 90° —- Zg° 36^ — Zi° 24/; so ist diese
Zahl die Seite ^ 41 '. Also erhalt man ^ 4 V — ^.l? —
I>O 51° 24/ — 23° 17^ — 23° 7^. Daher sind jetzt die beiden Abschnitte der Grundlinie im ^ - 4 lZl? bekannt. Daraus und vermittelst der andern bekannten Stücke, kann man nun aus 2) bei I. die dritte Seite
. , , . . cos ll p . cos
berechnen, mdcm cos ^.lj —-,st.
cos 0
Es ist aber
log cos L? " log cos 23° 2Z^ — 9,9623076
log cos ^ 4 O — log cos 28° 7^ — 9,9454636
Summe — 19,9079712 log cos OI? " log cos 23° 17^ — 9,9631032
loz cos ^.8 — 9,944863»
log cos 28° 16 beinahe, welches also der Logarithmus des Cosinus der gesuchten Seite ist. Ziehet man diese von LI? —90° ab, so ist 90° — ^8^-90°
— 23° it? — 61° 44/ — -Lk' d. i. — der gesuchten Breite des Sterns in ^ 4 .
Nun folgt die Bestimmung der Lange. Man hat aber aus 1) bei ll.
log cos l?L — log cos 23° 23^ ^ 9,9625076
log wng LI?V logtsiig 7° 33^ 9,1185667
Summe der Log. 19,0810743
log r — 10,
log cor l?LO " 9,0810743
— log cor 83° 8^ beinahe. Wegen der andern Gleichung
M 2

in ll. nehmlich cos
cos L p O. tang L
--7-^-, 'b
c->ng -4 L
1o§ cos L?O — log cos 85 ° 8' — 9,»7758Z2 1og t->NgLI? — log läng 2Z°28' ^ 9,6576106
Summe der Log. — 18,7151953 log wng ^ L — log mng 23° 16^ — 9,7305554
log cos 8,9846584
log cos 84 ° 28' beinahe. Diese Zahl gibt also die Größe des Winkels ^Lv an. Nach 5) bei l. aber ist ^ Lli ^ Lv -s- vLI> — 84 ° 28' -i- 85 ° 8' — 167° 36'. Dieses Bogens Ergänzung zu 130° ist — 12° 24^. Also die Lange des Sterns in - 5 ,, -i-r 270° -s- 12° 24^ 282° 24^«
Zusatz 1. Stande der Stern im Aequator, z. B. in 6; so wäre feine Abweichung —0, die gerade Aufsteigung aber der Bogen 5 V 6 , die Schiefe der Ekliptik der und bei 6 d. i. 4 VQH ein rechter Winkel und man hätte nur nöthig das rechtwinklige Dreieck 4 V 6 L. aus den genannten Stücken aufzulösen, wodurch man die Breite des Sterns Ill6 und seine Länge 4 VH bestimmen könnte.
Zusatz 2. Vergleicht man nun die Seiten und Winkel des sphär. /X^.Ll? mit einander, so wird man leicht finden, daß die sechs Stücke: Länge, Breite, Abweichung, gerade Aufsteigung, Schiefe der Ekliptik und der bei d. i. derjenige, welchen der Abweichungsund Breitenkreis bei einschließen (Positionswinkel), in einer solchen Verbindung mit einander stehen, daß man aus drei derselben die übrigen Stücke herleiten kann; wenn man nur erwägt, daß der Winkel

und H.I?L die ergänzenden Theile der Abweichung, der Breite, der Länge und der geraden Aufsteigung vorn Colurns der Sonnenwende an gerechnet sind; Lv aber die Schiefe der Ekliptik und der Winkel bei 2 den Positionswinkel bezeichnet.
Anmerkung -. Unter den in (96.) gegebenen Auflösungen, verdient besonders die in (Anm> 2.) bemerkt zu werden, weil man durch die andern, leicht zu bedeutenden Fehlern verleitet werden kann, zumahl wenn die Figur nicht in jedem besondern Falle nach der Lage des Quadranten vcr, zeichnet worden ist. Bei dieser Auflösung aber darf man nur die trigonometrischen Linien, mit den ihnen zugehörigen Vorzeichen verbinden und bemerken, daß wenn .sich die gerade Aufsteigung des Sterns im ersten oder vierten Quadranten befindet, seine Lange nicht im zweiten oder drillen sein kann und wieder, wenn die gerade Aufsteigung in diesen ist, seine Lange nicht in jenen sein kann. Wendel man nun die in (96. Anm. 2.) gefundene Auflösung, auf das mit Rücksicht auf die Lage der gegebenen und gesuchten Stucke an, so erhalt man 1) zur Bestimmung der Lange
81 »
rai'Z l'L^—coe —cvs 1-2 . co-^-VL ° ^
cot k
»in L? . cot — co» k? U . cc>» L siu
^-co» Vr . cot ? V. Hierbei kann
-in
man nun bemerken, daß cor — cot (90°—
— cor 90° — >VO d. i. — cot 90° — der ger. Aufst. Ware ein stumpfer Winkel; so hatte man auch
cot — (cot 90° fl- der ger. Aufst.). Damit man
nun nicht immer genöthigt ist, sich an die Figur zu binden, so drucke man die Werthe der vorigen Gleichung, durch die ihnen in der Aufgabe beigelegten Benennungen aus, und ändere, wie gesagt, nach dem Quadranten,

— iL2 —
auch die Vorzeichen der trigonomctr. Linien. Alsdann ist t-nA Lange tsng ger. Aufst.
-in der Schiefe - r-niA Abw.
-I- cos. Schiefe.
(
tLii» Schiefe . Abw.
cos ger. Ansst. oos Schiefe der Ekliptik. i-u,x ger. Aufst.
--i- r
Di
Dieser Ausdruck ist
5iii ger. Aufst.
-ur Berechnung bequemer, als jener.
Zur Berechnung des gefundenen Werthes mit Logarithmen, kann man denselben in zwei andere Gleichungen auflösen, nehmlich i) in
^Schiefe d.Ekl.t-uiKÄbw.
trn» L
lange
siii ger. Aufst. co5 Schiefe . l.i,iA ger. Aufst
eos Z ^
)
und 2) in
Zur Bestimmung der Breite als des zweiten Theiles dieser Aufgabe, kann man die in vcr (Anm. i. 95.) gegebene zweite Auflös. der in (95.) vorgetragenen Aufg. nehmen, und zwar um so viel mehr, weil hier, einen Logar. ausgenommen, dieselben Logar. gesucht werden, welche bei der Berechnung der Lange vorkommen. Wendet man daher jenen Ausdruck auf dieses ^ iL?IZ an; so erhält man cos HZ
L 05 LI>. 005 ^? 5 inkZ?. 5 iniLl'.cosiLI'L. Ware nun hier ei» stumpfer Winkel) so wurde der letzte Theil der Gleichung das Vorzeichen (—) erhalten. Setzt man also mit Rücksicht auf den letzter» Umstand, anstatt der Werthe, ihre Benennungen in die Gleichung, so darf man in allen Falle» bloß das Vorzeichen der trigonometrischen Linien abändern. Alsdann erhalt man riii Br. — 00s Schiefe d, Ekl. . sin Abw. — ein Schiefe.
cos Abw. . -III ger. Aufst. — cc>5 Schiefe d, Ekl.. ein Abw. (i — lLiiA Schiefe d. Ekl.. cor Abw. -in ger. Aufst.). Zur Berechnung dieser Werthe mit Logarithmen setze man tan^> — V — r-inA Schiefe . cor Abw. siii ger. Aufst. -in Breite ^ Schiefe . -in A bw.,
cos^

Anmerkung 2. Aus dem OZus. m.) ersieht man, daß man aus der gegebenen Lange und Breite eines Sterns nebst der Schiefe der Ekliptik, die Abweichung und gerade Aufsteigung desselben finden kann. Nur ist zu bemerken, daß man von dieser Aufgabe in der Astronomie nicht so häufigen Gebrauch macht, als von der vorigen, welche auch besonders dazu dient, die in der Nahe der Ekliptik befindlichen Fixsterne nach ihrer Lange und Breite zu berechnen. Man hat aber auch überhaupt diese Berechnungen i» Verzeichnisse gebracht und sie mit in die astronomischen Tafeln aufgenommen.
§. 112.
Aufgabe. Auf der Erdfiache sind Behufs einer Landesvermessung, zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel vermessen, und die dritte Seite daraus nach den Grundsätzen der ebenen Trigonometrie berechnet worden; mau fragt, wie groß diese Seite sei, wenn man die durch unmittelbare Messung gefundenen Stücke, wegen der Gestalt der Erde, als Theile eines sphäri- schen Dreieckes betrachten will.
Erläuterung. Bei geographischen Vermessungen liegen die Schenkel der Winkel in Vertical-Ebenen und die Visirlinien sind daher Tangenten, welche die Größe des spharischen Winkels, von dessen Scheitelpunct sie ausgehen, genau angeben. Die in der Richtung der Visirlinien ausgestecktcn und gemessenen Schenkel, sind eigentlich Bogen größter Kreise auf der Erdflache, die nach Graden, Minuten rc. 15 Meilen auf einen Grad gerechnet, müssen ausgedruckt werden.

Nun sei (Fig. Z9.) ein sphar. Dreieck, dessen Seiten und Winkel, d. h. — c, ^6 —d und gemessen worden sind, in welchem man bei dieser Untersuchung die Seiten tLL, H .6 von gleicher Größe annehmen kann. Alsdann ist «in ^ 2 «in x ^. «in ^ k>. Denn es ist
. cn« 2 — L08 l). cns o
cos ^ ,-
«in l>. «in c
. cns 2— cns .. ,
cos^ —-, well l) r-- c ist.
«in U?
c>>8 a cos «in k>^ -j- co« k>^. Es ist aber
2 «in ^ — i — cos ^
cos ^ ^ i —
- 2 sin ^ und
daher
cos 2 — —
- 2 «in ^ «in k>
^-s-cosb^ oder
cos 2 «in l
2 --j-
cos — 2 sin ^ sin k>^ oder
cos I — 17—
2 sin
4^2
weil sinb^-j-cosk,^
1 --— LOS u —
2 siri
^ ^^SN 2 k>".
Es ist aber
i — cos a —
2 «in
Also 2 «in ^
2 - —
^ 2 «in ^
«in d ^ oder
«in ^ s — «in ^ . «in k>. Hieraus ergibt sich nun leicht
der Werth von 2, wenn man die Seiten als Kreisbogen betrachtet. Als gerade Linien aber wurden sie ein ebenes geradliniges gleichschenkliges Dreieck bilden, bei welchem sich nach der angenommenen Voraussetzung, aus einer der beiden gleichen Seiten und dem halben Winkel an der Spitze, die Grundlinie finden laßt. Bezeichnet man auch bei diesem, den Winkel an der Spitze mit jede der gleichen Seiten mit b und die

iö5
Grundlinie mit 3; so ist 3 — 2 8 sin^^.. Aus der Vergleichung beider Werthe, ergibt sich alsdann der Unterschied der dritten Seite.
Beispiel. Es sei z. B. bei einer geographischen Vermessung 8 — 60 Meilen oder 4°, wenn man, wie nachher geschehen soll, 8 als einen Kreisbogen auf der Kugelflache betrachtet, ,4 ^ 54° 56^; so wird die dritte Seite nach der letzter» Bestimmung d. i. 3 ^2 2 8 sin 4 ^ oder vermittelst der Logarithmen 1 o§ 3 IvA 2 8 -s- 1oA sin ^ ^ 4 . Es ist aber
iOA 2 d ^ lOA 120 — 2,0^glgl2
INA sin ^,4 ^2 1oZ 27° 18^ — 9,6614g!»
11,7406622
10,
lo§ 3 — 1,7406622 —
lo§ 55 , 058 . Also ist 3 — 55,053 Meilen.
Nun suche man diese Seite aus sin ^ 3 — sin 8, sin ^ ^ 4 , oder vermittelst der Logarithmen ist lo§ sin ^ 3 1oA sin 8 -s- IoA sin ^ 4 .. Es ist aber
loA sin d IoL«in4° — 8,8435845
1oA sin ^ ^4 — 1oA sin 27° ijss — 9,6614810
Summe der Log. — 18,5050655
10,
1 oZ sin ^ 3 — 8,5050655 —
Io§ sin 1° 50^ 45". Es ist also 3 das Doppelte von 1° 50^ 1,5" — 5° 40^ 2^". Verwandelt man diesen Bogen in Meilen; so erhalt man 55,011 Meilen.
Also ist der Unterschied zwischen beiden Resultaten sehr unbedeutend und man kann ohne Bedenken die auf

der Oberfläche der Erde gemessenen Linien als Scheu« kcl eines geradlinigen Winkels betrachten.
Anmerkung. Bedeutender wird der Unterschied, wenn man aus den gegebenen Stucken, den Flächeninhalt des ebenen und des sphärischcn Dreieckes berechnet. Ausser dem Halbmesser der Erde, der abwechselnden Krümmung ihrer Oberfläche, ihrer abweichenden Gestalt von der Kugel, haben auf diese Bestimmung noch mancherlei andere Umstände einen unverkennbaren Einfluß. Berechnet man z. V. den Inhalt eines sphärischcn Dreieckes aus dem Erdradius von gZg und dann von g 6 o Meilen; so gibt diese verschiedene Annahme eilten bedeutenden Unterschied in Rücksicht des Flächeninhalte. Aus diesem Umstände allein laßt sich einsehen, daß in allen, Berechnungen für den Inhalt der Oberfläche der Erde und ihrer Theile, wo der Halbmesser oder gar dessen O.uadrat in Anschlag gebracht werde» muß, man kein zuverlässiges Resultat zu erwarten habe. Daher verdient die Methode, nach welcher mati Theile der Oberfläche der Erde aus kleineren ebenen Dreiecken, deren Summe man alsdann berechnet, ungeachtet mancher unvermeidlichen Schwierigkeit, wenigstens vor der gedachten Verfahrungsart, noch den Borzug. Man vcrgl. auch Mvnnich's Lehrb. der Math. 2le Abth. des istcn Th. S. 144- §- 3 >-
§. HZ.
Aufgabe. Aus der Länge der Sonne, der Polhöhe eines Ortes, die Dauer der Morgen- und Abenddämmerung an dem gedachten Orte zu bestimmen.
Erläuterung. Die Atmosphäre, welche die Erde rings umher umgibt, bricht die von der Sonne nach allen Seiten und Richtungen ausgehenden Lichtstrahlen

und macht, daß dadurch die noch in Dunkel gehüllten Theile der Erde des Morgens früher erleuchtet werden als die Sonne den Horizont erreicht hat, und des Abends nach ihrem Untergänge noch eine Zeit lang erhellet bleiben. Zur Bestimmung der obigen Aufgabe wird man hauptsächlich auszumachen haben, unter welcher Tiefe die Sonne unter dem Horizonte die gedachten Wirkungen vermittelst der Atmosphäre auf die Lichtstrahlen, auf der Erdkugel sichtbar werden. Die früher oder spater anfangende Dämmerung hangt von mancherlei Umständen ab, indeß nehmen die meisten Astronomen die Tiefe unter dem Horizonte nach den deshalb angestellten Beobachtungen, in einer Entfernung von ig° an. Daher beschreibt man in dieser Entfernung unter dem Horizonte IIU (Fig. 44.) mit demselben einen Parallelkreis 6 V und rechnet von diesem Kreise, als der Grenze der Dämmerung (Dämmerungskreis) den Anfang der Abend- oder Morgendämmerung. Diese bricht an, wenn die Sonne bei ihrem Aufgange in den Parallelkreis 1)6 tritt/ und jene währet so lange, bis die Sonne bei ihrem Untergänge bis auf den gedachten Kreis VO herab gesunken ist.
Auflösung. Es sei die Sonne in dem Puncte 6 des Dammerungskreifes 6V, welcher mit dem Horizonte HU parallel gezogen ist, 2 das Zenith, der Aequator, I? dessen Pol; so ist der Punct ^ des Aeguators in dem Augenblicke im Meridian, wann die Sonne den Dämmerungskreis erreicht hat. Nun ziehe man durch 6 den Abweichungskreis U6b', so ist Ok die Abweichung der Sonne und der Bogen ^.b', der in der Zeit durch den Meridian gehet, wahrend welcher

sich die Sonne von dem Puncte 6 bis zur größten Höhe erhebt und culminirt. Die Zeit also, welche die Sonne zu dieser Bewegung braucht, von dem Anfange der Morgendämmerung bis zum Mittage, wird also durch den Bogen bestimmt. Ziehet man nun von diesem die halbe Lange des Tages ab; so gibt die Differenz, die Dauer der Morgendämmerung.
Der Bogen aber ist das Maß des sphärischen Winkels 21 ?6 in dem 62 U. In diesem H kennt man U6 und I?2 als die ergänzenden Theile der Pol- höhe und der Abweichung der Sonne, zu 90°. Aber auch 62 ist bekannt, weil die Bogen von 2 bis an den Horizont 90° und der Bogen vom Horizont bis an den Dämmcrungskreis ig°, folglich 6 2 ^ 90° -j- — 108° beträgt. Es sind daher alle drei Seiten 1?6, 1^2 und 62 des sphärischen Dreiecks 61'2 bekannt, aus welchen sich der Winkel bei I?, welcher von dem in Zeit zu verwandelnden Bogen gemessen wird, berechnen läßt. Es ist aber sin il' —
r- sl»z (62 -Hl>6 —1>2). sln 4 ( 62 -j-I> 2 —U 6 )
Hat man durch diese Gleichung den Winkel beiU gefunden, seinen Bogen in Zeit verwandelt, davon die halbe, nach ( 84 .) zu suchende Länge des Bogens abgezogen; so gibt die Differenz die verlangte Morgendämmerung an.
Nach diesen Vorschriften findet man auch, mit Erwägung der dabei vorkommenden Umstände, die Abenddämmerung.
Beispiel. Wie viel beträgt die Morgendämmerung zu Berlin am 50. März ,8", wenn die Polhöhe

i39
dieses Orts 52° 31' und die nördliche Abweichung der Sonne an diesem Tage 5° betragt? Hier ist also I>iv — 52° 31' 44"
< 3 x — 3° 31^; folglich
5 H° — I?k --- 37° 28' 16" el> — 90° — ex — 86° 29'
<3 2 — 90° -s- 18 — i«8°»
Es ist also, wenn man diese Zahlen nach geschehener Subtraktion in den obigen Ausdruck schreibt,
SIN -
r ^ (sin 29° 29' 38" . «in 78° 30' 22")
sin 86° 29' . sin 87° 28' 16" 1c>§ r " — 20,
1c>Z sin 29° 29' 38" 9,6922569
IvA sin 78° 30'22" ^ 9,9912021
Logar. des Zahlers — >9/6634590 Ic>§ -in 86° 29' — 9/999>8>5
1o§ sin 37° 28' 16" — 9,784>6i6
Logar.des Nenners ^ i9/783543>
)
IciA sin
2) 19,9001159
x —
9/9500Z79 —
Io§ sin 65° 2' 45". Das Doppelte dieses Bogens ist daher 126° 5' 30". Verwandelt man diesen Bogen in Zeit, so erhalt man 8 St. 24' 26". An dem in der Aufgabe angeführten Tage geht die Sonne 5U. 40 M. auf. Daher gibt die Differenz die Dauer der Morgendämmerung 2 St. 4' 26" an.
Zusatz. Aus den, in der Aufgabe vorkommenden Datis, laßt sich nun auch beurtheilen, wann in den, in der gemäßigten Zone der Erde, liegenden Gegenden,

die Dämmerung die ganze Nacht hindurch dauert. Dieses wird überall so lange geschehen, als die Sonne bei ihrem Durchgänge durch den Meridian unter dem Horizonte nicht eine Tiefe von erreicht. Stellt nun die Linie vor, welche der Mittelpunkt der
Sonne in ihrer Bewegung, von Mittag bis Mitternacht, beschreibt; so ist offenbar, daß die Dämmerung in den Nächten nicht unterbrochen wird, wo die Sonne bei ihrem tiefsten Standpuncte in N, nicht wie in der Figur unttr, sondern über v bleibt, d. h. so lange der Bogen größer als ist; daß sie alsdann ihre Grenze erreicht hat, wenn mit O zusammenfällt oder — s)v ist und endlich; daß die Dämmerung in den Nächten nicht mehr Statt finden kann, wenn kleiner als ()I1 wird. Es ergibt sich hierbei von selbst, daß, wenn die Gegenden auf der nördlichen Halbkugel der Erde durch die Dämmerung erhellet werden, die Sonne sich in ihrer Laufbahn auch in den nördlichen Deichen, auf der südlichen aber, in den südlichen verweilen müsse. — Es hängt aber die vorhin erwähnte Lage der Puncte N und v, von der Lage der Pol- oder Aequatorhöhe eines Ortes ab. Denn der Sogen Ol? bezeichnet die Abweichung der Sonne und ist hingegen ist f)O —(Zk—d. h. der Höhe des Aequators weniger ig°. Die größte Abweichung, welche die Sonne erreicht, beträgt 2Z° 23^ beinahe. Setzt man nun die 13° als den Abstand des Damme- rungskreises vom Horizont dazu; so erhält man 4*° 2^. Diese Zahl bestimmt als Aequatorhöhe die Grenze, bei welcher die durch die Nacht dauernde Dämmerung anfangt. In allen Gegenden also bleibt die Dämmerung

so lange die ganze Nacht hindurch, als der Unterschied zwischen der Aeguakorhöhe und der sich stets ändernden Abweichung der Sonne, weniger als ausmacht.
Die Polhöhe von Berlin z. B. bctragr 52° 5^ 44", also die Aeguakorhöhe 57° 23^ 76". So bald nun die Abweichung der Sonne so viel betragt, daß deren Differenz von der Aeguatorhöhe 18° oder weniger ausmacht; so dauert die Dämmerung die ganze Nacht hindurch. Es ist aber die Abweichung der Sonne am 17. Mai i8ic> nach den Ephemeriden 19° 27^ 39", folglich ist die Differenz ungefähr 13°. Daher fängt sich mit diesem Tage die, durch die ganze Nacht währende, Dämmerung an. Nun nimmt die Abweichung bis z»m 22. Juni zu. Von dieser Zeit an nimmt sie wieder ab, bis sie am 25. Juli ungefähr eben so groß ist als am 17. Mai. Während dieser ganzen Zeit also Lauert die Dämmerung ununterbrochen die ganze Nacht hindurch.
Zusatz 2. Ist die gegebene Abweichung südlich; so steht mau sie nicht von 90° ab, sondern setzt sie zu dem Bogen von 90° hinzu.
Aiimcekung 1. Dauert die Dämmerung nicht die ganz» Nacht hindurch, so laßt sich die Abenddämmerung auf gleiche Art berechnen. Da man hier aber nicht die größte Genauigkeit fordert und auch nicht fordern kann, weil die Tiefe des Dämmerungskreiseö unter dem Horizont nicht als eine, außer allem Zweifel gesetzte Angabe, der Be« rcchnung zum Grunde liegt; so kann man die Abend- und Morgendämmerung an jedem Tage, von gleicher Dauer annehmen.
Anmerkung 2. Die Dämmerung ändert sich theils nach der verschiedenen Lage der Gegenden auf der Erde, theil»

192
nach den Jahreszeiten. Unter dem Acqnator nimmt sie desto mehr zu, je größer die Abweichung der Sonne wird, und hat die Sonne ihren Slandpunct in den Nachtglcir chcn, so betragt die Dämmerung ungefähr Z Stunden. Unter den Polen, wo die lange Abwesenheit der Sonne, nach sechs Monaten eine tiefe Dunkelheit bewirkt, erhellet die Dämmerung zwei Monate vor ihrer Rückkehr die dortigen Gegenden.
Anmerkung Z. Mehr Schwierigkeit hat die Aufgabe für die Zeit der kürzesten Dämmerung. Käst »er gibt für den Tag der kürzesten Dämmerung folgenden Ausdruck: Es ist slu Abweich. der Sonne — siu Polhöhe.
Man vergl. noch (8Z. Anm. z.). T. Bergmann, Geschichte der Wiff. von der Dämmerung. Schwcd. Abhandl. 1760. Gchlers physikal. Wörterbuch unter dem Artikel Dämmerung.
§. 114.
Die in diesem Abschnitte vorgetragenen Aufgaben mögen hinreichen, die Anwendung der sphärischcn Trigonometrie, auf die Geographie, Fcldmeßkunst und Astronomie zu zeigen. Sie ist aber nicht bloß auf diese Theile der mathematischen Wissenschaften beschrankt, sondern sie dehnt sich über alle Gegenstände derselben aus, bei welchen die Lage der Ebenen in Betrachtung gezogen wird. Daher wird man durch sie in den Stand gesetzt, geometrische Körper oft aus solchen Abmessungen zu berechnen, die nur an ihren Grundflächen genommen werden. Sie ist daher ein schätzbares Hülfsmittel, diejenigen Eigenschaften der Körper auf eine sehr einfache und einleuchtende Art zn entwickeln, welche man sonst entweder gar nicht kannte oder auf einem sehr mühsamen Wege kennen lernen mußte. Als ein Beispiel

spiel mögen uns hier die regulären Körper dienen, womit sich die Alten so angelegentlich beschäftiget haben. Es gibt eine Sage, nach welcher man behauptet, daß Euklidcs seine Elemente nur um ihrentwillen geschrieben habe. Ich lasse die Zuverläßigkeit dieser Behauptung dahin gestellt sein, und zwar um so mehr, da ich auch die entgegengesetzte Meinung kenne. So viel aber ist gewiß, daß diese Körper schon der Aufmerksamkeit der Pythagoräer nicht entgangen sind, daß die spätern Weltweiten Griechenlands einen sehr großen Werth auf deren Kenntniß und Eigenschaften legren, weil nach ihrer Meinung die Natur in ihren ursprünglichen Zusammensetzungen und Formenbildung Gesetze befolge, nach welchen die Urstoffe aller Dinge aus den gedachten Körpern beständen. Und noch jetzt kommen dieselben in den neuern Schriften der Mathematiker, unter dem Nahmen der platonischen Körper vor.
§. HZ-
Die fünf regulären Körper, welche die Geometrie aufstellt, sind das Tctracdron, das Octaedron, das Jcosaedron, das Hcxaedron und das Dodecaedrvn; ausser diesen sind keine regulären Körper möglich. — Denn aus den Begriffen regulärer Körper folgt: i) ihre Seitenflächen müssen lauter gleiche, ähnliche, reguläre, durch gerade Linien begrenzte Figuren von gleicher Art sein. Ihre Regularitat würde aufgehoben, wenn eine Seitenfläche ein gleichseitiges Dreieck, die andere aber ein Quadrat wäre, obgleich beiden Figuren die übrigen Bestimmungen zukommen; und 2) müssen auch ihre Ecken, welche durch die zn-
N

194
sammenstoßendeil Seitenflächen gebildet werden, alle von gleicher Größe, d. h. einander gleich und ähnlich seyn, und weniger als 360° betragen. Aus diesem Grunde und weil zu einer körperlichen Ecke wenigstens drei Seitenflächen erfordert werden, können diese nur Dreiecke oder Quadrate oder Fünfecke der gedachten Art feyn. Im ersten Falle macht ihre Summe an der Ecke Z. 60° — 180°, im andern 5.90° ^270° und im dritten 3. ioZ° — 324°. Wollte man nun aus drei Sechsecken oder Siebenecken rc. den körperlichen Winkel zusammensetzen; so würde ihre Summe Z. 120°— 36«°, welche also in einer Ebene liegen; oder 5.128^°— 385 ^° einen einwärtsgehenden Winkel machen würden.
Untersucht man nun weiter, wieviel der regulären Seitenflächen bei Bildung einer körperlichen Ecke zusammenstoßen können; so wird man finden, daß die Summe dreier, vier und fünf Dreiecke in der genannten Ordnung 180°, 24»° und 300° ausmachen. Würde man aber deren sechs nehmen wollen, so können diese keinen Winkel mehr bilden; noch weniger aber sieben rc. Also sind nicht mehr als drei reguläre Körper möglich, welche von Triangeln eingeschlossen werden. So entsteht das Tetraedron, Octacdron und Jcosaedron. Nimmt man Quadrate oder Fünfecke, so ist in jedem Fall ein regulärer Körper möglich; jene geben das Hexacdron oder den Würfel, diese das Dodecaedron.
Anmerkung. Eine sehr allgemeine, mehr umfassende und tiefer gehende vervollkommnete Theorie dreieckiger Körper hat v. Euler, und nach ihm Karsten vorgetragen. Jener im vierten Bande der Pcrlersburger Commcntarien, unter der Aufschrift: HlemeirtL «Zocrrlnire solickoruin.

r95
und dlMil Oernonstr-itio nonnnllarnin iiisiAniuin xio- xrietiU iini ccc. Dieser in der erste» Abth. des ersten Th. seines Lehrb. der ges. Marhemank. Nach der 2len Aufl. von 1786 von S. sZ9 — 572.
H. 116.
Die Untersuchung der regulären Körper, geht von der gleichseitigen Pyramide aus. Sie hat eine ebene, reguläre, durch gerade Linien begrenzte Figur zur Grundfläche und ihre Seitenflächen sind lauter gleiche, ähnliche und gleichschenklige Dreiecke. Bei einer nähern Prüfung der Lage der Linien und Winkel gegen die Grundfläche wird sich zeigen, daß die Seitenlinien dieser Pyramide, welche von der Spitze nach den Winkelpuncten der Grundfläche gezogen werden, wie
UL rc. (Fig.45.), alle von gleicher Länge sind und daß die Neigungswinkel der Seitenflächen gegen einander; wie auch gegen die Grundfläche, von gleicher Größe sind. Auch geht bei einer gleichseitigen Pyramide, der Perpendikel, der von der Spitze auf die Grundfläche gefallet wird, allemahl durch den Mittelpunct der Grundfläche.
Aus den Grundsätzen der Geometrie in Verbindung mit den im dritten Abschnitte vorgetragenen Lehren erhellet: daß i'l eine gleichseitige Pyramide entsteht, wenn man alle Seiren eines regulären Polygons mit Ebenen durchschneidet, welche gegen die Grundfläche unter demselben spitzen Winkel geneigt sind.
2) Daß, wenn mehr als zwei Seitenlinien k^>, kL, kL rc. einer gleichseitigen und gleichwinkligen körperlichen Ecke um den Punct k von gleicher Lange sind, L, L, O, L als Winkelpuncte eines regulären Poly-
N L

196
goiis in einer Ebene liegen, dessen Seitenlinien mit der Anzahl der Seitenflächen an der körperlichen Ecke bei I? übereinstimmen.
§. 117.
Wenn man die Flächenwiukel eines regulären Te- traedronö halbirt, so wird der Körper in vier gleiche, ähnliche und gleichseitige Pyramiden getheilt, deren jede, eine von den vier Seitenflächen zur Grundfläche hat.
Alle Flachenwinkel eines Tctracdrons sind einander gleich, und jeder einzelne für sich genommen < 2 I',. Durch die vorgeschriebene Theilung legt man nun durch jede Seitenlinie eine Ebene, welche innerhalb des körperlichen Raumes gegen jede Seitenfläche gleich geneigt ist, und auf diese Weise entstehen vier Pyramiden, Leren jede eine Seitenfläche des Tctraedrous zur Grundfläche hat, und die alle gleich, ähnlich und gleichseitig sind, und zwar aus dem Grunde, weil ihre Spitzen in einen gemeinschaftlichen Punct zusammenfallen, indem jede Seitenfläche der vier aus der Zerfällung des Ganzen entstandenen Pyramiden, zugleich eine Seitenfläche der anliegenden ist.
Zusatz 1. Da nun alle Seitenlinien der vier aus der Theilung des Tetraedrons entstandenen Pyramiden, von ihrer gemeinschaftlichen Spitze, innerhalb des gegebenen Körpers, bis an einen der vier Puncte seiner körperlichen Ecken gehen; so kann man mit diesem Abstände als mit einem Halbmesser, eine Kugel beschreiben, in deren Oberfläche die vier Spitzen des Tetraedrons liegen.

197
Zusatz s. Diese Satze gelten nicht bloß vom Le- traedron, sondern sie lassen sich aus gleichen Gründen, über alle reguläre Körper ausdehnen.
H. iig.
Aufgabe. Die Polygonseite, der Polygonwinkel der Grundfläche nebst dem Neigungswinkel der Seitenflächen gegen die Grundfläche einer gleichseitigen Pyramide, sind bekannt; wie findet man aus diesen Abmessungen, die Länge ihrer Seitenlinien, ihren körperlichen Inhalt und ihre Oberfläche?
I) Es sei jede Polygonseite der Grundfläche der Pyramide (Fig. 45.), V6 — jeder Polygonwinkcl wie H.L6 — L6V rc. — der Neigungswinkel der Seitenflächen gegen die Grundfläche —die Anzahl ihrer Seiten — n, U die Länge der Seitenlinien U6 — UO -^ULrc., U. der Inhalt und U die Oberfläche der Pyramide. Nun sei U senkrecht auf die Grundfläche gesetzt, ihr Mittelpunct 0 mit den Winkelspitzen L,
O, O rc. durch gerade Linien ^0, Ltz, 6 s) rc. verbunden und von t) ein Perpendikel auf 6v
herabgelassen; so hat man 60 — ^
^ ^ cos^^ cos^/Z
^ LLLL und die Höhe der Pyr.l'O-00 t3NAk?60. Um nun den Winkel U60 zu bestimmen, beschreibe man aus 0 mit einem beliebigen Halbmesser die Kreisbogen MN,I>I0,0M in den drei Seitenflächen L6V, I?LL und ^V6 der körperlichen Ecke bei 6 und lasse aus 0 den Bogen 0>V senkrecht auf AM herab, so

198
ist in dem rechtwinkligen sphärischen Dreiecke lVIVVO der Winkel d. i. der Neigungswinkel der
Seitenfläche OI?L! gegen die Grundfläche, der Dogen NN das Maß des W, LOO und es verhälc sich r : sin iVI VV ^ rang Obt VV : lang O^V (6g.) oder r : «in 4 B — rang > : rang k 6 (), folglich
2 ) rang L' L () — sin 4 /Z. rang >. Daraus findet man die Höhe kh —H6.rangl>6<) — ^ —
cos 4 /S
4 a rang 4/Z. rang 7 ^ und hieraus die Seitenlinie I>6 —
^s^sin^'- tang>" cos 4 /S ^
(i-s-sin4/3' .lang-/ ') 4a^(i-j-8in 4/3'- tg>^)
cos 4 /Z cos 4 /S
Vcos4/3
)
H) Setzt man die Grundfläche der Pyramide—d, so ist IL—4b.I><^. Es ist aber b — n . 4 a . —
x an 6 sin 4 /- —-a— — ^a' n tangä /3 und
cos 4/3
— ? a . rang 4 /; . rang 7.. Also erhalt man k — Tix a ^ n. rang 4 /3' rang >.
III) Setzt man die Oberfläche der Pyramide, ohne die Grundfläche k>, — k; so ist 5 — n.kOO. Es ist aber ^ l? OO — 4 a 4. sin k 6 0 . Nach den vorhergegangenen Bestimmungen aber ist
rc --
cos 4 /Z
^_ 4 sin I?6O a ^ n V(r -s- sin 4 B 2. tang >
cos 4 /3
Daher kommt es hier auf den Werth des sinkLv an.

— 199 —
Es ist aber coseo I?L() — V(i -s- ccn k 6(9^)
^ V sin^/Z^ t3NA>^ ^ sin X /L e3HA >
Also sin recz --^-
Nun verhalt sich in dem rechtwinkl. sphar. /X OXVIV! «in OM : 1 — siri XV NO : sin ow oder sin I' 6 I) : i ^ sin > : sin b' L
slnI?eO —. Schr.mansisinrctzs.Werth,soist
I1 /X I? 6 O — II X T 2 ^ k 6 O — ^ II 3 6 sin I? 61)
Also k d-j-n Q k6v
— ^3'nt3NA^/Z-s-^3^nt3NZ^^ sec> ^3 tLNA^/Z (i-s-sec>)
— tANA^/Z.cot2>.t3N§>,
II) L — 2 ^ 2 ? n wng^/r^tanZv d. i. der körperl. Inhalt
cosec I? 6
^ V(i-I-8>II2/S'>:3IIA>^) _ siii^/StkMA^
silI^/Sl3IIA>
sin 1> 6 O —
3in..V(l-^«i- iz^3N8^)^ folglich ist
sill^/L . t3NA>
^3'N8in^/Zt3NA^ ^3'Nt3I!K^/Z
— ^3^N t3NA^/S sec
cos^^.sin^
cos>
Es ist also
I) 6
V(i->-s!n^/;-r3n^^^)
d. i. die Seitenlinie
cos^/r

200
III) k — 4 2 " I1 taug 4IZ. cot 4.'/. taug d. i. die Oberfläche.
Es sei z. V. der Polygonwinkel der Grundfläche einer Pyramide /Z — 120°, die Polygonseite a — der Neigungswinkel der Seitenflächen gegen die Grundfläche > — 52° 40^; so ist
I) 1^ — L41/sr-j-sin6o'.(wnAZ2°4c)^)^
co8 60"
^ 24 Vs» -fl-(0,8660254 ' (0,6411675)^ o,Z
— 13,72532654. Also ist I. ^ 15,7 F.
II) K.—.6.(rgng6o°)^taiig>. Es ist aber
IoZ.^.48^ .6 —I0A12.48- — 4,4416656 2 log taug 60° — 20,4771212 IOAt-MA52°4o^ 9,8069714 34,7257562
Z log tab r ^ 50,
loZ ^ ^ 4,7257562
^A 53i8o,956. Es ist demnach k — 5318- Kubf.
III) 17 — 4 - 48' - 6 . taug 60^ , cot 16" 23^. rang 52° 40^
I»s ^ - 43 ' - 6 — log 48.72 — 3,5385737 log rang 60° 10,2585606
log oor 16° 20^ — 10,5550552 log rang 52° 40^ r^l 9,8069714
54,1171609
5 »,
log I' — 4,1171609 — log 54176,43. Also ist k' — 54176 Q. F.
Anmerkung. Die letzte Gleichung bei III. für r entsteht aus der vorhergehenden, weil 1 -j- sec > 1 -s- —^—
cos >

201
i-l-cos> (i-j-cos'/) sin> «in ^
— -^ ^—!-. Hier ist nun--
cos-- sin>cos> cos>
1 -!- 603 > , . ,
— t3n§ und —-— -LOI: -2 7 ^/ folglich 1 -j-see^
81N >
r^: cvc ^ > . tnnA
Zusatz. Aus dem regulären Polygon, laßt sich nach gcom. Grundsätzen der Centriwinkel —, folglich
auch der Polygonwinkel desselben 2K — — — 7, leicht
finden, und es ist also alsdann nicht nöthig, daß dieser zu den gegebenen Stücken gerechnet werden darf.
§. 119.
Ausgabe. Aus der Seitenlinie eines regulären Tetraedrons, seine Flachenwinkel, seinen Inhalt, seine Oberfläche und den Halbmesser, der um den gedachten Körper zu beschreibenden Kugel zu finden.
I) Es sei NOlVl (Fig. 46.) ein mit einem beliebigen Halbmesser aus der Ecke 6 beschriebenes spharisches Dreieck, dessen Seiten lvll>l, dlO, OlVk, die in den drei in 0 zusammenstoßenden Seitenflächen liegen, einander gleich sind, weil LOH, — LOH. — 60° ist; so ist alsdann cos ^
cos R O — cos N lVk . cos lVI O sin di . sin Hll O
oder
wenn man auch hier diesen Winkel nennt,
cos 60—cos 60. cos 60 —-4 4
so ist
cos > —
vz.vz
siii 60 . söi 60
0 ,5533335 — cos r-. Sucht man nun, welcher W.

zu diesem Cosinus gehört, oder berechnet man dessen Werth aus Logarithmen, so erhalt man 10,0000000 1 o§ Z — 0,477lLlZ
log cos> — 9,5223736 — log cos 70° 31^ 45 ^". Folglich 1 ) > — 70° 3 r' 4 o^".
II) Der körperliche Inhalt des Tetraedrons, welcher gesucht wird, ist als der Inhalt einer gleichseitigen Pyramide X —^na^ rang^/^rang,, (113.ll^ anzusehen. Aendert man demnach mit Beibehaltung der Seitenlinie — a die übrigen Größen nach den Verhältnissen um, welche aus den Eigenschaften des Tetraedrons fließen; so erhalt man, weil /Z 60°,
. kin 30° V 3
1) rang — rang 30 —-— 4 :-
cos 30 2
tang^- —
s) rang > — 1/3. Denn es ist cos ^ (nach 1)
1
l /5
folgt.
—— — 1 : z — 3. Es ist aber
cos >
1
-, — sec >
cos >
sec ^ — 3
sec — 9. Es ist aber auch sec — 1 -s- rang folglich
i -s- rang ^ 9
rang — 9 — 1 — 3
tang > — z/ 8 — 2 V 2.

Schreibt man nun diese Zahlen in die allgemeine Glci< chung für so erhalt man des Tetraedrons körperlichen Inhalt
k.:
;.v^
III) Nennt man auch hier die gesammte Oberfläche
des Tetraedrons k und nimmt man eine Seitenfläche b> zur Grundfläche an; so ist nach den Grundsätzen der ebenen Trig. b — ^ ^ s' V5 und weil l/Z
— tsnA 50° und k' ^ 4b; so ist k WNA 50°.
IV) Der verlangte Halbmesser der Kugel ist eine
von den Seitenlinien ^v, der vier gleichen, ähnlichen und gleichseitigen Pyramiden, in welche das Tedraedron durch die Halbirung seiner Flächcnwinkel zerfallet wird und deren gemeinschaftliche Spitze in O liegt. Diese Seitenlinie ist bei der Pyramide, welche O zur Spitze und das zur Grundfläche hat, was l.
in der vorigen Aufgabe, bei der gleichseitigen Pyramide war. Nun ist, wenn der Flächenwinkel hier auch mit > bezeichnet wird, derselbe also — Aendert man nun den obigen Ausdruck nach dieser Bestimmung ab und setzt man so ist r —
(l -j- «in ^ tgr iA cos
folglich siri^/S —cos^/Z^
«in
cos z >
Allein es ist sln
Es ist aber — 60°, zl/Z. Auch ist
_
j/(^—- Vi UNd c 08 -^ ^ ^
folglich WNA 4 /^ : 1/H — Vr. Daherr

^ 0 . Es ist also
24/2
^4/ (iH-j.L) „ ^
4 l/Z l/Z ' ^
bei einem Tctracdron
I) ^—70^51^44" d. i. der Flächenwinkel.
II) lv^-?-§ 1/2 d. i. der körp. Inhalt.
III) v ^.1^4/5 d. i. die Oberfläche.
IV) r — —— d. i. der Kugel Halbmesser.
21/2
Es sei z. B. die Seitenlinie eines Tetraedrons, a-^24^, so ist dessen körperlicher Inhalt k —
— Es ist aber
12
Z log 24 — 4,1406556 lOA V2 — 0,1505150
4,2911486 log 12 — 1,0791 gl2
logL 5,2119674— log 1629,174 Kllbf. Ferner ist des Tetraedrons Oberfläche k — a-i/Z. Man findet aber
2 log 24 — 2,7604224 log Vo ^ 0,2535606
log x — 2,9939950 — log 907,66. Es beträgt daher b' — 907,66 Q. F.
Endlich 5) der Halbmesser, der um das Tetraedron
zu beschreibenden Kugel, r ^ ^/6. Es ist
24^2
aber
log 6 --- 0,7731512 log 4/6 — 0,5390756
log r ^ 1,1672263 — log 14,69.

— ?o 5 —
Zusatz I.- Setzt man nun den Durchmesser der um das Tetracdron zu beschriebenden Kugel —
2X^-^ —so ist ä- —4 a' oder 2ä^ —53-, 21/2
folglich 2: Z — 3": ä- d. h. es verhalt sich 2 zu 5 wie das Quadrat der Seitenlinie des Tetraedrons, zum Quadrat des Durchmessers der gedachten Kugel. (Man verg. Eukl. V. XIII. S. iZ.)
Zusatz 2. Die lothrechte Höhe einer jeden der vier oben beschriebenen Pyramiden, wie wird hier, mit Rücksicht auf den abgeänderten Winkeln, eben so bestimmt, alsUt^i in der gleichseitigen Pyramide und csistvH^ j 3 .t 3 NAr/s.t 3 NA^>. (iig-I-Z-) Nimmt man nun aus IV. den Werth von 4^ — V 4 und r 3 n§
— V 4 ; so erhalt man ^ 43 Vß . V 4 — 4 »-^ .
3
1/4 — Vergleicht man nun v t) mit r; so ist
V2
folglich istvtZ
' l /2 1/2
Zusatz Z. Um das gleichseitige Dreieck I?L^ laßt sich, wie um jedes reguläre Polygon, ein Kreis beschreiben. Setzt man nun dessen Halbmesser ^ so
^ Es ist
VZ
findet man
sln6o
2 sni 00 cN /2
und diesen Werth für 21/2.
, folglich 3
aber ä
1/2
a in e gesetzt, gibt e
l/Z. vz

§cli/2. Aus diesen Verhältnissen läßt sich nun folgende Aufgabe leicht auflösen.
§. 120.
Aufgabe. Eine Kugel, deren Halbmesser gegeben ist, um ein reguläres Tetraedron, zu beschreiben.
Man durchschneide die Kugel (Fig. g.) dessen Halbmesser 66 —r gegeben ist, mit einer Ebene, die um den dritten Theil desselben d. h. um 66 von dem Mittelpunct 6 entfernt ist; so gibt der Durchschnitt einen Kreis, dessen Halbmesser 6L —v(r^—
^:^rg/2 oder —cl v^ ist. Zeichnet man nun in diesen Kreis ein gleichseitiges Dreieck; so beträgt dessen Seite, aus dem Halbmesser §rl/2, (nach H. 120. m. Entwickelung der ersten Grunds, der Anal.) 20 oder Ziehet man nun aus dem Pol x des Kreises der mit der Kugel Mittelpunct auf einer Seite liegt, nach den Winkelspitzen, des in den Kreis eingezeichneten gleichseitigen Dreieckes gerade Linien, so erhält man auf diese Art, das gesuchte Tetraedron. (Man vergl. Eukl. D. XIII. S. iz.)
§. 121 .
Aufgabe. Aus der Seitenlinie eines Octaedrons, seine Flächenwinkel, seinen körperlichen Inhalt, seine Oberfläche nebst dem Halbmesser, der um den gedachten Körper, zu beschreibenden Kugel zu berechnen.
I) Das erste gesuchte Stuck ist also der Flächenwinkel. Es sei (Fig. 47.) l?^L6v die obere Halste

207
des Octaedrons, k eine Ecke, —I?L — so ist ein Quadrat und jeder der darin enthaltenen Winkel, wie LLV —90°. Nun sei lMIO ein mit einem beliebigen Halbmesser aus der Ecke L beschriebenes sphärisches Dreieck; so wird der Flächen- winkel ^ welchen die beiden an kO liegenden Seitenflächen I^LL und VLV einschließen, durch den sphärischen Winkel O ^ lVI bestimmt. Es ist aber cos Odl lVI oder mit Beibehaltung der, den Buchstaben a, /?, >, r und § im vorigen §. beigelegten Bedeutungen,
cos > —
cosOIVI— cnsdlO cosdlIVI sin dl O . siii dl 1VI
(89.) oder in Zahlen
cos 90°— cos 60° . cv 8 6 e>o o— 4-4
cos > --— —
siia 60° . sör 6»o VH - I^r
r : ^ H — 0,3533553. Dazu gehört ein Bogen von iv9°28^i6§", welcher also die Größe des Flä- chenwinkels ^ ausdruckt.
II) Das zweite der gesuchten Stucke ist der körperliche Inhalt des Octaedrons. Halbirt man nun dieses Körpers Flachenwinkel, auf die (117-) gezeigte Art; so erhalt man acht gleiche, ähnliche und gleichseitige Pyramiden. Bezeichnet nun 8 die Höhe, d die Grundfläche einer solchen Pyramide; so erhalt man aus 2, bei I, (nZ.) 8 — Ha. WNAH/Z. Wegen des halbirten
Flächenwinkels > aber ist hier 8 — Ha ranZ H/2.
Allein d ist hier jede Seitenfläche, deren Inhalt Ha'i/Z beträgt» Folglich ist der körperliche Inhalt des Octae- dron L — 8 . H . L . H tan§ H/Z. WNA H^V 3 — t 3 nZH/S.tanAH>VZ. Es kömmt also noch hier auf die Bestimmung der beiden Werthe und an.
Der W. aber ist --- 60° , folglich H/Z — 30° und

siri ^>o
Aus cos ^
wrrg 50
cos V4
findet man 8Ü1 T'X
1 — cos>>
— l/ > cos> ^
V^, cosj>
Vz. Folglich l-uiiL I:
V2. Setzt man nun die für iMA 1-/; und wn§ ^ ge fundenen Werthe in die obige Gleichung; so erhalt man k — . V2 . 1/5 — V2, welches der verlangte Inhalt ist.
III) Das dritte Stuck ist die Oberflache. Eine Seitenfläche ist schon in II) durch b berechnet, wo d
gefunden wurde. Daher ist V — Zd ^ 2^1/Z.
IV) Endlich verlangt man auch den Halbmesser der um das Octaedron zu beschreibenden Kugel. Dieser Halbmesser hat hier diejenige Größe, die bei der gleichseitigen Pyramide (ng.) durch I. bezeichnet wurde. ES ist
. ^ Z 1 -f- sin . wr>°; ^
aber I. — --—l-L-Nach den
cos j-L
hier Statt findenden Verhältnissen aber ist, wenn man 2 ^ V ( r ch- siri ^,2 ' . " )
I. — r schreibt, r
cos
Setzt man nun hier -I/r — I, cos -i/Z — w-iA —
1/2; so wird r
KaV2. Es ist also bei einem Octaedron
I) 109° 23^16f", d. i. der Flächenwinkel.
II) L—d. i, der kvrp. Inhalt
III)

209
III) V — 2L^V5 tz j. hje Oberfläche und
IV) r — Z-ag/2 d. i. der Halbmesser der Kugel. Es sei z. B. eines Octaedrons Seitenlinie a —
121^; so ist i) der körperliche Inhalt desselben R. 22a^)/2. Man findet aber Z IoZ a — 6,2485562 1oZ V2 0,1505150
6,5988712 I0A 12 — 1,0791812
1o§ L 5,5196900 — loZ 208780,465. Folglich ist Ki 208780,465 Kubikf.
2) Des Octaedrons Oberfläche ist k' — 2a'g/Z. Aus den Tafeln aber ist 2lc>Ki> — 4,1655708
loA 2 — 0,5010500 1o§VZ — 0,2585606
lo§ k' — 4,7051614 Io§ 50717,91. Es ist also b' — 50717,91 Q. F.
Endlich ist 5) der Halbmesser der um das Octaedron
zu beschreibenden Kugel r — 1 ^^. Man findet aber
loZ 121 2,0327354
lOA st/2 — 0,1505150
2 , 25 ZZ 004 lOA 2 — 0,5010500
loA 1- ^ 1,9522704^— 10Z 85,56. Es ist demnach r — 85,56 F.
Zusatz 1. Aus 1 —4ag/2 (nach Hl) folgt r^ 1 - 1 'l folglich a' ^ : > und a ^ r: VI» Nimmt

man aber den Durchmesser ä — 2r; so ist 8 — 24^2,
H ^
cl- 22- und 2 — 8 V 4 oder — -^-4 oder 2^ :
ä-
^i:2, d. h. das Quadrat der Seitenlinie des Oc- taedrons, verhalt sich zum Quadrat des Durchmessers der um dasselbe zu beschreibenden Kugel, wie 2 zu 1. Man vergl. (B. XIII. Eukl. C. 14 .1
Zusatz 2. Sucht man nun den Halbmesser § des Kreises, der sich um jede Seitenfläche, der durch die Theilung entstandenen Pyramiden beschreiben laßt; so
erhalt man hier, wie in (n9.Zus. Z.) § —-—.. Schreibt
1^3
man nun für 2 den Werth aus ;Zus. i.), so ist? —
r
r : V'C — §rV 6 und 2 ; r-r
— V6 — cl V?'
5
Zusatz 5 . In dem aus 6 verzeichneten sphär. Dreiecke l^!OM, erhalt man den Winkel welchen die Seitenfläche!? L!I) mit ^LLO an L L einsfl)ließt d. i. den sphar.
cos I>l4I — cos l>10 . cos OlXl
W. X04I, indem cosKOIVI:
siii l^O . sliiOI^I
(89.) Druckt man nun die Seiten durch Grade,
Minuten rc. aus; so erhält man cos N O ivi —
cos 60° — cos 60° . cos.90° _ cos 60° _ VZ
sia 60° . siu 90^ sin 60" ^ 2
— Vß- (nach II) — cos Nimmt man nun auf
der entgegengesetzten Seite des Quadrats, in einer Entfernung, welche so groß als I?t^ ist, einen Punct an und zieht von hier aus nach den vier Winkelpuncten -V, H, 6 und O gerade Linien; so entsteht eine Pyra-

211
mide, wekche der bisher betrachteten I>^L6v gleich und ähnlich ist; beide zusammen aber haben die gemeinschaftliche Grundfläche-4L 6 O und bilden ein reguläres Octaedron.
Zusatz 4 . Fallet man aus der Spitze k auf die Grundfläche der Pyramide -4l>6L) einen Perpendikel I?s); so trifft dieser den Mittelpunct s) der Grundfläche .416 v. Denn verbindet man mit v, 6 und 0 durcd gerade Linien; so ist — 1/(1'^° —6t)-), Lt)--- 6()^ 1 /( 66 - — rc. Es
ist aber 16V — 6 6 — 6 6 rc. — 6 und 6<) bleibt in allen Gleichungen unverändert, folglich ist cV<) — 6 0 ^ 6s) rc. und t) der Mittelpunct der Grundfläche oder eigentlich der Mittelpunct des um lV66O zu beschreibenden Kreises. Fället man aus der Spitze der Pyramide auf der entgegengesetzten Seite der Grundfläche, auch einen Perpendikel auf dieselbe herab; so trifft er aus gleichen Gründen den Punct (). Hieraus folgt, daß die beiden Pyramiden-Spitzen, auf den entgegengesetzten Seiten der Grundfläche -V6 6V zugleich Pole des gedachten Kreises sind, dessen Mittelpunct mit dem Mittelpunct der um das Octaedron zu beschreibenden Kugel zusammenfällt, und 6 0 ist so wohl ein Halbmesser des Kreises um ^V6 6Q als auch der Kugel um das Octaedron.
H. 122.
Aufgabe. Auf einer Kugel, deren Halbmesser gegeben ist, die Puncte zu einem Octaedron zu entwerfen. Man durchschneide die Kugel mit einer durch den Mittelpunct gelegten Ebene; so gibt die Durchschnitts-

figur einen größten Kreis. (4. I.) Durch seinen Mittelpunct ziehe man eine gerade Linie, welche auf der Ebene dieses Kreises senkrecht steht; so trifft er gehörig verlängert, des Kreises Pole. Zeichnet man sich nun in diesen Kreis ein Quadrat ein und ziehet von dessen Winkclpuncten nach beiden Polen gerade Linien; so stellt diese Figur ein reguläres Octacdron vor.
§. 12Z.
Aufgabe. Aus der Seitenlinie eines Icosaedrons, seine Flachenwinkel, seinen körperlichen Inhalt, seine Oberfläche nebst dem Halbmesser der um das Icosaedron zu beschreibenden Kugel zu berechnen.
I) Das erste verlangte Stuck ist der Flächenwin- kel. Es sei (Fig. 48 «) eine Ecke des Icosaedrons mit den gleichen Seitenlinien 1^, I^L, so ist ein reguläres Fünfeck, folglich jeder
der darin enthaltenen Polygonwinkel wie^-VL, L Ov:c. — und ist eine gleichseitige Pyramide,
deren Grundfläche und Spitze ist. Aus
6 beschreibe man das sphärische Dreieck NOlVI, worin RO — ldlül ist, weil jeder Winkel LL1? und l?LO eine Größe von 60° hat. Der W. LLO hingegen, oder der Bogen OlVl hat als dessen Maß iog°. Es ist aber der Cosinus des Winkels an l?6, welchen die beiden Seitenflächen kLL und mit einander einschließen d. j. cos OldlM-n
cos OIVI — cos O ldl. cas sin O ldi . slii M ldl
cos OM — cos 60° . cos 6o"
Es ist aber cos 0 AI
sln 60° . siu 60°

215
" cos 108° — — cos 72° — — (4V5 — 1) —
4
in die vorige Gleichung, so erhalt man den Cosinus
1 — V 5 ^ 1
4 ^ — V 5
von I?0 oder cos Ol^Ai "-— —.
0,745356» und — — — — 0,7455560. Dieser Cosinus gehört zu einem Bogen von 153° 11^25". Vermittelst der Logarithmen führet man die Rechnung auf folgende Art. Man hat nehmlich
IoA ,/5 — »,349485»
r »,349485»
1»8 3 — «,4771212
I«A cos OMVI ^ 9,8725653 IoZ cos 153° 11^25". Also ist jeder der gesuchten Flachenwinkel ^ 158° 1^25".
II) Das zweite Stück, welches gesucht wird, ist
der körperliche Inhalt des Jcosaedrons. Es ist aber
nach (118. II.) k- — 20 tsiiA ^
^. 5 . ^ rang T/S" Hier ist wieder B — 30°,
4/3 ^ , siri/S
8111 /3 — L; cos /; — —2, folglich tsnZ ^ ^ "
2 cos/S
Vr- Hingegen ist aus I. cosfolglich cosL>
. Schreibt man nun die numerischen Werthe
L
Man findet aber V 5 — 2,2560630, desgl.
Io§ r — 10
»H» cos ^
i-f-cos-' oder
oder 2cos L>°

214
nach dem Numeri scheu Werthe
2—weil cos >—
folglich — cos'/^-ss-
Also ist cos —
j/ Aus gleichen Gründen ist sln — 1/ (i — cos >)
Gleichung, so ist L . Z - 1/ ( > ---
^5 — l/5>
K a- 1/^^ 1/ ^5^-V5X 5^V5)>
^3 ^-(3—l^5)(3^l^5)>
III) Sucht man die Oberfläche b'. Hier kann jede Seitenfläche als die Grundfläche angesehen werden. Daher ist k ^ 20 V, allein d^äa°l/I, (rrZ.) folglich
IV) Das vierte verlangte Stück endlich, ist der Halbmesser, der um das Icosaedron zu beschreibenden Kugel r. Es hak aber r hier eine Lage, welche mit derjenigen übereinkommt, welche die Seitenlinie Q bei der gleichseitigen Pyramide hat. (ng. I ) Daher ist r
8ür/Z, cos/Z, tllHA die dafür in (II) gefundenen
p' j--- 1,/H H ^ ^ D°h,r ist
3 -H 4^5'
Setzt man nun die ge-
rsn§ x >
//^(3 ^ 5 )^^
^ ^(9 -
1/^' 1 -s- sin /Z^ tk>NA ' cnd /S
. Nimmt man nun für

Werthe; so wird
-I-
81 N 5 / 3 * . tgNL — ---UNd
4(2 — l^5)
I -4- sin L/S° . lang — 1 -s- — ^
^ 4(5- l/5)
4(5—1/5)^5^l/5 _, 12 — 41/5"^ 5 1/5 „
4/5^1^/ H5 — 1/5 )
15 — 3^5 4 (5 — 1/5)'
Folglich
vc. -I., i--. t-.-) ^ 1/ (-' °
4 (
Also
v(i-s-sln
V 5 )
^ ^ 4 <Z-VS)>
cos L/Z
2
^2
(5 —1/5) > (5 — 1/5)>
Es ist demnach bei einem Icosaedron
I) > iZZ°n^2Z" d. i. die Größe der Flächen-
Winkel.
II) s/ ^ ^ d. ^ k>er körperliche
Inhalt.
III) x — Zii°VZ d. i. die Oberfläche und
IV) r — La 1/^^H-1^5)> d. r. der Halbmes-
V 5 — 1 / 5 )>
ser der um das Jcos. zu beschreibenden Kugel» Es sei z. B. des Jcosaedrons Seitenlinie 2 —36^; wie groß ist sein Inhalt, seine Oberfläche und der Halbmesser, der um diesen Körper zu beschreibenden Kugel? — Es ist 1) k — ^2- (Z -j- 1/5). Man

2l6
erhält aber 3 -s- 4/5 — 5,256063. Nun ist ^s( 5 ^'^ 5 ) — 0,7190052 Z 1o§ 36 — 5,8054952 IvA 5 — 0,6939700
ist also L — 1537630 Kubf.
2) Hat man k —5^4/5 gefunden. Es ist aber 2 IoA 36 — 3,3689968 Io§5 0,6989700 1o§ 1/5 — 0,2535606
lo§I? — 4,8065274 — 10^64051,25. Man erhalt also für die Oberfläche des Jcosaedrous 1'' — 64057,23 Q. F.
Endlich findet man 3) der Kugel Halbmesser r —La
feln aber ist
1o§ 2765,952 — 3,4415273
763,952 — 2,8830547
^ 0,5534726
2) -
0,2792565
I0Z45 — 1,6534685
IoZ r 1,9127043 — Io§ 8-, 79 . Es ist also der Kugel Halbmesser r — 81,79 Fuß.
7,2214704
lOA 12 ^ 1,0791812
loKX — 6,1422396 — loZ 1337630. Es
Es ist aber 5 — V 5 — 2,7659520
Nach den log. Ta-
0,76395
und 5 — 4/5 — 0,7659520, folglich
( 5 —V 5 )
(5 — >/ 5 )

217
Zusatz i. Nach dem geführten Beweise ist aus (IV)
r ^ .lü 1/ (5 — >^5) 2 ^,..
^ (3 - >/5)
r— ^ 5) c1-^2r ist,
(5 — 1^5) (3 l^3)
V5 — I/z).
>/((
V5)
oder
6 : 2 — 1/(5 —V5) :1^(3—-3^5) od. d. 2 teVcrhtt.X V "2
— ^2(5-^V5)^ - 1/s2 (3 —V5)^I — V( io — 21/5) : 1/(6 — 1/5)
— 1/(io — 2V5) - V(5 — V5 -f- 1)
—1/( 10 — 21/5): 1/5 — 1 od. d. 2te Verhaltn.: 4 -- LIX10 — 2 V5) -. — r.
Erwäget mau nun, daß ^1/(ic>—21/5) — «in60°; ql/5 — ^ — siri Ig° (Man vergl. Lamberts Zus. zu den log. und trig. Tafeln S. iZ7- XU Desgl. des Hr. Pros. Klügels Math. Wörterbuch unter dem Art. Goniom. S. 601 und 602. — Meine Entwickelung der ersten Grunds, der Analysis a. d. a. O.) sei, ferner, daß die Sinus sich wie die zugehörigen Sehnen verhalten und endlich, daß die Sehnen, Seiten regulärer Polygone sind; fo bezeichnet die letzte Proportion folgenden Satz: Es verhält sich der Durchmesser der Kugel, zur Seite des Jcosaedrons, wie die Seite eines regulären Fünfeckes, zur Seite eines regulären Zehneckes, vorausgesetzt, daß beide Polygone in Kreisen von gleichem Halbmesser liegen.
Zusatz 2. Bekanntlich ist nach den Grundsätzen der ebenen Trigonometrie süiZ6° — 2 sin 13°. cos 13°;

218
folglich 2 cos 18° ^ ^ 2 sin 72°. Null veröln iZ°
hält sich 2r : a ^ sin 56° : «in 18° (Ztls. 1.)
«in 56° sln
— 2 sin 72° : 1
Also ist r — 0 sin 72° g/( 10 -ss- 2 g/Z)-
Hieraus läßt sich der Halbmesser leicht berechnen. Es ist daher 1 — u sln 72° — 36 X 0,9510565 — 8'/79«859 Q. F. oder ^ag/sio -s- 21/5). Man findet aber
4/(10 -j- 2g/Z) — 3,3042260, folglich i- — 0 6-5,8"42-6o
4
8-,79o859.
Da nun die circulärcn Functioncn, bis auf einige wenige, wohin der hier gefundene Ausdruck nicht gehört, irrational sind; so ist auch das Verhältniß des Durchmessers der Kugel zur Seite des Jcosaedryns irrational. Man vergl. (Eukl. XIII. B. -8. S.)
Zusatz 3. Der körperliche Inhalt des Jcosaedrons läßt sich nun auch aus dem Halbmesser r, der um dasselbe zu beschreibenden Kugel berechnen. Denn aus (Aus. 1.) erhält man a.-sr-1/(3 —V5):iX5-5); folglich
^ 2rV(5—I/ 5)^ rV4(3—V 5)^,rV (i2-4V5)
V(5 —1/5) V(5 —V5) 4/(5—l/5)
^ rl/(i2—4V5).(5-j-V5) ^ . X 4o—8V5 X
4/(5 —4/5)-4/(5-ss4/5l 20 V
_ r 4/(io—2 g/5)
4/5
Folglich ist

z_r' (10—21/5)1/(10 — 21/5)
5 ^5
Ulld
_r' (10 — 21/5) . 1/(io— 21/5)
12 1/5
Folglich
121/5
— r'^0-j-4I/5I V(io —2V5)
12>/5
(Zo-I-41/5—10) 1/(io — 2l/5)
12I/5
_(2N-j-41/5 > 1/( 10 — 2 1/5)
12 1/5
_ r' (10 -fl- 2I/5) 1 /(io — 21/5)
6 V 5
^ r? 4/(io^,2V5) . (io-^-2V5) . (10—2I/ 5) 6 V 5
^ r^1/(ia-j-2l/5).V8n rN/(io-s-2 1/5).I/5.16 6 V 5 61/5
— 1/(io -j-21/5) —l/(io-j-2l/5)
— xi^ 1/(10-j-21/I) — 4 i^ 811172^, weil sin 72°
— 41/(10-^21/5) ist.
Hieraus laßt sich nun der körp. Inhalt K aus dem Halbmesser r sehr leicht berechnen. Es ist nehmlich V(io -s- 21/5) — 5,30422606513 folglich L — (81,97)' - 3/804 .... oder weil «in 72° 0,9510565; so
ist k-§ . (81,97)' .0,9510565.
Zusatz 4. Auch des Icosacdrons Oberfläche laßt sich aus dem gedachten Halbmesser berechnen. Man findet IH5.1-1/5 (HI). Allein es ist
_r1/( 10 —21/5)
V 5
folglich

220
2- — r'(-0 — 27/5) 5
Also
i'(io — 27/577/5 oder
b' — i^7/(10—21/5) . 7/(1 n—27/5) - 7/5. Nun ist (1» — 27/5) — V(ic> — 27/5) . 7 /( 10 —27/5) — 5,5273640449 und 7/5 — 1,7520503007569. Nimmt man nun i- — 8^,79, so kann man 1' so genau, als es nöthig ist, berechnen. Erinnert man sich nun, daß ^V(io — 24/5) — 18°, (Man s. meine Entwickelung der ersten Grunds, der Anal. a. a. O.) 7/5 — r§6o°, so ergibt sich hieraus der Werth von b' — 16 r-§0156°. 811156°. rang60°.- Ein Ausdruck, der sich sehr bequem durch Logarithmen berechnen läßt. Man hat aber 2 ka§ 8i/79o36 — 5,3254094 2 1o° sin 56° — 19,5584574 log taiiK 60° ^ 10,2535606 I0A16— 1,2041200
— 54,3065274 5 »
4,8065274 — lo§ 64051,25. Daher ist lb — 64051,25 Q. F. wie vorhin.
Zusatz 5. Betrachtet man die Seitenflächen des Icosaedrons, als Grundflächen gleichseitiger Pyramiden, deren Spitzen sich in den gemeinschaftlichen Mittelpunct vereinigen; so ist die Höhe dieser Pyramiden, zugleich der Abstand der Seitenflächen von dem Mittelpuncte. Jenen, folglich auch diesen findet man aber aus (118.), wo I? O — ^ 2 raiiA t2NA > ist. Hier aber ist der Flächen- winkel halbirt, also ist hier der gesuchte Abstand, — ^ C2NZ ä/Z ranz z >. .Es ist aber aus (II) WNZ ^ —

und tan§ z./ — P/ /' (ä ^ 5 ^K folglich der
^(5 ^ 5 )^
4/3
stand
Ab-
1 -. > ( 3 4^5 )
v:
(5 — V5)
l/
( 3 ^!^ 4/5 4 - (3^4/5)_ I
i
V 5 ' 3 3/5
( 5 — l/ 5 ) - ( 3 H^ 4 / 5 ) -> (3 ^5)
l /3
4^5 4/3 —- 1,7320...
Es ist aber 3-s- V 5 — 5,236067 und Folglich der Abstand —
86.5,256c»
4- 1,7320
-2- 64,99. Man kann aber auch hier für a d"n Werth
aus (Aus. 3.) d. i. — -nehmen; fo ist der
V ,5 — 4 / 5 )
Abstand ^ ^?..äl.X 6 ). 4 /( 3 -V 5 ) ^
2 ^5- 4/(5 — l/5)
r(3 4/5 ) - 4/(5 — 4^5) - 4/( 3 4/5)
24^3 - l/(5 — 4^5)-4/(3ch-4^5)
r( 3 °^ 4 ^ 5 ) _. r(z-j-V 5 4 _.
4 / 5 . ^( 5 - 4 / 5 ). ^( 3 ^ 4 / 5 ) r (3 ^ 4^5)
V3 - 4 /(io^- 2 l/ 5 ) Es ist aber 5 -j- 4/5
4/2.1/5 - 4/(5 -f- 4/5)
5,2360679 . . . und 4 / 2 .V 3 - 4 /( 5 -s-V 5 )-
8 i, 79 - 5 , 236 o...
6 , 5891 ...
6,539112328... folglich der Abstand —
— 64,9.
Zusatz 6. Setzt man den Halbmesser des, um das reguläre Polygon ^.LLOL, zu beschreibenden Kreises
cy e; so ist ?
! a
--a
cos 2' I> 6 O 2 a
cos 5^
sin 20 °
^ 4 /(iv-^-2V5) 4^(10—24^5)
Nimmt man

also a ^ an; so hat man, weil l/(io— 2V5
2,551141... ist, § ——— — 7.5,28^. Schreibt
2 ,55 r
man nun in e den für :> gefundenen Werth
r V(io — 2^5) ^ '
so erhalt man ;
2,-^(io — 2l/Z) 2 r 2^-
l5(^(>o—>265) 4^5
— ^ 5 /^ 5 «
Anmerkung. Die beiden ersten oben angelührten Zusage, haben Karsten und Schulze in ihrer Taigonirmelrie mit dein Beweise des Hauptsatzes verwebt. Anfänger aber werden den Zusammenhang der dafür angeführten Gründe nicht wohl übersehen können, weil bei den gedachten Vcr- fassern theils in den Cilaiis, theils aber auch in der Bezeichnung selbst Druckfehler vorkommen, deren Berichtigungen nicht angegeben sind.
§. 124.
Aufgabe. Aus eines Jcosaedrons gegebener Seitenlinie, die Höhe der Pyramide I'.4L 614 L und die Neigungswinkel der Seitenfläche I4I>6 gegen das reguläre Fünfeck, als ihre Grundfläche zu finden.
Es sei die Pyramide, deren Seitenlinie 6O — 6I> rc. — a ist; so suche man 1) den Neigungswinkel der Seitenfläche an 6v gegen die Grundfläche ^t.L6OL, vermittelst des von 6 beschriebenen sphär. Dreieckes, dessen Winkel H6VI0 mit dem gedachten Neigungswinkel von gleicher Größe ist.
H) Suche man den Neigungswinkel der Seitenlinie k6 gegen die Grundfläche, vermittelst des rechtwin-

kligen sphär. Dreieckes V/IVl, dessen Seite I^W als Kreisbogen, die Größe des gedachten Neigungswinkels mißt. Aus dirsem kann man mit Hülfe der gegebenen Seitenlinie leicht die verlangte Höhe bestimmen. Es ist nehmlich
l) cosNNO —
(89-)
so ist cos O
cos 14 O— cos 14 IVI. cos O I>'I siii 14 ! I^I cos o IVI cos 6c>o — cos 60° . cos iogd siii 0o° . siii iog° cos 60° -st cos 60° . cos 72" siii 60" . siii 72°
Erwäget Man nun, daß cos 60 — st; cos 72° — ^5 — 4 ! sill6o°^ stl/5 und sln72°— ^(io-j-21/5);
- r. st 1/5 - z ^
st st l^( ^ o -st 2I/5 )
-^ Hieraus kann man nun leicht den
sin 14 IVI o finden. Es ist nehmlich siii 14 M o ^
^ __(o ^ _. / (ZO-f- 61 /Z—14 bil/5)
(1^31-00^-21/5)7) 5 (^o-st 2 l/ 5 )
— 4
1^(3 ( 10 -st 2I/5)
II) In dem rechtwinkligen sphär. Dreiecke verhalt sich siii WO : siii IX' VI w — siii 1 (67.) oder
siiikLO:
" 1/51/(10-^21/5)'
:slii6o^: 1 u.weilsln6o"—^1/5
siii 1^ 0 O
4 - 4^3
1/Z(1/l O-j-Q l/Z) 1/(10 -st- 2 I/ 5 )
Also ist III) I> ^ k 6 . sin? LtZ
1/(io ^-21/5)

— ———, weil 2^5)— sln 72 ° ist. Nimmt
4 sin 72
man nun a — g6^ an, so ist, weil 1^(10 -j- 2V5) — 5,304226 ist, die Höhe I>s)— 45,21. Man kann aber dieselbe auch aus dem Halbmesser 1 berechnen und
für u schreiben. Alsdann erhalt man
2r1/( 10
2^/5)
die Höhe I'l) —
1/5 l/(^0 -ss 21/5)
2rk/(io- Ll/5) . (10-2V5) _ 21 (lo
21/Z)
^5 1 o -ss 21/ 5 ) » (10
2r (10 — 21/5)
2 ^ 5 )
^ 5 -Zo
Ql^iao
— 2I/5) — fr sin 56°.
811156°, weil ^V(io — 2I/5) — 811156°, folglich ^.(10 — 2I/5) («6156°)' und (ic>—2I/5)
— (§11156°)'. Setzt man hier r — 81,79, so ist I>0 — 45,21 wie vorhin.
Zusatz 1. Zieht man nun k ?0 von i- ab; so erhalt man den Abstand der Grundfläche ^LOVL der Pyramide vom Mittelpuncte der Kugel. Es ist nehmlich
— r —r — i'öi- (10—2V5) —r — r-j- /o^5
— ^ 5 -
Zusatz 2. Legt man nun die gleichseitigen Dreiecke LOL, OIO, ^.OL, DHL als Seitenflächen unter dem (in I.) gefundenen Winkel von i58°i025", durch die Seiten des regulären Polygons ^LOOL; s» sind die Winkelspitzen dieser Dreiecke k) 6, O, I, 14 von I' gleichweit entfernt. Ziehet man nun dieselben durch gerade Linien b'O, OH, Ol, IL, L 1 ? zusammen; so erhält mau ein reguläres Polygon, welches dem vorigen ^LOVL gleich und ähnlich ist und beider Ebenen laufeit

225
fen mit einander parallel. Schließt sich nun an das Polygon k'OtHK eine gleichseitige Pyramide, welche der vorigen O v gleich und ähnlich ist, an, so ergibt sich aus dieser Zusammensetzung das ganze Icosaedron.
§. 12Z.
Aufgabe. Eine Kugel von bekanntem Halbmesser ist gegeben, man soll darauf die Winkelpuncte für das Icosaedron entwerfen.
Mau wähle sich auf der Kugel zwei Puncte k und N zu Polen; so ist vli die Axe und ihre Mitte, der Mittelpunct der Kugel, In einer Entfernung von diesem Puncte, welche so groß als ^rtP ist, beschreibe man zu beiden Seiten des Mittelpunktes, auf der Kugel zwei parallellaufende Kreise, in deren einen die Puncte L, 6, v, L und in den andern die Puncte k) 6, 14 , l, R. nach (124. Zus. 2.) fallen werden. Endlich lege man durch die Axe klä zehn sich einander unter dem W. von 56° schneidende Ebenen; so bestimmen ihre Durchschnittspuncte mit den beiden Kreisen, zehn und die Pole, die übrigen Ecken des verlangten Icosaedrons. Man vergl. (Eukl. 16. S. im Xlll. B.).
§. 126.
Aus der gegebenen Seite eines Hexaedrons (Würfels), die Größe seiner Flachenwinkel, seinen körperlichen Inhalt und den Halbmesser der um den gedachten Körper zu beschreibenden Kugel zu finden«
I) Beschreibe man aus einer körperlichen Ecke 6, (Fig. 49 .) mit einem willkührlichen Halbmesser die
P

Kreisbogen NO, 0^1 in OLL, OEV und vt)R als Seitenflächen; so ist das sphärische 4 X KIN O gleichseitig und jede Seite, folglich auch jeder Winkel 90°. (53. Aus.V Diese Größe ergibt sich auch (aus 89.) und es ist, wenn man den Buchstaben, die ihnen in den vorigen gegebene Bedeutung laßt cos KIVIO — cos>
cosdio— cos lVI N . cos l>10 ^
--oder cos ^
siii lVI . sin lVI O
cos 90° — cos 90° . cos 90" sin 90° slii 90°
0. Ein Winkel
dessen Maß nicht über 180° geht und dessen Cosinus o ist, betragt 90°. Also ist — 90°.
II) Es ist L ^ 6 . ^ rang 4^^ . wnA 4 ^-
Nun ist ^"90°, 4 '/ — 45 °, folglich sii> ^ — sli,45° — 1/2; so groß ist auch cos 4^, folglich MNZ4> ran§45° —1. Auch ist ^^-90°, 4 ^-^ 45 °, folglich siri 2/Z — cos 4iS 1^4 und ta7>§ 4^ — Muß 45° 1,
folglich auch cgiiZ^' —i> Schreibt man nun diese für sMA 4 / 3 ', und t 2 n§ 4 ^ gefundenen Werthe und für 7» — 4, in k; so ist L —a^, eine Größe, welche mit dem Resultat für den, aus den Grundsätzen der Geometrie, hergeleiteten Inhalt des Würfels, völlig übereinstimmt.
III) Halbirt man nun die gefundenen Flächenwin- kel, vermittelst der, durch die Seiten des Würfels gelegten Ebenen; so zerfällt der Körper in sechs gleiche ähnliche und gleichseitige Pyramiden, deren Grundflächen, die Seitenflächen des Würfels sind, deren Spitzen, in den Mittelpunct der um denselben zu beschreibenden Kugel fallen, und deren Seitenlinien von der Spitze nach den Winkelpuncten der Grundflächen gezogen, die

Lange des verlangten, zur gedachten Kugel gehörigen Halbmessers r haben. Es ist also r hier einer gleichseitigen Pyramide Seitenlinie, welche nach (ng.)
-—^--ist. Schreibt man nun
co« ^2
in diesen Ausdruck die Werthe aus II); so erhalt man
_ ._ 2-2 , -j- 4)
— z->VZ.
Es ist also bei einem Hcxaedron
I) > — 90 ° d. r. der Flachenwinkel.
II) Iv — d. i. der körperl. Inhalt.
III) r — 4->V5 d. i. der Halbmesser der um den Würfel zu beschreibenden Kugel.
Zusatz 1 . Aus r — folgt, daß, nr:» —
1 / 1:1 oder 4 ^" :
1 oder cl^: ^2 Z : i d. h.,
daß sich das Quadrat des Durchmessers der Kugel, zum Quadrat der Seitenlinie des Würfels, wie Z zu » verhalt, oder, daß das Quadrat des Durchmessers der Kugel drei Mahl größer sei als das Quadrat der Seitenlinie des in jene gezeichneten Würfels. Man vergl. (Eukl. ig. S. im XIII. B.)
Zusatz 2 . Schneiden sich nun zwei durch -4.L6L und VIIk'L gelegte Ebenen einander so, daß ihre Durchschnittslinie IL auf den Seitenstachen ^LLIV, Lk'SII senkrecht steht; so bezeichnet, wofern II. — KI> ist, R. den Mittelpunct der um den Würfel zu beschreibenden Kugel, ferner ist 1.^ --- QL — I.L — I.V I.L I.II — r und K-I. die Höhe der sechs in III) beschriebenen Pyramiden. Man findet aber QL — 4» 4> (>r8-) und setzt man
für tiinZ 4/2 und tsnA4-. die Werthe aus II) in die
P -

Gleichung für kb.; so ist Lll, — 4 a, wie sich dieses auch aus Betrachtung der Figur ergibt. Da nun
—, folglich 4-e — — — so ist n
VZ VZ Z
-I- 4 rV 5 — rVZ- — rV 4 .
Zusatz 3. Beschreibt man nun durch die Winkel-
spitzen L, 6, O der Seitenfläche L (l O des
Hepaedrons, einen Kreis; so ist dessen Halbmesser
- ' ^ (ng.I) — 7^- ^ ---aVs oder weil —
cos ch ^ ch 3
so ist ^ — — — r V;.
Z
§. 127.
Aufgab e. Eine Kugel von bekanntem Halbmesser ist gegeben; man soll darauf die Witt- kelpuncte für das Hepaedron entwerfen.
Man nehme in der gegebenen Kugel einen beliebigen Durchmesser zur Axe an und beschreibe aus deren Pole zu beiden Seiten ihres Mittelpunktes d., zwei Kreise, deren jeder von b. um 4 rV 3 entfernt ist; so wird deren einer durch die Puncte tV, L, 6 , v und der andere durch die Puncte L. O, H gehen. Laßt man nun durch die Pole dieser Kreise, zwei andere größte, die vorigen unter rechten Winkeln durchschneidende Kreise gehen; so werden ihre Ebenen mit 6 und Lllllv zusammenfallen, und die Durchschnittspuncte dieser Kreise mit jenen, werden die acht Winkelpuncte H,, L, 6 , v, L, ich 6 , N für das Hexaedron geben. Man vergl. (Enkl. S. 15. im XIH. B.)

§. 12g.
Aus der gegebenen Seitenlinie des Dodecaedrons, seine Flachcuwinkel, seinen Inhalt, seine Oberfläche und den Halbmesser, der um dasselbe zu beschreibenden Kugel zu berechnen.
Aas der körperlichen Ecke 6 (Fig. 50.) beschreibe man mit einem beliebigen Halbmesser, das spharische /ä IVINO, in welchen, wenn, die in den vorigen §§. angenommenen Buchstaben, in ihrem Werthe beibehalten
. . cosOIVk— cos O. cos dl IVI
werden, cos > oder cos OMI—--
sin O . siii
ist. Die drei Seiten NN, l^'O, O IVI des sphar. Q dilNO aber sind die Maße der gleichen Winkel VLV, L6V und L6V, weil jeder als ein Polygonwinkel des regulären Fünfeckes — ,og°, betragt. Daher ist cos ^ aas ing°—cos 108° -cos 108° —coZ72°— (co«72°)"
siri ,08° .si„ ,c>8° (sii, 72°)^
Es ist aber 00372°— ^1/5— folglich — cos 72°
— ^ — ^V5 —--— und siii 72° — ^l/(i o-ss2k/Z).
4
Schreibt man nun diese Werthe in die Gleichung für
cos >; so erhalt man cos —
(^10^-21/5)-
s(2—2V5)—: 8 2 —2VZ—Z—k/5
(5ss^^5)>'8 Zss-k^5
- ^^5 __ ^ ('fl-k/ 5 ) > (5—^5) — 4^5
5 -ss (5 "ss » (5 — 5) 5
2,2560679775
— — 0,4472,559 und also ^
5

Igo" — 6Z"26^6" —ii6°ZZ/Z4". (Man vergl. Cukl.
7. S. des XV. V.)
II) Der geometrische Inhalt des Dodecaedrons, besieht aus den zwölf gleichen ähnlichen und gleichseitigen Pyramiden, in welche dasselbe durch die in (nZ.) beschriebene Theilung sämmtlicher Flachcnwinkel zerfallt wird. Jede dieser Pyramiden isi demnach — Folglich isilv — tanx 2/^
t!MA ^ WNA ° WNA 2^- Es isi aber cos >
V(5-i-V5) (5-!-V5) ^ i . , .
1^(5—'V 5 (5^l^5) 2l/Z
Ferner isi /? — >»8", und cos ^ — cos iog° ^ —
— —; folglich 5
2 sin — I ^ ^ , und
2 sin — i -P-
5 5
— ! — — — -——; folglich
5 5
tanL
cosz>- 5 — ^5
(5 ^ 1 ^ 5 )
Also
cos 72° --?; folglich sin L/S ^ 1/
I - C 08 /Z-
^5 ^ 1 ^ 3 ).
und cos 2^
I -s- cos 1 atz
2

' H/ ^^ 5 ). füglich wn§ ^
UNd tsnA 4 /?'
5 —V5 so -j - 8 1/5 „ 5-i -2 Vz 5
(5—V5> 5-s-V5^(5 Vo) (5-j- 1/Z)
20
Setzt man nun die für
20
t!MA und gcfnndenen Werthe in L; so ist
L - ' ^ 5 -H 1/5 55-i- ^5^5
2 l /5
ioV 5
7 -s- 3 1^5 ^ .
21/Z
(- 5 ^?V 5 ).
III) Die Oberfläche I' ist so groß, als eines der regulären Fünfecke (Seitenflächen) zwölf Mahl genommen. Bezeichnet nun k den Flächeninhalt einer der gedachten Seitenflächen; so ist 1 ^ corZ6° —
^2 001.56°, folglich O — 12 I — cor 56° ^
Erwäget man nun, daß cos 56° —
i5 -i'
008 56° siit 56°
^V(6 -f- 2V5) UNd daß sinZ 6 ° — zv(ro— 2VZ)
,st; so erhalt man O -- -
ig-ch V(6-^-2i/5) .(io-(- 2 V 5 )^ 152'V(8o->-521/5) V(io —21/5) (io-j-21/5) ^1/5
i 5 ^' 1 /^ 6 ( 5 -^ 2 V 5 )
41/5
Za^i /5 1/(5-^ 21 / 5 )«
IV) Das vierte Stück ist der Halbmesser, der um das Dodecaedron zu beschreibenden Kugel. Er ist hier eine der Seitenlinien, der durch die Halbirung der Flächenwinkel entstandenen zwölf Pyramiden. Er hat also den Werth von 1 . in (nL.). Daher ist o —

Es ist aber (nach II)
4 a 4 /(i -s- «in F/Z' rariL 4 '/^)
cos 4/2
sin ^ cos 4/2
WNA 4 ^' ^ l/ 5 > — 0 , 7^ , ^ 5 . Schreibt man
v 24/5 > 2
nun diese Werthe in r; so erhalt man nach gehöriger
Reduction r Man hat also bei
1 / (5 ^- )/ 5 )
einem Dodecaedron
I) > — i,6°Z5^45" d. i. der Flachenwlnkel.
II) 14—^2 ( 15 -H 74 / 5 ) d. i. der körp. Inhalt.
III) k-n Za'I/5-^VZ-^-2)/5)d.i.dicObcrflacheund
IV) r 25-f-Z >/5) j) derKugelHalbmesser.
l/(5 —>5-
Es sei z. V. eines Dodecaedrons Seitenlinie s »oo; wie groß ist lein körperlicher Inhalt, seine Oberfläche und der Halbmesser der um den gedachten Körper zu beschreibenden Kugel? Es ist i5-j-7l/5—30,652476, und loZ ^2 — 6,
( 25 -^ 7 ^ö) — ',4364656 7/1864656 loA 4 — 0,6020600
log 14 — 6,8844056 ^ 1oZ 7665119; folglich ist 14 r-r 7665119 Kubf.
Ferner findet man, weil 4/51/(5-1-2 4/5)—6,3319096
log Z ^ 0,4771212
1 °L V 5 4 /( 5 -j- 24 / 5 ) — o, 8 Z 77 " 9 o IvA — 4,
108 k)— 5,Z2483a2 — log 20657 , 28 ; folglich ist k' — 206457,23 Q. F.

Endlich ist, weil man V(-5-f-3^5)—4,6592065650 und V(5—V5) --- 1,66250780 findet log^a — 1,6939700 lo§V (15^5^5) — 0,6635119
2,5672319
log (5 —V5) ^ 0,2207657
log r 2,1464182 — log 140,1, folglich ist r 140,1 F.
Zusatz I. Der Werth des Halbmessers r ---
^Ll/siz -s- 5 !/5)^ . noch einfacher ausdrucken,
V(5 — V5)
Ind-M i-Vc>S^- 3 V 5 l
V(5" l/5) ^^(5^ 1/5) l^3 V5
erhalt man a
^'I/5V(5-!->'5)^
2^5
zaVZ (V5 i) ist. Hieraus
4r
_ 4^3 (V5— ')
^5(^5^ i) 41^ 9
— r (5 — 1). Vermittelst dieser Gleichung kann man nun auch des Dodecaedrons körperl. Inhalt aus der Kugel Halbmesser bestimmen. Es ist nehmlich k
— ^ (15-j- 7V5) und r Vz V(5 — 1) für L gesetzt, gibt k
-z^(6 — 2 V 5 ) (-5 -f- 7V5)
vz(V5-1) — 71^ (ia-s-2V5). Erwäget man
nun, daß vr — rang 50° und ^V(io -j-2V5) — 511172° oder V(io -s-2 >/5) — 4 «in 72°; so erhalt
taug 50°. Die Berechnung
4-r^ siii 7-:
man auch k
dieser Werthe für X. vermittelst der Log. kommt auf folgende Art zu stehen

234
L — (10 -j- 21/5)1/3
3o°(Lin72°)^
3 log. 1 — 6,4393143 1oZ(io-j-2l/5) — 1,1605327 I05 1/3 ^ 0,2385606
3lo§r— 6,4393143 0,7269988 1051:211550°— 9,7614394 2105811172° 22^ 19,9564126
36,3341651
3 o,
I05L — 6,8841651
7,8584076 I05 9 ^ 0,9542425
loZL—6,8841651 Also 7658876
Zusatz 2. Auch die Oberfläche des Dodecaedrons läßt sich aus dein Halbmesser der, um dasselbe zu beschreibenden Kugel berechnen. Es ist nehmlich, weil 2 — r 1/^ (1/5 — i), folglich L- ^ H-i-' (6 — 21/5). Setzt man nun diesen Werth für -S in d'; so ist ^ — 2r-VZV(io—2g/5); allein g/(io— 2I/5) isichslnZü", folglich ist k' ^ gr^ «in56°.g/Z. Berechnet man nun nach diesem Ausdruck den Flächeninhalt; so findet man I058 — 0,9030900 2105140,1^ 4,2930364 105811136°- 9,7692137 logg/z— 0,3494850
r 5 / 3 ' 485 oi I05 tr>8 1° — 10,
— 5,5143501 — 105206457,25, folglich x — 206457,25 Q. F.
Zusatz 5. Der Abstand der Seitenflächen des Dodecaedrons vom Mittelpunkte der Kugel, den wir hier ^ nennen wollen, ist nichts anders, als die Höhe einer der zwölf durch die in (117.) beschriebene Theilung der Flachenwinkel entstandenen Pyramiden, welche

nach (i,g. I) — ? a 4 /2 - lanZ ^ gefunden worden
ist. Des Dodecaedrons Flachenwinkcl ist hier hal- birt, folglich ist der gedachte Abstand ^ tsnK r>. Setzt man nun aus II) die für tangV/z und tsnZ gefundenen Werthe, so ergibt sich ^ —
r->.4(!/Z-j-i) V(5-f-2 l.5) raQ/5-j-i) sI/(5-j-2l/Z^
1/5 ^5
Schreibt man nun r I 'f V(Z — 1 ) für a; so erhalt man den .:>aI/(g-s-2l/Z) (I/Z-s-i - r)l/^
gesuchten Abstand^:
1/5
^ ^ einen Aus-
1^5
druck, der mit dem gleichnahmigcn Werthe für das Ico- saedron vollkommen übereinstimmt.
Zusatz 4 . Die Seitenlinien ^1, L2, 6 V, OK, L 8 der an ^LLVL ringsumher angrenzenden Seitenflächen, sind nicht nur unter gleichen Winkeln gegen die gedachte Seitenfläche ^LLVL geneigt, sondern ihre Endpunkte 1, 2, V, II, 8 liegen auch von derselben gleichwcit entfernt, folglich in einer und derselben mit /c ll (IO L parallellaufenden Ebene. Von dieser Behauptung kann man sich durch folgende Betrachtungen überzeugen. Die aus "I", 2, V, 1^, 8 auf die erweiterte Seitenfläche LOL gefällten Perpendikel, deren einer VI? ist, sind, weil -1.1 — L2 ^ OV rc. von gleicher Größe. Daher liegen die gedachten Puncte in einer mit^LLVL parallelen Ebene. Läßt man nun aus den fünf Winkclpuncten X, V, b., a, v und zugleich aus dem Mittelpunkte des Polygons gerade Linien, auf die Seitenlinien LL, dO, OL, L^, senkrecht herab; so stellen diese die Neigungswinkel der fünf Seitenflächen/

deren Wi'nkelpuncte genannt sind, gegen vor,
deren einer Xues) ist und die Neigung der gedachten Seitenfläche gegen angibt. Setzt man
nun in dem gleichseitigen, folglich auch gleichschenkligen spharischen Dreiecke, aus der Spitze XI einen Bogen XIW senkrecht auf die Grundlinie; fo wird das spharische Q XlXlO in zwei rechtwinklige getheilt, in welchen WO ^ WXl -OXl ist (102. Anmcrk. Z.). In dem rechtwinkligen spharischen cX WNXI aber verhalt sich i:cosXlW — cos w XI: cos Xl XI (69); folglich ist cos VLV oder cos XVXI — . Eg ist
cos XIXV
aber XIXI — i»8°, XIXV — 54° und wenn man also diese Werthe in die vorige Gleichung schreibt; so ist
cos WXl ^ i»8° ^ — on8 7 2° ^ j ( 1^5 — ')
cos 54° cos 54° ^ 10 — I/g)
Nun ^ vc>; > k, f°,M,
< II, beide — 2ix, folglich ist cos ()OV
— — cosVOk — -. Daher
1/2 I/sg—2l/z)
(^ 5 - 1 )
^ V(i —cos I' 0 V -) -1/ s'i — l^-
l- V1/2(^g—2I/5)
. 1//" ^(Z V5) 6-s-2l/5 >. 1 / 4
' ^ ^ 2 V( 5 -i/ 5 ) > ^
2 (4s
l^5)
V2 1/(5 — 1/5)
Nun kann man den Abstand der, durch die Puncte D, 2, V, II, 8 gehenden Ebene von cXLOVL, und zwar durch k V leicht bestimmen. Es ist nehmlich I? V

257
VL . sin vc? —---—--—^—
1/21/(5 — 1 ^ 5 ) 1/(10—21/5)
->— — Z a cc>8ec 56°. Bestimmt man nun diesen
2 sin 56°
Werth aus dem Halbmesser der Kugel; so ist l?v ---
2r1/^(1/5 — H _ 2r V^V( io — 2I/5) (1/5—1)
1/(10-2I/5) 10 - 2I/5
2r V^V(io—21/5) fl/Z — H
10 (1/5—1)
f 1/^(10—21/5).
Der Abstand ^ der Seitenfläche «K-LLDL vom Mittel- puncte der Kugel war nach (Zus.5.)—^ai/ ^ 1 /( 5 ^ 2 i/ 5 )- Daher ist der Abstand, der durch die Puncte 1 ) 2, V, n, 8 gehenden Ebene, vom Mittelpunkte, — — PV
— Vi-V (5 -st 2V5) — l/(io — 2V5) — ;-r V-z s V( 5 -i- 2 V 5 ) —V(io— 2 V 5 )ch Dieser Ausdruck gibt den Abstand der durch die Puncte 11 aLXX gehenden Ebene, vom Mittelpuncte auf der andern Seite an.
§. 129.
Aufgabe« Eine Kugel von bekanntem Halbmesser ist gegeben, man soll darauf die zu einem Dodecaedron gehörigen Winkelpuncte entwerfen.
Man durchschneide eine nach Willkühr angenommene Axe der Kugel, zu beiden Seiten ihres Mittelpunctes in den Entfernungen ^ und — kV durch zwei senkrechte Ebenen; so entstehen dadurch vier Parallelkreise. Dann lege man durch die Axe fünf, einander unter dem Winkel von 56° durchschneidende Ebenen; so bilden diese auf der Kngelflache eben so viel größte

Kreise, welche mit den gedachten vier Parallelkreisen zehen Ourchschnittspuncte machen. Bemerkt man nun endlich in jedem dieser parallellaufenden Kreise, fünf, um 72° von einander entfernte Puncte, fo, daß Wechselsweise zwei und zwei in demselben größten Kreise liegen; so werden diese, die zwanzig zu dem Dodecae- dron gehörigen gesuchten Winkelpuncte sein.

A u s
z u g
aus den
Anfangsgründen der ebenen Trigonometrie
zur
Erläuterung der sphärischen,
mit Rücksicht auf die Ausbildung angehender Feldmesser und Oeconomen.
Von
C. G. Zimmermann,
Professor am Werd. Gynmassum und Lehrer der practisthen Fcldmeßkunst a» der Kvnigl. Vau-ÄIcadeiiiie.

Erste Abtheilung.
Von den trigonometrischen Linien.
§. i.
§^ie Trigonometrie *) ist eine Wissenschaft, welche aus drei gegebenen Stucken eines Dreieckes, die übrigen durch Rechnung finden lehrt. Man theilt sie in die ebene und spharische. Jene betrachtet die ebenen, durch gerade Linien begrenzten Dreiecke, so wie sie in der Geometrie vorgekommen sind, doch so, daß die gegebenen Stücke durch Zahlen ausgedruckt und daß unter denselben allemahl eine Seite befindlich sein muß; indessen ist sie nicht hierauf allein eingeschränkt, sondern sie umfaßt noch viele andere Lehren über die Verbindung, Zufammensetzung, Theilung der Winkel und den damit zusammengehörigen Bogen, über die gegenseitigen
*) Ueber die Absicht und Einrichtung der ebenen Trigonometrie habe ich mich, in der Vorrede zur sphgrischen Trigonometrie erklärt. Daher ich diese» Blättern keine besondere Vorrede beifüge.

Beziehungen und Lage der geraden Linien und den davon abhängigen Bogen :c. — Dreiecke deren Seiten, Dogen größter Kreise auf einer Kugel sind, machen, wie wir gesehen haben, den Gegenstand der spharischen Trigonometrie aus, deren Aufgaben, der Einschränkung nicht bedürfen, daß unter den gegebenen Stücken, allemahl eine Seite enthalten sein müsse.
Anmerkung i. Man mag Triangel mit »och so vollkommene» Werkzeugen verzeichnen und auftragen, so werde» sich dock bei weile» Abmessungen selbst bei der größten Sorgfalt bedeutende Fehler einschleichen. Durch Rechnung hingegen gelangt man zu einer weit größer«, Scharfe. Es werden Zahlen gesucht, weil alle Größen, die Seile» nebst dem Winkel, oder die Winkel nebst der Seite in Zahlen ausgedruckt sind, so, daß Zeichnungen nur ein Hülfsmittel der Darstellung und ein sinnliches und unvollkommenes Bild einer weil richtigern und vollständiger» Berechnung abgeben, wodurch man nöthigen Falles Zeichnungen gänzlich entbehren kann. Durch diesen einzigen Vortheil der Trigonometrie ist man im Stande, in alle Theile der ausübenden Mathematik mehr Gewißheit und Genauigkeit einzuführen, als es ohne sie geschehen konnte.
Anmerkung 2. Soll nun aus drei gegebenen Stücken eines Dreieckes, die zu dessen Bestimmung dienen, das vierte gefunden werden; so könnte man dieser Forderung dadurch eine Genüge leisten, daß man sämmtliche Stücke zu Verhältnisse» verbände und deren Glieder dann so ordnete, daß das gesuchte Stück zum vierte» Proportionalgliede würde. Allein hier tritt der Umstand ein, daß weder die Winkel, noch die Bogen zwischen ihren Schenkeln, mit den Seilen eines Dreieckes in gleichen Verhältnisse zu - und abnehmen. Daher ist man darauf bedacht gewesen, solche Größen in diese Wissenschaft einzuführen, durch welche jene Absichten vollkommen erreicht würden und welche mit den Seilen eines Dreieckes in der gedachten Verbindung

stehen. Hierzu dienen die sogenannten trigonometrischen Linien, welche die erforderlichen Eigenschaften haben, daß sie anstatt der Winkel und Bogen können gebraucht wer» den, und den Seite» der Dreiecke proportional sind; nur muß man bei denselben nicht allein auf ihre Größe, sondern auch auf ihre Lage Rücksicht nehmen.
§. s.
Der Kreis ist eine in sich selbst laufende Linie. Er hat daher so wenig einen Anfangspunct als einen End- punct. Soll er aber zu gewissen Bestimmungen dienen, so muß man irgend einen Punct, der jedesmahligen Absicht gemäß, zum Anfangspuncte eines Bogens oder Kreises machen. Ja man kann sogar um einer größern Allgemeinheit Willen, den Umfang des Kreises wiederholentlich in sich selbst zurückkehren lassen, und alsdann gewisse Linien so festsetzen, daß sie nicht allein zu Einem Bogen, sondern zu diesem Bogen nebst dem Vielfachen der ganzen Kreise gehören. Dieses wird durch nachfolgende Erklärungen mehr Deutlichkeit erhalten, und ist um so nöthiger, da in der Astronomie Bogen vorkommen, die über 90°, 180°, 230° rc. gehen» Dadurch siehet man sich genöthigct, die zu solchen Bogen gehörigen Linien in Betrachtung zu ziehen, und ihre Beziehung auf einander näher zu bestimmen.
Erklärung. Von zweien Winkeln, die so beschaffen sind, daß sie einander zu zweien Rechten ergänzen, heißt gegenseitig die eine, das Complement deS andern. Dasselbe gilt von zweien Bogen Fjg. >. ^8 und 8 8 deren Summe — 90° beträgt. Ist z. B. ^8 ^ 70°, 81 . — 20°; so ist der Bogen von 70°, das Complement von 20° und dieser, das Complement von

jenem nchmlich, der Dogen von 20° ist das Complement des Bogens von 70°.
Zusatz ,. Daher ist in jedem rechtwinkligen Dreiecke, der eine der spitzen Winkel das Complement des andern, so wie dieser von jenem, weil ihre Summe einem Rechten gleich ist.
Anmerkung. Finde! die gedachte Beziehung zweier Winkel oder Bogen bei Nebenwinkeln oder solchen Bogen Stau, deren Summe igo° bewögt, so pflegt man bisweilen den einen das Supplement des andern, und zwar auch aus wechselseitige Art zu nennen.
§. 5 -
Erklärung. Eine gerade Linie ND, welche (Fig. !.) aus dem Endpuncte L eines von anfangenden Bogens, lothrecht auf den Halbmesser BO des zu diesem Bogen gehörigen Kreises, herabgelassen wird, heißt der Sinus des Bogens oder des von eVI! gemessenen Winkels am Mittelpunkte.
Zusatz r. Verlängert man nun den Sinus, bis er den Kreis auf der andern Seite des Halbmessers in b' trifft; so stellt die Linie LOk eine Sehne des Bogens VeLk — 2 vor, auf welcher tseV senkrecht steht. Setzt man nun den Winkel oder dessen Bogen —so laßt sich der Sinus eines Bogens « als die Halste, einer zum doppelten Bogen gehörigen Sehne betrachten, d. h. es ist silt-z — ^olrorcl n«, eine Vorstellung, durch welche uns der Sinns überall leicht anschaulich wird. So ist z. B. die halbe Sehne eines Bogens von 6n°, der Sinus eines Bogens von 50"; die halbe Sehne eines Bogens von 4v°, ist der Sinns eines Bogens von 20°,

die halbe Sehne eines Bogens von 90° ist der Sinns eines Bogens von 45°.
Zusatz 2. Zeichnet man sich nun (Fig. 1.) zu verschiedenen Bogen eines Kreises als üeV!-, IV/edch L"^Vd", :c. die dazu gehörigen Sehnen üb',
lübch Ü"I", so sind ihre Halsten Ü O, Ü'O',
die Sinus der vorhin genannten Bogen d. h. es ist ÜO — sln s — l «Ich L'O' — 5'inzk'/^ — 4 ÜQ''; ü"v"—sü-.zü"^"— 4 ü"B":c. Verbindet man nun diese Vorstellungen, mit den regulären in der Geometrie betrachteten Polygonen, die sich mit vollkommener Genauigkeit in Kreise einzeichnen lassen; so ergibt sich, daß ihre Seiten, Sehnen sind, deren Halsten zu den halben, von den Sehnen abgeschnittenen, Bogen gehören. So ist dir Seite eines !m Kreise liegenden Quadrats, die Sehne eines Bogens von 90°, also ihre Halste der Sinus von 45°; die Seite eines regulären im Kreise liegenden Fünfeckes, die Sehne eines Bogens von 72°, ihre Halste also der Sinus eines Bogens von 56°; die Seite eines regulären Sechseckes die Sehne eines Bogens von 60°, ihre Halste der Sinus des Bogens von 50°. Die Seiten des Sechseckes aber sind, jede sür sich genommen, dem Radius gleich. Daher ist der Sinus von 50° allemahl so groß, als der halbe Radius. Die Seite eines im Kreise liegenden Zchneckes, ist die Sehne des Bogens von 96°, folglich ihre Halste der Sinus eines Bogens von 18°. — Anstatt Sinus eines Bogens -- schreibt man gewöhnlich sln «.
Zusatz Z. Zu größer» Bogen, gehören größere Sehnen. Die größte Sehne ist der Durchmesser,

welcher zum Halbkreise gehört. Es wachsen daher die Sinus mit den Bogen, wie dieses auch aus der Figur zu ersehen ist, der größte Sinus aber ist die Halste der größten Sehne, also dem Radius gleich. Daher nennt man diesen zu einem Bogen von 90° gehörigen Sinus, den Sinus totus. Laßt man einen Perpendikel aus den Endpuncten solcher Bogen fallen, die > 90° sind, so werden sie kleiner als der Halbmesser, und es nehmen daher die Sinus von Bogen über 90° wieder ab.
Zusatz 4. Hieraus erhellet nun auch, daß der Sinus bei einem sehr kleinen Bogen, selbst sehr klein und von dem Bogen nicht merklich zu unterscheiden ist, indem Sinus und Bogen beinahe zusammenfallen. Dann nimmt der Sinus mit dem Dogen so lange zu, bis dieser 90° und jener dem Halbmesser gleich wird. Im zweiten Quadranten nimmt der Sinus wieder ab, nahe an igo° fallt er mit dem Bogen zusammen und verschwindet, wenn jener — wird. Im dritten und vierten Quadranten findet zwischen dem Sinus und seinem Bogen dieselbe Relation in umgekehrter Ordnung Statt, wie im ersten und zweiten; nur ist hier (Fig. 2.) der Sinus des Bogens der von s) nach O gehende Perpendikel O
und des Bogens der Perp. kv. Es ist
demnach wenn r den Halbmesser bezeichnet; siuoeo, siu 90° e r, siu igo° 0, sin 27»° e e, siri Z6a — 0 oderwenn r—I ist, soistsiuoeo, «11190—1, siu Iga — 0, «in 270 — I, siu z6o — a. Setzt man nun den Halbkreisen-; so ist sin^n —1; sinn-^o; sin?-,-^ 1 und siu 2n- e a.
Zusatz 5. Ist also, der Sinus eines Bogens unter iL»°, — i, so ist der Bogen selbst e 90° und ist

der Sinus eines Bogens der nicht über igc>° geht, o; so ist der dazugehörige Bogen entweder 0, oder 130°.
Zusatz 6. Der Bogen macht mit dem Bogen LL zusammen 90° aus. Daher ist der Sinus des Bogens H.L, zugleich der Sinus des Complements von LL (1.). Um diesen Ausdruck zu verkürzen, sagt man auch anstatt LO ist der Sinus des Complements vonLL, Lv ist der Cosinus vvnLL; und schreibt: es ist LO ^ 8in^L, aber es ist auch LV — cns L^. Ware z. B. ä-L-70° und Lbl^2o°; so istLO- «in 70° aber auch — cos 20°.
H. 4.
Erklärung. Laßt man nun aus dem einen Endpunkte L des Bogens Lk einen Perpendikel L6 auf den, durch den andern Endpunct X gezogenen Durchmesser Ltül., herab, so ist L0 der Sinus des Bogens LL. Es macht aber L K, mit einen Bogen von 9»°. Daher ist der Sinus des Bogens Lk. auch der Sinns des Complements von d. h. es ist sin Lk —
cos
Zusatz 1. Die Figur LOLO ist ein rechtwinkliges Parallelogram, worin Lv — O 6 und L 6 v 6 ist. Aus diesem Grunde nennt man auch den Theil des Halbmessers zwischen O und 6 den Cosinus von Setzt man nun den Bogen oder den von ihm gemessenen Winkel L6V — so ist LL — 90° — folglich ist L O " sirr ^ L sin « — sin (90"—LK.) —
cos LX und umgekehrt (90°—«) —
cas «. Ist demnach « r-: 70°, so ist Lv sin « —

248
cos (90— «'l cos 20° und siu so° sln (90— --)
— cos « — cos 70". Also ist sln Zo° ^ cos (90 o—^g°) ^ cos 60° und cos Zo° — sln (90"—Zo°) ^ siu 60°.
Zusatz 2. Betrachtet man nun das rechtwinklige LV6, worin der W. LOO — « gesetzt wird, so kann mau die Seiten Lv, LO, <ü V auf die Art, wie in der Geometrie gezeigt worden, durch Catheten und Hyporhenuse ausdrucken; man kann sie aber auch durch die jetzt erklärten Benennungen bezeichnen, indem L0 «in«; OL — cos« und tükk — sin . toi ist»
Zusatz Z. Aus Fig. kann man nun ersehen, Laß die Cosinus O(H IVL, O"6, immer kleiner werd 11, je größer, die mit ihnen zusammengehörige Bogen ^.L', werden. So wie also die
Bogen im ersten Quadranten wachsen, so nehmen ihre Cosinus ab. Siehet man nun auf die beiden Grenz- puncte eines Bogens von 90°; so ist der Cosinus — r d. i. dem Halbmesser gleich, wenn der Dogen — 0 d. h. noch keine Größe hat, er verschwindet d. h. wird 0, wenn der Bogen eine Größe von 90° erreicht hat und ist, bei einem sehr kleinen Dogen, von dem Halbmesser kaum zu unterscheiden.
Zusatz 4. Im zweiten Quadranten ist der Sinus des Bogens (Fig. 2.) der Perp. b'O, sein Cosinus also LO, indem er also von 0 anfangt, nimmt er mit den Bogen zu, so, daß wenn dieser 180° wird, jener
— r. Bei den, in den dritten und vierten Quadranten gehenden Bogen, verhalt sich mit dem Wachsen und Abnehmen des Cosinus wieder, wie im ersten und zweiten, aber alles gehet in umgekehrter Ordnung vor. Es ist demnach, wenn r den Halbmesser ausdruckt, cos «

— s49
c-, cos 90° " o, cos igo" ^ r, cos 270° — c> unk» cos 960° — r. Setzt man also den Halbkreis — ^ und
r — 1; so ist cos 0 ri- 1, cos ^ — 0; cos ^ ^ i;
cos ^ — o cos 2^ — 1. Ist also ein Bogen nicht > i8«° und sein Cosinus — 0; so muß der Bogen
90°, ist aber sein Cosinus 1, so muß derselbe 0 oder
igo° sein.
§. Z.
Betrachtet man noch die Sinus und Cosinus der Bogen, deren Eudpunctc in einen der vier Quadranten fallen, in welche der Kreis durch die beiden Durchmesser und IIzerfallet wird, in Hinsicht ihrer Richtung und Lage; so wird man bald einsehen, wie sich die gedachten Linien in dieser Hinsicht unterscheiden. Im ersten Quadranten wurden die Sinus der Dogen, deren Endpuncte in dem durch ^IllLI'II gehenden Halbkreise liegen auf den Durchmesser ^ II, also in einer Richtung von L nach H.II senkrecht herabgezogen. Im dritten und vierten aber nehmen sie in Bezug auf denselben Durchmesser die entgegengesetzte Richtung von L nach ^,11 an. Gibt man also den Sinus im ersten Quadranten -V II das Vorzeichen (-7-), so müssen die Sinus im zweiten Quadranten dasselbe; in» dritten und vierten aber das entgegengesetzte Vorzeichen (—) erhalten. — Die Cosinus im ersten und vierten Quadranten, werden voni Mittclpunctc 6 aus, nach /e genommen und liegen also sämmtlich auf der einen Seite des Durchmessers III., alle in der Richtung von II nach die Cosinus im zweiten und dritten Quadranten, rechnet man von 6 nach II und^sie liegen au; der andern Seite

— 2ZO -
des Durchmessers Kb., sämmtlich in der Richtung von nach H, welche der vorigen von 6 nach ^ entgegengesetzt ist. Gibt man nun den Cosinus des ersten Quadranten, wie bei den Sinus, das Vorzeichen (-j-); so müssen die Cosinus im zweiten und dritten Quadranten, das Vorzeichen (—), im vierten aber wieder (-j-) erhalten.
Zusatz. Es ist demnach wenn r —* gesetzt wird sin o — c>; «in ^ ^ — c>; sin -I- 0; sin ^ n- — — I;
sin s?-- o und cos o i; cos^n-^o; cosTr^ —r; cos^"o; cc>8 2^—i.
§. 6 .
Nimmt man nun in dem Kreise den Punct
zum Anfangspuncte an; so kann man in demselben von ^ nach I. durch L rc. gehen; man kann aber auch in der Richtung durch L., rc. in demselben fortgehen. Daher ist dieser Bogen dem vorige» entgegengesetzt und erhalt das Vorzeichen (—), wenn jener durch das Vorzeichen (-j-) bezeichnet wird. Kommt nun noch dazu, daß der Bogen so viel Grade als enthalt; so ist nicht bloß sondern — ^L. Ist
nun c 90° und verbindet man mit diesem
Bogen die trig. Linien, nehmlich Sinus und Cosinus; so istbcgrcistich, daß 8 in^.L —8in-j-°t0der8in«—Lv und daß 8 in^() — 8 in—« — v t), folglich daß zu einem positiven oder negativen Bogen « < 90°, ein positiver oder negativer Sinus gehört. Ist « > 90°, ^ oder — — b. j. so ist sin — 8IN— b'o und —8in—^.^—8^ — <» — s>0; folglich erhalten hier wieder Sinus und Bogen einerlei Vorzeichen. Ein positiver Bogen « > 90 hat einen positiven Sinus und

ein negativer, einen negativen Sinus. So erhellet auch daß cos« — und cos — « OO folglich, daß so lange « < 9»°, der Cosinus allemahl positiv bleibt, sein Dogen mag positiv oder negativ sein. Ist « > 90°,
— oder — — —so ist co8 — cv3 L
— 60 ; und co8 ^ O — cos — — co8 — « —
Otz. Folglich gehört zu einem positiven oder negativen Bogen « > 90°, allemahl ein negativer Cosinus.
Zusatz 1. Hieraus folgt nun, daß der negative Cosinus 0 0 , so wohl zu dem positiven Bogen > iZo° als auch zu dem negativen Bogen < igo" und daß der positive Cosinus 6V, so wohl zu dem positiven Bogen > 270°, als auch zum negativen
Bogen gehöre.
Zusatz 2. Ist der positive Dogen > igo°
und der negative auch > igo°; so gehört zu
jenem ein negativer und zu diesem ein positiver Sinus. So verhalt es sich auch in Ansehung der Lage und der daraus entspringenden Vorzeichen der Sinus wenn jeder der beiden Bogen > 270° ist.
§. 7 .
Erklärungen. Unter dem Sinusversus oder Qucrsinus eines Bogens^Lversteht man denjenigen Theil des Halbmessers, der zwischen den End- puncten ^ und v des Halbmessers und des Cosinus enthalten ist. Auf gleiche Art bezeichnet Ik- den Sinusversus des Bogens LU., —(90°—«); oder auch den Cosinusversus des Bogens ^L, —«. Statt Sinusversus und Cosinusversus, schreibt man gemeiniglich «in. V6r8. und cv8. ver8. oder slu. V. und cv8. V.

§. 8 .
Wird eine an sich unbegrenzte gerade Linie senkrecht durch den Endpunct ^ des Halbmessers A 0 , aus dem Mittelpnncte L aber durch des Bogens Endpunct L eine andere gerade Linie dergestalt gezogen, daß jene von dieser, in irgend einem Puncte L auf der einen oder andern Seile von geschnitten wird; so heißt die erstere A. K die Tangente, die andercLK aber die Secante des Bogens — « oder des von dem Bogen A.V gemessenen Winkels am Mittelpunctc Der Bogen aber ist das Eomplenicnt vvnLK. Daher sind und 6Ir> die Tangente und Secante des Complemcnts Lkd, aus diesem Grunde heißt die Cotangente von Lk., wie LL die Cosecante von Lk. Zur Abkürzung schreibt man die angeführten Ausdrücke tclilA « oder lA-r, sec «, aoreosec «. Es ist also -All. — — «), 6 « — coLaa(gn° — D-
Ziehet man nun durch den Endpunct L die Aldk so, daß OIvAI —IZ. wird und durch II die gerade Linie CkVI, alles wie die beiden vorigen .Ak. und LL, bis sie sich in AI durchschneiden; so heißt Alk. die Tangente des Bogens und llAI seine Secante. Auch hier aber ist, weil .VL -j- Lk., 90° betragt das Com- plement von LL. Daher heißt IvAI die Cotangente von « und (lAl die Cosecante von
Diese Ausdrücke schreibt man nun K.A 4 — wn»; LL oder ccw ^.L; 6AI — sec Llv ^ cosec lAL. Es ist demnach k,All ^ tanA (90 — «) — cor « und EiVI " soc (90° — > «) — cosec

Die von (i— 7) erklärten auf die Bogen sich beziehenden Perpendikel, begreift man unter dem gemeinschaftlichen Nahmen der trigonometrischen Linien. Sie lassen sich auf folgende Art leicht übersehen. Es ist nehmlich, wenn man eV 1 '. — « annimmt i ) Ll) — sio -r — sin compl. (90° — — cos (90" — »)
2) L. — t->NA « ^ wnA coinpl. (90°— «) —cot(90° —
tlbl —scc« — scccoin.pl. (90°—«) — coscc '90° —«)
4) —sinv.« —sinv.conipl/9a°-«) —sin 12(90°—«)
5) 6ID — cos « — sin conipi. « ^ sin (90° —«)
6) Iv^l — coc « — lanZ conipl. « — tun«' (90° —«)
7 ) (l lVI — coscc « — scc coinpi. « — scc (90° — «) g) XO — cosv.« — sin v. coinpi.« —sin v. (90°—«).
So ist also sin 25° — cos (90° — 25°) — cos 65°; cos 46° — sin (90° — 46°) — sin 44°! t.,n§ g6° —
coe (90° — ^6°) — cot 54°; cor 24° — wnA (90°—24°)
— wn§ 66°; scc ig° — cosec (90° — iZ°) — coscc 75°; coscc Zo^ — soc (90° — Zo°) — sec 60°; sin v. 60°
< os v. (90° - go°) — cos v. 40°; cos v. 72° — sin v. (90° - 72°)
— sin v. ig°.
Betrachtet man nun die in (Fig. 2.) zu dem Bogen —» verzeichneten trigon. Linien, ohne auf den Sinusverfus zu sehen; so wird man leicht finden, dass sie sämmtlich durch Seiten rechtwinkliger Dreiecke vorgestellt worden. Zeichnet man sich nun den Winkel « mit den gedachten dazugehörigen trig. Linien ans großem oder kleinern Halbmessern, so werden, wegen des beibehaltenen und des rechten Winkels, die respcctivcn Dreiecke einander ähnlich sein und sich sämmtlich, wie

die verschiedenen Halbmesser verhalten. Theilt man nun diese in eine gleiche Anzahl gleicher Theile; so werden diese Theile, beim großen; Halbmesser größer, beim kleinern, kleiner ausfallen, es wird sich mit ihnen wie mit den Graden bei größer« und kleinern Kreisen verhalten; und alle gleichnahmige trigon. Linien, welche sich auf denselben Winkel beziehen, werden eine gleiche Menge von Theilen erhalten. Aendert sich aber in den entworfenen Figuren der Winkel oder der ihn messende Bogen «; so andern sich auch die dazugehörigen trig. Linien nach den oben angeführten Gesetzen, und es laßt sich hier schon übersehen, daß es für die Theorie und Ausübung seinen großen Nutzen haben würde, wenn man für jede Größe von «, von Grad zu Grad rc., die Werthe der trig. Linien in Zahlen und aus diesen wieder die Größe des Winkels anzugeben im Stande wäre.
Die mannigfaltigen Vortheile, die man sich mit so vielem Rechte von dieser Einrichtung versprach, veranlaßte die Mathematiker der vorigen Jahrhunderte vor Erfindung der Differenzialrechnung, diese Gedanken weiter zu verfolgen und aller Anstrengungen und Schwierigkeiten ungeachtet unternahmen sie es, die trigonometrischen Linien auf einem äußerst mühsamen Wege durch alle Grade, Minuten rc. eines Quadranten zu berechnen und die Resultate ihrer Bemühungen in Verzeichnisse zu bringen, die unter dem Nahmen der trig. Tafeln bekannt sind. Zu mehrerer Bequemlichkeit fügte man den Sinus, Cosinus rc. die Logarithmen bei, deren Kenntniß und Gebrauch ich hier als bekannt voraussetze. In meiner Einleitung, der ersten Grundsätze der Analysis habe ich die Lehre von den Logarithmen im xi. Abschnitte von S. 256

255
bis 529 umständlich erklärt, ihre mannigfaltige Anwendung gezeigt und zugleich die besten Ausgaben der loga- rithmischen Tafeln angeführt.
Anmerkung. Die Ausdrücke -in «, cos , rang -» rc. sind nicht als Producte anzusehen, sondern man muß sie nur als einen Buchstaben, oder als eine Zahl betrachten; auch muß man die Bezeichnungen »in x«, j sii>«, -ins«, nicht mit einander verwechseln, sondern sie nach ihrem Werthe und der ihnen beigelegten Bedeutungen, gehörig unterscheide», sin ^ »in«, sins», siu 2° heißen in der angeführten Ordnung: Der Sinus des halben Winkels der halbe Sinus des ganzen Winkels », der Sinus des doppelten Winkels von der Sinus von » ins Quadrat erhoben. Eben diese Bedeutungen haben die übrigen, auf diese Art ausgedruckten trigonometrischen Linie».
§. 10.
Ein spitzer und ein stumpfer Winkel, welche so zusammen gehören, daß die zwischen ihren Schenkeln mit demselben Halbmesser beschriebenen Kreisbogen igc>o oder 560° betragen oder um igoO von einander verschieden sind, haben allemahl gleiche Sinus.
I) Die BogenlckLL-s--VL(Fig.2)mögen igo° betragen; so ist der Sinus jenes Bogens ttLL der Perpendikel, der aus dem Endpuucte deS Bogens UL auf den durch seinen Anfangspunct H gehenden Halbmesser oder dessen Verlängerung herabgelassen wird, d. i. LO welches auch der Sinus des Bogens ist. Setzt man nun igo° — LLL — «, so ist ULL -j- « folglich »LL also Lv --- sin ttLL ---
SÜI (-- — «) und LO sin «, daher sln «l --r sin — H.

— 256 —
Nimmt matt nun i)II5 — IIHN —-r —«; so ist II5 ^ .IL — «. Denn es ist 5 II5 L, L 5 ein Theil von beiden, also .IL.5 — L5 ^ II5.5 — LI' d. i. III' — «. Nun ist aber 50 der Sinus
des Bogens ^115 und auch der Sinus des Bogens II5
— «. Ist nun 50 —Lv, so ist auch der Sinus des Bogens ^115 so groß als der Sinus des Bogens
— «. Die rechtwinkligen Dreiecke OL 0 und 0 50 und gleich und ähnlich. Denn es ist VII — 5II, folglich auch /. 7 V 0 L —5011, ^ HO 0 — 005 —II und <11!
— 05, folglich 50 — IIO und 00 — VO. Nun machen DU 5 -j- 5II — -Lv° oder — ^ d. h. es ist SÜ 1 DU 5 — sin 511 — 5III «. Ev ist aber DXI —
— 511 — - 7 -—«. Also auch hier sin (ir- — «) — sili «.
II) Es sei ferner D 0 II der spitze Winkel, « sein Bogen, D5IIH der stumpfe Winkel und sein Dogen
so ist der Sinus III) des spitzigen Winkels« und der Perpendikel 0 0, der aus dem Endpunct des -Bogens h auf den durch seinen Anfangspunct D gehenden Halbmesser oder dessen Verlängerung, herabgelassen ist, der Sinus des Bogens D5.IIH — ij)o°-ss«. Sind nun Lv und HO einander gleich, so haben auch die gedachten Bogen gleiche Sinus. Es sind aber die Dreiecke OL0 und LHO gleich und ähnlich. Denn es ist ^.DLL —heil, VV 0 — 00 h —n und 0 K — Oh, folglich /V I)L0 ^ OHO, also Lv — Oh und 0O ^ 00. Bezeichnet man nun die Bogen wie vorher, so ist sili« — «in (^-s-«), d. h. Zwei Winkel, welche um igo° verschieden sind, haben gleiche Sinus.
III) Es sei DLK der spitze Winkel, « sein Bogen DK.II0K der stumpfe und 560 —« sein Bogen, so ist
SIN 6

S57
sln-t^-LV und der Sinus des Bogens 560° — der Perpendikel der von dem Endpuncte IX, dieses Bogens IX, auf den durch seinen Ansangspunct gehenden Halbmesser herabgelassen ist d. h. IXO. Der Voraussetzung gemäß ist iX.Lbld.IX — z6o° — «, folglich iXLIX ^ Z6»° — tXLUd-IX z6o° —(560° — «) — «. Daher ist
/XLIX — iXLL, LVL^-IXO(i—IX, 6L—6IX, folglich Q VOL OOIX, also Lv — IXO und OL ist eine gemeinschaftliche Seite. Es ist aber L O sin« und IX sin (Z6n° — «), folglich sin«—sin(z6o° — «).
Bezeichnet aber --- den Bogen von igo°, so ist 2--- Z6o°, folglich ist sin « — sin (2»- — «).
Zusatz 1. Da sin « — sin (n- — «) und sin « ^ sin -s- «), so ist sin — «) — sin ' 71 - -f- «). In Rücksicht auf den obigen Satz ist daher, wenn man « —Z6" annimmt
sin« —sink»—«)vd.sinZ6^—sinfigo"—Z6") — sin issss" ^:sin (-r--f-«) "sIn(i8oO-s-Z6°)— sin2i6"
^ sin (2 —«) — sin (Z6c>° —56°) — sin Z 2 />°.
Zusatz 2. Nimmt man aber nach dem vorhergehenden §. auf die Lage der Sinns Rücksicht; so wird man finden, daß UO mit DU von gleicher Größe und Lage ist, daß s )0 und IXO mit LO und Oss von gleicher Größe, aber in Ansehung der Lage, denselben entgegen gesetzt sind. Um diese Beziehung der Sinus auf den gemeinschaftlichen Durchmesser, auf welchen sie aus den Endpuncteu der Bogen nach verschiedenen Richtungen herabgelassen sind, auszudrucken; schreibt man sin (---—«) — -s- sin «, od. sin(igo° —Z6") —-f-sinZ6° sin (»--f-«) — — sin « sin — — sing6°
sin( 27 ,-—«) — — sin « sin(Z6o°—Z6°) —— sinZ6°.
R

Zusatz Z. Auch sind die Sinus zweier Bogen, deren einer so viel über 90° betragt, als dem andern daran fehlt, von gleicher Größe und Lage. Es sei LX "XL; so ist ^L —go°-j-XL und ,VL —90°—XL — 90° — XX Nun ist Ltt -j- LX^ — igo°, folglich sin LLI — sinLX^, (I). Allein es ist LO —sinLII — «in (90—XL) sin (90 — XL) — sür ^.L. Folglich
«in LX^ — sin ^L.
Zusatz 4. Die in dem Hauptsatze von den Sinus aufgestellte Behauptung, laßt sich auch auf die Cosinus ausdehnen. Der Beweis erhellet aus den dort angegebenen Gründen und der Gleichheit der daselbst angeführten Größen, die man nur mit den zugehörigen trigonometrischen Benennungen bezeichnen darf. Es ist demnach, wenn man igo° und -» — 40° annimmt cos« — cos —«) od«cos4o — cos ( 1 go° — 40°)— cos 140°
^cos(«--s-«) — cos(igo°-f-4o°)—cos22o°
co8(2--- —«) — cos(z6o° —40°)— cosZ2o°.
Zusatz. 5. Siehet man aber nach (5.) auf die Richtung und Lage der Linien, welche zu den, in der gedachten Verbindung stehenden Bogen gehören; so ist LO der Cosinus von « und 560° —«, hingegen ist LOderOl) entgegengesetzt und der Cosinus von (igo° — «) und (igo°-f-«). Es ist also der Cosinus der Bogen > 90° negativ, die Cosinus der Bogen aber, welche sich um igo" unterscheiden, einander entgegengesetzt. Daher ist cos (s- — «) — cos«;od»cos(igo°— 40°) ^ — cos40°
cos(->- -j- «) — — cos« cos (igo°-f-4o°) — — cos40"
cos (2 --- — «) — -f-cos« cos (560°—40°) — -f- cos 40°.
Zusatz 6. Ist also ein Bogen nicht > iZo°; so

2Z9
jst derselbe entweder < oder > 90°, je nachdem fein Cosinus positiv oder negativ ist.
Anmerkung. Aus dem angeführten Satze, erstehet man nun, wie man im Stande ist, die verschiedenen Bogen auf die krig. Linien zu beziehen. Und es dient überhaupt zu Erweiterung der Begriffe, über die >rig. Linien, wenn man sich den Sinus und Cosinus so vorstellt, daß sie nicht nur zu — «; sondern zu allen in anfangende» und in L sich endigenden Bogen gehören. Indeß werden hier hauptsächlich nur solche Bogen betrachte«, welche über die Grenzen von z6o° nicht hinausgehen. Da nun die übrigen »rig. Linien ihrer Größe und Lage nach, durch den Sinus und Cosinus bestimmt werden können, so ist es nothwendig, sich die Begriffe derselben so deutlich und geläufig zu machen, als es nur immer geschehen kann.
R 2

Zweite Abtheilung.
Von der Erfindung und Berechnung der trigonometrischen Linien.
§. 11.
Aufgabe. Aus dem gegebenen Sinus eines Bogens, den Cosinus und Quersinuö eben dieses Bogens zu berechnen.
Es sei (Fig. 2.) der Bogen «; so isi zu beweisen, daß I) cos« — v(i— siir «') und II) sirivers« i — cos « sei.
I) Die beiden lothrechten Seiten LO und 6O des
/X LV6, dessen Hypothenuse, der Sinus totus — r ist, bilden den Sinus und Cosinus des Bogens «. Es ist aber Lv- -j- V6--— L6- (§. 125.) d. i. trigonometrisch ausgedruckt, «in «' -j- cos — 1. Folglich cos« ^ — 1 — sin «2 003 « ^: 1/(1 — sili«').
II) Hat man — ^.6 — VL, allein es ist — sinvers«, O6 — cos« und ^.6 — 1. Daher ist!>in vers« — 1 — cos«. eVO aber ist —^ 6 -si- 60 ; 60 aber ist der Cosinus des stumpfen W. .^Ob' oder des ihn messenden Bogens Also ist der Sinus des stumpfen W. — r -si-cos«, wenn hier« > 90° — ist.

Beispiel r. Die Seile eines reguläre» Sechseckes ist dem Halbmesser gleich. Setzt man diesen - so ist der Sinus eines Bogens von Zo-> — 4 (Aus. 5.); wie groß ist der Cosinus und Quersinus dieses Bogens? — Es ist co-Zo° — i/si—(siiiZo°)-)
— r/(i — D — V4 — -5- — >,75205080 : r — 0,360:540.
Beispiel r. Die Seile eines in den Kreis gezeichneten Quadrats, ist für den Halbmesser >, die Sehne eines Bogens von gn°; zugleich aber auch die Hypotheuuse eines rechtw. Du von dessen Calheten jede dem Halbmesser, also — 1 ist. Daher ist die gedachte Seile oder Sehne—vO ihre Halste, der Sinus eines Bogens von 45" — ^-/2; wie groß ist der Cosinus von 45°? — In diesem Falle ist der Cosinus so groß, als der Sinus, folglich — 1,4,4:1556 : : — 0,7071067g.
Beispiel 5. Der Sinus eines Bogens von -8° betragt ^ v"5 — wie groß ist dessen Cosinus? — Es ist cvsig°
— Vs. - On-8°)-Z - Vs> - (4V5- i)°) -
^ ^ ^ - ^5) ^
5,804:26065781 : 4 — 0,9510565,6:95.
Zusatz. Ist der Cosinus eines Bogens-- bekannt, so laßt sich anf diese Art auch dessen Sinus bestimmen. Denn es ist sin «^ -I- cos «° — 1, folglich sin 1 — cos «- und «in « " )/( 1 — cos «°).
Beispiel 1. Wie groß ist der Sinns eines Bogens, dessen Cosinus 4- — 0,555.. betragt? — Es ist -in« — — (^)-)
— v(i -O) — aO — §^2 — 1,4-42 .. X - — 0,94:8 ...
Beispiel 2. Wie groß ist der Sinus eines Bogens von 56°, wenn sein Cosinus ^ ^^5 betragt? — Es ist -in 56° —
^s> — (L -I- L ^S)') — L ^(-o — rV5) — 2,551141 : 4 — 0,587785.
Beispiel 5. Wie groß ist der Sinus eines Bogens von 60°, dessen Cosinus j betragt? — Es sei« — 60°, sü ist -1,160°
— a^(i — ä) — 1/2 — ^i/Z— coszv 7 .
Anntcrkung. Fände man den Cosinus eines Bogens 4- und

262
eines andern — ^; so würde zwar der letztere so groß sein, wie der erstere, allein das Vorzeichen deutet an, daß er im zweiten Quadranten liegen müßte, wofern beide Bogen zusammen nicht > igo° sind. Der Cosinus des FlÜ- chcnwinkele eines Tedraedrons z. B. ist — des Octaer drons — — a,. Legt man nun zwei Seitenflächen dieser beiden Körper an einander, so, daß ihre dazugehörigen Seitenlinie» zusammenfallen; so liegen die beiden andern in einerlei Ebene.
§. 12,
Aufgabe. Aus dem Sinus und Cosinus eines Bogens, seine Tangente zu berechnen.
Der Bogen werde durch « bezeichnet; so ist
rang« — 5^. d. h. die Tangente eines Bogens wird
cos «
gefunden, wenn man den Sinus desselben durch den Cosinus dividirt. Denn wegen der ähnlichen Dreiecke LL6 und DLL verhalt sich OO : OK — 6^4. : Druckt man nun diese Größen trigonometrisch aus; so verhalt sich cos«: sin« a-a I : lang«. Also ist rang« — sin « cos «
Anmerkung. Der gefundene Quotient für die Tangente ist allgemein und behalt daher seine Richtigkeit, wen» » — B 7 oder, — /s — > wäre d. h. es ist rang(/z ->->) — ein O -1-
cvs -s- 7) ein (»—v)
, oder ist /Z — » — igo"; so ist auch t»ng(ir —
^ „ ein (lgo° — 7)
—-7-- oder rang (igo° —-
ooe (ir —>) cos (lgo° —
Beispiel r. Wie groß ist die Tangente eines Bogens von
60°, dessen Sinus —und dessen Cosinus j betragt? — Es ist

26Z
tsn" 60° —
o 60°
rin 60" VZ
s — — r,7Zr°5o.. .
cos vo" 2
Beispiel r. Wie groß ist die Tangente eines Bogens von
sin 4g°
- ES ist »NA45° ^ ^ ^ ^ ^
Beispiel z. Wie groß ist die Tangente eines Bogens «, dessen Sinus — und Cosinus — ist? — Es ist demnach
^ — VL . a — v"2 — 1,412....
Zusatz 1. Aus dem algebraischen Ausdrucke
tuiiA« — laßt sich nicht allein die Größe der
cos «
Tangente, sondern auch das ihr zukommende Vorzeichen genau besiimmcn. Die Aenderung der Vorzeichen der Tangenten, werden aus ihren Sinus und Cosinus hergeleitet, diese aber andern, wie solches aus dem Vorhergehenden deutlich erhellet, ihre Vorzeichen, wenn sie aus einem Halbkreise in den entgegengesetzten übergehen. Ist z. B. — «, < 90° und ü- — iZr>°; so fallt des Bogens O — «) Endpunct in den zweiten Quadranten. Fragt man nun, was hat die dazu gehörige Tangente für ein Vorzeichen; so ergibt dieses, der Aus-
druck -- — ^-(9. «nd 9. Zuf.) — —
cos — cos «
tanA(^—«). So lassen sich die Vorzeichen der Tangente, durch den ganzen Umkreis bestimmen. Ist nun der Bogen » — 0; so ist auch wnA« — o. Nimmt
aber dieser Bogen zu; so wachst in
6LN «
cos es
der Zahler,
der Nenner aber nimmt ab, folglich wachst auch ranZ«.
Wird nun « — s» ist
sin »
cos «
SIN 451-
cos ^-ir-
^ z d. h.

264 —
indem der Divisor abgenommen und kleiner geworden ist, wie jede angebliche Große; so ist der Quotient über jede Große, die sich angeben laßt, hinausgegangen oder unendlich geworden. Diesen Werth bezeichnet man dadurch, daß man ^ — cxr schreibt. Dieses Verfahren zeigt hinlänglich, wie sich die Größe der Tangenten durch den ganzen Umkreis, aus ihrem Sinus und Cosinus angeben laßt. So erhalt man in Verbindung mit (9. wenn « 90° ist
tan§ (180° -j-«) — ——-—-,
cos (180° -j- «) — c »5
> ^ ° > -s- «in «
o^-j-ranA»; (iZo° —-») — -l-— ^ — tanAs;
— cos«
ranz (560°
«)
siia s z6e> — -r)
cossZüa — «) -j-cc>8«
:—tanZ«. Setzt man « —4n°; so ist WNA (iZo°--4r)°)
tsnA 14 «^
wnA 4 a°; ranA > iZo° -j- 40°) —
iUNA 220° — -j- tSIIA 40°, WNA (560° -4«°) — tA Z20°
— — rau§ 4»°. Ist also die Größe eines Bogens gegeben, so darf man nur bemerken in welchen Quadranten sein Endpunct fällt, um alsdann seine Tangente anzugeben. Ist z. V. der Bogen — 245° ^ (iZo° -j- 65°) und « — 6g°; so ist tWA 245° ranA 65°.
Zusatz 2. Die Tangenten entgegengesetzter Bogen lassen sich durch denselben Ausdruck mit Zuziehung des in (5.) vorgetragenen Satzes bestimmen. So ist z. B.
ran§ — 62°
siia — 62° cos — 62°
— sin 62" -j- cos 62°
ranL, 62°.
Zusatz Z. Hat demnach die Tangente eines Bogens, der nicht > 130° ist, das Vorzeichen (-j-) oder

(—); so ist der Bogen im ersten Falle kleiner, im andern aber größer als 90°.
Zusatz 4. Die drei Größen sln «, cos « und
ander in einer solchen Verbindung, daß man aus zweien allemahl die dritte, finden kann, und es ist «in « —
laßt sich die Tangente, weil cos« — 4/(1— 8 in«^) (II) ist, auch bloß durch den Sinus ausdrucken,
Aufgabe. Aus dem Filius und Cosinus eines Bogens, seine Cotangente zu berechnen.
Es sei der Bogen «; so ist cor°- —
d. h. die Cotangente eines Bogens wird gefunden, wenn man den Cosinus dieses Bogens, durch seinen Sinus dividirt. — Die Dreiecke L 06 und IckR.6 sind wegen des gemeinschaftlichen L 60 und wegen der rechten Winkel bei 6 und L einander ähnlich. Daher verhält sich 60 : OL —6L : oder weil im Rechtecke
VL 06 die 00 — Lv ist, Lv : OL — LL : LIV1 Setzt man nun in diese Proportion, die trigonometrischen
tMA « des Ausdruckes tr>n§ « ^
, stehen mit ein->
Ueberdieß aber
cos« X tanA» und cos
wenn man in WNZ « ^
den angeführten Werth
schreibt und es ist .
4/(1
§. 13

266
Bezeichnungen, so ist siu« : cos»—i: cor« d. h. es ist
vor« —
c .08 «
Stil«
Beispiel r. Wie groß ist die Cotangente eines Bogens von 50°, dessen Sinns z und Cosinus —- betrogt? — Es ist
eor 50° —
oos zo"
5LN Z()0
^3
2
— o/Z — r,752 . . wie in (g.) weil
die Cotangente von 50° nichts anders ist, als die Tangente von 6o°.
Beispiel 2. Wie groß ist die Cotangente eines Bogens --> dessen Sinus und Cosinus ^ betragt? — Hier ist cor
^ v' 2 —
1,4142.. X ^ o,Z5Z5...
Beispiel 5. Wie groß ist die Cotangente eines Bogens von 15°, dessen Sinus durch jr/(2 — >^5) uitd dessen Cosinus durch -2-^(2 4- v'g) angegeben wird? — Hier ist coc 15°
-si >/z)
Zl/(2 — Vz)
— r ch- >^5
2 -I- 1,732050g — 5,7520508.
Zusatz i. Aus dem allgemeinen Ausdruck cor«
003
, läßt sich auch hier die Größe und das Vor-
61 N «
zeichen der Cotangente bestimmen. Ist ^ ^ igo°,« < 90,
so erhält man ooe -j- «) ^ -—-—-I-—- 2---
siri (ir-f- «) -siir«
— cc>r«. Für « — 16° ist z. B. cor (iga° -f- 16°)
— cor 196° — cor 16°. Auf diese Art kann man die Größe und das Vorzeichen der Cotangente durch den ganzen Umkreis bestimmen.
Zusatz 2. Die Vorzeichen der zu positiven und negativen Bogen gehörigen Cotangenten, lassen sich eben-

267
falls aus dem obigen Ausdruck mit Zuziehung des in (5.) erklärten Satzes bestimmen.
Zusatz 3. -Aus — ^ 52 . (Zusatz 2.) folgt,
r sm«
Laß
1 : cos« sin « : cos « und aus tanZ « " -, daß
cos«
tan§ « : I — sin « : cos « und hieraus, daß tanA « : i — 1 : cot «, folglich
rsnA « -, oder cot« ^- ser»
cot « lang «
Zusatz 4. Bezeichnet nun /; einen größer» oder kleinern Bogen als «in (Fig.a.); so gilt die in (Zns.z.) angeführte Behauptung auch von der zu ^ gehörigen
Tangente und Cotangente, und es ist tan§/Z --- ,
cot^s'
folglich ist tan§ « : tsnZ/Z ——-— : —-—cot/Z: cot«
cot« cot /Z
d. h. die Tangenten der Bogen « und /s verhalten sich umgekehrt wie ihre Cotangenten.
Zusatz 5. Auch hier stehen die drei Größen sin «, cos « und cot « in einer solchen Verbindung mit
einander, daß vermittelst der Gleichung cot« — aus
sin «
zweien derselben, wie in (9. Zus. 4 -) allemahl die dritte
gefunden werden kann. Und weil cos «^ V(»— sin«-)
. .... 4/(1 —sin «^) ^
rst; so erhalt man cot« —--Diesen
sin«
Werth erhalt man auch aus (Zus. Z.).
Anmerkung. Die Cotangenten sind nichts anders als die Tangenten der Eomplememe 90°. Daher gelten die Denier-

26g
knngcn über die Tangente» auch von den Cotangenten und die wechselnden Vorzeichen stimmen bei ihnen in den vier Quadranten übereim
§.
Aufgabe. Aus dem gegebenen Sinus und Cosinus eines Bogens, seine Secante und Co- secante zu berechnen.
Es ist mit Beibehaltung der vorigen Bezeichnung
I) sec « — —-— und II) cosec « — —-— d. h. die cc>s -» siii»
Secante eines Bogens °° wird gefunden, wenn man eins
durch den Cosinus und die Cofecante, wenn man eins
durch den Sinus dieses Bogens dividirt.
I) Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke und
LVL, welche den W. OLL gemeinschaftlich und bei O
und -4. rechte Winkel haben, folgt die Proportion:
VL:LL — ^6:L6; oder nach den obigen Erkl.
cos-° : i — i : sec«, folglich
i
sec « —-
L08 oL
H) Wegen der ähnlichen Dreiecke L66 und verhalt sich
OL : L6 — L6 : lVlL oder
LO : LL — L6 : M6 weil 6L --- Lv ist, oder
siu« : i — i : cosec---; folglich 1
cosec -L ^ __
sin ^
Ansatz r. Aus den gefundenen Ausdrücken, kann man nun die Secanten und Eosecanten durch die vier

— 269 —
Quadranten des Kreises vermittelst der Sinus und Cosinus angeben. Ist -- < und --- — igo°; so fin-
1 1
det man ssc O — «) ^ ---- —-
cos (^- — — cos»
r r
— — scc »; sec (----s-«) " - — -
cos — cos»
1 i
^ — scc »; Sec ( 2 — ») —-- — -
cos (2^—») cos»
— sec«. So kann man auch die Cosecanten durchgehen. Daher ist z. V. coscc (180° -j- 20)
-iu200°
--- -r- — cosec 20° wenn « — Lo° ist
— sirr 20°
Zusatz 2. Die Secante und Cosecante lassen sich auch durch die Tangente und Cotangente berechnen. Denn im rechtw. Q /VLL ist OL' —
(§. 126.), folglich 6L — nun ist
aber OL ^ scc«, rnn§ « und ^6 Setzt
man nun diese Bezeichnungen an die Stelle der vorigen ; so erhalt man ssc » ^ V(r -j- r-,n° »"). Aus denselben Gründen ist lVIO — -j-d. h.
es ist cosec « — -s- cot
Zusatz Z. Sind nun Secante und Cosecante eines Bogens » bekannt, so laßt sich auch umgekehrt aus jener die Tangente und aus dieser die Cotangente finden. Es ist sec » — l/( I U- tuiiA »2) oder sec — r -j- tsn§ folglich t»NA — sec — 1 und tairg »
— v(sec«- — 1). So ist auch cod» — v^cossc»^— 1).
Anmerkung 1. Die weitere Bestimmung der Grüße und des damit verbundenen Vorzeichens des SinuSversug, laßt sich aus dem Cosinus leicht beurtheilen. Ist < 90°;

270
so ist ^ 6 — sin V.« —6 — 611 — l — ooz L — 1 —
— -in--^), weil cos-- — v(r — sin-2) (II). c)st L — o, so ist si-iv.-- — i — i —c>; ist -^-90°, so ist -inv.9o° — l — co- 90" — i —>o—i. Für -- > 90° und < igo° jst -luv.-- — 1 — (— co5-) — 1 -s- cos-, also 1; für - — igo° aber, ist sin v. - — 1 — cos igo° — 1 — (— i) — 2. Für -- > igo° und < 270° jst 5in v. «
— r -f- co» - und für -- — 270° — I -s- 0 I. Jst endlich -- >270° und < 560°; so erhält man sinv. — i—cos«, undift also < 1. Die Sinusversu« wachsen also im ersten und zweiten Quadranten, nehmen im dritten und vierten Quadranten ab, verschwinden bei 0° und z6o" und bleiben in allen vier positiv.
Anmerkung 2. Auf gleiche Art lassen sich die Werthe des CostnueversuS (iinns ver5ii» coinplenionri) beurtheile» und festsetzen. Auch siehet man aus der Vergleichung der Bogen mit ihren trigonometrischen Linien, das; auf eine der gedachten Linien mehrere Bogen bezogen werden können. So. z. B. gehört zu dem Sinus von gc>°, der Bogen von zo°, izcck, von rio, von zzc>° rc.
Anmerkung A. Nimmt man bei den algebraischen Rechnungen, auf Verhältnisse zwischen Sinus, Cosinus, Secante, Cosecante, Tangente, Cotangente aus dem Halbmesser, Rücksicht; so kann man sagen: eine gegebene Größe durch den Sinus, Cotangente dividiren, ist eben so viel als die gedachte Größe mit der Cosecante, Secante, Tangente mul« tipliciren und so auch umgekehrt. Will man aber bei den verschiedenen arithmetischen Operationen, den Halbmesser oder dessen Potenzen wieder herstellen, wie doch eigentlich tanA-.cor — r' ist; so darf man nur in allen Gleichungen darauf sehen, daß die darin vorkommende» Glieder, ohne Rücksicht ihrer Coefficienren, bis auf eine gleiche Anzahl Dimensionen steigen und die Gleichung dadurch homogen werde. Diese Bemerkung wird uns überall sicher leiten können, um in allen Fällen den weggelassenen Halb-

271
mcffcr oder dessen Potenzen in die Rechnung einzuführen. Wollte man die Gleichung gx- — 4 >° ch 2 — g durch den Halbmesser homogen machen; so ist zx^ 41^2 -s- 2— gr^. Hat man die Gleichung
sii>«2 cos/g — ta«A «, so wird diese sin«^ 00s/S r-r-iriA«. So läßt sich der Halbmesser in allen Gleichungen und auch in der sphar. Trig. (ga.Anm.) weit leichter bestimmen.
Aufgabe. Aus dem gegebenen Cosinus eines Bogens, den Sinus und Cosinus seiner Halste zu berechnen.
Man beschreibe (Fi'g.Z.) mit einem zu dem gegebenen Bogen gehörigen Halbmesser ^.6 — 1, den Halbkreis H.LV, theile den Bogen — « in zwei gleiche Theile; so wird auch die dazu gehörige Sehne halbirt sein und^L — LL wird der Sinns von Llss — st«, d
dessen Cosinus b. i. cog und 6L der gegebene Cosinus des Bogens -2 sein. In dem rechtwinkligen Q
0 verhalt sich nach (§.77. Zus. 9.)
I) d. i.
^0—66:2LL^2LL:2 oder das LkeVerhaltn.: 2 ^.6 —L6-2LL —LL-,
1 — cos2 8 ir»^«^sin^-«: 1 d. i»
2 sin st 1 — 00s «
II) Verhalt sich
6V:LI)^LV:0^ d. i. weil L0---2LL —2d 6 e -st ev: 2 6 L 2 d: 2 oder das 2te Verhältniß: 2
§. iZ.
ix(^)

66-j-6v:26k^-6iv : I d. i. nach obiger Bezeichnung
i cos «: 2 co3 ^ cos ^ ^
, /'l -I- c 05
Anmerkung. Man hak verschiedene Auflösungen dieserAuft gäbe. Einige Maihcmaiiker haben selbige vermittelst einer vermischten quadr. Gleichung aufgelöset, wieLacroix ins. ebenen Trigonometrie (§. 12.), andere, wie Euler leiten sie aus (15.) her. Die obige Beweisart ist von derjenigen, welche andere Schriftsteller befolgen, verschieden und scheint Mir wegen ihrer Simplicität, die einfachste zu sein. — Uebrigens kann man vermittelst dieses Salzes, eine Reihe von andern Sinus und Cosinus berechnen, indem man aus dem gefundenen Cosinus, immer den Sinus und Cosinus seiner Hälfte herleiten kann.
Beispiel i. Wie groß ist der Sinus und Cosinus eines Bogens von 15°, wenn der Cosinus eines Bogens von zo° mit dem Werthe der 1/^ übereinkommt? — Es ist 1) -in 15° —
(i—' 2 —^ 1/6-41/2 — (41/6-1/2).
Nun findet man aber 1/6 — 2,4494897 und 1/2 — 1,4142126, folglich ein 15° — 0,2588190. 2) Ist cos 15° —
5^(6 ch r/2) — 3,8657055: 4 — 0,9629-58.
Beispiel 2. Wie groß ist der Sinus und Cosinus von ch/, wenn cos?- ^-gefunden worden ist. Es ist i) ^
3
-l/(-^V- -
2) Ist cos L/ — (ich ^ : r —
V(r

275
(i — Man sehe sphärische
Trig. (i2Z. II).
Zusatz i. Betrachtet man nun den halben Bogen als einen Ganzen; so wird der Ganze, der doppelte Bogen vom halben, d. h. setzt man /S; so ist ^ —2F und schreibt man diese Werthe in die obige Aufgabe, so ist
. . -> — cos 2/Z)
1 ) sm /S ^- - UNd
2
. ^ //'r -f- cos 2SX
2) cos ^ s-—H---
Zusatz 2. Es ist also 2siri/s^ — i — ^os und 2 cos iS' — i -j- cos 2/Z; folglich 4 süi cos tl — cos2^S)^ sin 2,s"; folglich S1N2/Z 2 süi /S. cos /S.
Zusatz Z. Es ist auch tsn^^s^, folglich tanZ/S
SIN -s
cos
^(7
cos 2/s
1 -f- cos 2,3 cos 2/S>
>s
-f- cos 2^L>
§. 16.
Lehn saß. Aus der gegebenen Summe und Differenz zweier Größen, die Größen selbst zu finden.
Es sei 8 die Summe und v die Differenz der gegebenen Großen -V und L; so ist die größere ^ ---
- ^ ^ und die kleinere L — --—. Diese Aus-
2 2
drücke aber werden gefunden, wenn man für ^ die
halbe Differenz zur halben Summe addirt und für L,
die halbe Differenz von der halben Summe abzieht.
S

— 274 —
H. 17.
Aufgabe. Aus den Sinus und Cosinus zweier Bogen, den Sinus und Cosinus der Summe beider Bogen zu finden.
Man kann sich von der Richtigkeit dieses Satzes, welcher die Gründe vieler trig. Berechnungen enthalt und von sehr ausgebreiteten Folgen ist, sehr leicht überzeugen , wenn man sich die Figur mit den zugehörigen Linien verzeichnet, selbige mit den ihnen zukommenden trig. Nahmen belegt und die bekannten und gesuchren Stücke gehörig von einander unterscheidet.
Sind demnach die Sinus und Cosinus der beiden Bogen ^ und L gegeben; so ist
I) sin -s- L) " sin ^4 cos 6 -s- cos ^4 sln II und
II) cos -f. II) ^ cos ^ cosll — siii ^4 sin L.
Es sei in (Fig.4.) der Bogen 6>6 mit dem Halbmesser VL — i beschrieben worden, ferner sei der eine Bogen VL—der andere 6 6 — L, 'deren Sinus und Cosinus XL, 6 6, LL und 6L gegeben sind; so wird 6>6 die Summe von ^ und L, folglich (I I und IL der gesuchte Sinus und Cosinus, aus den vorigen Stücken, zu berechnen sein. Endlich ziehe man des Beweises wegen 6d.I und 1.0 aus 1. senkrecht auf 61 und 6L, so wird man die gedachten Linien 61 — 60 -j- 01 und 16 ^ XL — XI auf folgende Art bestimmen können. Es ist nehmlich 660 (117.) c<> 6611 1116 wegen der
rechten Winkel 6 60 und NIL und der gleichen Ver- ticalwinkel bei N und NIL 6NL. Alfo verhalt sich

275
y L6:6lc^66:6N und 66:6L —66:60 i: sin ^5. — cos 6:6 AI i : cos ^. — siir 6:60
6AI—sii»^. cosL^Ol 6 O — siirL. cos
Es ist aber 01-s-O 6 — 61 — sin(^,-s-6)
folglich siu (rA -s- L) — Stil rA cns L -s- cos ^ siir L.
II) Verhalt sich, weil Q 660 <>> 6AIL 666. ist, 66:66. --a L6-6AI und 66:6L ^ 66:60
l : cos-4. r^: cos 6 : 6AI i : sin^. — sinL : 6 O
6AI — cos ^.. cos6 60 — siir rA.. «irr L.
Es ist aber 6AI —All —16 —6AI—-60 —cns (tA-j-6)
folglich cns(^--j-L) — aos^..cosL— siii^.s'm6.
Betrachtet man nun L als einen negativen Bogen; so ist sein Sinus negativ und sein Cosinus positiv (6.). Hieraus folgt nun, daß
III) Stil ^ — L) — sirre^. cosL —cos-A. . sittL und VI cos — 6) — cos^.cosL-^süe^e . «in6.
Anmerkung. Aus diesen vier Grundformeln fließt eine große Menge anderer Lehren und Formeln, selbst die Sinus und Cosinus derjenigen Bogen nicht ausgeschlossen, welche Vielfache von andern sind. In der Folge sollen die merkwürdigsten Ausdrücke davon angeführt, so wie hier einige aus dem Hauptsätze unmittelbar hergeleitete Folgerungen aufgezeichnet werden.
Zusatz i. Aus dem oben erwiesenen Satze folgt nun, daß
r) sin -j-L)-j-sin —- 6 )2 sru . cos 6
2) siii (t^-j-L) —siii (H. — 6) 2 cos ^. siir 6
Z) cos L)-f-cos — L) — L cos^.cosL
4) cos —L) — cos (-A-s-L) — 2 siir.siirL
sein. Die erste und dritte dieser Gleichung ensieht
S 2

durch die Addition und Subtraktion der bei (I und II) wie auch der bei (HlundlV) angeführten Gleichungen. Die Zte durch die Addition der bei (III und IV), die 4te aber durch die Subtraction der bei (III) von der bei (IV).
Zusatz 2. Aus den im (Zus. i.) gefundenen Gleichungen, lassen sich verschiedene andere ableiten. Und wenn man —«und ^ — L —folglich
2(«-j-F) und U — /Z) (16.) schreibt; so erhalt man
i ) sin « -f- sin /Z — 2 sin 4 (-» ch- / 3 ) oos 4 (« — <2)
2 ) sin « — sin /3 — 2 cos 4 (sln 4 ( « — /Z)
Z) cos «-s-cos /Z — 2 cos ^ (« -s- /Z) cos 4 (-« — / 3 )
4) cos /S — cos »
sin 4 « -ch /S) sin — ,s).
Dividirt man nun die erste Gleichung durch die andere; so erhalt man
sin « sin /3 _2 sin 4 (-» -s- -s) cos -x (« — ^)
(§. 20 .)
sin « — sin ^ 2 cos 4 (« -f- /Z) sin 4 (°° —
— tklng4(«-s-^).coi: 4 (« — ^) (l2 U. iZ.)
_ WNA' 4 («^^)
tLna-
oder
sin » -f- sin ^: sin « — sin /Z — Nin§ 4 (« : N>nZ 4 («—B)
d. h. die Summe und Differenz der Sinus zweier Dogen, sind den Tangenten der halben Summe und Differenz derselben proportional.
§- i8.
Aufgabe. Aus den Tangenten zweier Bogen, die Tangenten und Cotangenten der Summe und Differenz dieser Bogen zu berechnen, i) Man bezeichne die beiden Bogen mit « und /?,
sin(«-4-/3)

277
2 )
:)
5 )
«in-» . cos/3
cos-- . KlN/S
cos-» . cos^ — sin-» . sur/3 sin -». cos ^ cos . sin ^
cos-».cos^ cns-i.cos/3
( '?.) —
L1N SL
cos * . L 08 /3 609 ar. LO8 /S
4 )
«IN /!
cos/3
»in«. sin/Z
cos-». cos/Z cos-». cos ^
WNA-» -s- WNA/Z
cos-». cos-s
Daß die Brüche bei 2 und 5
1 '- WNA . t-INA 4
einander gleich gesetzt werden können, folgt daraus, weil Zahler und Nenner durch dieselbe Größe, nehmlich durch cos-». cos/Z dividirt worden sind. Aus dem Bruche bei Zi entsteht der Bruch bei 4) indem hier die im Zahler und Nenner einander aufhebenden Theile wegelaffen sind.
» ^ r—tA°».t§/S
rsnZ(-»-j-/;)
— WNAiS
rg-»-^-tA/Z
Der Beweis
II) Es ist cor (-»-^)i
III) Ist wn§ (-»-/;):
i -s-N>no-» . WNA/S
wird vollkommen so wie bei (1) geführt.
^ . 1 1-l-tSN§°».WNK-S
11 ^ Eslsicors-»—-L-—.
tgNA(-»-/Z) wng-» - >3NA /S
Zusatz. Setzt man nun -» — 45°; so wird, weil ranZchzo— r, die Gleichung bei (l) t2n§(45°-ch-
1 -j- WNA/g 1 - tLNA-S
, sin/;
^ ^« cos/3
sin /3
cos/3-s-sin^ cos/3— sin/3
II) wn§(45°—/Z) —
III) cot(45°-s-/Z)
IV) cor(45°—
cos/3
cos^ — sin/3 cos /Z -s- sin /S cos^ — sin-S
nach denselb. Regeln.
cos^ö -s- sin/3 cos/Z -s- sin/3 cos-s — sin/-
UNd

Dritte Abtheilung.
Von den Auflösungen der Aufgaben geradliniger Dreiecke.
§. 19 .
an alle Aufgaben geradliniger Dreiecke die Bedingung geknüpft ist, daß unter den bekannten Stücken, allemahl eine Seite sein muß, so lassen sich die Falle leicht angeben, welche bei der Auflösung ebener geradliniger Dreiecke Statt finden können. Aus den Winkeln allein kann man zwar nicht die Größe, wohl aber das Verhältniß derselben gegen die Seiten des Dreiecks bestimmen, und Liese Bestimmung ist so wichtig, daß alle trigonometrische Untersuchungen über die Ausmessung der Dreiecke, selbst jene sinnreichen, dem ersten Anscheine nach, unmöglichen Aufgaben nicht ausgeschlossen, vermittelst welcher die unzugänglichen Entfernungen auf der Erde, die Größen und Entfernungen der Himmelskörper rc. berechnet werden können, lediglich auf diesen Satz gegründet sind. Die hier vorkommenden Falle lassen sich auf folgende Weife unterscheiden. Die drei gegebenen Stücke sind
I) entweder Seiten und Winkel, oder
II) Seiten allein. In jenem Falle sind unter den gegebenen Stücken wieder
,) entweder eine Seite nebst zwei Winkeln; oder

2?9
r) ein Winkel nebst zweien Seiten enthalten. In diesem Falle kann der Winkel a) einer der beiden gegebenen Seiten gegenüber liegen; oder
d) er kann von denselben eingeschlossen sein.
H. 20.
In jedem Dreiecke verhalten sich die Seiten, wie die Sinns der diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel.
Es ist hier zu beweisen, daß sich (Fig. .6.)
LL — sin6:8ln^ verhalt. — Man ziehe durch die drei Winkelspitzcn L, 6 des Dreieckes den Kreis H.LL. Aus seinem Mittelpuncte lasse man die bis an den Umfang in L und k verlängerten Perpendikel OL, O k', auf die SeitenLL desherab; so sind die Seiten und L6 zugleich Sehnen des Kreises, welche, wie die ihnen zugehörigen eben so bezeichneten Bogen durch OL und Ob' halbirt werden (§. 66.). Zwei Seiten aber verhalten sich allemahl, wie ihre Halsten. Folglich ist^R ^ Nun ist aber die halbe
Sehne des Bogens oder 2LL d. i. der Sinus des Bogens LL oder des von diesem Bogen LL gemessenen Winkels LOL — -K6L — 6 (H. 129.) d. h. es ist —sinO (Z. Zus.i.). So ist auch — Schreibt man nun diese Ausdrücke in die vorige Proportion, so erhalt man
: L 6 — : sin Aus gleichen Gründen ist
L 0 : " 8in^. : sinL, folglich auch
— sinL : snaU.

— LZo -
Zusatz i. In jedem rI wle^.L6, ist der Sinus eines Winkels H, allemahl so groß, als der Sinus der Summe der beiden andern Winkel L und 6. Denn es istb>-j-6— igo^—folglich 8in(L-j- L. — siii^(io.).
Zusatz 2. Bei einem rechtwinkligen Q (Fig. 6. dürfen, weil der rechte Winkel bekannt ist, nur zwei Stücke, wovon aber wenigstens das eine, eine Seite sein muß, gegeben sein und mit Hülfe des angeführten Satzes kann man aus der Hypothenuse VL — c und einem der spitzen Winkel die beiden lothrechren Seiten L6 — a und ^0 — l- des rechtwinkligen berechnen; nur muß man bemerken, daß sin. wt. zur Erleichterung der Berechnung allemahl — i gesetzt wird. Es ist nehmlich
I) k^csiii^t und II) d —ccos^. Es verhält sich
a : L —
8in^ :
oiir.tot
Folglich
I) » ^
: c8in^. So verhalt sich auch
: L —
«IriL :
I. Es ist aber
-j- L
— 9 »°,
folglich
sink —
co8^ (4. Zus. 1.)
k : e —
:
1
ii) b —
cco8^..
Beispiel. Wie groß sind die lothrechten Seiten - und b im rechnn. wenn die Hypothenuse c — I914 und /.H.
— 27°,^ beträgt? — Man nehme für die Berechnung die erste der obigen Gleichungen, nach welcher » — csin^, oder mit
Rücksicht auf den Halbmesser der Tafel» i-, — ^ ist. Davon ist die log. Gleichung loga—lo^pIogsln 4 . — 10. Die Berechnung davon ist folgende: es ist

loge — log 5914 — 3,59-6203 log »in 4 . log »in 27°!^ — 9,66074 59
15,-533667
log »in. tot. rsii — 10,
loga — 3,-555667 — ^ 8 - 79 - beinahe, folglich ist 2 — 1792. Den Werih für d findet man aus der
c.co;^
zweiten Gleichung nach welcher 6 — -—— ist; oder es tstverr
mittelst der Logarithmen
logo — lv 839 i 4 — 3 ,S 9 - 6 :o 3 1ogcos,V — log 00327°!^ — 9,9489101
I 5 , 54 IS 3 °S
log . »in. tot. tatz — 10,
logb — 3,5415309 — lox 3479 beinahe.
Zusatz Z. Waren in dem rechtw. ^L6 die beiden lothrechten Seiten L6 — und 222 d gegeben; so ließen sich hieraus die spitzen Winkel und L berechnen, aus deren einem, schon der andere bestimmt wird, weil ihre Summe 90° betragt. Es ist aber
rairZH, — —. Denn es verhalt sich b
I) : s — siriL : sln^.; es ist aber sinL — cos^., folglich
lz : u 2^2 00s tV : sin.^
— 222 ^ 222 tur>Ai!r ( 12.). Auch ist — —
l> cos ^ d
cotL, weil — cotL (Z.) ist.
Beispiel. Wie groß ist der spitze Winkel wenn
rr
a 17/^ und K — 161^ betrage? — Es ist tkuiA-L ^ oder
^--—, oder vermittelst der Log. loZ errnA^. i- -i- loZ a
0

— logb. Man findet aber
1oA.sin.lor.trb 22: 10,
loxr — log i ?43 — 3,24:5414 13,2425414
1o§b — log 1675 — 3,2240148
lozrrnA^ — 10,0185266 — IoAlrnA46°r^, folglich^ -- 46°2< und L — 92° — 46°2> — 4z°53'.
Zusatz 4. Man kann nun die trig. Linien eineS rechtw. ^ sehr leicht durch dessen Seiten ausdrucken.
Es ist nehmlich 1) «Üii 4 ^2 —; 2) cosi 4 222 —;
c c
Z) tanA^— —; 4)cc>t^ — —; Z) soc^ — — und b , b
6 ) cosec 14222 —.
L
Zusatz 5. Sind die Winkel in einem Q sehr klein, so kann man, ohne merklichen Fehler, anstatt der trigonometrischen Linien, die Winkel selbst nehmen. In diesem Fall heißt die im Satze angeführte Proportion 14 L : LO — 0 : 14 .
Zusatz 6. Jedes rechtwinklige /O, laßt sich als die Halste eines gleichschenkligen betrachten, worin die halbe Grundlinie durch die eine und der von der Spitze auf die Grundlinie gefällte Perpendikel, durch die andere lothrechte Seite, vorgestellt wird. Daher kann man aus den bekannten Verhältnissen rechtwinkliger Dreiecke, die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks entwickeln. Es sei (Fig. 7.) das gleichschenklige worin das rcchtw.
14 00 — zi 40 L 140 — 4 i 4 L 222 4 b 140 — b und
1400 222 4 i 4 0 L 222 st jst

2L3 —
1) sin^.L6 — siri -I-r — —— " -— — (Aus. 4.)
av (i lt Lll
2) ll — -^- und
2 siii
Z) d — 2lisii^--. Diese drei Größen, 3, I, und « stehen in einer solchen Verbindung mit einander, daß man aus zweien allemahl die dritte finden kann. Sind also die Seiten des Dreieckes gegeben, so lassen sich daraus die Winkel und aus einem Winkel und einer Seite, laßt sich die andere, berechnen.
Beispiel. Wie groß ist der «, wenn die Seite ^6 — K — isZ°; ^,0 — — — 96° angenommen wird? —>
r
Hier ist rin^LO — rin^<» — — oder logrinx» — loAxb
r — loAL ^ 10^96 -s- 10 — IoA!28> Es ist aber lox^b — loz 96 — i,9gr-7ir IoA rin eoe r»b — io,ouooono 11,9822712 lo^il — looiieZ 2^ 2 ,iv 7 'icx)
Io»j« — 9,8750612 — Iog48°35', folglich « — 97°io^ beinahe.
Anmerkung i. Auf die Eigenschaften des gleichschenkligen
gründet sich auch eine Methode, Winkel auf dem Papier zu messen—und auf dem Felde gemessene Winkel zu zeichnen, die sicherer ist, als das Verfahren vermittelst des gewöhnlichen oder des geradlinigen Transporteurs. — Einen vorgegebenen Winkel mißt man auf folgende Art: Man gibt beiden Schenkeln aLL und L6 eine Lange von 1000 gleichen Theilen, nach dem verjüngten Maßstabe. Dann mißt man den Abstand 2V L, nimmt dessen Hälfte und sucht aus den Sinustafeln, welche Ziffern mit dem für gefundenen Werthe übercinstimmc». Den, mit dieser Zahl zusammengehörigen Bogen, doppelt genommen, gibt die Größe des W. an.

— 2 84 - —
Zum Auftragen eines gemessenen Winkels, nimmt man die 4 oder Z ersten Stellen von dessen Sinus doppelt, macht ^6 — ioon, beschreibt mit aV6 eine» Kreisbogen, zeichnet die Lange der durch die drei ersten Ziffern bestimmten Sehne aLL, nach dem verjüngte» Maßstabe in den Kreisbogen; so wird L6^, der verlangte Winkel sein.
Anmerkung. L. In gleicher Absicht kann man sich des rcchtwinkl. ^ bedienen. Ist -L6V der gegebene
Winkel, so nehme man -L.L — 1000, lasse 6 6 senkrecht auf aVL, messe wie viel von den 1000 Theile» in 6 6 enthalten sind; so ist diese Zahl die Größe des zum 6^6 gehörigen Sinus, durch welchen man den Winkel selbst findet. Es sei z. B. 6 6—Z.jg; so ist der W. 2o°2<^—ogft Soll man von L. aus, einen von auftragen; so
ziehe man durch .4 die mache ^.6 — 910, errichte aus 6 einen Perp. 66, mache 66^0414; ziehe ^6, so wird 6L6 L4°L(st, ^6 sein Sinus und tL6 sein Cosinus sein.
§. 21.
Aufgabe. Zwei Winkel nebst einer Seite eines Dreiecks sind in Zahlen gegeben; man soll den dritten Winkel und die beiden übrigen Seiten durch Rechnung finden.
Es sei (Fig. g.) L8 6 das Dreieck, dessen Seite — c, und dessen Winkels, und 8 bekannt sind; so ergibt sich aus diesen Stucke» der Aufgabe zugleich die Grösse des dritten W. 6 igci° — -j- L). Daher kennt man, außer der Größe der gegebenen Seite und den beiden gedachten Winkeln, den dritten, der bekannten Seite gegenüberliegenden Winkel. Daher lassen sich nach (20.) zwei Proportionen dergestalt anordnen, daß in jeder, die eine der gesuchten Seiten, das vierte

285
Proportionalglied werde. Sucht man nun einen Winkel,
so fängt man die Proportion mit einer Seite an, sucht
man aber eine Seite, so fangt man die Prop. mit einem
Winkel an. Es verhalt sich demnach im
«in 6 : L — Lin^. : n und
siriO : c — siriL : 8, folglich ist
Beispiel. Im A sind nach Vorschrift der obigen Ausgabe eine Seite und zwei Winkel gegeben, nehmlich c—648" ^ — 55°Zä^ und L — 6i°2^; wie groß sind die übrigen Stucke des gedachten ^ -^ 116 ? — Es ist 6 — >60° — (S 3 ° 33 ' -i- 6i°25') — 180° — r> 5 ° 3 ^ — S 4 ° 5 ?'- Druckt man nun die bei (I und II) gefundenen Gleichungen durch die Logarithmen der gegebene» Zahlen aus; so hat man
I) log» — log 64g -f- log-in 55-25' — log ein 6405/ und
II) log8 — log648 -f- log «1061-25' — logslii 64 ° 5?8 Die weitere Berechnung beider Gleichungen steht nun so:
I) 1og648 — 2,3115750 II) log648 — 2,3115750 log sin 55-58' — 9,9059247 log -in 61-25' — 9,9435549
log-in 64-57' —9^9570988 Iog8iii 64-57' — 9,9570988
Aufgab e. Aus einem Winkel und zweien Seiten, deren eine dem gedachten Winkel gegenüberliegt, die dritte Seite nebst den beiden übrigen Winkeln durch Rechnung zu finden.
Es sei (Fig. 8.) die Seite -5.L ^ c, LO »
c. sin IL
sinlü
c. sinL
22,7174997
22,7551299
log» — 2,7604009
log 8 — 2,7980511 — log 628,1 folglich 8 — 623,1.
— to 857 Z »9 also
— 575 , 0 -

286
und der der Seite s gegenüberliegenden Winkel — so sucht man die Seite ^.0 — b und die Winkel S und 6. Nun kann man zur Anst. dieser Aufgabe derr Satz aus (20.) unmittelbar anwenden, zu Folge dessen sich 2 : c ^ sin^, : sint) verhalt, folglich ist
I) s!n6 -- - Nun erhalt man
a
H) 180° — und nach (20.) verhalt sich
wieder sin^. : sinL ^2:8 folglich
LI) b ---
sinV^.
Anmerkung. Dieses würde der Mang der Rechnung sein, wenn der gegebene Winkel stumpf wäre, oder wen» man von ihm wühle, daß er > 6 ist. Im entgegengesetzten Fall, wo man dieses nicht wüßte oder wo er < L wäre, wird diese Aufgabe unbestimmt sein, d. h. die Auflösung gibt einen doppelten Werth und man weiß nicht, welcher von beiden derjenige ist, der eigentlich verlangt wird. Sind die bei, den Seiten c und » und der W. ^ gegeben; so erhellet es schon aus Gründen der Geometrie, daß sich aus den Daus nicht allein das^ ^Fig.g ) sondern auch das A verzeichnen laßt. Folglich bleibt es hier uncnl,
schieden, ob die Verzeichnung dieses oder jenes Dreieckes verlangt wurde.
Wollte man nun versuchen, ob nicht die Trigonometrie Hülfsmittel darböthe, diese Zweideutigkeit zu heben; so würde man unfehlbar, wie oben geschehen, den Winkel 6 durch Rechnung zu bestimmen suchen. Nun ist zwar im bei L ein spitzer nehmlich und im andern ^ aViZ O bei 6^ ein stumpfer /. nehmlich ^l>L, allein diese Winkel sind zwei einander zu >8»° ergänzende Theile und solche Winkel haben einerlei Sinus ( 10 .). Daher laßt sich auch auf diesem Wege nicht erkennen, ob der stumpfe oder spitze Winkel genommen werden muß.

267
Auch gibt es noch einen andern Umstand, der bei der vorläufigen Prüfung, wie die gegebenen und gesuchten Stücke von einander abhängen, erwogen werden muß. Die Aufgabe wird unmöglich, wenn die dem gegebenen entgegengesetzte Seile a nicht nur < c d. h. als die bekannte an ^ anliegende Seile, sondern auch kleiner, als der aus U auf ^6 herabgelassene Perpendikel LO ist. Da
e. sInL,
aber dieser Perpendikel allemahl — —-— ist und dieser
Ausdruck lauter bekannte Größen enthält, so läßt sich über den gedachten Punct leicht entscheiden. — Aus diesen Betrachtungen ergibt sich nun folgendes Resultat.
Ist die gegebene Seite - — L6 <-, so ist
r
dle Aufgabe unmöglich; ist hingegen LL > ---,
und zugleich so ist die Aufgabe zwar möglich,
aber unbestimmt; ist endlich L6 > so ist die Aufgabe möglich und bestimmt. Denn nun weiß man, daß der gesuchte Winkel kleiner, als der gegebene ist, weil der größcrn Seite ^6, der größere Winkel gegenüber liegt. In diesen drei Fallen wird nehmlich angenommen, daß der gegebene Winkel ^ spitzig und der Seite L<g entgegengesetzt ist. Sollte man aber bei der Prüfung der gc- ^ L. »in ^
gcbcnen Seile, L L ——-gefunden haben; so wäre
dieses ein Beweis, daß V6 und Lv zusammenfallen und das Dreieck L ein rechtwinkliges sein müßte.
Die oben gedachte Zweideutigkeit des Winkels bei 6, hak, so lange sie nicht gehoben ist, auch auf die Bestimmung des dritten Winkels R und der dritten Seile d allemahl Einfluß. Die Rechnung gibt nehmlich oder je nachdem der eine oder der andere Werth des Winkels bei L oder gebraucht wird. In der Ausübung macht dieser Umstand keine Schwierigkeit, weil sich aus den damit

238
verknüpften Umständen leicht beurtheilen läßt, ob der Win, kcl bei 6 spitz oder stumpf sei.
Beispiel. Es sei in der obigen Aufgabe die Seite » 8g5°, 8 — 62z" und der W. — 2g°io>; wie groß sind die beiden übrigen Winkel L und L und die dritte Seite ^6 — 8? — Man suche nun aus der bei (I) gefundenen Gleichung den
^,6; so ist diese Gleichung sind ——durch Logarithmen
ausgedruckt logsinO — loge -s- logsin^ — log», deren Be, rechnung auf folgende Art zu stehen kommt. Es ist logo — log 895 — 2,95-8230 logsin^ — 1oASinL8"lL' — 9,,744485
12,6262715
1oA!l — 10x625 — 2,7944880
logrinL — 9,8317835- Allein der Sinus die, ses Log. gehört so wohl zum L von 42045' beinahe, als auch zu einem W. 6/ von -57°i5'. Nimmt man nun jenen Werth; so erhält der W. L aus (II) in der Aufl. eine Größe von 10905', im andern aber, wenn L — 157° 15' wird, eine Größe von >4°Z3'>
Die Gleichung bei HI) 8 — - ist durch Logarithmen
SIII ^
ausgedruckt Iox8 — Iox.i 4- loxsiiii; — loxsiniL. Es ist aber lox.i — IoA 62z — 2,7944880 logsinL — 1o§sin7oi>5l^ — 9,9755394
12,7700274
loAsilll^ — IoAsin28°I2t — 9,6744485
loxL.6'— 1ox8 — 3,0955789—10x1246 beinahe, folglich 8 — 1246°. Nimmt man aber für den W- L den an, der» Werth, so ändert sich in der obigen Rechnung der L, folglich auch dessen Logarilhme und es ist loga — log 6-5 — 2,7944880 loxsinD — log sin 14^55' — 9,4000625
'2,1945505
logsiiilL — 1ogsin23°i2' — 9,6745485
Iog2LL' — log8' — 2,5201020 —loAZZi,!, folglich ist

289
iLO — 8^ — 551. Ist aber die Seite a — g-;6->, c —428° und der W. ^ — 59^46'; so findet nach den oben gemachte» Bemerkungen keine Zweideutigkeit Statt und die Berechnung dieses Beispiels vermittelst der Logarithmen ist folgende. Es ist dieGlei- chung bei (I) log 81116 — loge -i- loAsiu^. — loga, oder nach den gegebenen Zahlen Iog8in6 — log4s3 ch log 8111590461 —. I0A856. Man findet aber
loZo — log 4-8 — 2,651445g logsiniV — 1og siir Z9°46' — 9,8059510
r 2,4575948 loga — log 856 — 2,9524758
1ogsiii6 — 9,5049210—log siui8°Z9'beinahe, folglich 6 — i8°gch. Nun ist aus (II) L — 180°— (L 4- 6)
— 180° — 58°25^ — I2I°Z5^ UNd silI12l°Z5' — 811158^25^ (10.).
Die Gleichung bei (III) 8 — ^ ist, durch Logarithmen aus-
smL.
gedruckt, logl> — loga -s- logsiiiD —logsiniL und nach den gee gebenen Zahlen, — log856 -j- logsin58°25l — log 8i» 591461. Man findet aber
logn log856 — 2,9524756 log 8iu L — log ein 53°2Z^ — 9,9505781
12,8628519
log 8iu ^ — log 8iu 59046^ — 9,8059510
log 8 — 5,0569009 — log 1159, beinahe,
folglich 8 — 1159.
§. 2Z.
Aufgabe. Aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel eines Dreieckes, die dritte Seite nebst den beiden andern Winkeln zu finden.
Im (Fig. g.) find die Seiten 8, c und
der W. ikr gegeben und aus diesen Stucken sucht man die beiden übrigen Winkel L und 6 und die dritte Seite a — L6. Nach ( 20 .) verhalt sich
-T

b: c---slrr L: «in 6, hieraus folgt
—c—sinR-f-slnL: sinL—siirO; allein es verh. sich sinL-s-sinO: siirL—siri 6^ tA—6). Also
b>-s-c:d— c —t§^(L-j-L): lg^(L — 6).
Aus den drei ersten bekannte» Gliedern dieser Proportion findet man demnach das vierte d. i. 4(v — <^).
Es ist aber z(L-s-6) — — 90» —
2
Daher ist tlin§^(L-j-6) —tmrZtzo" — —col^H,
(8-). Setzt man nun diesen Werth anstatt tan§4(L-j-e) in die obige Proportion; so erhalt man 8-s-c: d — c cad^ : t->nA^(L — 6). Aus der halben Summe und Differenz dieser beiden Winkel, findet man durch deren Addition nach (16.) den größer» Winkel 8, und durch deren Subtraction den kleinern Kennt man nun die Winkel, so kann man die dritte Seite u durch die Anwendung des Satzes (20.) leicht berechnen.
Beispiel. Wie groß sind im ^ die beide» Winkel L und 6 nebst der drille» Seile kiL — a, wenn die Seile — c — 849°; -^0 — d — 1800° und der W.— z6°ZL' betragt?
Nach den Vorschriften der Aufl. ist die Proportion, nach welcher sich b -l- c : I, — c—cotH : tmiA — 6) verhall, d. i. durch die geg. Zahlen ausgedruckt
r8oo-j-849 : ^3oo — 849 —cotZsgliOZ^) : ta»g^(L — 6) oder "649 : 9Zr cotL8°il? : t.iiiAjsL — 6). Folglich ist
tsriAjlL—6)— — ^ —- oder durch Log. ausgedruckt, ist
2649
loxranx^sS — — loAgZl -ft loxuvt23°i6' — 10^2649.
Es ist aber

291
1o^(d — c) — I0A951 — L,978igoZ loAcoc^lL — IoAcoc2g°i6^ — 10,2694646
15,2476451
1o§(6 c) m 10^2649 — 3,4230820
IoA t.iiiA^(L — L) — 9,8245651 — log triiA Z5°4z' beinahe, folglich j (L —6) — 55045'. Nun war aber ^(Lfl-6)
— 6i°44', folglich ist der größere W. L c(L —6)
— 6,044' -ch 55045' — 95^27' und der kleines e — j(L ch> 6)
— z(L — 6) — 6i°44' — 55045' — 28°i'.
Aus diesen Winkeln kann man nun auch die Seite a berechnen und zwar aus der Proportion, nach welcher sinL-sin^ —
c.siiiiV.
c: .1, folglich Ist il — —1——oder durch Logarithmen aus-
8III 6 ,
gedruckt, ist IoA-i — lo^c -s- 1o°siii^ — logsinO, oder nach . den gegebenen und gefundenen Stücken lo^a m Io§849 fl- 1 oA-11156052' — IoA28°i'. Es ist aber 1oK<-— 1 c>K 84 s — 2,9289077 loAsiniL — I0A811156052' — 9,9212757
12,85»igi4
loA sin L — 1oA 8111230 l' — 9,6718463
loZa — 5,1785546 m I0A1507 beinahe, folglich L m LL m 1507. Diese Seite würde auch gefunden sein, wenn man anstatt des W. L und der Seite c, den W. L und die Seite 6 genommen und a auf dieselbe Art daraus hergeleitet hatte.
II) Es gibt von dieser Aufgabe mehrere Auflösungen, deren ich in meinen A. der eb. Tr. fünf angeführt habe. Bisweilen verlangt man die Winkel nicht, sondern man wünscht nur die dritte Seite aus den gegebenen Stücken zu berechnen. Weil Anfänger sich gemeiniglich mit einigen Salzen des Eukl. bekannt gemacht haben; so lege ich bei dieser Aufl. den izten Satz aus dem II. Buche zum Grunde. Es sei (Fig. 10.) das 1LL6, in. welchem die Seiten iILmc, 1L6 m 6 und der Winkel ^ bekannt sind und woraus nun die dritte Seite » m L6 gefunden werden soll,
T 2

2Y2
Läßt man nun aus I? einen Pcrp. Uv auf 46 lothrecht hera.b; so ist nach dem vorhin angeführten Satze 46 - -I- 4 L- — 2,4.6 . 41 ) -h L6- oder
L6- — 46 - -I- 4 L- — 24 . 6 . 4 O oder
s- b- -s- c- — 2 b. 41). Es ist aber
41 ) — 4 L.cosL 46 — cc»s 4 (20. Zus r.)
Folglich a- — b- -s- c- — 2bc cc>s 4 s — a/(b- -ch o- — 2 bccos 4 ).
Beispiel, a. Wie groß ist die dritte Seite a, worin die beiden andern b—-o, c — 16 und der von b und c eingeschlossene W. 4 , 6o° betragt? — Ist -4 — 6o°, so ist cos 4 — folglich -a — )/(b- -s- c- — 2bccos4) in Zahlen, — a/(roo-s-
256 — 2.10.16.^) — V(Zg6 — 160) — a/196 — 14-
Beispiel. 2. Wie groß ist die dritte Seite a, wenn die Seite b — 372,92°, <- — 529,6765° und 4 — 55-56' gefunden worden ist? — Hier ist -r — ^((575,92)- -h (529,6785)- — 2.529,6785.575,92 cos 55-56')— ^141515,946^089991-575,9200.
Zusatz 1. Ware 4 ein stumpfer Winkel, so ist 4 V — — c.cos 4 , folglich würde alsdann s — -j-2d c cos 4 ) sein.
Zusatz 2. Waren die drei Seiten bekannt, so könnte man daraus die Winkel berechnen und es ist
Zusatz Z. Ware cvs 4 — o; so würde /. 4 — IV und der Theil 2dccos4 — 0; folglich bliebe — l)- -s- c-.
cos4
2
2b> c
Zusatz. 4. Es ist lang 6
c. siia 4 b— 41 )
- Es ist aber cc>t 62^—-
c. siir 4
d—ccos 4
b — c.cos 4

293
-—-— cot^. Aus gleichen
c sin ^ c siii^
Gründen ist ccwL —-— — coe^, wo aber cot^.
s> 8U1 ^
das Vorzeichen -^- erhalt, wenn ^ >- 90° ist.
Anmerkung 1. Dieser Ausdruck ist besonders zur Berechnung der Winkes brauchbar, wenn nur das Verhältniß der beiden Seilen durch Logarithmen gegeben ist und vermittelst solcher Tafeln, welche bis auf 100000 berechnet sind, findet man den Werth des Nenners in 100000 Theil- chen und noch genauer. (Man vcrgl. Kastncrs geom. Ab- handl. I. Samml. S. 155.)
Anmerkung 2. In der Astronomie werden die beiden Winkel L und L außer dem drillen nur oft durch das Verhältniß der diesen Winkels einschließenden Seilen, wie in dem Falle, wenn man bloß die Logarithmen dieser Seiten hat, bestimmt. Die Gleichheit der homologen Winkel in zweien verschiedenen Dreiecken, gibt zwar nicht die Große derselben, wohl aber ihre Gestalt an. Dazu aber wird nur erfordert, daß in den gedachten Dreiecken ein Winkel von gleicher Große angetroffen werde, die diesen Winkel einschließenden Seiten aber proportional sein muffe». Aus diesen Bestimmungen ergibt sich nun die Aehnlichkcit der Dreiecke, und hieraus die Gleichheit der beiden übrigen Winkel L und 6. Diese Winkel können nun durch das Verhältniß der Seiten vermittelst folgender Vorschrift auf eine sehr einfache Art gefunden werden.
Man bestimme durch den Quotienten, welcher aus der Division der kleinern Seite durch die größere entsteht, eine Tangente, so sst alsdann das Product aus r" n A ( 45 — /s) in die Cotangente des gegebenen Winkels, der — 6 )
gleich; oder es ist rangr(x — 6 ) — tanZ( 4 Z—/?)
co r Z

294
Die Ausführung dieser Vorschriften, werde» folgende tteberleguugeu deutlich machen. Zuerst bemerke man, daß
ein achter Bruch, und also kleiner als i ist. Die Tan-
p
gcnkcn der von c> bis 45° wachsenden Bogen, sind alle zwischen den Grenzen von 0 bis 1 enthalten. Unter diesen wird auch ein solcher Bogen vorkommen, dessen Tangente
— ist. Bezeichnet man nun diesen Bogen mit /?, so ist ranx/z — ^
Dann lege man die in (I) gefundene Proportion zum Grunde, nach welcher sich verhalt I) c: b — c —t^(L-s-6): tAjchL—6) od. das erste Vcrh.: b
a 6) v. d. iste gibt
c
I -—rKz(L-l-6)-t^(L—e); — fi,rt° 5 gesetzt gibt
I-s-e) : — 6 ). Nun suche
man den Werth von ^us (gi 111). Hiernach
tL-r — tLL
,st kL(-- — — —---—. Es sei aber « — 45°, so
'st ^( 45 ° ^ /r) — ^ Weil aber ranA45°
r ch r§ 4 Z . lA/r
— 1 ist; so hat man rg(4g" — 5) — - — --— "2 Nach
i -t- rangs
dem Vorhergehenden ist aber
i — ranHß 0
i ^ ^
ia— v r — tansfl ^ ^ ^
; hier aber ist —--2. — taug (45° — §). Da-
d 4-
r 4- rangst

295
v — e
her ist mn» (4g — 5) — Aus der ersten Propore
lion aber folgt, daß
6) folglich —Nun war
b— c lan»4(r>—L) _
e
1 —
1 : -— ran»a(L->-6): ran» r(L— L) oder
1 - ^-— ^ r» 4 (L 4 - c) - l°^(R - 6 ) oder l> -s- c
r - > 8(42 — l-) — >84(^4- 6 ) - rA.r(l; — 6 ), folglich
r»n§4(L — 6) — -.§(45 — I))X rang 4 (8 4 ' L.
Da aber L -f- 6 4- ^ — -go°, folglich D -j- L ^ igo° —^ und r§4(8 -f- 6) — rZ(90° — 4 - 4 ) — coc z^. Also rang 4(8 — 6) — ran§(4Z — /;) . nvr 4 - 4 .
Nimmt man nun hier, wie im vorigen Beispiele, l> — igoo, c — 849; so berechne man hieraus erst ^ aus dein
angeführten Ausdruck rang ^ — -^-, ziehe /r von 45° ab,
und leite hieraus ran» 4(8 —( 3 ) — ranA(4z—/z).cor^^ mit Rücksicht auf den Halbmesser der Tafeln auf folgende Art her. Es ist
lo» n — lo» 849 4 - ro — 12,9289077 lo» b — 1o» 1800 — 3,2552725
so ist IoAtan»5 — 9,6736352 — 1o»2Z°!5> beinahe, folglich /z — 25°>Z>, also ist (45°^-^) — i 9 ° 4 S^- Es ist aber
4o»rai,»(45° —§) — Io»rauAi9°45' — 9,5551388 und 1oALvc§^ — 1o»cot28''r6> — 10,2694646
19,8246^4
10,0000000
1oAtanA^(2 —6) — 9,8246024 —
IoAtan8Z3°43', folglich 4 (^- 6 ) — 53 ° 43 '. Hieraus lei. tet man nun wie bei der vorigen Auflösung die beiden W. und die dritte Scire her.

Anmerkung Z. Bei der Entwickelung des obigen Ausdruckes
. l>
hatte man auch den Quotienten — — t->nA« setzen können;
qllcin in diesem Falle gehörte die Tangente zu einem der von 4Z bjs 90 Grade wachsenden Bogen. In der gedachten Absicht aber muß man bemühet sein, den Winkel -- oder ^ so genau wie möglich zu erhalten. Wenn aber die Bogen unter und über 45° um gleiche Theile zunehmen; so wachsen die Tangente» der ersten weit schneller, als der andern und in so fern fände man ^ vermittelst der Proportionalthcile genauer als 8. Man vcrgl. hiermit die igtc der KÜstncrschcn gcomett'. Abhandlungen in der 1. Sanil. S. iZg :c. Das ^ gibt das von Kaftncrn gebrauchte O und -- das daselbst von Rob. Andcrsvn eingeführte Ih nach welchem tangzftL—L) —»11^(8—45°). töUAjchL 4- 6).
§. 24.
Aufgabe. Aus den drei Seiten eines Dreieckes, die Winkel durch Rechnung zu finden.
Es sei ^.8L (Fig. II.) das Dreieck mit den gegebenen Seiten ^8 — c, 86 — b, 4c6 — 8; so sollen daraus die Winkel 8 und 6 gefunden werden.
I) Man beschreibe aus der Spitze, des der größten Seite gegenüberliegenden W., r.iit der kleinsten Seite L6 einen Kreis, welcher in der Entfernung von 8 6 durch die Puncte 6, 8 und 8 lauft und also die Seiten ^8 und ^6 in 8 und 8 durchschneidet. Nun verhalt sich, wenn man ^8 bis an den Umfang in 6 verlängert ^.6:^6 — ^48:^ 8. Dann lasse man aus 8 die 8 V senkrecht auf ^.6 herab, so wird 68 als eine Sehne des vorher beschriebenen Kreises durch 8O halbirt und ^8 6 in zwei rechtwinklige Dreiecke 8O^

- 297
und LV6 zerfallt. Nach der Verzeichnung ist L6 — iri? — L6, folglich
XsH -f-LO — ^L-f-LL — c-f-a UNd
^.k'^ — Lk'—-LL—L6 — c — 8. Schreibt
man nun diese Ausdrucke in die obige Proportion an die Stelle der Glieder und ^.O; so erhalt man
c : c -j- n 222 : c — n : c a . c — a
' , c c
^.L
Durch hat
man nun auch die Sehne LL ^ ^.6 — folglich auch LO — OL -- 4LL und ^.v — -s. Lv
gefunden.
Sind nun die gedachten Stücke berechnet; so kann man daraus die Winkel ^ und L herleiten. Es ist
nehmlich cos^
cosL
6O
LL
(Lo.Zus.Z.beis.)
und D !—> iHo — —s- 0).
Beispiel. Es sei a — 116°, d — 280° und 0 — 250°, wie groß sind die Winkel L uiid 6? — Hieraus erhalt man
346 X ii4
c -h a — 546, c — .1 — 114, folglich ist
Lgo
140,87, also LL — Lgo — 140,87 — 159,12, 53 O — DL — — 69,56 und — 140,87 4- 69,56 — 210,45.
210,45 60,56
Folglich ist c 08 l 4 —-und cosL —
oder durch Lo-
2Z0 2Z0
garithmcn ist lozcoe^ —1vA2io,45 4- 10— I0A250 und Io»ec>8 6 10^69,56 4- 10 — lo^LZo. Es ist aber 1) 1oZ2io,4g 222: 2,5251077 und 2) 10^69,56 — 1,8423596
1og2Z0
12,3131077
2,3617278
11,3425596
2,3617278
loA00S^— 9,9613799
—lA22°58^uahe,
folglich^ —22°586
lOA 250 1o»cos6 — 9,4806518
—lA 72 ° 24 ^nahe, folglich 6—72°24^.

Also L — 180° — — iZo»—(-2°Zg, 4-72-24')^
iLo° — 95°2L' ^ 84°Zg^.
auflösen. Es ist aus (25. II) Aus. 1.) cosH. —. Es ist aber
sin^.^1/(i—cos^?) (Zus. II.) —V(i-s-cos^) (1— oos^).
d'-s-c- —
Nun isti-s-cos^.—
-—!-!-— d—!—--Setzt man nun
2bc 2l>L
d-s-c — 111, folglich (d-j-c)' — so ist i--j-cos^—-22^—!-Schreibt man aber
2dc 2l>L
d-s-c wieder fnr iu, so ist
Es ist aber auch
2dc-^L')^'—(I,—c)'
Setzt man nun d — c — n, so ist
. s'-3-i-N.L-n ^
I—co8^ —-——!-Schreibt man nun
V folglich ist
1-4-008^. 1—cos^.
und V(^ -s-cos-^ . 1—cos^,)

299
(n-j-8-^-c) (a-j-b c) (a-h-c: 8) (k>-^-c a) >
28 c >
war sin ^. — V(i cos ^. . 1 — co8 7 ^) — 4/(1 — cos
^ . 2-,-d—c. a-^c—d. 8-^c-a)
Man NUN ^ ^ V(s-j-d-j-c. 2^-d—c.s-j-c—l> . 8 -j- c—3),
so ist die log. Gleichung des ersten Ausdruckes, nehmlich 1c>A8in^ ^Io° -j-20- (Io§2-j-logl>-j-loge)
und des andern nehmlich logsinL — ^loZdl -j-20 — (log2-^- logn 1o§8).
Beispiel. Wie groß ist der Winkel -4., wenn die Seile L — 400°, I) — 745° und c — 680° gefunden worden ist? — Es ist .1 4- 8 4- 0 — 1625, 8 4- 0 — a — 1025, i, 4 - c — 8 2^7 355 nnd .2 4- 8 — c — 465. Man findet aber log (a 4- 8 -8 c) — log lg2Z — 8,2612629 1og G4-8 —c) ^7 10^465— 2,6674580 Iog(a4-o —8 )— log 885 — 2,5250443 log (8 4- 0— a) — los 1025 — 5,0107259
nahe, folglich ist der W. 24 — Z2°n6
Zusatz. Wird in einem gleichschenkligen Dreiecke der Winkel an der Spitze gesucht; so sind die beiden Schen-
Alsoistsinä,—--
So findet man auch
4/ (u—h-l>-^-c)(n-^-8—L)(n^—c l>)(8—^-L—-1)
11,4644846
20,0000000
31,4644346
15,732242z
0^010^00
log 8 — log 745 — 2,872156z
loge — 1og68o — 2,8525089
log L-8 log 8 4-log 0 — 6,0056952
logsin^ — 9,7265471 — !og3iiizr°ii' bei.

ke! l, und c einander gleich d. i. d — o, folglich ist
... . . Vc(2d 2) . (2b — 2)2^)
alsdann siri^ — --!—^—--:—1 ev-
2b'
rr 1 /( 2 b-l-a . sb — 2) _ 2 l/( 4 -b'— 2 ^)
2b- 2b^
Anmerkung. Ohne Anwendung der Logarithmen kann man den Winkel ^ auch aus dem obigen Ausdrucke cosL — d-->-c- —s-
--berechnen; allein der vorher gefundene Ausdruck gibt eine sehr einfache Formel, sowohl den Flächeninhalt der Dreiecke als der geradlinigen Figuren aus ihren Umfangs - und Diagonallinien zu berechnen.

Vierte Abtheilung.
I) Von der Anwendung der ebenen Trigonometrie auf die Höhen- Messung rc.
§. 25.
Das ganze für die Ausübung so wichtige Verfahren, Höhen und unzugängliche Entfernungen, entweder durch Zeichnungen oder durch Rechnung anzugeben, beruhet lediglich auf den geometrischen Grundsätzen, nach welchen so viele Theile eines Dreieckes oder so viele Seiten und Winkel an dem Umfange einer geradlinigen Figur aufgemessen werden, als zu deren Bestimmung nöthig sind. Die übrigen Messungen der Seiten oder Winkel, die dann noch vorgenommen werden, dienen nur zür Prüfung und Berichtigung der vollzogenen Vermessung. Um nun in jedem besondern Falle, den Zusammenhang der zu einem gewissen Zwecke auszumessenden Gegend leichter zu übersehen, entwirft man sich aus freier Hand, eine einfache Zeichnung, nach welcher man den Gang der Vermessung einrichten und anordnen kann. Diejenigen Fälle, welche bei der Höhenmessung am häufigsten vorkommen, lassen sich in folgende Aufgaben zusammenfassen.

Aufgabe. Die Höhe eines Gegenstandes kN durch Rechnung zu finden, wenn man auf der Horizontalflache, worauf kk steht, in der Richtung von .4 nach R. eine Grundlinie niesten und den Gegenstand von,4 aus überstehen kann. Man messe die Lange der Stationslim'e— L(1 (Fig. 12 .) und setze diese — d, dann nehme man den ^ LLO und setze ihn so hat man im
rechtw. /X die eine Cathete und den an liegenden spitzen «. Daraus ergibt sich die Höhe — d wn§«( 2 o.Aus.Z.). Hierzu rechne man nun noch die Höhe des Instruments — ( 414 ; so hat man daraus die ganze Höhe --- l?(Z -st- Druckt man die gefundenen Werthe für k lZ — V rsn§ « durch Logarithmen aus, so erhalt man — loZbst-ioAwng»—io.
Beispiel. Wie groß ist die HKhe kN, wenn die gemessene Grundlinie 8 — 785' und der /X — 28^54' gefunden worden ist? — Man hat alsdann IvAktz — IoA7gZ-s- 1og28°54^ — 10. Es ist aber
1 oK ?85 — 2,8948696 1oAt.inKL8°sst — 9,7419624
>2,6z68z2o
10,
logktz — 2,6z68z2o —1oZ45Z,Z4, folglich IH —4zz,g// wozu für die Höhe des Instruments Yir noch eine Große von z — 4* gesetzt werden muß.
Zusatz. Fallt der Schatten eines Gegenstandes auf die Horizontalflache, so kann man aus dessen Lange und der Sonnenhöhe, die Höhe des Gegenstandes berechnen. Stellt in der (Fig.6.) LL -- u die gesuchte Höhe des Gegenstandes, der W. die Höhe der Sonne

— 205 —
über dem Horizont und —b der Länge des Schattens vor, wovon die beiden letzten Stücke gemessen sind; so ist auch hicr LL —L —oder vermittelst der Logarithmen wß» — 1o§d -f- loZtaiiA^ — 10 .
Beispiel. Wie groß ist die Höhe LO — wenn der W. ^ ^ Z9°Z2^ und die Schattenlänge ^6 — d — zg2° gefunden worden ist? — Ee ist
1oAd — Ia§592 — L,Z9Z2g6l loxlanZ^—1o§rLnAZ9°Z2< — 9,9166192
12,509905z
10 , _
lo-a — 2,509905z — Io§ZLz,5 beinahe,
folglich ist a — Z2Z,5.
§. 2 6 .
Aufgabe. Die Hohe eines Gegenstandes zu messen, wenn man auf der Horizontalstäche, worauf derselbe steht, wegen vorkommender Hindernisse, von keiner Seite die Standlinie bis an den Fuß des Gegenstandes fortsetzen kann.
Wird man durch einen Fluß oder See oder irgend ein anderes Hinderniß abgehalten, die Messung von bis H (F>g-'Z.) vorzunehmen; so messe man sich nur einen Theil der geraden Linie von O nach K etwa VL als Grundlinie ab, nehme in ^ den W. I^<Z, in L den W. kLt), welcher den W. zu iZo° ergänzt; so hat man den W. — igo° — -j- I?L^) und
im Q sind außer der einen Seite L alle Winkel bekannt, woraus sich nun die Seite berechnen laßt. Denn setzt man VL ^0 — d und bezeichnet man
den W. durch «, den W. LL? durch so ist

5«4
LI?L 1Z0" — (« -s- /?), folglich slnLkL ^ sin(« -j- /r) (10.) und es verhalt sich k6 : — 8inlZ^.l? : sin^l?L (20.) oder
I?L : lo 2^ sin« : 8 iws« -f- /Z).
Folglich ist b . siri -^ xL dem W.
sin (-» -4
kvf) findet man nun im rechtiv. kc^L die Höhe .siw^. Schreibt man nun hier anstatt l?L den vorhin dafür gefundenen Werth; so erhalt man l>l) —
und rk -- <ZK 4.
Lirl(o- —8IIl(eL —f-
Beispiel. Wie groß ist die Höhe NR., wenn b — 872°, — iZ°Z 84 der /s. ^ — 28° 16' gefunden worden ist und die Hohe des Jnstrumcius 4 bewogt? — Hier ist alsokR. —4^-l- 872° sio 15^58' . sin2g°i6^
—-:---oder vermittelst der Logarithmen Ist
-w' 4 g° 5 §/
Nl^ — Iog872° fl- loAsin 15058' ->- siriloA 28°l6' —>
(lo -s- 1 oAsiii 45 ° 54 '). Man findet aber
l«gb — 10^672° — 2,9405165 lo^siu^ — lo^sin 15058^ — 9,4305267 IvAsiii/e — loAsin rg°i6' — 9,6755896
22,0464528
10,0000000
Io§-in(°--s-/z) — 1ozsiii4z°54^ — 9,8409850
^ 9 'L 4°9850
Io»p<Z — 2,2054478 — log 160,49, folglich Nil. — 160,49° -fi 4^ — 160,89°.
Anmerkung. Zu diesen Aufgaben werde ich noch einige practische Bemerkungen hinzufügen. Die Theorie kennt bei der Auflösung dieser Aufg. keine Schwierigkeit, allein in der Ausübung hat man stets darauf zu sehen, daß bei der vorgenommenen Messung die Winkel die gehörige
Scharfe

— 505 —
Schärft erhallen und nicht zu spitz oder z» stumpf ausfallen. Am besten lassen sich die Fehler bei den Winkeln gleichseitiger oder auch solcher Dreiecke vermeiden, bei welchen die gesuchte Seite, so groß als die Standlinie ist, oder wo die beiden Winkel an der Standlinie einander gleich sind. Ich weiß, die Wahl dieser Linien und Winkel hangt nicht von unserer Willkühr, sondern von den mannigfaltigen Umstanden ab, durch welche der bei der Vermessung einzuschlagende Weg, gleichsam vorgeschrieben wird. Allein mancherlei Hindernisse lassen sich durch eine zweckmäßige Benutzung der Umstände vermeiden, und es ist ausgemacht, daß die Winkel desto unzuverlässiger werden, je mehr man sich dabei von den obigen Vorschriften entfernt. Kleine Winkel aber lassen allemahl die Zuverlässigkeit der daraus hergeleiteten Angaben bezweifeln, so sehr man auch mit ihrer Genauigkeit prahlen mag. Auch muß man es bei entscheidenden Messungen, wo möglich, nie unterlassen, außer den zwei gemessenen Winkeln, auch den dritten durch wirkliche Messung anzugeben.
Damit nun die zu «'essenden Winkel in den angeführten Aufgaben nicht zu klein ausfallen, so muß man i) darauf sehen, daß man sich nicht zu weit von dem Gegenstände, dessen Höhe bestimmt werden soll, entferne und 2) daß man sich nicht eine zu kleine Standlinie abmesse. Reicht alle Vorsicht nicht zu, gar zu kleine Winkel zu vermeiden; so bediene man sich lieber einer der allgemeiner» Methoden, die in den folgenden Aufgaben vorgetragen werden sollen.
Die Höhenmessungen durch den von den Gegenständen geworfenen Schatten, sind zwar auf mancherlei Art auszuführen, allein die Angaben sind cheils, wegen der Horizontalflache, theils wegen des Schattens selbst, der auf der Erdflache nicht scharf abgeschnitten wird, sondern durch den Halbschatten nach und nach ins Helle übergeht, unsicher und unzuverlässig. Falls man aber doch eine solche Methode wählen wollte; so würden die Mittagsstunden dazu am besten sein. Beträgt der Winkel, welcher das Maß der Sonnenhöhe
U

ausmacht 45°, so ist der Schaue» mit dem Gegenstände von gleicher Große. Merkwürdig bleibt dieses Verfahren wohl deshalb, weil die erste» Messungen nach selbigem geschehen sind. Verfiel Thales zuerst auf die Eigenschaften des gleichschenkligen Dreieckes; so mag er auch auf die vorhin gedachte Art die Höhen der Pyramiden in Aegyp- reu angegeben haben.
Die gewöhnlichsten winkelmcssenden Instrumente sind, die Boussolc, der Meßtisch, die Zollmannschc Scheibe mit oder ohne Kipprcgel, das Astrolabium u. in. a. An und für sich kann man dieses oder jenes Instrument nicht für verwerflich oder brauchbar und zweckmäßig erklären. Plan nnd Umstände schreiben dem Feldmesser, bei welchem man eine richtige Kenntniß und Beurtheilung seiner Instrumente voraussetzen darf, die Auswahl derselben vor. Bei den Hö- henmcsiungcn und überall, wo es auf Rechnung ankommt, verdient das Astrolabium wohl den Vorzug, wenn es gut gearbeitet, nicht aus einem zu kleinen Halbmesser besteht, richtig eingetheilt, mit eitlem Nonius, Fernrohr und andern Vorrichtungen versehe» ist, die zur Vollkommenheit desselben und zur Bestimmung der kleinern Abtheilungen der Grade dienen. Die Englischen Werkzeuge dieser Art unterscheiden sich dadurch, daß man selbst bei einem kleinen Halbmesser des Instruments, auf eine genaue und richtige Einihcilung rechnen kann.
§. 27.
Aufgabe. Die Höhe eines Gegenstandes zu berechnen, wenn man die StationSpnncte oder die Standlinie auf der Horizontalflache nicht in einer Richtung annehmen kann, daß sie mit der lothrechten Höhe in einerlei Vertical- ebene liegt.
Es sei (Fig. 14.) die gesuchte Hohe; so messe

5»7
man sich auf der Horizontalflache die Standlinie l.IVl —3 ab, und nehme mit dem winkelmessenden Instrument, die beiden Horizontalwinkel —7, und (ZiVlQ —s. Aus einem der beiden Puncte L. oder lVI messe man den Erhebungswinkel so hat man durch diese
Messungen diejenigen Stucke, welche zur Berechnung der Höhe erforderlich sind. Im ^ ist der
W. — 130° — (/- -f- >), folglich sin^tzivi —
(10.). Nun verhalt sich im gedachten Dreiecke I.t^ : ib-IVl ^ : sin(^ 3 >IVl (20.) oder
l. : 3 — siii^ : siir(/Z -j-
I-tz . Es ist aber im rechtw. 3 I><^
— 14 s). r§« od. sinQf) in den vor.Werth gefetzt, gibt
kt^ ^ b> - tanA« . siri/Z sin(/Z -j- 7.)
Beispiel. Wie groß ist die Höhe?<Z, wenn die Grundlinie I^IVl — d — 5964^, der W. — 6Z°Z2^, der
W. tZlill. — ^ — 96^42^ und der W. — 16^27' gefunden worden ist? — Es ist nach der obigen Gleichung— gg64 . tllNA 16^27' . 8ill6g°Z2^ Z964 - lang 16^27^ . sin6Z"Z2^
silIIZZ°l 4 811144046^
oder vermittelst der Logarithmen hat man, logktZ — I0AZ964 IogtanA l6°27^ -s- log 51116Z°Z2^ — (ro -s- log 8IN 4404b). Man findet aber
U 2

Zog
1 o§Il — IoZZg 64 — 5,2674969 loZ tLNA L — 1o» WIIA l6°2/ — 9,4^02112 1n^ si>l^ — loA sin6z°ZL' — 9,9291580
22,9963461
jo° 8 in(F -i- '/) — Iog 44 ° 46 < — 19,8477091
1ox?tz — 3,i49'5?o lo^ 1409,7z, folglich ist ktz — 1409,75°-
Anmerkung. Diese Auflösung ist zwar da anwendbar, wo man neben dem Thurm oder Berge rc. eine Horizontalflache finden kann, worin zugleich der tiefste Punct des zu messenden Gegenstandes liegt; allein dieser Fall wird durch die Lage des Terrains und durch die Localitä't der Umstände sehr beschrankt und daher nicht häufig vorkommen. Daher wird man sich entweder eine schief liegende Grundlinie abmessen, oder zu andern Hülfsmitteln seine Zuflucht nehmen müssen. Die Höheninessung hat ihre eigene Schwierigkeiten, besonders muß man alle Aufmerksamkeit auf den Ele- vationöwinkcl der in der Regel immer nur klein ist, wenden, und ein Fehler von einer Minute und viel weniger, bringt einen wesentlichen Unterschied in der Bestimmung der ganzen Höhe hervor. Und jener Fehler kann theils Lurch zu kleine Instrumente, welche zu andern ähnlichen Vermessungen brauchbar sein können, theils dadurch, daß die Beobachtung bei der oft zitternden Bewegung, welche die Gegenstände auf der Erde, wegen der Dünste der Atmosphäre und auf andere Arten erleiden, erschwert wird, so leicht verursacht werden. Selbst die leiseste Bewegung während des Gebrauches des Instrumentes, bei dessen Aufstellung, Richtung -c. kann, nach einer am Ende unterlassenen Prüfung, bedeutende Fehler zur Folge haben.
H. 28.
Aufgabe. Die Höhe eines Gegenstandes zu finden, dessen Fuß durch Mauern, Gebüsche rc.

Z09
verdeckt ist, dessen Spitze man aber aus einem Standpuncte sehen kann, der mit dem Fuß des gedachten Gegenstandes in derselben Horizontal- flache liegt.
Es sei (Fig.ig.) die zu messendeHöhe, durch andere davorlicgende Gegenstände verdeckt, nun weiß man, daß der Stationspunct ^ mit^ in derselben Ebene liegt. Nun messe man sich eine Standlinie ^.8 8 von
deren andern, Ende 8 man die Spitze 8 auch sehen kann, ab. Hierauf nehme man aus^ erstens den Elevations- winkel 8^(^ —«, indem man dem Fernrohr zuerst eine horizontale Stellung gibt, und es dann nach dem Puncte 8 hinrichtet, ungeachtet man nach dem Puncte nicht hinvisircn kann; zweitens den W. 8^,8 —/Z mit schräg gestelltem Instrumente, weil eine Lage in der Ebene 8t^<) hier nicht gestattet wird. Endlich nehme man aus 8 noch den W. ^88 — so kann man aus den gemessenen Stücken, die verlangte Höhe auf folgende Art berechnen. Es ist nehmlich im 88H. derW.Ll?^ — — (/Z -s- >); folglich «in 88^, — sln(.s -j- (io.) und es verhalt sich .^.8 : ^.8 — srn^,88 : sin^88 oder
^.8 : 8 — sin>- : sM(/S -s-
^8 — .Im recht. aber ist
sirr (/Z -j- >)
8s) — ^8 . siir8^t) ^8 . Zin« UNd für t^8 den vorigen Werth gesetzt, gibt
^ _ 8 . sin« . sin^
sM(/Z -st >)
Anmerkung. Diese Aufgabe unterscheidet sich von derjenü

gen, welche in (27.) vorkommt, dadurch, daß die Grundlinie auf einer schiefen Ebene abgemessen wird, und nicht in der durch geführten Vcrticalcbene liegt. Stande der Gegenstand aber schon auf einer Anhöhe; so ist offenbar, daß man alsdann durch die gezeigte Auflösung nicht, die Höhe des Gegenstandes selbst, sondern eigentlich die Erhebung des Punctes k über der Horizontalflache durch den Punct tz, gefunden hatte.
§. 29.
Aufgabe. Die Höhe eines Berges zu messen, der sich beträchtlich über die Meeresfläche erhebt und in dessen Nähe man keine Standlinie finden kann, deren Endpuncte mit dem Fuß des Berges in derselben Horizontalfläche liegen. Vorb. 1. Diese Aufgabe soll hauptsächlich dazu dienen, Anfänger anf einige Umstände zu leiten, die gemeiniglich sonst gänzlich übersehen werden. Da in der Aufgabe angenommen wird, daß die drei Puncte, der Fuß des Berges und die Endpunctc der gewählten Standlinie in verschiedenen Entfernungen vorn Mittelpuncte der Erde, welche hier als eine Kugel angesehen werden kann, liegen; so ist es nöthig, die gedachten drei Puncte auf eine Horizontalflache zu reduciren.
2. Dieser Horizont aber wird gewöhnlich noch höher als die Meeresfläche liegen und in diesem Falle muß man nach geschehener Auflösung dieser Aufgabe, noch die Mittel angeben, die gedachten Puncte auf die Meeresflache zu reduciren, wodurch man die eigentliche Höhe des Berges erhält. Die vorzüglichsten davon sind folgende, Kennt man die

Höhe des Berges über der angenommenen Stations- linie; so findet man die Höhe des Beobachtungsortes über der Mecresfläche bei einer nicht großen Entfernung von derselben entweder durchs Nivelliren bis aus Meer; oder im Falle es zu entfernt ist, durch das Nivelliren bis an einen Ort, dessen Höhe über der Meeresflache bekannt ist; oder im Fall beides nicht angeht, durch die Vergleichung des Barometers am Beobachtungsorte und an der Meeresflache.
Z. Ist es bekannt, daß uns die Gegenstände nur vermittelst der Lichtstrahlen sichtbar werden.
Diese gehen nur so lange nach den Richtungen gerader Linien fort, so lange sie in einem und demselben Mittel bleiben. Die Atmosphäre aber, durch welche die Visir- linien gehen, hat in verschiedenen Höhen, eine verschiedene Elasticität und Dichtigkeit. Daher ist eine
ihrer Wirkungen diese, baß vermittelst der gedachten Lichtstrahlen, der Gipfel des Berges an einer höhern Stelle gesehen wird, als diejenige ist, wo derselbe sich wirklich befindet. Es ist hier der Ort nicht, die Theorie dieser Erscheinungen auseinander zu setzen, daher begnüge ich mich die, noch durch mehrere Erfahrungen, sicher zu stellenden Resultate anzuführen. Nach Vouguer *) beträgt die Refraction nach Lam- bert **) ^ des Kreisbogens des Erdumfanges, welchen man von dem Veobachtungsorte bis an den Ort
*) IVlein. äs I'ro^ale äs Sciences äs k.iris, 174g.
") I.SS äs 1,1 lonte äs Ir Ininierc, -i la 1759»
k- (67—71). M. s. auch dessen Beiträge zu Picards Abh. vom Wasscrwägeu. S. 242.

beschreibt, nach welchem man hinvisirt. Jene Angabe ändert den Elevationswinkcl um diese um andere gestatten sich noch größere Abweichungen. So viel ist gewiß, daß die steten Veränderungen, welchen die Atmosphäre unterworfen ist, den Gebrauch dieser Regel wesentlich beschränken und man muß wenigstens die gedachten Beobachtungen, nicht kurz nach Sonnenaufgang oder kurz vor Sonnenuntergang vornehmen. Schneidet man z. V. in der Mittagsstunde den Gipfel eines Berges mit dem Horizoutalfadcn im Fernrohr, so zeigt sich derselbe des Abends wohl um 2 bis 5 Minuten hoher.
4. Die zu einer Höhcnmessung gewählten Stationspuncte liegen oft in einer beträchtlichen Entfernung von dem zu bestimmenden Gegenstände. Dieser Umstand bringt eine der Refrackion entgegengesetzte Wirkung hervor und macht, daß man wegen der Krümmung der Erde, die Spitze eines Thurms, Berges rc. an einer tiefern Stelle sieht, als diejenige ist, an welcher sie sich wirklich befindet. Man hat alfo außer der Auflösung und der Erwägung der obigen Stucke, noch eine Rechnung wegen der Krümmung der Erde anzustellen.
5. Auch muß man die Höhe des ausgestcckten Signals von der Erde bis an die ausgespannte Leinwand als dem Zielpuncte in Rechnung bringen. Und es hält besonders bei Höhenmessungen oft ungemcin schwer, einen für das Signal bequemen Ort ausfindig zu machen. Denn oft sind die Berge bis dahin nicht zu erklimmen, oft treten andere Hindernisse in den Weg, daher muß man sich zuweilen damit begnügen, ohne ein ausgestecktcs Signal nach einer von Natur deutlich hervorragenden Felsenspitze

5^5
oder nach einer auf eine andere Art kenntlich gewordenen Stelle zu visiren.
Auflösung. Bei der Auflösung wollen wir nun zuerst auf diejenigen Stucke Rücksicht nehmen, die durch wirkliche Messung und dann curf diejenigen, welche aus den vorigen durch Rechnung gefunden werden. Man nehme nun an, die Standlinie könne nicht anders gewählt werden, als so, daß jeder der drei Puncte lVI, 14, H nehmlich die Endpuncte der Standlinie lVIdl und der Fuß des Berges, einen andern Horizont habe, und zwar so, daß tiefer als AI und 114 tiefer als II liege; so stelle man sich alsdann eine Horizontalebene 14 OK durch 14 vor, so, daß O und k die Durchschnittspuncte dieser Ebene, mit den aus 114 und iX herabgelassenen Vertical- tinien 114 0 und 41k sind. Alsdann messe man die Sta- tiouslinie 114 41 — 1>, in 41 den Horizoptalwinkel HKO — Z) in H4 den Horizontalwinkcl I40K — den Der- ticalwinkel k 114 41 — -x, den Depressionswinkel I>I14I4 /s und den Elevationswinkel I?lVI() — so können daraus in den Dreiecken KH441, I40K, I>11414 und KH4t) die zur Bestimmung der Höhe 14 nöthigen Stücke berechnet werden.
I) Zm rechtw. -0 K1V141 jst — ivin.cos-p ^ d coscp ( 20 . Zus. 2 . II) — OK, weil 4,1kOK ein rechtw. Parallelogram ist.
II) Jm/X i40k sind die beiden Winkel >, ^ nebst
der Seite OK aus (I) — 4>.cos<p bekannt. Hieraus laßt sich nun nach ( 20 .) HO klVl herleiten und es .. O k.sin^ d. cosp . sin ^
sin (>-j-Z') 8in(> -j-
in) Die lVll? steht auf 14senkrecht. Daher ist

das öl? 8 ein rechtwinkliges, in welchem ?II — A'Ik.wnZ/r ( 2 ». Zus. Z.). Aus demselben Grunde ist nun auch
IV) im rechtwinkligen e(X AI?fI, die Seite ?() — lVII?.tgnA«. Die gesuchte Höhe II () aber besteht nach (III und IV) aus ?<)-§-? II — AI?. ran§«-j-AI?, rang/Z
— AI?(rrinA«ranz/Z) — ---Schreibt
cos*. cos/L
man nun noch für AI? den in (III) dafür gefundenen
Werth; so ist »(>
d. sin («-f-B). sin ^. cos P ^ cos «. coL /Z. siii ( r' -f- ^ )
). Das
übrige wird durch folgendes Beispiel die nöthige Erläuterung erhalten.
Beispiel. Wie groß ist die Höhe eines Berges, zu deren Bestimmung folgende Abmessungen gefunden worden sind, nehmlich: die Stmidlinie 8 — 7548' der ErhöhungSwinkel « — ig°2/ der Vertiefungswinkel /z — 2°ig^ der Horizonialwinkel an IVl, — 7 — 4i°i6^ der Horizontalwinkel an H, — ^ — 8?°26^ der Verticalwinkcl IXIVIAl — P — i°Z8^o"? — Nun berechne man sich erst IIY aus dem in (IV) angegebene» Ausdruck I) . sin (--->- /?) . sili ^ . cos H
— — 7 — 7 —-—-<-; oder vermittelst der Logarithmen
siu s'/ -s- L) . cos . cos /Z
1 o»d -s- Io§ sin (--->-/;)-? loA sinZ'-si 1 o» cos 7 >—slo»sin ( 7 -p Z-) -s- 1o°cos« -p loZcos^). Es ist aber
. sin(« -s- fi)
) Es ist aber ran»-- ranA/z — .-gc>etzt wor-
C05 «. cos/e
den, weil stn(-- ^) — sin«.oos/Z -s- cos«.siilss ( 17 . I) und »n(- -p sin«.cc>s/z co 5 «.sin/;
-—- 1 -— rrns«-s-l-mL^ ist.
cozse.eos/? cOs«.eos/2 cosL.eos/Z

1oL,b — lox 75-18 — S/8778319 1ogsin(-- — IoA-iii i5°4^ — 9/iZi42g6
1oAsiliZ> — 1oAsin87°26^ — 9,9995641 IoAcos§ — 1oA co5 1^58^40" — 9-9997412
53/808 5658
loxsiilO -p ^) — IoAsiii5i°lg' — 9,8925542 loAcos« — IoAcorl5°27^ — 9,9879225 1o»cos§ — 1oAco-2°l^ — ^9996749
29-8799514
loAlltz— 55-4286544- log 2685,065, folglich II <z — 2685,085.
Aus V) erhellet nun, daß man zunächst auf die Krümmung der Erde zu sehen habe, welche verursacht, baß man denjenigen Theil, um welchen der Gipfel des
Berges zu tief erscheint, und welcher durch — ausge-
2 r
druckt wird, noch hinzuzusetzen habe. Nach der Theorie des Pr. Lambert geht der durch die Luft von der geraden Linie abgelenkte Lichtstrahl in einem Kreise fort, dessen Halbmesser 7 bis 8 Mahl größer ist, als der Halbmesser der Erde. Diese Eigenschaft des Lichtstrahls setzt uns in den Stand, die wegen der Refraction der
Höhe des Berges abzuziehende Große, aus — anzuge-
den, wenn man dafür den siebenten Theil der gedachten Größe nimmt. Nach Lambert betragt die Krümmung der Erde auf eine Weite von Zooo rheinland. Ruthen, Zi^c>"8"^. In diesem Abstände würde z. B. die Spitze eines Berges um Zi^c>"8^" : 7 d. i. um 4^6"fss" zu hoch erscheinen. Im obigen Beispiele ist der horizontale Abstand HO 9656,127/ gefunden worden. Setzt man nun und berechnet man sich den Logarithmen

für den Erdradins r — '8957251 rhl. Fuß; so findet man lc>gr — 7,2775169 und es ist loZick —2 logn —21^9656,1 — 7,9696056 loA2r — lo§2-s-Ic)§ 13957251 — 7,5785469
los-— »,5912567 —Iog2,461, 21 -
also erhalt die Höhe wegen der Krümmung der Erde einen Zusatz von 2,461/, wovon aber wegen der Refraktion der siebente, oder da sie hier bloß der Entfernung prop. gesetzt wird, sicherer der sechste Theil d. i. <1,410 abgezogen werden muß, wovon der Rest 2,051/ betragt. Dieses Verfahren gibt mit dem in (Iüor.5) angeführten Ausdruck beinahe völlig dasselbe Resultat. Addirt man nun diese Zahl zur gefundenen Höhe, so erhalt man 2635,156/.
Allein diese Höhe bezieht sich nur auf die durch das Instrument gezogene Horizontallinie. Daher muß dessen Höhe zur obigen Zahl ebenfalls noch addirt werben. Ware sie etwa 4,2/, so ist die gesuchte Höhe 2639,556. Ist dagegen die Visirlinie durch die ausgespannte Leinwand, des auf dem Gipfel ausgesteiften Signals gegangen, dessen Höhe bis dahin 8,1^ betrug; so muß man dieselbe von der vorher gefnndcnen Zahl abziehen. Man erhalt also dafür 2631,256/. Endlich ist noch übrig, die Lag- des Standortes gegen die Mee- resflachc zu berücksichtigen. Dieses geschiehet wie in (V) bemerkt worden, entweder durchs Nivcllircn, oder durch die gleichzeitigen Barometerbeobachtungen oder durch den mittlern Barometerstand. Ware nun das Quecksilber aus einer Reihe von Beobachtungen nach der Mittelzahl 355"/ also um 1/// tiefer als an der Oberfläche des Meeres gefunden worden; so müßte man, um

die Höhe des Berges über der Meeresflache anzugeben, zu der vorigen Zahl 2631,23t? noch 78^ addiren, wodurch man 2759,236^. Also erhebt sich der Berg 2759,23t? über die Meeresflache. Zur bequemern Uebersicht dieser Stücke will ich die angeführten Bestimmungen noch einmahl in folgender Ordnung niederschreiben. Die trigonometrische Rechnung gibt für die Höhe des Berges . . . 2683,035 die Jnstrumcntshöhe macht ... 4,2
wegen Krümmung der Erde . . 2,461
wegen Höhe von lvi über der Meeresfl. 78,
2767,746
wegen der Refraction .... 0,410
wegen der Höhe des Signals . . 8,i»c>
gesammtcr Abzug ...... 8,5
2759,236.
Zusatz. Aus (Mr.i) erstehet man, wie man verschiedene schiefliegende Seiten eines Dreieckes auf einen gemeinschaftlichen Horizont reduciren kann. Auch kann man durch die obige Auflösung allemahl finden, um wie viel die Stationspuncte M und N über dem Horizont durch H liegen. Es ist nehmlich die lothrechte Höhe lVl0
l?I 4 — OH (20. Zus. 3.) — und Nk —-
-s- Usiiiip.
sinO-j -29
U.cospsiiiZ'taiiA/L
Anmerkung 1. Zu mehrerer Bestimmung der vorigen Aufg. kann noch folgendes dienen. Der Slandpunct des Beobachters (Fig. 17.), welcher in ^ den Elevationswinkelk^tz mißt, ist vvm Horizonte des Berges verschieden.

Zi9
ist der Horizont der Bergspitze Y, der Horizont
durch den Standpunkt folglich ist Hy die wahre, I'tZ aber die durch Beobachtung gefundene Höhe. Daher ist die Correclion wegen Lk nothwendig. Stellt man sich nun in der Figur den Umkreis des Bogens völlig
ausgezogen vor; so verhalt sich : kli
-f- rLL und es j,t L? — ——.-—. Da nun L6
2II r.
den Erdradius vorstellt; so ist U? gegen 2UL eine unbe< deutende Große, die im Divisor völlig weggelassen werden
-
kann. Man hat daher L? —-. Schreibt man nun
2II6
— n für Größen die sich in der That sehr wenig von einander unterscheiden, und v für IIL; so ist L?
n-
Anmerkung 2. Aus (Itlo. IV) ist der Ausdruck für die Refraktion der Lichtstrahlen nach Lamberc —. Man kann
14 v
daher die beiden Ausdrucke für die Refraktion und die Krümmung der Erde in einen zusammenfassen. Es ist
nehmlich-
20 140
14 r
7 *
Anmerkung z. Bei der Bestimmung der Höhen betrachtet man den , 4 , I> als einen rechten. Eigentlich aber ist ^ — i'L,e -j- — 90° ch (§. 54.).
Allein der Winkel bei 6 betragt in der Regel nur wenige Minuten. Daher kann man iLky als ein auflösen, das bei ? einen rechten Winkel hat. Obgleich nun auf diese Art mancherlei Veränderungen mit den Großen vorgenommen werden, so haben selbige doch auf die daraus hergeleiteten Bestimmungen für die Hohen, keinen merkliche» Einfluß, und kommen gegen diejenigen, welche aus einer fehlerhaften Beobachtung oder durch Vernachlässigung anderer VorsichtigkcitSregelu geschehen, in der Ausübung nicht in Betrachtung.

ij) Von der Messung unzugänglicher Entfernungen.
Wenn man sich zur Bestimmung eines Dreieckes oder einer geradlinigen Figur, oder einer Verbindung mehrerer Dreiecke, außer den beobachteten Winkeln, eine Seite zur Grundlinie wählt; so muß man besonders in dem letzten Falle, alle Sorgfalt und Aufmerksamkeit auf die richtige Abmessung derselben verwenden. Diese festgelegte Grundlinie, macht die Angaben der durch sie zu bestimmenden übrigen Theile der Figur, mit Rücksicht der dabei vorkommenden Umstände desto sicherer, je langer sie fortgezogen und je genauer sie gemessen wird. Soll sie vielleicht die Grundlinie einer Dreieckverbindung abgeben, wovon die richtige Lage ganzer Lander abhängt, oder zu einem andern ähnlichen Zwecke dienen, so muß man zu ihrer wirklichen Ausmessung, Maßstäbe nehmen, die längst einer ausgespannten Schnur an einander gelegt werden; oder man muß der gewöhnlichen Meßkette eine andere Einrichtung geben, während der Operation auf die durch die Wärme bewirkte Ausdehnung Rücksicht nehmen, und nach vollendeter Messung, die Standlinie, wenn sie vielleicht auf einer schiefen Ebene liegt, nivelliren. Selten ist der Boden so eben, daß sich die Kette in gerader Richtung ausdehnen kann. Damit sie nun gerade und richtig ausgespannt werden kpnnc; so erhält sie eine Unterlage von Brettern, die auf 5 bis 4 Kettenzüge eingerichtet ist. Die Vernachlässigung des Nivellirens hat mit dazu beigetragen, baß die von Maupertuis ausgeführte Gradmcssung in Lappland so unrichtig ausfiel, daß die Länge des Grades am Polarkreise 22Z Toisen, d. i. iZ 84,8 rhl. Fuß von ihm zu groß angegeben worden ist. Dieses zeigte sich bei der im Jahr i8or —

Z2<?
iZoZ unter der Direction von Svanberg wiederholten Messung nach dem, von dem Ritter Melandcrhielm deshalb der Antrag dem Könige gemacht wurde, und dieser am -vten Febr. im Jahr igoi die Kosten dazu bewilligt hatte. Maupertuis maß sich eine Standlinie von 7406 R. 5 F. 2 Z. auf dem Eise ab, mir er vernachlässigte es, dieselbe zu nivelliren. Freilich liegt der Grund jener beträchtlichen Abweichung von 22ZT. nicht hierin allein, sondern vornehmlich in den fehlerhaften Beobachtungen mit dem Zenithsector. Die vom Listen Febr. bis zum uten Apr. 1802 unter Svanberg gemessene Grundlinie von Niemisby bis Priki Tornca betrug 74 ' 4 ^ Toisen. Man findet die Resultate dieser Gradmessnng in der Lxziosition clcs ozier.itioris bllites
en Us^^oiiie, ^ioiir 13 Uetsrniinätioii st' 1111 arc stii 1116- riciiLH en igoi — Z etc. ^upliee jiur I'^castsiriis cle Sciences ^ Ltockliolm, 1Z0Z.
Wenn vorhin bemerkt wurde, daß sich die Kette selten in gerader Richtung fortziehen lasse, so rührt dieses von den Ungleichheiten des Terrains, nicht aber von der Krümmung der Erde her. Diese kommt bei Linien dieser Art, wenn sie gleich eine ansehnliche Länge haben, nicht so leicht in Betrachtung. Denn auch die längste bisher gemessene Linie, beträgt noch nicht 40000 rhl. F. und diese laßt bei einer wirklichen Messung, als in einer ausgebreiteten Ebene liegend, ansehen. Um sich davon zu überführen, darf man nur den Unterschied des Bogens (Fig. 17.) und die dazu gehörige Sehne —2^4L untersuchen. Man nehme an der/. sei — « — Zi/, so hat man im rechtw. L, folgende Proportion: sintor: sin-i ^.0 : Hier
ist

- Z21 -
ist ^6 der Erdradius " 859,4566 geograph. Meilen. Folglich ist — 859,4366 X 0,0043655
— 3,74997^6 d. i. die halbe Sehne des Bogens folglich ist dessen doppelte Sehne — 7,499959432. Der Bogen eines Grades im Längenmaße aber betragt
— 7,5oo, davon ist die Hälfte der in der Figur 56»
angenommene Bogen — 15,00... wo sich also bei dieser vorläufigen Berechnung, zwischen der Sehne und dem dazugehörigen Bogen, erst bei der fünften Stelle ein Unterschied entdecken läßt. Rechnet man nun auf eine geogr. Meile 25598 rhl. Fuß, so ist der Unterschied noch nicht ein rhl. Fuß. Denn er ist 0,9575 eines rhl. Fußes und dieser Bogen mehr als 4 mahl großer als die oben angegebene Länge.
Aber auch schon bei den gewöhnlichen Vermessungen der Feldmarken, Wälder rc. zeigen sich mancherlei Hindernisse, so, daß die geraden Linien über gcwiße Districte hin, nicht unmittelbar wegen der dazwischen liegende Moräste, Seen, Wälder rc. abgesteckt und mit der Kette gemessen werden können. Solche Linien, die im Laufe der Messung so häufig vorkommen, nennt man unzugängliche Entfernungcn. Man fordert aber von einem Feldmesser, daß er ^iese Entfernungen mit eben der Genauigkeit anzugeben weiß, als wenn sie wirklich waren gemessen worden. Außerdem aber dienen Liese Operationen häufig zur Verkürzung des ganzen Geschäftes, da man nicht nöthig hat, in solchen Gegenden, wo keine Hindernisse vorkommen, alles aufzumessen. Daher sollen hier die vornehmsten Fälle in folgenden Aufgaben, wo die Voraussetzung in Ansehung des
X

Winkelinstrumenteä und des Zweckes bleibt, gezeigt werden.
Aufgabe. Es sei ^6 (Fig. 8.) ein Theil einer zu messenden Standlinie, von welchem man aus ^ und 6 einen entlegenen Gegenstand in v, etwa ein Grenzbaum, eine Mühle rc. sehen kann; man fragt, wie weit derselbe von ^ und 6 entfernt sei?
Ist —V ein Stück einer Standlinic; so nehme man bei deren wirklichen Messung, die Winkel in und 6 und berechne nach (20.) die diesen Winkeln gegenüberliegenden Seiten, so werden die gefundenen Zahlen, die gesuchten Entfernungen ausdrucken. Es ist nehmlich
Beispiel. Wie weil ist L von ^ und 6 entfern«, wenn die gemessene Linie ^6 — 6 — 1456,2/ der W. ^ — S5°z6'g7" und der W. 6 — 8 i° 45 ^ gefunden worden ist? — Nimmt man von den obigen Ausdrucken die log. Gleichung, so ist loZLL — Ic>Ak> -f- lo^sinlL — -j- 6) und — lo^b —
Ic>»siii6 -j- IoAsin(iV -s- 6). Es ist aber
I) logb — 5,157-0^0 und 2) logli — 5,1572560 loxsln.^ — g,6z57Z2Z 1oKsin6 — 9,995,1822
Io§ü!u(L-z-6) — 9,97979'5 IoFsi»(iL-f-6) — 9-97979'5
Anmerkung. Man fleht wie man auf eine ähnliche Art die
k>. sin^.
und
slu (cV-j-lü)
k>. sin 6
12,7929685
1 ogL6 — 2,8152770 — 10^650,59, folgl. U L — 650,59^.
koAiLL — ,5,1729267 folgl. — 1469,1.

52Z
Entfernungen ^.1^, 6L, LI' aus der Standlinie und den aus -ä, und 6 genommenen Winkeln L-LL,
I'dUrc. berechnen und so die Weiten verschiedener Puncte rings um ^.6 bestimmen kann. Wollte man bloß die Lage der Puncte 6, L, und I? gegen ^6 angeben; so hatte man gar nicht nöthig, dieselbe zu messen.
Zusatz. Stellet^L die Breite eines Flusses vor; so messe man sich die Standlinie ^0 und die beiden Winkel L?t0 und Llü^, in und 6, so ist auch der dritte bei L bekannt und es laßt sich daraus, wie vorher die Seite berechnen.
§.
Aufgabe. Die Entfernung zweier, durch Sümpfe, Moraste rc. von einander getrennten Gegenstände aus einem dritten Standpunctc von welchem man nach den gedachten Gegenständen 6, L sehen und messen kann, zu berechnen.
Es sei (Fig.g.) der Standpvnct L, von welchem aus man nach ^ und 6 sehen und messen kann, und ^.6 die gesuchte Entfernung; fo ist dieselbe, wenn man c, LL — a und den W. L gemessen hat,
— -ss — LdccosL) (LZ. II).
Beispiel. Wie groß ist die Entfernung ^,6, wenn a — gicch c — 576' und der ^ — 46°8^ gefunden worden ist? — Es ist demnach in Zahlen ^.6 — V(8>o^ -h-576° — r.gio. 576 . co-46°8') — v( 656100 551776 — 646655,8z), indem
C 03 46°8^ —0,6929825 ist, folglich — 1/541240,16 — 584,16
Zusatz. Man kann aber auch erst die beiden übrigen Winkel bei 7 V und 6 nach der Proportion a -j- c : — c ^ — L) (2Z.), berechnen und
X 2
3

- Z24 —
nach deren Bestimmung aus (20.) die verlangte Entfernung herleiten. Mit Beibehaltung der im vorigen Beispiele aus der Messung, gefundenen Großen ist die angeführte Proportion in Zahlen 8iost-576: 6-o— 576 — cot2Z°4^: — 6), oder 1536:254 —
cot25°4^: — 0). Man findet aber
1) cot25°4 — 10,5707447 I0L254 — 2,5692,59
12,7599606 I0Z1586 — 5,1417652
Io§rrwZz(^. —6) — 9,593-974
— l»Z27°57, folglich —6) — 2i°57fi also — 88°53' und 6 45°i9'-
Nun ist 2) sin^4 : sinL — a : und ^6 "
Es ist aber
»in.a.
1oZ8ic> " 2,9o8435o 1oZ8in46°3^ — 9,8579078 12,7665923 1o§sln88°3o^ — 9,99936o9
1oZ ^.6 — 2,7665519 — 1oA584,i6, folglich ^.6 — 584,-6.
52.
Aufgabe. Die Entfernung zweier Gegenstände, zu deren keinem man kommen kann, durch Rech nung zu finden.
Man messe (Fig. 18.) eine Grundlinie 6O ab, welche man sich in Bezug auf die Gegenstände, von welchen man durch einen Fluß oder andere Hindernisse

52Z
getrennt ist, so Vortheilhaft wie möglich, Mahlt. In L nehme man den W. und den größer» der beiden W. oder LLO; in v nehme man den W. LO 6 und den großem der beiden andern LOH, oder so kennt man auch allemahl den dritten. Auf diese Art sind in den beiden Dreiecken und L LO alle drei W. nebst der gemessenen Seite 6 V bekannt. Nun berechne man daraus die Seiten und 6 L oder die Seiten und VL und aus diesen beiden Seiten nebst dem eingeschlossenen Winkel oder laßt sich die
dritte Seite, welche den gesuchten Abstand bezeichnet, finden. Die Berechnung dieser,Seite kommt auf folgende Art zu stehen. Es sei — 6 , L 6 V — VOO — O, TlrOO r-r: so ist im /X der W.
—> (L -s- /;) und im /X VOO, der W. 6 LO ^ L' — iAo° — (O -s- «). Demnach verhalt sich im ^
4X6:5 —siri/Z:sin^, folgl. ist i) 4 X 6 — ^'^— u. i. /X 6 LO
siir >
L6:5-sirrv-.sln^folgl.ist 2 )LL —Nun sind
siia^
im ^XrX 6 L außer den beiden Seiten ^X 6 und L 6 noch der eingeschlossene W. ^XLL — (0 — «) — -p bekannt. Daraus erhalt man Z) ^XL — 27 X 6 .
6Lccis<x) (25. II).
Beispiel. Wie groß ist der Abstand wenn K — 966' der W. L — 98^25^, « — gg°2i^, 1 ) — 75° 16^, — Zr° 48 h
folglich 7 — /,8"47', ^ — 6z°2z. Daher ist, wenn man die obigen Z Ausdrncke berechnet

f*.:
? i
:-26
l) logb — 2,9956769
2) logb — 2,9938769
lagsiii/e — 9,7357654
logsinO — 9,9851685
12,7276425
- 2,9795572
!
log— 9,8765468
logsiii^- 9,9599-88
^ !.
io° ^ c — 2,8512955
logLL — 5,0-94584
— kotz 7 - 0 / 0 ,
— log 1045,
3 ,
folgl. ^6 —710'.
folgl. LL — 1045'.
5) — 1/(710- -f- 1045-
— 2.710.1045.0,5140404) —
^/(Z0-jia0 -j- 10g2o2Z 9-2,874.
762784/5495600) — ^ 85 ZZ 4 v/ 45 ° 43 o -
Zusatz 1 . Aus der obigen Auflösung siehet man, wie mau durch einen gegebenen Punct 6 mit der unzugänglichen gerade» Linie eine Pargllellinic ziehen
kann. Hat man sich nach der vorigen Aufg. berechnet; so laßt sich auch der /, —daraus bestimmen. Nun setzt man an den Punct L der LO einen Winkel, welcher — ist, folglich lauft, wegen
der dadurch entstandenen Wechselswinkel, der Schenkel Ov des LOH), parallel mit P.L.
Zusatz 2 . Auch laßt sich durch ein einfaches Verfahren, mit Hälfe der obigen Auflösung die senkrechte Entfernung LL eines Gegenstandes in 6 von der unzugänglichen Linie nebst den Segmenten bestimmen, in welche durch L L zerfällt wird. Denn aus der obigen Anst. kennt man.4.6, LL nebst dem/.^.LI>, aus (Zus. 1 .) den — >, folglich ist die senkrechte
Entfernung des Standpunctes oder des Gegenstandes in l) von d. i. OL— OLsin--, der eine Abschnitt LL — 6Lcv8> und der andere — LL.
Anmerkung. Oft ist es in der Ausübung von vielem Nutzen, den auf einer Anhöhe gemessenen Winkel, dessen Schenkel

von oben nach unten herabgehcn, auf den gemeinschaftlichen Horizont der tiefcrliegenden Puncte zu rcducircn. Gesetzt man sollte den W. NlZIVl (Fig. 19.) auf den gcmeinschaftl. Horizont durch dl und iVI reduciren, d. h. man sollte den W. angeben; so messe man von Y aus, außer dem
^stZIVI — -- noch die beiden Depreffionsw. ^
und —/ der gesuchtes.dessen Schenkel?Iil undkiVl
den man sich leicht vorstellen kaun, sei — so hat man iWir — ^ 2 tzdl.tzivicoe«(LZ. II) u. a.dens. G.
NIVI? —. k!Vl cos -j>, folglich
Lyi^.yIVI cos « — L^.riVloo, »
2y^.0Mcos-—2yx- <M-—or-v.
co-t>——---,wcil( )>st
y>l.yi>ico 5 « ry-
" rn.xivi
C 05 -L — LIN/Z.sill^ , ^ ^
—-(20. Zuj. 4.) d. h. der Cosinus
co 5 /- . cos)'
des reducirtc» Winkels wird gefunden, wenn man vo in Cosinus des beobachteten Winkels « das Product der Sinus beider Depressionswinkel abzieht und diese Differenz durch das Product der Sinus der gedachten Winkel dividier. Diese Bemerkung setzt uns in den Stand, folgende Aufg. ohne Schwierigkeit aufzulösen.
§. 33 .
Aufgabe. Den horizontalen Abstand zweier Gegenstände zu finden, wenn man weiß, um wie viel der Beobachtungsort sich über den Horizont der beiden tiefer liegenden Gegenstände erhebt.
Es sei der Beobachtungsort tZ (Fig. 19.) auf dem Gipfel eines Berges, dessen Höhe I?H über dem Hon-

Z2g
zont durchs, vermittelst einer der oben angegebenen Methoden gefunden worden ist und NLI sei die gesuchte Entfernung der beiden mit I? auf einer Horizontalflachc liegenden Gegenstände; so messe man den Winkel —und die Depressionsw. tzlXll? —/z und >
oder deren Erganzungsw. zu 90°. Nun laßt sich « nach der obigen Bemerkung auf - reduciren, aus l't) und läßt sich kivi, aus 1^0 und ch wieder und aus i? M, und - die gesuchte Entfernung lXlM berechnen.
§. 33 .
Aufgabe. Man kann aus einem gewissen Standpuncte nach dreien auf dem Felde aufgenommenen Gegenständen sehen; man soll nun die Lage und Entfernung des Stacionspunctes, von jedem der gedachten Gegenstände, welche mit jenem auf derselben Horizontalebene liegen, durch Rechnung finden.
In der (Fig. 20.) sind ^ d, der
W. — L, folglich alle Stücke des /X bekannt. Von dem Stationspuncte I? kann man nach L und L sehen und also die Winkel und ^.k?L
aufnehmen. Dadurch erhalt man außer jenen gemessenen Stücken, noch den W.sX.I>L — -- und LI>L — Ware nun von den beiden Winkeln LLk einer
bekannt; so wurde man auch den andern leicht finden können. Man setze daher denjenigen W. den man als unbekannt ansehen will, wie — x, den andern LLk bezeichne man mit einem Buchstaben 6, wie auch « -j- § mit I?, behandele die unbekannte Größe,

— -29 --
wie die bekannten; so erhält man 6 4k — L —
1 ^ — X ^ Z6a° — (L -j- k) — X.
^ IN — X, wenn man Z6c>° — (L -f- I?) — ln setzt.
Nun verhalt sich 1) im Lk : — sin^ : sin^il'L oder
Ll' : L — sinx : sin«
— —-2) Verhalt sich im /X?L6
sin «
Dk : L6 — sin6 : sinLI'L : d — sin 6 : sin/Z
v.siiitin— x) ^ ^ .
1 ^ 1 ' —--. Aus i) und 2) ergibt sich die
LNI ^
— . a.sinx d. sin (in— x)
Fundamcntalgl. —-— -X-:
sin « sin /Z
A . sin/S . sinx — v . sin« . sin(iii — x)
^ d sin «. sin in . cns x — v . sin «. cos in. sin x
(17. M)
g. sin/Z — v.sinni. cndx — v.sin«. cosni
:i.sin/Z -f- ii.sin«.cosin — Ii.sin«.sinin.col:x
. A sinS
cotx — corin -P--
v sin « sin in.
Durch diese Gleichung ist der Winkel X bestiinmt und nun kann man die Entfernungen der drei Gegenstände vom Stationspuncte, durch einfache Proportionen herleiten. Es ist nehmlich
L1? : a — sinx : sin«
,. s.sinx
I) L? — —-Ferner
?in«
^1? : sin^Li? ^ a : sin« (20.), oder ^.k? : sin(« -j- x) — s : sin«

II) ^ Endlich ist
siu -2
Lk : siriLLk ^ b : sin/Z, (20.), oder
Ll? : sin(6 -j- /s) — 3 : siir/Z
(Ü 1 > : «111(360^ — L — -« — x) " 3 : sin^
< 31 ? : 8in (Lx— 180°) — 3 : sin/Z (10.)
III) LI? — 3 sin (L -j- x — rZo")
sin/Z
Zusatz 1. Liegt der Gegenstand, voin Stationspuncte v aus gesehen, nicht hinter der Linie ^L, wie in der Figur, sondern vor derselben; so muß man den erhabenen Winkel ^36 in Rechnung bringen.
Zusatz 2. Fallt der Punct auf ^.6, so daß L, 6 in einer geraden Linie liegen; so wird
— L — 130° und man muß also in den obigen Werth für in anstatt des Winkels seine Größe von 180° schreiben. In diesem Falle ist also in — 560° — L
— ? ^ 360° — L — « — /Z — 360° — 130° — « — /s — 13« — (« -j- /Z); folglich corin — — cor(« -f- /;) und sinm — Sln(« -f- /s). Dadurch ändert sich der Werth für corx auf folgende Art ab. Es
--r . l- , > g.sili/Z
tst nehmlich catx — — ccuin -j-----
3 . sln «. sin (« -s- /Z)
Beispiel. Wie groß ist 1) der Winkel x und 2) die Entfernung des Siationspunctes von L und 6, d. h. ?L und ? L, wenn 2 — 2400^, 3 — 2c>no', der W. L ^ i22°2g',
-- — 2^°i6^ ^ — 2i°i6^ gefunden worden ist? — Es ist demnach der W. m — z6o° — (i22°2g' -s- 2^°i6^ -3 2i°26^) — z6o° — >68°io^ — — m, folglich sinm — sinigi^Ao^
— sinii°Zo^ (ro,Zus.2.) und ootir, — cotlgi°5o< — corii°5ot
(>Z- Zus. i.). Daher wird
3 . sinwi.sin

53r
2/joo 5111 2l°l6^
-- 77 ^-77— — — 5,2284992 und cor IN ^ 4,7723567,
2000.0,2040655.0,4109841 ^ "" ^ "
a sili st
folglich cocx — cotiu ch --:-1- ——0,4556425. Die,
o . 8111 « . 8111 III
scs ist der Werth einer Cotangente mit einem negativen Vorzeichen, welches beweiset, daß dieselbe zu einem stumpfen W. gehört. Man schlage daher in den Tafeln die gefundene Zahl ohne Rücksicht auf ihre Vorzeichen auf und ziehe den zu dieser Cotangente, gehörigen Bogen von 180° ab. Es ist aber 0,4556425 — 001652511, folglich 180° — 65°^ — Ii4°2g/; also ist der W.x — i>4°2ch. Zur Bestimmung der Entfernungen, kann man die obigen Ausdrücke leicht durch Logarithmen berechnen und man findet
1) Iog-1 — Z,Zgo 2 ll 2 2) logn — 5,58021,2
— 9,8-91153 logsinx — 9,9590805
15,1995245
logsin» — 9,6158250
13,3592917 logsiii« — 9,6158250
IoA. 4 ,? — 5,5854995 logLk — 5,7254667
— IoK 5850,3: — 10-5514,5;
folgl. ^k — 5850,5'. folgst — 53i4,5'.
5) logb — log2000 — 5,5010500 log sili (L ch L 4 " X — 180° — log 81118i°i3' — 9,9948769
' 15,2959069
log 8111 st — !ogsill2l°261 — 9,5627904
log 6? — 5,7531165 —
5409; folglich log 6k — 5409'.
Anmerkung. Halte man die drei Punctes, L, 6 schon auf der Charte und man wollte ihre Entfernungen von k bloß durch Zeichnung bestimmen; so betrachte man ^ll und L6 als Sehnen, beschreibe über und ll6 die beiden Kreisbogen ^kL und Lk6, deren jener den gemessenen W. dieser den W. st in sich faßt; so wird ihr Durchschnitt k die auf dem Felde angenommenen Siandpuncl bezeichnen, von wo aus man « und st gemessen hat.

§. 54 -
Aufgabe. Die Entfernung zweier Gegenstände und 2 (Fig. 22 .) zu messen, die zwar sehr beträchtlich, doch von der Beschaffenheit ist, daß man von ^4. nach 2 sehen kann.
Man stelle sich mehrere Signale zu beiden Seiten der zn messenden Linie ^.2 so aus, daß ^2 so viel es sich thun laßt mitten durch die Signale lauft und daß diese eine Reihe neben einander liegender guter Dreiecke bilden. Nun messe man von den Stationspuncten L, 6, v rc. die zu jedem Dreiecke gehörigen Winke! von ^ aus den W. L^.6, von L aus, dieW. ^.LL, LLO, von L aus die W. ?cLL, LLO, OLL rc. Alsdann messe man sich in einem der Dreiecke, eine dazu bequem gelegene Sxite zur Grundlinie ab, etwa ^.L im ^LL und berechne aus dieser Seite und den in -k, und L beobachteten W. L^L und ^LL die beiden andern Seiten ^.L und LL. Hierauf berechne mau wieder aus DL und den beiden W. an LL, nchmuch LLO und OLL die beiden Seiten LO und LO und so setze man dieses Verfahren fort, bis man die Seiten O2 und L2 des letzten O2L gefunden hat.
Da man nun, der Voraussetzung gemäß, von ^ nach 2 sehen kann; so nehme man noch die W. L/^2, L^.2, O2^ und L2^; lasse ans den Winkelpunctcn L, L, O und L die geraden Linien LL, LO, OL, LL senkrecht herab; so kann man im rcchtw. OL.2, aus O2 und dem W. O2^ die Seiten OL und L.2 berechnen. So lassen sich auch im rcchtw. ^X ^.LL aus ^.L und dem W. L^L die Seiten und LL berechnen. Endlich

553
erhalt man im rechtw. LO6, L6 222 Lk — 6k
Lk — vk. und sucht nun 6v — aus den Seiten 6 V und L6. Durch die Berechnung der drei rechtw. Dreiecke ^.Lk, VL2 und LV6, hat man die drei Entfernungen ^.k, kk und L2 gefunden, welche den ganzen Abstand von ^ bis 2 ausmachen. — Zu demselben Resultate würde man auch vermittelst der Dreiecke ^.Ick6, LIL und L62 gelanget sein.
Beispiel. Wie groß ist demnach die Entfernung ^2, wenn die gemessene Grundlinie — i> — 6978', die beobachteten und durch Rechnung berichtigten Winkel
— 58-42'
^ 79 24
— 41 45 6 LO — 59 22 IZ L Id — 62 44 LO 6 — 57 54 O L L — 4g 46 <ÜDü — 58 Z 7 DLL — 72 Z7 LV2 — 59 26
— 42 24 V21: — 82°
D 2 — 26 52
O2^.— 9115 gefunden worden sind?— Nach diesen Angaben findet man im L aus und den anliegenden Winkeln die Seilen ^.6 — 10270' und L6 — 8926^. Im elXDLU aus und den anl. Winkeln, die Seite LO — 9563/ und LU — 9063. Im 6OL aus LO und den anl.
Winkeln, die Seite OL — 7146. Im 4^ OL2 aus und den anliegenden Winkeln V 3 — 4681.
Nun ergibt sich in dem rechtw. I) 2 L aus v 2 und dem in 2 beobachteten W. V2L, der Perpendikel OL —4279 und der Abstand ^2—5091, Ferner im rechuv.aus uud dem in^be-

554 -
obachielen W. der Perpendikel — J117 und der Abstand — 624z, folglich erhalt man aus der Differenz beider Perpendikel d. i. aus DI 4 — Vb" — 1162 und hieraus und der Seite LO, findet man — OO — V(9Z6Z^ — 1162°) — V86409180 — 9295,6. Also ist .42 — ^1? fl- 4 ° 14 4- X2 — 624z 9294 -j- 5091 — 20629. Da dieses Beispiel nur den
Gang der Rechnung zeigen soll, so ist dabei auf die dazugehörigen Dccimalbrüchc nicht Rücksicht genommen worden.
Anmerkung 1. Zur Berichtigung der ganzen Vermessung kann man »och am Ende die Seite 4.2 messen uns durch ein ähnliches Verfahren die Grundlinie daraus bcrcebncn; so wird die Abweichung, welche sich aus dieser Rechnung ergibt, zeigen, wie weit man sich auf die Richtigkeit der Messung verlassen kann.
Anmerkung 2. Da nun die Signale gemeiniglich auf Anhöhen gestellt werden und dadurch einige Dreieckpuncte höher, andere tiefer zu liegen kommen; so muß man sie sämmtlich auf einen gemeinschaftlichen Horizont reduciern, welches nach den oben gezeigten Grundsätzen der ebenen, leichter aber nach den Lehren der spharischcn Trig. geschehen kann. Diese Reduclion ist um so nöthiger, weil die Endpuncle der zu bestimmenden Linie ^2 selbst, in ungleichen Entfernungen vom Mittclpuncte der Erde liegen können. Um nun aus dem in beobachteten W.
den Horizontalwinkcl l>^.c berechnen zu können; so lasse man im Fall U und 0 höher als liegen, aus^., V und L die Verticallinien Ll> und 60 auf die Horizontalflache durch 4 . herab, messe die Erhöhungswinkel D 48 und 64 c. Nun kann man sich durch jede drei Puncte l>, 4 , c; L, 4 , b und 6, 4 , c; drei Ebenen vorstellen die in 4 zusammenstoßen und eine körperliche Ecke bilde», von - 4 . aus mit einem beliebigen Halbmesser die drei Kreisbogen L 414 , 14 0 , OKI beschreiben, welche ein sphar. bilden, dessen Seiten zugleich die
Maße der bekannten Winkel sind, daher aus den drei Sesi ren 4114 , 140 , 044 das sphar. Q der W. 44140

535
der Winkel welcher die Seitenflächen 4.I§IVl und 4^0 machen, einerlei ist, gefunden wird.
Anmerkung z. Das in (Anm. 2 .) gedachte Verfahren die drei Puncte 2 , 4, 6 auf den Horizont durch -4 zu redu- circn, hat den Vortheil, daß man dabei nicht auf den Erdradius sehen darf und man also dieselben Regeln anwenden kann, sämmtliche Dreicckpuncke 4, V, 6 , O, 2 auf einen gemeinschaftlichen Horizont zu bringen und dann die in der Auflösung gezeigte und an dem Beispiel erläuterte trigonometrische Rechnung mit Dreiecken vorzunehmen, deren Seilen mit der Grundlinie des Polygons in der durch 4, geführten Horizoiualflachc liegen. Die Aufg. in ( 34 .) ist nur als eine Vorbereitung einer weit wichtigern anzusehen, die sich damit beschäftiget, die Lange eines Bogens des zwischen zwei Paralellkrcisen enthaltenen Bogens des Millagskreises, der ungefähr einen Grad betragt, in Ruthen, Fuß rc. anzugeben. Die vollständige Aufl. erfordert einige Uebungen in der hoher» Analysis und setzt Kenntnisse voraus, die sich hier nicht vorkragen lassen. Daher habe ich mich darauf beschrankt, angehende Feld- messer auf die Wichtigkeit dieses Gegenstandes aufmerksam zu machen, und diejenigen Aufgaben vorzutragen, die in der Ausübung am häufigsten vorkommen und deren Aufl. sich aus den vorhergegangenen Lehren der ebenen und spharischcn Trigonometrie leicht übersehen lasse».

Druckfehler
Seite
140 Zeile 5 v.
u.
lese man
sin Ii sin 0 cos ^ anstatt siii Ii siii L cos L.
—
204 — 7V.
u.
—
—
997,66 anstatt 907,66
—
— — 8 v.
u.
—
—
997,66 anstatt 907,66
—
274 — 11 v.
u.
—
—
O I anstatt v O
—
— — 7 v.
u.
—
—
Oll anstatt Oll
—
— — 5 v.
u.
—
—
lVIll-MI anstatt Hil —XI
296 — 6 v.
0.
—
—
über und unter anstatt unter und über
gc>6 — 10 v.
u.
nach Astrolabium, fehlen die Worte: die Bordaische» Ver- vielfaltigungskreise, Theodolite, Sextanten')
—
Z28 — 11 v.
0.
—
—
§. z4 anstatt §. ZZ
—
35 * — 8 v.
u.
—
—
(Fig. 21) anst. ^,L, 6
—
M — 1 v.
0.
—
—
§. 35 anstatt Z. 54
Vielleicht mied es manche» Auswärtigen nicht unangenehm sein, wenn ich den »och übrigen Raum dieses Blattes zur Anzeige einiger Meßinstrumente und deren Preise benutze. Bei den hiesigen sehr geschickte» Mechanicis H. H. Sieb recht und besonders Mendelssohn erhalt man:
Bordaische Verviclfaltigungskreisc von 12" im Durchmesser von 10" zu 10" auf Silber getheilt, von der Art wie sie in Frankreich, Schweden rc. zur Gradmessung gebraucht worden sind, für 550 — 400 Thlr.
Dieselben von 4—10" im Durchmesser mit Stellschrauben
100 — Zoo Thlr.
Der verschiedene Kaufpreis rührt von der verschiedenen Güte und Vollkommenheit des Instruments her.
Sextanten von 5—10" im Durchmesser von so zu 20 See. auf Silber getheilt go —100 Thlr.
Theodolite von 4 — 8" 100 — 125 Thlr.
Bonssolen mit einigen Veränderungen 50 — 8» Thlr.
Astrolabien von 10" im Durchmesser von 10 zu 10" eingetheilt und sehr vollkommener Construclion 100 — 125 Thlr.
Meßkelten, deren Oescn durch das Anziehen der Kette nicht leicht verrückt oder ausgedehnt werden können 6 — 8 Thlr.
*) M. s. G. F. Brand er's Beschreibung eines Svieaelsexianten >c°
S. 9 —Zl. Augsburg 1774.