SW c $ f n n fl für d) n l e n unb f u £ $ gemeine £ e £ e n o D ec für olle biejenigen meW&e nod) menig i>a^on n>iffett« 3ut belfern «nb letcf;£«rn (Erlernung berfelbcn mit ben ainfangSgriinben bet- (Bucbffabentcdjnnng, «nt> einigen Sfjetfen &er gemeinen KecJjettfunff begleitet 33 o« 3 o | « ti n Sari liebet gtoepfe 2I6tfjeüung« 3)iit fel;r eieten Siguren. Erfurt, 1804» 35 e 9 @eocg Sfbam ifet>fer* & o r v e ö e* ‘yerjftdjen San? ben murbt'qen ^Dfdmtern, bie meinen etflen Sßerfucf) mit eben fo fdjo* nenber @üte, ab; treffenber Qümftdjt beur* tbeilt haben. 3fi re Erinnerungen merbert mit* a(ö cbrroürbtge fftatbgeber bei bet* $orfr febung meinet Strbeit bot Singen fiebert unb mief) ju befo forgfdltigercm^Ieifc ermuntern* liebet bett eigenen ^Man btefeö SSSerfs djenö, bet SIrttbmctif unb ©cometrie auf eine fonfl niefjt gembbnücbe SIrt berbinbet, unb bte notbmcnbtgRen ©tunblebten unb S3oi'fd)tiften bet erfren mit ben Sinmeifungen bet* ©ccmetde bombet, habe id) rmef) fdjott in bet $?ortcbe inm elften SMnbcben et# Hart , unb memt cß auc{) ntcl>t fcf)oit über# banpt einen Sinfdngcr in Iiteranfcben unb mifTenfebaftlicben Slrbeitcn redjtfeitigen ober menigflenS entfcbulbtgen tonnte, bet bem bejonbern EBcge, ben et gebet/ auf roürbige X * 2>or# IV 33 o t r e t> e. Sßorgdnger jitfücc weifen jtt turfen; fo wirb man eg i&m tocl) nicht terargcn, roenn er —- ofjne mit forglofer ©leidjgnltigfeit, blog bcm 2Ultdgltd)en ju folgen, unt ol)ne ein bcfon* tereg *>erbicnfi in nutdofer 21broetd)ung tont j ©ewfcljnlidjen ;u fudjeu — t*«rd) nütdidje ©ebanfen unt l&blic&cS SSeifpiel eineg fad)* funbigett SDlanneä auf einen neuen 9Beg aufmerffam gemadjt, tiefem nad) forgfdid- ger SSeobadjtung beg 3 kI$/ jii meinem ec führet, mit Ueberlegung unt feilem Skmujl* fepn ter 2tbffcl)t, Die ifm leitet, big jum (£nbe &u folgen bemühet iff. 3n tiefet Svudftd)t ad)te id) mid) glücflid), Den ef)t* roürbigen SScrfaflcr Deo tterten unt folgen« ten Stetig ton tem allgemeinen bekannten «nt gefdjefeten f)allifd)en ©lementarroerf, alg Sßorgdnger in tiefer befontern 59?etf)obe ter Sßerbtnbung Meier fonft getrennten matfje* matifdjen SBijfenfe&aften nennen ju fbitnen, oljne ein getanfenlofer ober fflatifdferüRacl)* aljmer tejfelben fje$en $u turfen. j 2Rod) fuge td), einer Slufforterung jn $olge, etliche SBorte bei, über tag neuer* lid) ton einigen ad&tungSroertben 2Jldnnem in Anregung gebraute unt mit SBdrme em* Pf# ■. 25omöc* v pfoljlene — ober tüte ite cä nennen — üaun * 3<*idenfyßem , mel* chjeö me&cSBibcrfprudj, alSSScifalf, gefunbett 9 U haben fdjeint; abet* alö bloßer feiger unb S3eurtl)eiler beffen, maS mir bon biefem ©t)ftem auS einigen bffentlicfjen flattern befannt gemorben ift — beim baS 5 öerne* tmrgifdje SBcrf felbd ifl mit 1 6 i$ jejt nodj nid)t $u ©eftdjte gcfommeit — fann ich) be* nen, bie nod) feine M enntniffe babott haben, ober fid) lbenigftcnS feine ihnen genügenbe SSorftellung babon machen f&nnen, — fo »eit eine 33orrebe bie3 gejhattet — nur fol* genbeö baruber lagen: Sie !Üfenfd)ett, bttreh iljte je^tt Singet bereinigt, ftnb feit uralten Betten gewohnt/ immer bom Bdmfadjeit jum 3eljnfad)en fort* fahlen, woraus bie SDefabif ober utn fer allgemein gebrauch)ltd)eS £>e 3 tm«l*@y* fiem enttfanben ift, roeldjeS nebjl anbern Baf)len = ©pftemen, (bergleid)en bie £eib* nifjifdje 2byati£ unb bie $öeigclifd)e Zmat» tif, folglich) and) bie £>©befabi£ oberbaS 3Öerneburgifch)e * Saßermag cS fommen, baß t>ie ©eometer tat ©ertanten Der 3 tt'ft'Ipe* rip'berie m 6o@raD, (fofglid) Die cjan^e ripßerie in fed^mal 60 ober 36o©rabe, unD jcbcn ©rat» in 60 Minuten :c.) eingetbcilet haben. Ser 9 ?u|en Der Suobejimal * ©ndjei* Jungen empfiehlt fiefj felbß, unD es mirD nid)t leicht jemonö Den 3 Öunfd) mißbilligen, baß man alle im gemeinen geben üblichen. <£in* tfjeilimgen auf Die 3 aljl 12 gegtünDet fjaben möchte. Sagegen fjat Da$ Sexual= 0 t)* (tem Den tmldugbaren SBortbeil, Daß nadj Demfeiben, alle TftccfjnungSarten, al£ Dg 3 ^IDDireti, ©ubtrabiren :c. Diel letdjter Don ©tatten geben, mc^megen ntd)t nur Dte Sc* jimalbrüdbe fefjr beliebt ftnD, fonbern audj Die ©eometcr incsbefonberc bei Den ?Rutfien, ©ätuben, 3oi(eit :c- lieber Daö 3cbntljetltge Sftaaß / al’o Daö jm6lftf)ctltge brauchen. & ftmntcn aber Die beiDerfettigen 33 or* tbeile moljl Durd) allgemeine ©nfübrung unD SJnmenDung cineö SuoDe$imal= 3 ablc 3 ÜDeJiü nuilfpftcmeO 2000 ="i2X ia« 24 = 3456, — — 3000 = 12 x 12 X 36 = 5184 2C- — — SInftatt bet ©Cjimalbnicfie mürben bann mit gleichem imb nod) .grpfi.erm SBortfietl JDuebejmtd* 23 tucbe eingefüljit mcrDeit / imb vermöge beten mare: O f I -TI» o, 2 = Y S 2 = O/ 3 —- t’t = * ‘ Of 4 —Tf 4 S — T* O/ 5 i ? 5 * G/ 6 --'s' *C* O» 02 = j ^ ^ rr= yj « O, 03 = VJ. 0 / 04 = 1 ^ 5 : = -j'j* °/ 05 = T«i O/ 06 = Y 4 'T. =: = iV ’C* 0>cft fo: 0/001 = ± 7 * 2 '$ JC* Unt» mer fteljt niefjt fefjott an biefen me# nigeit Sßetfpiclen, ba§ bte ^'rogceffi'on in jicm 2Duobe$nnd# ober gmblfner # ©t)f?em mcrflidj flarfev ift, 0I6 tit Dem Sejimal» ober 3 $ner*©pfietn? beim 100 nad) Dem erflern $3 o t r e b e 4 2u ertfern = 144 ift ja beinahe um bie £>alfte mehr al 3 100 nad) Dem lejtern unb ioco nad) Dem ertlern = 1728 lft-ineit übet* bie .§dlfte mcf)r, als iooo nacl) bem Icpterrr. Sjagcflcn ftnb aber auch mehrere 0dtwtc* ricifeitcn, bie ntdjt alle glctdj leicht ;u über* mtnben ftnb, uuoerfennbar. £Dte t>ornei)m= ffen ftnb: 1. SÖcnn mart aud) für btcfc£ mebr um* faffenbe @nt?cm bie bisher gewöhnlichen Siffent beS Sejitmalfpftems um mehrerer S 3 c= quemlid)f«c willen lieber betbehalten , als lauter eigene neue getdjen erfütnen will: fo wirb gleichwohl noch bte Gümfubrung steter neuer giffern nbtftg, mit welchen 3e^e» mit» eüf bezeichnet werben müßte; ba 10 unb 11 nach bem ©ectmaifoftem zwölf unb breü, Zehen bcSlöcttmalfpüems anbeutett. X)iefetn SBebürfniß bat jebod) fefton ^r.XX^erneburg einfach unb gut «bgefjolfcn, ittbem er zur 33 ejeid)nttng ber geben eine umgewenbete ober ItnFS gcfcljttc 3 (0 unb zur Söezetcfc nung ber nuferet)Cit Ieidjt beigefitgt werben föitnten. Slber 2) 23 o rrebe. XII 2) um SBerroimtng unb SSerwedjfefttng mit Dem 3 e 5 «er fteigenben spotcn^en beS 3d) ; nerfnjlemö, ndmlidj ^»nbeit, ic ä&nltdj flctgcnbcn ^Jotcitjcn beb Suobejimal* fpilemS übergetragen werben; fomarccPHum S&etfpicl nid)t ratfjfam, aud) bic sroblffadjett 5n)oifnec!(ober Zr- SBerncburg fte nennt), als ioo (= 144) 200 (=288) 300 = (432) :c. burd) bic Benennungen einty unbert, smt^unöett, btei^unbett :c* auSHubrücben, wie man fdwn bei ben jeljnfac&en Bauern tfjut. & müßten alfo neue aber eben fo einfache, alP ber Statur bei? S)uobeHtmaIfi)ftemS angemefjene Benennungen ber jleigenben$>otenjen, cingcfüßrt »er# i>en; um btefeö neuere @i)ffem fd)on bttrdj i»en Sluäbrucf beutlidfj ju unterfdjetben. SLÖtei fern £r. Berneburg aud) für biefeö Bcbürfi «iß (jtnldnglid) geforgt ßabe, bleibt bem llr* Jbeil berer überlaßen , bic fein SBetf felbji gelefen unb geprüfet jja&ett. 3?o# $5 o rr e & e* xih sftod) aber ijt bie größere 23ebenflid;fcit übrig, ndmltdj: 3) ©a c! f<^on obttebtc! vielen 9Xnfait< gern fdjwer wirb, Dag ©ejitttal*©pßemge* porig iu burdjfd)aucn unb fiel) darinnen feff* jufepett: fo würbe bie Erlernung biefe! neuert ©pfkm! au! mancherlei ttrfadjen nod) mef)* rere ©cpwierigfeiten für fte ljaben, rtnb weil bod) wegen ber fdjonvorfjan&cnenSKecßnun» gen unb ©cfsriften, in welchen ba! ©eji* mal > @n|iem f)errfd)t, unb bie man webec alle vertilgen, nod) umarbeiten wirb, ba! ©ejimal*3aijlenfr>lTem aud) mit beibefjalten tmb gelernt werben müßte; fo würben mefj* rere, bereit SBeruf bie Äentttniß beiber ©p» fieme forberte, mit boppelter ©djwierigfeifc $u fampfen baben^ unb mehr Seit aufmenbett mü|Ten; obgleid) übrigen'! bie 3tcd)nung!ar* ten (namlid) ba! Sibbireit, ©ubtrabtren, SDiultipltciren unb ©ivibirett) ttt beibcn©p# (lernen emanber analog bleiben, ©ne nicht geringere ©djtvterigfeit wür* t>e audj 4 ) SJorreö'e. XI v 4 ) Sie Uebertragung beS Saljlcnmert^eö aus Dem einen @r,frcme in ba$ andere, web d)e bcfottberS im Anfänge Der <£infüf)rung, unbcrmeibitch unb häufig erfordert mürbe, Vernrfadum; menigftene würbe bte gegenfeü tige 2>mchnung benen, btc bamit nicht ber* traut waren, Junta! wenn eS blircl) .Stopf# rechnung unb in ©cfchminbigfeii gcfcbebcit follte, feine geringe 'Stühe machen unb jtt mancherlei Fehlern Einlaß geben. Safjer barf man fiel) wohl nicht wunbern, wenn unfer Seitalter, unb lüeü'eicht auch einige folgenbe, jur Slufnahme biefeS müh* famer fdjeinenbert ©pftemö wenig geneigt ftnb. (£ 0 > folgt aber barum nicht, bah eö niemals feine greunbe unb Anhänger ftnbett werbe. 3Ba$ wir jejt für entbehrlich anfe« hen, bas fann bielfeicbt eine in ber geizigen §3ilbtmg hoher gediegene ©encratton ber Fachwelt, für ihre höheren SBebürfnifie fehr angemc)]en ftnben; wie ftd> je$o bte Stathe« matifer unb 9ijironomen burd) ipülfe ber So* gartthmen unb algebraifdjen ©Icidutngen fo manche große unb weitlauftige üied)nung ab« furjen unb erleichtern, bte bielleidjt unfern Uro« SS o r r t b e. XV Itrbatern für eine fjerfulifdje Arbeit gegolten fjatte. UnD toec i|t 33ürge Dafür, Da§ nid^t Dereinjl unfere Station, Die te^t Die SBemft« Ijung ifcreS SOZitburgerg mit faltet ©Icidcut» tigfeit anfieijet, Den w>n if)m mitgetljeilten ©eDanfen, wenn er Don einem $ranjofen oDer ©nglanber aufgefajjt, auSgefü&rt unD altS eigene (ErftnDung in ein glanjenbeS £tdjt ge|Mt fepn roicD, al$ eine mistige (£ntDef# fung willig annefjmcn unD ljod)ad)fen wer» De? fo wie and) fdjon Der fd)OttlanDifd)e SMron 3o^ft Hepper also ©rftnDer Der gogarittjmen gepriefen roorDen ift; obgleich Der Deutfcfje jiußus 25ytse, ober nocf> waljr* fdjeinüdjer Der ebenfalls Deutle tnelc^iot Stiefel, roeldjcr fdjon tn feiner 1545 ge# Drtlftett arithmetica iiitegra Deutlirf) DOtl £oga* titljmen gefprorfjeit unD fie erflart bat, ge» red)ten Slnfprudf auf Die Qüfjre unD bas> 33er » DienjfiDer (Erjtnbuttg machen fonnte. UebrigcnS überlaffe td) e£ Bißigermaf ett Dem geehrten ’ fpu&lifum, unD öorjüglicf) fadjfunDigen Scannern, forooljl Diefe meine unbefangene ©arjMlung De6 SöScrneburgi» fcbeit Sauujabienfpjfem^ al$ au# meine Sfr# XVI SÖombe. SfrBcrt m= btefem fetten SBönfrdfjett, imdj ©ebü&r £u rourbtgen; bet td) bcn crnfllic^ett SQunfd)fjege/ burd) meine Söemüljung rotrf* lief) nüjlidj $u merbat, unb Anfängern ba§ Erlernen unb Raffen jroeief midjttgec SBif= fenfdjaften ju erlcidjtern. $utt|fät>f/ bett i£. SRdi'S 1804. Set SBerfgffer. 3 tt \) a l ti 3 n & alt- S'eite: ©i>ti 'ParaBeüintcu * i t i tparalleritnien jit jiebett i 6 3J»it &c« gigurett $ t i 12 SJoit beit IDreiecfett t t f 17 53ott ben USierecfeit <■ ff t 20 ©ersielfiUfigung ober SOhifttpItcafioit bet ©rSjjett 23 Ceifpiete bet SKtiKiplicaticn be$ Sectmallättgetu ntaaßei * * 30 33om £>itabraf »fOIaajje t * 39 SÄulfiplicrttion betf ®ecimal* SlikljettmflfltjeS #bet bet £5itgc mit bet Sßrette * 44 SSon ©rljeBmtg bet @ri5fjeit ju ßitflbtatett tmb »tw Öunbtatjrt(;fe» * f t 4cv SreiecFe > ? * 6z geichnuttg gleichfeitiger JDretecFc 1111b SSÖinFel 65 Sie SP-ette jmeper ®egenßänbe ju nicfcn ? 67 Sie ©eite jiwci)er Serter ju finbcii/ rudere nmit ge? rabeju nicht meffen Faun ? ? 6 8 Sreiecfe »oit beftimniter ®r8jie ju errichten ? 74 Stydlung eines gletchfctenflichen SreiecFS ? 77 3 ebcS gietchfeiligc SreiecF l;at gleiche SöinFel 79 Steilung einer geraten £tnie in jrcet Steile * 81 SEte tfjtilr man einen Sffiinfel in jrnei gleiche Steile 83 fffiie errichtet man eine fenFrechte £inie auf einem gegebenen pullet einer geraten £iuie t 84 (Errichtung fenfrechter £inien im Selbe > 85 Errichtung fenfrechter? unb f))arallellmieti ? 97 ©limine ber ©ittFel in einem IDreiecFe ’j 77 golgeffihe teil ssfien «Paragraph 1 * * ? 99 fßon ben äußern SßinFeln ber Sreiecfe ? 102 Steilung eine« geraten ©inFelS in brei Steife 105 Errichtung einer feiiFrechteit tinie auf teilt Enbe ei? ner geraten £inie ? ? ? 106 Ser grßßte SEinFel in jebent Sreiecfe fleht ber gr$ß? ten ober lÄtigfieit ©eite gegen über ? 108 Saigerung ber Schrfüh« be$ 38 tp«ragrapf>reiecfc »oti einerlei ober gleichen ©runblinten * *ßietecfe in ©reieefe ju oertoßitbein t * «Bon gerablinicljten ©reiecFeu t t 5Boit gerablintcl;teu SJierecFen t t ßuabrate su oerbopeln f s * ßuabrate ju abbireit * * ’t 126 129 130 i 33 135 13s SBie fmbet man bie ©t'fferenj ober beit ttntericbieb jtoeier SBinfel ober üttabrafe * * 141 gtubmefftmg ber -paratleloßramme * * 145 Stauten unb Stbontbotben }u mefien « * 147 ^Berechnung ber Srapcje oott jtoei paraDelfetten ober Sßenoanblung bevfetben in Parallelogramme 148 PUO, X* 3 «$« i f» Slugmeffitttg uttb Sflerecbttutig utiregelmäliiget’ $(äcfjen tu fcfmflicbeu Sollen, bittet (parallel«Srapeje 151 5Ple(fungfntmmliiticpter ipavallelfläcpen t t 156 ©ermanblung ber Dreiccfe itt iparallelogramme 159 Sßenvanbluttg bet Sretecfe in SßtemEc « 161 33on 5 >tefe jtbei) SßUtter Rabatt iverbeit att$gefd)itttfeit t 23on ^avaUeUinien *• i. ^[•McalfeUittien ober gtefdjfaafen&c Cinien, ffnf> foldje, bie fn einerlei i£6enr unb Sviditung neben einander t)in* laufen, unb in jebem fünfte gleid) weit von einanbcc entfernt 6leiJbcn: foldje gitiien fönnen alfo niemals ju* fmntr.cntreffen, man mag fie auf beiben ©eiten verlän» gern, foroeit man nur will, ober fann. ®o fmb jum $Bei|piel bie üinien AB, CD unb EF pnrßllej. A B C 7 ) SRcßfunft f. 0djuleti ztt Slbtfj. 21 3 93ott 'Paraßcümim. (£ 6 en fo taufen autl) SHFeHcnfcn unb Sogen t bfe buS einem unb bcmfelbcn SOiittetpunfte gemacht |tnb emanOci’ parallel um iljren SKittelpunft, j. S. bic So; gentfnien AGM unb BIIN $• 2 . Sßenn jmei getabe ^ataHeB/nlen uon einer .Stiften £inie burd)Ereu,it roetben ; fo entließen butc& biefe? Söcc- fahren in öiefen brei £mien adjt SBinfel, nemtief» vier Äupece Sßinfet AB CD unb »iet innere SSSinFet ab cd. Slg. i. b/d bl d A a b B a / c C c d D Al C / , ' :. Sig. 2; . 33 on biefen SBtnletn (mb smef unb jtt)ei ; gleid;Itc» ^en 5 >* g, S. A unb b, aunbB, Cunb d, c unb D. int'el: nemlidj a unb d- c unö'b finb innere VüecBfelnnnM; hingegen A unb D. Cunb B ßufjere IDedjfeltomi’ei. 3n bei’ go(ge werben biefe £eftrfä§e nafjer öeftimmt unb au» einanbec gefejt werben; nemlicf): I) S>afj jtuei fParaßellittien oon einer öriften burf* freust , fcroofjil .innere a(ä auficce gleiche Wec^fel* icutit'el fyaOen, ober önfi a = d, c = d, A = D, C = D. Seiner: II, baß 6ci eben biefen Stofen bic cjleicfjliegettöett SBinfel einander gleidp find , ober baß öie in» tiern Witifc’el eben fo Qceß finb , olö Die entge» gctiftcfjcnben naf bcnfelben Stiftungen Wegenöen, äußern tV’infc'el ober 2f 2 A 4 85ott 93avaüeßinien. A = b. C = d. a = B. c = D. 3 » 6« etffenftfgur, tto bie jDurcbEceujmigfllitiie bie patßUeUitiien fcnfcccfjt fdjueibet, fdüi bie'$iid)t(g* feit biefct Seljrfdtje o!)ne Qiemeis von fe(6(t In Sh 21 u* gen, weil Msecl) biefeSSSerfaljren gerßDe ober fogenannte redete SBinfd entffe^en, bie cinanbec alle gleich finb (§. 53. I. 2(6t()l.). fiegte man a&cr in bcc jroeifen gigur bie ccftc ‘Pa* ralleülnic mit lljrcit SSinfeln in bie jmeite fo bofj in beiben bie Sßinfel jnfammenfatlen , fo mürben nid)t nur bic einanber entgegenfte^enben ober gieid)liegenben 2Bin< fei/ gum Söcifpiel A unb b ober b unb A, eittemier öeEEetiunb aifo etnßtiber gleid; feytt (§-5r. I. abtöl.)} jonbern man mürbe auch baburd) bieVüed;» fetoint’el in ©ijeitelömifc’el uerroanOcln, bie a(S feiert aud) «itinnöct gleid; finö (§, 93. I. 216 tljt.). g 58ott ^arafleflinieit. 5 5SSicb 6 ic £mlc ef auf bfe CinCc gh gefegt, nnb Jtönr fo, baß in beiben bfe Sßinfei in eitianbec fallen: fo fbmint bet [_ A auf ben L «, unb bec L a auf brn L ß ju fiegen. golglid) tuitb feer [_ A ein @d;eiteIrcitiHel von D unb eben fo bec [_ a ein ScfjettcirrinHel non d. 3(t aber bec L A = l a fo muß ec auogcn in a; U'ooutci) Die Entfernung ab Der Sljiaug aß ö ( C icf) ge» maci)t wirb: an Den QJunft ct unb öcu dußcijtcn *3>unft Des ‘i&DgenS a legt man Die ©cßarfe eines Sineais ati/ unb jiegt Die ‘Pacalielifnie C D, Um vcmu'ttcitf cincö SBinfelfjafeuS unb SiiteafS ffa bie Cinie a b buvcf> Den ßeifeBigcn QJunft c eine Qiafat; (ellinic ju sieben, legt man Die eine tUante DcS SSSinfei» fjafcnS A ganj genau an Die gege6enc Cinic a b an; unb an Die anbere ^aute fjäit man ein Sineal B genau unb fefi. 2ln Diefem Sineat fcßieBt man Das Sßinfeimaaä hinauf, Bis an Den gegeßenen QJunft c, mo Die Q>araf» lellinie gejogen tuerben foil, unb nunmefjr naeß Dem Sßinfeimaajje gejogen tuerben fantt. Sa Die innern SBinfel e + d a(S gerabe in ©urnrna 21 4 3 wei 8 iöort 9>araHettimm. $t»d ctetaöcn SSinfctn gleich |tnb(§, 2 . III.) fo möffm blet'infcn parallel fcpn. 9Iod) Iciducr (mb auf biefe 2kt «ermittelt eines ^oljecncn jDteied’s ^araUeüirilcn $u jicf)en. Surd) ben SOJan 23on ^atattettinUn, P'nn legt baS ©refecf abc mit feiner einen Meinte ab an bie Cinie AB an: bie anbere Sante ac ober bc tes ©reiefÄ leget man am fiineal ED bid)t an, unb fd)iebt an bem in biefer Sage feggef)a(teuen ßineale baö Preief lo tucit tnbie ^tßljc, bis eS ben punFt C; erreicht; tvoaiebann, tuie beim 2 ßinFelf)afen, bic Paraüeüinic gejogen roerbm fann. Pie Ein e FG tnug parallel fepn mit Ali, weil ber SBinfel «/ 3 S gleidjliegenö mit bem üBfnFel abc; unb atfo beibe äSinfel felbfi einanbec gleich ftnb (§. 2. II ) 2lnttterE. ©aS Sineal wirb alSbann nur fdjief ange» legt (Siche bie 2 tcgigur), menn fid) ber gegebene pnnft nidjt gerabe über ber Sinie befinbef. ©ureb ^)ülfe ber Parallellineale, bie non uerfcbic» bener 2 trt unb ©üte ja fegn pflegen, ParalieHinien äu jiehen: Sa« geiubhnlidje Parallellineal, tnie man cS In bett Sieifjeugen finbet (roelcbeS aber in vielen gatten ums brauchbar ifl), begeht auS jmei Sinealcn, bje burd) be* roeglidjc mefpngcne ©änbmbcn fo jufammengefugt finb, C A. B, 21 5 baf 10 $8on Karaffe öinietu tag fie in g'ekbfbrmigec 05 Tcauu strammen unb m cinanber gefdtoben merben fSnncn. ©ofltc Curd) ben Q3unft C eine ßinic mit A B parallel gejogen werben x fo legt man baß eine ßtnea! a b auf öie Sinie A B unb tljnt baS anbecc auf bis sum QpunEte C t Wo alSbaun bie Siuie gejogen werben fann. 2(nmert'ung Sin braudtbareS SBerfjcug jum Seinen glcidj« laufenbet’ Sinisn, als bieg «Psrallellineal , giebt bnS 2ln* fdjlagclineal ober bie foge» nannte Slrigfdfienc aß; bodj fann rS nur bei Den Setc^i nungcu auf's Stcigöret *) an» gemenbet merben. fDaS 2ltt» fdjlagclincal 6egef)t auö ei» nein ßincal a b , meidjeS auf einem bamit oerbunbenen Quecrfyclj e e fenfredjt ftcljf. Muf biefem Quecr&olj i|l eitt eben fo großes SLuect^ofj cc *) gür Slnfänger ftnb SKeißBretcr »ott ber ©rSße eines _geroSl)nlid)eu IßapierbogenS ßinretdjenb. ©emblfnliclf ftitb fie mit einem 9iaf)meu uevfeben , in beffen gal# jen , worauf bas Rapier genau gelegt unb bie »ott lejterm übrig bleibcnben SJüttbcr um bie bauten unb ©citenfläcßoti beö DlcißbretS jurüfgebogett werbet; muffen , »genau eingreifen muß. Sluf ber linfeu ©eite wirb b«S eingelegte ©ret mit ßuccrriegeltt feflge# 58cm 11 c'c ßeweglfdj, welches mit 6er iefe ©rinji finien fee gtguc [feigen tf>ce Pleiten: unO Per Siauttt jroifdjen Pen Sinien fteißt Pie SiÄdje Per Sigur. .fjier» ou6 fofgt: Paß Per Simm an ftcf> cine'Siacbe [feifjt; unter Siguc abet niefet nur Per 9taum, fonDecn aud> feine föcdnjlinien mit »crftanPcn roerPen. 2Ufe ©eiten Pec giguc, fo feen fte jufammen efti ©anjeS auemadjen, inPcm fic um Pie §läd)e Ifcrumiau; feit/ Reißen Pec Umriß oPec Umfang. (Perimeter) B A 2?o» feen Figuren/ *3 ABCDE ift ber Umriß be£ ©anjen unb 6K6et mit bem barinncn enthaltenen Kamne eine 5?ig«r ab, bec Kaum aber Velber, öen biefer Umriß etnfdßießt, t)ü$t nur bie ^'ladje biefer gigur. «hieraus folgt, baß nur bieöeitett ober@cdnjIinfetl einejigur ihrer roafjren ©eltalt nach beftimmen fbnncn* SBec mitten auf bem ÜJJeltmeevc fiel) befinöct, bet ficht jroar bie 51 ad?e beS SReereÄ, a6cr nicht beffen 5igur; roeit er ben Umriß ober bie ©rdnjUnicn ber Ufer nicht übcrfcljen faun. 2tuf einer fianöi ober ©ce-ermifd;tlimd;t, fo finb aud) ihre ©rfinjlinicn 511m 'Sfjeü cjeraöe unb jum Sljeil Erumtne, mie gigur C. Unter ben fcummlir.lchten gigurett ift ber 2 Nteis ber merEmörbigfte. ( ^ine reguläre 5igur ift, bie lauter gleiche ©eite» unb 14 -SSott ten gi^utrcn» mit) Wint’el §at, 5 > ®- bciö 0 c$Sec? ber S5fcncn. obtt itt btt wcnfgftenS Me ciminftct entgegenficljeriben SBinfcl unb ©eiten einanber cjieid) finb, 3 . 53. baS fang; Jccfie SSicctf cfticö ßeu)i5f)n(id)cn $ifci)e*} ober einer ©tu; Cent&fir. ^mguicke ^igueen Ijafien ungfeidje Seiten unb ungleiche Sßinfct, 3 . SS. bt'e gigur ab cd. 2 tcl?nlidE ?2 5 ignt-eit ftnö--fofdje, bie ein nbec in SBinfefn tmb im23ctf)flitm'g bec ©eitert / gleich fommen, nOee nid)t einerlei ©rege ()a&cu. 3 . 53. bie. öeibm gii ötireu A B C D E F nnb a b c 3 e f. 93ott fcett gigurm» c A F '§• 4 t ' 3 ujei gcc« 5 e iUnfen fcil&cn teilte Sigue, bemijie fflnnen t»ol)l «inen SSinfel mit einanbeu ntadjen (§.150 I. 2lbtl)(.)/ xered5e, D imb d ^ünfecüe, E und e Sedjeedre, Unter tiefen v?/gurcn n>irt man leiefjt die regulären von öen irregulären ju unrer|d;eiden miffen. §. 6 . ©teilt man fidj «or, daß öfe Jignt auf einer ifirer 0eiteti rufje. 3- ©• fofgenöeö 0reLcE auf der @eite 6 II oder da§ fSiered; auf dcr0eitc NO, fo fyeijjt man tiefe 0eite die dminölime (i&afis ) der §igur. Sie fenfredjte £inie JK des'©reiecEg, oder die fcnEcecfjte Sinie LN oder MO dee SöierecfÄ, die auf ter ©rundlinte oder deren SQeclmigerung ftcf)t und den entfernteren *})unft der §igut erreicht, giedt die Jj&fye ter Sigur an. 'S. 7- S55on öen Siguren. 17 J L M yf N 0 G H K 23 on ben ©rciecfctt. 2(ft? niÄg'iife gccabiim'djte gigucen fänncn in Srcil ttfc eingetftcilt inerten. inerten, »en großem Siufscu ijtj jo möffen rcic tiefe gigur RÄ^et fcmien lernen. @int ade troi 0eifen fce? ©reiecft gfefcf), fo fjeißt t£ ein gleid)fciticeö jDceiecEj man nennt tp auct) ein t'rgnloveä (§. 2.) SKcPuttf, f. 0(f:ulcn zti S> B £)a tiefe Sint&cilung, inie mir in tei* Sofge feften S3un &cit ©veiecfen. ©inb jiüt’i ©eiten be$©«fecfö eibfinber gieici)/ 3 tut» ©effpici rcie an fulgenbem S>rei?cf bfe ©eiten a e nub bie bajmifcäjeti liegenöe öcitte®c;tc ab n)tt‘ö öis <35cunöa linie ober §3afio genannt. 2)ie bciben gleichen @d)cu» *«l fsnb entti'ebd' f feinte ober grbjjec als bie ©runblinie. 3ft feine ©eite beS SrefetfS bet «ibcrn gfetef;, fs reguläres £. 2, pbet Scalenuin) §. ©. baü Steife® föoa Öen eöceiecfen. *9 SBcnn ftec eins von fccn SBinEeln ein gevaöet fjf, fol)eifjt eiSeingeEaiHvinEifcbcßSbrdec^ g, ©* bai ©seiet? b ac b a c 3fn bert gcrabroinflii^en Sbreiccfen §nt jtbe ©eite i^cen Sonnten« Sbte beißen Sinien a a unb a b , ivefdje ben geraben SSinfei cinfebließeu, beißen Katheten; tmb gerecinif gticb wirb ber eine ilötfycte aiö ©runöUnfe ober ©aftS angenommen; toeil in foldjem gatle bec anbere ^ai^cte ab bic Jp5f)c be$ ©teteef« jugleicb angieöt. Sie brüte ©eite bc, welche betn teefcten SBir.Eel gegenüber ffoßt, uttb bie lüngflc von allen Drei ©eiten i|r, [)eißt bte -^ypotetnife, 3(1 ci'ii- fhüv.pfcc SSInfel an einem Sreierfe, fo iß tZ ein ßimipfojiiii'lidjcs jDteicd 1 * % ©. bas Sreieef kml, ni ^>at aber iev Erränget lautes fpifcig-e SBinfcl , fo iß % es 20 93 on bsn ©reiccfctt. * tS ein fpir,vdnl‘wd;c9 jTreiecE. 3. ©. bai Sreiecf n o p, p 23on i>en 23iet*ecFen. §. 8 . 3}ad) bem ©reiccB fonimen bie »ferecfigen ober »ierfeitigen S^men. SBferfdtlge giguren jtnb eutroeber: Parallelogramme, b. 1). felefcerierfmige gigm ren , an tueldjsn bie beiben cinanbec gegenüber ßefjen» ben 0eiien völlig cinanbec gicid) finb unb parallel lau» fon. Ober Ecapejis, univgelm«(jige ‘üiereefe, too feine @ei!e bcc anbetn parallel iäuf: ober gleicf) »fr. (Die giguren A, B unbC finb Parallelogrammen, D ein CEcapfjium ober Irreguläres SSitrcef, 22on bert SSicrecfen. 2 > © ; e QJ’.rallelo.iramui? fttiö i'erf'.1)'ebcn nad) l^ren ©eitet» unb VDint’eln, unb bnju gcfjären i) Die glcidbfdtigcn ‘üicrecfe, unb biefe ftnbcnfweber ger.'-öc Vierrcfc’e ober get'd;obi>»ie: ©ie geraden ©i.rrdre baben »lebt nur gletdie Seiten, fonbcrn and) gleiche tVmfc’cl, unö fyeb (jcn oerjüglici) (Uusötare. 3 55. cbcd. ©icg fd;obeim» ©ierccSe [jäten junu aucf) oiec g!c;d;c ©eiten,. aber lauter fdjitfe SBinfel, unb tiefe 2?isrfc?e [teigen bauten ober 3\j?ombi. 3. 55- öic gigur efgh . r h er 2 ) ©ie lernglidbtcn ©irredfe, an benen nur ja'cl utib Sind citiauöcr eutgegen|tei)cnbc ©eiten etnanber gleich fiui). Ober gefcbofcett, wenn fte fdtiefe SBinfel fja< 6cn ; biefe gefd} 0 &etmi (nnqlid'ten tBicrccfe fjeigen !ätig!id>e J\amet» ober Jsbemboiöcn (Rhom- fcoides). 3> 55. bi« §igur n o p q. a b ©ie ftnö and) cnttue&ergernöe, trenn ft« nemtidj getabe SSinfel Ijabeti. 3> ©. tuic gigur iklm. © 3 in 22 m ■jöott bcn SSicvccfssi, l q / p / t ! n o j k StstmeiEmig. StUe Figuren f bk mehr ol$ oter ©ei; teil haben t heißen überhaupt ‘üickcfe oi>cr polf» gone. §• 9t ©kjemge 2inie, bie qucee fmtdj eine Jügni: von einem SBuifci bk jii einen* entgcgengcfciun SSinfcl ge; jogen wirb,. beißt eine Cßueer; ober jDiagoiisliiui?. g, ©. bic 2inie AC in bei» SCkrecfe A b Cd, d C ©utd) folefie P-uecuIitiicn mcrfcrn bit ^igufeti in ©reieefe ämljctlt. (S« verfielt {ich aber »cn feibft, baß in 23on &c-n 93iefecf?n 23 in SGitledcn mehrere SiaganaUinion gelegen roerben tnöffcn. 3. SS UeBetfyaupf f-raucSf man nfiei in feiern SSicfccEe Brei SiagoimUiiiien ti'cnigcc, aiS bie Sigur SBIafel fjat. n3ci 4 biclfältifl*tnct mcljtct rcina! ju ftef) fefbfi ^injugefcjt werben foi! / 5. ©. bie Orßge a in obiger gigur unb fie 3ßf)I 4 m vorigem Seifpid), fjdfjt baS ilTultipücanöum: Die anbere, welche mtjeigt, wie viel mal jene genommen tw eben foll, fcer iTttiltipIicatec ; beibe nennt mar» gaUtoces *) : unb waS IjerausEommt. nennt man bas Pvoüua ober gactum , baS SKultfpfum ober SöielfÄltigf. SOiultfpÜfanbum. ’IDiulriplicatot. 4 mal 3 = 12. Qjtobuct» gaftorcS. Sa« Seichen SJJIufffpliCfltton ifl ein 2 (nbteaSfreuj X ober tfn iJJunrt. 3 *) 3» sett»i|Teti SJuEjuhfen, tie in bet golge eifert iw* beit, nennt man fie aucl) SUiSmcffungeit (Simen» (tonen) unb SBurscln. 25 SEftufripficarton feer ©rojjeiT. 3 x; 4 ({es 3 ’mol 4 4 . 3 lies 4 mal 3 a X5 a lieg a mal n a . b iieS a mai b 3 a 6cc 33 ud}|taScnrcdjnnr.g fejt man bi c Pudjffaben au* ofjtte Seidjen nat)e an einanber, j. $ö, abc (regt man a x. b x c (bei öen «6er gc[)t biefeS. nid)t an, 3 X! 4 fatin niefct o^tnsSeitfecn 34 gefc,st werben, weil biefe» SSer'nurtung machen würbe). Söcr.u man fcaö CiSbier ©efagte gefaßt Ijat, fo wirb man leid* einfeffen, fcafj bie tfliuitiplicaiion im Qirunbe eme ( micbcrbolrc) 3itfammenfe§ung ober Jlbbition gleicher ©röfjen (cy. 3 . ©. a xä = a + a = J a . Sbie 3a[)[ 4 Dreimal genommen ober aud) 3ma( 51t jid; abbirt, giebt in beiben fällen 12. 4 * 3 = 12 4+4+ 4= 12. ©0 vteltnal aifo eine 3«!)i genommen werben feil, fo vielmal wiebcrljolt mau baS 2lfcbiren berfeiben, ober fo viele einjclne pofien von gfclcbcr ©rojjc muß man ftd) benfen: unb baS probnft mug ber Summe biefet pofien völlig gleicl) fetjn, ober eben fo viele (£in!)ci?eti enthalten als bie ©ummc. 2lud) ifi cS gleichviel, mel» d)e von ben beiben 3&!)l«n, bie man §aftorcn nennt, fo vielmal genommen wirb, als bie anbere 3^1)1 (£in!)t!tcii in fiep faßt: benn beibe gdlle geben gleiepeö Probnft. <£3 ift jurn Sjeifpiel einerlei, ob man 4 breimal nimmt, $5 2 ober I* SöeptoUlfdffiguttg obce 26 ob« 3 «imnni: jcbcSmcl föunnt 12 IjeranS; NKldjcS in fdgcnbcr hoppelten Stellung »oa 12 fünfter, fid)t; 6gc ijc ©effefd bo« S}j!jft/p(fc«RiiJia au§ mehreren Stjfccn, unb ber SJJultipiicator aus einer einjigen, fo fann man fid) baö SBet fahren be§ gen.' 5 ^nlic^cn ISJultiplicireuS fol» geaDmnaafictt «fldren: fei 4032 ju multiplidmi fcuveö 4 fo müffen erd bie 4 'Jaufenb oiermaC genommen metben, bann bic 3 ßdjner »ienr.af, unb enMicf) bie 2£in!jciten einmal, ßulejt müßte man bie Q>often alle jufammen siefsmen unb in eine oabl Bringen. ©icfeS mürbe aBee in uiderlei gmlcn ja mdtinuftig unb Brfdjnmliri) tute» ben , taflet Braudjt man felgenbr gcmä&tilicfje Äbfürjung: man multipdeirt aem ber regten jur linfen ^nnb jebe ßiffec beä ffliultiplicanbum» bntd) ben SOtultiplicator. SOaS üeißt: man nimmt erd bk Sinfjciten aielfacf); bann bfe 3e&ner; borauf bie Rimberte; unb fo fort bie Saufenbe, ß^ntaufenbe, Jpunbfrttaufenbe, Sdlifoneri u. f. ta. naef) ber gcrobljnddien Orbnung beö ©ccimafe t'pfiemä, mtö teeßner öie 3eßner jcöcs einzelne»' probucts 311m folctenöcn: ncmlicf) Bie ßcijncc non ben muftipliciden SinSjeiter. ju ben fofgenben Seinern; pic jc§nfod?cn ßcfynct alsS .ijunbetfe ju ben feigenben SOlu'tiplitflflo« ber@ropm, 27 _ 4 ?imbetten; bic jetjnfndjcn ßunbecte alä Saufenbe 5» bcn nAöjsTcti Saufer.bca; mib fo reei'ei*. 3jl irgenb ein gad) be£ Scduml* ©pflemS int ges gebenen COiOlttpUconbuS leer (melcbcS busefc eine SlutI oimbcutct wirb, Sie feie ©teile ausftiRet), ö. 1 ). finfe feine(Smfjcimi , obec feine 3cf;tiec, efeecRuhbette, obec Säufer,De je. vorft.mben j fp Eaim mid) nidjfS bcc 2 ftt »ielfacf) genommen werben. Sic 21 uäeinanbeffcfjmig bc» obigen Ißeifpicfö ip!£& bic ©acl;e näjjee erläutern. 4 Saufcn&c o Jpmiberte 3 Sentier 2 ©nljcifett 4 mal —--- ---- ' --- 16 Scmfenbe 1 Jrunbert 2 Sc&ncr 8 Smijciteii. 2x4 t£inbciten|= 7 (L'itiSjeiicir = 8- 3 X 43«i)nc:: = 12 Schnee = 1 äpunberf unb 2 Scijnec =120 JJier geben bic aferfaeö genommenen 3 ^cf>ncr jum 'Pcobuct 12 Salier, b. t. 10 3 e*jtw (obec 1 .(jttnberQ un& 2 Seiner. Senc 10 Sohnes: c&er bai 1 Jjunbert roärben ginn »Pco&ucte Der aierfnef) genommenen >§unberte gerechnet j ba aber bei' SiultiplicaubuS tu obigem SSeifpt'cfc Eeine J&unberts^at, fo femn nur jenes 1 ^tunbeet in bie ©teils feer Rimberte beö ^robuctS gefegt werben 4 b< 4$aufen&. ==16 Saufcnb = iögoq. SSolite man oon feer linfen naef) feer rechten Jpnnb jn mttltiplicimiy ober öen 2l«fang tritt bea Saufenöen tna* «&8S1 * 28 SSecDielfdfriijtmg obee eben, fo feinte inan flcfj biefe« 23 or(§eil« bebfenen, baö ^bcifpiel mutbe nun fo freien 4032 ' 4 mal 16 'S.auf.-nbe = 16000. ) 2 3^f) f *er (ober 1 .fbU'tert unb 2 Scfjncc) = 120 ft 'ermbnt.m ft. i6 J. 2 -). 16 ! 2 ft. J?unt?rfe (jat tiefen * plicnnbtis niefjt; nlfo fbrmcrt fie-itud) *■ icfjt 4 mal genom; men werben. <£e folgen ba; l)if foßkicl) tie3«f)im'. S^ccf) &efil;:i)eiiit{)ec tnürbe tic SRuIliptfcation tiefe« unb (l 452, ein«, jis>ei, mib viermal, fonCcrn ein Jpunberimal, 3ty«ii3igin«l unt) vietmal nehmen. 452 multiplicirt bitrd) 124 1 8 o § 904(0) __ 4 5.2(o)(o)__ giebt 56048. ba« ifi: 452 x 4 = i8oSoDeci8oSSin^e;tfn= 1805 X t 452 x ao = 9040 ober 904 Seiner = 904 x ro 452 x 100 = 462oooDer 452 Jjun 5 ette = 452 x 100 Um Cer ©equemlie&fdt mitten läßt man Die im cöi« gen ©cil'pie'.c tingeflammnten Stuüen , mcld;c Den ein* jeinen'"ProCiKten Den SBcrtlj tum iomai, 100 ma! u. fm. genommenen @rö&on im Sifferausbiud geben, beim ge« tob^nUrfien ®n »cfiflünbig mit 3*ffrtn 5 Jian fcfjc and) foigenbe« ©eifpid : 542t biircfj 2002 muitip'icitt 10S42 - 5421 X 2 =10842 X t* 10842000 = 542» X 2000 =10842x 1000, l^ö42ü+i- Sa §i?r bcc SKuKtiplifotor feine un& feine ^itn« 30 SBabiilfdlfigting o&.^OiuItplicaf. &cc ©rojjcn. fünftem f)nt, fonbetn nur (Einheiten unb 'Smtfcnbe: fo fann cmd) taS iDiulliplieanöum niclg jef)ttfad) uni) (yuti; üertfad; genommen ‘.vertun; unb ta$ tmifenbfaclje Qbto. biut Jtc^t um 3 ©teilen weiter (infS, als baS ’Probuft bec ein§£!(c!i < 5SeifpicIe t>u üMtiptfcation t>cö ©e* cimaU Sangütmaajkl SBenn eine ®cife eines glcicijfeitigen SSicrecB« 5 0 : Ijält; wie vief alle vier ©eiten ober bcv ganje llmcif bicfeö ißierecfs in Summa? 4X5 = 20°. SBtlre mm tiefes Söierecf j. 55 . ein mit SBan&enober SRanern cingefdileffenec ©arten, fo I)t(c bcffenSöefifjec 20 ämbeti IVanO ober ÜlIaumvcrE in Der flange 5H unferljßlfen *, wobei bie $1.% unö ®icEe noci) nicfjt in 2lnfci;(ag jjeöracyt i|l. SStnrt ein Siiir gelb 20 ° 8' lang ift; tt>ic viel 6e» trägt bic Sänge »on 10 eben fo langen ©Erteilen jn» fammetr ? 20 ° + S' fioo* io ! = to ebbirt S° 200°(+[Sc f = 8”) = 268 °. • Sie ukl betragen; iq°. 8'4" «c^tmai'genommen? io° 3Seifpicfc ö/äHufttpfkaf. &,3)«cimaf;i<5ngcnm. 3 1 8o'°+C64'=6°4')+( Siefe einsttncn ‘Profcufte, nemiicf) 8 o ° 6 ° 4' 3' 2" abbscf, ■ geben 86° 7 ' 2" afö drohtet Beb ©anjett» 21ucf) &ci.öec fßtfuitiplication tnufs man befonberfl baCi auf Jicßt Mafien, ob b!e Safloren aus pofitivcn ober ne* gatinen ©rbjjcn bcfrcßm. 3|t b«b ffljultipifcanbum unb Cetr 83 ?u[tfpIccatoc ju; glcief) pofilf» ober beibe juglctdj negalio (fo, Dag bei; bevtci gafioren einetäci Sßic&e» ßnben, eS fei 4- ober ■—:), fo w:?ö bas Qirobnfi in fceiben gäüen pofiefo,, ober ßefoinnU baä Sdcßen + »öt fieß. S)enn cg i(t auf jebem 'galt ©emimi, c& einer an jebem üer 6 SBo; eßen ‘Sage 4 gi. (aifo 6^4 gf. = 2.4 gi.) ecmirbf, ober ob einer, Der fonfi gcrobßniiil) jeben 5 ag 4 gi. auf fein SSergnögen mettbef, biefeb 6 'Sage lang unfertige, alfo eine 2iisi»gabe oon 4 gi, fectyemgf nicfjt fjaf, (ober — 6 x ■— 4 gi. = 24 gi.) weil et ja nun mir!; ließ um 6 x 4 gi. — '24 gl. reichet iff. (SS ift alfö »böig einerlei, ob ein&effc üernieifäf» tiget wirb, ober ob ein JITangcl »iehttal gef;cbeu wirb; benn au« bem (ejtern SÖerfaßren cntjteljt nueß eisi eben fo Pielfsdprc Qf/eftj. xo°+ 8 ' + 8=8 = , (f naeß gc; ^ fcmfibitli? 8 ■'cfierDMul* VH « > WtV , SSeifpiele fcec ©iuftipficati.ort a + b + c muUfp!. d * d + b d + c d ?Dian multiplidcc a fturcftd, fo man ad, ferner b öun1> d n. f. f., biä man tas 'ptobuEt ad + bd + cd befommt. Senn @oü 4 mit + n inuftiplictrt ober 2 mal jufammen-- flcfejf (aobict) werten, fo entfielt Darauf baS ‘PrcbuEt f.iebt g. «Xd+bXd+c Xd = ad + bd + cd 4 X 2 + 3 X 2 + 2 ?<2 = 8 + 6 + 4 =i 8 * aa+iab+oac+bb+jbc+cc 52 + 39 + 26=117. a x 9 — a 33 öea SDetimul» imtgenmaa^es. — a — b —. c multiplfc. — d ad + bd-j-cd SJJJultiplicirt man — a burcj) — d, fo jeigf bicfe« an, öag — a mal ( X ) — d rctggenommen (fubtra; tyirt) merben fall; foiglid) 6eF6mmt tnon juin ipco* Dutte nidjt nur + a, fonbem aucf) + a x d obec a d u. f. f. ©oll —4 mit —2 miiitipllcirt tuccbcn, fo Faun ffefj nidjtfi auDcrs feigen, a (4 — 4 jroeimal meg nelp eiten ( fubtcalficen) , obec Den Mangel 4 jmeimal auf; l)eben. 3 (t aber Dec eine Saflor pojiti» unb Der an&cre ne* gotio, ober (roei^eS eben fo 0 ei ifi,) (ja&cn btibe Sa* ffocen iiecfd)ieöene 3 etd)en , fo i|f ifyc fP-robutt alle* mal negati», obre man febe jebcSmal in foldjem Salle baä Beiden — vor baS Q.bcobuft, Sbcnr, ei iflä-*&- afle^ mal ein SO■•rlnft, roctin an jebcc oon 4 ®?anbeln 2lepfct, Die man fauft, 3 ©tuef fehlen; toeil man attbann 4 mal einen Vcrlufl non 3 2tepfein ijat, obec xs ©ulcf rcenigee a!ä man l)aben felile; folglich ift (4 * - 3 ) = (- 12 )- ®6en fo, rocnti einer an jebcc oon 4 »ollen ®?an* Dein 3 ©fücf mirflid) ju forbern l)d£te, Die 4 CDJanbelr» aöcc gingen gnn^licf> »erioljren, fo flaue biefer einen »ierfadxn 'Oeiinft »on 3 2£epfeln y bie fein eigen tfjum ftnb. gr büßet alfo auct) 12 Jiepfel ein ; folglich i|l(- 4 X 3) = (-12). ffltcfftmjl f. ©cf;ulen jfe Sl&tb. £ SS 34 SJtifpiele bet 9Ku((ip(icafidtt — xö ttf), (£S ift J^icf einerlei, 06 jum Sbeifpiel Bet Q 5 «RfS pon 4 tll). »lennal »erlogen gebt, ober ein vtermaligec CDJangcl »on 4 ttf)« entfielt j BaS l)cij;t: wenn Bec SOtangcl »oit 4 ctl). roirflicl) 4 mal ficfj cinRnBet, Beim eS entfielt Bacaus in jeBem gall einSJianael von 16rt!). (oBec — 16 ttfj.). SaS -f- wltB alfo fo viel mal we* niger, oBet fehlt fo oieimal., miB BaS — wirB fo oicl mal mehr, als Bet eine gaftor/iiigicüt; cS witB folg# lief) jcBeS malwcnigsr. fceö ©«ctmaf# idncjemitaapes. fßecmifchfc ©cifpfele: a + b + c a — b — c aa + ab "j“ ac — ab —- bb —- bc — ac — bc — cc aa — bb —sbc— cc. 35 33?ati muftfplidre a + b -f- c 5urc^ a, fo ßefimmi «um aa + ab + ac. gcrnee a + b + c buccb — b. Jpiec witb bev 9J«ultiplicanbuS a, b mal fleinee; eben fo muß Das ganje SDiulcfplicanDum (a+ b + c) X — b fo viel mal fleincri roerben, als Die negatioe ©räge b öefagt, obet i|t = ( — ab — bb — bc), <§ 6 en fo a + b + c Ducd; (— c). 21fcMret man nun DkfcS Drcifadje Qbvobuft, fo 8 si fteJjt DaS ganje QbroöuFt in Der @umme aa — bb — 2 b c — c c. SDcnn »veil Bei bet ?!DDition Die gleic^naJ migen pofitlven unD negativen ©räjjcn fj. 55, -f- ab uub — ab je,) einanöer nuf^cben, folglich ganj megt fallen; fo Diesen 6 I 0 S Die ^eoDufte an — bb — 3 bc — cc als Summe, obet als $>coDuft bet gansen SOJultiplication, ü&rig. gcvncr: a — b + c a + b — c — 1 — ■ ....... - 1 aa — bb — cc ( — abN /■ -}-ac'\ + bc + abj ^—acy+bc aa — b b -f- 2 fc c — ce, * £ 2 JO 36 25 cifpie(e ber 9 DMrip(ica(ion io — 6 + 2 = 6 io + 6 — i = 14. 100 + 60 — 20 84. — 60 — 36 + 12, + 20 + 12 — 4. 100— 36 + 24 — 4.= 8+ 3 + b + c a — b — c aa + ab + ac — ab — bb — bc — ac •— bc — cc aa — bb — 2 bc — cc. IQ + 6 + 2 = 18. IO — 6 — 2 = 2 100 — 36 — 4 = + 60 60 + 20 — 12 = + 68 — 60 — 20 — 12 = — 92 IOO — 36 — 24—4— 36, ab + c — d a — b — d aab + ac — ad -- abb — bc + bd — abd — cd + dd aab — abb — abd + ac — ad — b« + bd —cd + dd. Jpa6«u Die 33 ud)|ln 6 en Sifb’ni »oi* ftdj, fo multipli* citt man Die 3 iff« n Defonßerä ßui'dj einan&ei',, unö (ejt jie t>ot ßa6 ‘Proßuff Dec öud;|tabcn, 3 .® beS Dteimab idn$er.mn cinanbec mnltipüdrt rocrben, pflegt man bei ifjrer OJdiltlplication iiutd) einanber. and) nid.it Immer ade ins ftrobuft 6 U fdjteiben, fon&evn tmr einen baoon unb jwac mit einer Keinen gijfev eben jur SKcdjti-n be 3 SSucbrtabenS, ireldje onjeigt, rote oielmal eine ( 3 jti 5 fje mit fteft fdbfi muitb plidct fei), ober wie uiel mal bfefe @cfi§e als gaftot gebraucht worben. ©ü|c 3ffec nennt man oen SE^po* irctuen biefeg iSudjfta&enS. 3. ©. . a x a ober aa ober a 2 b 'S, b. ober b b ober b~ Qfbcn fo &ei 3^)bn: 4 x 4 = 4 2 = 16 tueii f)ter 16 aus juret Vieren nl» 5«£törett ent* fielet. ab X ab = ab ab■= a 2 b 3 , 2tuf gleic&e 21rt iff 1 * * \ l muUfpiidrt, ober (12x12) eben fo wfel aiä 4 x 3 x 4X3 ober = (4 S x 3" — (16 x 9.) e 3 53b 6 b 4 c 4 a 20 a b c. 24 a b c d abe 58 SSeifpicfe fc.SJJüülpl. 5 Dectma(j!dttgcttm» a b c a b c a * 2 b 2 e 2 = axaxbxbxcxe. Jpaben Me gafforen fdjon <£);ponctiCcn, fo werben tdefe nur abbket, 3 . S>. • a 2 x a 3 = a 5 fectlti a 2 == a x a a* = a x a x a a s =axaxax»xa. a 2 b 2 c d3 a b 2 c d a 3 b 4 c 2 d~ 4 ' §. II, ©feiere ©i6ßcn m(t gfeidjen nudttpb’ci.'t, geben fccibe g(efc^e 9)robuEte. 3um ^Scffpiet ©cd )3 ©rofc&en SSiermat genommen unb 3 «?öEf ©edjfct oud) SCUtmsl genommen, geben beföe ein >pcobuft von 24 g(. ober 48 ©ecfyfecn, , 6©cofcf>ett = 12 ©ccbfcr 4 = 4 nudtipl. 24®tofcben = 48 ©ecbfec. A = B a = b muttfpt. k §» Aa = Bb 23om öttaörat* Sötaafie. ®ab Sflicffen ober 2iuSmeffen au€goöf^ntee (Sißgctt *ff ein flctcS 2I6bitcn berfclben ©rbße, ober ein wirfii# djei muitfpiicfren; bcnnbaS tlTaag nach feinen beftlmm# ten 'Sljcilen ifi bet eine gaEfor; bfe Angabe wie piel ntftl biefes €0?cag in geraber Sifcbtang an einnnber ge» fügt werben muß, um einer gegebenen JluSbchnung gleicfi ju fei;n, ift ber anbere gaEter; unb bie Summe ber in ber 2fuSbe^uiing enthaltenen SDianße oberfKaaß# tljeiie ift ba$ QbrobuEt ober ba6 SJefuitat ber SÖieffung ober Jftiämeftnng. 2>n finlen feine ©reite unb Sbicfe, fonbevn nur eine Sänge haben fbiincn; fo fmm ihre ©rbße , baS ifi ihre JiuSbcIjnung in bie fange, nur Durch eine Einte (»on pcrhflftnißmäßiget fänge) 6e< jrimmt werben; ober Linien Famt man mir Öurcf) JUnien «tieften, giächen hiiigegen enthalten einen 9?aum , ber fid) in bie fange unb ©reite juglcid) ou»bel)nct. Sä muß «(fo Durch «jföeffung gcfuuben werben, wie weit jie (ich in bie Sänge, ynb wie weit fie fid) in bie ©reife ec# (irecEen ; folglich muß ba§ Cföaaß eine uerhaltnißmnßige ©rbßc fct)n, bie felöfi in bie fange unb ©reite aufge« behnt ifi. feget man nun btefe ©tbße ober bai 33iaaß fo uiclmat auf eine gläefte, aiS ti barauf St «um ftnbet, S 4 («S 40 . SSent D.uobrflf j 3Kaajje. (eä fcij baS ganje lüiaaß, ober gemiße 1^«Ke bcITeiben,) o mfßt man Me gi^cßc tu»r Meiern 3Öi'naße. Ss fb-incn atfo 5iäd)en eigentlid) nur burcf» (uetWitnißmäßigc) glädjen ain-gemejfen werben. Äelne Slacße i(t aber ju biefem Swccf unb ©cbraucb fdjicflfdjet, als ba£ reget» mäßige SSierecf, ticmiid) bas O.unDiat, tüetl eS ben Jfäi djenraum rein aufmiffet; beim roegen feiner gicidjcn ©eiten unb gleichen SBinfcl, fann c3 oftmals fo genau an etnanber gelegt werben, unö Cie ©renjen bec 0.ua> brate paffen fo genau an etnanber, baß feine leeren Staut me bajwifdjen entfielen, folglid)fetn'£f)til ber v5lad;c unt gemeffen bleibt; wie j. Me folgenbe gfguc jigf, auf roelc&cc baS fleine üusbrat eaed Ijunbertmal genau auf unb neben emanfen gefegt werben fann , cljne baß efn $fjell ber gläi'r üb ri bleibt. rr~ Sine quabratfÄnuige gleiche, tteidje eine Stutze, ( ober jeljcn ober Äiwßff ©d)ui)) lang, unb eine Siutße.. (ober jc!)cn ober jwßlf ©cfmt),) breit ift, ffeißt eine <üuaöratrtitf;e. 5Me CUiabratmUfc f)at alfo ftcbn mal jefjn ober'bnnbert (ober and; jtvbif n.al givolf, ba3 W Ckiiat>r(if*9Hauabratfldd)e, bie jefen (ocer jmälf) Soll lang, unb eben fo breit i)t; fulglid) fjat.fie hundert (ober Rimbert unb uiec 1111b üferjig) (üttaötat.ioll. Sie (Sriße be 3 O.uabratmnaßeS lieferet |id) naefe bei ©rdßc ber^indjen roelifee, gameffen tnerben. @0 Reißen SÖiecccf'e, bie eine ©feile lang unb eine ©feile breit finb, iliuaörat iTteiien; Mcfc bcftimmen ue d 3 rö{fe gaujer ßdnber, fclbft unferer (£rbe. f?ngi man uaefe bei ©tdßc eiucC 2 Stfet 8 über einer Spiele, fo rnil! man nidbt bie fidnge ober ©reite ober aud) nur i-ir ildngc bei Umfangslinien rofffen, fonbecn Cie ©roße beä gan* Jen 3 iaum 8 ober ben Tnfealt ber Sldifee fdbft. SBcil mm baiCtuabiöt jum fluetr.ejYen allerftlddjcn, aud) ber Eruimnlinigtcn, gebremst mnb ; fo feeißt ba$ ^lusnicffen ber glädjcn fell'tt Cie Uinft&ratuc. 3 . bie Qua&ratur cine8 3 trat ©cßul) vor, fo fatm inan ftcb auf eben Dic|c Sßcifc crflären, baß ein Quatrat* ©djulj ioo foidjc Cluabrat« 3 oö, iuic aedea, in fid; faßen muß. 9 J*«n flet)t clfo (eid>t ein, tag eine Ciuabrat : Siutlje, nidjt etwa geffn Clua&rat ©djufj [falten fann, iveif bie Sängen Stutze nur io ©djulj Ijält; fonbem ioo Gua; brat «©dm!), weil fie xo Cluabrnti 3 u’if>en, jebe von io üuabrnt» ©d)uf)cn, in fid) faffet. Sic I2fd;ufyige fiuuötat» 9 tutf)< etujjelt i a Sleir>cn, jebe von 12 üuai trat ©d>uf)en , im ©nnjen affo 144 Ciuabrat; ©rf;uf). Bgält ira Cluabrot» ?0laage &fc xofc&uljlge Stütze: roo ' 100 00" ioö 00 oc'" > fß bat bie I2fd;u[jige 3iut^c: M4' 20736" 2985984 unb bie i6fd)u!jige Siutjje: 256' 3 «864" 5308416'" €6cit bie Sösquemüdjfcit, ; melde man bei) bec SJcrivanbiutig beo SecimaliSangen*!Oiflflßcä bat, fin* bet man alfo cud Bei bem Secimntf Q.uabrat;®aaj;e. ®tnn barf nemiitb eine £)uabrat ■ Siutjje, ober aud) eine 2inja!jl von ÖuabratiSimfjcn nur burd) 100 muhi* pliciveti, ober, melcßeä -baflfelBc ifi, bec J\utl;ett« Sabi 3rcei X'TuUen anl;, xoo Quabrnt/goß fnb i',oo'-' ober 1 Quabratfefiu!) 1,10" finb i / / io // ober x Qttabratfcfjui) unb 10 Quas bratSoli. 248679" = 24°, 86', 79". tim Das Quabrat <50?aajj uon Dem Sdngen / 93?aa{je ju unterfdjefben, wirb Der Söejeidjmuig bei erfiwn ein Quabrat 6eigeft5gf. 3» ©. 20° □, 20° . OTiUltii SWuUipficrttion be6 ©ecirnaU glasen* SJlaaM, ober ber gänge mit ber Breite. §• n* SOIuft^ücfrf nun bic Sänge ber i^(äcf)c mit iijret Breite, fo mnfi CnS Tirobuft ben 3 n f>nt { ber §(äd)e 6c|fimtncn, Wie eben Cie ©crecbnuttg ber Qnatrat» Jiäcfjr gejefgt Jjat; juni t&cifpicl eine £iad;e fei lang 4 0 unb breit 2 ^; fo i|t ber 3nl)alt fcicfcr ftlädic 8°Ö. ®enn b ; er Hegen 2 Keinen Quabrat» 3 futf)en neben efnauber, unb in jeher iHeiljc pnb 4 £}uabrat< Slutljen, fic rntfjalten nlfo : 2x4= g. ©ollen X'ooimot * Sliitljcn, @d)uf) unb 3oU brr Sänge unb Riefte Curd) cinnnber muftfplidrt werben , fo fef>t men jtbe^mal Stutzen unter 3vutl)en, ©dju!) unter ©diu!) u, f. f, j unb wo bei bem SDiultipHcanbum, ober iQiultipHcator, ©dnif) ober~3oll fehlen, fo werben biefe leeren ©teilen burd) Spillen ergänjt. UebtigcnS pctfäffrt man wie in ber gewä^nüdjen ©ultiplication, ©ie lej!e 3ijf« beS ^robufteö befbinmt tas lej'te geilen Cer ju tmtlliplfcfrenben SJJaajjt . nnb allen i’Jiaftp*u Sfluftipficnrion ic. bet lange mif bec SSreite, 45 S) 2 aagcn von Den Sfnien 6iö ju t»en Siutijen roerben von Der rechten trad) Per (infen Jpanb su, jtvei Siff^n i 1 *' geteilt; (§. 12.) }. S 5 . eine SlÄdjc i(t: 2 ° i o', 2 ” lang unb a,‘ breit. 2 0 2 So 8 _^ 8 2 ', | 8 2 " JJn'er Hegen 41 Steiften, jeöe von jtüetftunfcetf unb jtvei Duabratjoilcn, ne6en einanber , Die aber ncd) feine Duabrat 1 Stutze auStnadjcn fännen; Denn iftre gnuje ©umme mad)t tvenig über 8000 D'tabrat Boüe, ober 82 Dunbrat*@d)ufte; Da eine volle D.uabrat-Stutfte 10000 Duabrat» Solle, ober 100 Duabrat. ©eftuft fta* ben muß. SBenn man eine §lM)e ftat, Die 2 Siutften unb 9 ©eftuft lang, unb 2 Sinken breit i|t, fo betragt iEjc 3 nlja(t 5 D.uabrat; Svutften. JDenn 2° 4' lang 2 0 (o') breit (2 Siutftcn = 20 0d)uft.) 5 0 ,00' ^nftalt, Jpier liegen 20 Steifen DuaDrat'@d)itfte ( jebc ju 25 D.uabrat ©djuften, neben einanber. ©öfter madjt baä ©anje eine ©umtne von 500 Duabrat» ©duiften. Unb ba 100 D.uabrat» ©djuft eine Quabrat »Slntfte ma» eften; fo machen 500 D.uabrat-©djuft 5 Duabrat. SKutften; ober, 25 D.uabrat; ©djufte in einer fKei^e ftnb ber vierte ‘Jfteil einer Duabrat» Siutfte: jrvangig fol- 4.6 &ott ©rf'ieJnimii &er ©rojjen ju foId;ec3\ci[)eii ober X>ievtcl&(!SaaC)vit , fo bafj biefe ßinljeircn jufammen ge 1 nommen, menn jte ins Sßiecccf gefiellt lvecben, ein voSfcmmcneS Quabrat auSmacf;cn; Das [ ift auci) bie ürfadje, tuatum man bie ©enennunj} £!«abrat Safjl aus C«v SKegfunft entlehnt Ijat, £tuaörafm tmt> v>on Cuat>rat*3«^M* 47 S«m 525eifpfel 4 ;< 4 ®!iie ©cöge üöccöanpt junt üuabrate etfjeSen, fotl alfo aud) nichts anbei:« feigen, eine nnbere iSriSge; bie iffc glciti) i[t, vervielfältigen ober multipUciceti. Sa« üuabriren gefcfjie^t alfo burefj jwei gleit;)« gaftoren, j. ©. a >5 a*, 3x3. Sie juerfi gegebene ©räße Ifcifjt bie (üuaörat ©eit« (I 3 a[t«) ober Üuabtat; SSurjcf. a SSuejel 4 SS, a 4 aa Quabrv 16 □. Sie SBurjel rofeb von b«n Sßatfjentalifem tpbfjnlid) alfo bejeiebnet << 3 x a, 3te ^ppterii u, f. w. 4 t *= 48 €r§ekun$ öct ©vejjcst ju 4* = 4 crfle -'Potcn} 4 4 = 4X4/ D.unöi'flt, 2te ‘Pctettj 4 3 = 4x4x4 = 64, 3te Q)oi«nj u. f. tt>. €i*nc SSSurjtf, ^^c auß jti'ei $f)ei(en ober (SrSgcn boficf)., Deren geilen , 5. 03 . 03 uö)ila!)en ober gif' fern jtnb, Ijeipt eine 30Jt4tf>d!ige (cDec fcinomifdpe) VUiujef. g. 03 . a 4- b. ober a — b, 23 on biefet 2frt finö 5. 03 . galjfcn, li'ffcfje miß Seljtm’n tmb Sinfyeiten, auß «Ounberten nnbgof411.n1, miß Rimberten unb (Sinfjciten tt. |". m, jujammcngci l>jt ftnb. g. 03 . 24 = 20 + 4. 240 = 200 4 - 4 °- 204 =• 2C0 4- 4. ©eroSfjti'icf) uerftefjt man bar; unter alle Diejenigen Saufen non 11. 6iß 99., n>cfcf)? mit 2 (geltenbcn) giffem gel'du-ie&cn roerfcen. lieber bnupt ober jebe gufammenfefeung t>oti 2 einfachen gal)f leu, fte mag poflttu ober negatio fnm. 3 , 03 . 6 4 - 4 txib 6 — 4. 034 SJeffpiel tteijfltfüet: Sufattimcufe^unß: Clua&rafen unb t>on duabraj* 49 0 O OO OO 1 I ■’i' -:t- I I o o C* M 4" o o + ^ rh ^ O CI I 1 I x x x x ^000 . CI W M 'S I/-N il o NO 4- o o *ir . SO O O H 00 OO o d * + o Cf ®«{fpicf poflti'oct S«ffltttWfnfe|miä: a -j- b «Stiert, SP Siebung bet ©röpm ju s-* A > Ä.. , « X* O > _ — «ä X «-» 55 O *0* . a. _ k *\ ^ O £ "'S"« « w <»o , £ 2f A ^ *•# . O - » n- ■^f CO T* I n- + tS" -., Tl> >U» TT SI <3 ^ j. M €?) SS W w. , •• w- «U j- C ^ a 6 « ® **. c*» jzt *-r rr »tr> .**• *3 O ^ CS) 'S* ~sl~ i?~ä «sS e 2 - ss >—* c-t 55 /=» oo 55 J* v£> «•># <5 - ^t« t2 S^’S.Q'^S' " s 5 ■» 's ._ _ C •2 'S §"•- « s>-2- ‘ «1 « JÄ 'H 96 s «sc ~ 5 *5 a o v3 *rs* tfO \ , -+4. w O -3" c 31 - J-» —C rp C^O S 3 M s § s _ | 2 Q-^ßÄ ? <3 Cnv cs 2t «5 es. « 5 + >—* ». —r" *j » a o.c 1 «IstII ©AÜ CUia&rnfM imt> »an Stuftbraj#51 £>n$ £juabrat einer gieeitljcfligen SBur; 5 e l ium P c i f p i e l ab befielet alj'o: quS a s unt b* ober aus Ccm ifiuaöcate bei; Öer JCbeile, uub jugleid) aus 2 ab, ober ciuö bem 3t»eifßd;cn proöuirte öee beiden öurd? einßtiöec tmUtiplieimn (Ereile, rocld^es dies 311 einanöee ßööiret icerOen majj, wenn aöeö pofiti» iff. Slcga» tise pcobufte a&er muffen acn ten pofiliuen atgcjogeti teerten, 12 = io + 2 12 = IO + 2 4 4 6ns □ eoti 2. 20 20 } tat jmeifacbe Probuft beiter 20 20 ^ 'Sfyeile, ioo ioo 6 n 3 □ eon ioo. 144 = J 44 Ca3 9 an ö c □ von 12. SiefeS Peifpfel lägt fiel) aud) (eicljt, fo tefe jete« fttiberc, tutet) eine gigur aorfieilen, 10 + 2 X IO -{- 2 = 12 X 12 = I44. a-f-b x a -{- b = a s -f b l + Ä ab. fo 5 z 3Jon <£t*fje6img bet; ©r&jjett ju E lüIJilÄ io x 2 ober a x b. F fo wkt dlfc tag £>uabrat »du io tag £)uabrat oon 2 — 4 unb tag jroeifacfce Qbiobuft betbec 33 uc; jeltijeile in einanbec 10 x 2 + 2 x 10 = 40 t alfe tag ganje □ uon 12 = 144; $ tueldjeg aug bec Siguc felbfi ftc&tbat ift: benn jie i enthält ojfenbac von Dcc jtpeif&eiligcu äßurjel 12 bas □ »an 10 x 10 unb 2x2 unb bag hoppelte > Q^roöuft beibec 2l)eile in einanbet, in «bgefonbccten glätten. ; Saffelbe SSierecf fiSnntc aud) ein ©runbitöcf «0» (teilen/ baö iwnt 12 Stutzen laug unb 12 Stützen Dceft roäfe i; CUia&Mfcn mtb fcott Cuiafernf* 3 ^^ 53 wäre , aber nur io Siutijcn »du bet iMnge unb io 9 \urf)cn oon bet' ©reite weiten gutes Sanb; bic übrigen 2 Siutijcn bet Mnge uub ©reite hingegen, unbrauchbar, ju bcrfe( 6 en ©enufjung: alSbann wäre bef brauchbare Sijeii AEOG = (12 — 2 ) x (12 — 2 ) - - 10 x 10 = 100 Siutljen groß, ( 0 ief)e bnS obige ©cilpicl negativer 3 «fammenfc^ung,) Q'JcmlicCj baS ganäc 0 tücü betrage jwar 12 x n = 144 3 i«tf)en ‘ c$ giengen a 6 er baoon ämefttial 2 x 12 = 48 wen» gec 4 , alfo 44 uon ben 144 ob; Denn 6 ci ben 2 X 12 + 2 X 12 ober EFCF + 6DCH i(t ba$ öuabrat HOFC jmciltial mitgenommen, nnb muß alfo einmal abgerechnet werben. ©tefet Celjrfafj 'wirb and) in foigenbeti ©eifpiele« feine ©efiäligung finben. 54 54 SSon (Ev^&ung ber ©i'c^n ju .tr e ZT. vC- ^ S o - T. ä» 3 > J2 ^ ct> %» r: Al « - • tb> S> o c* + + O o O O !l II r* ** o o *> o o + + 03 « d £ 5 s 1 t:"“ o u u ^St «*» 'tti e c A) o f O O o o ci ei iQ‘ O o |l O « O O o Ci M M X XX X « o S o 2 ^}* o o o O o o «« § o + o u ra a + □ 4- o 03 Ci 4 - N CS □ m sr =5 O O GO CO + + o o o o ci ci O o OO oc ci ci V. • . A) O 0 0 *.* 0 CO (?■» Ci ss 4 — 0 s> «• 0 s> □ cT □ 00 «> 'Oft ^0 40 O 0 0 O O 0 0 O 0 0 O so so >0 O H< M ^ o o Ci SO ci □ o o T CO r^ a + «T C 3 87400 6aä flanje □ uou 280. S 5 nrj<[n von mdjf at -5 jtoei Reifen (nffen (td) c 6 enfn (54 atfi jtöcftfjeilige SSSiirjetn atifc^cii unö Dcljanöeln ; (lüctdjeS um Dcc gofge tviflm ju mecEcr. if, wenn tic 5 Bur»el eines O.iufctfltS gefugt twr&en foü.) O u 4- + + + ca « INI o o + 4- 43 43 4-+ «a ca ■CUta&rafm «nö fcon Clito&va^Ba^w* 55 « hr «> CO «s o.+ -L r fc* „ ea v ^- / *_ e S ° § .5 i tt *> "T § s ^ ^ /j *£3 o •w -U ,*» 1 i«£t u + o Xt tM + + + 4- (j c» X J J « + + + u ja n (3 C3 O u X ca XXX O O Ü + + + 43 43 43 + + 4* , ca «a ca :V-/w w + o ca M •n ca c* + /■"N U 4- *Q i ■t“ o i) 4-4- < < 4- O O < < 4- « < © <25 «-*■ «> TS 12 ö a C5 CI O 4- o < 4- ft 5 § Sa ^ c vt> &S O Ci» Um. «O - ^ A «g. e sr SS 25 4 ■ « o < c II II 1 I 43 43 4- 4- 73 ca + o « < < -i) +■ o <5 c< I 5 + O* x» cS* I d XI + t>’ C3 C* I X5 «t C* + { *n + <55?t* 56 5 Ö, (ErfKb, b, ©roß. $u O-ua&t*. u, b. Cluabr. 3ß&(. o o o o ßooo O O o ^r o « ^ o o o o -r NO vO O o o o o O C! O W X X X X X X X X OOOOO'^O 1 '*'»/“'- O O c< w o O O ir> M M OOOOOOOO OOOOOOOOM O O O ^ i/-. n * W *»• M xxxxmxx o o o O O Ir o »A d d O M +* w \© NO d d S- <£ut* 57 @rntf)tung gleidjfettiger ©mccfe* §• I 5* 3 (tfe ^albmeffct eine« 3 fcFelfccffeÄ flnb einnnber gfekb (§. 76 . I. 3tbt!j(.). ©aber fann man eine gerabe Sinie einet andern gegebenen (eidit gleid) ma? d)en. ©ejt man netnltd) Oet» Sbfef an beni einen <£nftc a Oer gegebenen fiinie ab ein, unb tbut il>n bi« an 0a$ anbere Qcnbe b Oer fiinie auf; ober mit anbern SBotten, nimmt man Oie Sinie mit Oem 3‘t'fel auf, unb siebt eine Kreidlinie, ober and) nur einen Kreisbogen: fo ifl jcbcEinic «um SDiltteipunfte au«, jur 'Peripherie gejogen; 5 , $ 5 . bie fiiniett de, de ö[i 3vabiu$ ober Jjal&meffec bet gegebenen Einfe gicicf>. 2 ! $ b 58 SrncJ^img gfeidjfeitigct ©nucfe. b--- a 23on cir.fr geraten finfe far.n man au-Jj einen ge; «jiffen ©§eil o&i'cjnieiDcn , 6er einer gegebenen Sfnie gleid) ifl, nmm man Den girfel nad; fccr fieinern Genie auftßnt , il)n an Dem einen (5r.Dc Der grdgern Einie cfnfejt unD nun einen Sfrfclbogcn Dnrcf) Die Sinfe jieijt. £. %. Cer < £{>ei! dg v>on Der 2inic df jjt Der Sinie a b glsidj. 2( u f g a 6 e. 2Bi« midj'.et man ein gleic&feitigeS Sreiecf ? Jiuf einer gegebenen geraSen £inie rofrb ein g(efcf)» feitige« ©refecS etricSiet, wenn man Diefe Einie, } SS. AB, mit Dem 3ii'W aufnimmt, o&ee Denfel&cu (o weit aufifyut, o(5 Die Sinfe fang i|f; taratrf ben gitfei mit itti 0.ttcf)fimg gfeicfyfeif'gee ‘Dreiecff, 59 bctfclben (Svflffmwg auf beiden gndpanften ber Sfnfe In A unb B clnfejt, Srekiinfen befcfjrcibt, tntö crt&Htf> non bcn beiden SnbpunFtcn bet Sink bk j«m fünfte C, Wo fiel) bdbc Steif« burebftbneäbcn , hinten Jie^t; fo fjat man ba$ glcidjfeitige Steierl: ABC, t& e w c i 5, Sag ba« SreifcE AI5C glei&feitig fei, ober bajj Me 0eiten A Ä nnb I) C gleit!) (mb AB; (wobei man In befolge auf bie Entwfcfdung unöSiifommcnfefumg bet begriffe , bie oon bet Sefmitien ober (Erflärung be3 gieicfyfcitigen Stciccfo auSgelft, 2 lcl)t jjabert niuji). 1 ) Sebeä SrciecE, beffen brei ©eiten einander gleich fitib, ifl ein gleidjfeitigeS (§. 7 .) 31un aber f!nb an öem gegebenen jDeeiecfe A B C «Ile ötei Seiten einanber gleid) ; folglich ift baS SbteiecE ABC eingieic^feitigeS» (Sag alle Mel @et< titt 60 (Jrt’ic^ftmg gfeiri)feifiger ^reicife. ten fn fein gegebenen ©tciecfe AB C einanbec gleich finb, erhellet oufi ftolgcnbem:) 2) 3>v*ci < 55 röffcn, iste einer brltten gleich finb, finb einanbec feifecn gleich. (§. 63. I. ?(6tf|.) tlmi aber ift iit öein jDrciecFe ABC nid;t mir &ic©eue AC / fouöcrn aueb öie ©eite BC her ©eite AB gleich; folglich ift auch bie ©eite AB bec ©eite BC gleich; nnb c§ finb a( r o oüe bret ©eiten einanbec gleich. (©»5 aher Me ©eiten AC unb BC bec ©eite AB gleich finb, roirb buccf) baS $olgcnbc hciviefen.) 3) 21 (le Jjal&mcfifer eines SirfelS finb einanbec gleich- (§. 7 6 . I. 2l0tfjcil. unb Soiöcrcitung §. 15. II. 20 >t!jeil.) Slun ober finb feie ©eiten A C unb B C bic ^mlh^ mefTer biffelbenSntetä, uon welchem AB ein^ialhmefTec i|t. golglid) ift bfc ©eite AC = AB unb bie ©eite BC = AB unb olfo alle bref Seifen einanbec gleich. 3lnmerEnng. Sei bec (Errichtung eines ©reiecfS h«t man nicht nfthig , bie ÄreiSbogen «>’iiuii«hen; es ift fchon genug , wenn man mit bem -fjalbntefftr AB ben jjirfcl in bie beiben fünfte A unb B ein« fest unb Sagenfchnitte macht / bie einanbec in bem «fSmiEte c burebfreujen. A -E $. 16, X C Smdjfting gleid&fdjettffidjer SDtreiecfe. 6 1 §■ * 6 , 21 u f g « D e. ©Ir.en gleid)fd;eni:lid?m STciftttgcl ereiltet man, töcnn ma» auä beu ikiben <£nbpunften D unb E einee gege&cncn £inic mit beliebiger ober 6 e|Timtnt«®täjfiumg fceä 3 it?c(ö , ü&er ober unter bet Sfnie ©ogenfeßnitte nuicßt, unb aus bem fünfte, uio fic einanbec burefj« freujeu, 5 . S5. in F £fnle« 6 iö ju ben ^nbpunften Per gegebenen ©runbUnfe DE jlcfjet. F V © e tu e i $. i) Se&cS Sreltcf, 6 a« j\»et gieieße ©eiten §nt, ifl ein gleich fcßcnfltcßeö. (§ 7 . II. 2l6tl)l.) 9?un fltib in betn Sreiede DEF jtuei ©eiten, DF unb EF einanber gleicß; foiglicO ifl &«$ SDteiecf DEF ein gleigjfc&enflicfje«.. 2) 6z ©ccfung bet SDreiecfe. 2) 2l(Ic JpnffimetVev einig 3We(g finb einaiibec gteid^. (§, 76. I. 21 uti)(. unö §. 15. II. 2 (&tf).) ©fe ©eiten DF tirö FE finb ajalbnieffec eines 3't’ felg ; Denn fte |Inö mit einerlei Sriffuuug &eS 3>£feI3 gemaett i folglich finb ftc emanber fllcid?; unö Darum iil Da$ ©reiecb DEF ein gleicl?fd;en£itcl?es. $• 17. <3leid?e lange gerade ünien Oed’ett cingtt&er ebet {»ab cinanbet gletci), (§. 59. I. 2lbtl)i.) <*>leid?cU2inEel öeden einander. (§.51.1.) iDccicde find einander gleid?, wenn fte fid} svcajfelga'eife Decfen, b. Ij. trenn bei bem Jfnfeinanber; Jagen , ©eiten unb SBfnfel BcS einen, genau in öie ©eiten unb SBinfet beä «n&cw fallen; rote bei fctn Sreiccfen G unb H. 2 eljrfci|e. %voei jDretede ftnO einander gleid? Oder öe£> £cn einander: 1) SBenn in beiben jtuei ©eiten unb bec öastüifdjeß liegcn&e SBlnfel einanbec gleitf; ftnb, ober; 2) SDe.cfunq ©veied;«* 63 2) SBcrn in jebem jteci SBinfet uni> Me &oj»if( 0 «n licßdtbe (Seite cinanbet gleid) ftnö; ober attc§: 3) SBcnn in Seifen S)eeiecfcn alle öcet Seiten cinrinj öer flleid) ftnö. 3tBinerFtin'tj. (Einem gegebnen ©reiche , eilt. «nöet'S oällig' gleid) ju maefren, in Sötnfeln u«S ©eiten: Gebient man ftd>’ bei SitteclS , girfete anö öe<5 SraitPpovtemä. öemtiJ eott 1 ). B E SBcnn in öen Seiten Srcieefcn ABC unö DEF, AB = J> IE unö BC = EF aud) öcr < B = E; fo ftnö öic öciben Sreiecfe einanöer gleidv 2scnnt iegte man öiefc Sinien unö SBfnfel auf einanöer; nem» lief) AB auf DE, BC auf EF unö B auf E: fo tvüröe Der QMtnft A auf öen $>u.ift D unö öcr ’Jlunft C auf öen 'Punft F jn liegen femmen •, weil bie ©£efd)I)eit öcr SBinfel B unö E eine gleiche 9lid)funß unö Sage if)fcr ©d)enfcl oerurfadit; folglich rotUbe öcr pinft A von öent Q>iinfte C c&en fo tucit entfernt liegen aft! öcr fjbuuft D vom fünfte F ober öic öeiöen Sinien AC unö D F als 0a$ S/iaaji Oec £ntf«mma /etter fünfte CS' 6*4 ©erfung tier SDreiecfc, (§. 34. I. Sbtijell,) nnlffen einanbec vbüig gieid; feyn. ©feiern 511 §o(ge nmfj aud;bie Sinie AC bie Sfnfe DF bccfcn. Sbcn fo bie SSinfel ju ifjvcn beiben feiten: nem- lieb bet < A ben < D uuD bec < C beti <,F. 55 c w e i $ 0 0 n 2 ). SSenn in beiben ©reieefen AP.C unb DEF bet < B =-ben < E, unb bec < A = ben < I), aud> bie ©eite AB = DE: fo finb bie beiben ganjen ©cciccfe einanbec gieid;. 9Jinn lege bie ©eite AB auf bie gieid) lange ©eite DE, ben Sßinfel A auf ben < D, unb ben < B auf ben < E: fo wicb, wegen gleidjec Sage unb Siidjtung, bec ©d)cnfel bec Jtuei SEinfel bie ©eite EC failcn auf EF, bie ©eite AC auf bie ©eite DF, unb jugleicfc bec < C auf ben Säinfel F, bec jwlfd;en jenen beiben ©eiten liegt. ©a nun in beiben ©ceiecEerf alle ©eiten unbSSBinfel einanbec beefen; fo ftnO aud; bie ganjen Sreiecfe w nanbec gieid;. ©eweiä uott 3). SEenn in ben beiben ©ceiccEen ABC unb DEF bie ©eite AB = DE, bie ©eite AC = DF, unb bie ©eite BC = bec ©ette EF’; fo ftnb bie ganjen ©ceB edt einanbec gieid;. S 0 {an lege AB auf DE, AC auf Segnung gfeicfrfeif. SDreieefe \u SBinftf. 65 fluf DF/ unö BC auf EF: fo faßen Die ©eiten niefit tme genau auf jtinan&er, fonbern and; i&te gnbpunWe unö Die jiBifc^en i§-ncn Hegenben SBfnfef, nämlici) < H mif Den < D; Den < B auf Den < E u. f. tu, ; folg# !icb beeffen and) aüc ©eiten unb SSinfsl einander/ unb Die ganjcn Sreiecfc finD eincnDcc gieieft. gineitt oorgejeicfincfem^reiecEe ABC ein sttbere« gfeief) SU machen, unb jw« bio« mit pirfel unb Einea!/ jeiebue man Die Einte bc — BC ; nun neunte mau Die ©eite B A mit DemjSirM aus Dem fünfte B auf/ unD Befcitrcibe über Der Einie bc au« bem epunffe b einen SSogenfcfjnitt; eben, fo neunte man Die ©eite CA au« Dem fünfte C auf/ r.nD betreibe mit Diefer €r$ffnung be«3itfei« au« Dem fünfte reiecE ABC feiner gleicf) ifr. 2) 2t n nt e r ff tt n g* €inen gegebenen SBinfcl abjuneftmen ober nacfijit* Seici)iten mit girfel unb Eineal; SÖlejjfunji f. ©cjjufeu 2te SHbfj). ie 5öeiJe jtvci« Dtrfev ju finden, © e wetfj, bnf$ DE = AB. - 5Benn in jraef ©jeiecfen jivel ©eiten unb ifjr Stoi* fd)en; äßinfel gleich fmö: fo fmb bie ganzen ©reictfe clncnber gleich (§■ 17 . I.). 9lun aber ift in heiben Srclecfen ACß ur.b DCE bi? ©eite CD glticf gemacht morbcn AC, unb bic ©eite EC = BC. JDer SBinfel ACB = DCE als ©dpeitelwinfel, 3n gleichen SJrefccfen (inb mich bie ©eiten einan* her gleich , bie gleichen SBinfcin entgegen liegen C§. 17.1. »6th. §. 34.1. a&t&o. 3tun aber jinb bic SDreiecEe DCB unb ACB eine anbec gleich; folglich ift bie ©eite DE = ABj t»eil fie beibc fcen gleichen SBinfeln ACB unb DCE gegenüber liegen. Sie ©eite AB ift bie gegebene Entfernung, bie gemeffen werben foll; alfo ift ed mich gleichriel, wenn ich bie Siinie DE nteffe, weil biefe bcc Cinie AB gleich ift. Siheitet 5?all,. SBenn man nur ju ben einem ©egenfronbe fom# men fann, j, ©. nur gum ©mime B, aber nicht jum Jjaufe A, weil fleh ein §(«() jwffcben helben hefinbet. SDtcm rockte man gcvabcju nicf;t mfffm fann. 69 JL S5?an n5fif)Ie einen Beticüfgen ©tnntpmift in C unb ficife einen ©tab ein; farauf gclje man nadj A gu, fo uaf)e alS man fosmnen fann, unft free!« ben ©tab D becgcflalt ein, fcafj er mit A unb C in gej raber Cinfe fteljt. IHun meffe man uon C naefj bem ®aume B, unb trage biefel&e Entfernung gecabe fort fci« nad) E. Eben fo tneffe man non D nadj ß, unb trage baffetbe ®aafj fort, 6ifi naefj F. Enbiii# fteefe man ben ©tab G bergeffalt ein, baß et niefct nur mit E unb F, lonöern autft mit A unb B in geraber Üinie ftcljt. Sareuf mefie man von G nad) B: fo flnbn mau fcic Entfernung bei ^aufcö A von bem ©aume B. ©croeig, 6a§ GB = AB. 23er.n in jmei ©refeefen gwcl ©eiten unb ifjt Smifebenrointrl etnanber gletd) [inU, fo ftnb bic gangen SDfÄ ■ efe einander gieief). ' E 3 ~ 3?un 70 ©ie SB eite jroeitt Dertet ju ^nben, Sftun finb in ben ©cefecfen CBD unb ERF bie ©eiten CB = BE, unb I)B = BF; bec SBinEel EBF = CBD al« ©djeitciminEel; folglid» ift ba« JDreiccf EBF = CBD , unb bie gfefdjen ©eiten gegenü&ei(iei)enbe SBfnEei ftnb einanbec g(eid). (£« ifl olfo bec < C (weidjec DB entgegen ficf)t, ) gieid) ben < E (meiefcee BF gegenü&cc »oc fid) ijat). SBenn in jieei ©cefecEen jroci SBinEel unb i^re Swifdjenfeitcn einanbec gleich finb, fo finb and) bie ganjen ©ceiecEc einanbec gieid) (§, 17 . II 2lbtl).)- Sinn ifi In ben©ceiecfen ACB unb BEG bec SBfn< Ul C = E, unb bec < AÜCt» EßG, alb ©djeitels roinfef. 2 iudj bie 3 ®'fd)enfeitc CB = BE; folglich ifl ba« SrciccE BEG = ACB. 3 n gleichen ©reh eefen finb auch bie gleichen SBinfeln gegenüber liegen« ben ©eiten gleid). ©a nun C = E, ur.b bie ©eite AB bem SBinEel C, unb bie ©eite BG bem SBinEtf E gegeiu56er|!eh*t : fo td »n ben ©reieefen BEG unb ACB bie ©eite GB = AB. AB ffl Me Entfernung, welche gemefTcn werben fett; ba nun BG i^c gieid) ifl: fo ifl eS eben fo gut, wenn B G gemeffeti wlcb. ©eitler galt. SBenn man ju 6 etben ©egenfidnben nicht fommen fann, wie mißt man ba betten Entfernung? ©ott we($e man getabtju ttidjt meffen fann. 71 ©otl man meffen, wie weit A oon B entfernt fei), ju welchen benben man nidjt. fommcn fann: fo fud)t man einen ©tanbpunft in C, unb |tccfe barauf nod) jmei ©ra&c in bie fünfte D unb E in geraßeri’infe mit C , bod) fo, bag C D = C E. ^Darauf flecfc man ben ©ta& F fo nage a!S mäglid) tiad) A ju, aller fo, bag er mit D unb A in gleicher Sinie ftefj s ; eben fo ben ©tab J in gleicher Sfnie mit E unb B. hierauf meffe man «011 F nach C unb gefje eben fo weit in getaöet JLinie juräcf, biß nad) K, fo bag CK =* CF. ® 4 < 56 en I ■i? 72 £)ie SPÖeite zweier Demr ju ftnben, < 56 ett alfo mcgfe man von C 11a* J, unb ße^c in geraber Einte fo weit äucikcf, big nad) G, fo, Daß CG = CJ. (Jnblicf) viftct man von C nach B, unb ßd)t in 9 tf ratet Sinfe von CB immer tueiscc jutücf, bis in Den §)unft H, welket aud) mit G unb D in geratet' Sinit fielen muß. <£ben fo viftre men von C 110<6 A, unb gefie in geratet Einte mit CA fo tan»c vücfiünfW. big man öen QDunCt L fintet, Der mit EK in getaöcr Siitiic (hijt. fftun mefie man oon H rtad) L; fo [)r,t man Die Qüntfernung Des A von ß. ©eweiß, Dag HL = AB. SBenn ftt grcei ©mecKn jtvei ©eiten unb iljr gmit fdiemvinftl einanbet gielcf) ftnD: fo ftnD Die ganzen ©rtieefe einanbet g!dd>. 3 ?un fft in Den ©reietfen D C F unb ECK Die ©eite DC = EC unb CF = CK gemacht werten. Ser 2 Bin?el DCF = bem < ECK, a!S ©c§ef; telwinfei. gotg(icf) if! baS ©reite? DCF = ECK, (£ben fo i|t in Den ©rciec?en ECJ unb DCGbie ©eite EC = DC unb CJ = CG. ©er SBinfel ECJ = Dem < DCG, a(S ©cfjeiteD winfet. §clgü$ ift 6aS ©teiec? ECJ = DCG. cnfeltc EC = CD. golgf d> ift Mi Srciccf SEC = HDC. 3n gicidjen Srefecfen finb bie glefdjcn SBinfcln cr.fs gegentiegcnf'en ©eiten cinanbet gleich. 37un (Inb aber bic Sceiccfe ADC unb LEC «inan/ ber gleich: goiglic!) ifl bie ©eite AC = CL, Ctbcn fo war baS SreiecJ F>EC= HDC. golglid) ijl bie ©eite B C = H C, 74 ©rciecfe üon beflimtttfer ©rufje ju «mdjfett, SEBeim In jroei SM'eiecfen jmei ©eiten unb lf)t 3wl ( fcfcemoinfei einonbet gleicf) finb: fo finb bie ganjett SDreiecfe cinanbcr gictcb. 9lun Ifl in bem Sretecfe ACB unb LCH bie ©eite AC = CL, bie ©eite ßC = CH unb bet 2Binfet ACB = LCH, als ©cbeitehmnfei. golglidj ijl fcwiö ©ceieef ACß = LCH. 3n gleidjen ©teieefen (tnb bie gleichen SSinfein get gentibcrliegcn&c ©eitrn einnnber gleidj. 9lun ifl baS Srciecf ACB = LCH. golglicfc ifl bie ©eife HL= AB. 33a ich alfo Die ©eite AB nfc&t meffen fann; fo ifl ti eben fo gut, wenn HL gemeffen wirb. 2InmcrSung. Sie SäluOftibrung btefet jejt eben bet fdttiebciteit SReffungen, erforbert ebene unb burc5 nichts bel)inberte ffUSbe, um bie Sreiecfe abflcrfen ju Finnen; unb in bem Sibflecleit felbfl bie flrcitgfle ©enauigFeit, tuenn bie iReffung ju»erl<5ffig reetbeit foll. ©ie ifi bafior in oielen Sitten ntebt amnenb* bar t unb für foldje Sitte werben in bet geige leidjferc unb fixere SRefjarten »otFommett. 2(uS ben ßcljtfiljcn MefcS (Paragraph laffen fic& nc$ biefe golgcntngen gieren: 2ßer ein SDrciecf non fiefiimmtec ©rijj« erridfteu foE, bem muffen gegeben fepn: entmeber 3a>ei ©eiten unb i&t 3nüfdjcntüinFel; ober : öEteci XSinHel unb ifjrc 3irif4>enfeite j ebet: 2füe C«i ©eitet». SDtttecfe bett beftimmfcr ©toße 5« mtdjfcn. 75 b 1-^ 3 u biefcm ©ceiccEe ftnb gegeben bie ©eite a b uhb a c nebfl bcnj Sßinfel a, bee |ie beibe uecbinöiji'. < a = 90 °. jetctyne bie eint «on ben gegebenen ©eiten ab cbet a c, unb fe%c bie anbete in ben uertangten SBinfel non 90 ° baran; bann jU^e man non öeni <£nbpun?t« feec einen Einte bla jutn QcnbpunEtc bet anbern, «ine ge« rabe Elnfe 7 fo ift bae ©reiecE fertig* 3 u bem ©reiecEe def roirb gegeben bie Sfniede unb bie beiben 2 Btnfel d unb e ju beten betben ©tittn. a b c E ✓ d e d < d = 45 °. < e = 45°. •Dien 7 6 SDceietfe boti befiimm(«r@t:6^e $u widjfm. Sftan jeidjnc cuflUcö Me gegebene fiirn'e ; bann felje man auf Dcifeen (Sntpunften betfelbcn, Die gegebenen SBinfel an , feeren Siicfetmig feurd) fünfte angejeigt wirb; nach tiefer Diicbümg jiefte man non feen beifecn Cnbpunften feer gegebenen Phie, feie Deiften anbern ©eil len bis feahin, wo tfe jüfnnmentttff-n, unb wo tiefe £lnieu ober ©eiten einenter betörten, 6a fcfjlicft fiefj feaS Si'fiecb. SS'enn ju fetm SDreiccSe g h i gegeben werben feie ©eiter» gh, h i unb i g. ©o gelegne man erf! lieft bie Pinie gh; bann faffe man mit bem 3ogmfiftnift mit bem anbern ©eftenfei; eben fo faffe man aueft feie Pinie h i fefte ben SirEel in h ein unb fcurcbldwfite ben etilen ©ogenfeftnitr, ©arauf jiefje man non beiten , wo beibe ©rgenfefmitte fieft burcftfretijen, fo ift baS ©rüfctE fertig. g h h i §. 18 'Steilung eines gUid)jcf;enfn$?n ©reie^s. 77 §. 18. £ e i) r f a £. giiif gerat!« SJlnie, bie au« 6er ©pitje eine« gleich fcbcnilicfyen ©reiectu, auf befien ©rnnblinic alfo f)eraö< fall! , ba§ tec SBinfel an bei- ©pi*}e in $wei gleiche Ereile jecfifjnitten wirb, tljcüt autfc jugleid) bie ©runb; linie unb ba« ganje ©tesec? In jroei giJidje $!)d!c, wnb Die'JijciiungSifnie fief)t fenfsrecJjt auf Oec ©runblinie. Jgiier f{» j« bemeifen: 1) Saß öaS ©reieef ABD = CBD. Stuei ©edetfe fmb einanber gfeid), wenn tut ben< felöen ämet ©eiten unb 6er ftujtuifeijen liegente Säiitfei cfnanbes g(ciif) jlnb (§. 17. I. Mti).). Sitm ftni) in ben bcibcu ©reiccfcn ABD unb CBD 5t«ei ©eiten unb ifjr 3 wifd)enwinEcl einanber gieidj; netV.Ucf) bie ©eite AB = BC, a!« bie ©eiten eines gieicijfcbrnfiidicn ©rciecr«, unb bie ©eite ED, alfl eine SetneJnfeijflftlid;«, für beiie ©rcieere; C D aueff 78 Reifung eines gktcfjfcfjenffidjen •Dteiecfs. (Md) 6 er < o = a nach DctSSornuäfehung: Darum beibe SrciecEe, Me Durch biefe $fjeüunajj bic ©cunblfnie in }wei gleiche “JfyeiU ge» tljeiit i|t, oberAI)=iDC. ©inb bie beiben SbreiecEe ABD unb CBD einanbcr gleich, fo i(t aucVöie ©eite A D = D C (§. 59. I. Bbtl).. §. 17. II. 2 i 6 th.), weif fie bei betn Äufcinanbcrlegeu ber ©teiccfe einanbet becEen ober in einanöer faden; ober tocü in gleichen SreiecEen Diejenigen ©eiten, welche gleichen SBinEeln gegendber|be^en, einanber gleich ftnö (§. 17- I- «WO» 3) B D if! eine fenfredjte Sint'c. ßBetui eine gcrabe 2inie bergcfiait auf einer anbern gtrcben Sinic fle^t, Dag fte auf beibcn ©ejten gleiche SBinMhot; fo i(t bfcfcfünieeine fenfrechte(§. 53. 1 . 316 .). eyjnn ftnö aber bie SBiufel x unb y, welche bie Sinie BD macfct, einanbcr gleich; weil fie gleichen ©eiten ge» .genübcr fieijcn (§. 17. H. 2lbtl).); folglich ifl bie jjinie BD eine fenfrechte üinie. 2lnmevfung. ©iefer £ehrf«ß if: feljr fruchtbar', weil (ich Meie« in bcm Solgcnben Darauf grönbef. 3ct>e$ gleid?f«if. Greift? fjaf gleich 5 ßinfel 79 §. * 9 . SMe SBinfel A unb B an ber ©runbUnle eine« ßleid)fdjenflidjen ©reJeifä finb einanbct glcid). 2 Mc ']}crpcnbiFu(ac< Sfnfe , bie au? ber @pi£e e{ne$ ßleic&idienflid)en Sceiecf? auf bie ©«(1? Jjerabgefafim roitb, mad)t $wci gleiche Steiecfe (§. 18. II. 2 iDtfjI.). Sfun finb aber A unb C SBfnfd, bie ejnanbec bedien (§. 17. II. 2 lbif)I.); folßlid) finb bie SSinfel ati bet förunbiini« in slcid;f^enflid>eu Sbcelecfen einanbet ßleid). §. 20 . 3eb«< 9 ldc$fnct» glei<$* SBinfel. $< fcfcenflidjeä cingefeljen rcerbcn. S'Jun fmb in ß(eid)fd)cntlid)cn Srciccfcn bie SSStufel an bcc ©runbiinie einanbcr g(etd> (§. 19. IT. elbtfil.); folglich ftnb and) in bcm gletcßfcitigen ©reiecfe DFE bie SBinfel D unb F an bec ©runbiinie cinanbcc gleich. 2>a aßet in g(eid)fcttig.en Sreieifcn eine ©citc ifl wie bic atibere, fo fann aucf> jeöe anbere ©eite, EF ober ED , für bie ©runbiinie angenemsnen werben, nnb bie SSinfel bc$ ©rciecfÄ müffen einanber g(eid) feyn; ba (ie alle an Der ©runbiinie fte^cn tonnen. §. «I. Sffiic tijcUt man eine gerabe fiinfe in jmei gleidje 5^ile ? A c 5 (>eifan« einer qera&w iinie in jwef 'Jfteife. 81 ®ie gcrabe Sinic, iveidjc geteilt werben foff, fei) AB. SOian felje ben 3arauf fefje man mit bccfeltcn (Srfiffmmg ben 3'« fei and) in bem anbern Snbpunfte ß Oer ginfe AB «in, unb burcbfdjnetbe jene Qbegenfrf'niitc ü6er unb unter Oec £inie. Sind) bie fünfte C unb E, bie einanber fm Sbutdifdweioen berühren, jieijc man eine gerabe Sitiie, ndmlid) uen C bis E. Sbiefe gerabc Sinic CE itfjneibet bie gegebene ii> nie in jiwei gleiche ‘Steile. © c tu e i 6 : SD?an Jiclje nod) oie punftirten Jj'iifSlinien AC unb CB: fo i(t ACB ein gieic&fcfccr.flidjeS Sreicef; ?J?e£fim(l f. €cfr.ilen xte 3U>tf>- g beim $3 einergefaben Iinie in jrceigtoefye benn ti 1(1 AC &= CB als ^al6ineflfec , mcgen gtci; d)er (Jtöffnung be5 3WMS. AEB fann man ftcf> cöenfallS als ein gleicbfdjcnf; lid;e3 ©reieif benfen. A C B = A E B, nngen einerlei (Sdffnung be£ S^felS. 2luS ber 0pil.se beibtr gieidjfdjentlicijec IDreiccEe, nämlidj aus C unb E, fällt bie gecabe Einic CD unb ED auf Me ©cunbtiufe AB, mefeije f)tcc beiben Sreft eefeti gemein ifh Sie Einic CE uwcl)t mit fcee ©runb/ iinie AB lauter gerabc SSBinFet (§. iS. I elbtlj ), unb t()ei(i jugleid» bie ©runblinie in gwei gleiche Ijjei; le (§. i8. I mf> ). 9?un ift bie ©runbiinic AB bie gegebene Sfnie, wefefje geteilt roerben faü; foiglfd) ifl jlc bureb bie Einie CE in bem fünfte D in jtoei gleite ‘S^eite jerfdjnittcn rnorben. Sinmeifting. bie ©runblinie, meldie in jraci £f)ei* U gelfycüt »erben füll, fel;r lang, fo fann man an beiben ©nfccn berfelbeit beliebige Si;eiie «bnel;men. 3. 5». \S E Jgiet S(jeifung eines SBinfeis irtjroeigleiche ?§eife, gj <§ier ftnb »cti Cer ©tunbiinic AB, »on Den ®nö; punften aus, gtee* gleiche 'Sijeiic Aa miD Bb 5uvd> dt nedd (EtÖffnung De6 Sicftfö, Der in A unb B efngefejt mürbe, abgenommen morben. £)a$ Sftiitdflüf ab (|t Ü«niacf), mie gcroöfjnlid), in jroci gleite Sf)eiie getjjcilt mocDen Out:<$ Die fenfredjte £inlc C D. §. 22 . Sßie tijeiit man einen SBinFel tti jroei gleiche Sfjeile? ß 93iau fcfce bc.n Sit'Fei in Die ©pifsc B OeS gegebenen SBinfeifl ABC mit beliebige!: Eröffnung, unb macf;e beibe ©d)en£el in Den 'fünften A unb C Durd> ©ogen; fdjnitte einanber gleich. Me fünfte, mo Die @d)e t\> fei Dm'djfdjnitttn finb, fe^e man Den gidei ein unb ma; dje mit giefd;er Eröffnung ©ogenfdjnitre im ‘fünfte D 'S 2 Der 84 Gürrkfytimg fenfrecfyfer iinien. bcr Spifsc beö SBmfelS B gegen über, bie eitianber in I) imrd;ftcuu’n. 2luS Dem SurcffrcuäungSpimfte jielje man nun eine feine gerabc Üinie uad) Der Spi£e De? 3BinfelS; unö Dicfe 2mie )c(;ncibct Den gegebenen SSinfei in jmei g!cid;e ■SE)ei!e. 95?an benfe ftd) in Dem SBinfel ABC eine gerabe Sinie v>on A bis C; fo [)at man ein glfid)fd>enfiid)cö SreiecE, baß.nad) §. 18 in jmcl gleiche 'Sfieile geteilt werben »fl j folglich i|l Der 3s!nfei o =■ u , UMl in jti'ef glcidjen SrciecEcn biejenigen SBinfel einanbec gleicf) ftnb» Die glcid;tn Seiten gegenüber |lcl;cn. §• 2 3 * 5Bic erridjtet man eine fcnfredjfe ßinic auf einem gegebenen pimttc einer getaben 2tn(e? C x / \ / / u u A 1) \ __N B fjTJJan fefce Den SirFct mit beliebiger (Eröffnung in bem gegebenen-punfte D ein, unb madjc nett beiden ©eiten bet üinie in A unb B Pogcniduifitc. blc punfte A nnb B fc(jc mau ferner ben -Sicfcl unb niad;c mit beliebig fl«. r (Emc&fung fenfrcdjm- iiniert im gelte, 85 ger (Jroffnung befleißen i'ißcr ber finic burdjfreujte S5o; genfdjnitte in C. ?iuS C Uef\« nun eine gerr-be i'inie na cf) fern gegebenen Qbuncfe D, unb f t c f> ^iiiie jfcfif fenfrerfjt auf A B, Sic ßeiben Sreferfe ACD maß BCD ßnb eitianber g(cirt) j benn AD ifi B D glcid) gemacht u>orben,unS AC = BC: buicf) gleiche iSrßflnung bt$ 3. gelbe Sie Sfuie fei) AB, foHtc man aus 6 cm fünfte C eine fenfrcd)te Cinle ertidjten; fo meffe man aus bem fünfte C, 511 DelCcn ©eiten rccfyts unb linffi auf bec Sitiie AB eben fo uiel beliebige 9?utfjen ober ©d)uljc, | 6 i 8 D ali wie bii E, linb bejcicijnc biefe fünfte mit ! Pf<$fj(en ober ©täten. 2ln ben ipunlt D btefet Sinic f)a(te man ben ?ln» fangäpunft bet' SMefjfetfe, unb an ben fPunft E bet» ßnbpunft Oerfel&en. Jjfernuf faßt man ben SDbittclpunft bec Sette; löelcfjet; lcitf)t burd) ba« 2 i&jäl)lcu bet' baran ßejeictanc- ten Stützen ju finben i(i, gcf)t übeu»Ärt$ bec Cinic AB, j. S5. bis in Den $>uiift F, mo bie ©dmur straff angesogen, ben ‘Jbunft angiebt, aus roeldjem auf C eine fcnffedjte Sitiie butd; 2Utftecfc|tabe u. f. f. et« richtet merben Sann. S5?an mifb leid)t einfetjen, baß auch bie JjaJfte bec ©ebttur an bie Qiunffc D unb E gehalten, ju biefer Opccafion fdion hinlänglich i|t. 2 inmcfl'inig. Crricfjfet man auf einer geraten £inie jroet folcßc feitfrecßtc Siitien »on gleicher Sänge: fo famt man bnrcf) tiefes fBcrfaßren auf bem Selbe and) leicht iparalle’Hinien jteben; benn nach ber SRicßtung ber äußerfren fünfte tiefer fenftechten Sie ttten (welche fünfte auf bem gelbe mit Stäben b« jeidjnet werben), barf man nur eine gerate Sinie iießen ober abtfeefen ; fo wirb fte ber gegebenen Sie ttte parallel. e €md)fung fenfrecfjfefun&'^atattetliiiiett. 87 c b d D A O o B a c g. ®. €i fei bießeube £inie AB, mit welker in einer Entfernung sott 4 0 eine IDaraUettint'e gego* gen rcerben fotl > fo erriete man bie (entrechten £U nten ab unb cd auf ber £inie ab jebe zz 4°> fo jft ab parallel cd unb cd parallel AB. §. 24. SBie errichtet man eine (entrechte ginie auf einer geraöcu ginie, unb pjar au$ einem fünfte, ber außer ber 2inie Begehen ifl? <02an fefje ben Sittel in bem genehmen ( pun!te C, unb mache auf ber ginie in A unb B Smrchfcfjnitte 55 4 ml ' 88 fenfrcdtfen ( Paraücüimen. mit beliebiger Eröffnung m Bitfeld. Jöiccnuf fc£c man mieber ben Birfcl in A unb B ein, unb maelje über ober unter bem gegebenen fünfte C Äreujfdjnftte j. iß. in D. 97un (egt man bad £ineal an bie punfte D unb C an, unb jieift naefc bsr Sinic AB ju. 2lU> bann fielet bie üime A D feufrcefit auf A B. © e tu e i 4 . ■ ^)ier ift glcid)fallä ein gleid)fd)ciiffidjcP SteiecE ADB ober ACB benfbar, burcti bereu beibc ©pifven bie Sinic CD auf iljre gemeinfd>afüid)e ©runbllnie fällt, ben SSinFoI ber ©pifse unb bie ©runbiinic glcid) tfieilt, aud; auf bce ©runbiinic gieid)c äßmfel mad;t (§. lg); folglid; i|t bie £inie fenfree()t. §. 2 5 - StPci fenfreefcte Sinien »b unb cd, He »on einer Patallellinie AB auf bie anbere CD fallen, flefjcn in allen punften gleicf) toeit von einanber, unb laufen baf)cr fclbfi einanber parallel. Sa fic «1$ fenfredite fiinien überall glcid;e SBinf'cl rnadjen: fo bilben fie ent; roeber ein O.uabrat ober anbered Parallelogramm; folg; lieb ftnb aud) bie einanber gegenüber (lebenden ©eiten, lvcldie burd) bie patallellinfen aügefcf,nittcn werben, einanber gleid;. ©,), golglich e + f — 2 gefaben SBinEeln = igo 7 . ©inb a&cf bie < e + f = 180°: fo muffen aud> bie fiinien ab unb cd Qinraüeösnicn fcon (§, 2. U.) SBerm a!fo jmei fenfrcdjte £fn£en (ab mib cd) auf einet gefaben Sinien (ef) fiefjen; fo finb jie ein; anbei' parallel. b !c J n m\ \ u 0 gut ©rlefchfetung bcö SBcmeifeS jielje man oben burch bie beiben fcnfrccbtcn Sinien eine geeabe £(nfe gh / bie bet ©runMinie ef parallel läuft, getnet bie ©fagonallinie b d. SBcnn. in jrnei Steiecfcn jroci SSinfcl unb djre gmifebenfeite gleich finb: fo finb bie ganjen Sreiecfe efnanbet gleich (§. 17. II,). 3fun finb in ben ßeiben SDreiecfen bad unb deb bet < m = u unb n = 0 ol6 SBechfelminfel, unb bie 3*bifd;enfeite ift beiben gemein; folglich finb, bie ganjen Sbteiecfe efnanbet gleich ober bad = dcb. 3« gleichen Steiecfen finb auch einanbet ge< § 5 9 «<* $0 S3on flenüSer ffeljenben ©eiten einanbcr gleich ; folglich Ifi fti ben beiben gleichen Scciecfen bad unb dcb bie ©eis ie b c == n d. 5 )nrafie(Jfafcn flehen überall gleich meittson einanbcr. 9 )un fmb aber Me beiben Sitfan}en bc unb ad gt»(fcf)cii ben Oetbcn fenfeechten SJinfen ab unb cd ein# emtcr gleich; folglich fmb bie fenfeechten £inicn ab twb cd parallel. SEenn eine gcrabe ßinte QbatalMinicn bunhfd;«eis 6 ct: fo fmb I) alle SBechfdtt'infel einanbcr gleich. 10 Sie gleicMiegenbcn Sßinfol finb ciuanber gleich, eher ber nu§erc SBinM i|t gleich tem inneren SBInfel, ber iljm entgegen (ieljt. III) Sic inttern SSinfci fmb jufammen jwel gerabe» Sßinfeln gleich. §. 26, I. Um ju heroclfen, bajj g = h unb 1 *= 2 P h is p SOicin 5Son 9>ara((tßinim. 9 * 93ifm jicfjc jroei «ftülfsünien, nclm(id) aus beti fünften, wo öle Ctueerlfnie bie ^ataüeüinten butd)< fdjncibct, bie fenfreefifen Sitiien m n unb op. ©tr.b in 311 ,'ct ©meefen olle bref ©eiten einanber ßtcld): fo fmb bie ©rcuche einanber felbec gleich (§. I7-) Slun ober ftnb Me ©eiten beS ©reiechä mpo gleich ben ©eiten beö anbern ©ceiccfS, al$ ©ijtartjcn jweier ^araücllinien. ©Ic ©eite ro p i(f = no, weil öurcfj Me fenfj recfjten Hinten in n unb po von ben QCsareÜctUnfen gleiche ‘Shells aBgefdjnittert werben (§. 25 ), unb bie ©eite mo ift beiten gemein; folglich finb bie ganjen ©celecEe mpo unb m n o einnnbec gleich. 3n gleichen ©teieefen finb auch biejenigeri 5BinfeI einanber gleich, welche gleichen ©eiten gegenüber fte; I)en utib bei bem 2 (ufciuanbectcgcn in ober auf einem» ber fallen. 9?un fällt ober (wenn man ba3 eine ©reiec? her» utnfefjrt, unb baä eine .auf bab anbere (egt) bie ©ei? te mp auf bie ©eite n o, unb bie ©eite p 0 auf bie ©eite m n unb eben tarum auch bie 5Binfei gunbh, 1 unb 2 auf einanber. Unb weil biefe wegen ber ©(eich* heit bet ©eiten einanber beefen, fo ift g = h unb 1 =2. 91un ftnb aber g unb h ößechfeirotnfel; foglidj i{h 6 er SBechfelmlufel g gleich bem SBechfelminfcl h. Unb fügt man i« ben gleichen SBinteln 1 unb 2 bie Ule ben 9? 23on bett get'rtfcc» SBtnFcI q uub s fjftiju, fo ftnb and) bic 3Becf;|cteinfcl i+q = 2 + s. SDc.nn 1=2 (®ic!)c oben) q = s (alä gerade SBinFcI) I + q = 2 4- s. ©IcidjeS ju glcidjcm obbivt k. H. ©crod$> bog M = L. 3 ttle ©djdfdSBitiEd finb dnanber gtcicfi (II. §.92); fcfqttd) M = 1 (mdl fic ©dsdfdrdnfd finb). 3 ! «f< ©rögen, bfe einer bdüen g(eid) (tnb, bic finb dnanber fcIDfc gkid) (I. §. 62.) Slun jf! M = 1 (als ©d)?irct»infd ) wnb L = 1 (a(ö 9Bed)fdtrlnFe(.) golglid) (fl and) Oer nugere SBinfel M gteid) bem flldcgliegenbcn tnnern < hi ober M = h Uh ©eSüdS tag G 4; L = pel geraben SBinfeln, obsr igo 8 ; Mt Q3on ^)Gfü[[cHiniett. 23 2 We Dleßenroinfel finb in Summa jroei gci’a&en Sßinfelu gieid) (I. Jlbti). §. 87.) »* folg(icf) ifl aud> btc < h -j- L = j«>ei gevabcn Ößinfeln = 180®, ( 4 jldd)r 3 Fann für gleiches gefejt (fu6ftituirt) o.öeP mit ßieidjcm t>;r!»cd)feit rocrben (i. §. 6r.),. 01 un ifl G = II (als JSedjfelminfel). golgtid) ifl G + L = h -j- L. Slun ifl aber h + L = jmcf gefaben SBfnfeltt, 2 üfo (fl aucf> G -J- L = jmd gefaben SBinfefn. Sftan fann nuc& bie @a§e ötefeß ^baragrapljs um; fefiren unb behaupten: ipenn jroes gerabc ßmien , j, S. AB unb CD, fcie uon einer Dritten burd)* fdinitten merben, eine feiere Sage gegeneinanDcr f)a; bin, Daß: 1) bie SBedjfefanr.fel 0 unb u einsnber gleich finb; aud) 2 ) ber glciddicgenbe äußere Sßinfcl M gfetd) ifl Dem inuern Sßiufel L unb 3) bie beiben inuern SSfnfel o unb L jufommen 180 (grab haben: |o (aufen biefe beiben Cinieit A B unb C D einanber parallel. A 94 S>on fjpiUfllidiinten. SBollte tnan nicfjt jugeCcn, baß (6cf allen o&igcn SÖorauäfe&ungen) bje Sinie Aß free Binie CD pa* vatlel liefe: fo müßte bod) irgenb eine anbere, efi fei) j. ©. xy, unter gleichen brci) ©ebingungen mit CD parallel laufen. 2(l!ejn baraug mürbe felgen, baß ber SBinfel FMy fo groß toctic, alg ber SBinfel u. 216er ber SBinfel FMy ifl nur ein lilfeil oon betn SBinfel o ober F M ß, meldjer nad) ber SOoraug» fetjung beni SBedjfelminfel u glcid) ift: unö bann ifl tie ©ebingung nldjt mefjt biefcl&e. Jiüd) ber äußere SBinfel EMy ifl bem innern SBinfel L nid;t gleid): benn fonfE tuare aucf> bee SBinfel xMF (als @d)eltclminfe( »on EMy) = L. Allein ber SBinfel xMF Befielet au$ beni SBinfei R -f- xMA, ttnb ifl alfo offenbar großer, al« ber SBinfel R, roeicßec «fg SBcd;feftpinfel non L eBen fo flleiefj 33on ^aratlettiinen, 55 gleich biefom fcpn muß, a!$ o =* u, vermöge tec SJornusfcfjung. ©a nun ber Äußere ®inpel EMy tem innern S&inFel L nieftt gleich ift: fo Mnnen amft bie betben innern fSinfel yMF + E nicht {wet rechten SBitu fein gleich fevm, ober 180 ©rab in ©umma ftaben. ©tun Cie beiben SJlebtmvinfel yMF + EMy f)« ben jmar als folche in ©umnia i8o@rab: man tarnt aber teil SBinfel L bent SSinFcl EMy nicht fubjtii tuiren; weil Cer iejterc größer iß, als L: folglich fann «uc& nitftt yMF -f L in ©umma 1S0 ©rab haften. ®o viel nun EMy größer iß «14 L, um fo viel iß öer STccbemvinfel CeS etßetn,. (ncmlicft yMF) fiel# ncr a!S L. golglicft befragt yMF + L weniger als igo ©rab. ©agegen werben bie 6elben innern 2ßt>ifcl xMF + u auf ber anbtrn @efte größer als iSo ©rab irt ©umnia. Sclgffdj neigen flcft bie beiben Sinfen xy unb CD, auf ber ©eite, wo bie innern üSinfel fieinec fmb, ju einanber, nnb faßten beßo weiter auf ber anbern ©eite, wo bie größetn Sßinfel liegen, von einanber: alfo finb ße einanber nieftt parallel. ©a nun alles bies 6ei) jeher «nbern Sinie, außer AB, äutreffen würbe; fo iß AB allein bet Einie CD parallel. -i Tr $6 SJon 93ara(Uf(it?ictt. §. 27 . 31 u f g a 6 e. SBte jidjt man Curd) einen gegebenen $}unft eine Einie parallel mit einer anbern gegebemn Sink? C D ©dH buref) ben gegebenen QiunFt C eine Einle pa* lallet mit AB gezogen werben: fo gte^e man auS bem Qiunfte C eine ga'abe Einie in beliebiger Siicfctung auf Cie Einie A B , juni löcffpiel Cie Emie CE. Snucf) biefcä 23 crfaf)ren M6mmt man auf Ccc Einie A B jroei SSinEcl a mib b. ©iefe SÖinEet trägt man an ben gegebenen QTunft C auf Cer Einie CE in entgee gengefeljtcr 9lfeJ;iung ab (nach §. 17. 2tc JlnmetE.) fo wirb Cer SBinfel c = a unb d = b, unb Cie Etnieu C D unC A B fmö einnnbec parallel; weil Cie Elnien AB unb CD oon einer britten CE Cecrgtftaft fcind)!d)nitteu werben: baß bie SBecßfclroinFel a c unb db einanber gieieß flnb, ©er 3 tugeufcbein lejjrt, baß man bei biefev ®Jee tljcbc , parallel.-Einien ju jieDen, nur einen SBecßf'W tvfn; (Summe ber SEßtnfef in einem SDreiecfo 97 *i»infei, j. $5. bcn < a in entgeßcngefeätec SHi'c&eutts auf bi« CE ju tragen Ocouc&f, £ e fj v f a %, 3iüe SSinEet eines jeben SbcetecES finb 3 uf §. 20.) cinanfter glcid> ftnft, unft ßetftc fjier jufnmmen ftett jtuciten gernftcu SBfnEel ou»< ’mac&en: fo Eftmr.t aud) foiglid) auf jeftett nup ftie «fjaifte »on einem geraten SBinfcl, öftrer 45 ©raö. eei(c£ BEC, unb tfyciie Dcffcn SBinfei in jwei gleidje 51 >eile. Siebec SBinfel clneö gleic^fcttigen SrciecfS entfjdit 60 ©tab (§. 31.) 3 (!fo ift ber SBitifei EBC t 60 ©rab: fofgffd) fdjneibet ec Den bem gecnbcn SBinfcl ABC bec 90 ©tob entölt, 60, ©tab ab; uni) bec äßinfel ÄßE ßej)ä[c nod) 30 ©tab. Sbeiit itnn nun audj ben £5in!et EBC von 60 ©taben in jiuei gleiche Steile: fo £)at jcbec Sfteii 30 ©tab. Sa nun jeber Den ben 3 SBfnfefn 30 ©cab entölt» fb i|i bec gecabe äBfnfel in 3 gleite Steile get^cifj rcocbcn. $♦ 37 « 3 Juf bem Qinbe einet- geraben Stofe AB eine fenfcs Uä)tt Sinie ju etfiditeu. SRan errichte auf bec gegebenen Stofe AB ein gleid'fcitigeb Sveiecf A, ttecidngec« bie ©eite BC «ad) D ju unb jroac fc, bafs Sie äsetldrigcrung CD =s BC tüicb. Sfiun laffe man aub bem * 3 >unftc D auf ben dnbpünft A bec Slnte AB eitle gecabe Stofe fterafj» fallen: fo t{i öfefe Sinie AD bie »erlangte IJJeteen&ifa# g« 1 Sinie* io6 ©Mridjfung einer fenfredrten linie ouf D Seher SBinfel eine« gleicßfcitigen Sreiecf« (jM 60 Önab (§■ 31 ) Sa« SceiecE A ß C ift ein gldcfjfeitigc«, folgffd^ tntfj.nlfen bie < o ■+■ x 2 X 60 = 120 @rab. Set äußere SBinfel eine« Sreiecfs iß fo groß, als 6ic beißen fßm entgegen ßt'ljenben intiern SBinfel (§. 33.) Set SBinfel u iß ein äußeret SBinfel; folglich iß et fo groß al« 0 + x, ba« ßeißt et enthält 120°. Sie SBinfel an bet ©tunblinie eine« gldcßfcßenf* ließen Sreiecf« ßnb einanber gieieß (5* 19.)• Sa« Sreiecf A C D iß ein gleicßfcßenflicße« Sreiecf, Senn CD iß benSeiten be« glcicßfeitfgen Sreiecf« ACB gleitf» gemaeßt tuorben; baßer CD = AC; folglfcß iß bet < y = D. 2111« SBinfel eine« Sreieif« ßnb sufammen jroei geraben SBinfcln gleicß =» 180 0 (§. 28 .) Unb fcent €nt>e einer gercben linie. 107 Unb trenn man einen Sinfcl bcö Sreiccf« t»e(ß; fo ftnBet man bie Summe bet beiben atibern butd> @u&* troction be y. SBaG grbßer ober fleincr if!, cfö eine ©r5ße «on jinelen ©(eichen, bad ifl auch fltößcv ober fleincc aid bie «inbere ©täße (I. §. 66,) STiU« ((! x = o Unb y < x gcfglidj ff! y < ö O ber o > y. fcer großen ober kmgffcn ©eiüe gegenükt. ioy SaS ©anje iß grüßet als fein S!)eii (I §. 65 .)*"' 31un iß bcr < 0 ftcßibar nur ein ‘Jjjeil »on fceni SBinfel B. Sn aber Derweil o fdjon grüßet iß, olä y: fo'inuß notJjnxmbig Der ganje SBinfc! B nod) grüßet fepn als y, 2lufg!eicfie SBeife, nemlid) wenn man einen‘SSjcil bet 2imc A C gleici) mad)t ber Sinte B C unb toicbce ein* Jjjülfälinie jietjec, läßt fiel) beroeißen, baß bei* SBinEel A Keiner iß als bcc < B:- folglich pnb beibe SBinfel Aunb C für ftcO aCIcin nießt |'o greß aiü C. Sa nun ber SBinfel B bec größte SBinfei i(l; tufb bie ©eite A C, ineldjer er gegenüber ßeijf, Die lüngßeiß: fo folgt, baß Derjenige 3Binfel in einem Srefecfe ber grüßte fei), toeidjer bec längßen ©eite ge# gen übccßcljt. II. 3n jcbein Sreiecfe ijl biejenige ©eite bie lüngße, loelcße tem grüßten SBinfei entgegen ßefjt; unb bie» jenigen ©eiten ßnb fürjer, bie Keinem SBinfelt» gegenüber liegen. SÜian fcJje jucücf auf bie 3eicS)nung No, I, biefel tiefen nid)t glciu% 21(fo fünnen aud) Die ©eiten A B unb B C , rocfdje ben {(einem SSinbcln C unb A gegen überftefm, nidjt eben fo groß ober nod) grüßet fei;n alä Cie ©eite AC. ©aßet 6lei6t nur bet Dritte nod)tnüg(id)e gafl übrig, bößAB < fcC. gben fo and) BC < AC: foigiieß ift umgcfeljrt A C > A B unb aud) A C > B . 3tuö biefen £eljrfäfcen (affen fttf) mancherlei goige# tungen jicfjeu. §• 39 » ® r |1 c golgerung. 3n etnem gerabminfiidjen unb fiumpfroinfifdiett Steiccfe, ijt Diejenige ©eite Die grüßte, Die Dem ge# raben ^olgenmg. u.II. b. 38. ni ra&en utjB (Jumpfen SBfofel gcgenü&cr liegt: roeil cec getaöe uni» (iumpfe SiBinfd in |"old;en ©reichen Die gelten äßiufel (tnD. §. 40, 3»eite golgerung, A t’.v \ \ \ _c ^ G. b C ©ie fer.Frecfyte Sünie AB ift unter ollen geroBen Siniiii, Bie au« Bern fünfte A auf Bie getaBe üinie BC ijecabfalkn, Bie türjefte. ©enrt alle anberc gernBc fiinlen Aa, Ab, Ae mocljen mit 6er Sittie AB unB AC, ©reieefe, an tuet'; djen Bie ümtett Aa, Ab, Ac, Bern geraOen SB-nfel ABC gegenüberftej)en, unB al|o Bie größten Seiten tu Biefen SreiccEen fmB: folglich ffl unter allen Bielen 2te nienAB, Äa, Ab «, f. f, nur Bie £inie AB fenf» redjt. ©ritte l uz gofgcrmtijen ic§rfäi ? e S t i t t e Folgerung'. JiuS 6cm fünfte A (3e/dmung bec 2 ten goig,) faßt ficft nue eine einige fenftec&te £inie auf bie l’inie B C jiefyeti: beim aüe anbece »flehen auf Oer einen ober anbern ©eite frefjen muffen; unD cifo länger tuerbeu* 9fad) Der uoeijeegef/enben Folgerung fciefeö $>aragrap!j4 fami ober nuc bie fenfrec&U f{nie Aß Oie fticjefJe fep. SSfecte golgecung. Sie fenfredjte Cinie ifr bemnadj bec furjcjlc 216fran& IWifdjen einem jeöctt ’Punfte unb einec gccabcn l'inie, Soigüd) muß aud) bie fenfredjte £inie bic wafjce ^ffje ber gigumi ongeben; wenn nemiief) tiefe fUmie oh 5 bec ©pf|e auf bie (Srunblinie obcc beccn SSeriän» gerungfyerabfaüt. ©o fann ;um ©cifpiel bie Stnie AB, nad) t»eid)ec man auf einen ©erg fjinaufgcjjt oSjnmbg# Heß bie J?b§e fcpj fonbern bie fenfreeßte eher »eetifaie Sinie BC. £$n bet feiten gfgut eff bie ^»6|e GL unb m’c§t G J ober GKH. i. Sfs* s. glg. ö A c H 5 . 41. <3m?nd)tt Urne« j« errief;«». ii 3 §. 41* ?(uf einem unö bemfeiScn iptinfic einet geraten Sb nie, farm mit eins einsiß! fenfrecfjte Sinh errietet ivecöen. B ©efefef ouf öcr geraten Sinie AC liege |icfj fm QCmnffe C nieljr niä eine fenfreeftfe Sinh errieten: fo müßten fic entmcbcc fnnerjfjaiö oberaugcrfjalO 6er erlfern fcnfvec&ten Sinh B C frefjen. Sieg iß aber unmägijeb, Bcnn fic mürben ftrf) recfjts ober lin« neigen, folglich feinen gefaben äStnfei, fonbem nur Slfjefie wen einem gecaOen SBinfei «uOmacbcn, ober fogur einen größern SBiiifclj folglich miten au ei; Oiefe Cinieii nieijt |'en?jec$i. §» 42.. (Stögen, 6 ie anbern gfefcfjeti ©rdgen gfe/<$ ftnb, 6ie ftnö einanöer feiöer gfeicb* 3» $)« Singe, i>h njd; 93Jcvfuuftf. ©cfmleii 2 tt Sibty. *5 iteei ii 4 @enfi’e$£e iiiüen jwifdjht ^>oraüeüinisn •Jiuct gleiten gönnen gemacht werben ober nad) gleichen SDiufieen. A B « ~~ a A = B C = A n = b go(glld) aud) C = D Sie @citen C unb D DcS SreiecfS a b c ftnb ein* anbei: gfeid), weil fie ßeibe nad) gleichen 5D?aagjläöen A unb ß aufgettagen ftnb. i Sitljlr. = 24 g(. 48 ©ecfjfec = 1 Sitfjlt. 2 88 Pfennige = 24 gl. golglid; 48 ©eet»« — 2S8 'Pfennige. §• 43 * fie^tfafc. G A H ! x o 'u / , : ;a n\l/r b. D M SBenn flefjett auf fceiixm iinictt fcnfred&t, 115 SEBenn Die £inic AB auf einet: 5 MraflelIintc immune de A (entrecht (ielji: fo (rej)t eben biefe Sinie auch auf ■ Der ahbern l’inie im fünfte B (entrecht. Um 6ie(en ©afc ju beteeifen, mache man folgenbe gubereitung: SDian (c£e ben SiHel in B ein, ttjuc iljn beliebig auf, unb mache B L = ß M. hierauf werben tn ben fünften L unb M bie (entrechten Sinien L G . MH ■errichtet, unb Die Siagonallinien BG unb BH gejo; 'J:. 9 { n/ wobureb Sreiecfe entfielen. fK: % -:P' MV. i SBenn in jmei Sreiecten jroei ©eiten unb ber Da* jroifdjen (iegenbe SBinfel einaubet gleich ftnb, fc jlnb bie ganjen Sreiecte einanber gleich ($>..17 I.). 37 un (Inb in Den Sreiecfcn G L B unb H M B bie ©eite L B = ß M & bie ©eite GL = HM alä Sif|ansen ättteier ^aratlei« l^linicn, unb Der äBinfel a = b als gerabe SBlnfel, & welche Durch bie mit gleiß errichteten (entrechten Simen '* entjLanbcn; folglich (inb bie Sreiccfe GLß unb HMB einanber gleich- Sie beiben Sreiecfc GLB unb HMB, (tnb gleich ben beiben anbern Sreiecfen BAG unb BAH; netnüch BaG = GLB unb BAH = HMB, Senn: bie ©eite GA = LB unb AH = BM (§ 25.) bie ©eite Aß = GL = HM elü Si|lansen jtveiet Qbarallellinien. Sie ©eite G B ifl beiben Sreiecfen gemein; eben • fo bie ©eite HB ber beiben anbern Srelecfe* ©rä* ; J? gen, n6 ©cnfr'jdjfc ii.tien gtv-tfc^m ^avcMinien fen, bie gfcMjen ©roßen g!ci<$, finö eitianbes |e!6es &UfcO (§• 42.) 9 tun iji b«S SfdecS BAG = GLB unb BAH = HMB ferner ba§ Stciccf GLB = HMß goiglid) iji nud) ba« SreiecfBA G — BAH, ©Icicljc Sceiecfe ija6c» aud) gleite, gcgenuöce He? genbe SSinfel (§ 17. '. $olglid> ifi ber SBinfel n = r unb bei- < 0 = u. ©leiere« ju gUidjin nbbiit, gie&t gleCcfje Summen. n = r o = u abb, n + 0 = r -|- u 2(lfo i(l n + o = r + u, Sie Befben tSSinfel n unb o machen jufammcit ben ganzen 2Sin?el ABL, unb &fe 6eiben SBinfel r unb u machen jufammen ben ganjen SSinfei ABM.au«: folg# Hd) finb aucB bie ganjen SBinfei ABL unb ABM einanbec giefcf). ©icicBe SBinfci auf einer gevaben Sfnfc tie6cn ein? anber, finö geeabc SBinfei, unb bie ßfnie jroifdjen 6ei« ben fteij’t fenFtec^t O. 2[6tf). §. 53 unb 54.). fielen ouf t-d&en Haien fmfredjk 117 §• 44. 3 e t dj n u n g bei - Q}ara11ei09r0mme. D -—- C c Um ein; ßuaBcat AB CDA ju geidmen, ßatf miü Bie Sdtiße einet ©eite j. 35 . AB gegeben fcijn- 2lnf Ben üdbeti (Snbpunften A unb B Otcfec ©eite, errichtet man eben fo geogc fenPrcd:te Simen AD urtö BC, «tib gieret Bie vierte Sfnie DC von Bern o6em gr.bpunPe D Bet einen fenh’cdjten Stufe, bfö jum obern SndpnUe C Bec anBecn l'itiie. H Übet.* EL F . s ? 3 5fuf 118 lättgfidjfe 33iefecfe ju jcidjnim. 2(nf bie gegebene ©eite EF fr£t man b-ie jroeite ff fnftt in C; eben fo mißt man bie lange ©eite AD, fcfct ben girfei in B ein, unb tnadfc g(cid>faß» einen fSogen* fdniitt in C: mo beibe ©ogcnfdmitte in C cinanbec bucdjfreujen, ba fit bie vierte (£de; beim auö bem Qbunftc C fließt man nad) B unb D Sittien, fo Dca foinmt man bie brüte unb vierte ©eite. €inc Äaute jeießnet man beinahe, mie ein Ciuai brat; nur bürfen bie vier gleichen ©eiten nidjt in getaöen SBinfciit fliifammcngefc^t merben: d ifl aber genug, menn man nur eine ©eite uttD einen »ißd? tl;cer (Bröjjc uaeijj. Sine Dvaute ju jetdjneiT. 119 3 um «Scifpiel wenn bie i@eitcn':AB unb CD ta fern gegebenen SBinfei «on 45 0 jufnmmengefcfct flnbj fo nehme man bie Sdngc bec einen ©ettc mif bem gitfet o&i fefce bann ben SirFel in A unb C / unb mache in D ifreujfchntfte. 2iu3 bem .^rempimfe; D, jieije man bie beitte unb »ierte ©eite nac& A unb C, fo ift Die Staute uoß» fommen. ©>aS aefc^obene langlid;te TOietecE wirb auch feinahe flejeictmec ,• wie Da« geeabe längitchte SBierecf; r.ue muß man (jtec nicht mit bie eine iange unb fueje ©eite tpiffm, fonbetn auch Die @täjje beS SBinfel 6 , In bem feibe ©eiten jufammenßoßfii folieti. ■5 4 gum 120 Dis Ciueer* eSot 'Siaßonctfinie ffjcrfü gum SSetfpiet Wenn blc bciöen gegebenen ©eiten fiF s'tib FG in bcm gtcicfjfallö gegebenen SSinfel non 4 <° ,VjfammciiBC|Cfet finb: fo meffc man Me 2fuei Ccm Äecu^punEtc in H gieije man naef) E unö G tinien: fo fyat. man Me britte unö vuertc ©cüe beö gcfcfjo&enen (ängliöjcen iöierccbs GHEFG, 3«beä fParanelonvamm wicb bucefj eine SMagonol- IfniC/ in jmei giciebe 5f)cile getffeiit, unö Mc einem» bec cntgegen|teöenben ©eiten; irigtcicben ‘bic cfnnnöci: entgegenfiefjenöen Sßinfel Jjaben gleiche @rö|jc. 4 PöfdiWogramm ist jroei gfeidga 12t .fjiet: if! beeieriei ja bciöeifen: I. Sag &tc Sragonaiiinie A C ba§ Paraßeiogeamm in jinci gleiche tgeiif. II. Sag bie gegcnübcrßcgcnbeit ©eiten gleid) grog, unb III. bag bie c/nnnfia' etifgegeugegenben SJiufel glet'd; finb. I. Surcg bie Siagonaflinic AC entgegen jmei Sref# ecEc aus einem jeben Parallelogramme; nemlicg ACD unb CAB. Sie ©eiten AB unb DC ftnb Paraßeflinicn» Sa nun butd) jmet Natalie ütnlen eine beitte bueeg# lauft, |o entgegen iJßecgfelminfel, bie einanbcc gleid) ftub. hieraus ergiebt ßcg, bag in jeccm pataße? logtammc bie beiben Srefecfc ACD unö CAB einan» ber gieieg ßnb, benn fie gaben beibe bie eine ©eite AC gemein, unb bie SBinfel an btefec ©eite in beibeti Sveiccfen (mb einanber gieieg, weil fte äSesgfeinjinfel ftnb, nemlicg m = u unb n = o. SBenn aber in jmei Steiecfen, jtuei 5 Bin?d uttb igte Bwifcgenfeite einanbef gieieg gnb , fo gub aueg bie ganzen Sreiccfe einanbev gleicg (§. 17.) Siefe bcjben gleicgen SreiecÜe ftub gier aus je# bei« Parallelogramme, buteg bie Sfagonaüim'c ent« panben; folglich gat bie Siagonaßtmc AC bie pa# salktcgramme in jnjci gleitge Sgeii« geigeiit. $ S ' «< / laa ^pat'dMogi-amimtt jtnb Nie einantset tnU H. Gicicfec ©t'eiccf'e [jafeen oucfe gleite ©eiten. 9tuti ift ( No, I.) bewiefcn , feetj? Ne beiben ©reit .) folglich ift in + n = u + o, Stun machen bie beiben ÜBinfel m unb u jufemt» meu ben ÜBinfel A im ^ataüclogrnmme aus, ober m -f- u = A unb bie < u + o maefeen ben JSBinfel C im $>at'ßüelogramme flUf, obec u + o = C; foigiiefe (ft A = C. löiefe ÜBinfel fielen tiBet finemteu. gegcnübec; folglich fmb bie einnnbec entgegen fhijeuben ÜBinfel im fßacallelogtcirome eimmbei' gleich. §• \ gcgcnfhfjcntictt ©eiten tt, QBiuP. gfcid; gvefj. 123 §• 46 Paralleloaramme (5 $V AB CD uns EBCF), tie auf einer ©runbtinic (AC) mit' ätuifdien parallel« Unten (AF utibßC) fitzen, fmb einanber g(efcf). — «Beil biefe beiben Parallelogramme auf bcnfelben ©tunblinien unb ätvifdjcn jmei paralMimen B C unb AF ficf> befinben, fo entfielen baburcö (tdn&ar jmei Sreiecfc ABE unb DCF; biefe 6cibcn SreiecEe finb einanber gleich, beim Sie 0 eite AB = DC unb BE == CF; weit bie einanber entgegenjiefjenben 0 ei» teil nein 'Parallelogramme einanber gleid) fmb: ferneu bic 0 cite AI) = ß C unb E F = B C; au$ bemu fclöen ©runbe. gmel ©rfifien, bie einer btitten ©rä(ie gleief;, fmb einanber fcl6er gleid) (1. § 63.). golglid) ift aud) AD = EF. Unb gleiches 511 gleidjcm abbirt, gießt gleiche ©um» me (f. §• f> 7 -) 3ibbirt man alfo bfefel&e Sinfe DE ju ben beißen gleidjcn Eiuien AD unb EF, fo ifl bie ©ummc ober bie ßinie AE, bet Einie DF völlig gleich ©« \ 1 24 3 n 'Paröttefogramttun fini> fcie cinanbev ent« So nun Bewtcjjen ifl, bofj aflc brei Seiten in Beibcn vStfiecftn dnanbec ofdei) finb (§. 17.): fo ftnb bie janjen S:decfc (innnber gleich* ©feicbeS uon gleiten abgewogen, gicSf gleiche Sicfte (I. §. 70.). ,► Sftsmmt man nun non Beibon gleichen Sreiecfen bnfi ffeinere Steiecf DGE roeg, fo BfeiBe.n bie übrigen ©tfufe cfr.anber gfdcf), ncm(icf) ABGD = EGCF. ©fcicöeS ju gleichem fifnjagcf^asx , gicBt gleiche ©ummen. Jföbfrc id) offo ju ben Beibcn üSrfg gc'BfieBenen ©föcten bn6 Steieif ß GC; fo finb bie Summen ein» anber glefcf) ; nemlicfiABCD = EBCF. Sicfeb ftnb ai'et bie Beiden ^ntnflcfogi'iitnmen, bie Auf einer ©cunbfinie unb jroifcBen jtnei Q>arnftc:!iuicn flehen; fofgfici) ftnb auch feiere 'ParaGelogrammc ein* onöec gleicf). Folgerungen; t. 2 iu ftcn ü)a; 125 ©reiecfe bon einerlei ©nmöiinieu. jroifdjett Paragraph in jmei gleiche Sreicefe teilen. SBaS tum nad) §. 46. von‘Parallelogrammen als ben ©anjen gilt; Dns gilt aud) von Den ©ceiecfcn als fjjten Jpälften ober Steilen. 2. SBenn Parallelogrammen ober ©refeefe einanbec gleich ftnö imb gleiche ©rimbllnlen haben; fo {ja* ben fie aud) gleidjc Jpö!) 1 ’» SBenn ium Parallelogramme ober jtocl ©refeefe glcidje ©rimblinien l)a6en, tmb Im ©anjen einanbec gleich ftnb: fo muffen jte jröifdjcn jmei paranellinicn' flehen. PavaüeQinien fleljen aber überall gleich weit von einanbec; folglid) ftnö Die fcnErctf)ten Sinien, bit man von einer ©pifse 6eibcc Parallelogramme ober beb her ©reiccfe jur ©runblinie IjetabfalJcn lägt, einanbec gletd). ©ergieidjen fcnfredjte fiinien beffimmen Die jgögie beS Parallelogramme« ober ©teiccfS ; folglich {ja* ben ftc 6eibe einerlei 3, SBenn jmei gleiche Parallelogramme oöcc©rcfcc?® gleiche v^äfj® h ß ^ ct, e fo §aben (le and; gleiche ©runblfnien. SBetm (le gleiche ^Slje haben, liegen fie auch Jini* fchen ätvei parallellinien. ©ie fänttten aber unter folchen UmffanBen einanbec nicht gleich ferm, wenn fie nicht gleiche {©runblinieu hätten. 3 lnmerEung. Jur erfreu golgermig btefeS iparagrapljs. ©tefec Solgfah lägt ftch fürjer auch alfo aus# befielen: ‘PataHettmien, finb «inanbec glcidj, o.bec: 127 ©retecfe »on einerlei ober g(eic§er @runblinie unb .£6[;e finb einmiüec gleicf;. ©a$©reiecf ABC muß g(eid) fein, Bem©rciccf abc'; fmier taS ©reife? AEC = öem ©reieefe d ef u. f, f, (£&cn fo baSSreiec? ABC = BCfi = ECF u. f. m.; fcenn gieldje SreiccEe »on gleichen ©rnnbfinien muffen efnevtei ober gicidjc Jjtflje Ija&en; man feije Den 2ten §o(gfa§ DiefeS 'Paragraph. §* 47- 3i u f g a 6 e n. 9?ndj Bern »origen Se&rfnfse (affen fieft aud» foigenbe Aufgaben (Sfen, 3«m ©eifpief ein ©felecE obee ua&i'at§ n ad) C, fo baß c C = A c. 3iim jieije man auS 8cm $mn!tc B feie Simen BA imb BC; fo ffj baa StetecE ABC gfcidj bem Quabratc AbBc. SaS SreiecE ABC ift öcibcn gigumi gemein, Sa nun baö Sceiecf ABc = AbB (§. 45.), fs 6!ei6t nur neei) ju öerne/fen äörig, baß £foS ffireieif cBG = ABc. SDiefe Srctecfc ftnb aber einanber giefcfj, iuef[ fle Beibc gleiche ©runblinic iiub $ 1 % jjn&en (man fe§c 6ie anmerfung aut et|len goiserung beä uorigen ©a£cS im 40 $>) §o(gii<§ e(i ba$ Sreituf ABC = bem tnsabrat bßc d Söiefecfe in ©m«cfe jii öerwan&ertt. 129 Sin 5?i3nfccü a b c d e a in ein SreiccE ju vertvan* bcln, jie^e man bie Ctucet*; ober Siagonallinfe da uub db; mit biefen jjleidplnufenb ober parallel bie Sintert ef mib cg, melc&e Die auf Gelben ©eiten verlängerte ©runbiinie a b fcljnetbeu. 9}un Riefte man bie hinten df imb dg, fo ffi bao Sreiecf dfg = bem günfecE a b c d e. SDaä SreiecE dfg Gefielt fomc&i cti§ brei S).-ei« ccfen, atS bab pnfecE ab ede, von allen btrfcn 2)rcf* ecEen i)i baö SbrciecE dab beiben Figuren gemein. SaS Sreiccf db c ifl = bem SreiecE dbg, tt)e(£ jle 6eibe eine gcmeinfcbaftlidje ©runbiinie d b f)a6en, uub jiüifiten 'Paralleütnien db unö cg fteljen: folg* lieb auef) einerlei ipälje fja6en ( man fe£e bie erfie gof; gerung beb ©a|eb tm vorigen §,) 2luS e6cn_ biefem ©cunbe (inb auef, bie Sreiecfe dae tmb da’f einanber gleicf»; folgli® ftnb aueb (sie SbreiccEe daf+ dab + dbg = ben SrefecEett dea -j- dab + dbc ober baS SceiecE dfgd — bem günfeef a b c d e a, . SRcfF«ii(i f. ©ctjulen 2 U 3 , §♦ 48 130 53on gsra&limdjfm öceied'en. §» 4 S- ? e !) r f a 3. J SbaS öutabrat bet JJmpotenufe obet bet fdjfngen ©ehe eines gerabteinflfcbsn SDieiecfS, ift gleich bem ÖLuabtote bet ©cunblinie unb bem Quabrate bcc Jjölje äufammengenommen. 2 in bem gerabroinflidjen SreiccJe ABC ijl bie ©tunbiinie A B = 3' bie J?6f)e A C = 4' bie J5opotsn«i'e B C = 5' • Solgilcf; SJoti g«rab(mid)f«n ^DrciVcfötr. goigücg fynt baS Quabrat bcc ©runbiinfe A BGH 3' x 3' = 9 q/ baS □begafftet. AK LC 4 ' x 4'= 16 ^ *31 abbirt r/ 2> =5' X5' obec bcm □ bet ^»opct^enufe. Qü&en bieg cr«fc6t ftc&, m-.nn man bie fjler ange; nommenen (Stögen (3. 4 unb ?) jroeifad), örcifaeö :c. jdjtifacf» tc. nimmt. 3. S&. 6 2 + 8 2 = io 2 obee 36 + 64 = 100. Sag nun baS, mag in bem angegebenen S?aüc fcf)on ber 2iugenfdjefn lehret, auc& in aü n u&iigcn galien jutreffe, lägt ji 4 > auf foigenöe 2itt betoeifen; 3 3Ran ■■yssi jja SSen gcraMtnicfrfe« 'Smecf'cvt. Sftßii jietjc für baS crfrc bie .^Hilfslinie AE nuä ösm gerabtn SSinfd A be« geraMmn'lidicn SreiecfS in baS üuabrat ber Jpypotemife, parallel mit ber ©eile BI); fcabutd) mich baeCluairat ber ^mpotenufc CBD J is\ ftioey läßliche Sudtctfe, nämlich CJ EM uubBMED, abgetfeeilt unb e$ fommt nun Darauf an, ja Deweifcn, ba 9 bos Siecfetcc? BMED gerade fo grofe fey. alP baS Gtunbcat AB G H; unb baS Sieciited: CjEMebenfo gcojj, ats Da« Üuabrat A C L K. Um biefeS barjutfyun, jic'yc man noch einige «£ulf;linien, närnlid) von A nad> D, unb oon C nach G: fo ergießt fid) bann, bafe baS SneiecJ G C B = bem falben ßuabrate «on A B GH; unb bafe baö Sreiccf A BjD = bem feal&cn parallele; gromm B DEM; (weit Steife? e tjaloe ParnGdi.'gt'am; nie fenb, §. 47.) unb roetm ein Scciec? bitfdbe ©ranbi linie unb J?6l)e Ijat, wie etn Parallelogramm: fo 1(1 $a« Srdec! boppelt genommen, |o grafe, wie baS ganje PacaGdogramm; folglich ijt eins biefet Sreiecfe fo gtofe, dö ba$ Ijal&e Parallelogramm. STiun fytrt §ier baS Srciccf GCB mit bem üuabrate AB GH einerlei ©rtuiölinic BG, unb einerlei Jpd^e GH, toeil fie be:be Die Sinie H C erreichen, rodefee ber ©runbliuie GB patailel läuft; folgüdj ift baS SrciccS GCB bie ^älfte oon bem Quabrate A B GII. 3 ng(ein?cC gaben,. efsiaßöee »5ülg gieid) finb. ©enn bie Seite BG = Der ©eite AB miß bie ©eile BC — Bi); rtbcrßicu bet SBinfef ABD = CBG, benn fie befielen beiße an? bem geraben üSinfef a miß b cineö Quadrats miß öem ßo« ganje QuaCrat bem gnnjen pataiielogtamm (I, §. 67.) 1 1 H 3 3 134 föcit gwMinicfjfttt ©rciccfett. 21 uf <6011 McTc 2 lrt lügt fid) bcrocifcn, Dng Das ie* fer reifte tu feiner frühen fjitgenö itacl) Stegpptem um tafelbfl bie ©cometrie ju erlernet«/ unb Fant in ber golge mit bem ©tubio biefer Sßijfenfciiaft fe meit/ bajj mir i()m itic!)t nur mehrere ©ütje ber< fclbcn ju »erbanFen haben , fonbern er brachte aut# bie fchon rorhanbenen ©<5t;e in eine jufammenhün* genbe Sonn, unb lieferte ju einigen fefjott erfunbe* nen ©ü^en fcharfe 93etueife. €r ftarb 54 c 3«h» »er Sijritti ©cbnrt im acfitiigfieit Sebettbjaljre. §• 49. Ser £ef)rfüj bed »origen Q)acaprapf;$ fließt bie 2 luflofüng »irfdjfcbcnet :»id)t nur 8 ©dmlj hg&en feilte, hingegen Durch Sinfen t»ftb bie Sßcrboppclu'tfl eineö Ciuabratä nach Dem »origen ile^tfafje (cidjtet unb fleroifftr. 3iämlid) burcf> ba$ ÜJuabrat, baS »etbopj 3 4 Pett 136 SSevboppclimg btt duabrafc* pe(t werben foff, jiefyt man eine ^Diagonale ober üueew Sinie unb crricfjtet auf biefec ein neues £hiabmt: ober man mißt nur bie -Üucec-' ober SMagonal eSitiie, unb maci)t. bauen ein üuabraf, beffen ©eiten fo groß fitib, a!s Cie D.uecr Sinie bcS Heincrn ÖnabratS. SicfeS neue Quacrat ffi aiSDann Coppelt fo groß, als baß fleinere. Sb e tu e f 6 : Sin D.uabrat uerboppeln, Ijeißt ein üuabret maefjett,, bas fo grofjljt, a!S biebeppelt ober jtueifad) genommene giäcbe bcffel&cn. Slurt fannmanan jebe@cffe eines Qua* brats ein cnbereS Üuabrat oon fcerfcl&en (grüße anfe^en. golgücfj famt man fuö bergicicfjen auefc an ben beiben ©ef; Söcrbcppffimg bet Cluabt-Gfe. 137 ©eiten ab unb ac öenfen. 3 ?enn ein Ünabeat burcf> «ine SMagonali Cinie get^eitf mitö: fo entfieben jti'ei ace rabminfbebe Sieiecfe, 5. ©■ ba 3 Srefecr cab. 3« bemfelöen (Mt a b bie ©runblmie , 0 c öen Äitfjetcn unb bie Siagonollfuic b c bie ^Hjpotcimfc uor. ift aber cnöicfcn, bafi Dnä öuabrot bec Jpppo; tenufe aflein fo grofj ift, alö bie &eiöcn Ciuabcnte bce ^nfiö unb bcS Äatijcten jufammen genommen. ^olglicf) Jft (fiel' baS O.uabeat, OasS auf bet 1 Siagonallinie cecidj^ tet fft, gaabe fo groß, cls jroei anbeve, bie an ben ©eiten beS ficineen Öuiaöcats etrtcf)tet roevben Eömiten. goiglid) ift bai Quabtat ber ©iagotiaffinie noc$ einmal fo groß, «IS ba$ gegebene Cleincre .-ÜluaDtöt fel&cr. §• 5 °* SSerfdfieöene ^uabcateju abbfeen , o&ecctn üunbrat j« matöcn, baä fo groß ijt, al« groci, öret/ Pier obee meljme gieiclje obcc ungleiche £\uabrate. S 5 SSenn Cluabtäfe ju abbircn. 13s SBenn nur jroci O.uobrate A unb B ju abbiren Cfi« mfigen gleich ober ungleich l'eun;) fo mache man «in gerabralr.Ebd'.cä ©rciect abc, Deffcn CVjrunblinie a c fo groß ifl, nifi bie ©eite beß einen Quabratg A, unb ber .fvatijete fo grof;, o(S bie ©eite öcS onb«rn£bna; brat« B: bie ^opetenufe ff! 'afebrnm bie ©eite be§ •£.uabrat« C, baä fo groß feyn muß/ aiß bcibc. e ' r\ E I ü f ©ofl ju jenen jtt^ien, noch ein jQuabrat j, E obbirt werben, fo errichte man a&rttnafg ein gerab« tninfiid'e« ©reiccf edf, beff n ffinmMinic df fo groß iff, o!ö bie ^rporenufe beS porigen ©reierfo abc, cber bie ©eite beg ßuabrato C. unb fe&e eine ©eite von bem Quabrnfc E, bofi Cnjti abbirt werben feil / ol« S? atmete b«ron; ^iecemf Jicße man eine neue .§«» potenufe: biete eine ©eite beß gefugten QuabratS tag fo groß i(t, a(g alle treu. Ctuobralc 51t abö;«». 13 ? F G __ ©oll ei» ..Uiafcrnt, *. $3. J 110$ mehrere üua< träte außer jenen ereoca cnr.-,alten; n [« norf» F, G unö H: fo ftfnet »»an auf Qleid;c SBcifc fort, tx’fc t>ei)[tegeii!)c g'flur Iel;ief. --*n «§ier (fl edf Ja« obig* «Drcfecf. — — — öie Quaörat ; ©eite von F. — — — ß, bie □ @. uon G. — — — 5, bfe □ uon H. O. J = A + ß+E. + F + G-Fh ©eilen 140 D-ua&tafe ju abbitm, ©offen affe nod) mcftucee iTiuaövate $.53, FGH, ba* ju obbitt werben, fo fegt man jcbeSinal eine ©eitc beS {jinjufommenben Quabrafö mit ecc gefunbenen Sjxipot tenule in einem getßöen Vüir.Hei iufammen, fo g!c 6 t nud) jebeSmal Cie neue Jpopctenufc Cie ©eite bcSoering. ten D.uaCrntS . welcfceS für fidi aücin fo groß ift, alb affe gegebene fleincte in Summa. 3}icbt m-uber bequem 5 u nbMren ftnb Cic Cuubrate, wenn mau fic in gern* t>cn SSinfein tmf)e an einanb er fhßr, 5 ,©. mic Ci; ßuabrate f. g h. SJetfÄngert man bie Seite a beö jQuabratS f. un; terwJrt« Oer (Sninßllnie, fo, baß b = a wirb, fo öotf nur bie Clnfc ober Jpopotenufe c gcjoqcu werben; fo Jjat man eine ©eite bc$ üuabratf f+g. 3>iefc ©eite Ceö gefunbeticn OtuabratS felje .man cn taS folgen’e £>uabcat h, inbem man bie ©eite d e um fo »ici untermnris mfangert, unb jfe^c bann Cie Jjt’poie* ftufe ik. £lua&eaJe ju atbirm. 14 i S5 e tr e i S : 2iu$ bcm 48 fren Qbaragrapf) l|t befannt, öaß bas □ ber Jpppotenufe odein fo groß i|t, als bas £>uct* brat ber ©runbiinic und be$ Ifatijctcn jufammcngenom* men Sa nun ßier bie ©eiten 6er Öiiabrate, roeldjc abbirt tcerben foUcn, a!S ©runblinien utth Katheten }u< fainmcngefcfct tuerbcn: fo giebt bie barauf gejogene Jpyt potenuic jcbeSmai 6ie ©eite eines ÜluabratS, bas fo groß ifi, o!s bis beiben Öuaörate, beten ©eiten man in einem geraden fSfnfcl }ufnmmengefe|t f)at. Eben bicfeö gefcßicijt aucf), trenn man ju einem bop« peilen ober breyfacfcen üuabrate, (cbec bcc©umme »on jtrei ober brci üuabratcn) noch ein odtteS ober uiertc« n. f« f. jjir.jufefct ober aöbirt. Senn bie Spopotcnufe gießt icbesmai bic ©eite eines QunbtatS, baS gernbc fo groß if>, als bie ©umme »on jt»ei ober brci anbern ge» gebenen öuabrotcn. §• 5 r * 555ie finbet man Die Sifferettj jrneier 33ierec?c cbec öuabrate? ober roie erfährt man, um trie «iel eit! Öuobrot größer fey, o!S ein anbereS gegebenes? Suni ©eifpiel, man jjabe ein Quabrot A; befien ©eite 5', tinö ein öuabratß, befien ©eite 4', 6c* trage, tpie groß trirö bie ©eite beSjenigen QuabratS feyn, bas übrig bleibt, trenn man bas Cma&tat B »em ÖuaDrat A tregnitnmt? mn i4* £3(5 fütbef man bie Differcn.j ob«t ben I A B D A. SÜJan faffe $' ober eine Seite beö ßtfigern QuabratS A mit bem Sitfel unö jlclje mit tiefer Sräffnung einen falben Sreifi auf einer beliebigen geraten Sinie CB. fftun faffe man 4', 06er eine ©eite beS Efeincrn QuabratS B, fefje beit 3^ f e( ebenfalls in ben oerljm genommenen SDIittelpunft A bet gernben Sinie CB ein, unb fcfjneibc mit berfci&en ein ©ttief non bcc ge/ raben Sinie ober «on bem Surdmieffa' in D ab. 2 (uf bem SurcbfebneibungSpunfte D errichtet man eine fenf* rechte Sinie ED big jnr Qöcrip^ei’ie beS <£albfteif«S. €nMid) jieljc man uott bem Sliltfefpunfte A aus bis jum ‘Ptinfte E in ber ‘petupfKrie 'ine gerate Sinie: fo entfielt babmd) ein gerabnjinfficfteä Sreiecf EDA, beffen ©runbiinic DA = einer ©eite bcö Beinern CUtabratS B. Sic J§ppofenufe E A ■= einer ©eite be$ grSfiern □ A, (mcil bie©cite beS gvfigern £)uabrctS in bec Seic&nung bc$ -£olbfi’ciff8 jum SKabfuS angenom« men ltnferfd?ki> jroeicr ffißinfel ober Ctuatrote. 143 nun töiifju'). 2>er XsatbeteED aber iff gleid) einet Seite de« gefuchten dJuaöi«ts, nuldieß Me Sijfe* renj oDcr Dec Unter fefoieb cfl: jivildjen Dem gewesenen grü* ßern unD fleincrn O.uaDrate: fcoö beißt, tneldieß übrig 6Cct&t, trenn man Daß fleincrcQuaDrat von tum geäßero □ abjiefft. $ e 11) c i { : Da Daß GuaDrat Der ^rpoietufe gleid) {fr Den btli Den QuaDraten öcr SrunDlfnie unD Deß Saluten jufami mengeuomir.cn (§. 48 ) fo folgt Daraus, Daß, trenn Daß Qi'ßMat Dec ©afiß oom fimDiat Der Jjopotenufe abgewogen tuirD, Daß Ctuabrat tcß ätarßeten übrig bleibt, ober Daß Daß üuaDrat Der Jpppotenufe uni fo oiel grüßet ift gegen Daß £juaDrat Der ■öajiß aiß Daß □ Deß Äatffeten beträgt. <§bcn fo, tuemi man Daß □ beß .ftatjjcten abjfeijt, Pom £>uaDrate Der Jpppotcnufe, fo bleibt Daß □ Dec öafifi übrig; ober Daß □ Der ©ajlß ftf Die Di|fcrcnj jroifdien Dem £>uaDrate Der J?t;potcnu|c uub ji»ijd;en Deut CUiabrale Deß .^atreten. Sa nun fjiec äinet PcrfeßleDcnc CUiaDrgte gegeben finD, Deren Sllfetcnj gefudjt merDen foll, fo nreft Die; feß am füglidjften Durd) Die oorlfin gegebene 2lu(Ti5iung benoicEt; Denn, inDem man Die Seite Deß grüßern £jua? Dratß jiitn SlaDiuß madjt, unD Damit einen §ai6eu Äreiß }icf)t: fo ifl jeDe geraDe i’inie, Die auß Dem iBiits telpunfte jur Qieripßecie gejogen nn’rD, md)t nur ein BtaDiuß, fonDem autf; Der Seife Deß größer» £>uabra:S gleid). 144 SSSie ftn&ef man &.Untetfcf;ie& jmeicr D-uaöt. Wotglfcö aucf) bic ©eite A E in bem gcrabwinfiic§en Scelecfe A L) E. Sie ©eite AD ifi mit Sififs bet ©eite beä fieincm Quabratä gicicf) fiemndjt worben. Surd) bie Srncütung bcr fenfrcefjtcn fiitiie D E enfi ftefit ein gcraber SBinfel, unö biefeni |tef)t bie Etnfc AE entgegen; folgiicö i|l fte bie Jjppotennfe- beö Sreiecfä. Sn nun bicfe Jpppotenufe gleich gemadjt ijt einer ©eite beä gräßctn Quabratä, fo ift foigiid) baä Quabrat bcr Jjpppotcnufe bem gröjjem Quabrate fel&cc gleicf). Unö ba bic (Srunblinie AD einet ©eite beS fietnernQuabratäglcsc&gemacBtmotöen fit: fo ift folglich baä Quabrat bcr ßJrunbiinie bem - ficincrn ünabrate fel&cc fltciff;. • Sn nun jtim ’Quabrat bec Sinfiä nocf> baä Qua* brat beä Äat^eten gcljih’t, wenn eä bem Quabtate ber ^ppotcnufe gfefc& fepn fotl .* fo feljit alfo nn bem Qua» brate ber Saflä ober an bem gegebenen feinem Qua# brate noc& fo »ici, atö baä □ beä Äatjjcten Beträgt, cf)e <ä fo grofi mürbe, aiä baä □ bcr Jpppotenufe ober baä gegebene größere Quabrat, gotglict) barf fcf> nur roiffen, wie groß baä □ beä Satljcten fepn muffe, unb bicfcä jeigt mir bie fenfrecBte EinieDE, meldjc eine ©eite oom O.uaörate beä treten i(l. Snbcm id> alfo biefe fudje # finbe id> jugfefcß bic SQferenä jroifc&cn bem gegebenen Keinem, .mibj größer« Quabcate, 5» ys» tfusmeffung ^arattcfo^ramme. 145 $• 52 - 9 ?mi ttioHen mir 311c 2tuömeffung bev'Paraflefogtmnmen ä6ergcf)cn. 2im ieicfjteflen mfft man ein Quabraf > 6*«» MefeS fjat lauter gleiche ©eiten, unb wenn man jmei feiner ©eiten, Cie einanCcr entgcgenfieljcn, in gleiche ‘Sfyeile a&tlfeilt, j. 33 . naef) Stutzen , ©dju^en ober Botten, unC alte ben lljcilungCtinfen 'Jbaralleüinicn jur entgegenftee Ifenben ©eite jlefjt: fo entließen CarauC fo viel gleiche fleine £luabrate ober Steifen non £luabrat « Stutzen# ©d)ui)fn *'ober > Sollen, alö jebe ©eite 'Sljeile Ijat. Sarum Carf man nur jmei ©eiten be$ Öuabratö burd) elnanbet multipüdren, fo giebt bab Qürobuft bie ©umme aller □ Siutijen i ©d;ul) < ober Soll*/ tselc&e bie □ Siäcfje enthalt. 3- SBemi jebe ©eite biefeä D.uabrafä 5' lang märe, fo ttnicbe feine Jlacbe 25 □ ' enthalten. M Sitt 9)te(ifuufi f. ©dntleu ate Slbfb. 146 ^Awttetogtamme cuisjumeftetu I i- l I I I I I I I I <£in lÄnglidjteö 53 tetec£ »itb fo beregnet, baß man bie (^runblinie burd) blc J?äl)c Riultfpitcfrt, fo finbet mau gleichfalls bie ganje gliidjeS. SB. wenn biefcS längll^te SBietfcE juc S&ajiS fjat 8° unb 5111.5% 6° , fo ent'gciit bie glaüje eigentlich 6 SKci^en gleichet üuabtate; unb auf jeber Steiße jitib bet Cluobrate acfcfc, folglich bcttügf bie ganje Stäche 6 x 8 ba$ ift 4 § □». §* 53 * S5ie werben'Sifjomben obet Stauten unb bie 3%mbMben gettieffsn? A p D D SBeif Ötaufttt imb üH^om&oi&en ju meffftt 147 Sßeil 6fe Stauten und SUfomboiden fcf>fefc SBmfel 5a6en, fo Earni man ße nicf)t gcraDcäU, wie bie Qua drate ober lönglicl)tcn 2Jierecbe meffett , weil Die ßbiefen ©eitenliuien nic()r die wahre £61)« angeben, folglich die ©rundllnie nid>t bmcfc ßc muitiplfcirtroerben fann. Sentt itt §. 46. (man fel)e die dortige gigut) iß bewiesen, baß das fdßefe Parallelogramm B CFEß völlig gleich iß Sein geraden Parallelogramm Aß CDA. 2ßentt nun die@runblinte BC, 10 die gerade ©eite ßA. 6', und die fchiefe ©eite 12 '' betröge: fo wurde öa$ gerade Parallelogramm 6X io = 6oD' Betragen. SOJulti# pWcitte man a6ec die ©runblmie ßC durch die fchiefe Sinie BE: fo hätte da« fchiefe Parallelogramm 12 X 10 = 120 □'> alfo noch einmal fo uiel als dag gerade; Welches doch offenbar unrichtig iß. Senn eS hat nicht meh 1 ’ m>d n ^t weniger , alg da« gerade; baljec iß eS nicht genug, wenn an ©rundßöcfen bloß die Sange und ©rette gemefien wird , ohne (ich um. die gerade oder fchiefe Sage der ©eiten &u beftimmetn. Span bedient (ich ba^ct* des folgenden SDilftelg: 3 fuf v der ©aßS der gezeichneten $igur errichte man eine per*; pendifulat* Sinie bd, . welche ßch an Derentgegenßchen' den ©eite endet. Siefe Sinie iß nach $. 46 die £%, welche man eben fo, wie die ©aßg mißt, und Beide durch einander niultfplicict: fo hetömmf man den §!a| djen t Sußalt, {.: Surch Srtidjttwg der pnpen&icufar*Stuten >c und $ S bd 148 Sffleff. u. Sötredjtt. &. Olmtfenu, Di&om&oib. b d wirb alfo bet 9i$oni6u$ A ßI) C A ober bet 3fl^onii ßoibe AfiDCA ln ein guabwinf liebes 'Parallelogramm sbdca »erwanbett i»eld)e« mit ben SKfjombuS obec Sl^ombolben einerlei ©nmblmie unb .§ß[)e l) at ' well (k beiße jiüifdjcn p.-naUdltnien Hegen. 3m ©runbe gcfd)icf)t bei biefer peljanbhmg nicht« Weiten, al« baß man buccjj bie Perpcnbifular f £lnie auf bet einen «Seite ein ©tücf non bem Parallelogramm ab* fchncibct unb an bet äußern @elte roteber anfefcet; t»o» bureb Da« Parallelogramm gernbe obec rcd)ti»inflid) wirb, o^ne »on feinet wahren ©cß&e etwa« ju »edieren. §♦ 54 - Sic« ifl auch auf^rapejen anwenbbar, bie jwef Pa« raffele ©eiten ha&e« unb übrigen« »on »ieredei 2irt fetjn fßnnen. & b (J ^ G 3 " 23er«djttung t>. Srapej. ö. pet ^awHeffeif, 149 3« ollen »ier Zöllen abbirf man bie ßdnge bet beiben Patadelfeitcn ber J^fgur $. P. AD unb BC nimmt Me ©umme f)al6, unb muitfpiicirt bfefe Jjätfte burefi bie >$bt>e Dd ober btn Perpenbifuiar# 2ib|tanb betbec Pa* i'aiielfeiten. ©efejt, bafi in ;$|g. I. bie ©eite AD 30' ftftte, unb bie ©eite BC, 60, fo mdre ifjre ©umme 30 + 60 = 90', bie ^Äiftc bauen betragt 4*;', bicl'e burci) bie J? 5 f)e D d «on 70' muitipiieirt. giebt 31a 0 / 50D' afs 3 n & a!t öeS ganjen 'Jtapej AB CD. ©enn wenn bie SiniedC=3o' halb genommen tuirb db —bC=t 5 / unb bie eine ^älfte bC = Da oben an bie Cinfc AD/ angefett, aud) 00m fünfte b junt fünfte a b(e fenfe rcd)te fiinie ab gezogen mich: fo befiefjt bie obere Sinfe Aa aufi Aß+Da = 30+15 = 45 unb bie untere SinieBc —bC ipitb = Bb = 6o— 15 = 45. ©0 oie( aifo ber großem paraUeiiinie genommen rnirb, fooiel tpirb ber ficlnem jugefejtj folglich meeben beibe einan. ,bec ifo 3Jmdj,b.£rapej.teonjroei^arftl(«ff«f, j berqlefdj, utlb jugfeitf) Wftb bem “Srapej ABCD ba$ Heine ©reiccü cbc = caD unten angenommen un6 um« gefeljrt oben anqefejt, 5 >aburci) roirb baS 5 'apej ABCD in baö Parallelogramm A B b a oeeroanbcif, meldjeb je? «cm »6U beb PcapejeS ABCD, mrld>eb jenem an ©rßfie gleich *fl. 3 n öem SrapejCFGH ($ig. II.) i|t hG = Fe, ©«jt man nun h CJ = fE obm an EH au : fo ti'icb FG-bG = EH — fE obccFH = f H unb jtcljct man bie fcnfccdjte £mie Ff, fo entfielet ein ©rejeef FEf = HGh, ®S if: a!fo eben fo uirl, alb (jätte man bab SDcetecf HGh *>on 6cm ‘S.rapej EFGH abgenommen unb umgefefjet an bei anbecn ©ette oben angefejt, fo baß oub bem Irapci EFGH ein Paralielogramm fFhH entltcijt, melcpeg bem Scapcj obflig gleid) {ft. ©cfcjt alfo bie fördere pat'allelfeite EH fjätte 40 bic längere 90', unb fE foroofjl olb bG f)ätte 25': fo toüceEH + fE (ober 40•+• 2^) =FG —hG, (ober ^0—2^) ba6 fH = Fb obetö?'— 65, n>cld)eS bie Jjbifr« uon 40' + 90' i|t, Sjcfc 65 aIS angenom ; mene ©tun&Unie burd) hie J0ßf)c £0=70' muttipli# (jrt, gtebt 65 X 70 ober 45 D° , ^oD'alb öeä Parallelogramms fFhH. tnelcheS bem 5 rapej EFGH gleid) ift. ’Scapeje pon her btiften unb «ferten 2 frt IKLM unb NOPQ (§fg. III. imbllll,) werben , (fomohl im 2) reue? ob. 93 mt)attb(. beiTe(6. mParottefogtammnti!. 151 ©teiecf KIk unb LM1 alb im©reiec? NoOunb QPq) eben fo behandelt/ rote bab ‘trapej AB CD ($ig, I.) 2lud) t)ier finbet man (burdj Zlöneljmen » 0 « beide* ©eiten bcr langem parallelfeite , und burcf) Jlnfc^en beb 2lbgenommenen an beubc ©eiten ber färjern 'parat* lelfcite) bab Parallelogramm, roelcfteb bctn‘Jrapej gleich l|?; ober tie ©cunblinie = § (KL *f- IM) und \ (NQ 4 -OP), mclctje burcb.MeJ?6l)eKkunboOmulti* Plicirt, den ^n^alt beb ‘Srapcjeb ober beb it)m gleichen Parallelogramm« glebt. Senn bab Parallelogramm 5y mx ift gteidf) bem 'Srapej IKLM unb bab Parallele* gramm nrsp ift pbtltg gleich bem, fcgtefen 5ropej NOPQ, 3t u m c r f u 11 g. Unfd&tcFlicö wÄrc iS' aber , wen« ittau »ierfeitige $läd)en, bie feine sparaMfeiten haben, wie 'JJaraUeltrapejen behandeln wollte, j. S8. in der gigur abcda fann man webet ab unb dc, weg A d unb b c äufammenneljmen unb palbiren. B §* 55 * Hb lägt ftdj a5cr biefe SSerc^immg bec pataKeltrape» S? 4 i«n i {2 'Htismef, u. 83ercd)tt. uimqclniäfj, giddjen, jen ämucücn mit 5Qoitijeil 6ei bem 2fu3meffen unb Se* rectjnen uncegeimtijjigu' $läd>en utib ganjec $luren btf nn^en, wenn man Biele fcDtcftfcf) ourd) paiaüelUnien in nujjcece Strapse ucribeitcn fann. 3- ebnere ge* gegen Oie $läd)t A B C1) E b A ; Oe.: mag.tn dienen bcc# £ UlvKi , U;U - lit»«*. Vwli fclben ED, pataUe- fo »lei fimicti, als fl cf) auS Bert | ©urenroinfeln C. F unb B fchicflicb auSjleljen fcifYcti ; j Oie ibn.cn Cc, Ff, Bb, Bann cerichtet matt | auf betreiben torffe ED ine fenfrecfttc Sinte Ee BfS an J B;e entfccareflc Pacalkllfnic Bb, unb miffet nid)t nuc bie ! Sdnqe »on ED unb allen Iljren Paralleflinien Cc, Ff : unb Bb, fmöern and) auf bet Cinte Ee bie Entfernung ! eiuec jebeti potallrKinie »on bet anbern, um Me JpiSije Bef ^cnpeje CDEc , FcCF, BfFb jutvfffen? roor? auf man jebeS »on biefen Srapejen nad) §. 54 berechnen, unb ff)c probuft fn eine Summe bringen Eann tpeld)e ©umtne 5en Snfyalt »on bec $lncße BbFEDCB obte bem gcßjttm ^etle von ABC DE FA angie6t. (t»ie baS Öbr*g6lei6etibe Dreiccf ABb fjerccfjnet tveebe, tPicb im ! Solgeubcn angejeigtO itt gdttcn, t>urcf> Srapeje. 153 < 5 $ fev) in bem 5 cnpej I. ober EDCc. cC = i 3 °' 6 'i aW * E D + c C — 25 , 1'SMefe 0 um. fjalb qenoni. gießt ^(ED + cC) =12°, 5', 5", ober öfe mittlete ©runbitnte beö -Xrapej. I. ferner fei bie Jjßße Ei = 2°. SDnrd) btefe bie ©runblinie, ober 12°, ?" multiplicirt, gießt 35a 0 / ioD', al$ 3 nßaJtbcS Srapej ED C c ober I. 12°, 5', 5" 2 OO"— 2 b . 25. 0 1 o',oo". 3n bcm Scnpe}. II ober F f C c fei cC = 13°, 6' F f = 15 0 , cC + Ff=29°. i', j^atß (cC+Ff)=i4° / 5'/ 5" (mittlete ©runblfnie be« 'Srapc} II.) ®iefe ©runblfnie butd> bic fpöße i u = 2°, 6' multiplicitt, gießt 370°, 83d' «16 Elunbcat 3nf)alt btS $c»pej II. ober Ff C c. I4 n / V> 5" 20 , 6 ', 0 /l — 2 °, 6 ' 87/ 3 291 o 00 37 0 , 83' 00". 3n bem Dritten ^tapeä.ßfpb fei.; ~VT Ff ij4 SDlcffutig tnSBmdjmuta unregtfaiafj. 3*S* Ff= 15 0 5 Cl3rzrI4 0 , g_ Ff-j-b B = 33°, 3' (3' = 30") ■5ofß(Ff-{-bß) — (5°, i r 5" miltl. @i'unM.v>. Sfapeä.' ffli«jp6()cu e= 100"—i° (mulrfpl.) 15 1 5,00 = 150°, 15O' 2>iefts 15a 0 , i$n' , fmO öcc Quabcat Snljalt uom'Jcape} III. oOec BfFb, Sftun aöOttre man oen 3 n f)att aHec ötrcien 'Stapeln, um bcn^noalt bec ganjen BbFEDCB (rotiere aui fccn om; ^rapejen befielt) 5 U fitiben. I. = 25CJ 0 / JoG' II. = 37 ' 83 _ HI.= iS, iy eum. =78D-°, og f al$ 3nfjatt b«c gatten ^täc^c BbFEDCB. qfjnige ant«« 2trtcn »011 (fintljeilungen unrege(mil< feiger gidefeenfegurrn In ^araUeltcapcie / macfeen Me foD gencen gfgucen fic^toor* 3 le&« I I I tiurd) Qümf(ietfung in «Parnttef # Srapfje. gieljet man Me gctabe Einte AE »on Dem ffilnfel A bis jum üßinfel E Dura) Die §l< 5 d)e ABCDEFGHIA «nD tuldjtet auf Dielet: Einte A E reebts unD ltnfä 1 'enE* red)te. Einien , Die ttadj Den gegenüBerftcljenDen SBinfetti iuiteljcn j. 3 >. J i, ßb , fo entfielen paraQcltrape» jen ätoifdjcn Diefcn fenfredjten Einien; tueil alle fenfccd)te Einten cinanDer parallel laufen. Sie Siftanj jroffdjen Den fenfredjten Einten j.SB. ih,bc’c. giebt Die J?6f)e Der ^aralltltrapejen. Siefe ‘Paralleitrapejen aüefammt 6c# IjanDcli man nad; §. 541WD55. unD Die übrigblci6enben Sreiccfe roirD Dtegolge beljanDcln unbßercdjnen lel)ten: (unD jtüar ftnD Die Scciecfe Diefet unD Der jtpeiten §tguc beflo leidjter ju Beregnen, Da fte bei Dev (Einteilung Diefer fceiDcn §lfid)en Durdf fenfvedjte Einien ju geraD* t»inflid;en Srciecfen geformt .worben ftnD. SD?an «er« glcf, 156 butd) (£inf§etfuncj in ^ataiWivapfje. gieicbe Ca« gnbe öeö 9ten ‘Paragraph vom recfytlttfnf; liefen Srefecfe), D 3« bfefer T igur geftbiefjf baffefbige; nur baß mit« ten burcb Pie gfgur na Sßaafjgabe Cer ©eirenrotn» fei A, E unC L jroef <3>ara(Ie(Itnien AE unCLF gef jogtn tuerCen, tueHie nicftt nur feibft etn 'Parallel* trapej cfnfdjltefjen foncern aud) (roie in öec verberge# ftenben $?igur) bie perpenbffulatfinfcn tragen, n>oburcf> Cie übrigen ParaBeltrapejen gebilCet werben. §♦ 5 ^- SRunme|r Ift es au$ ieic&t «injufefjen, wie fotöje ©runbt pfj cl Sflcflung fnmimtinigec 9)aratle(pd<$en. 157 ©runbfhfcfe ober Släctjc» ju Defjanbeln pnb, bie man jtoifefyen jroei parallelfuunmungeu eiligef4>lo(Tun pn# bei. 3. 35. SBenn bu .trümmungen Aaß, CcD. EeF wirf* lid) einatiber parallel laufen, (mie man ba$ nicpt feiten an ©tunbfttufen pnBet): fo jiefit man Me ©eljnenAB, CD, TEK, jcbod) einanber aucb parallel. @o entfie# fyeng(caMüuchfe‘9ÖatftUelogrammeABDC unb CDFE, welcte ben frumm(ini,d)ten AaBDcC unb CcDFeE gleidi fmb ‘Denn fo Qt'oß ber 2I6fd)nirr A a B A t p, bcc vomftummlinld;ten'Parallelogramm AaBDcC burdibfe ©eijne A B rowgenommen wirb; eben fo grop ijt bcc 2U'fd)nttt CcJ) E, nuicfccr bagegen ttcrmittelft ber ©tljne CI) angefejt wirb, ©o viel alfo ba$ fruinmlaufenbe ©tuife auf ber einen ©eite verliert, befommt eg auf ber anbecn roleber: folglirb IpbaggecaolinidpcpuaHelogramm innerpalö ber ©elfnen AB unb CD eben fo arop, als ba« frummmlinidfte innerhalb feiner brummen Jinfcn. S'g ip affo t/djf/g verfahren wenn man anftaff ber *VummUnfd>ten Parallclpgur A a B D c C baS gcrablinidfte Parallelogramm^ A 13,0 C miffet nnb berechnet. mt 158 ffi'cffutig fnimmlimgft $atmffefffad)m, S®dtrc 5. 3 >. Me ©efmc AB = CD = i7° unt) Me petpenMF. ^ä^»AC = q° fo rodte :vr ^iddjeninljalt = 51 D°. r (Sfceti fo wcrfd[)tt man mit 6er anturn Frumm(inH>feti Qiarallclf!acJ)e Cc.DFeE; beten Inhalt man bucd> Me S&eredmung bc$ gccaöiiiiicfctvn $>arallelcgrammO CD FE richtig findet. Saufen a&cr frumme ©eitenlfnfen einer §(drfje nicfjt parallel, fo fann nianöie Jlädje roenigfienö (nad)§. 5<|) burdf jroar fo/ bafs die gemalten lljjeile der frum* nun Einte oon einer geraben menig abmeicfycu uni» fön gerade gelten fönntn. 3*, 33* SOJan jie^e in Mefer gigur aß fo fiurcf) Me frumme Sinie AcbB, Bafi jte auf 6er einen ©eite jroD fdmi c unb b foulel anfejt alö fle auf anbcrn ©eite >,roifd)en b unb B aSnimtnf, folgiid) för die frumme h CJ Slnie gelten ffttw j (mit ^uSunljme M8 flfineniorctccts Ac a frummlin. gldcf;. öurcfj nfcn ef, gh, i k in fleinete'Si'apeje unb geraDtPin?iid)te SreiecFe jerfdinitcen. -m. k u »erfährt matt eben fo. ©eroei«. (Sine Q3erpen6fFuIar # üfnie bfe au« Der ©piffe eine« glelcbictjenflicpen ©reiecE« auf befien ©runbltnie l)erab s fällt, tlfeilt Da« ganje ©reiecE In groei) gleiche ©feile. §. x8- 9?tm ftel)t Die Sink AB auf Der ©piffe De« gleictsfcfjenFlicfjten ©reiecE« AÜE gegogen , fenfrecht auf bei- ©runblinie ED; folglich finb auch Die ©reieefe ABD unb ÄßE einanber gleich. 2Sei( ba« ©reief ABD forooljl bem ©reieefe al« bem 23lerecfe ABDCA gemein, fo 6raucbt nur 6eroie‘ fen ju werben, ob Da« ©reiecE ACD = Dem ©reieefe ABE. 3ebe« Qiaraileloqramm wirb Durch eine ©iagonalllnie in jroei gleiche 'Jlfeiie aethcüt. §, 47 .; folglich finb in bem regelmäßigen SSierecEe A B D C bie ©reieefe ABD uitb ACE einember gleich. SBenn SSemnmM. bet ©rei«cfe in Q 3 ietecfe. 161 SBenn jroef ©riifjcn einatiOcr gleich jtnb: fo fan» odemal Die eine fiatt Oec anbern gefeit merben. §. 62 I- Sa mm bas SreiecE ABD fotoohi gleich betn Sreiecfe A B E als auch bem SretecEe A C D : fo muß and) ba$ 23icrecf ABDC = bem ScefecEe ADE feyn. Sie SretecEe fgh in S3ierecEe (9tijom6ofben) ju »erroanbcln, thclle man bic @cunb((nie fg (nach §. 21 ) in groet gleiche ‘Steile nnb jieife aus bec ©plfce becfel* : ben bie ginien hi. 5 J?|t bec Einte ig pacadel [ jiefje man Me ginie hk, boch fo, baf hk=ig, ©nblich jiefje man noch bie ginie kg: fo f)at man bieSreiecEe in ^Parallelogramme «ermanbelt (igkhi), i; ' welche eben fo geog ftnb. e m e t S. 3«Jcf (Stögen bic eincc Dritten gleich* ftnb einem* ; tcc fel 6 ec gleich (§. 63 . I v |V. ® ,e ®i'ciecfe fih jmb gleich ben Sreiecfen hig, | benn fte haben einerlei Jpbfjen, unb gleich ©runbltnien, ^ ($. 46 . ifle Solgecung; obcc mft .anbern SBorten: fte j SWebfmtfi f. ©chulen *ie Slbth- 2 tja» 1 ' I i i 62 SSttroanMuug t m $>mecfe in Söimcf'e. Ijabcn gleiche ©iimblinien unb |tcf)en ätüifcfjtn ‘Parallel* liiiien. @l)fn fo (inb bic ©teiecfe bgk = bem 25 ceiec?e hig, iocit jcöeä bucd; eine Queerlinie in jiuei gleiche Sf)eilc geteilt rolrb. §. 4S\ fflcnn jroei ©röjjen einanbee gleich (inb, fo famt allemal bic eme (lati ftcranbern gcfejt werben. (§.62.1.) j?olglid> finb bie Parallelogramme igkhi = bem £>reiecfe fgb. fagk = f ih h ig = hig ffolglid) abb. h g k + h i g = f ih -+- h i g. Sie pcrecbnung ber löcciecfe tmb bie Zlnnmibimg berfelbett folgt im brüten PänOctyen, SDrucffefj'Ut:- ©eife io. geiles. füc brrtudjöareö Ucss brauchbareres, ■-— 23. gcroßJjnlid^ ftnb fte mit einem Nahmen »erfehen , in bejfen :c. lie«: ©ewhhnlidjj fitit» fte mit einem Kähmen »erfehen, welcher in bejfen :c. ©eite 12. geile 9. ftatt: Släche t;eißf/ lie«; Stäche heifjen Samt. ©. 17 . lejt. geile jlatt {. 2. lieö $. 3. ©.18. 3 . 11. jlatt {.2. lies{.3. ©, 27. g. 15. jlatt 2 * 4 (Einheiten =7/ lieö; a>ü 4 ein/ feiten =8. ©pttber 31 ftcn ©eite bi« jur ?8jlen ijl bie tteberfchrtff t ©on ber SOlultiplication be$ ©ejimal« £ängenntaafie «, falle!). ©ie muß f;et? f?en: tterrielfältiguiig ober tfiultipli, etttion bei' (Blöße. ©• 4 «. 3 * 3 . ftatt 0 mißt? lie^: fo mißt. — — g. 16. ber Släclje fibri? lie«: ber Släclje übrig »c. ©. 63 «. b.folfl. fßmrnt ba« geichett < oft aor unb wirb gelefen: ber Sffiinfel. Sa« eigentliche Seichen bet SEBinFel, welche« im ijlett 95 dnbchen angegeben i|f, muß nett bent ©eher mit biefen (bas geichen in gleicher ©rfße) »erwechfelt werben fepn.