VÜ886,00^f -^4081 543 01 Anfangsgründe der Mathematischen Wencesl. Johann Gustav Karsten^ der Phil. Doctor, Hofrath und Professor der Mathematik und Naturlehre auf der Universität in Halle, der Churs. Akademie der Wissenschaften in München, der Holländischen Gesellschaft der Wissenschaften in Harlcm, und der König!. Dänischen Gesellschaft in Lopenhagm, auch der ökonomischen Gesellschaft in Die Rechenkunst, Geometrie und ebene Trigonometrie. Wisse ii schüft eil von Leipzig Mitglied?. Erster Band. Greifswald, gedruckt und verlegt von Anton Ferdinand Röse, 1780. s 5<) L«r t .^. .7»^n s t.^»'Oj:L, j s kv '> ,?!. Seiner Hochfreyherrlichen Excellenz, dem Hochgebohrnm Herrn, Herrn Larl Abraham Freyherrn von Zedlitz, Erbherrn auf Capsdorff, Michelwiß, w. / Königlich Preussischen wirklichen Geheimen Staats^ und Justiz ^Minister, Chef des geistlichen Departements und des Armendirectorimns, ersten Präsidenten des Lutherischen Consistoriums, Ober - Curatoren der Königlichen Universitäten, Directoren der königlichen Bibliothek, der Kunst-Cammer und des Medaillen - Cabinets, re. rc. re. meinem gnmdgen Herrn. ?«/,- L v^ 7^- Hochgebohrner Freyherr, Gnädiger Herr, >^u einer Zeit, da eine neueBearbei- tung des ganzen Plans eines von mir abgefaßten mathematischen Lehrbegriffes mich beschäftiget, um demselben nach dem jetzigen Zustande der Wiffen- schaft wo möglich so viele Vollkommenheit zu geben, als der um die Philosophie * ; UNV und Mathematik gleich verdiente von ni Wolff seinem gröffern lateinischen Lehr- rt buch der Mathematik vor fünfzig Jahren , nach dem damaligen Zustande der Wis- U senschaft gegeben hatte; grade zu der Zeit ,« wird von Eurer Hochfreyherrlichcn Ex- M cellenz der allergnädigste Königliche Ruf, als Lehrer der Mathematik und Natur- W lehre auf der Universität zu Halle von W! Wolffens und von Gegners Nachfolger tz zu werden, auf eine ungemein gnädige ^ Art mir angetragen. Unter dem aller- ^ gnädigsten Schutz des Preussischen Mo- kai narchen, und unter der gnädigen Pro- z- tection Eurer Hochfreyherrlichen Excel- ^ lenz eine Lehrerstelle zu bekleiden, welche « durch die sehr berühmten Nahmen eines ^ von Wolffen und von Gegners aus den ^,, deutschen Universitäten sich vorzüglich auszeichnet, ist eine Ehre für mich, wel- ^ che zu hoffen ich nie gewagt hatte: und ^ daß zu einer so wichtigen Lehrerstelle aus- ^ ersehen Seiner Königlichen Majestät von ! Eurer Hochfreyherrlichen Excellenz ich ^ sey empfohlen worden, der Gedanke er- füllet meine ganze Seele. Nur in der ^ Grille kann ich das ganz empfinden, wie L" groß diese Aufmunterung für mich sey, ,.7 und wie stark das meine Hofnung belebe, L bey aller Ruhe und MüK, welche dem lu ,k? nach Wahrheit forschenden Geist so sehr ^ nöthig ist, den Plan eines Werks noch ^ glücklich auszuführen, bey dessen Bear- beitung ich die grossen Schwierigkeiten ^ einer solchen Unternehmung sehr oft ein- Pfunden habe. Es sey also dies ganze „, nach einem noch etwas mehr zweckmassi- M: aenPlan abgeanderteWerk Eurer Hoch- freyherrlichen Excellenz als ein schwaches M Zeugnis meiner tiefunterthanigen Dank- barkeit ehrerbietigft gewidmet! Es werde dadurch der gelehrten Welt öffentlich be- kam^t, wie bringend mein Wunsch sey, ^ des ungemein gnädigen in mich gesetzten ml- Vertrauens und meiner jetzigen Bestimme mung mich einigermassen würdig zu machen! Es vertrete zugleich die Stelle ^ der feyerlichsten Versicherung, daß mit 4 u der eifrigsten Bemühung ich beflissen seyn werde, die sehr allgemein nützlichen ma- Ä thematischen Wissenschaften auf der Uni- ^ versitatHslle so zu lehren, daß ohne Nach- theil der Gründlichkeit dennoch Liebha- 5 § bern dieser Wissenschaften die Mühe sie zu x-'- erlernen möglichst erleichtert werde, ii r Wenn bey der treuesten pflichtmassigen Ä Abwartung der den angehenden Gelehr- ^ v ten gewidmeten Lehrstunden in Halle auch künftig in den folgenden Banden ich ^ v noch mehrere Früchte meiner Beniühun- ' ^ ^4 gen gen in den Missenschaften der gelehrten Melk dorzulegen vielleicht inr Stande seyn werde; so wird es nie ohne die ehr- crbietigft dankbare Erinnerung dessen geschehen, daß durch Eurer Exccllenz gnädige Unterstützung ich dazu vorzüglich sey aufgemuntcrt worden, der ich mit Bezeugung meines tiefsten Rcspects mich unterzeichne als Eurer Hochsteyherrlichcn Excellmz ÜIU Ä km unterthanigen Diener der Verfasser. Vorrede. ^s sind zehn Jahre verflossen, seltdem der erste Theik meines Lehrbegriffes der Mathematik im Druck erschienen ist, und durch den Beyfall, welchen mit diesem ersten Theil auch die übrigen seitdem gefunden haben, bin ich vornemlich aufgemuntert worden, als eine neue -Auflage des ersten Theils verlangt ward, von allen Seiten zu überlegen, ob vielleicht der ganze Plan des Werkes solche Aenderungen leide, die dasselbe der von mir gewünschten Vollkommenheit naher bringen mögten. Im ganzen halte ich auch jetzt noch die erste Ausgabe für gut: und wenn ich auch nach meinen jetzigen Einsichten weniger damit zufrieden wäre; so würde ich doch dem Beyspiel einiger Schriftsteller gewiß nicht folgen, welche die ersten Ausgaben ihrer Schriften für schlecht erklären, jawohl gar nicht für ihre Arbeit erkennen 5 wollen. X Vorrede. wollen, um die Besitzer zu nöthkgen, auch die zweyte Ausgabe zu kaufen. Ich batte mir diesmal)! keinen andern Plan gemacht, wenn mich nicht die Erfahrung gelehret batte, daß bisher noch immer die meisten von den auf Universitäten ftudirenden angehenden Gelehrten dafür halten, es sei) genug, wenn sic der reinen Mathematik ein halbes Jahr widmen, und hiernächst höchstens noch ein halbes Jahr auf die angewandte Mathematik wenden. Bey dem Plan, nach welchem ich die erste Auflage ausgearbeitct habe, war mein Wunsch, es nach und nach dahin zu bringen, daß man es gewohnt werden mögte, der reinen Mathematik zwcy halbe Jahre zu widmen: allein ich habe nur selten das Vergnügen gehabt, im nächsten halben Jahr auch nur einem Theil der Zuhörer den zweyten Theil meines mathematischen Lehrbegriffs zu erklären, welche im vorher verflossenen halben Jahr die Lehrstunden über den ersten Theil besucht hatten. Hiezu kommen noch andre Gründe, die mich bewogen haben, diesmal)! verschiedene Lehren, als die von Auszkehung derQuadrat- und Cubicwurzeln, von den Logarithmen, auch die ebene Trigonometrie, und am Ende der körperlichen Geometrie noch die Lehren, worauf sich die Ausmessung der Kugelfläche gründet, mit in den ersten Theil zu bringen, die ich sonst um deßr willen dem zweyten Theil Vorbehalten hatte, weil solchergestalt jeder Theil für sich ohngefehr soviele Lehren enthielte, als in der kurzen Zeit eines halben Jahres, ohne daß man zu sehr zu eilen genös thiget ist, füglich erklärt werden können. Ich werde Vorrede xr werde nemlich diesem ersten Bande noch zwei) an- ^ c«- dre folgen lassen, wovon mir künftig ein jeder zur »ü ch Grundlage dienen soll, in halbjährigen Lehrstun- den das eine mahl die ersten Gründe aller inecha- Me, nischen Wissenschaften mit Inbegriff der Maschi- Mn, nenlehre, das andrcmahl die ersten Gründe der Kein optischen und astronomischen Wissenschaften vor- Hns zutragen. Um diesen soviele Vollständigkeit als Üiühe- möglich zu geben, muste der erste Band etwas kikl'M mehr Theorie enthalten, als ich vormahjs in den rm ersten Theil gebracht hatte. Bei) dem allen wird i, daß doch dieser erste nach dem abgeanderten Plan aus- Ü!ch< gearbeitete Theil, so weit derselbe nun den ersten M Band ausmacht, ein bequemes Handbuch blei- W den: wenigstens werde ich suchen meine nach An- leitung desselben anzustellenden Lehrstunden in der M gewöhnlichen Zeit eines halben Jahres zu endi- M gen, und ich hoffe, dieser Absicht nicht zu vcrfeh- M len, wenn ich mich so verhalte, wie ich in der Vor- «W rede M ersten Auflage des zweyten Theils mich Mp bei) einer ähnlichen Veranlassung erklärt habe. Ich halte es nicht für nothwendig, daß der Leh- ^ ^ rer grade alles beym mündlichen Vortrage durch- gehe, was in dem Buche stehet, worüber die ^ Vorlesungen gehalten werden, wenn das Buch ' ^ schon mit Rücksicht auf diesen Umstand abgefasset »st. In keiner Wissenschaft sind eigene Uebungcn mehr nothwendig, als in der Mathematik, und wenn der eigene Fleiß des Zuhörers nicht hinzu kommt, so mag derselbe immer die Hofnung auf- ^ geben, es in der Wissenschaft auch nur bis zum mittel- XU Vorrede. mittelmassigen zu bringen. Das Rechnen in den Lehrstunden nimmt sehr viele Zeit weg, die als- denn, wenn der Vortrag über die Gründe der Rechenkunst schon geendiget ist, besser angewandt - werden kann. Dem Zuhörer kamt es unmöglich angenehm seyn, den Vortrag anzuhören, wenn 'man mit Multipliciren, Dwidire», Ausziehungen von Quadrat - oder Cubicwurzeln und dergleichen mehr, halbe Stunden Zeit zubringt. Demjenigen, der in der Stunde nicht mitrechnet, wird die Zeit daben lang, und wer soweit gekommen ist, das; er mitrechnen kann, der wird auch für sich benm Privatfleiß die im Buch angegebenen Resultate naebrechnen können. Viele dergleichen Resultate in den Abschnitten von Ausziehung der Quadrat- und Cubicwurzeln auch besonders in der Lehre von den Logarithmen, ferner eben so in der ebenen Trigonometrie, habe ich im Buch ange- zeiat, theils zum Zweck der eigenen Uebung beym Privatfleiß, theils zum weitern Gebrauch in den folgenden Theilen dieses Lehrbuches. Ich bin sehr davon überzeugt, daß alle diejenigen, welche beym Gebrauch dieses Handbuches vielleicht auch künftig mich mit dem Vertrauen beehren mögten, meine mündlichen Lehrstunden zu besuchen, den Nutzen davon desto mehr verspüren werden, je weiter sie es durch eigenen Fleiß in der Mathematik werden zu bringen suchen. Sollten indessen bey allen von mir anaezeiaten Zeitersparungen die Lehrstunden nach diesem Handbuch in einem halben Jahr nicht bequem geendiget werden können; so würde das keine andre Folge haben, als die es auch bey andern XIII Äcr!>I'W lick"«' stU^E Vorrede. andern Lehrbüchern hat, welche durchgängig für die besten gehalten werden. Diese enthalten noch mehr Sachen, als das meinige, und icb würde mich noch weniger getrauen, diese Lehrbücher in halbjährigen Lehrstunden völlig durchzugehen. Der Sache ist geholfen, wenn man entweder die Trigonometrie weglaßt, und diese Wissenschaft in be- sondern Lehrstunden vorträgt, oder mit den Zuhörern, die sich das ganze Buch wollen erklären lassen, wöchentlich eine oder zwo Stunden mehr, als gewöhnlich darauf verwandt werde, verabredet. Ob mir der Vortrag einzelner Lehren, wenigstens zum Theil, hier besser geglückt sey, als in der ersten Auflage, das muß ich Kennern zur nähern Prüfung anheim geben. Von einigen glaube .ich es, die ich kurz anzeigen will. Beym V. Abschnitt der Rechenkunst habe ich auf die Erinnerungen in der Allg. D. Bibl. vi. B- 2 Stück 19z S. Rücksicht genommen. Der Uebergang zum allgemeinen Ausdruck der Sätze mit Buchstaben war in der ersten Ausgabe wirklich etwas zu schnell: hier wird hoffentlich auch der Leser, welcher keine Erklärung darüber hört, weniger Anstoß finden. Uebrigens glaube ich doch, daß diese Lehren, ihres übrigen Nutzens zu geschweiqen, auch schon um deßwillen eine Stelle in einem Lehrbuch für Anfänger verdienen, weil sie die ersten Bevspiele davon abgeben, daß es in der mache* matischen Rechenkunst nicht bloß ums Rechnen, sondern auch darum zu thun sev, über die Natur der XIV Vorrede. der Zahlen allgemeine philosophische Untersuchungen anzustellen. Euclides hat sie im VH. Buch, und mir ists bc» Lehrbüchern, die sie nicht haben, immer so vorgekommen, als wenn dem System etwas fehlte. Die Lehren von den Verhältnissen und Proportionen habe ich, der Scharfe und Allgemeinheit der Beweise unbeschadet, etwas mehr zu verkürzen, und das Kennzeichen der Proportionalität incommensurahler Grössen im 164 H. der Rechenkunst für Anfänger noch faßlicher auszu- Lrücken gesucht. Eben das glaube ich bcy den Lehren von Ansziehung der Quadrat- und Cnbicwur- zeln geleistet zu haben. Die Logarithmen habe ich nach meinem jetzigen Plan nm der Trigonometrie willen nicht weglassen, und dem zweyten Theil Vorbehalten können. Ein Lehrer der etwa beym Unterricht nach diesem Handbuch die Trigonometrie besonders zu Lehren für gut fände, könnte die Logarithmen auch weglassen, und die Lehren von ihnen mit der Trigonometrie besonders vortragen. Beym practischen Vortrag der Regel Detri suche ich gute geübte Rechner zu bilden, und die vollständigem Nachrichten von der Maaß-und Gewichtsvergleichung wird man um deswillen nicht unnöthig finden, weil in der practischen Mathematik oft Anlaß vorkommt, davon Gebrauch zu machen. Ob mein Vortrag in der Lehre von den Parallellinien nunmehro völlig befriedigend sey? darüber wünsche ich das Urtheil der Kenner zu erfahren. Zn einer andern kleinen Schrift: Versuch einer völlig L"' ei- W W M' ÄD ÄllI Ävi Vorrede. xv völlig berichtigten Theorie von den parallel-- linien, die ich zugleich als eine Anzeige meiner ^ Vorlesungen aufdcr Universität Halle drucken zu lassen, eben jetzt beschäftiget bin, werde ich ^H» mein Verfahren etwas umständlicher rechtferli- gen, als hier geschehen konnte. Einige Eigen- tt nch schäften der gradlinichten Figuren überhaupt sind Ws- im Vll. Abschnitt scharfer und allgemeiner als ge- ^ f wohnlich bewiesen, besonders auch die Möglichkeit «u- der Voraussetzung, daß jede gradlinichte Figur schhr sich durch Diagonallinien kn Dreyecke theilen lasse, dmr- deren Summe der Fläche der ganzen Figur gleich hÄch ist. Die Sätze welche man aus dieser Voraus- «it setzung, oder auch aus der ihr ähnlichen, gewöhnen! sich herleitet, daß man annimmt, jede gradlinichte W Figur lasse sich durch grade Linien, die aus ei- «- nerle» Punct bis an die Winkelpuncte laufen, in M Dreyecke theilen, sind hier auf andre Gründe zu- nm rückgeführt. liD >tA M Ä Nh« !Ä M Die Gründe der allgemeinen Lehre von den Verhältnissen und Proportionen sind zwar hier kn d- Rechenkunst vorgctragen, die ich in der ersten Ausgabe der Geometrie Vorbehalten hatte: weil jedoch viele von den besonder» Regeln zur Ver- wandelung einer Proportion, um andre daraus herzuleiten, vornemlich in der Geometrie nur gebraucht werden; so konnten sie bis dahin ausgesetzt bleiben, wo mit der Lehre von der Aehnlichkeit dev Figuren ihre beständigen Anwendungen allererst den Anfang nehmen. Solchergestalt werden diese Lehren, die sonst für sich etwas trocken sind, dem XVl Vorrede. dem angehenden Geometer angenehmer, wenn er bald darauf ihre beständigen Anwendungen stehet. Einen Febler beym Vortrag dieser so genannten Proportionalregeln, den ich in den meisten Lehrbüchern bemerket habe, glaube ich hier ganz verr mieden zu haben. Man leitet verschiedene dieser Regeln aus dem Lehrsatz von Verwechselung der Mittlern Glieder her, und wendet sie doch auch auf Fälle an, wo die Glieder l)es einen Verhältnisses mit den Gliedern des andern nicht von einerlei) Art sind, wo also keine Verwechselung der Mittlern Glieder statt hat. Die ganze Buchstabenrechenkunst kn einem Handbuch, das ohnehin schon sehr reich an interessanten Sachen werden muste, vollständig so vorzutragen, daß der Anfänger darin hinlänglich hätte geübt werden können, wollte ich nicht wagen : indessen konnte ich doch von den entgegen gesetzten Grössen, auch von der allgemeinen mathematischen Addition und Subtraction im ^8-40 §. der Geometrie die ersten vorläufigen Begriffe, und Grundregeln mittheilen. Ferner gab die Anwendung der Proportionslehre auf die Geometrie im 179-182 §. den nächsten Anlaß die ersten vorläufigen Begriffe und Grundregeln der allgemeinen mathematischen Multiplication und Division zu erklären, auch kurz zu zeigen, was es mit der Methode der Gleichungen der neuern Geometer für eine Bewandniß habe. Dies war auch um der folgenden beyden noch zu dieser neuen Ausgabe des . ersten Theils gehörigen Bände willen nöthig, weil die Vorrede. xvn ^ die Buchstabenrechenkunst mit so sehr grossen N? Vortheil in der practiscben Mathematik gebraucht ww, wird. Ein so vollständiger Vortrag davon, als 'wH, öur Bildung eines geübten Analysten nöthig ist, , ^ bleibt dem zweyten Theik Vorbehalten: für andre ist die Uebung in diesen Lehren bey Anwendung ^ derselben auf die pracrische Mathematik ungemein viel anzüglicher und reizender, als wenn die A Exempel nur im allgemeinen willkührlich gewählt werden. !VM Alle Beweise der Lehrsäße, wovon in der ebenen Geometrie die Kreismessung (1^5. 21^. 252. 255 H§.) und in der Körperlichen Geometrie die » Ausmessung des Colknders, des Kegels und der Kugel, auch der Oberflächen dieser Körper ab- h s» Hängt, (z44- Z48. Z7.2- 380. z8?. Z9? H.) habe W ich zwar mehr zu verkürzen und faßlicher zu ma- M chen, zugleich aber auch die Evidenz dabey aufs höchste zu treiben gesucht. Den Beweisen eini- M- ger hieher gehöriger Lehrsätze, die wenn man sie völlig nach Are der Alten verträgt, die Form apo- r,O gogischer Beweise erhalten, habe ich mehr die li» Form ostensiver Beweise gegeben, weil ich dafür Ui« halte, daß die Strenge des Beweises selbst da- durch noch einleuchtender wird. Die lote Erklärung beym Euclides km XI. Buch ist höchstens mehr Grundsatz als Erklärung: vielleicht kann der darin liegende Satz in seiner n ganzen Allgemeinheit kaum als Grundsatz gelten, ob er gleich in Herrn Hausens Llememis ^rube- PÜ Barst. Machen,. Th. I. leos xvm Vorrede. Leos wirklich als der v. Grundsatz vorgetragen »ff. (M. s. die iZ5 Seite a. a. O.) Der Grund, welchen Herr Hausen hinzu seht, beweiset den Satz nicht in seiner ganzen Allgemeinheit, wovon die nächste Anwendung auf die Prismen zeuget, worin das Parallelepipedum von der Diagonal- flache getheilt wird. Die beoden dreyseitigen Prismen, worin ein schiefes Parallelepipedum vermittelst der Diagvnalfläche zerschnitten werden kann, passen nicht in einander, sondern nur diejenigen, worin das grade Parallelepipedum durch einen solchen Schnitt getheilt wird: um deswillen hatte ich schon in der ersten Ausgabe den gewöhnlichen Beweis davon, daß beyde Prismen, auch wenn das schiefe Parallelepipedum so geschnitten wird, gleich groß werden, vollständiger vorgetragen. Wegen der Verschiedenheit der Fälle aber, die dabey etntreten können, ist auch der Beweis noch nicht ganz allgemein, und das hat mich bewogen, hier einen andern Beweis zu führen, der zwar nicht eben kürzer, aber doch leichter zu übersehen ist, als jener Beweis, wenn man alle Fälle vollständig unterscheiden, und ihm dadurch feine völlige Allgemeinheit geben will. Ä- ft- Sollte vielleicht an einer oder der andern!?'' Stelle ein Versehen stehen geblieben, und meiner! ^ Aufmerksamkeit entgangen sevn; so muß ich es damit entschuldigen, daß zuweilen sehr zerstreuende praktische Beschäftigungen diese meine Arbeit unterbrochen haben. Eins ist mir beym Durch- XIX W Vorrede. ches ich zu verbessern bitte. Im 66 §. der Re- chenklinst habe ich vergessen, dem Sah: zwey ^ oder mehr absolute Primzahlen sind allrmahl M l'ncer sich Primzahlen, die Einschränkung ^ beyzufügen: wofern nicht etwa die Primzahl , ^, selbst ein Niaaß aller übrigen ist. Soviel ich ^ ' bisher habe finden können, hat dies Versehen auf ^ ' das folgende weiter keinen Einfluß: nur hatte im kild Beweise des Satzes im 86 H. der Rechenkunst be- merkt werden müssen, daß dl: a auch um deßwil- " len keine ganze Zahl seyn könrre, weil wenn a in dl M aufgienge, auch der eben so groß angenommene ! ^ Quotient S:« eine ganze Zahl seyn müste, wel- " ches darum nicht seyn kann, weil - eine absolute ^ Primzahl ist. Eben die Bewandniß hat es da-> "^7 selbst mit den Quotienten (S. e) : a und dl : a. Der letzte könnte eine ganze Zahl kenn, wenn a in ^ dl ausgienge: dann aber wäre auch (S. c):«eine '-?l ganze Zahl gegen "den vorher schon bewiesenen Satz. Mit den übrigen Schlüssen ln diesem Bes rO weise Hehält es sonst seine völlige Richtigkeit. i> p In der Vergleichungstafel der Fußmaasse, im 25L §. der NeÄ)enkunst, sind ein Paar Lü- cken, bey Bayern und Leipzig fehlen die Zahlen, !ll^ weil ich keine übereinstimmende Nachrichten fand. tzH k Anist giebr den Bayerschen Fuß 986 Pariser Li- KE nien an, und nach Herrn von Limbrum (Abhandl. der Churb. Acad. d. Wiff. n. Band z6o S ) iN sind IOO0 Pariser Fuß — In; Bayerschen — 108 z Wienerischen, also der Bayerfche Fuß — v i29,z Pariser Linken. Ferner ist nach Reuse in 2 Leipzig XX" Vorrede. Leipzig der gemeine Fuß 125,1 und der Baufuß r2;,z Pariser Linien, nach Leupold aber (im Ikegtro 6eoin. Z Z 5 §- 1 5 1 ) Und Bohms Anleinmg zur Mehkunj) auf dem Leide, in der am Ende beygefügten lltcn Tafel ist der Leipziger Fuß 1 ^9,7 Pariser Linien lang. Woher der grosse Unterschied von mehr denn i Zoll komme, habe ich bisher nicht fmden können. Bützow, im April des Jahrs 1778. M« Inhalt. ötll, Zoll Anfangsgründe der Rechenkunst. Der I. Abschnitt. Von einigen allgemeinen Grundwahr« Helten der Mathematik überhaupt und der Rechenkunst insbesondre. Der N. Abschnitt. Von der Addition und Subtraktion in ganzen Zahlen. Der IN. Abschnitt. Von der Multiplikation mit ganzen Zahlen. Der IV. Abschnitt. Von der Division mit ganzen Zahlen und dem Ursprung der Brüche. Der V. Abschnitt. Von dem Unterschied der Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen. Der VI. Abschnitt. Von den vier Rechnungsarten mit Brüchen. Der VII. Abschnitt. Von den Deeimalbrüchen insbesondre. Der VIII. Abschnitt. Von den vier Rechnungsarten in genannten Zahlen. Der IX. Abschnitt. Von den arithmetischen Verhältnis« sen, Proportionen und Progressionen. Der X. Abschnitt. Von den geometrischen Verhältnissen, Proportionen und Progressionen. Der XI. Abschnitt. Die Regeln, nach welchen man aus ^ Zahl die Quadratwurzel sinder. » H-s ^ Dev Der XII. Abschnitt. Die Regeln, nach welchen mar, ^ aus jeder Zahl die Cnbicwurzel findet. i Der XIII. Abschnitt. Von der Zusammensetzung und ! Theilung der Verhältnisse, als dem Ursprung der Lo« »> garithmcn. »s» Der XIV. Abschnitt. Die Regel Detri mit ihren An» ^ Wendungen. , ^ Der XV. 2lbschnitt. Anwendung der Regel Detri auf die j Maaß» und Gewichts-Vergleichung. ! Der XVI. Abschnitt. Die umgekehrte Regel Detri, auch eine kurze Erklärung der zusammengesetzten Re» gel Detri. 8 Der Geometrie erster Theil, Die ebene Geometrie. ly! Der I. Abschnitt. Von den ersten Grundwahrheiten der Geometrie, und insbesondre von graden Linien und Winkeln. Der II. Abschnitt. Vom Umfange der ebenen Figuren überhaupt, und insbesondre von der Kreislinie. Der IN. Abschnitt. Von den Dreyecken und Parallel» linien. Der IV. Abschnitt. Von den Vierecken und insbesondre den Parallelogrammen. Der V. Abschnitt. Anwendung der Rechenkunst auf die Ansmessung grader Linien und Winkel. diM drü, drtl- !>k, «k di! Der VI. Abschnitt. Von den Sehnen und Berührung^ linken des Kreises. ' Der VII. Abschnitt. Von den vielseitigen und besonders den regulären Figuren. Der VIII. Abschnitt. Fernere Lehren von den Proportionen mit Anwendungen auf die Lehren von der Prp- portionalitäk grader Linien. Der IX. Abschnitt. Von der Aehnlichkeit der Figuren. Der X. Abschnitt. Von der Vergleichung des Flächen« Inhalts der Figuren. Der XI. Abschnitt. Anwendung der Rechenkunst auf die Ausmessung des Flachen - Inhalts ebener Figuren. iv hs k Die ebene Trigonometrie mit ihren Allwendungen. Der XII. Abschnitt. Die ersten Grundlehren von den trigonometrischen Linien. Der XIII. Abschnitt. Nähere Anleitung zur Berechnung und zum Gebrauch der trigonometrischen Tafeln. Der XIV. Abschnitt. Von der Kreismessung. Der XV. Abschnitt. Trigonometrische Berechnung dev Seiten und Winkel gradiinichter Dreyecke. Der Geometrie zweyter Theil. Die körperliche Geometrie und Berechnung der körperlichen Grössen. Der XVI. Abschnitt. Von den verschiedenen Lagen grader Linien und ebener Flächen gegen andre ebene Flächen. Der Der XVII Abschnitt. Bon den prismatischen Körpern und Pyramiden. Der XVIII. Abschnitt. Vom Cybnder und Kegel. Der XIX. Abschnitt. Von Inhalt der Kugel. Der XX. Abschnitt. Vergleichung der Kugrlflache mit den Flachen des grade» Lylinders und Kegels. Anfangs- Anfarigsgründe der Rechenkunst. Der I. Abschnitt. Von einigen allgemeinen Grundwahrheiten Der Mathematik überhaupt, und der Rechenkunst insbesondere, r. §. ^H^^enn gleich unsre Begriffe von den Sache», 1 der menschliche Verstand fassen kann, desto vollkommener sind, je deutlicher wir alle Merkmale derselben, die würklich unterschieden sind, nicht allein in Gedanken unterscheiden, sondern auch durch Worte andern bezeichnen können; so sind doch nicht alle unsre Begriffe einer solchen Deutlichkeit fähig. Die Wörter, welche die ersten Grundbegriffe einer Wissenschaft bezeichnen, haben zum Theil eine so sehr allgemeine Bedeutung, daß eö nicht wohl möglich ist, eine völlig angemessene Erklärung davon zu geben, die beydes zugleich den Begrif deutlicher macht, und denselben nach seinem ganzen Um- Rarsr.-Machem. l.TH. A sang s Anfangsgründe der Rechenkunst. fang erschöpft. Der Begrif von dem, was eine Zahl sey, und der noch allgemeinere Begrif von einer Gröst? überhaupt, gehören zu den ersten Grundbegriffen der Mathematik, weil diese Wissenschaft lehren soll, wie man Grössen mit einander vergleichen, und aus bekannten Grössen andre finden kann: was aber eine Zahl und überhaupt eine Grösse sey, das dürste schwerlich jemand, der es noch nicht wüste, durch eine Erklärung lernen. Die Wörter: Vielheit, Menge, Zahl, Anzahl, bedeuten einerley, und wer die Sprache versteht, der weis, was diese Wörter sagen wollen. Eben so hat auch jedermann für sich schon einen Begrif davon, was insbesondre bcy körperlichen Dingen ihre Grosse auömache, und man kann ziemlich versichert seyn, daß dies Wort, wenn es beym Vortrag der ersten mathematischen Grundwahrheiten gebraucht wird, nicht leicht von jemand werde unrichtig verstanden werden. Daß übrigens die Zahlen vornehmlich als Hülssmittel dienen, um die Grösse einer Sache mit der Grösse einer andern Sache von eben der Art zu vergleichen, davon kann man sich durch allcrley ganz bekannte Bey- spiele überzeuge». Wie groß der Werth eines Tha- lers, wie groß das Gewicht eines Pfimdeö, wie groß die Lange einer Meile sey, begreift man, wenn man weis, wie viele Groschen einen Thalcr, wie viele Unzen ein Pfund, wie viele Ellen eine Meile auSma- chen, vorausgesetzt, daß man den Werth eines Groschens, das Gewicht einer Unze, die Lange einer Elle schon kenne: und aus diesem Grunde läßt cS sich rechtfertigen, wenn beym Vortrag der Mathematik mit Betrachtung der Zahlen zuerst der Anfang gemacht wird. 2 . §. z Der I. Abschnitt. ^ W Oji», r>G, h>cl- wir», E dich - 2 . §. Die Wissenschaft von den Zahlen, und den Gesehen, wie man zahlen unter einander vergleichen, auch aus bekannten Zahlen andre finden kann, heiße die Rechenkunst, oder wie einige lieber wollen, die Rccl)cnwlssensih»ife. Die Gründe, worauf diese Wissenschaft beruhet, sind ihr zum Theil eigen, in wie weit sie aus der Natur der Zahlen, als Zahlen betrachtet, und aus den besondern Gesehen folgen, nach welchen wir die Zahlen zu bezeichnen gewohnt sind: zum Theil aber sind diese Gründe, und selbst Mim die mancherlei) Arten, wie man aus bekannten Zah- Xslck! sim sichre unbekannte finden kann, so allgemein, daß he, Ä n in allen andern mathematischen Wissenschaften ihre ^ Anwendung finden. Einige Schriftsteller haben eben Dm deswegen diese allgemeinen hehren in einer eigenen ! Wissenschaft unter dem Namen der allgemeinen ^ Llffrrhemarik abgehandelt: man kann aber diese Mi- Ähren eben so gm in der Rechenkunst, da wo man sec« ihrer zuerst benöthigct ist, erklären; und dieser hehr- m, ii- vortrag scheint um deswillen einige Vorzüge zu Hartls ben, weil es Anfängern leichter wird, von mehr ein- geschrankten Begriffen und Grundlehren einer Wis- senschaft, sichzu den allgeineinsten Grundwahrheiten durch die Absonderung zu erheben, als in umgekehr- ter Ordnung zuerst die allgemeinsten Grundlehren Z öV recht zu fassen, hiernächst aber allererst davon?lnwen- düngen zu machen. Z. §- Wenn man mehrere Dinge zusammenzahlt, so sind es entweder wirklich Dinge von einerley Art, oder man sieht wenigstens beym Zusammenzählen auf ^ ihre Verschiedenheit nicht. Bey der Frage: wieviel ? A » wird 4 Anfangsgründe der Rechenkunst. wird deswegen allcmahl zugleich ausgedruckt, was es für Dinge seyn sollen, deren Anzahl man wissen will. Sind Personen von beyderley Geschlecht in einem Zimmer Key einander, so muß man unstreitig die Frage: wie viele Mannspersonen sind da? anders beantworten, als die Frage: wie viele Personen überhaupt sind gegenwärtig? Es müssen demnach die zusirmmengezählten Dinge, in so ferne sie eine Zahl ausmachen sollen, von einerley Art seyn. Oft kommt auch die Grösse der zusammengezahlten Dinge in Betrachtung, obgleich eben nicht allemahl; und sodann müssen die zusammengezählten Dinge, welche die Zahl auömachen sollen, gleich groß seyn. Bey der Frage: wieviel? wird auch dies gemeiniglich auögedrückt. Wir haben nämlich in allen Sprachen eine Menge von Wörtern, welche nicht allein die Art der Dinge ausdrücken, zu welcher die Sache gehört, sondern zugleich eine bestimmte Grösse derselben. Alle Wörter, welche die verschiedenen Maasse, Gewichte, Münzen, u. s. f. ausdrücken, gehören hieher. So ist eine Elle eine Länge, die ihre bestimmte Grösse hat, ein Pfund ist ein Gewicht von einer bestimmten Schwere; Thaler, Gulden, Groschen, u. s. f. sind Münzen, die ihren bestimmten Werth haben. Frägt man min: wie viele Pfunde wiegt diese Waare? wie viele Ellen ist dieses Stück Tuch lang? u. s. f. so verstehet es sich von selbst, daß die Pfunde, oder Ellen, welche man zusammenzählen soll, gleich groß seyn müssen. 4 §- Man sieht aber beym zusammenzahlen entweder alle die zusaminengezählken Dinge für sich betrachtet als Ganze an; oder man zählt gleiche Theile eines Ganzen eti l.4 .-.te M Hk k, rx,j ^ Ai» Äzk ' an!« lik >giG k >illl> kHii« ÄM Ä lÄ Ä «I eM « Ä W iürm Mm, ML M ,si.) -ßi-' Der I. Abschnitt. 5 Ganzen zusammen. Das Ganze, das man entweder selbst, oder dessen Theile man mehrmahl zusammenzählt, Heist die Einheit. Eine Menge ganzer Einheiten Heist eine ganze Zahl, und eine Menge gleicher Theile der Einheit wird eine gebrochene Zahl, oder ein Bruch genennet. Dieser Unterschied ist in der Natur der Zahlen selbst eigentlich nicht gegründet: eine und eben dieselbe Zahlläst.sich als eine ganze oder gebrochene Zahl ansehen, nachdem man die zusammengezahlten Dinge entweder für sich als Ganze, oder als Theile eines andern Ganzen betrachten will. Die Zahl zwey Mark, ist eine ganze Zahl, wenn man ein Mark für sich als ein Ganzes ansieht: die Zahl zwey Drittheil eines Thalcrs ist eine gebrochene Zahl, weil man die zusammengezählten Dinge als Theile eines andern Ganzen, nämlich eines Th.rlcrs, ansieht. Beyde Zahlen sind an sich einerlei), weil ein Mark mit einem Drittheil eines Thalerö einerlei) ist. Vor der Hand wird nur von den ganzen Zahlen die Rede seyn, wenn das» Wort Zahl schlechthin gebraucht wird. 5 . Man kann von Eins anfangen fort zu zählen, ohne daß mau dabei) eine gewisse Art von Einheiten in Gedanken hat : man kann vorwärts und rückwärts zählen, und die Zahl in Gedancke» vermehren, oder vermindern. Man kau» ein Paar Zahlen vergleichen und prüfen, ob die eine mehr oder weniger Einheiten enthalte, als die andere, so daß man bei) diesem Geschäfte die besondere Beschaffenheit der zusammengezählten Einheiten gar nicht in Betrachtung ziehet. Eine Zahl, bei) der die besondre Beschaffenheit der zusammengezähltcn Einheiten gar ruckt in Vetrach- A Z tung 6 Anfangsgründe der Rechenkunst. tung kommt, Heist eine abstracto Zahl; in den ge- wohnlichen Rechenbüchern Heist sie eine ungenannte Zahl. Eine concrere, oder genannte Zahl ist eine solche, die eine gewisse Menge von Einheiten einer j gewissen Art ausdrückt. Die Zahl drey überhaupt ^ ist eine ungenannte Zahl, die Zahl drey Pfund aber , eine genannte Zahl. ^ 6 §. Will man ein Paar genannte Zahlen mit einander vergleichen; so müssen die Einheiten der einen mit den Einheiten der andern von einerlei) esst seyn, widrigenfalls findet keine Vergleichung statt. Man kann weder sagen, daß drey Pfund mehr, noch daß sie weniger, als zwey Ellen sind; mal, kann aber auch sagen: drey Pfunde sind inehr, als zwei- Pfunde.. In: Ge- gentheil lassen sich alle ungenannte Zahlen mit einander vergleichen, weil die zusammengezahlten Einheiten bey allen ungenannten Zahlen als Dinge von einerlei) Art anzusehen sind, indem man keine besondre Art derselben in Gedanken hat. 7 §. Ein Paar Zahlen mit einander vergleichen Heist nämlich nichts anders, als eine Prüfung anstellen, ob beyde gleich oder ungleich groß sind. Uebcrhaupk aber kann man eine solche Vergleichung mit allen Dingen ansiellen, denen man eine Grosse zuschreibt, und man hält die Dinge für gleiche Dinge, wenn eines in Absicht der Grösse mit dem andern einerlei) ist, also in Abjicht der Grösse an die stelle des andern gesetzt werden kann. Eins ist dagegen dem andern imgicici), wenn beyde in Absicht der Grösse nicht rincrley sind. Ern Paar ungenannte Zahlen sind -cm- ^jk' i'llsl!« lkk! U, ich» mukr !!«- «6 .utztt Ml !mi«i ch-) ^l '.V^ Der I. Abschnitt. 7 demnach gleich groß, wenn sie einerlei) Menge von Einheiten enthalten, und ungleich groß, wenn die eine nicht auö eben so vielen Einheiten bestehet, als die andere. Weil bey den genannten Zahlen die Größe und übrige Beschaffenheit der zusammengezählten Einheiten selbst mit in Betrachtung kommt; so wird ben diesen nicht allein erfordert, daß einerlei) Menge von Einheiten in beyden vorhanden se», sondern es muss sen auch überdem die zusammengezählten Einheiten selbst einerlei) seyn, wenn beyde Zahlen gleich groß seyn sollen. So sind drcy Ccumer und drey Pfunde der Zahl nach einerlei), aber nicht dem Gewichte nach; deswegen sind es zwar gleiche Zahlen, als Zahlen betrachtet, aber nicht gleiche genannte Zahlen. 8 §. Vey der Prüfung, ob ein Paar Grössen einander gleich, oder ungleich sind, verfahren wir allemahl nach gewissen Grundsätzen, die einem jeden bekannt sind, und deswegen nur verdienen, besonders ange- merkt zu werden, weil man in dieser Wissenschaft den höchsten Grad der Gewißheit zu erhalten sucht. Sie könnten hier wegbleiben, und dennoch könnte der ganze folgende Vortrag darauf gebauet werden. Allein es hat unstreitig seinen Nutzen, wenn man die Gründe genau kennet, wovon alle lehren einer Wissenschaft abhängen. Sind diese Gründe von der Beschaffenheit, daß sie Niemand laugnen, und ihre Wahrheit nicht im geringsten in Zweifel ziehen kann; so muß alles, was daraus richtig geschlossen wird, eben so unlaugbar seyn, als die Grundsätze selbst sind. Folgenden dreyen Saßen wird inan eine so unläug- bare Gewißheit schwerlich absprecheu. A4 S §. 8 Anfangsgründe der Rechenkunst. , y §. Eine jede Grosse ist sich selbst gleich. Dies will so viel sagen: Eine Grösse kann nicht zugleich diese, und eine andre seyn, weil e6 überhaupt nicht möglich ist, daß etwas zugleich seyn, und nicht seyn könne. Das Ganze ist allen seinen Tbeilen zusammen genommen gleich. Dies ist schon eine Folge des vorigen; denn alle Theile zusammen genommen sind dasjenige, was wir das Ganze nennen. Ware das Ganze nun allen seinen Theilcn zusammen genommen ungleich; so wäre es sich selbst ungleich; es würde zugleich dies Ganze, und auch nicht dies Ganze seyn. Ein Tbeil, oder einige Theile allein genommen, sind nicht so groß als das Ganze. Denn das Ganze, oder alle Theile zusammen genommen, können mit einem oder einigen Theilen allein genommen der Grösse nach einerlei) seyn. io H. ' In der That geben die beyden ersten Säße ein Paar Kennzeichen der Gleichheit, und der dritte ein Kennzeichen der Ungleichheit ab. Die Begriffe davon, was die Wörter: gleich und ungleich, sagen wollen, sind viel zu allgemein, als daß es möglich wäre, eilte kurze und Zugleich so bestimmte Erklärung davon zu geben, daß sie einen jeden in den Smnd sEe, die 'Anwendung davon allemahl ohne Schwierigkeit zu machen, wenn die Frage vorkommt, ob ein Paar Grössen gleich oder ungleich sind? Ja diese L>äß? selbst sind noch viel zu allgemein, und cs muß noch eine Menge andrer Regeln, die genauer bestimmt sind, daraus hergeleitet werden, wenn man in cht 1- iv< i"' k'.c Äi «H ^ Der I. Abschnitt. 9 ^ ^ in jedem vorkommenden Fall auf dem kürzesten We- ' ^ ge die Vergleichung anstellen will. Eben dies ist N der wichtigste Vorwurf der Mathematischen Wissen- sthaften; und den diesem Geschäfte ist man zugleich ^ auf allerhand Hülssmittel bedacht gewesen, die Weit- läuftigkeit der Worte zu vermeiden, um die Aufmerk- .'chüi- samkeit desto mehr auf die Sache zu lenken. Die bekannten Ziffern i, 2, z, u. s. s. geben schon die besten Beyspiele davon ab, daß es nicht allein mög- lieh, sondern in vieler Absicht bequem und nützlich "k" ^ sey, statt der gewöhnlichen Worte viel kürzere geschrie- iü; bene Zeichen zu gebrauchen. Man bedienet sich in Ä der Mathematik dieses Zeichens (—) statt des Worts gleich, und setzt es zwischen den Grössen, deren m Att Gleichheit man andeuten will. Ausdrücke von dieser Art: Ein Pfund — sechzehn Unzen. Eine Elle — zwey Fuß u. s. f. ML bedeuten demnach eben so viel, als wenn man geschrieben hatte: Ein Pfund ist gleich sechzehn Unzen, eine Elle ist gleich zwcen Friß. M m 1 1 §. Mm Aus folgenden zwecn Sätzen: Eine Elle — zwey Fuß, ö zwey Fuß — vier und zwanzig Zoll, würde man ohne Bedenken diesen dritten Satz als eine Folge herleiten: Eine Elle — vier und zwanzig Zoll. In der That gründet man diesen Schluß auf folgenden allgemeinen Grundsatz: H wenn zwo Grössen einer und eben dersel-- ^ j! ben dritten gleich sind: so sind sie auch unter ^ sich gleich. Dies ist ein neues Kennzeichen der Gleichheit, Ae»' dessen man sich bedienet, gewisse Grössen vermittelst ö z einer is io Anfangsgründe der Rechenkunst. einer dritten zu vergleichen. Man kann hiemit folgenden Satz verbinden: wenn zwo Grossen so groß sind, als zwo andre gleiche Grossen, so sind sie unrer sich gleich groß. Dieser letzte dienet in solchen Fallen zur Verkürzung, wo man den vorigen zweymahl brauchen müste. 12 §. Sind zwo Grössen einander ungleich: so Heist allemahl die eine von beyden die grossere, und die andre die kleinere. Es wird nemlich die eine von beyden einen Theil, der so groß ist, als die andere ganz genommen, und überdem noch etwas mehr enthalten: diese Heist die grössere, und die andre, welche einem Theil der ersten gleich ist, die kleinere. Folgende Grundsätze dienen als Kennzeichen des Grösser» und Kleinern. Jeder Theil des Ganzen allein, oder auch einige Theile des Ganzen allein genommen, sind kleiner, als das Ganze. Das Ganze ist grösser, als jeder Tbcil desselben allein, oder cimge Theile desselben allein genommen. , iZ §. Die Ungleichheit zwoer Grössen deutet dies Zeichen (> ) an, welches man zwischen beyden so setzet, daß die Oefnung gegen die grössere, und die Spitze gegen die kleinere zeigt. Wenn man also schreibt: Ein Ccntner > ein Pfund Ein Pfund < ein Centner; so ist dies einerlei), und bedeutet, daß ein Centner mehr als ein Pfund, oder ein Pfund weniger, als «in Centner sty. Au- Der I. Abschnitt. ir >nd die nevm wdere I^U. t, nl- «> I l>Ä e.ch Ädrsl kciud Zlus diesen zweenen Saßen: Ein Centner > ein Pfund; ein Pfund — sechzen Unzen, wird man wiederum ohne Bedencken den dritten Saß schließen: Ein Centner > sechzehn Unzen. Der Schluß gründet sich auf die allgemeine Regel: Was größer ist, als eine von zwoen gleichen Grössen, oas ist auch grösser, als die andre Ist dies allemahl richtig, so wird man auch folgende Regel gelten lassen: was kleiner ist, als eine von zwoen gleichen Grössen, das ist auch kleiner, als die andre. Um so mehr werden auch diese Regeln unlangbar richtig seyn: was größer ist, als die größere von zwoen ungleichen Grössen, das ist auch grösser, als die kleinere. was kleiner ist, als die kleinere von zwoen ungleichen Grössen, das ist auch kleiner, als die grössere. 14 §. > tzZ- Wir urtheilen in unzähligen besonder» Fallen im .stH gemeinen Leben nach diesen Grundregeln, ob wir gleich '..A eben nicht gewohnt sind, sie in der Allgemeinheit aus- zudrücken, in welcher sie hieher geseßet sind: aber ^ " eben hiedurch werden sie in der ^ganzen Mathematik brauchbar. Auster den schon angeführten sind noch mehrere dergleichen allgemeine Grundsätze übrig, dis besondersangemerkt zu werden verdienen; und diese ^ werden nach einander Vorkommen, so wie die ver- . schiede- i2 Anfangsgründe der Rechenkunst. schiedenen Methoden werden erklärt werden, wie man aus gegebenen Grössen andre finden kann, die man in der Rechenkunst zuerst auf die Zahlen anwendet. Der deutsche Nähme dieser Wissenschaft ist von dem Wort: rechnen, hergenommen, welches so viel heißt, als aus bekannten Zahlen andre unbekannte vermittelst eigener dazu geschickter Zeichen finden, so daß durch eine regelmässige Zusammenordnung und Veränderung dieser Zeichen nicht eigentlich die gesuchte Zahl selbst, sondern ebenfalls ein Zeichen gefunden wird, das die gesuchte Zahl an- giebt. Diese Zeichen werden Ziffern genannt, und man seht sie alle aus zehn einfachen Ziffern zusammen, deren Bedeutung einem Jeden von Jugend auf bekannt wird, der es lernt, wie man die ausgesprochenen Worte in Schriften bezeichnet. Es find folgende: r. 2. z. 4. 5. 6. 7. 8. 9. o. Das Zeichen o ist eigentlich das Zeichen einer leeren Stelle, die vermöge des Gesetzes, nach welchem man eine Ziffer zusammensetzt, keine von den übrigen einfachen Ziffern einnehmen kann. r; §. Die Art, wie aus diesen einfachen Ziffern alle übrige zusammengesetzt werden, lernt man am besten verstehen, wenn man auf folgende Umstände acht hat, welche beym gewöhnlichen zählen beobachtet werden. Man zählet fort von Eins bis zehn, und fängt sodann wieder von forne an zu zahlen, da denn die ersten zehn Zahlen ihre eigenen Nahmen haben. Nun zählt man weiter Eins und zehn,zwey und zehn, welche Ausdrücke verkürzt in unsrer Sprache so lauten: ML «II ls.7 .irf« kSi Hw 6ch, Der I. Abschnitt. 13 l^kU Än, j »rl» »ZM mA» Ä M m! »M ? üiltz ö/i»! ten: eilf, zwölf. Bey den folgenden Ausdrücken, drey und zehn, u. s. f. last man das Wort und Mg, und zählet so fort, bis man auf zehn und zehn oder zweymahl zehn kommt. Zur fernem Abkürzung sagt man zwanzig statt zweymahl zehn, dreyfiig statt dreymahl zehn, u. s. f. bis auf zehnmahl zehn, oder hundert, worauf man wiederum von forne an zahlt: hundert und eins, u. s. f. bis zweyhundert, dreyhundert, u. s. f. da dann weiter folgende Wörter zur bequemen Verkürzung dienen. Man spricht aus zehn mahl hundert tausend mahl tausend tausend mahl taufend Millionen tausend mahl tausend Billionen tausend mahl tausend Trillionen durch das Wort tausend Million Billion Trillion O.uadrillion u. s. w. mlw «un aber dasselbe durch die geschriebenen Zif- ^rn auszudrücken, was man bey den Wörtern beob- MÄ achtet, hat man folgendes Gesetz angenommen: Man schreibt die Ziffern von der rechten gegen die linke Hand, und last jede Ziffer in der folgenden Stelle zehnmahl mehr bedeu- . ten, / die Stellen, welche ledig bleiben müssen, setzt man die so genannte ITlull. ..i.Auf die Art bekömmt jede Ziffer, ausser dem ek- genthümllchen Werth, den sie schon ausdrücken wür- Z de, wenn sie allein stünde, noch einen andern von der ss tz Stelle, die sie unter den übrigen einnimmt. r6 §. !4 Anfangsgründe der Rechenkunst. ,6 §. Rechnet man also die Stellen von der rechten ge--, Zen die linke Hand: so bedeutet die Ziffer i in der ersten Stelle Eins und man schreibt i - zweyten - zehn IO - - dritten - hundert IVQ - vierten - tausend IOOQ - fünften - zehntausend loooo - - sechsten - hunderttausend IOOOOO -> - siebenden- eine Million I0OOOOO - - achten - zehn Millionen IO00OOOO Hieraus ist leicht gbzunehmen, wie es mit den übrigen Ziffern nach eben der Regel zu halten sey. Stünde die Ziffer 2 allenthalben da, wo die Ziffer r steht; so waren ihre Werthe diese: zwei), zwanzig, zweyhundert; zweykausend; zwanzigtausend; zwey- hunderttausend; zwey Millionen; zwanzig Millionen. Es bestehen demnach alle zusammengesehte Ziffern ans einsamen Ziffern verschiedener Ordnungen. Die Ziffern in der ersten Stelle bedeuten einfache Einheiten. Die Ziffern in der zweytcn Stelle oder der ersten nach den Einern, bedeuten zehnfache Einheiten, und gehören zur ersten Decimal-Ordnung. Eben so gehören die Ziffern in der dritten Stelle, oder der zweyten nach den Einern, zur zweiten Dreimal - Ordnung u. s. w. allemahl von der Rechten gegen die Linke gerechnet. r? §. Vermnthlich hat man Anfangs auch die geschriebenen Ziffern von der Rechten gegen die Linke zu gelesen: denn die meisten Morgenländer sind überhaupt gewohnt gewesen so zu schreiben, und die gewöhnliche ZM 'R Der I. Abschnitt. iz Meinung ist, daß wir diese Ziffern von den Arabern bekommen haben. Wollte man diese Regel in der ss ' Aussprache beobachten, so würde es nun weiter keine Schwierigkeit haben, jede geschriebene zusammenge- i setzte Ziffer auszusprechen. Es würde z.E. die Ziffer: ii 427 zrz 6 im so zu lesen seyn: Sechs und dreyßig und hun- iov!> der: und fünftausend, und srebcnzigcansend iMo und zwcyhundcrttauscnd,und vicrMillisnen. o-co Eö hat aber auch keine grössere Schwierigkeit, die Moa Ordnung umzukehren, und nach der Art, wie wie »o zu lesen und zu schreiben gewohnt sind, von der Lin- NU hr, ken gegen die Rechte zu lesen. Hiebey muß man im sk nur zuförderst die Stellen von der Rechten gegen die Linke zählen, damit man wisse, in welcher Stelle die MH letzte Ziffer zur Linken befindlich sey, indem sie hie- durch ihren Werth bekommt. Damit man sich nun rn der Aussprache desto weniger versehe, theile man Km die ganze Ziffer, von der Rechten gegen die Linke zu, ch« ln Classen, so daß jede Classe sechs Ziffern enthalte; da es dann gleichviel ist, wie viel Ziffern in die letzte lichü Zue Linken kommen. Man setze oberwärts an der sie- benten Ziffer einen Strich (ch, an der dreyzehnten zwey Striche (") u. s. f. so weiß man, wo die Mil- lionen, Billionen, u. s. f. anfangen; da denn die übrige Aussprache sich nach den Regeln des 15 §. leicht ergiebt. , Man hat aber dabey in der 'Aussprache die öftere Wiederholung eines und eben desselben Worts: Tau« ^ send, Million, Billion, u. s. f. vermeiden wollen, ^ ^ die erforderlich seyn würde, wenn man jede einzelne ss Ziffer für sich so lesen wollte, wie eö der Stelle, die sie unter den übrigen einnimmt, gemäß wäre; des- ?.ss', wegen i6 Anfangsgründe der Rechenkunst. wegen spricht man allemahl eine ganze Classe von sechs Ziffern auf einmahl aus, bevor man die Millionen, Billionen u. s. f. nennt. Aber auch bey der Aussprache einer solchen ganzen Classe, würde das Wort: Tausend, oft dreymahl müssen genannt werden: d es- wegen last man es, um die Aussprache noch mehr ab- zukürzen, ebenfalls so lange weg,-bis es zum drittcn- mahl gehöret werden sollte. Weil nun dies allemahl in der Mitte einer jeden Classe von sechs Ziffern geschehen müste; so kann man eine jede Classe durch ein Comma (,) in zwo Halsten theilen, und das Comma durch raufend aussprechen. Hat die höchste Hauptclasse weniger als sechs, und mehr als drey Ziffern, so sehet man das Comma bey der vierten Ziffer. Nun kommt es nur darauf an, daß man eine Ziffer auösprechen könne, die aus dreyen einfachen zusammengesetzt ist, so kann man'jede andre auS- sprechen. Am natürlichsten würde man be» der uns gewöhnlichen Art, von der Linken gegen die Rechte zu lesen, zuerst die Hunderte, dann die Zebner, und zuletzt die Einer aussprechen, so, daß z. E. die Ziffer z6; so gelesen würde: dreyhundert und sechzig und fünf. Allein es ist durch den Redegebrauch eingeführt, daß man die Einer vor den Zehnern ausspricht, und die obige Ziffer so liest: dreyhundert und fünf und sechzig. Hätte man also die Ziffer: 7 9 28,296^64,709^007,28 Z welche nach obiger Vorschrift abgetheilt ist; so würde sie so gelesen werden müssen: Fünf und sieben-,ig Quadrillionen, achthundert und vierzig tausend, neunhundert und sieben und dreyßig Trillionen, fünfhundert und acht und zwanzig tausend zwenhundcrt und sechs und neunzig Billis- »en, r>D chh is »I HM M«, «.Ü kk': Ük ikLlk Der I. Abschnitt. 77 nett, dreyhundert und vier und sechzig tausend sieben 1 hundert und neun Millionen, sieben tausend zweyhun- ^ -h dert und drey und achtzig. ^ 18 §. ^ ^ Die alten Griechen waren gewohnt nach Myria- den zu zählen, und die Zahl 10002 hieß bey ihnen Myrias: Für grossere Zahlen aber hatte man nicht - ^ so vortheilhast verkürzte Wörter, wie die im 15 §. er- klärten Zahlwörter: eine Million, Billion, u. s. f. ^ sind, ob man gleich ohne Schwierigkeit bis 12200 Myriaden zählen konnte. Wollte man die eben ge- ^ ^ nannte Zahl eine Myriade der zweyten tprdnung nennen, so könnten 12222 Myriaden der zweyten r« xjne Myriade der dritten Ordnung heissen u. s. f. Der Mangel der Wörter für so grosse Zah- len hat es wohl vornehmlich veranlasset, daß man zu den Zeiten des Aredunedes geglaubt hat, es lasse sich keine Zahl angeben, die so groß sey, als die Kahl M Sandkörner auch nur an den Sicilianischen Kü- des Meeres. Archiniedes ward eben hie- ku. durch bewogen, eine Abhandlung unter dem Titel: -'7 (^renarinz) zu schreiben, worinn . ^ er zeigte, daß sich gar wohl die Zahl der Sandkörner r' - angeben lasse, und wenn auch der ganze Weltraum : ^ bis an den Fixsternen-Himmel, nach den Abmessungen, die er den damahligen Kenntnissen gemäß zum Grunde setzen konnte, mit Sande angefüllet wäre. '' In dieser Abhandlung nennt ArchimedeS die Zahl von 12222 Myriaden eine Einheit der zweyten Periode, so wie er die einsachenEinheiten zur ersten Periode rechnet. Ferner machen 12222 Myriaden Einheiten der zwey- ten Periode eine Einheit der dritten Periode u. s. f. > aus: dabey beziehet er sich auf Bücher, die er an ° Larst.Machem.I.TH. B den !8 Anfaiigögrunde der Rechenkunst. den Zeuxippus geschrieben habe, welche aber verkehren gegangen sind. Dieser Vorstell! mg gemäß könnte man eine Zahl, um sie nach Archimedes Art au6zusprechen,in Elasten von acht Ziffern theilen, und jede Hauptclaste in zwey Ne- benclassen von vier Ziffern, da dann z.B. folgende Zahl 84 "56y7,Zy6st"54Z2,9oz2"76z7,9245 so zu lesen wäre: 84 Einheiten der vierten Ordnung, 5697 Myriaden, z968 Einheiten der dritten, 54Z2 Myriaden, 92z2 Einheiten der zweyken, 76z? Myriaden, 924; Einheiten der ersten Periode. Ar- ckstmedes fand, daß die Zahl von tausend Myriaden der aA)ten Periode grösser sey, als die Zahl alles Sandes, wenn gleich der ganze Weltraum bis an den Fixstcrnen-.st immcl damit angefüllet wäre: das wäre also nach unsrer Bezeichnung die Eins niit 6 z Nullen, oder die Zahl von i voo Decillioncn. Die Zahl alles Sandes, der den Raum der ganzen Erdkugel füllte, fand er kleiner als 1 ovo Einheiten der siebenten Ordnung, also kleiner als 1 ooo Derilüonen. Merkwürdig ist hieben, daß zwar bey dieser Archimedischen Art zu zahlen ebenfalls das Decimal- Geseh zum Grunde liegt, daß aber dennoch die so sehr vorteilhafte Art, dieZahlen nach diesem Gesetz durch einfache Ziffern zu bezeichnen, damahls den Kriechen noch nicht bekannt gewesen seyn muß, weil ArchimedcS ihrer gar nicht erwähnt. NXrllisttlS ( Oper, Xl.itli. st. I. Oxou. 16zy. ^ritbm. Oap. IX. p. ^9.) erzählt, daß ein Araber, Rahmens in Lomiuento- rÜ8 acilo^rrit poeinri pamiato'I .^jgm dieErsindung der Zahlzeichen den Indianern zuschreibe. Die Sa- racenen haben nachher diese Zahlzeichen nach Spanien gebracht, und der unter den Gelehrten des Mittlern B, ^ A» xildl. Km örr tz,. Der I. Abschnitt. 19 ^ lern Zeitalters vornehmlich berühmte Pabst Sylve- . sicr II., vorher Herbert, ans der Gegend von An- A rilliac in Auvergne gebürtig, hat bey seinem Aufent- ' ^ halt in Spanien, wohin er in seinen jungem Zähren ge- reiset war, um die Wissenschaften von den Arabern ^ zu lernen, den Gebrauch der Ziffern daselbst kennen gelernt, und bey seiner Rückreise mit nach Frankreich ss-kl gebracht. Die jeht gebräuchliche äussere Form der uw, neun einfachen Zahlzeichen ist zwar mit der ehemahli- ', 7 ^ gen ältern nicht mehr einerlei): indessen ist doch der - ^ eigentliche Kunstgriff, nach welchem alle mögliche ^ 1 >s Zahlen mit neun einfachen Zahlzeichen, wenn die ^ Null hinzu kommt, aus die Art bezeichnet werden >kb« können, daß jede Ziffer in der nächstfolgenden Stelle zehnmahl mehr, als in der nächstvorhergehenden be- s m deutet, die Hauptsache, deren allgemeinere Bekannt- » machung die Europäer dem Pabst Sylvester ll. zu zG« danckcn haben. Mit Ü» ritt« Der II. Abschnitt. Von der Addition und Subtraction in ganzen Zahlen. 79 §. enn zwey Zahlen ungleich sind; so ist die kleinere in der grossem ganz enthalten, und überdem noch etwas mehr. (12 §.) So ist die Zahl 8 in der Zahl 14 ganz enthalten, und überdem enthält die Zahl 14 noch 6. Dieser Ueberschuß, um welchen eine Grösse eine andere kleinere übertrist, Heist die Disse- , B 2 renz 2v Anfangsgründe der Rechenkunst. renz beyder Grössen, auch wohl das Complement der kleinern Grösse zur grösser«: und eine Grösse, die zwoen, oder mehrern zusammengenommen gleich ist, wird die Summe der letztem genannt. Die Zahl 6 ist die Differenz der Zahlen 14 und 8, und 14 ist die Summe der Zahlen 8 und 6. Zwey oder mehr Grössen zusammen addiren Heist ihre Summe suchen. Eine kleinere Grösse von der grösseren stlbrrahiren Heist ihrer beyder Differenz suchen. 20 §. Auch bey diesem Geschäfte sind kurze Zeichen ein» geführt, wodurch man, statt der gewöhnlichen Worte, die Addition und Subtraction andeutet. Das Zeichen (st-) bedeutet die Addition, und man setzt es zwischen beyden Grössen die addirt werden sollen. Diesemnach muß der Ausdruck 16 -i-Z — 19 so verstanden werden: zu 16 addirt z giebt i y. Der Bequemlichkeit wegen spricht man das Zeichen (ck-) durch mehr, oder p/n/ aus, weil es die eine Grösse um die andere vermehrt. Das Zeichen der Subtraction ist ein Strich (—), welchen man vor derjenigen Grösse setzt, die von der andern subtrahirt werden soll. So Heist der Ausdruck: 16 — z — iz, so viel als: von 16 subtrahirt z läst i z. Man spricht der Kürze wegen dies Zeichen durch das Wort weniger, oder «ürmr aus, weil es die grössere Zahl um die kleinere vermindert. Es kann seyn, daß die Grösse, welche man von einer andern subtrahiren soll, selbst schon eine Summe, oder Differenz andrer Größen ist. In diesem Fall schlieft man sie, um Verwirrung zu vermeiden, in eine Parenthese ein. So bedeutet 9— (z -h 2) so viel, als 9 — 5, und 9 — (z 2) so viel, als 9 — i. AD §klör Lv KÄU !»> ,krL L> dich St» KK Der II. Abschnitt. 2l ^!HI» M: ^Mc! )«l -V«r!l ^ M je in' rTe- N L^i AM M« -.Z halten sind. Daß aber die Voraussetzung der dritten Der H. Abschnitt. 2z Regel mit der angezeigken Ausnahme ihre Richtigkeit habe, beweiset das letzte Exempel; denn es kann beym ersten Summiren keine grossere Summe, als 18, also G »g beyin zweyten Summiren nicht mehr als 9 in jeder liklU, Elaste herauskommen: nur in der vierten Columne giebt sich beym zweyten Summiren die Zahl io, weil Mm 9 >u der ersten Partial-Summe war. In diesem N»L Exempel hindert solches dennoch nicht, daß nicht chmm kenn zweyten Summiren die Tora!-Summe schon Wein- heraus kommen sollte: wogegen man in andern Fal- Mlls ken zum dritten mahl, ja wohl noch oster wieder sum- Hchr miren müste, wenn sich nicht die ganze Arbeit nach der gleich folgenden Vorschrift verkürzen liefst, pracnscde Verkürzung dieser 2luflösirng. M In der Ausübung kommt es nicht darauf an, sich ^ an die theoretischen Regeln so genau zu binden, wenn man durch einen kurzem Weg eben das Resultat her- ^ ansbringen kann. Die kürzern Wege sind hier viel- ^ mehr allemahl den Ilmwegen vorzuziehen. Wenn ^ beym ersten Summiren die einzelnen Summen grös- ^ ser als 9 sind, und dieserwegen aus zweyen Ziffern be- :^z stehen; so kann die niedrigste nicht grösser als 8 seyn, die höchste aber, welche in die folgende Elaste kommt, ist allemahl i. Diese i wird beym zweyten Sum- yrch miren zur ersten Ziffer der folgenden einzelnen Sum- . me addirt. Man kann demnach diese i in Gedanken (In mente) behalten, ohne sie hin zu schreiben, und se zur Summe der beyden Ziffern der folgenden Ord- nung sogleich hinzu zahlen, da man denn allemahl wiederum nur die niedrigste Ziffer niedcrschreibt, bis man zur höchsten Elaste kommt, woselbst die höchste Summe ganz niedergeschricben wird. Aus die Art r'I,- wird Raum auf dem Papier, und Zeit ersparet. B 4 Excmpcl. 24 Anfangsgründe der Rechenkunst. Exempel. 7489ZO642709Z6 9090909 584290Z7869 909091 1 749Z149ZZ0880; IOOOOOOO 24 §. Es sind mehr, als zwey Zahlen, (7,O, gegeben, man soll alle in eine Summe bringen. Ausl. Man addire zuerst^ undll; 754Z6 A zur Summe öl g-Z addire man die drit- 928 L te Zahl L, und zu dieser neuen Sum- 98Z6 6 me /X 4-Z 4- L die vierte O, so erhalt 629 I). man /X 4- 8 4- (? 4- v. Eö fallt in die Augen, daß man auf die Art fortfahren könne, es mögen soviel Zahlen, als man will, gegeben ssyn. Die Rechnung würde demnach so zu sichren seyn: 754Z6 Z28 »s-Ü! ' M' 75764 A4L 98Z6 85600 ^4" ch 629 86229 Vracristt)e Verkürzung. Es ist im 22 §. angenommen worden, daß man ohne Schwierigkeit zwey Zahlen, deren keine größer als 9 ist, in Gedanken zusammen zahlen, und die Summe durch die ihr zugehörige Ziffer ausdrücken könne. Mehreres wird in der Theorie nicht erfordert, weil diese alle Operationen der Rechenkunst von den leichtesten und einfachsten herleicet. Wenn man inzwischen !«i, !»zl Ar« Der II. Abschnitt. 25 zwischen oft rechnet, so gewöhnt man sich leicht dar- ^ an, mehr als zwey einfache Ziffern, oder Zahlen, de- -E. ren keine grösser als 9 ist, in Gedanken zusammen rosoo zu zählen, da denn freylich, wenn derselben viele sind, die Summe ziemlich groß werden kann. Sie mag aber so groß werden, als sie wolle; so könnte man nun die einzelnen Summen gehörig untereinam der setzen, sodann diese Summen von neuen summi- ren, und hiemit so lange fortsahren, bis sich zuletzt z-N eine zusammengesetzte Ziffer ergiebt, so die ganze L Summe ausdrückt. Auf die Art würde man mit v dem vorigen Exempel so zu verfahren haben: W, 7 5 4 Z 6 Z28 9836 Summe 86229. Aber auch hier kann man die Verkürzung brauchen, daß man in den einzelnen Summen nur die niedrigste Ziffer niederschreibt, und alles das in Ge- '' danken gleich zur folgenden Classe addirt, was bey ^der zweytenAddition hinzukommen würde. Auf die ^ Art wird das ganze Schema der Rechnung sehr ins r Kurze gezogen, das sonst bey grossen und vielen Zah- len sehr weitlauftig gerathen würde, wie davon soll z/ ., gendes Exempel zeugt: 629 2IO0 14000 70000 B 5 26 Anfangsgründe der Rechenkunst. Verkürzte Art. 999 1-89 998 9999 9999 999 99 9)978 > 979-19 Summe 516509 Man hat hier in der ersten Elaste die Summe 79, deswegen schreibt man nur 9 nieder, und behalt 7 in mente, 109 zählt diese 7 zur Summe 7 z der folgen- 1200 den Elaste, so hat man 8o. Manschreibt 100000 also nur die O nieder, und zahlt 8 zur fot- 2O00OO genden Summe 65, so hat man 7 z, wo- z >6509 mit man eben so bis zu Ende umgeht. Bey einer noch grossem Menge gegebener Zahlen, kann es seyn, daß die einzelnen Summen jeder Elaste über hundert, ja noch weiter hinaus gehen, da sie dann für sich allein schon aus dreyen ja noch mehreren Ziffern bestehen würden. Weil es hier würklich schon beschwerlich wird, so grosse Summen in Gedancken zusammen zu zahlen, und man sich leicht dabey versehen kann; so ist es fast am besten, das Exempel zu theilen, und etwa zehn und zehn von den gegebenen Ziffern besonders zu stimmiren: da sich denn zuleht aus diesen besonder» Summen bequemer die Hauptsumme finden last. Will man inzwischen bey der vorigen Art bleiben; so ist noch allemahl die Regel zu beobachten, daß man unter jeder Columne nur die niedrigste Zister ihrer Summe niederschreibt, und die übrigen sogleich zur folgenden Elaste rechnet, 999 1289 99» 9999 9999 999 99 9)978 ,97949 79 7)0 65 OO 2§c.'O0 I 80 OOO IOOOOO 27 »kW, !4! A N- W -- Ä'i i;c- r ME mKrrb ZMsli ?i',W zch. !I^ mM tp«-. Är-H !LE7 Z-M lüd^ - 7 »^' Der II. Abschnitt. wie im nachstehenden Exempel. Hier giebt die erste Eolumne die Summe 142, also schreibt man 2 nieder, und behält 14 in mente. Die zweyke Eolumne giebt die Summe 1Z2. Hiezu recl net man die in mente gebliebenen 14, so erhält man 146, wovon man 6 niederschreibt, und abermahl 14 in mente behält. Die dritte Columne giebt 117, welches mit den in mente gebliebenen 14 zusammen i z i ausmacht. Also schreibt man 1 nieder, und behält a z in Gedanken. Wenn man so durch alle Elasten fortgehet; so ergiebt sich auf einmahl die ganze gesuchte Summe. 25 §. Es ist nur noch übrig, der bisherigen Lehre von der Addition ein Kennzeichen der Gleichheit und ein Paar Kennzeichen der Ungleichheit beyzufügen, die aus dem Begrif der Addition unmittelbar folgen. Es sind folgende: wenn zwey Grossen einander gleich sind, und man addirc zu ihnen gleiche Grössen; so müssen die Summen gleich groß styn. wenn aber zwey Grössen ungleich sind, und man addirr zur grössern eben so viel, als zur kleinern; so ist die erste Summe grösser, als die zweyre. Addirr man demnach zur grössern mehr, wie zur kleinern; so wird noch um so mehr die erste Summe grösser, als die zweite seyn. 26 §. wenn von einer Ziffer, die nicht grösser ist, als die möglichst gröste Summe zwser cinfa-- 999 7829 4999 797 9989 99999 9479 99999 9499 99999 9479 99999 94299 4729 999 99 99 züziür. 28 Anfangsgründe der Rechenkunst. einfachen Ziffern, (also nicht grösser als i8) eine einfache Ziffer fubrrahirr werden soll; jo ist cs leicht, in Gedanken die Differenz zu finden, und durch die ihr zugehörige Ziffer auszudrücken. 27 §. Es find zwey ungleiche Zahlen gegeben, man soll die kleinere von der grössere» fubkra^ hircn. Ausl. I. Man schreibe die kleinere Zahl unter der grossem, so wie bey der Addition, damit die Ziffern von einerlerley Ordnung untereinander zu stehen kommen. II. Wenn nun in der kleinern Zahl jede einfache Ziffer kleiner ist, als die darüber stehende Ziffer in der grossem Zahl: so zähle man in Gedanken die kleinere von der grossem zurück (26 §.), und setze, was übrig bleibt, darunter. So würde man mit folgen- den Exempeln umgehen können. 987468 452789645 736254 520645415 Rest 251214. Rest 112144252. III. Sind unter den Ziffern der kleinern Zahl einige grösser, als die drüber stehenden, wieimbeyge- fügten Exempel, wo in der Zahl . 8, bey den Ziffern der ersten und ^47328 v rten Decimal-Ordnung dieser ^ f.all statt hat; so darf man nur erwägen, daß die Ziffer A aus folgenden Theilen durch die Addition sich zusammensetzen lasse. A./ *28 l.547200 8. 465296 Rest: 82052 xd« Ihm » ich Tit iE.! dich Nun " Der H. Abschnitt. 29 Hr . cii sa»^ Nun kann man so subtrahiren: 6 von 8 bleibt 2, 9 H.,von 12 bleibt z. Es ist nämlich eine Einheit der . zweyten Decimal-Ordnung einerley mit zehn Einhei- ten der ersten Decimal-Ordnung. Wenn man demnach eine Einheit der zweyten Ordnung zu den Einheiten der ersten Ordnung rechnet: so werden diese dadurch um zehn Einheiten vermehrt. So kann man Mw nun überhaupt zu einer jeden der einfachen Ziffern in die zu klein sind, als daß man davon die untenste- Meriük hende subtrahiren könnte, eine Einheitzurechnen, die W!« man von der nächsthöher» Ordnung abnimmk, wodurch m«. die nächstniedrige allemahl um io vermehrt wird. ! mch Da nun die untenstehende nie grösser als 9 ist; so wird M» man sie allemahl nach §. 26. subtrahiren können. Wann im Exempel bey der vierten Decimal-Ordnung ML nochmahl der Fall vorkommt; so sieht man leicht, daß man so subtrahiren müsse: 6 von 14 bleibt 8. IV. Es ist zur Beobachtung dieser Regel eben nicht nöthig, die Zahl A so wie vorhin geschehen ist, in Theile zu vertheilen. Dies ist hier nur deswegen geschehen, um den Grund des in diesem Fall beob- achteten Verfahrens desto deutlicher vor Augen zu legen. Man kann sogleich zu einer solchen Ziffer in p! - die kleiner ist, als die untenstehende, in Gedanken 10 § zurechnen, und sodann die untenstehende subtrahiren. ^ Weil aber hiedurch die in A folgende Ziffer der nächst- Hähern Ordnung um Eins vermindert worden; so ist es rathsam, dies durch ein willkührlicheö Zeichen, z. E. durch einen drüber gesetzten Punkt, zu bemerken, damit man diesen Umstand bey der folgenden Subtraktion nicht vergesse. Man drückt sich hier gewöhnlich so aus: Der Punkt zeige an, daß man von P der zO Anfangsgründe der Rechenkunst. der Ziffer Eins geborget habe. Das Schema der Rechnung würde nun so auösehen: 547528 792526^950 465 296 98697898 Rest 820Z2 Rest 78245670Z2 V. Bey diesem sogenannten Borgen kann der Fall Vorkommen, daß die Ziffer, wovon man 1 borgen soll, die o ist, mid so last sich davon nichts abnehmen. Folgt nun nach der o eine Ziffer; so verfahrt man damit, wie vorhin: man borgt davon i, und zeigt dies durch einen Punkt an, so hat man 10 statt der o. Von diesen i0 kann man nun wieder r zur folgenden Claffe borgen; so bleiben es 9, wie in folgenden Exempeln. * -IO* * I 0 rö * rö * re* 7804507 680209054 5 9 6 5 8 7 8 5 9 4 9 59269 Rest 1858429 Rest 285269765. Eö ist in der Ausübung nicht nöthig, wie hier geschehen ist, die 10 über der o würklich hiuzusetzen, und durch einen Punkt anzuzeigen, daß etwas wieder davon weggeborget sey. Man darf nur ein für allemahl diese Regel merken: llVenn man über eine o wegborget, <0 ist es so gut, als wenn man die o in 9 verwandelt hätte. IV. Ja diese Regel käst sich selbst auf die Falle erweitern, wenn mehrere Nullen nach einander folgen. Man muß sodann von der Ziffer, die nach der letzten Null folgt, i borgen, hiedurch erhält man 10 an die Stelle dieser 0; von diesen 10 borgt man wiederum i weg in die nächst niedrigere Claffe, so erhalt . man Der II. Abschnitt. z- man in dieser wiederum io, und in jener bleiben 9. . So geht man fort durch alle Classen der nach einan- der folgenden Nullen, wie im nachstehenden Exempel: 7O000080062 OOZ4 ^^8 6 Z 2 7 9 Z 8 4 . 0269 Rest: 501 36820677976;. Es ist in der Ausübung wiederum nicht nöthig, die ! ji tu- Äijskt'n 10, nebst den Punkten über den Nullen hin- Wm 1 Zusehen, welches hier nur mehrerer Deutlichkeit we- ilM ii! gen so gemacht ist. Denn die vorige Regel läst sich nun allgemeiner so auedrückcn. , wenn man über mehrere nach einander ^ folgende Nullen wegborger; so ist es eben jo gur, als ob man jede dieser Nullen in 9 ver- wandelt hätte. ü! !,p, wenn zwo Grossen gleich sind, und man snbrrahirec von ihnen gleiche Grossen: jo werden die Differenzen oder Reste gleich groß. Dieser für sich klare Sah giebt abermahl ein Kenn- zeichen der Gleichheit ab, und man -kann damit zugleich folgende zwe» Kennzeichen der Ungleichheit verbinden. wenn zwey Grössen ungleich sind, und man subtrahier von der grössten eben jo viel, als von der kleinern; jö ist der erste Rest grosser, als der zweyre. wenn aber zwep Grössen gleich sind, und man subtrahier von der einen mehr, als von der andern; so wird der erste Rest kleiner, als der zweyre jeyn. Addirt Z2 Anfaiigsgrunde -er Rechenkunst. Addirr man die abgezogene Zahl zum Rest, so muß die grössere Zahl, wovon man jene subtrahirt har, wieder herauskommen (21H.). Dies dienet zur Prüfung, ob man richtig subtrahirt ha- be,oder vielleicht in der Rechnung ein Fehler eingeschlichen sey. Denn kommt die grössere Zahl nicht wieder heraus, und man hat beym Addiren nicht gefehlt; so ist es gewiß, daß man beym Subtrahiren gefehlt habe. Man kann auch den Rest von der grossem Zahl sub- trahiren, so muß die abgezogene kleinere Zahl herauskommen, weil diese mit dem Rest zusammen genommen der grossem gleich seyn soll. Auf ähnliche Art last sich die Addition prüfen. Hat man nämlich zwey Zahlen zusammen addirk, und man subtrahirt eine derselben von der Summe; so muß die andere zum Rest bleiben. Hat man drey Zahlen zusammen ad- dirt, und man subtrahirt von der Summe die eine derselben; so mnß die Summe der beyden übrigen zum Rest kommen. Es erhellet leicht, daß diese Prüfung sich auf so viele zusammen addirte Zahlen, als man will, erstrecke. Wenn eine der summirten Zahlen vom Rest subtrahirt wird; so muß der Rest so groß seyn, als die Summe aller übrigen summirten Zahlen. 29 §. Wenn A und 8 ein Paar ungleiche Zahlen bezeichnen, und A die grössere, 8 die kleinere Zahl ist; s) hat man allemahl A — 8 st- 8 —A, oder auch Ast- 8 — 8 — Dies ist nichts anders als der Saß des 2 r §. statt der gewöhnlichen Worte in kurze Zeichen eingekleidet. Der Ausdruck selbst ist so allgemein, daß die Buchstaben auch sonst andre Grössen bezeichnen können, wenn sie nur von einerlei) Art sind, -uv ,.r. ! mH l- c.-i All «ei, Der II. Abschnitt. ZZ sind, damit man sie addiren, oder eine von der auch^ dem subtrahiren kann. Weil dergleichen allgemei- ne und kurze Arten des Ausdrucks im folgenden oft mit Vortheil werden gebraucht werden; so ich "V: nöthig, was den Gebruch der AdditionS- und Sub- tractionö-Zeichen betrift, noch folgendes zu bemerken. PÄ,' j Es ist gleichviel, wenn die Summe 8 -h L von ^ subtrahirt werden soll, ob man dies im allgemein D sch nen so auödrückt: ^ — (8 g- L), oder auf die Art ilkjenls ^ — 6 — L. Denn die Summe 6 -j- L ist von A »M snbtrahirt, wenn man beyde Theile 8 und L nach üiirK einander subtrahirt hat. Wenn dagegen die Diffe- M« renz 6 — L von /r subtrahirt werden soll; so hat man LA ^ — (8 — L) — /z —8 -s- 0. Denn es sey /V — (8 - e) v, so ist ^ I) -j. 8 - e, also A -s- M ^ () — O -> 8, und A — 8 -z. L — 8), mithin auch — !,! M ( 8 — L) —^ — 8 -l- L. Der Grund hievon laßt sich KnP auch ganz deutlich so übersehen. Wenn man die Grösse 8 K W von ^ ganz siibti ahirt, so nimmt man zu viel weg, weil nur k weniger L weggenommen werden sollte, deswe- M« gen muß man L wieder hinzusetzen. Diesemnach ist i; ^ — (8 — z) — i; — 8 z — i; — z — io undeben so29-(i9-7)-(29-l2)-29-i9-l-7-i7. I Der III. Abschnitt. ^ sc-- Von der Multiplication mir ganzen Zahlen. §. och /As können alle Zahlen, die man nach dem oz §. ^ zusammen addirt, gleich groß seyn, wie in dem folgenden ExemM. Darinn wird die Zahl z 18 in der ^ ^ . Rarst. Marhcm. I. Th. C Summe 54 Anfangsgründe der Rechenkunst. Z18 Summe 954 dreymahl enthalten, oder, wes zi8 ches einerlei) ist, die Summe 954 dreymal z 18 grösser seyn als die Zahl Z18. i'Ra!'. könnte dies mit andern Worten auch so ausdrücken: wenn die Zahl 954 in drei) gleiche Theile ge- theilk wird; so ist jeder Theil z 18. Nun Heist über. Haupt ein solcher Theil, der in dem Ganzen genau etliche mahl enthalten ist, ein aliquoter Theil deö Gan. zen, oder ein Maaß des Ganzen, (gsrz aliqnow, inenstwki, chbmulrichinn) und das Garze selbst Heist ein vielfaches (muinssum) eines solchen Theils. Die Wörter: ein zweyfachcs, oder doppeltes, dreifaches, vierfaches, n. s. f. 6»glum, rrchllim, ljunilrupluni) drücken es specieller aus, wie vielmahl das Ganze in jedem befendern Fall den aliquoten Theil desselben, d avon die Rede ist, in sich enthalte. Wenn nun eine Grosse gegeben ist, und man soll ein vielfaches derselben suchen; so erhellet, daß überdem eine ganze Zahl müjss gegeben seyn, die es aus- drückt, wie vielmahl jene gegebene Grosse in der gestickten enthalten styn soll. Wenn dir gegebene Grösse eine Zahl wäre; so würde die andre ganze Zahl ausdrücken, wie vielmahl man jene niederschreiben müste, wenn man das verlangte Vielsache derselben vermittelst der Addition suchen wollte: aber dies würde bey grossen Zahlen eure überaus beschwerliche Sache seyn. Deswegen hat man darauf bedacht seyn müssen, die Arbeit zu verkürzen. Die Methode nun, nach welcher man das vielfache herausbringt, worin die gegebene Grösse so vielmahl enthalten ist, als die Einheit in der gegebenen ganzen Zahl, Heist die Nsiukripliccrcion mit dieser ganzen Zahl. Die gegebene Grösse, wovon man ein vielfaches !W . «st ich« >A« 'Kl Der III. Abschnitt. 55 - ^ > faches machen soll, Heist hier das Multiplicandum, s auch wohl der Mulriplicandus; die ganze Zahl aber, welche ausdrückt, wie vielmahl man jene Gr/s- se nehmen soll, der Mulriplicaror. Beyde füh- ,j.l. ! rcn auch den gemeinschaftlichen Nahmen Facroren. Bielsache selbst, so man durch die Multiplica- tien herausbringt, wird das Product genannt. «> ^kll: Für diese Rechnungsart ist ebenfalls ein eigenes Witt! Zeichen festgesetzt, dessen man sich statt des Worts: i, iffl« mulriplrcirr, bedient. Man seht das liegende Kreuz ittiklr ( x ) oder statt dessen nur einen Punkt (.) zwischen beyden Factoren aus folgende 'Art: zx 4 oder z . 4, und das ist so viel als wenn man schriebe: z mit 4 M/H, inulriplicirr. Wenn das Multiplicandum keine AN Zahl, sondern irgend eine andre Grösse ist, oder weis M nigstens durch ein allgemeineres Zeichen, als die ge- wohnlichen Ziffern sind, z. E."durch einen Buchsta- bon auögedruckt wird: so seht man den Multiplicakor stauch wohl voran, ohne sonst ein Zeichen dazwischen ..., zu sehen, z. E. Z Thaler, 5 Pfund. Soll eine Reihe mehrerer Zahlen, die durch die Addition oder Sub- . .. traction mit einander verbunden sind, durch eine gege« bene Zahl multiplicirt werden: so schlieft man das "... Multiplicandum in einer Parenthese ein, auf diese ' sss Art (zch5-l-9)xz, welches eben so viel ist, als 'sss 17 x z. Sind beyde Factoren auf diese Art aus mehrern Theilen zusammen gesoßt; so wird jeder für ' sich in einer Parenthese eingeschlossen, z. E. (Z ck ;) ^ ^ ( 7 ck 4) ist so viel, alö 8 ^ nund (9 - 5) (7 — 2) ^ jo viel als 4 x 5. C- IA§. z6 Anfangsgründe der Rechenkunst. Z2 §. . wenn man gleiche Grössen mit gleichen ganzen Zahlen mulriplicirr; so sind die pro- j ducre gleich groß, weil gleiches zu gleichen addirt j gleiche Summen giebt. wenn man aber ungleiche Grössen mit! gleichen ganzen Zahlen mulriplicirr; so grcdc das größere Mulriplicanduin ein größeres Product, als das kleinere, weil das Grössere zum Grösser» addirt, eine grossere Summe giebt, als das Kleinere zum Kleinern addirt geben kann (2 5 §.). > ZZ §. wenn beyde Faccoren ganze Zahlen sind; so geben sie einerley producr, man mag die erste mit der zweyren, oder die zweyre nur der ersten mulripliciren. ^ Beweis. Man gehe einmahl von der gewöhnlichen Art, die Zahlen durch Ziffern zu bezeichnen ab, und bezeichne sie mit so vielen bey einander hingeseß- ten Strichen, als die Zahl Einheiten enthält, daß also z. E. 5 so geschrieben würde: 11 11 1. Man schreibe das Multiplicandnm auf diese Art ausgedrückt so vielmahl unter sich selbst, als der Multiplikator i enthalt, auf folgende Art: >., 1 . l« r i i i i L c. so ist die Summe aller dieser Striche mit dem Product z-hz-l-z — 5x4 einerley. Man hat nämlich die Reihe von A nach II so vielmahl genommen, als die Reihe von A nach O Eins enthalt. Aber wenn man die Reihe von A nach L so vielmahl nimmt, als - . . in Der Hl. Abschnitt. 57 «it« ^ !hNi jlnsink MAk! !°Mil j»!i K«O i. ^ Ans ' .<' in der Reihe von ^ nach 1 ? die i stehet, so bekömmt man eben dieselbe Menge, die sich nun so ausdrücken last: 44-44-44-44-4 — 4 x Es ist klar, daß es hier gar nicht darauf ankomme, wie viele i in der Reihe von ^ nach 6 stehen, oder wie vielmahl diese Reihe miter sich selbst hingeschrieben sey. Wenn deinnach die Anzahl der i in der Reihe von nach L durcb den Buchstab n, und die Anzahl der i von A nach 0 herunter, durch den Buchstab -» angedeutet wird; so mögen der Einheiten in » und ?» so viel seyn, als da wollen, und eö wird doch immer dieselbe Menge sowohl durch >r x m, als auch durch m x rr ausgedrückt werden können. Also ist überhaupt n x »r — «r X ,r, wenn » und m ganze Zahlen sind. 34 §- Wenn demnach auch mehr als zwey ganze Zahlen in einander zu multipliciren sind; so ist es ebenfalls einerley, in welcher Ordnung man die Multiplikation vornimmt. So ist 2 x 4 x 7 — 4 x 2 x 7 — 4x7x2—7x4x2. Denn da man die Stelle eines jeden Factors mit der Stelle des nachfolgenden oder vorhergehenden verwechseln kann: so kann jeder in die Stelle eines jeden der übrigen kommen. 35 §. wenn man gleiche Grössen mit ungleichen ganzen Zahlen multiplicirt; so gieht der grössere Mulriplicator ein grösseres Product, als der kleinere. Denn wenn von zweven gleichen Grössen die eine mehrmahl zu sich selbst addirt wird, als die andre; so muß ohne Zweifel die erste Summe grösser seyn, als die zweyte. wenn demnach von zrvoen ungleichen Grössen die urössere mir einer grössern ganze» L 3 ' Zahl z3 Anfangsgründe der Rechenkunst. Zahl mulkiplicirr wird, alb die kleinere: so ist noch um so mehr das erste producr grösser, > als das zweyre. : Z6 §. Es sind zwo durch einfache Ziffern ausge, drückte Zahlen gegeben, man soll eine mir der andern mulripliciren. Aust Man schreibe das Multiplicandum so vielmahl unter sich selbst, als der Multiplikator Eins enthalt, und suche die Summe nach dem 2g.§.: so ist diese Summe mit dem Product beyder Zahlen in einander einerley. Es dienet einigermaßen zur Verkürzung der Rechnung, wenn mau die gröste von den beyden Zahlen für das Multiplicandum nimmt, da cs einerley ist, welche von beyden dafür gehalten wird ( zZ §.) Allein dies Verfahren würde doch in der Folge zu weitlauftig seyn; also ist es am besten, ein für allemahl alle mögliche Produkte zu suchen, die heraus kommen können, wenn die Faktoren einfache Ziffern sind, und diese Produkte etwa in eine Tabelle zu bringen, daraus man sie jedes mahl leicht herausnehmen kann. Diese Tabelle ergiebt sich von selbst, wenn man die Ziffern von i bis y nach einander hinschreibt, und darunter ihre ciupla seht, die man erhalt, wenn man jede zu sich selbst addirt. Unter diesen ch-piiz seht man die cripb,, indem man jede Zahl zu ihrem cstiplo addirt, und unter diesen wieder die quachnpla, indem man jede Zahl zu ihrem triplo addirt, u. s. f. bis man auf die noiicnipla^ommt. So entsteht folgende Tabelle, die man der Bequemlichkeit halber in Facher eintheilen kann, sS daß jedes Produet sein eigenes Fach bekommt. Auf die Art wird der eineFactor dieses Products gerade über dem- Der III. Abschnitt. Z9 lüH' k ch' selben in der obersten Reihe, der andre aber linker ^ Hand im 'Anfänge derselben Reihe stehen, in ivclcher die Zahl selbst befindlich ist. M ss Um il >M, K Ä»'ö m, »ii n, r>i MM! miil' Ms I 2 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 I O 12 t 4 16 18 z 6 9 12 i; 18 21 24 27 4 8 12 16 20 24 28 Z 2 Z6 5 I O '5 2O 2Z 2O 55 4 ° 45 6 12 18 24 ZV z6 42 48 54 7 14 21 28 55 42 49 6z 8 l6 24 Z2 4° 48 56 64 72 9 18 27 Z6 45 54 6z 72 8t Wenn man nun z. E. das Produck 8^6 finden soll: so suche man den einen Factor 8 in der obersten Reihe, und den andern Factor 6 unter den ersten Ziffern jeder Reihe linker Hand auf, gehe sodann von der 8 gerade herunter bis aus die sechste Reihe, und von der 6 gegen die Rechte zu fort, bis man in das Fach kommt, wo bcyde Reihen zusammen treffen. Die Zahl 48 , welche in diesem Fache stehet, ist das gesuchte Product. - v) I i- So muß man wenigstens so lange verfahren, bis ) man diese Products durch öftere Hebung im Rechnen . - i von selbst im Gedachtuiß behält, oder sich wenigstens s die Sache so geläufig gemacht hat, daß man dieje s 2 Summe leicht, so wie die Summe des 2 2 §. in Gedan- ken finden kann. Diese Tafel' ist übrigens mit dem ,-5 Eilt mahl Eins einerlei-. Sie Heist auch von dem C 4 Erstn- 4d Anfangsgründe der Rechenkunst. Erfinder der pyrhaIvristhe Rechentisch, (ab-icu; k^liia^oricus. 37 §- Bestehet das Multiplicanduni aus mehrern Thei- len, und man nimmt jeden Theil so vielmahl, als der Mulciplicator Eins enthält; so ist dies eben so- ! viel, als wenn man das ganze Multiplicandum eben t so vielmahl genommen Härte. Demnach muß die Summe jener einzelnen Producte mit dem letztem ganzen Product einerlei) seyn. So erhellet, daß (Z ch 5) ^4 — styn müsse; so wie ( 7 -b 8 -i- 54 -Z-i- 6 )x 9 — 7 x 94 - 8 x 9 -b 5^9 -h Z x 9 4- 6 x 9. Weil es gleichviel ist, wie groß die Theile des Multiplicandi sind, und weil auch der Multiplikator jede ganze Zahl seyn kann; so nehme mau an, daß die Buchstaben ä, 6, E, v, L, die Theile des Multiplicandi bezeichnen, der Buchstab rr aber den Multiplikator. Dies vorausgesetzt wird man verstehen, was ein Ausdruck dieser Art sagen wolle: (^ 4- li 4- XN — A xrrg-ll x » 4- 0 x rr 4- x ,r 4- L x rr. Es ist der eben vorgetragene Satz statt der sonst gewöhnlichen Worte in allgemeine und kurze mathematische Zeichen eingekleidet. 38 . §. Eine. Zahl wird mit 10 multiplicirt, wenn man zur Rechten eine Nulle anhängt. Man multiplicirt diese Zahl mit r oo durch Hinzusetzung zweyer, »nt iQOO durch Hinzusetzung dreyer Nullen, u. s. f. Wenn man nämlich 4260 statt 426 schreibt, so wird dadurch derWerth jeder einzelnen Ziffer der Zahl 426 zehnmahl grösser, (16 §.) mithin die Zahl 426 selbst zchmnahl grösser geinacht. ( 37 §.) Demnach wird der .'«I Vcl l! Z U rri« liK eiW jst, »a K Dev HI. Abschnitt. 4» ' ^ der Werth jeder Zahl, sie mag aus so vielen Ziffern, als man will, bestehen, loomahl, oder looomahl grosser, u. s. f. wenn man zwey Nullen, oder drey Nul- len u. si f. zur Rechten anhängt. " , ^ Diesemnach ist 7000 ^ 4 — 7 i ooo x 4 — 7 x 4 x looo (§. Z4) — 28000, und 70OO x 400 MM — 7 X IOOO X 4 X 1O0 2800000 (Z4 §.) Hier- "p ki a„s folgt die Regel: >ckn, wenn dre Faccoren einfacl>e Ziffern mit an- gebangten Nullen sind: so mulriplicirc man ss N« tzjx> einfachen Ziffern nach dem z6§. und hängt an das producr so viele Nullen, als Heyden Lacroren zusammen beygesügr waren. ^ 39 §. i» Eine zusammengesetzte Ziffer mit einer ein- U fachen zu mulripliciren. ?tuff. Man setze den Multiplicator unter dem U- Multiplicando, wie bei, der 'Addition, und Multiplier^ cire nach einander die Ziffern der verschiedenen Ord- nungen des Multiplieandi mit dem gegebenen Mulch» tiplicator, nach den Regeln des z6 und z8 §. Diese ch« einzelnen Producte setze man gehörig untereinander, «dk so daß die Ziffern von einerlei) Ordnung untereinander kommen. Alle diese einzelnen Producte bringe man zuletzt in eine Summe; so wird diese das ge- 7« suchte Product seyn. (57 §.) 7854 ^ 97423 c 3 L 5 1» 12 15 i;c> IOO 2400 2O20 /j.v 21000 ZZOOO -^k 2;;62 ^*8 4ZOOVO 487115 c^v. >r C 5 Man 42 Anfangsgrunde der Rechenkunst. Man wird leicht von selbst darauf verfallen, wenn man die beygefügten Exempel ansieht, daß sich hier eben die Verkürzung wie bey der Addition anbringcn laste. (34 §.) Statt jedeömahl das einzelne Product ganz nieder zu schreiben, ist mir nöthig, die niedrigste Ziffer in ihrer gehörigen Stelle hinzusehen; denn die nächsthöhere kann man in inenw behalten, und sogleich zum nächstfolgenden Product hinzurechnen: so ergiebt sich die Summe der einzelnen Produkte sogleich von selbst. Auf die Art ist das nachstehende Exempel berechnet. 9084269552785 A. _ 72674154822264 A x 8. - B Ui V 40. §. Wenn an dem einen, oder auch an beydenFactore» Nullen hängen: so ist es nicht nöthig, diese bey der Multiplication selbst in Betrachtung zu ziehen. Nachdem man aber die Ziffern gehörig in einander rnultiplicirt hat, seht man zu dem Product so viele Nullen als beyde Factoren zusammen genommen enthalten. Denn so ist z. E. 5450000 x 7000 — 545 x 7 x 12022 x 1020.(58 §.) Also wird die Rechnung so geführt: ^ >Ä. 5452202 7000 24150000200. 41 §. Zwey Zahlen Ln einander zu multipliciren, wenn gleich bcvde durch zusammengesetzte Ziffern ausgcdrückc sind. Aust. Der Ul. Abschnitt- km Wd 4Z ülö» b-- ich- sal« M. ktL Md Auf!. Man schreibe den Multiplikator unter dem Multiplicando, wie bey der Addition. Hierauf multiplicne man das ganze Multiple, candum zuerst init der niedrigsten Ziffer des Multiplikators, und schreibe das Product gehörig unter, (zy §.) Eben diese Mulriplication wiederhole nian mit der nachsthrhcm Ziffer des Multiplikators, (4 o §.) und fahre so fort, bis die Mulriplication mit allen Ziffern des MultiplicatorS geschehen ist, und die einzelnen Products gehörig unter einander gesetzt sind. Alle diese einzelne Producte bringe man in eine Summe, so hat man das ganze gesuchte Product (z7 §.): und man stehet leicht, wie diese Regeln in den nachstehenden Exempeln angewandt sind. Die den einzelnen Producteu im ersten E.rempel nachdem 40 H. bergcfügten Nullen last man der Kürze halber in der Ausübung weg, wie im zweyten Exempel geschehen ist, weil sie die Summen nicht ändern, wenn jedes folgende Produck nur gehörig eine Claffe weiter gegen die linke Hand eingerückt wird. Auch ist noch anzumcrken, daß hier die Regel des 40 §. ebenfalls gelte, dafern dem eineil, oder bey- den Factoren, Nullen beygefügt sind. 26594 789645254 9562 ?Zv7Z 52788 1585642 7918200 257546000 247100628 2568929762 5527502778 2568929762 5948216270 41908756419542 Im zweyten Exempel steht statt der Ziffer der zweyten Decimal - Ordnung im Multiplikator ein 0. Es 44 Anfangsgrunde der Rechenkunst. Es ist klar, daß statt des Products, so eine Ziffer dieser Ordnung in das Multiplicandum multiplicirt geben würde, hier lauter Nullen hingeschrieben werden müsten. Weil diese nun die Summe nicht ändern; so braucht man sie nicht hinzusehen: man rückt statt dessen nur das Product in die nächstfolgende Ziffer des Multiplicators um eine Classe weiter gegen die linke Hand, weil diese Ziffer nun um zwey Ordnungen höher ist, als die vorige war. Folgten mehrere Nullen im Multiplicator nach einander; so kann man sie aus eben dieser Ursache allemahl übergehen, nur muß als- denn das Product, welches die nach den Nullen folgende Ziffer giebt, um so viele Classen gegen die linke Hand gerückt werden, als Nullen nach einander folgen. Daß man gerade mit der niedrigsten Ziffer im Multiplicator die Multiplication aufange, und nach und nach zu den nächsthöher« sortgehe, ist eben nicht nothwendig: genug wenn man nur das ganze Multiplicandum mit allen Theilen des Multiplicators mul- tiplicirt, und hiernächst alle einzelne Products richtig summirt. Man kann in umgekehrter Ordnung mit der höchsten Ziffer des Multiplicators anfangen, und nach und nach zu den nächstniedrigen fortgehen, wie im folgenden Erempel. 26ZY4 9362 237546 79^82 158364 52788 Dey Pi? B «k jke s>ö tski 247100628 k«lch Ärd Ms« Aa sie« chk ksil iiü^ Der IV. Abschnitt. 45 Bey diesem Verfahren muß die niedrigste Ziffer des nächstfolgenden partialen Products um eine Classe weiter gegen die Rechte gerückt werden, und die Vergleichung dieser Form des Ansatzes mit der vorigen, nach welcher schon eben das Exempel gerechnet ist, leitet von selbst auf folgende allgemeine Regel: Man setze die niedrigste Ziffer eines jeden partialen Products gerade unter der Ziffer des Multiplikators, womit man dasmah! multiplicirt; so giebt sich alles übrige von selbst. M» Der IV. Von der Division mit ganzen Zahlen, und mij dem Ursprung der Brüche. W 42 §. HV^an kann das bisherige Verfahren auch umkeh- ren. Es laßen sich wenigstens manche Zah- ^ len in mehr oder weniger gleiche Theile eintheilen, so daß jeder Theil wieder eine ganze Zahl ist. Wenn nun bestimmt wird, in wie viele gleiche Theile eine Zahl zu theilen ist: so kann man fragen, wie groß jeder dieser aliquoten Theile werden müsse. So last sich die Zahl 12 in 2 oder z, oder 4 gleiche Theile theilen, und im ersten Fall erhalt man 6, im zwey- ten 4, im dritten z, sur die Grosse eines jeden aliquoten Theils, von 12. Die Wörter: Hälfte, Drittel, Viertel, u. s. f. (subänplum, lubtriplnm, lubqugchuplum, etc.) bezeichnen dergleichen aliquotq Theile des Ganzen, und drücken es zugleich specieller k aus. „46 Anfangsgründe der Rechenkunst. aus, wie vielmahl ein solcher Theil in dem Ganzen enthaltene sey. Man kann jede andre Grösse ebenfalls in eine gewisse Menge gleicher Theile eintheilen; nur muß alsderm eine ganze Zahl gegeben seyn, die cs ausdrückr, in wie viele gleiche Theile die Grös-- je eingechellr werden soll. Das Verfahren, vermittelst dessen inan denjenigen Theil findet, welcher in der gegebenen Grösse so vielmahl enthalten ist, als die gleichfalls gegebene ganze Zahl, ausdruckt, heißt die Division der gegebenen Grösse durch die ganze Zahl. Die Größe, welche man eintheilen soll, heißt das Dividendum, auch der Dwidendus; die Zahl, welche auödrückt, in wie viele gleiche Theile das Dividendum gethrilet werden soll, wird der Divisor, und der aliquote Theil des Dividend!, welchen man eigentlich sucht, und welcher iin Dividend» so vielmahl enthalten seyn muß, als Eins im Divisor enthalten ist, wird derDnorienr genannt. Diese Division wird durch zwey übereinander stehende Punkte (:) bezeichnet, die man zwischen dem Divi- dendo und Divisor seht. Auf solche Art wird der Ausdruck 8:2 — 4 bedeuten, daß 8 dividirt durch 2 den Ouotienten 4 gebe. Wenn eine ganze Reihe mehrerer Zahlen, die durch die Addition oder Sub- traetion mit einander verbunden sind, durch eine gegebene Zahl zu dividiren ist; so schliest man das Dividendum in einer Parenthese ein, auf folgende Art: (?-l- z-l-6) : 4, welcher Auödmck eben so viel bedeutet, als 16: 4. Wenn der Divisor ein Ausdruck von eben der Art ist; so wird er ebenfalls in einer Parenthese eingeschlossen, Z. E. (6 -j- 4 -j- 8) : (2-H4), ist so viel als 18 : 6, 44 §- 47 k M L>r- lid: K >-H Der IV. Abschnitt. 4Z §. Die Multiplication und Division sind wie dis Addition und Subtraction einander so entgegen gesetzte Rechnungsarten, daß eine die andre aufhebt. Es ist offenbar, daßzx 2 : 2 — z, oder 6:2x2 — 6 sey. Die Halste des doppelten Ganzen ist das Ganze selbst, und das halbe Ganze doppelt genommen ist wiederum das Ganze selbst. Ein Drittel des dreyfachen Ganzen ist das Ganze, und das drey- sache von einem Drittel des Ganzen, ist wiederum das Ganze selbst, bleberhaupk wenn man eine Grösse so oft man will, zu sich selbst addirt, und die Summe wieder in eben so viele gleiche Theile theilt, als man Stücke zusammen addirt hatte: so werden diese Theile die summirten Zahlen selbst seyn. Und wenn eine Grosse in so viele gleiche Theile, als man will, getheilt ist, und man addirt einen Theil davon so vielmahl zu sich selbst, als man Theile hat: so muß die eingetheilte Grösse selbst wieder herauükommen. Dies giebt die allgemeine Regel. wenn man eine Grosse mit einer ganzen Zahl mulriplicirr, und das Product mir eben der Zahl wieder dividirr; so erhalt man das Umlciplicandum wieder. Und wenn man eine Grosse mir einer ganzen Zahl dividirr, den (Quotienten aber mit dem Divisor wieder mulriplicirr; so erhält man das Dwidcnduin wieder. 44 §. wenn man gleiche Grössen durch gleiche ganze Zahlen dividirr; so sind die (Quorum, ren gleich. wenn 48 Anfangsgründe der Rechenkunst. wenn dagegen von zwoen Grössen die eine grösser als die andre ist, und man dividier beyde mir gleichen ganzen Zahlen; so gicbr das grössere Dividendum den grösser», das kleinere Dividendum aber den kleinern (Quotienten. Ein Dividendum, das zwey- drey-- viermahk, und überhaupt » mahl grösser ist, muß auch einen Quotienten geben, der zwey - drey - viermahl, oder überhaupt » mahl grösser ist, wenn inan allemahl denselben Divisor behält. 45 - §. In je mehr gleiche Theile man eine Grösse theilt, desto kleiner werden die Theile, und eö ist leicht begreiflich, daß die Theile zrveymahl, dreymahl, und überhaupt »mahl kleiner werden, wenn man das Ganze in zweymahl, dreymahl, und überhaupt in » mahl mehr Theile theilt. wenn also zwey Grössen gleich sind, und man dividirr die eine mit einer grössten, die andre mit einer kleinern ganzen Zahl; so gicbt der grössere Divisor den kleinern, der kleinere Drvissr aber den grösser» (Quotienten. , 46 H. Bestehet das Dividendum aus mehrern Theilen, die durch die Addition verbunden sind; so ist der (Quotient die Summe aller einzelnen (Quotienten, die man erhalt, wenn man jedes Stück des Dividend: mit der gegebenen ganzen Zahl dividirr. . Beweis. Wenn man annimmt, daß-V, k, L, u. s. f. die Theile des Dividendi find,» aber der Divisor ist; so will der vorgetrageneSaß soviel sagen, eö müsse, «D -Di >M jriis Kk, xB !-'ö O ßb' lZ hch wel der Ä>» ßm, mP kz ^ Der IV. Abschnitt. 49 ^ (^-j-8-s-L-l-etc.) : 7r — A : n 4-ll : nst-Crir-i-cw. gestinden werden. Wenn man aber von jedem Theil . des Dividendi die Hälfte, oder den drittel;, den , vierten Theil u. s. f. nimmt; so ist dies offenbar eben so viel, als wenn man vom ganzen Dividendo die Hälfte, oder den dritten, den vierten Theil u. s. f. DL gmommen hatte. Zst 48 — z 2 4 16, so muß 48 : , km« z — Z2 : 8 st- 16 : 8 gefunden werden, welches man ^ > welche auödrückt, wie vielmahl dies geschehen könne. Diese Zahl würde der Quotient seyn. Aber, dessen zu geschweigen, daß dies in den meisten Fallen ein ' viel zu mühsames Verfahren seyn würde: st seht es überdem voraus, daß der Divisor kleiner als das, Lkrst.Mach-m.I.TH. D Divi-' 52 Anfangsgründe der Rechenkunst. Dividendum, und zugleich ein aliquoter- Theil dessel. ben sey. Dagegen kommen sehr- viele Fälle vor, wo weder das eine, noch das andre statt hak, und dies» müssen jetzt genauer erörtert werden. 48 §. Es sey also zuerst die Einheit selbst das Dividendum, und der Divisor eine ganze Zahl, z. E. z; so muß der Quotient der dritte Theil der Einheit seyn. Demnach kann der Quotient keine Zahl seyn, die aus der vorigen ganzen Einheit zusammen gesetzt ist. Es sey ferner die Zahl 2 das Dividendum, und der Divisor bleibe z; so muß der Quotient der dritte Theil der Zahl 2 seyn, und diesen dritten Theil erhält man so: Eö ist die Zahl 2 — i Z- i. Wenn man nun von jeder Einheit den dritten Theil nimmt; so werden beyde Drittheile zusammen genommen den drillen Theil des Ganzen auömachen (46 §.). Also , betragt in diesem Falle der Quotient 2 Drittheile des ^ Ganzen, und es ist wiederum offenbar, daß dieser ^ Quotient aus der vorigen Einheit ganz genommen ! sich nicht zusammen setzen lasse. Daher kann in solchen Fällen der Quotient keine ganze Zahl seyn. Aber dieser Quotient läst sich auf ähnliche Art aus einem aliquoten Theil der Einheit zusammen setzen, wie man sonst ganze Zahlen aus der ganzen Einheit zusammen setzt. Wollte man demnach diesen aliquoten Theil für sich als ein Ganzes betrachten; so könnte er als eine neue, von der vorigen unterschiedene, Einheit angesehen werden: und insoferne wäre auch der Quotient als eine ganze Zahl anzusehen, nur daß hier die zusammengezählten Einheiten von den vori- gen unterschieden seyn würden. Sieht man aber die jusaiw KP Z°i< So ck Ni zusammengezählten Stücke als Theile des vorigen Ganzen an; so wird der Quotient eine Menge glei- ' ^ chcr Theile dieses Ganzen ausdrücken, und in dieser Absicht ein Bruch seyn. (4 §.) 49 §. Man könnte also in Fällen von dieser Art so ver- ^ fahre,,: Es müste durch ein besonderes Wort, z. E. i-E.; Hälfte, Drittel, Viertel, u. s. f. der aliquote Theil der Einheit angedeutet werden, welcher in dem Bruch Hi W etliche mahl enthalten ist: und so könnte man durch " M eine vorangesehte Ziffer anzeigen, wie vielmahl der- « selbe in dem Bruch enthalten sey. Aber man hat es kkr bequemer gefunden, statt dieser Wörter folgendes Zeichen zu gebrauchen. Man ziehet unter der i einen Mi« Strich, und seht unter demselben die Ziffer, welche M,'' andeutet, in wie viele gleiche Theile die Einheit ein- 11 zutheilen sey, um diesen aliquoten Theil zu erhalten, H Auf die Art bedeuten die Ausdrücke 4, u.°s, f. Ärd eben so viel, als die Wörter Halste, Drittel, Vier- y Ä rel, u.s. f. Nun läst sich jeder Bruch, den man aus M einem solchen aliquoten Theil der Einheit zusammen Mk> seht, so ausdrücken: Man schreibt statt der i über A.! dem Sttich die Ziffer, welche ausdrückt, wie vieles mahl dieser aliquote Theil des Ganzen zusammen , zu §1« zählen sey, unter dem Strich aber die Zahl, welche Hj,» anzeigt, was es für Stücke des Ganzen sind, die den Bruch ausmachen. So bedeuten die Ausdrücke: ^ H, -4, eben so viel als 2 Drittel, z Viertel. 50 §' A Von dieser Art die Brüche zu bezeichnen hat man ^ mehr als einen Vortheil. Einmal sind die Ausdrücke H kürzer, als wenn man die vorhin angezeigten Wör- ter gebrauchen wollte. Fürs zweyte behalten die ^ D 2 Brüche 52 Anfangsgründe der Rechenkunst. Brüche die Natur ungenannter Zahlen, und jeder Bruch last sich mit einer ganzen Zahl vergleichen, wenn man voraus seht, daß die Einheit, deren Theile der Bruch zusammenzählt, einerlei) sey mit der Einheit, woraus die ganze Zahl zusammen gesetzt ist. Uebrigens erhellet, daß sich jeder Bruch durch zwo ganze Zahlen ausdrücken lasse. Die eine davon zeigt an, in wie viele gleiche Theile die Einheit ein- getheilt sey, und sie heißt der Kenner des Bruchs: die andre drückt aus, wie vielmahl derjenige aliquote Theil der Einheit, welcher durch diese Theilung her-^ auskommt, in dem Bruch enthalten sey, und man nennt sie den Zähler des Bruchs. Es ist nicht noth- wcndig, daß der Zähler des Bruchs kleiner als sein Nenner sey. Man nennt inzwischen diejenigen eigentliche, ächte oder wahre Brüche, deren Zahler kleiner als der Nenner ist, die übrigen werden uneigentliche oder unächre Brüche genannt. Zi §- Jeder Ouonent zwoer ganzen Zahlen ineinander ist mir einem Bruch einerley, dessen Zähler das Dividendum und dessen Nenner der Divisor ist. Beweis. Wenn das Dividendum kleiner, als der Divisor ist: so erhellet die Richtigkeit des Satzes schon aus dem 48 §. Die dortigen Schlüsse lassen sich aber leicht allgemeiner machen. Das Dividen- dummag sogroß seyn, als es wolle, so kann man es allemahl in die einzelnen Einheiten zergliedern, daraus eö bestehet. Wenn man nun jede Einheit mit dem Divisor thcilk; so werden alle diese Quotienten nicht nur gleich (44 §.), sondern eö werden auch lauter Der IV. Abschnitt. 53 R-, ter aliquote Theile der Einheit. Die Summe aller ^ dieser Quotienten ist der Quotient seldst, den das is ^ Dividendum in den Divisor getheilt geben muß. >^, (46 H.) Aber eben diese Summe aller Quotienten ist ein Bruch, dessen Nenner ausdrückt, in wie viele aliquote Theile die Einheit getheilt worden; und dies war der Divisor: der Zahler aber, wieviele solcher aliquoten Theile die Summe ausmachen, und eben Äs ^ viele Einheiten enthielte das Dividendum. Man soll z. E. 5 durch z dividiren: so ist z : z. ^ i : z Umgekehrt: Jeder Bruch ist mit einem Cruocienten eincrlcy, der gefunden wird, wenn ^ man den Zahler durch den Kenner dividirr. ^ Beweis. Der Nenner des Bruchs drückt aus, eö soll die Einheit in so viele gleiche Theile getheilt werden, als derselbe Eins enthalt. So vielmahl ^ nun der Zähler Eins enthält, so viele der vorhin ge- ^ nannten Theile machen den Bruch aus. Eben dies ^ erhält man, wenn man jede Einheit des Zählers mit dem Nenner dividirt (48 H>), und alle Quotienten . zusammen nimmt, deren so viele sind, als Einheiten ^ im Zähler. Aber diese Summe ist einerley mit dem ^ Quotienten, den die Division des ganzen Zählers mit dem Nenner, gicbt. (46 §.) Also ist der Bruch !>' selbst mit diesem Quotienten einerlei). Z. E. der Bruch ^ drückt aus, man soll den dritten Theil der Einheit 5 mahl nehmen. Aber der dritte Theil der „zh M Z 1- t ^ -f- (;z H.) 2llso wird 5 Einheit ist — — 7— i:z. Also ist-x— Dz 53 §- 54 Anfangsgründe der Rechenkunst. 5Z §. Hieraus folgt eine sehr bequeme Art, die Division zu bezeichnen, der man sich sonst häufig statt der beyden Punkte (:) bedient. Man schreibe nämlich ! jeden Quotienten wie einen Bruch, dessen Zähler das Dividendum, und dessen Nenner der Divisor ist. Ileberhaüpt wird man in der Folge Brüche statt Quo- tienten, und Quotienten statt Brüche sehen können, so lange Dividendum und Divisor, oder Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, und dieses voraus gesetzt, wird man sich leicht von der Richtigkeit folgender Sätze überzeugen. Jeder uneigemliche Bruch ist entweder selbst eme^anzc Zahl, wenn nämlich derNcn- ner dem Zahler gleich, oder ein aliquoter Theil desselben ist, oder er enthält eine ganze Zahl mir einem eigentlichen Bruch. Zn dem letzten Fall drückt der Quotient, den die Division des Zählers durch den Nenner giebt, aus, wie vielmahl der ganze Divisor, und überdem ein aliquoter Theil desselben, im Dividende» enthalten sey. 54 Eine ganze Zahl bestehet höchstens aus zwocn Ziffern, und der Divisor ist eine einfache Ziffer, man soll den (Quotienten finden. Aust. l. Fall. Wenn das Dividendum unter den Producten im Ein mahl Eins vorkommt, und der Divisor einer von den beyden Faetoren ist, welche durch die Multiplikation dies Dividendum Hervorbringen : so ist der Quotient allemahl der andre Factor. Deswegen suche man das Dividendum in der Tabelle des z6 §. in einem solchen Fache auf, wo einer von den beyden Factoren, die dies Product durch die irr D «s Kc ch! kn Pr» Kr- «»> i>r, ch« Lin Ar, «A ^il Der IV. Abschnitt. 55 s'e, , k» ilüllll -'HÄ Wd- rrlle tlk '.A /M Ä chll» .4» ü> die Multiplication hervorbringen, mit dem gegebenen Divisor einerlei) ist; so wird-der andere Factor der gesuchte Quotient seyn (4z §.) Auf solche 'Art wird 8 : 4 den Quotienten 2, und 56:7 den Quotienten 8 geben. Man ist wenigstens so lange genöthigt, diese Ta- belle zu gebrauchen, bis man das Einmahl Eins sich geläufig gemacht hat. Ist dies geschehen; so darf man nur die Products des Divisors in die einfachen Ziffern in Gedanken durchlaufen; so wird man bald auf das gegebene Dividendum kommen, und dann ist der Quotient diejenige Zahl: die durch die Multiplikation in den Divisor das Dividendum hervorbringt. II. Fall. Kommt das Dividendum unter den Producten im Einmahl Eins nicht vor, oder, wenn dies gleich wäre, giebt es keinen unter den benden Factoren desselben, der mit dem Divisor einerlei) wäre; so vergleiche man den Divisor mit der höchsten Ziffer des Dividendi: und in dein Fall, wenn der Divisor grösser als diese höchste Ziffer des Dividendi ist; so nehme man das nächst kleinere Product, welches obige Eigenschaften hat, und dividire es nach der vorigen Regel, addire aber zum Quotienten einen Bruch, dessen Zähler der Ueberschuß des gegebenen Dividendi über das dividirte Product, und dessen Nenner der Divisor ist. (46. 48 H.) Soll man also z. E. 79 durch 8 dividiren; so wird die Rechnung am bequemsten so geführt: Man schreibt das Dividendum 79 nieder, und unter demselben den Divisor 8; ziehet aber keinen Strich unter diesen Zahlen, wie bey den übrigen Rechnungsarten; sondern zur Seiten, damit man den Quotienten auf der andern D 4 Seite 79 8 72 95 56 Anfangsgründe der Rechenkunst. 9Z Seite des Strichs sehen könne, welches hier bequemer ist. Nun findet sich, daß 9 mahl 8 Zwar nur 72, aber io mahl 8 schon 80 giebt, deswegen ist 9 ein Theil des Quotienten. Diesen setzt man an der obgedachten Stelle hin, und mulciplicirt den Divisor 8 in den Quotienten y. Das Product 72 schreibt man unter den gegebenen Zahlen gehörig unter, und subtrahier es vom Dividende, so bleibt 7 zum Rest, also kommt zum Quotienten der Bruch zu, daß man demnach den Quotienten eigentlich so schreiben müste: 9 -i- Aber man ist gewohnt, hier das Zeichen -s- wegzulasten, und den Bruch unmittelbar anzuhängen. 89 9 81 8 ?o 7 49 7^ )in- Auf eben die Art findet man, daß 89 durch 9 dividirt, den Quotienten 9^ und durch 7 divi- dirt den Quotienten 7 s giebt. In dem Fall, wenn kein Rest bleibt, pflegte man sich so auszudrücken: Der Divisor gehe im Dividend«, auf. Hl. Fall. Wenn der Divisor kleiner als die höchste Ziffer im Dividende, und die niedrigste Ziffer des letztem die 0 ist; so suche man, wie vielmahl der Divisor in dieser höchsten Ziffer des Dividendi enthalten ist; setze zu der so gefundenen Zahl rechter Hand eine Null hinzu, und nehme diese Zahl für den Quotienten an? Wofern der Divisor in der höchsten Ziffer des Dividendi aufgeht, so ist die gefundene Zahl schon der Quotient, weil sie nach der Regel des z8 §. mit dem Divisor multiplicirt das Dividendum giebt. z. E. zs iili r' u r) 1 d« >ka> A nt, § 5 60 Der IV. Abschnitt. 57 60 20 80 40 yo , 3) 2) 3 ) 60 8o yob 7 L i tch 3 » o 0 O Geht die Division nicht auf, so muß auch der Rest noch mit eben dem Divisor dividirt, und was herauS- kommt, zum vorigen Quotienten addirt werden, wie in folgenden Exempel»: 80 20 Das Verfahren gründet sich, wie man leicht stehet, aufden im 46 §. bewiesenen Satz. 70 2) zv 5 r) 5 Quot. 26^ O.uot. 6o 20 IQ 2Q 2 ) Z) IQ 18 rii§ Mir U-v >> 4H IV. Fall. Wenn zwar der Divisor kleiner, als die höchste Ziffer des Dividendi, des letztem niedrigste Ziffer aber nicht die 0 ist, so sucht man den ersten Theil des Quotienten wie im vorigen Fall, nicht anders , als wenn des Dividendi niedrigste Ziffer die o wäre, zieht aber das Product des Quotienten in den Divisor nun vom ganzen Dividende ab, und verfahrt 2Q 4 ^ 24-4 Qt- 65 20 75 10 yy 3 ) 4 ) 4 ) 6o 21^ Quot. - 4 o 184 Quot. 80 ^ 5 35 3 4 4 3 -Z2 16 3 3 D Wenn K8 Anfangsgründe der Rechenkunst. Wenn man richtig verfährt, so muß nothwendig die höchste Ziffer deö ersten Restes kleiner als der Divisor, mithin der zweyte Theil des Quotienten kleiner als i o seyn. Allemahl also ist der erste Theil des Quotienten eine Ziffer, die zu den Zehnern gehört, so wie der zweyte Theil eine Ziffer ist, die Einer bezeichnet. 55 §. Wenn die gegebenen Zahlen noch Ziffern von eben der Art sind, wie im vorigen §., dem Dividendo aber Nullen beygefügt sind; so findet man den Quotienten aus folgende Art: Ohne die Nullen anfangs in Betrachtung zu ziehen, dividirt man die Ziffern in einander, wie im vorigen §. Dafern nun der Divisor im Dividendo ausgeht, also der gefundene Quotient eine ganze Zahl, ohne angehangten Bruch, ist; so hangt man an demselben so viele Nullen, als dem Dividendo beygefügt waren. Auf diese Art rechnet man leicht folgende Exempel. 24000s 560200 6) j4ooo 7 Lgooos 560000 pH » L -4 80000 sch k,!I « Wenn dagegen der Divisor im Dividendo nicht aufgeht; so kann man ebenfalls, ohne Rücksicht auf die Nullen, den Theil des Quotienten, welcher eilte ganze Zahl wird, nach der II. III. oder Vlcen Regel des 5 4 §. suchen. Diesem fügt man so viele Nullen bey, als am Dividendo hangen. Hierauf multipli- cirt man denselben in den Divisor, und subtrahirt das Product vom Dividendo, da denn der Rest noch ebenfalls mit eben demselben Divisore dividirt werden muß. 59 Mt«, siü« ssLix !M Mtl LM W, ,-L n«ö> Der IV. Abschnitt. r?s 6 34s zo 6 zc> 4s 4 Z muß. Es soll z. E. 2 70 durch 6 dlvi- Ljrt werden: so giebt in der beygefügten Berechnung die erste Division 40, und last zum Rest zo, also müfte zum Quo. tienten 40 noch der Bruch hinzukom. men. Dividirt man aber zo nochmahl durch 6 ; so erhält man 5 zum Quotienten, und es gehet alles auf. Addirt ^ man nun beyde gefundene Theile; so wird der ganze Quotient 45. Man kann sich leicht davon überzeugen, daß auf diese Art der Quotient allemahl richtig gefunden werde, weil nemlich 27c»— 24s — zo her, auskommt: so ist 270 — 2424-zy und 370 : 6 -- 242 : 6-j-zo : 6^:424-5—45. Noch ein hieher gehöriges Exempel wäre, wenn 690002 mit 7 dividirt werden sollte. Obgleich in diesem Fall mehrmahl nach einander ein Rest bleibt, so hindert das doch nicht, daß man nicht eben so fort dividiren, und alle Theile des Quotienten nach ein» ander finden könnte, bis zuleht ein Rest bleibt, der kleiner als der Divisor ist, wie die nachstehende Rechnung ausweiset. 690222 7 6;O222 60200 92202 8222 Z22 70 6o Anfangsgrunde der Rechenkunst. 56 §. wenn das Dividcndmn und der Divisor vor der Division mir einer und eben derselben ganzen Zahl mulriplicirc oder addirr werden; so findet man eben denselben Duorienren, der gefunden wäre, wenn man das ungeänderce Dividendum nur dem ungeänderren Divisor gerheilc harre. Beweis. Soll man 16 mit 4 dividiren, so ist der Quotient 4, oder es ist — 4. Macht man das Dividendum nochmahl so groß, so wird der Quotient nochmahl so groß, und inan findet — 8: ( 44 §.) wird überdcm derDivisor nochmahl so groß gemacht, und nun statt 4 mit 8 dividirt; so bleibt der Quotient nur halb so groß, (4z §.) und man erhält wieder — 4 (4z §.) Halbirt man dagegen das Dividendum 16, so wird nur ein halb so grosser Quotient Z — 2 gefunden; (44 H.) und wenn ferner auch der Divisor 4 halbirt wird, so muß der Quotient wieder nochmahl so groß, (45 §.) also 4 — 4 werden. (4z §.) So kann man sich in besonder» Fallen von der Richtigkeit dieses Satzes überzeugen: allgemeiner laßt sich die Sache so übersehen. Es sey v das Dividendum, ^ der Divisor, l^der Quotient, so ist — — tz., und v — -l x tz. (4 z §,) Man nehme statt dessen » v für das Dividendum, so wie ir al für den Divisor an, und setze es werde » O —K gefunden; so ist,r v — « ck. K, (4z §.) also auch O — ol.K. (44^.) Dieser Werth von v muß Der IV. Abschnitt. 61 dajtz, kiüikl: , >« >!> Ü!« «ü» '-L lskfl -M che- ^>ü '.s muß dem vorigen gleich seyn, ( n §.^ also ist rk x ^x und dasgiebt^.^(^, oder—— — Ware von der Division die Zahl l) sowohl, als auch l/, mit» dividirt worden; so sehe man, es sey V:« — V, al: » — L gefunden: so istO — n . ^ und ck — n.2, also - — —folglich auch-. -x « ».2 — — vermöge des zuerst bewiesenen SaheS. Dem- < ^ O:rr v nach rst auch --— — —. a: n a 57 §- Eine Zahl mit angehängten Nullen wird durch io dividirt, wenn man eine Null weglöscht, durch i oO, wenn man 2 Nullen weglöscht: man dividirt sie mit ioOv durch Hinwegstreichung dreyer Nullen, u. s. f. denn dadurch wird der Werth aller Ziffern, welche die Zahl ausdrücken, zehnmahl, roomahl, lOOomahl u. s. f. kleiner, (15. 16 §.) mithin die Zahl selbst eben so vielmahl kleiner gemacht. (46 §.) Wenn demnach der Divisor eine einfache Ziffer mit beygefügten Nullen ist, und das Dividendum bestehet aus nicht mehr als zwoen Ziffern, welchen eben so viele, oder noch mehr Nullen beygefügt sind, als der Divisor enthält: so kann man aus beyden gegebenen Zahlen so viele Nullen wegwerfen, als im 'Divisor vorhanden sind, hiernachst aber nach den Regeln des 54 oder 5 z §. die Division anstellen. Ein Exempel davon wäre, wenn zyoooo durch 8000 dividirt werden sollte. Man lasse hier gleich anfangs drey 62 Anfangsgründe der Rechenkunst. drey Nullen aus beyden Zahlen weg; so bleiben y z c, durch 8 Zu dividiren. Nun giebt in der 59 beygefügten Berechnung die erste Divi- 8 sion 70, und last zum Rest z0. Divi- 56 Litt man diesen Rest nochmahl mit 8; so 7 ^ erhält man zum Quotienten z, und es ^ bleibt zum Rest 6. Deswegen kommt „ . zum letzten Theil des Quotienten noch — der Bruch H hinzu. Weil man nun ^ leicht wahrnimmt, daß Zähler und Nenner dieses Bruchs sich durch 2 dividiren lassen; so dividirt man würklich damit, und nimmt den Bruch s statt (Z2. z6§.) 58 §. Auö den beyden hier angeführten Stellen er hellet nemlich so viel, daß cm und eben derselbe Bruch sich auf unzählich viele andere verschiedene Ärren ausdrücken lasse, wenn man seinen Fahler und Kenner nur einerley ganzen Zahl mutnplicirt, oder dividirr. Aber durch die Division erhält man nicht allemahl ganze Zahlen zu Quotienten, so daß man dadurch auf Brüche kommen kann, deren Zähler und Nenner selbst wieder Brüche, oder ganze Zahlen mit angehängten Brüchen sind. Brüche von dieser Art heissen irreguläre, oder auch wohl gebrochene Brüche, so wie diese, nigen,. deren Zahler und Nenner ganze Zahlen sind, reguläre Brüche heissen. Wenn es angeht, vermeidet man gerne die gebrochenen Brüche. Allemahl aber, wenn manbey der Division auf Brüche kommt, deren Zähler und Nenner sich durch eine und ' «b«n Der lV. Abschnitt. 6z eben dieselbe ganze Zahl ohne Rest dividiren lassen; so nimmt man diese Division würklich vor, wenig« ^ stens, wenn sich leicht eine ganze Zahl, die in Key« ^ den aufgehet, finden läßt. Auf solche Art erhält man kleinere ganze Zahlen, die eben den Bruch auä- § drücken, und dies ist in der Ausübung am bequem- sten. Es wird unken eine Regel Vorkommen, nach "7 welcher man eine solche Zahl allemahl suchen kann, dafern es mit einer ganzen Zahl angehek. kr ditse Ä« 59 §. El Das Dividendum ist aus so vielen einfachen Ziffern, als man will, zusammengesetzt, und der Divisor eine einfache Ziffer, inan soll den (Ouorienrcn finden. Aust. I. Man vertheile in Gedanken das Divi« MÄ dendum in diejenigen Theile, welche die zu verschleim denen Decimal-Ordnungen gehörigen Ziffern dessel- sim ben ausdrücken. Ist der Divisor grösser, als die erste Ziffer des Dividende, so rechne man zum höch-> W sten Theil des letztem zwey Ziffern, im Gegentheil aber nur eine. H. Nun verfahre man mit den verschiedenen -7" Stücken des Dividendi nach einander eben so, wie mit den zweenen Theilen des Dividendi nach der IVten Regel des 54 §. und nachher im 5 ; ist ver» fahren worden, und zwar so, wie auch am angcführ- ^ ten Ort geschehen ist, daß man mit dem höchsten ^ Theil anfangt, und auf die nächst niedrigen nach ein- ^7 ander fortgcht. Im folgenden Exempel geht man ^ so zu Werke: 64 Anfangsgründe der Rechenkunst. Z in 82000 dividirt giebt 26000. Das Product dieses Quotienten in den Divisor ist 6000c,, und dies vom ganzen Dividende abgezogen, last zuin Rest 2 7642,welcher noch durch g zu dividiren ist. Man dividirt also z in 27000, weil die erste Ziffer des Dividendi kleiner als z ist, so erhalt man 9000, und das Product dieses Quotienten in den Divisor ist 27000, welches vom Dividende abgezogen, den Rest 642 giebt. Nun dividirt man also 600 mit z, welches 200 giebt, und das Product 600 — 200 x z vom Dividende» abgezogen, last 42. o Demnach sind 42 durch z zu dividiren, welches giebt, und das Product 10 x z abgezogen last Dieser Rest miss neue durch z dividirt giebt den letzten Theil 4. - 87642 20000 ' 3 9000 60000 ^ 200 27642 1° 3 4 27000 642 3 600 42 3 29214 30 12 3 12 10 12 . Hier fallt nun sogleich in die Augen, daß es nicht uöthig gewesen wäre, die Theile des Quotienten mit den gehörigen Nullen untereinander hin zu sehen, und sie zuletzt erst zu addiren. Man kann die Ziffern ohne die Nullen beyzufügen allemahl in einer Reihe bey einander Hinsehen: denn im kurz vorhin berechneten Exempel ist leicht zu übersehen, daß auf solche Art der Quotient 29214 sich sogleich von selbst würde ergeben haben. Es muß jedesmahl ein Rest bleiben, der kleiner ist, als der Divisor wäre, wenn Der IV. Abschnitt. 65 wenn man ihm so viele Nullen beyfügte, als der zuletzt ^ , gefundene Theil des Quotienten enthalt: widrigen- ^ falls hakte man die daömahl gefundene Ziffer des : ' Quotienten zu klein genommen. Wird also hierin ^ nicht gefehlt, fo ist die folgende Ziffer des Ouotien- ten nothwendig allemahl um eine Decimalordnrmg niedriger, als die nachstvorhergehende. Aber auch bey der übrigen Rechnung ist es nicht nöthig, die Nullen den Produeten des Divisors in die Theile des Quotienten, beyzufügen, wenn man nur die Ziffern allemahl in die gehörige Stelle seht. Denn es fallt in die Augen, daß bey jeder Subtraktion mit den Ziffern des Dividendi, unser welchen die Nullen zu stehen kommen, weiter keine Veränderung vorgehe, als daß man sie unter dem gezogenen Strich herunter seht. Dies kann aber geschehen, ohne daß die Nullen wirklich hingeschrieben sind. Ja weil selbst das ^ Abschreiben dieser Ziffern Zeit wegnimmt, und man ^beo jeder folgenden Operation nur die nachstniedrige Ziffer des Dividendi gebraucht; so ist nur nöthig, nachdem das Product des jedesmahl gefundenen Theils vom Quotienten in den Divisor, ohne die dä- zu gehörigen Nullen, unter den Ziffern des Dividen- di von eben der Ordnung hingeschrieben, und von denselben abgezogen worden, die nächst folgmde Zis- fer des Dividendi herunter, und rechter Hand, neben sst- dem übriggebliebenen Rest zu setzen. Bey ^ * den nachstehenden Epempeln sind diese Verkürzungen ^ angebracht. Rarst. Machen,.!. Tb E 5830- 66 Anfangsgründe der Rechenkunst, 5830965 832994 7.... ; 6 ... . 2 z 7 2 i. 2 0 ? ! * 4 . . . 69». 7 . 63.. 66 ' 7 ' 6z - 462804 115721. 4 : . . 6 ^ ' 4 ' ' 2 2 ^ 4 ' 2 O 2 8 4 2 8 3 3 7 2 8 4 -1- 0 5 Im zweyten Exempel kommen einige besonder Falle vor, die einige Erläuterung verdienen, weil man bey denselben ohne Noch Umwege nehmen würde, wenn inan sich ganz genau an die vorigen Regeln halten wollte. Zuerst giebt 4 durch 4 dividirt, den Quotienten i. Das Product aus diesem Quotienten in den Divisor, ist auch 4, daher braucht man es nicht nochmahl niederzuschreiben; sondern man kann nur gleich den Divisor selbst subtrahiren. Ferner giebt 6 durch 4 dividirt auch 1, also kann man wie vorhin versah- Der IV. Abschnitt. 67 St- ^lk- verfahren, und es überhaupt allemahl so machen, wenn der gefundene Theil des Quotienten i ist. Die vierte Ziffer des Quotienten 7 erhielte man durch die Division von 28 durch 4. Das Product 7 4 ist 28, und wenn man dies subtrahirt, bleibt nichts übrig. Die folgende Ziffer des Dividendi ist auch 0; wenn matt also gleich diese herunter fetzt, so kann man doch mit 4 noch nicht dividiren: deswegen ist diese Classe ganz übergangen, und dafür in der zugehörigen Stelle des Quotienten O geschrieben, und zwar aus folgender Ursache. Die folgende Ziffer im Dividendo ist um zwey Ordnungen niedriger, als die vorige 8 war, darum muß der zugehörige Theil des Quotienten ebenfalls um zwey Ordnungen niedriger werden, ( 5 z §.) und dies erhalt man durch die demselben vorangefeßte 0. Beym gewöhnlichen Rechnen würde man sagen: 4 in o hat man o Mahl, und dies ist ein gutes Hülfsmittel, eö hier nicht zu versehen. Wenn an der Stelle der 0 zwar eine Ziffer, aber eine solche stünde, die kleiner als der Divisor wäre; so würde aus einer ähnlichen Ursache in die zugehörige Stelle des Quotienten eine 0 kommen, wie in dein beygefügten Exempel. Man sagt auch hier: Ain z hat nran omahl. ^ Es ist dies eigentlich der Fall, da im übrig gebliebenen <Äück des Dividendi die höchste Ziffer des Dividendi kleiner als der Divisor ist, und daher würde sich, wenn man völlig nach der Regel dieses §. verfahren wollte, alles von selbst ergeben. Weil dies aber bequeme praktische Verkürzungen sind; so war es nicht undienlich, sie besonders anzumerken. E 3 Wenn 72Z 4 803^-. 9 > 72. 34 9 27 i, ! - 6g Anfangsgründe der Rechenkunst. Wenn der Divisor zwar eine einfache Ziffer ist, > aber an derselben Nullen hängen, und am Ende des ^ Dividendi befinden sich eben so viele, oder mehrere ^ nach einander; so last man in beyden so viel weg, als , im Divisor stehen, und kann übrigens nach den Re- > geln des vorigen §. verfahren ( ; 6. 5 7 §. ) i 60. §. Das Dividendum sowol-l, als der Divisor find zusnnin'.ei'.Iestlzrc Zistern, jedoct) ist der Divisor kleiner, als das Dividendum: man soll den (Quotienten finden. Aufl. I. Lall. Wenn beyde gegebene Zahlen gleichviel Ziffern haben, so kann die höchste Ziffer des Divisors nicht grösser seyn, als die höchste Ziffer des Dividendi: denn widrigenfalls wäre der Divisor selbst grösser, als das Dividendum, und von dem Fall ist jetzt die Rede nicht. Demnach suche man anfangs den Quotienten eben so, als wenn in beyden Zahlen alle nach der höchsten folgende Ziffern Nullen wären. Weil aber solchergestalt der Divisor kleiner angenommen wird, als er würklich ist; so kann dies Verfahren den Quotienten zu groß geben. Ob dieser Fall eintreffe oder nicht, das zeigt sich gleich durch die schon bekannte Probe, wenn man nun den ganzen Divisor mit dem Quotienten multiplicirt. Denn wird dies Product grösser, als das Dividendum; so muß man so lange den Quotienten um Eins vermindern, blS das erwähnte Product entweder eben so groß, oder kleiner als das Dividendum heraus- kommt. Im letzten Fall zieht man dies Product vom Dividendo ab, da dann der Rest kleiner als der Divisor seyn muß, weil sonst der Quotient zu klein ange- Der IV. Abschnitt. 69 angenommen wäre. Folgende Exempel werden dies erläutern. -wz, 5Z4 784Z269 216 2^tzj 194268z 4 ?'sL?rn- ^ 72,17 194268z 4 ^'srTTH« 777O7Z2 72 ZZ 7 4Z2 M H' Wenn das Dividcndum eine Zif fcr mehr har, als der Divisor, und die höchste : mg Älser des Divisors grösstr, als die höchste Ziffer des Dividendi ist; so suche man wiederum den Quotienten eben so, als wenn im Divisor alle Ziffern nach ^ der höchsten, und im Dividende alle Ziffern nach den beyden höchsten, Nullen wären. Aus dem M vorhin schon angeführten,Grunde kann auch dies Ver- ^ fahren den Quotienten zu grosi geben, welches sich gleich entdeckt, wenn hiernächsi der ganze Divisor mit sÄr dem angenommenen Quotienten multiplicirt wird, mb Findet man dies Product größer als das Dividen- dum, so muß der Quotient so lange um Eins ver- mindert werden, bis das erwehnte Product eben so j Ür i groß, oder kleiner als das Dividendnm herauskommt, i ^ Im letzten Fall zielst man es vom Dividende ab, und bemerket nur noch dies, haß der,Rest aus der schon bekannten Ursache kleiner als der Divisor seyn muß, weil widrigenfalls der Quotient zu klein angenommen wäre. Ein Paar hieher gehörige Exempel sind folgende: >>1 Z847 42z z 8 o? 47897Z 8 579Z2 459856 19117 E z Weder 7O Anfa'ngsgrüttde der Rechenkunst. Weder in dem jetzigen noch in dem zuerst betrachtetet» Fall kann der Quotient, scmeit er eine ganze Zahl ist, grosser als 9 gesunden werden: der ganze Quotient, auch mit dem dazu gehörigen Bruch, wenn die Division nicht aufgehr, ist allemahl kleiner als io. II!. Fall. Ware die höchste Ziffer des Divisors nicht grösser, als die höchste Ziffer des Dividendi, wenn letzteres eine Ziffer mehr hat, als der Divisor Z so würde man den Quotienten auf folgende Art finden. Man nehme so viele von den höchsten Ziffern des Dividendi, als der Divisor enthalt, allein, und sehe nach, ob diese Ziffern, wenn die letzte fehlte, eine Zahl ausmachen würden, die grösser wäre, als der Divisor. Hat es damit diese Be- wandniß; so dividire man diese Ziffern nicht anders, als wenn die letzte fehlte, nach der ersten Regel, setze aber zu demselben rechter Hand eine Null. Darauf multiplicire man, wie gewöhnlich den Divisor mit dem solchergestalt,gefundene» Quotienten, und ziehe das Product vom Dividende ab; so bleibt ein Rest, der nochmahl dividirt werden kann, also noch einen Theil des Quotienten giebt, welcher zum vorigen ad- dirt werden muß. z. 897342 zc> 5402571 20 26509 . 2 tz -k 184626 8 789270 ) 4 T'F'I"ö'§> 5692520 29 108073 ,709851 267,09 184626 105.2 ^ 6 1661654 28Z6 48217 Es könnten aber- wohl eben so viele von den höchsten Ziffern deöDividendi für sich allein eineZahl aus- ltzi, «k«ih No. ^ öcr 'Ä- KiL MS« «M qiö MtK. ' ck Wj : m kV !)!U 'H- ' 1 .' .L" Der IV. Abschnitt. ausmachen, die kleiner wäre, als der Divisor, und in diesem Fall wi'd der Quotient nach der llten Regel gefunden, wie in folgenden (stempeln. 7?iz 772 6948 ^ 774 ' 36845208 Z684Z24 ZZ160716 765 3684492 IV. Lall. Die Zahl der Ziffern des Dividend? übertreffe nun die Zahl der Ziffern des Divisors um soviele, als man will; so bedarf es dennoch nicht mehrerer Regeln, als derjenigen, nach weichen in den bisher betrachteten dreyen Fallen der Quotient ist gefunden worden. Allemahl nehme man anfangs von den höchsten Ziffern des Dividendi eben soviele, oder eine mehr ab, als derDivisor enthält; daö letzte nemlich, wenn eben soviel Ziffern als im Divisor find, für sich allein eine Zahl ausmachen würden, die kleiner wäre, als der Divisor. Diese vom Dividende abgenommenen höchsten Ziffern dividire man nach den Regeln des Isten oder Ilten Falles, und setze zum Quotienten soviele Nullen, als im Dividendo nach den höchsten Ziffern folgen, die man, um den Quotienten zu smden, nöthig gehabt hat. Darauf multiplicire man den so gefundenen Quotienten mit dem Divisor, und ziehe das Product vom ganzen Dividendo ab. Den übrig gebliebenen Rest dividire man, wie zuvor, mit eben dem Divisor, und fahre so lange dainit fort, bis man auf einen Rest kommt, der kleiner, als der Divisor ist: da man denn zu den gefundenen und in eine Summe gebrachten Theilen des Quotienten noch einen Bruch setzt, dessen Zähler der letzte Rest, und dessen Nenner der Divisor ist. Dafern übrigens statt einiger der letzten Ziffern in dei? E 4 Mgc- 72 Anfangsgründe der Rechenkunst. 789 Z 4 200 278 80 55602 -, 26 » , 2 z ;?4 278 22240 28ZM 1094 278 824 260 gegebenen Zahlen Nullen stehen; st löscht man, bevor die Rechnung angefangen wird, in beyden st viele weg, bis man in einer von beyden an die niedrigste Ziffer kommt. (56. 57 §.) Das beygefügte Exempel ist st berechnet: 2 in 7 di- vidirt, würde z geben, und st erhielte man zum Quo. tienten zyQ. Aber das Product 278 x zc>o^8?4oo istgröfferals das Dividendum, deswegen nimmt man nur 200. Das Product 278 X 2oo — ;z6oo vom Dividendo abgezogen, giebt den Rest 2 zzZ4. Unter diesen schreibt man denDivi- strem st, daß seine höchsteZiffer unter der nächst höchsten des Restes kommt, weil 2zz < 278 ist, nach der dritten Regel. Nun würde 2 in 2 z dividirt, den Quotienten 9 geben, er ist aber wegen der vorhin schon vorgekommenenUrsache zu groß, also wird der zweyte Theil des Quotienten 8o, dasProduct 278 x 80 vom vorigen Rest abgezogen, giebt den neuen Rest 1094. Man schreibt unter demselben den Divisor, wie vorhin, weilic>9 < 278 ist: Ob nungleich 2 in l o dividirtdeu Quotienten 5 geben könnte; so darf man ihn hier doch nicht grösser als z nehmen, da denn dasProduct 278 x z — 8Z4 vom vorigen Rest abgezogen, den letzten Rest 2 60 giebt, welcher schon kleiner als der Divisor ist. Man kann hier alle die praktischen Vortheile anbringen, deren im vorigen 5 9 H. Erwehnung geschehen ist. Einmal.hat man nicht nökhig den Theilen des Quotienten die ihnen zugehörige!: Nullen beyzufügen, und diese Theile am Ende allererst in eine Summe zu bringen. Man kann diese Theile nach einander in einer r« Reihe Der IV. Abschnitt. ?Z ^ Reihe sogleich hinschreiben, weil der folgende Theil , nothwendig allemahl eine Ziffer der nächst niedrigen ' Ordnung ist, wofern man nur die gleich folgende Er- , innerung nicht aus der acht laßt. Ferner ist e6 nicht nothwendig, denProducten desDivisors in die Theile des Quotienten die ihnen zukommenden Nullen beyzu- sios fügen, wenn man nur die Ziffern derselben allemahl 8° gehörig unter diejenigen Ziffern des Dividendi seht, die mit ihnen zu einerley Ordnung gehören; um die !-W Subtraction richtig vorzunehmen. Weil überdcm die Ziffern des Dividendi, unter welchen die Nullen stehen müsten, wenn man sie beyfügen wollte, durch die Subtraktion dieserProducte weiter keine Veränderung leiden, als daß man sie unter den gezogenen Strich her- > unter setzt, und bei) jeder folgenden Operation gewöhnlich nur die nächst niedrige Ziffer des Dividendi eine r, -K Aenderung leidet: so ist nur nöthig, daß man die Zif- A» fern des Products von den drüber stehenden Ziffern M! des Dividendi abziehe, dabey aber vor allen Din- M gen bemerke, daß der solchergestalt herauskom- i i« tuende Rest kleiner, als der Divisor styn müsse, denn sonst hatte man den Quotienten zu klein ange- nommen. Hat es mit diesem allen seine Richtigkeit, . - so kann man die nächste Ziffer des Dividendi herunter, und rechter Hand neben dem Rest unter den Strich setzen, um hie folgende Ziffer des Quotienten eben so -Ki zr> finden. Auf diese Art ist die Berechnung folgen- H der Exempel verkürzt worden, die man nun leicht nachrechnen wird. ^ Im ersten von diesen beyden Exempeln bleibt nach der Subtraktion des Products aus dem ersten Theil ^ des Quotienten in den Divisor, der Rest 1945. Wenn man hiezu die nächst folgende Ziffer des Di- H E 5 . videndr 74 Anfangsgründe der Rechenkunst. videndi nimmt; so hat man die Zahl 19456, und diese ist noch kleiner als der Divisor. Also muß man noch eine Ziffer zunehmen, und dafür eine 0 im Quotienten hinzuschreiben, denn der folgende Theil des Quotienten wird nun um zwei) Ordnungen niedriger, «ls der vorige war. 59498264z7 65 8 9 4- 5 9 4 0 4 7 - 194564 6)894 141786 6277 8 z 65894 5940Z7 90295^;. Z47467 6589z 429465 » 8002 6852440870247 684749 - - - 1484087 684749 1467498 1002170 5 ^7/^4 § 1165890 684749 4821412 684749 4 78624z 4516947 684749 4 418745 98202 In ^ Der IV. Abschnitts 75 ^ Im zweyten Exempel ist der erste Rest 1484, ^ welcher nur aus 4 Ziffern bestehet. Da nun der ^ Dwgor noch grösser bleibt, wenn man gleich zwey P- der folgenden Ziffern zunimmt: so kommen dafür zwey Nullen im Quotienten. Weil man nemlich noch die dritte Ziffer zunehmen muß; so wird der solch ude Lheil des Quotienten um drey Ordnungen niedriger als der vorige war. So lange der Rest, nachdem schon die folgende Ziffer des Dividcndi ist berge- ffgt worden, kleiner als der Divisor bleibt, sagt man allem ahl: man habe den Divisor im Dividende» cheullinal, und schreibt dafür eine Null zum Quotienten hinzu; und das ist eine vortheilhaste Marimo zu verhüten, daß man keine Null im Quotienten vergesse. Wenn inan ohne practische Verkürzung bloS nach den dreyen ersten Regeln dieses §. rechnet, den Thellen des Quotienten die ihnen zugehörigen Nullen beyfügt, und sie, wie es die Regeln der Addition erfordern, untereinander setzt; so fallt die Ursache, warum man vorhin beschriebener Massen verfahren muß, desto deutlicher in die Augen. 6i §. Die Division dient der Multiplication zur Probe: denn wenn man das Product durch den einen Factor dividirt; so muß der andre der Quotient werden, widrigenfalls ist bey der Multiplication gewiß ein Fehler vorgcgangen, dafern man anders richtig dividirt hat. Umgekehrt dient also auch die Multiplication zur Probe der Division: wenn man den Quotienten, dafern er eine ganze Zahl ohne angehängten Bruch ist, mit dem Divisor multiplicirt; so muß das Divi- dendum wieder herauskommen. Geschieht dies nicht,, und man ist versichert, daß man richtig multiplicirt f . habeH 76 Anfangsgründe der Rechenkunst. habe; so ist gewiß beym Dividiren ein Fehler vorge- gangen. (4z §.) Dafern aber der Quotient einen Bruch bey sich hat; so muß das Product aus dem Divisor in den ganzen Theil des Quotienten das Di- videndum weniger den letzten Rest geben, wenn man also den Duotienrcn mit dem Divisor multiplkcirr, uwd zu diesem Product den Rest addirr; so muß die Summe das Dividem dum styn. Weil aus dieser eben errechnten Eigenschask der Zahlen, welche bey der Division Vorkommen, im folgenden Abschnitt eine Menge interessanter Lehren muß hergeleitet werden; so ist nöthig, daß man sich gewöhne, den zuletzt beygefügten Satz vermittelst all- gemeiuerZeichen in einen kurzen Ausdruck zu bringen. Wenn nemlich ohne-eineZahl von bestimmter Grösse für das Dividendum und den Divisor anzunehmen, der Buchstab A im allgemeinen das Dividendum, 6 den Divisor, den Quotienten, K den Rest bezeichnet, so hat man A Z 4- II, und — — -- Der V. Abschlntt. Don dem Unterschied der Prim-Zahlen, und zusammengesetzten Zahlen. 62 §. ^wey oder mehr Brüche zu addiren, die cO insgcsirmmt gleiche tTleuner haben. Aust. Man addire alle Zahler zusammen, und behalte den Nenner bey: die Summe ist ein Bruch, dessen Der V. Abschnitt. 77 . dessen Zahler die Summe aller Zähler, und dessen Nenner mit dem gemeinschaftlichen Nenner der ge- gebenen Brüche einerlei) ist. Wird auf solche Art ein uneigenrlicher Bruch gefunden, so kann die darin - enthaltene ganze Zahl dadurch gesucht werden, daß ' Ämj man den Zähler des gefundenen Bruchs durch seinen koH Neuner dividirt (z 2. H.) ^ Beweis. Die Richtigkeit der Regel ist für sich einleuchtend, wenn man statt des Nenners den Nahmen der Brüche durch ein sonst gebräuchliches Wort, A, ii wie im 49 §., ausdrückt. Daß 2 Neuntel und ; Neuntel zusammen.7 Neuntel machen, ist eben so klar, als es ist, daß 2 Thaler und 5 Thalcr zu- M» sammen 7 Tbaler auömachen. Wenn man aber -tmze auch die Brüche als ungenannte Zahlen betrachten will, so weis man, daß H 2 —: 9 und 4 — 5 : 9, oder jeder Beuch ein Quotient sey, der durch Divi- sion des Zählers mit dem Nenner gefunden wird. M ( 52 §.) Es ist aber 2 : 9 -l- ; : 9 — 7 - 9, (46 §.) ^ also auch G ch 4-4(51 §.) lftr 6z §. Einen kleinern Bruch vom grössern, der ei- ^ nen eben st> grossen Nenner, als der vorige har, zu subtrahircn. Allst. Der Zähler des kleinern Bruchs muß . kleiner seyn, als der Zähler des grössern: man sub- trahire also jenen von diesen, so hat man den Zäh- , ler des gesuchten Bruchs, und sein Nenner ist mit dem Nenner der gegebenen Brüche einerley. Beweis Es ist wiederum für sich klar, daß 5 Neuntel weniger 2 Neuntel den Rest von z ^ ^ Neuntel übrig lassen muß. Sonst folgt auch ganz ^gemein der Beweis daraus, weil der Rest die Zahl »st, Anfangsgründe der Rechenkunst. ist, welche zur kleinern addirt eine Summe geben muß, die der grossem gleich ist. (29 §.) Wäre als» -ganz allgemein der grössere Bruch — der kleinere Bruch so ist der Rest Denn man addire 8 j- K j.'ü -st iz° fs ist die Summe vernröge des 2 r §. A - 8 g- 8 (S2§.) 64 §. r. Nicht allein die Smnnw zvvorr oder mehrerer ganzer Zahlen, sondern auch die Differenz zrvoer ganzer Zahle,: ist atlemahl eine ganze Zakl. 2. Ein Produck zwoer ganzer Zahlen in einander ist einerlei) mit der Summe, die man findet, wenn einer von den Factoren so vielmahl zu sich selbst addirt wird, als der andre Eins enthalt: demnach ist ein solches Produtt allemahl auch eine ganze Zahl. z. Die Summe einer ganzen Zahl und eines eigentlichen Bruchs oder auch eines solchen uneigentlichen Bruchs, der sich auf keine ganze Zahl bringen läßt, ist keine ganze Zahl. 4. Wird von einer grösser« Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem eigentlichen Bruch besteht, eine ganze Zahl subtrahirt, so ist der Rest keine ganze Zahl. 5. Wir» z. ft Der V. Abschnitt. 5. Wird von einer ganzen Zahl eine kleinere suö- trahirt, die aus einer ganzen Zahl und einem eigentlichen Bruch besieht, so ist der Rest ebenfalls keine ganze Zahl. Die ersten vier Säße sind für sich klar. Die Richtigkeit des zten crheller so. Wenn man einen eigentlichen Bruch von Eins subtrahireu soll, so ist der Rest kleiner als Ems, also ebenfalls ein eigentlicher Bruch- Es ist aber z. E. 7 — 4^-— 6 -s 1 — 4^ ^ 2 -j- (r — — 2^; oder wenn man das Zahlen sind, und II < n < m ist; so ist L_ c rkr ^ ^ ^ entweder — 2 oder eine ganze Zahl, und 6 ; §. ^ Wenn eine kleinere ganze Zahl in einer großem A ^ aufgeht, so heißt diese kleinere Zahl, oder der Divi- r 7' sor ein Maas der grössern Zahl; und wenn eben der -' Divisor in mehreren verschiedenen ganze,»Zahlen auf- geht; so Heist er ein gemeinschaftliches Maaß . ' aller dieser Zahlen. Ein solches Maaß ist die Zahl Z -ch für die Zahlen 9, iz, »8, 21, u. s. f. Die grös- - sere Zahl, worin eine kleinere aufgeht, ist ein Produkt dieser kleinern Zahl in den Quotienten, und man drückt sich gewöhnlich darüber so aus : das Pro» duct sey aus den Faetvren zusammengesetzt. , -r ^ — r 4- l — i;-— ^ - (6 ch r) ch Wenn nun 6, », »r, ganze ich dr i __ » ist ein eigentlicher Bruch. Eins 8O Anfangsgründe der Rechenkunst. Eisis geht in allen ganzen Zahlen und selbst in die Null auf: auch geht jede Zahl in sich selbst auf. Eine ganze Zahl, worin ausser der Ems, und ausser der Zahl selbst, keine kleinere ganze Zahl aufgeht, heißt eine einfache Zahl, oder eine pnmzahl, und wenn eine Zahl durch die Multiplikation zweyer oder mehrerer Primzahlen in einander entstanden ist, so betrachtet man diese Zahlen als einfache Faktoren, das Product aber, als wäre es aus diesen einfachen Factoren zusammengesetzt. Veyspiele von Primzahlen sind folgende: ^2, z, 5, 7, n, iz, 17, 19, 2z, 29, u.s. f. Zahlen dieser Art heissen auch absolute Prüm Zahlen, weil es wohl seyn konnte, daß von zweyen oder mehreren Zahlen zwar jede für sich noch mit einer kleinern Zahl aufgienge, ohne daß für diese Zahlen ein gemeinschaftliches Maaß, Eins ausgenommen , angegeben werden konnte. Dergleichen Zahlen wären 8 und 9: jene geht in 2 oder 4, diese in z auf, aber für beyde giebt es kein gemeines Nlaaß. K n-i <»1 zb « 66 H. Zahlen, die kein gemeinschaftliches Maaß haben, heissen unter sich prmizablen. Von zwoen oder mehrern Primzahlen unter sich könnte also wohl jede für sich einen oder mehrere dp aaste haben, womit sie aufgienge. 1. ' Zwey oder mehrere absolute Primzahlen sind allemahl auch unter sich Primzahlen: aber nicht umgekehrt. 2. ) Wenn unter mehreren Zahlen nur eine absolute Primzahl befindlich ist; so sind sie alle unter sich Primzahlen. 67 §. ck >1.! -h » »«li r 8t Der V. Abschnitt. j, ' 67 §. ^ IlVenn zwey Zahlen ein gemeines Maas) ^ haben; so har ihre Summe sowohl, als auch ihre Differenz eben das Maaß. : Beweis. Weil 4 in 12 und in z 6 aufgehet, so muß auch 4 in 48 aufgehen: denn ist eine ganze Zahl, und ebenfalls; also muß die Summe ch eine ganze Zahl seyn. (64 §. n. i.) Eben "-»ich, 12 4- z6 diese Summe ist--:-(62 §.), also ist 12 ch z6 . . , 4 , . . ^1,.-.— eine ganze Zahl, und das heißt, die Zahl 4 ich» 4 muß in r 2-!-z 6 aufgehen, well sie in 12 und in A» z 6 für sich aufgeht. Ferner ist der Rest ^ , (6z z«i- nnd eben diese Differenz ist eine ganze Zahlt (64 H. n. 1.) also muß 4 in 56 — 12 aufgehen, chi»; wenn 4 jn g6 und in 12 aufgeht. ' Hätten also mehr als zweyZahlen, soviel inan will, ein gemeines Maaß, so muß die Summe aller eben das Maaß haben. Denn wenn k, t, chk? u. s. f. Zahlen sind, die das Maas n haben, so hak . A-S H-j-6 das Maaß », mithin vermöge des bewiese» neu auch /r 4- L -l- L, und eben deswegen auch ^ -h ^ ^ u.sif. 's«!k 68 §. Harre von zweyen Zahlen die eine eirt Maaß, was in der andern nicht aufffehk, so würde eben das Maaß weder in der Summe, noch in der Differenz jener Heyden Zahlen auf- Zehen. ' Larst.Machöm.l.Td. K Beweib. 82 Anfangvgründe der Rechenkunst. Beweis. Wenn gleich 4 in z6 aber nicht in i; aufgeht, so kann 4 nicht in z6 4- 15 aufgehen. Dennistzwar eine ganze Zahl, aber ist keine ganze Zahl, und eben deswegen kann 4- '4' — , 4 keine ganze Zahl feyn, (64. n. 2.) oder 4 kann in ^ i;6 4- 15 nicht aufgehen. Aus dem 64 §. u. z er.! hellet ferner, daß auch 4 nicht inz6 — iz aufgehe, weil --— keine ganze Zahl ist. Wenn der 4 Divisor zwar nicht in der grossem, wohl aber in der kleinern Zahl aufgienge, so würde er eben so wenig in der Differenz beyder Zahlen aufgehen: denn 29 — 16 ^ — ^ — —-kann vermöge des 64 §. n. 4. 4 keine ganze Zahl feyn, weil 4 zwar in 16 aber nicht in 59 aufgeht., 69 §. wenn eine Summe zweycr Zahlen, mit einer von deydcn ein gemeines Maaß hat; so har die andre Zahl eben das Maaß: und wenn ein Maaß der Summe kein Maaß der einen von deydcn summircen Zahlen ist, so ist es auch kein Maaß der andern Zahl. Beweis. Um die Sache allgemein zu übersehen, setze man, die eine Zahl seyA, die andre ll, nnd ihre Summe A 4- ö — 8, so ist auch ll— 8— Wenn nun eine Zahl » in 8 und in ^ aufgeht; so muß sie auch in k aufgehen, (67 §.) weil l! dieDif- ferenz der Zahlen 8 und A ist. Wenn dagegen die Zahl»in 8 aufgeht, und in A dividirt nicht aufgeht, so kann auch » inä nicht aufgehen. (68 §.) 70. §. c s tl !lt Der V. Abschnitt. 8Z 'st» Hz, ! Hs Killt >>!» :tU^ «rch hv? O»' idikS l-st Kid / ?o §. wenn man zwey oder mehr Zahlen, .8, ( 7 , u. s. f. mir einer und eben derselben dritten Zahl » dividirr, die in keiner von allen auf- gehr; so gehr derselbe Divisor in der Summe der Vlvldirccn Zahlen nur alsdcnn auf, wenn er in der Summe der Reste ausgehr. Beweis. Man nehme an, ^ mit » dividirt gebe den Quotienten () mit dem Rest K, L mit n di. vidirt gebe den Quotienten ^ mit dem Rest L mit » dividirt gebe den Quotienten l( mit dem Rest u. s f. so hat man vermöge des 61 §. L » »r - s -j- ^ -h » u. s. st also » Weil nun (Z., ganze Zahlen sind, so ist ä -l-ki -l-c -h -l- f n nur alödenn eine ganze Zahl, wenn eine ganze Zahl ist. (64 §. n. l. 2.) ?i §- wenn zwey Zahlen ungleich groß sind, und mit einer und eben derselben dritten Zahl dividirt werden, die in keiner von beyden auf- gehr; so gehr eben der Divisor in der D>ffe- F 2 renz 84 Anfangsgründe der Rechenkunst. renz beyder dividieren Zahlen nur alsdennauf, wenn beyde Reste gleich groß sind. Beweis. Man, lasse den Buchstaben eben die Bedeutung, die sie im vorigen §. hatten, und nehme 8 ^ ^ , an, daß^> 8, also — > — sey; so hat man » ,r tV — L 8 — r- - s -h oder ^.-8 -r v,- 5 — i 4 r 4 8 I) -h r/ « -j- 8 n ir — 8 oder auch---- rr Weil nun v-i- — 8 » > § -t- — ist, so muß auch — > —, mithin auch n » » 8 > seyn, wenn (Z, — ^ ist. Alsdenn aber wird ^ - 8 8 8 - -— -, und-ist ein eigentlicher » » ,r Bruch, weil 8 < ,r, also noch um so mehr 8 — < « ist: mithin kann in diesem Fall n in — L nicht aufgehen. Die Voraussetzung § kann nicht bestehen, denn wenn auch § nur Eins grösser als wäre, so 8 , müsse > i -j— seyn, welches darum nicht seyn »r ^ »r kann, weil — ein eigentlicher Bruch ist. n In dem Fall ^ ist allemahl (^— ^ eiim ganze Zahl, doch könnte wohl 8 < e- seyn. Deswegen muß inan folgende zwey Falle unterscheiden. — s. i.) Wenn 8 > » ist, so ist-ein eigcntli- « cher Dcr V. Abschnitt. 85 Ai«, Ä-h l-L k.^- cher Bruch; also geht der Divisor ir in ^ — D nicht ^ — L K — r- auf, weil — — — (^ — a -t--war. -r ,r 2.) Wenn K < r ist, so ist n -s- k — r- < ?r, weil von » mehr abgezogen wird, als vorher dazu ?r -ß . . addlrt war. Demnach lst -ein eigent » licher Bruch, und weil- — H.— (? 4 - r) 4 - »-i-K—-- " /r-k -war, so ist auch in diesem Fall-keine ir n ganze Zahl, oder n geht in ^ — k nicht auf. Sieht man nun auf alle Falle zurück, so erhellet, daß rr in /V — K nicht aufgehen könne, es mag K > r^, oder k. < r- seyn: nur in dem einzigen Fall, wenn die Reste gleich sind, mithin lv — r- — o, also — r' »r-j-R.— r' , auch-— o, und ---— — i rst, hat man —--— einer ganzen Zahl, also ir muß in diesem Fall der Divijor sr in ^.—8 aufgehen. 72 §. Eine Zahl, welche in einem Factor eines Products aufgeht, muß auch im Product aufgehen. Beweis. Man kann den Factor, worin die erwähnte Zahl aufgeht, für das Multiplicandum am nehmen, so ist das Product eine Summe sovieler Zahlen als der andre Factor Eins enthalt, und alle diese Zahlen sind dem Multiplicando gleich. Geht also der Divisor im Multiplicando auf, so muß er auch im Product aufgehen. (67 §.) F z ?; § 86 Anfangsgründe der Rechenkunst. 7Z §. wenn man beydeLacroren eines Products mir einer dritten Zahl dividtrr, die in keiner von beyden aufgeht; so gehr eben diese dürre Zahl in dem Product nur alsdenn auf, wenn sie in dem Product der Reste aufgeht. Beweis. Es sey ^ der eine, öder andre Factor des Products, und rr eine Zahl, die in beyden nicht aufgeht. Wenn nun, wie im 72 §. ^ ^ k - -- — » » I tt- angenommen wird, so ist auch ^ ^ x » 4- ö. ö — 7 »r -s- r-, und man erhält * k — (l^x »-l-K) ^ x » ^- ((^ x x »- (z 7 H.) also auch ^xö—((^xn-s-^l^xu-l- » x »- -h ö. X Man dividire auf beyden Seiten mit u, ^ X ö so findet man- (tzxrrss-li) X ^ 4- (ZXr !< X»- " st»-. Weil nun ( 0 , X ?r-l- ö.) X ^ und X c , ^xö ganze Zahlen find; so ist-nur alsdenn eine Kxr- " ganze Zahl, wenn-eine ganze Zahl ist, oder rr geht nur alsdenn in XL auf, wenn ir inö. Xr aufgehk. (64 §. n. i. 2.) 74 §. Zahlen, die durch 2 theilbar find, heissen grade Zahlen, die übrigen, welche durch 2 getheilt i zum Rest lassen, nennt man ungrade Zahlen. Die Zahl 2 ist eine grade Zahl, und zugleich eine Primzahl. e k- jk' -2 Der V. Abschnitt. 87 »« X»Xf »Mtt ckl!- 1.^- ÄS° t zahl. 6'5 §.) Alle übrige Primzahlen sind ungrade Zahlen, denn jede grade Zahl, 2 ausgenommen, har wenigstens den Factor 2. Es giebt auch viele ungrade Zahlen, die keine Primzahlen sind, z. E. y, iz, u. st st Daher gilt der Saß nicht umgekehrt. Jede grade Zahl last sich durch 2 »/, und jede ungrade Zahl durch 2 m -j- i ausdrücken, was auch », für eine ganze Zahl bedeute, und hieraus schlieft man leicht folgende Säße. I. Die Summe sowohl, als die Differenz zwoer graden nicht nur, sondern auch zwocr ungraden Zahlen, ist eine grade Zahl >.07. 70 §.), so wie die Summe und Differenz einer graden und ungraden Zahl, eine ungrade ist (6g§.) n. Das Product zwoer graden Zahlen so- wohl, als auch dasproducr einer graden Zahl in eine ungrade, ist eine grade Zahl (72 H.). Aber das Product zwoer ungraden Zahlen in einander, ist eine ungrade Zahl (7z §.) 75 §. wenn zwo Zahlen ^ und Ä ungleich sind, und die kleinere Z in der größten ^ aufgchr; so ist die kleinere L das gröste gemeinschaftliche Nlaast beyder Zahlen ^ und -6. Dieser Satz ist für sich klar. wenn aber die kleinere 7 Z in der grössten ^ nicht aufgchr; so kann das gröste gemeinschaftliche Maaß beyder Zahlen nicht grösser seyn, als der Rest 7 k, der übrig bleibt, wenn man die grössere ^ mit der kleinern ö dividirt. Beweis. Eö sey (^der Quotient, soweit er eine ganze Zahl wird, wenn man k durch L dividirt; so F 4 M 88 Anfangsgründe der Rechenkunst. ,'st/^ —6-s-k. Wenn nun m das größe ge, meinschaftliche Maaß der beyden Zahlen ^ und k iß, so geht m in und im (Z. x 6 auf (72 §.) folglich muß m auch im !< aufgehen (69 §.) und deswegen kann m nicht größer, als k seyn. 76 §. wenn der Rest /ö in der kleinern Zahl L aufgehr; so ist K das gröste gemeinschaftliche Waas) der Zahlen ^ und Beweis. Weil — (Z^x li -f- K ist; so folgt dieRichtigkeitdesSaßeS aus dem67.72.und 75 denn K geht in sich selbst auf. 77 §. Das gröste gemeine Maaß des Divisors Z und des Restes ist zugleich das gröste gemeine Waaß des Divisors ^ und des D«vi-- dendi Beweis. Wenn »r das groste gemeine Maaß von ^ und 8. ist, so ist m auch ein gemeines Maaß von 6 und Wenn aber k und ^ ein gemeines Maaßhätten, daö noch größer, als >» wäre, so wäre eben dasselbe auch ein Maaß von K, (69 §.) mithin hätten 6 und das gemeine Maaß 1 ) 4 , welches noch grösser als w ist, und es wäre m noch nicht das gröste gemeine Maaß von k und k. 78 §. Wenn eine kleinere Zahl grösser ist, als die Hälfte der grösser», so kann die kleinere in der grösser» nicht aufgehen. Hat man ^ mit 6 richtig dividirt, und den Rest k erhalten, so ist zwar nothwendig 8, < k: wenn aber 8. > ^ l> wäre, so könnte k in k nicht aufgehen, mithin muß in diesem Fall das gröste gemeine Maaß von L und k, also auch das gröste gemeine ri k i' l- Al! ,1 d d ei 01 ß die i« Der V. Abschnitt. 89 meine Maaß von 8 und ^ kleiner als k seyn. Man ziehe den Rest vom Divisor ab, und sehe 8 — 8. - 17 , so ist L das Complement des Restes zum Divisor, (19 §.) und man hatb — K <7, also auch 8. -- 8 — < 7 . Wie nun allemahl ^ x ö seyn muß, so ist arich Wch wenn demnach das Lomplemcnc (7 des ... Restes zum Divisor i,n Divisor anfgchr, so gehr eben das Complcmenr auch im Dwidcm vo auf. 79 §. wenn der Rest K nichr stlbst das gräste ge- ^ nieineNäaaß des Divisors ^ und des Dwiden- P di ^ ist; so kann dasselbe nrchr grosser seyn, als das (Lomplcmenr (7 des Restes zuin Divisor. Beweis. Weil /V X 8 ch 8 — (7 war, (? 8 §.) M so ist auch -h <7 — 8 -s- 8. Nun sey m das -M gröste gemeine Maaß von 8 und so geht m in MM (chx 8 -z- 8 auf, also auch in .'V -j- < 7 . Weil ferner ml« der Voraussetzung gemäß »r in aufgeht, so muß auch m in (7 aufgehen, (69 §.) mithin kann M nicht - grösser als L seyn. 82 §. Es sind zwo ungleiche Zahlen gegeben, man soll ihr grosses gemeinschaftliches Maaß M suchen. 7 <.' Aust. I. Man dividire die grössere Zahl durch die kleinere. Wenn alles aufgehk, so ist die, kleinere selbst das gröste gemeinschaftliche Maaß (7; §.) ''' > z. E. man hat die Zahlen 12 und z 6; so geht 12 in z6 auf, also ist 12 daögröste gemeinschaftliche Maaß - von 12 und z 6. H. Wenn y2 Anfangsgründe der Rechenkunst. II. Wenn die kleinere Zahl in der grossem nicht aufgeht; so dividire man die kleinere Zahl mit dem Rest. Geht nun alles auf; so ist dieser Rest das gesuchte gröste Maaß. (76 §.) Z. C. man hat die Zahlen 12 und 28, wo 28 durch 12 dividirt, den Rest 4 läst: da nun 4 in 12 aufgehr, so ist 4 das gesuchte Maaß. III. Wenn der Rest in der kleinern Zahl nicht auf- geht; so kann das gesuchte Maaß nicht grosser seyn, als das Complement dieses Restes zur kleinern Zahl. ( 79 §.) Wenn demnach dieser Rest grösser, als die Hälfte der kleinern Zahl ist: so subtrahire man ihn von der kleinern Zahl, und dividire die kleinere Zahl mit dem gefundenen Complement. Wofern nun alles aufgehet; so ist dieses ComplementdoSgesuchkeMaaß. (78. 79 §.) Z. E. man hat die Zahlen 12 und Z2, wo Z2 durch 12 dividirt den Rest 8 last. Dieser ist grösser, als die Halste von 12, also subtrahire man ihn: so wird das Complement 4, aber 4 in 12 gehet auf, also ist 4 das gesuchte Maaß. Man hätte eben dieses Maaß auch so finden können. Weil 8 in 12 nicht aufgeht; so ist das gröste gemeinschaftliche Maaß von 8 und 12 zugleich das gröste Maas; von 52 und 12 nach der I. und II. Regel. Weil nun 8 in 12 dividirt, zum Rest 4 last, und 4 in 8 aufgeht; so ist 4 das gesuchte Maaß. Aber, daß der Versuch der Division von 12 durch 8 vergeblich seyn würde, konnte man zum voraus wissen. Hieraus folgt nun die gewöhnliche allgemeine Regel: Man dividire die gröste Zahl durch die kleinste. Bleibt ein Rsest; so dividire man damit den vorigen Divisor: bleibt wieder ein Rest; so dividire man damit abermahl den leyren Divisor, und fahre so fort, bis alles aust Z» D Ml' tsö Di" d>!gk< sirV zrcf sey. ls kK kr kk!l km U; sch Ki! ÜÄ Der V. Abschnitt. 9 r »sl^r k«S n«S irK !Ä p chitic ckli.i aufgeht: ft» wird der letzte Divisor das gesuchte gemeinschaftliche H^aasi seyn. ' Diese Regelgiebt gewiß richtig dasgesuchteMaaß, aber man kann oft einige Divisionen ersparen, wenn man nach der III. Regel nicht mit dem Rest, dafern er grösser, als die Hälfte des letzten Divisors ist; sondern mit seiner Ergänzung zum . letzten Divisor aufs neue dividirt. Cssollenz. E. 2882911^104775 die gegebenen Zahlen seyn. Die erste Division giebt denRest 18288, und man sieht leicht, daß derselbe grösser, als die Hälfte von 28829 sey. Deswegen dividirt man mit dem Complement 10541 in den vorigen Divisor; so bleibt der Rest 7747, der abermahl grösser, als die Hälfte des Divisors ist. Die abermahlige Division durch sein Complement 2794 giebt 2159 zum Rest, und sein Complement ist 685. Die neue Division durch dies Complement läst 254 zum Rest. 2794 l ^ Weil dieser Rest kleiner, als die 6z 5 Hälfte vom letzten Divisor 655 2540 ist; so dividirt man mit diesem Rest 254 selbst in den letzten Divisor, und es , bleibt zum Rest 127. Dieser ist ^^5 >2 grade die Hälfte von 254: dem- ^ 5 4 ^ nach ist 127 das gesuchte gemein- 508 schriftliche Maaß. 127 Wenn 104775 28829 86487 18288 10541 Compl. 28829 10541 21082 7747 2794 Compl. 12541 2794 8Z82 2 iZ 9 6z 5 Compl. 92 Anfangsgründe der Rechenkunst. Wenn bey diesem Verfahren zuletzt i zum Rest kommt; so ist es ein Beweis, daß die gegebenen Zahlen kein andres gemeinschaftliches Maaß, als die Einheit haben, also Primzahlen unter sich sind. (66 §.) 8i §. wenn man zwo Zahlen durch ihr gemeinschaftliches gröftes Maaß dividier: so sind die Muorienren Primzahlen unter sich. Beweis. Es sey n das graste gemeinschaftliche ö Maaß der Zahlen ^ und 6, und — — 0, — — m y; so ist ^ X m und L — X m. Waren nun (chund ^ keine Primzahlen unter sich; so müßten sie noch ein andres gemeines Maaß » haben. Es sey demnach — — X und ^ so wäre k x » ?r «, und 6 X K, also— K x rr x «r und L — 6 x ?r x Demnach hatten und 6 das gemeine Maaß rr X M, welches größer als »r ist, wider die Voraussetzung. 82 §. wenn eil, Bruch — einem andern Bruch cs ^ , — gleich ist, und man multiplicirr den Zahler eines jeden mir dem Nenner des andern; so sind die Products axA und « x ö, gleich groß. Beweis. Es ist vermöge des z 8 §. — a «x- « , und -—^ . Nun wird verausgesetzt, s /o x S A daß M k : 5 x Der V. Abschnitt. yz «. . , a X /Z « xü --- fty: demnach,st auch-- — /3 ä X ,/Z (n §.) Ferner ist 5 X /Z ^ /Zxö X s, (zz §.) folg- lieh kann man mit diesen gleichen Producken auf bey- den Seiten multipliciren, und man erhalt a x A « x />. Wenn demnach ein Bruch — einem andern Bru- che -- gleich, und der Nenner des letztem kleiner- /? eben so groß, oder grösser, als der Nenner des erster» ist; so muß auch der Zähler des letztem im ersten Fall kleiner, im zweyken Fall eben so groß und im dritten Fall grösser, als der Zahler des erstem seyn. Denn «S ist vermöge des bewiesenen Satzös nx /Z — « xä. Wenn also i.) /Z << 5 ist, so giebt das a > « (4; §.) oder « < a. Ware 2.) B — L, so müste a — ca seyn. (44 H.) Wenn dagegen z.) /Z > L ist, so erhält man n < «(45 §.) oder« > a. 8Z §. s7 Z wenn ein Bruch — einem andern d:.ncl grössere Zahlen ausgedrückren Bruch - - Zlerey ist; so müssen die Duorienren des grossen Zah-- ^ lers durch den kleinern, und des grössten^ 7 en-- ° ncrs durch den kleinern dividier, gleiche Zah- len seyn. Und dafern der Bruch ^ nicht mehr ^ durch kleinere Zahlen ausgedru^Lr werden < kann; 94 Anfangsgründe der Rechenkunst. kann; so müssen die (Quotienten auch ganze Zahlen seyn. Beweis l. Weil --- - -- seyn soll; so folgt aus dem 82 daß iZ. ^ a x k sey. Man dividire auf beyden Seiten mit dem Product rr » L ^ ^ X ö a li 5 x a; so erhalt man-—-, also auch ^ ff axL (S8§.) a u II. Waren nun « und 5 die kleinsten Zahlen, wodurch sich der Bruch — ausdrücken last, die Quo- ^ ö ö kienten — und —aber keine ganze Zahlen; so müste ^ durch a dividirt einen Rest K, und 6 durch L divi» dirt einen Rest»- lassen. Wenn demnach (Z^und die Theile der Quotienten sind, welche ganze Zahlen wer- . . ^ K k den, so hak man — — 0 -i- — und — — § 4 L 4- . Sö rst aber —— vermöge des ersten 0 a 0 K. »- Satzes; allein so muß ^ 4. — seyn. K. ^ « - Da nun — und — eigentliche Brüche sind, weil a 0 K. < a und ^ < ö ist, so kann die Gleichheit nicht bestehen, dafern nicht ().— § ist. Denn da t) und ? ganze Zahlen sind, so ist auch ihre Differenz, wofern sie ungleich sind, eine ganze Zahl.. Man setze also, —, also noch um so 5 -t- —, folglich ci ch- ^ S a S MM dkjflr .'tz ^ s mehr / ^ > ^- , welches mit dem vorigen nicht bestehen kann. Demnach muß — o oder ^ k » lch— 2, und — — — seyn. Daraus folgt ver- a " 1^, . /r. Grunde nicht ---— einer gan. «. ftl.«/- ... >?. zen Zahl X seyn, weil sonst a. L. c. < . . . — «. /Z. ^.r,. wäre, und das kann nicht seyn, ohne nur in dem Fall« — «, und /Z. dl — ö. c. ^ .. ü. Dieftmnach muß auch ß — L seyn, und dl — c. ci. .. A. ü.; also ferner > — r, und jeder folgende Factor des Divisors so groß, als einer von den Factoren des Dividendi. Diescrwegen können auch zwo oder mehr Zahlen kein gemeinschaftliches Maaß haben, wofern nicht einer oder mehr von den einfachen Factoren, worin sich eine dieser Zahlen zerfallen laßt, unter den Factoren wieder Vorkommen, aus welchen sich die übrigen Zahlen durch die Multiplication zusammensehen lassen. Derjenige einfache Factor, welcher allen Zahlen gemein ist, oder das Product aller gemeinschaftlichen einfachen Factoren, wenn mehr vorhanden sind, ist das gröste gemeinschaftliche Maaß dieser Zahlen. 89 §. N)enn man die Summe aller einzelnen Ziffern einer Zahl, ohne Rücksicht auf die Dcrschredenheir ihrer Ordnungen mir z oder auch mir 9 dividier; so gehr die eine odcr die andere dieser Zahlen in der Zahl selbst, welche die Ziffern in ihrer Zusammensetzung ausdrm cken, nur alsdenn auf, wenn sie in jener Summe der Ziffern als Einern betrachtet aufgchr. Deweis. Jedes Glied der Reihe 1, 10, r 00 loov, u. s. f. durch 9, also auch durch z dividirk, läßt Der V. Abschnitt. ioi. laßt 7 zum Rest: folglich laßt jedes Glied der Reihe ^ 2, 20, 200, 20OO, u. s. f. durch 9 oder durch z ^ dividirt 2 zum Rest. Denn 20 — io -j- ic>, und jeder Theil durch 9 oder z dividirt läßt 1 zum Rest, also läßt das ganze 2 zum Rest. Wenn sonst eine von den übrigen einfachen Ziffern, die kleiner als 9 sind, eine Reihe Nullen Key sich hat; wie z. E. 700, und man dividirt sie mit 9 so muß ein Rest bleiben, - der dieser Zahl selbst als einen schlechten Einer be-^ ' ^ trachtet gleich ist. Denn es ist 700 — 7 mahl i oo," und jedes 100 mit 9 dividirt laßt i zum Rest, also muß das ganze 7 zum Rest lassen. Dividirt man hingegen eine Zahl dieser Art mit z so geht entweder chs ? darin auf, wie in zos, 600; oder es bleibt bericht selbe Rest, der gesunden würde, wenn nach der Zif- ^ fer des Dividendi keine Nullen folgten. Die Zahl ?' mit z dividirt laßt i zum Rest, also müssen 70, 70O, 7000, u. s. f. mit z dividirt auch i zum Rest b ^ lasse«. Die Zahl 8 mit z dividirt laßt 2 zum Ress und eben der Rest muß bleiben, wenn man 80, Zoo, V' 8OOO mit Z dividirt. Jede Zahl wie Z75 zerfallt von selbst in so viele xs' Theile verschiedener Decimalordnungen, als sie Zisi fern hat; es ist nemlich z?; — zoo -z- 72 -j- 5. Wenn nun die Zahl 9 in jedem dieser Theile aufgiett- ge; so würde sie auch in der Zahl selbst, als in der s Summe aufgehen. (67 §.) Dieser Fall aber kann nur eintreken, wenn jede Ziffer selbst die 9 wäre. ^ Im entgegen gesetzten Fall, wenn einige unter den ssx, Ziffern, woraus die Zahl besteht, mit der 9 einerley ^ sind, oder die Ziffer 9 unter denselben gar nicht vor- kommt, ist die Summe der Reste einerley init der ss Summe derjenigen Ziffern, die von 9 verschieden 'ch Gz sind. LO2 Anfangsgründe der Rechenkunst. sind. Wenn also 9 in der Summe dieser Reste auf- gehk, so geht 9 auch in der Zahl selbst auf, welche die Ziffern in ihrer Zusammensetzung ausdrücken, widrigenfalls aber nicht. (?o§.) Die Zahl z würde in jedem von den Theilen verschiedener Decimalordnungen aufgehen, worin eine Zahl, die über 10 hinaus geht, von selbst zerfallt, wenn unter den Ziffern, welche die Zahl ausdrücken, keine vorkamen, die von z, 6 und 9 verschieden wären: in allen andern Fällen ist die Summe der Reste einerley mit der Summe der Ziffern, die von z, 6, und 9 verschieden sind. Demnach geht die Zahl z nur alsdenn in der Zahl selbst auf, welche alle Ziffern in ihrer Zusammensetzung ausdrücken, wenn sie in der Summe dieser Ziffern als Einern betrachtet aufgeht. (70 §.) yo §. 1. ) Jede Zahl, die zur Rechten eine, zwo, drey und mehrere Nullen hak, geht mit io, ioo, 1000, u. s. f. auf; und daraus folgt: 2. ) Jede Zahl, die am Ende eine Null hat, ist durch 2 und auch durch 5 theilbar, (72 H.) also ist sie wegen der ersten Ursache eine grade Zahl. z.) Ferner jede Zahl, die am Ende eine grade Ziffer hat, ist eine grade Zahl; und eine Zahl, die am Ende eine ungrade Ziffer hat, ist selbst ungrade. Denn jene ist die Summe zwoer graben, diese die Summe einer graden und ungraden Zahl; also folgt der Satz aus dem 74 §. 4.) Zahlen, deren Endziffer ungrade ist, können mit keiner graden Zahl theilbar seyn, denn sonst wären sie auch mit 2 theilbar, (72 §.) welches nicht seyn kann, weil sie ungrade sind. 5.) Alle a' -Ml dB- j Wa i Am Der IV. Abschnitt. !OZ 'EiM I«W msltt ,^1 IVVV, Ä a" .'?^ !A>- 5. ) Alle grade Zahlen, die mit z oder 9 divi- dirt aufgehen, sind auch mit 6 theilbar. 6. ) Alle Zahlen, deren Endziffer 5 ist, gehen in 5 auf, vermöge n. 2. und 67 §. Ist die Endziffer einer Zahl von o und von z verschieden; so geht 5 in der Zahl nicht auf. (68 §.) Also kann in eben der Zahl auch kein Product aufgehen, das den Factor 5 hat. 7. ) Wenn eine Zahl die Endziffer 5 hat, und in einer graben Zahl multiplicirt wird; so ist 0 die Endziffer des Products. Denn das Product ist mit 5 theilbar; (n. 6.) also kann nur 0 oder 5 die Endziffer seyn. Eben dies Product ist eine grade Zahl, also hat es zur Endziffer die Null. 8 .) Wird eine Zahl von eben der Art mit einer ungraden Zahl multiplicirt, so ist das Product zwar auch mit 5 theilbar, aber eine ungrade Zahl; (74 §-) demnach hat es die Endziffer 5. 9. Alle Zahlen, welche am Ende zwo Nullen haben, sind mit 4 theilbar, weil sie mit ioo theilbar sind. Demnach sind auch solche Zahlen mit 4 theilbar, deren zwo Endziffern in 4 aufgehen: diejenigen aber sind nicht mit 4 theilbar, deren zwo Endziffern mit 4 dividirt nicht aufgehen. Ferner geht eine Zahl, wovon beyde Endziffern Nullen sind, auch mit 2 5 auf, also gehen nur diejenigen Zahlen mit 25 auf, deren zwo Endziffern, wenn es nicht zwo Nullen sind, mit 2 5 aufgehen. 10. ) Alle Zahlen, die am Ende drei) Nullen haben, sind mit 8 und mit 125 theilbar: demnach sind nur solche Zahlen, deren drey Endziffern, wenn es nicht drey Nullen sind, mit 8 oder mit 125 aufgehen, mit eben diesen beyden Zahlen theilbar. G 4 9r §. ;o4 Anfangsgründe der Rechenkunst. §. 91. Diese und andere Kennzeichen der Theilbarkeit lassen sich oft vortheilhaft anwenden, um einen Bruch nach und nach auf kleinere Zahlen zu bringen: auch findet man auf diesem Wege zuweilen das grösie gemeine Maaß zweyer Zahlen kürzer, als wenn man sich allein an dis Regeln des 80 §. hält, wovon das folgende Exempel eine Probe giebt. 2; 9 93 L ^ Zh« r -7 27-1 z 2 0 ; k Ivsr s 7 ^ rD r 8 Oo 2 j s 7 ge 8 I 1'9^'S'* Bey dem zuletzt gefundenen Bruch kann man noch die Divisionen mit 7 und mit n versuchen. Zwar läßt sich aus der Art, wie die Zahlen aus Zif- fern verschiedener Decimalordnungen zusammen gesetzt werden, auch für die Divisoren 7 und i1 ein ähnliches Kennzeichen der Theilbarkeit herleiten: allein die Anwendung dieser Kennzeichen ist weitläufiger, als wenn man die Divisionen mit 7 oder r r selbst versucht. Im vorigen Exempel findet man 7, *02 1 1 YI ! I Z r'Z'! 26Z'lZ 8^ und weil i z schon eine Primzahl ist, so haben beyde gleich anfangs gegebene Zahlen keine andre gemeinschaftliche Factoren, als die bisher gebrauchten, und das Product aller dieser Factoren in einander ist das gröste gemeine Maaß beyder Zahlen. (88 §.) In Fällen, wenn man noch zweifelhaft ist, ob die bey- den zuletzt herausgebrachten Zahlen schon unter sich Primzahlen sind, versuche man nach den Regeln des 8o §., ob man für sie noch ein gemeines Maaß findet. Man hat solchergestalt wenigstens den Vortheil, daß man diese Regeln auf kleinere Zahlen anwendct, als die anfangs gegebenen waren. ftchl ", U» K Ml« »k ii e Mit rrn A «lr: .-d' L> E ^ !42!i4j3 28Z5lz67l6zs2iIz Z78oj7z6l84l28!4 Das gesuchte Maaß ist 5 x 9 * z 7 — 94;. 2.) Wenn es noch zweifelhaft bleibt, ob die zu» letzt herauskommenden Zahlen schon unter sich Primzahlen sind, oder überhaupt keines von diesen Kennzeichen der Theilbarkeit bey den gegebenen Zahlen seine Anwendung findet; so wende man die Regeln des 80 §. auf folgende Art an. Nachdem man die gegebenen Zahlen/V, 6, L, v, nach ihrer Grösse geordnet hak, suche man zuerst das gröste Maaß für die beyden kleinsten A und 8. Dies Maaß sey kl, also k — kl. a, 8 — kl. //, da dann a und L unter sich Primzahlen sind; so können A - kl,r, 8 — K 1 S, und L keinen gemeinschaftlichen Divisor haben, der nicht zugleich in Kl ausgehk. Denn alle Factoren, wel» Gz che w6 Anfangsgründe der Rechenkunst. che diese drey Zahlen gemein haben, müssen Faktoren vonseyn, (88 §.) weil b/l das Product der Factoren ist, die A und ö gemein haben. Demnach suche man das gröste gemeine Maaß vonund L: wenn »r dies Maaß, und O — »r. c ist, so ist m für alle drey Zahlen L, L, das gröste gemeine Maaß. Nun können wiederum A —lA.a, k — b/l. L, L — M . r, und I) keinen gemeinen Divisor haben, wenn derselbe nicht zugleich in m aufgeht, weil alle Faktoren, welche diese vier Zahlen gemein haben, Faktoren von -,r seyn müssen: denn m ist das Product aller Faktoren, die 6, L, gemein haben. Diesemnach suche man aufs neue das gröste gemeine Maaß der Zahlen «r und O, so ist solches zugleich das gröste gemeine Maaß der vier Zahlen A, L, L, 1). Dies Verfahren läßt sich für so viel Zahlen als man will fortsehen: har man für eine gewisse Anzahl derselben das gröste gemeine Maaß schon gefunden, und es kommt noch eine hinzu; so sucht man für diese und das schon gefundene Maaß der übrigen aufs neue das gröste gemeine Maaß, so ist selbiges für olle vorige und die noch hinzugekommene Zahl das gröste gemeine Maaß. Wenn die Zahlen ;y8, 209z, 2Z02Z, 4 Z 74 Z 7 , gegeben sind, so findet man für die beyden ersten das gröste Maaß 299, und eben dieses Maaß geht auch in der dritten und vierten Zahl auf, also ist 299 für alle vier Zahlen das grvstö gemeine Maaß. Mit Itz. Der V. Abschnitt. IO7 Mieden Zahlen 144, 168,254, zo6, könnte man so umgehen ^ 144 72 24 Ä^>. 168 84 28 2 Z 4 117 Z 9 Z06 Zl ' I->i! Ä« >«« z,r,c 'S,k ?rck K L tzn» LS mehr; denn wenn gleich 24 und 28, noch 4 zum gemeinen Maaß haben, so sind doch 4 und 59, so wie 4 und 51 schon unter sich Primzahlen, also ist 6 das gröste gemeine Maaß für alle vier Zahlen. Der VI. Abschnitt. Von den vier Rechnungsarten mit Brüchen. 9Z §. /Ms sind zweene oder auch mehrere Brüche ^ gegeben, deren Nenner verschieden sind; man soll diese Brüche so verändern, daß sie alle gleiche Nenner bekommen, ohne die Grösse der Brüche selbst zu andern, oder wie man in der Rechenkunst zu reden gewohnt ist: man soll alle auf einerley Benennung bringen. Aufl. Dieser Aufgabe kann auf mancherley Art ein Genüge geschehen, und es kommt nur darauf an, daß man eine Zahl suche, die, sich durch jeden der gegebenen Nenner ohne Rest dividiren last. Hätte man die beyden Brüche ^ und ; so läst sich die Zahl 72 sowohl durch 12, als durch 8 theilen. Wenn man nun mit dem Quotienten, welchen die Division io8 Anfangsgründe der Rechenkunst. Division der Zahl 72 mit einem jeden der bcyden Nenner giebt, auch den zu diesem Nenner gehörigen Zähler multiplicirt; so erhält man statt der vorigen Zwsene andre ihnen gleiche Brüche, die beyde den Nenner 7 2 haben. Man findet nemlich 72:12 — . 7x6 6 und 72 : 8 — 9; ferner ^ —-: 12 x 6 L2 72 , und§ — 5 ^ 9 8x9 (?8 §.) 2lber man hatte auch eine kleinere Zahl für den gemeinen Nenner erwählen, und eben das erhalten können, weil beyde Nenner 12 und 8 auch in 24 aufgchen: auch ist es aus den bisher vorgetragenen sehren von den Brüchen schon bekannt, daß cs gewöhnlich am vortheil- hastesten sey, die Brüche durch so kleine Zahlen auszudrücken, als die übrigen Umstände zulassen : .deswegen sucht man so kleine Zahlen für die Brüche zu erhalten, als bey gleichen Nennern angehek. Ohne Zweifel ist in jedem Fall das Product aller Nenner in einander eine solche Zahl, die durch jeden Nenner theilbar ist, wie im vorigen Fall die Zahl 12 ^ 8 — 96 seyn würde. Wenn man also auf jenen Vortheil, den man bey kleinern Zahlen erhält, nicht Rücksicht nehmen wollte; so könnte man in allen Fällen bey zweenen Brüchen das Product beyder Nenner in einander für den gemeinen Nenner behalten, mithin eines jeden Bruchs Zahler und Kenner mir dem Nenner des andern mulripliciren. Nach dieser Regel erhalt man ^ — —— — H X 12 ^ 8 und - 5 - —-— HK, wo beyde neue Brüche 8x12 lben Nenner 96 haben. Wenn Ae v Ali«! >i ö wl« Lttk! Ist« kÄ? >eß D Der Vl. Abschnitt. 109 Wenn aber die beyden Renner ein gemeines Maaß haben; so kann man allemahl mit einem kleinern Nenner eben das erhalten. Man schreibe nemlich die Nenner, nachdem man ihr gröstes gemeines Maaß nach dem 8a §. gesucht, bey einander hin, dividire sic mit dem gefundenen Maaß, und schreibe die Quotienten darunter: so wird das Product des gebrauchten Maaßes, und der beiden Guorienten in einander, der gesuchte kleinste gemeine Nenner styn. Wenn man nun die neuen. Brüche selbst sucht; so ist es am bequemsten, die Rechnung so zu führen. Man schreibt die Brüche unter einander, und macht zur Seite zwo Columnen; oben, über der ersten setzt man den gefundenen gemeinen Nenner, und in dieser Columne neben jeden Bruch den Quotienten seines Nenners in den gemeinen Nenner; in der zwey-- ten Columne schreibt man denn die Products dieser Quotienten in die Zähler der zugehörigen Brüche: s» hat man die neuen Zähler gefunden. Auf die Art sind folgende E.rempel berechnet. ^ gegebene Nenner 12 8 gemeines Maaß 4) Quok. z 2 gemeiner Nenner - 4 x z x 2 — 24 -7 14 rZ 8 4 ) gegebene' Nenner gemeines Maaß Qliot. 2 i gemeiner Nenner --4x2 — 8 ,gsgebe» r i o Anfangsgründe der Rechenkunst. gegebene Nenner 12 9 gemeines Maaß z) Quot. 4 z gemeiner Nenner — zx 4 xz z6. 4 lZ 8 Man stehet hieraus leicht, daß man das Product beyder Nenner zum gemeinen Nenner behalten müsse, wenn diese Nenner Primzahlen unter sich sind: auch übersiehet man eben so leicht den Grund des ganzen Verfahrens. Denn man nimmt für den gemeinen Nenner ein Product an, worin alle Factorett eines jeden der gegebenen Nenner Vorkommen; also muß dies Product durch jeden der beyden Special-Nenner kheilbar seyn. Es giebt aber auch keine kleinere Zahl, welche eben die Dienste leisten könnte, weil eine Zahl, die hier brauchbar seyn soll, alle Factoren eines jeden der Special - Nenner enthalten muß. (88 §.) Es ist nicht schwer, die Anwendung hievon auch auf die Fälle zu machen, wenn mehr als zweene Brüche auf einerlei) Benennung gebracht werden sollen. Man hat wiederum eine Zahl zu suchen, die durch jeden gegebenen Nenner theilbar ist: wenn diese gefunden ist, so kann man sie zum gemeinen Nenner annehmen, und mit jedem Bruch wie vorhin umgehen. Ob nun gleich das Product aller Nenner in einander jedeömahl eine Zahl von dieser Beschaffenheit ist; so giebt es doch in allen den Fallen auch kleinere mit jedem Nenner theilbare Zahlen, wenn alle Nenner, oder wenigstens einige ein gemeines Maaß haben, da darin folgende Regeln dienen, den kleinsten General - Nenner zu finden: I. Man m 'lv. D-r VI. Abschnitt. > ^ I. Man schreibe die Nenner alle nach ein- ander bin, und wenn sie insgesammt ein ge- , ^ meines Maaß haben; so dividire man sie da- mir, und sitze die Guorienren darunter. Da- j j sern sie nicht alle ein gemeines Maaß haben; so dividire man mir dem Maaße, so die mei- ^ sten gemein haben, sitze die Gl,Orienten, und zugleich die Zahlen, welche nichc haben di- " ^ vidirr werden können, ungeänderr wieder bey einander hin. llilUi -ü!« rU > st 'uv Ü» vc» II. Mir diesen Guorienren, und nngean- derren Zahlen gehe man wie vorhin^ um. Man dividire mir dem Maaße, welches die meisten gemein haben, und lasse die Zahlen ungeänderr, die sich damit nicht rheilen lassen. Die solchergestalt gebrauchten Maaße werden jederzeit bey der Seite bemerket. III. Wenn man nun auf solche Zahlen gekommen ist, worunter keine weiter ein gemeines Maaß haben; so mulriplicire man alle zuletzt herausgebrachten Zahlen, und alle gebrauchten Maaße in einander: das Product wird der gesuchte kleinste General-Nenner siyn. Folgende Exempel werden diese Regeln erläutern: 6 z 42 84 21 ) 252 i? 5 - z 2 4 2) 4 2 54 Z i 2 gemeiner Nenner 2ib<2b Die VI. Abschnitt. uz (62 §.) Giebt dies einen uneigentlichen Bruch; so ist es gemeiniglich am bequemsten, durch die Division des Nenners in den Zahler die darin enthaltene ganze Zahl zu suchen, und den Bruch durch diese ganze Zahl, mit dem überdem darin enthaltenen eigentlichen Bruch auszudrücken. Die eigentlichen Brüche, welche herauskommen, drückt man durch ihre kleinsten Zahlen aus. Exempel. 2^2 Z6co 2lc> ÜLL! 7^ 4 5 ? z 8 45 iZ 5 ZO 2io 9 6 54 62 zoo W 77 3 33 L S 42 80 M IZ0 72 288 Sum. «' 2Z2 IOIZ Sum.- z6o oder 2444 70 142 5 42 168 6 7 zo 180 io; !OZ Sum. 593 210 oder 2144 95 §. Ein eigentlicher Bruch wird zu einer ganzen Zahl selten anders addirt, als dadurch, daß man ihn an der ganzen Zahl unmittelbar anhängt. Will man inzwischen den uneigentlichen Bruch haben, der eine ganze Zahl nebst einem Bruch enthalt, dcr letzte mag nun ein eigentlicher oder uneigentlicher Bruch seyn; so kann man die ganze Zahl als einen Bruch ansehen, dessen Nenner i ist. Alsdenn läßt sich dieser Bruch mit dem andern auf einerley Benennung bringen, Rarst.Mach.I.TH. H und ii4 Anfangsgründe der Rechenkunst. und die Summe kann nach dem vorigen §. gefunden werden. So wird z -s- -Z- — 4- -ß- — ^>. Eine ganze Zahl mit einen; daran Hangenden eigentlichen Bruch Heist auch eine vermischte Zahl, wie z-Z-, und -ein uneigenklicher Bruch ist allemahl einer solchen vermischten Zahl gleich, die gefunden wird, wenn man den Zahler des Bruchs durch den Nenner dividrrt. (zz §.) Jenes Verfahren stellt den uneigentlichen Bruch wieder her, dessen Zahler das Dividendum, und dessen Nenner der Divisor war. Wie nun die ganze Zahl, welche die Division giebt, mit dem Divisor, oder hier mit dem Nenner, multiplicirt, wenn der Rest dazu addirk wird, das Dividendum Herstellen muß, welches hier der Zähler wird; so übersehet man leicht, wie dies Verfahren mit dem 61 §. zusammenhängt. Practifche Schriftsteller nennen es: eins vermischte Zahl einrichren, wenn der uneigentliche Bruch verlangt wird, welcher mit der vermischten Zahl einerlei) Werth hat. Weil derselbe Nenner bleibt, so darf man nur ein für allemahl bemerken, daß der Zähler gefunden wird, wenn man die ganze Zahl und den Brenner in einander mulriplicirc, zum Product aber den Zähler des eigentlichen Bruchs addirt. 96 §. Einen kleinern Bruch vom grösser« zu subkrahiren, wenn beyde ungleiche Nenner haben. Al!st. Man bringe beyde aus einerlei) Benennung, so muß nun des kleinern Bruchs Zähler kleiner seyn, als der Zähler des grossem, und man kann nach der Regel des 6 z §. subtrahiren. Wenn Zähler und Nenner des so gefundenen Restes noch ein gemeines Der VI. Abschnitt. , ^ meines Maaß haben, so dividirt man damit, um den Rest durch seine kleinsten Zahlen auszudrücken. tz 'M „s ? H' riA t! Ä: W Mi lim, Ti uiw im? Ze '-A L 4 Exempel. r 2 zl z 1 l 5 7-1 Z !r; I Sj 4 l 8 I I 4 ! 4 s 8 Rest -A: Rest ^ Rest ^ ^ r Wenn man einen Bruch von einer ganzen Zahl subtrahiren soll; so stehet man die ganze Zahl wiederum als einen Bruch an, dessen Nenner r ist, und verfährt wie vorhin. Z. E. 7 — 4 " V — 4 — ^ — z 4. Ist es ein eigentlicher Bruch, den man subtrahiren soll; so weiß man, daß derselbe allemahl kleiner als 1 sey. Man darf demnach von der ganzen Zahl nur i abrechnen, den Bruch von i subtrahiren, und den Ueberschuß zu der um 1 verminderten ganzen Zahl wieder addiren. Z. E.; — 4 — 4 -i- 4 —4 — 4 4- H. Man kann auch dem uneigentlichen Bruch die Form einer vermischten Zahl geben, und die Rechnung auf folgende Art führen. 7 54 4 § 97 §. Einen Druch mir einer ganzen Zahl zu mttlttpliciren. Au fl. Man muß den Bruch so vielmahl zu sich selbst addiren, als die ganze Zahl anzeiget: (zo §.) also darf man nur den Zähler so vielmahl addiren, und den Nenner behalten. (62 §.) Aber das ist eben so viel, als wenn man den Zahler H 2 mit n6 Anfangsgründe der Rechenkunst. mit der ganzen Zahl multiplicirt. (zo §.) Folg« lich ergiebt sich die Regel: Man mulriplicire den Zähler des Bruchs mir der ganzen Zahl, und lasse den Nenner ungeänderc: so ist der neue Bruch das gesuchte producr. z. E. 4x7-^-^ 2 Z - — 24 Eine andre Auflösung. Eben dies Product kann man auch noch auf eine andre Art erhalten. Denn man betrachte zuerst einen Bruch, dessen Zähler 1 ist, z. E. so fällt in die Augen, daß man einen Bruch erhalte, ver doppelt so groß als der vorige ist, wenn man den Nenner halbirt, und 4 statt nimmt. Eben der Bruch wird viermahl grösser, wenn man den Nenner viermahl kleiner macht, und 4 statt nimmt. Eö fällt' eben so leicht in die Augen, daß 4 achtmahl grösser, als sey. Ein Bruch von dieser Art wird also mit einer ganzen Zahl multiplicirt, wenn man seinen Nenner mit der ganzen Zahl dividirt, ohne den Zähler zu ändern. Wenn man nun dabey in Betrachtung ziehet, daß jeder Bruch , dessen Zähler > i ist, die Stimme so vieler Brüche von jener Art sey, als der Zähler 1 enthält; so folgt daraus, daß diese Art, einen Bruch durch eine ganze Zahl zu multipliciren, sich allgemein auf alle Brüche erstrecke. - Denn es ist z. E. ^ 4 - -4 st- -V Also ^ 4 — (st4st-i^st-i-A-) x4 — 4st-?st"? (48 §.) — 4. Dies giebt die Regel: Das producr eines Bruchs durch eine ganze Zahl wird auch gefunden, wenn man den Nenner V'! E»> - ibr W Ml e« E »kr Ws m'L duini ich Der VI. Abschnitt. «7 Nenner des Bruchs durch die ganze Zahl di. vidirr, und den Zahler nichr andere. Eö ist übrigens diese Regel eine Folge der ersten. Wenn nemlich nach der ersten Regel ? * 4 x 4 - Zx 4 zx 4 -, so ist nach dem 5 8 H. auch i6 16:4 ^ - ?, also ^ x 4 - 16 Man sieht W rA Es Mai! Ü«! Mir ->,y Ä- -D )S' 'F leicht, daß dies alles nicht auf die bestimmte Grösse der zu Beyspielen gebrauchten Brüche eingeschränkt sey; sondern allemahl seine Richtigkeit habe, was auch für Brüche Vorkommen. Weil man allemahl gerne einen Bruch durch seine kleinsten Zahlen auödrückt; so ist eö vortheilhafter, einen Bruch mit einer ganzen Zahl nach der letzten Regel zu multipliciren, als wenn man es nach der ersten bewerkstelliget, dafern nur der Nenner des Bruchs sich durch die ganze Zahl ohne Rest dividi- ren läst: wiedrigenfalls würde im Nenner des Products ebenfalls ein Bruch kommen, und das Product ein gebrochener Bruch werden (58 §.) Ob nun gleich Brüche von dieser Art, wenn sie nach Verletzten Regel herauskommen, die Aufgabe eben so gut auflösen, wie die regulären Brüche, welche die erste Regel giebt; so vermeidet man sie doch gern in der Ausübung, weil der eigentliche Werth dieser Brüche nicht so unmittelbar in die Angen fällt, wie bey jenen regulären Brüchen. 98 §. Eineu Bruch mir einer ganzen Zahl zu di- vidiren. .H z Aufl. «8 Anfangsgründe der Rechenkunst. Aufl. Wenn zweene Brüche gleiche Nennee lind ungleiche Zähler haben; so ist ohne Zweifel der kleinere Bruch halb so groß als der größere, wenn sein Zähler halb so groß ist, als der Zähler des leh. > ten, und dies nicht allein: der erste wird der dritte, vierte, fünfte Theil, u. s. w. des zweyten seyn, wenn sein Zahler der dritte, vierte, fünfte Theil, u. s. f. von dem Zähler des zweyten ist; oder welches einerlei) ist, wenn fein Zählerder Quotient ist, den man durch dis Division des großem Zählers mit Z. 4. ;. u. s. f. findet. (42 §.) Dies folgt aus dem 92 §. und giebt die Regel: Man dividire den Zahler des Bruchs mit der ganzen Zahl, und laste den Kenner uns geändert; so ist der neue Bruch der gesuchte Guotienc. Demnach erhält man ^: z — ; 44 >' 5 — ^! 2 * ^ : z — —. Das lehte Erempel ergiebt, daß man 4 nach dieser Regel wiederum einen irregulären Bruch finde, wenn der Zähler durch die ganze Zahl nicht theilbar ist. Aber man kann den Quotienten auch auf eine andre Art erhalten, bey welcher nie irreguläre Brüche Vorkommen. Eine andere Auflösung. Wenn ncmlich der Zahler des Bruchs 1 lst, und man nimmt seinen Nenner doppelt so groß als vorher; so ist der Bruch die Hälfte des vorigen: denn es ist 4 ' 2; 2. Man L x 2 ^ ^ ^ Z x 3 " ^ sieht leicht, daß aus dem Bruch der dritte Theil des vorigen werde, wenn man den Nenner mit z mulci- vlicirt, di-B K!' dirB «ch t vc.- Äsr lMr - )> rhr L« Der VI. Abschnitt. n9 Ä,> plicirt, daß also z sey, und- 2 xz ' 4 xz — — 4 : z. (45 §.) Man erhält auf die Art allemahl denjenigen aliquoten Theil des Bruchs, den die ganze Zahl anzeigt, und der Bruch wird auf solche Art durch die ganze Zahl dividirt. Aber hieraus folgt die allgenieine Regel: Man mulriplicire den Nenner des gegebenen Bruchs mir der ganzen Zahl, und lasse den Zahler ungeanderr; so ist der neue Bruch der gesuchte Guoricnr. Denn jeder Bruch ist die Summe so vieler Brüchs von eben dem Nenner, mit dem Zähler r, als 3 in jedem Zahler i enthalten ist. So ist -Z- 2 — (-x -l- ch : 2 8x2 ch also - (46.92§.) Eben diese Regel ist auch eine Folge der vorigen, vermöge welcher ^ : 2 — E-gefunden wird. 3^2 ^.2x2 b 3 ^ 8 8x2 8x2 also auch 4:2 —-. - 8x2 4'4 — , 4 ? > 8 Eben so wird 4 : z — "7 72 , — 72 g'» 99 §- ^ Eine Grösse nur einem Bruch mulnpliciren Heist eine andre Grösse finden, worin derjenige ali« ' quote Theil dieser Grösse, welchen der Nenner des r§ Bruchs anzeigt, so vielmahl enthalten ist, als der Zähler des Bruchs Eins enthalt. Vermöge des ^ Sprachgebrauchs sind nemlich folgende Redensarten einerlen. Eine Grösse 4 inahl uehmeit, oder sie ^ ' H 4 durch i22 Anfangsgründe der Rechenkunst. durch 2 kheilen, ihre Halste nehmen: eine Grösse mahl nehmen, oder sie durch z theilen, u. s. st Weil nun bey ganzen Zahlen die Redensart: eine Grösse »mahl nehmen, so viel Heist, als sie mit der ganzen Zahl» multipliciren; so nennt man das auch mit einem Bruch von der Art, wie u. s. f. niultipliciren, wenn man das Multiplicandum ei- gentlich mit der ganzen Zahl z, 4, 5, u. s. st theilen soll. Eben so bedeutet die Redensart: eine Grösse ^ mahl nehmen, eigentlich dies: man soll ein Drittheil derselben 2 mahl nehmen. Wenn also ^ mahl nehmen eigentlich durch z theilen Heist; so ist 4 mahl nehmen so viel, als durch z theilen, und was heraus kommt, mit 2 multipliciren; und -Z- mahl nehmen Heist durch 8 theilen, und was heraus kommt, mit 5 multipliciren. Bey der Multiplication mit einer ganzen Zahl ist i im Mulciplicator so vielmahl enthalten, als das Multiplicandum im Product, und das Product ist so viel mahl grösser, als das Multiplicandum. Bey der Multiplication mit einem Bruch ist derjenige aliquote Theil der Einheit, welchen des Multiplikators Nenner anzeigt, im Multiplikator so vielmahl enthalten, als ein ähnlicher aliquoter Theil des Multi- plicandi im Product; und wenn der Multiplikator ein eigentlicher Bruch ist, so ist das Product kleiner, als das Multiplicandum. Die Bezeichnung bleibt ebenso, wie im zi §; denn dies Verfahren ist eine wahre Multip'ication, nicht des Multiplican- di selbst, sondern desjenigen Tcheils davon, der des Multiplikators Nenner angiebt. Uebri- genS sind eben die Redensarten gewöhnlich, wie in dem Fall, wenn der Multiplikator eine ganze Zahl jtz. V' ' W- Ar nul'l k ks. ^ ilstd« EskM iiieU L chlv ÄL Z 12! Der VI. Abschnitt. ' ',ili vkß wir sä» KiÄ »ui >. Ä !H!^ !>!'.^ irD -!Bl ,;O ,D 'K ist; man kann z. E. sagen: das Multiplicandum sey ^mahl, ^ mahl, ^ mahl im Product enthalten, wenn einer der Brüche H, L der Multiplicator ist. Dies will sagen: des Multiplicandi dritter Theil ist 2 mahl, oder dessen vierter Theil ist z mahl, oder desselben achter Theil ist ? mahl im Product enthalten. War der Quotient zwoer ganzen Zahlen in einander eine ganze Zahl, so drückte er aus, wie vielmahl der Divisor im Dividendo, enthalten sey. Nun kann man eben so reden, wenn gleich der Quotient ein eigentlicher oder uneigentlichcr Bruch ist, der sich nicht auf eine ganze Zahl bringen läßt. So kann man z. E. sagen: 4 sey H mahl in z, und 5 sey 2^mahl in 12 enthalten; das Heist: in der Zahl z ist der vierte Theil von 4 drcymahl, und in der Zahl 12 ist die Zahl 5 zweymahl ganz und überdem noch ihr fünfter Theil zweymahl enthalten. IOO §. Eine ganzeZahl mit einein Bruch zu mul- tipliciren. Aust. Der im vorigen §. erklärte Sinn der Redensart, was es heisse: mir einem Bruch mulripliciren, würde auf folgende Regel leiten. 1.) Man dividire die ganze Zahl mit des Bruchs Nenner, und multiplicire, was herauskommt, mit dem Zähler, wie folget. i 8 Z) Prod. 12 9) 7 2 8 !. 8 '' S — Prod. 64 H 5 5? ?22 Anfangsgründe der Rechenkunst. 8 ) 5 7 l7 Prod. 49H Prod. ^2 ^ Die Anwendung dieser Regel ist allemahl am vorthcilhaftesten, wenn die Division aufgeht. Sonst kann man auch die Ordnung der beyden Operationen rimkehren nach der folgenden Regel. II. -Man multiplicire die ganze Zahl mit des ^ Bruchs Zahler, und dividire das Product durch den Nenner; so ist das gesuchte Product gefunden. Beweis. Nach der ersten Regel wäre überhaupt ^ A A üe x rr A X —. " — X w, und es lst — X rr --, '» M s» »j ^ (97 §.) also auch A x M W Exempel. Prod. 49-z —Prod. Prod. - 8 4 4 218,- rZ) I Der Vortheil, wenn man in Fällen dieser Ark nach der zwevtcn Regel rechnet, bestehet darin, daß kein Bruch zum Vorschein kommt, bevor die Rechnung ganz zu Ende gebracht ist. roi §. Eine ganze Zahl und ein Bruch geben ei- mrley Product, wenn man jene mit diesem, oder diesen mit jener mulriplicirr. ' Beweis» Der VI. Abschnitt. rrz Beweis. Es ist 4 x. 4 4x2 z (ioo 2^4 2 X L , ^ '--(zz§.) und§X4---. <97§.) Also 3 Z ^ 4 x ^ x 4 (n §. Der Beweis ist an dis ^ Grösse der gebrauchten Zahlen nicht gebunden, also allgemein. ße 8 IO2 §. Gleiche Grössen durch gleiche Brüche mul- tiplicirr geben gleiche Products. Bcy gleichen Umlnplicandis gicbt der grössere Bruch ein grösseres producr, als der kleinere. Das grössere bBulriplicandum mit einem gröfsern Bruch mulriplicirr, giebr ein grösseres producr, als wenn man das kleinere mir dem kleinern Bruch mulriplicirt. Beweis. Wenn die Multiplicatores nicht Brüche von gleicher Benennung sind; so bringe man sie auf gleiche Nenner. (9z §.) Nun werden gleiche Multiplicatores auch gleiche Zähler, der größere aber wird einen grössten Zähler haben, als der kleinere, und denn folgen obige Sähe aus dem 97. 44. Z2. und z; §. lOZ §. Eine Grösse mit einem Bruch dividiren Heist eine neue Grösse suchen, wovon derjenige aliquote Theil, welchen des Divisors Nenner anzeigt, im Dividendo so vielmahl enthalten ist, als der Zähler des Divisors Eins enthält. Soll man die Zahl 2 4 r-lit s dividiren; so soll eine Zahl gefunden werden, wo- vonder vierte Theil z mahl in 24 enthalten ist. Wenn 124 Anfangsgründe der Rechenkunst. also 24 mit z dividirt, und die Zahl 8 gefunden wird; so hat man noch nicht den gesuchten Quotienten, sondern allererst den vierten Theil desselben, mithin muß die so gefundene Zahl 8 noch mit 4 mulki- plicirt werden, so erhält man die Zahl za, wovon der vierte Theil z mahl in 24 enthalten ist. 104 §. Die Division mit einem Bruch ist der Multi, xlication mit demselben Bruch eben so entgegen gesetzt, wie in dem Fall, wenn eine Grösse mit einer und eben derselben ganzen Zahl beydeö zugleich mul- tiplicirt und wieder dividirt wird, diese Rechnungsarten einander aufheben. (4 z §.) Derjenige Theil des Quotienten, welchen des Divisors Nenner an- zeigt, muß im Dividendo so vielmahl enthalten seyn, als in des Divisors Zahler Eins enthalten ist; das Heist, der Duorienc mir dem Divisor mulripli- circ, muß das Dividendum Herstellen, auch wenn derDivisor ein Bruch ist. Ferner: hat man mit einem Bruch multiplicirt, so ist derjenige Theil des Multiplicandi, welchen des Multiplikators Nenner anzeigt, in: Product so vielmahl enthalten, als Eins im Zähler des Multiplikators enthalten ist. Wird also das Product mit dem Zähler des Multiplikators dividirt; so hat man denjenigen Theil des Multiplicandi, welchen des MultiplicatorS Nenner anzeigt: und wenn derselbe mit diesem Nenner multiplicirt wird; so ist das Multiplicandum hergesiellt: das Heist,, das Product mir dem Multiplicaror dividirt muß das ZTIultiplicandum Herstellen, auch wenn der Mul- tiplicaror ein Bruch ist. ro; H. L K «d>! Ztzv sicht! Älli Ä»ß ^ MAS /MM ii>' IÄ liiipii» l, mj> M üt«ik Sk» -zzK Ai g l SS L >:U Der VI. Abschnitt. 125 IOZ §. Eine ganze Zahl mir einem Bruch zu -ividiren. Aust. I. Man dividier die ganze Zahl mit dem kommt mit dem Nenner desselben. (IOZ 6 j z 2?I 9 4) ! 3 4)1 4 Quot. 9 Quot. z 6 5lr4 29 I 5 ? 4) l 7 4 ) > 8 44 6 -^ 7 40 Quot. n4 Quot. 46 ^ Wenn die Division nicht aufgeht, wie in den beyden letzten Exempeln, so ist es vorteilhafter, daß man die Ordnung der beyden Operationen umkehre. II. Man multiplicire nemlich zuerst die ganze Zahl mit des Bruchs Nenner, und dividire, was herauskommt, mit des Bruchs Zahler; so ist der gesuchte Quotient gefunden. Beweis. Nach der ersten Regel ist ^ : — auch ^ x M, und — xm - .. —— rr -r -r M 5 29 4) 35 l 2Z2j z) jn^Quot. 5 > 46 ? 126 §. rr6 Anfangsgründe der Rechenkunst. io6 §. Eine ganze Zahl inir einem Bruch dividl, ren, heistauch, eine Zahl suchen, welche aus« drücke, wie viel,nah! der Divisor im Dividende» enthalten sey. Wie vielmahl ein Bruch, wie 2. in einer ganzen Zahl 27 enthalten sey, über, stehet man leicht, wenn man die ganze Zahl in einen Bruch von eben dem Nenner verwandelt, und so fragt: wie, vielmahl ist H in enthalten? Die Antwort ist mahl oder z6 mahl. Also weiß man, daß 2 6 mahl z, oder z mahl z6 (ivi §.) die Zahl 27 siebt: mithin muß z6 der Quotient seyn. r°7 §. Gleiche Grössen durch gleiche Brüche divi« dirt geben gleiche Guoriencen, und das grössere Dividenduin giebr einen grösser» (Quoru- enreii als das kleinere, bey gleichen Divisoren. Bey gleichen Dividendis aber giebr der grössere gebrochene Divisor einen kleinern, und der kleinere einen grössten Guocienren. Beweis. Wenn die Brüche auf gleiche Benennung gebracht sind; so folgt alles leicht aus dem ioz. 44.4;. Z2.§. ro8 §. Einen Bruch mir einem andern Bruch zu mulripliciren. Auflösung. Man muß das Multiplicandum mit dem Nenner des gebrochenen Multiplikators dividiren, und was herauskommt, mit dem Zähler desselben multipliei- ren (99 §.). Man dividire also das Mulkipliean- dum nach der ersten Regel des 98 §., und multipli- cire, Der VI. Abschnitt. !27 cire, was herauskommt, nach der zweyten Regel des 97 §. Das heißt: ^ I. Man dividire kreuzweise des Multiplicandi Zähler mit des Mulriplicators Nenner, und jenes , Nenner durch dieses Zähler: so ist der erste Quotient der Zahler, und der zweyte Quotient der Nenner des - ^xs„chten Products z. E. Ä.'» -'sdi Mb«. ''M MN. cder »u:;. z) 27 r) zr 5) 2 ) 28 7) s) 16 ' 2. Prod. Prod. 4 Prod. z Wenn die Divisionen nicht ansgehen, so giebk dies Verfahren einen gebrochenen Bruch, der allemal mit Beobachtung folgender Regeln vermieden werden kann. II. Wenn die Division des Zahlers zwar aufgeht, aber die Division des Nenners nicht aufgehen würde; so behalce man diesen Nenner: mulriplicire aber, was nach der Division des Zählers heraus- kommt, mit des Mulriplicators Zahler, wiestn den nachstehenden (krempeln geschehen ist. ?2 8 ) 71 ?7 4 7 28 -3 ^29 7 Z 2l Prod. -8 Z7 2 I Prod. — -9 Beweis. Man dividirt mit 4, wenn man V 28:4 den Zahler damit dividirt, und-erhält. (98 §. > tl ^ d 1. Aust.) Den so gefundenen Bruch multiplicirt h! man mit z, wenn man seinen Zähler mit z multi- > ^ plicirt, 128 Anfangsgründe der Rechenkunst. plicirt, also ^—- erhält, (97 §. i. Ausl.) und dies ist das gesuchte Product. (9 9 §.) III. Würde die Division des Zahlers nicht, wohl aber die Division des Nenners aufgehen; so behalte man den Zahler unverändert: mulkiplicire aber, was nach der Division des Nenners herauskommt, mit des Multiplicators Nenner, wie in folgenden Exempeln. ;6 ^8ls 9 Prod. Beweis. Man dividirt mit dem Nenner des Bruchs wenn man den Nenner des ersten 33 mit 8 multiplicirt, und-erhält. (98 H. 2. 3; x 8 Aust.) Den so gefundenen Bruch multiplicirt man mit 7, wenn man seinen Nenner mit 7 dividirt, also ——— erhält, (97 §. 2.Aust.) und dies ist das 35x8:7 gesuchte Product. (99 §.) Ferner istzzx 8 : 7 — ——— — ^ x 8 (97 §. l Aust.) also wird mit 7 Beybehaltung des Zählers der Nenner richtig gefunden. IV. Wenn keine von beyden Divisionen aufgeht; so mulkiplicire man beyde Zähler und beyde Nenner in einander: jenes Product ist alsdenn der Zähler, und dieses derMenner des gesuchten Bruchs. 7) Prod. 40 5 8 40 Le' e ss' ' c- z ' § km« 129 Der VI. Abschnitt. 51 '17 l-8 259 Prod. — ' 252. 411 274 roz6 518 Prod. V2LO 6216 Beweis. Der Bruch wird mit 9 dividirt, ? wenn man seinen Nenner multiplicirt, und ——— I! - 28x9 erhalt. (98 §. 2 Aust.) Der so gefundene Bruch l? wird mit 5 multiplicirt, wenn man seinen Zähler ^ multiplicirt, und erhält, (97 H. i.Aufl.) und das ist das gesuchte Product. (99§.) mt« E>!>^ ,xjß! ic>9 §. Zweene Brüche geben mit veränderten Mrdnung der Faccoren einerley Product. Beweis. Es ist ^ x ^ und c c >- ^ ^ Lx 0 77 ^ 77 — 77—^; llog §.) überdem aber x 1) 6 1) x 6 L — L x A, und 6x1) — I) x 6, wenn dis Buchstaben ganze Zahlen bedeuten: (zz §.) also Ein Product so vieler Facto'en, als man will, es mögen ganze oder gebrochene Zahlen, oder beyde ^ Arten durch einander seyn, ändert sich also nicht, zei'r wenn man die Ordnung der Factoren ändert. n Rürfl.Machem. l.Tl). ,I lry §. iZo Anfangsgründe der Rechenkunst. Hü §. Einen Bruch mit einem andern zu di- vidiren. Aust. Man muß das Dividendum mit des Divisors Zahler dividire«, und was herauskommt,, mit dem Nenner des Divisors mtiltipliciren. (ivz H.) Demnach dividire man mit des Divisors Zähler nach der ersten Regel des 98 §., und multiplicire, was herauskommt, mit des Divisors Nenner nach der zweyten ReHel des 97 §. Das heißt: i.) Man dividire grahezu des Dividendi Zähler mit des Divisors Zähler, und des Dividendi Nenner mit des Divisors Nenner; so giebt die erste Division den Zähler, und die zweyte den Nenner des gesuchten Quotienten. ;) 8^ ^-lz-rzQuot. 4 ) 5) 6) O.uot. Wenn die Divisionen nicht aufgehen, so giebt dies Verfahren wiederum einen gebrochnen Bruch, den man mit Beobachtung folgender Regeln vermeidet. S' fielst) «Kr O wl i II. Wenn zwar die Division des Zählers aber ^ nicht die Division des Nenners aufgehr; so behalte ^ man diesen Nenner: multiplicire aber, was nach ^ der Division des Zählers herauskommt, mit des Divisors Nenner. ks -») 9) O.uot. -7 l 3 Z8 >IZ L Quok. Beweis l Ä-N,,,, Der VI. Abschnitt. izi Beweis. Man dividirt mit 4, wenn man den Zähler mit 4 dividirt, und ——— erhalt. (98 ?»/... ÄL ÄSiA Kliü' 17 §. i.Aufl.) Den so gefundenen Bruch multipli- cirt man mit 9, wenn man seinen Zähler damit multiplicirt, (97 §. i. Auch) und r? erhält; also ist der Quotient 4 -ß: § richtig gefunden. Ir , _ . « -5« i-re-lT-i-— z ^ 5 Z 7 IZ 2l Beweis. Man dividirt xZ mit 5, wenn matt i ^ den Nenner damit multiplicirt, und--— erhält. 24 x 5 (98 §. 2 Auch) Den so gefundenen Bruch mul- kiplicirt man mit 8, wenn man den Nenner damit dividirt, und — erhält. (97 §. 2 Auch) 24 x z : 8 Ferner ist 24 xz: 8 24 * 5 - V ^ 5, (97 §- i. Aufl.) also ist der Quotient ^ ^ richtig gefurr- den. (ioz §.) I 2 IV. Wenn izr Anfangsgründe der Rechenkunst. IV. Wenn keine von beyden Divisionen aufgeht; so multiplicire inan kreuzweise des Dividendi Zähler mit des Divisors Nenner, und des Dividendi Nenner mit des Divisors Zähler: jenes Product giebt den Zahler und dieses den Nenner des gesuchten Quotienten. ^ s Quot. j Quot. Beweis. Der Bruch H wird mit 2 dividirt, wenn man seinen Nenner damit multiplicirt, und —— erhält. (98 §. 2. Ausl.) Der so gefundene 4x2 Bruch wird mit 9 multiplicirt, wenn man damit zx 9 seinen Zähler multiplicirt, und --erhalt. (97 h. i Ausl.) Demnach ist der Quotient ^ : Z richtig gefunden, (roz §.) " m §. Einen Bruch mit cinenr Bruch dividiren Heist auch, eine Zahl suchen, welche ausdrückt, wie vielmahl der Divisor im Dividendo enthalten sey. Die Antwore auf die Frage: wie vielmahl ist - in ^ enthalten? findet man leicht, wenn man beyde Brüche auf gleiche Benennung bringt, und so frägt: wie vielmahl ist in ^ enthalten? Die Antwort ist 2/mahl. Also weiß man, daß macht Z oder^ mahl (109 §.) die Zahl ^ giebt das Heist der 9te Theil von 2/ zweymahl genommen giebt ^: niit- hin ist ^ mit dein Quotienten ^: § einerlei'. (10zH.) Man kann also überhaupt sagen, eine Zahl mit einer andern dwidiren heisse, umersiichen, wie viel-» lü-' l E r's Ü5, - . ? - Der VI. Abschnitt. rZZ ''j-OxL, und ^ x (Z — 8 x L — I) x L. Weil nun 1) — — 8 war, so ist A x 0 - 8 xc — (-^ — 8) xc. Ferner ist ^ : L - 8: <4 -hv : L, also .V : 0- 6 : L—v : L oder ^:L- 6:0-(^-8) n; §- )lus dem bisherigen ist nun leicht abzunehmen, wie man die Regeln der vier Rechnungsarten anzuwenden habe, wenn unter den gegebenen Zahlen vermischte Vorkommen, die aus ganzen Zahlen mit angehangten Brüchen bestehen. Man kann solche Zahlen nach dem yz §. auf uneigentliche Brüche bringen, und mit ihnen in der Rechnung sodann nach Len Regeln der Bruchrechnung umgehen. Aber dies Verfahren ist nicht allemaht das kürzeste. Benin addiren ist es gemeiniglich am bequemsten, wenn man zuerst die angehangten Brüche summirt, die Summe, dafern ein uneigentlicher Bruch herauskommt, auf die darin enthaltne ganze Zahl bringt, und den übrig bleibenden Bruch unter der Columne der Brüche schreibt, hierauf aber die herausgebrachte ganze Zahl mit zu den ganzen Zahlen summirt. 7 2 . 7^ 9 6z 24 48 zz 8 56 Sum. 167 72 ) Z) 8 Z 9 (gem.Nen. z. 8 . Z—27.) 144 2Z I 4 Auch I z 6 Anfangsgründe der Rechenkunst. Auch beym Subtrahiren kann man zuerst die Rechnung mit den angehangten Brüchen vornehmen, und sodann zu den ganzen Zahlen fortgehen. Wenn hier die Zahl, welche man subtrahiren muß, einen grossem Bruch Key sich hat, als die, wovon man sie subtrahiren soll: so darf man nur von der ganzen Zahl Eins borgen, und dagegen zu dem anhangenden Bruch Eins znrechnen, wodurch denn die ganze Zahl um i vermindert wird. Z. E. * ^ 1^644 4I68 15z 95 4z Zl 6 z Nest nt 41^ 5 24 ZS 8 >_ Z 4 geg.N.8.Z.4-—96 Wenn bey der Multlplication an denFactoren Brüche hängen, so kann man jeden Theil des einen Factors mit jedein Theil des andern multipliciren, und zuletzt diese Producte addiren. (114 H.) Oder man kann auch beyde Factoren zuerst auf uneigentli- che Brüche bringen, wie man es am bequemsten findet. Z. E. 8 4 7 4^ 8 9 66 4 27 24 i 2 i gegeb. Nenner 4. Z. 2 — 24. Z Man Der VI. Abschnitt' iz? 66^ Prov. Man kann auch so rechnen. Es ist gz x^ x r; 69 8 iZ 87 Kll-L 2Z 3 24. 207 24 144. iz8 147 1587 24 144 W » >r'" Wenn der Divisor eine ganze Zahl ohne Bruch, und das Dividendum eine vermischte Zahl ist; so ist es vortheilhaft, jeden Theil der vermischten Zahl für sich zu dividiren, wenn der Divisor in dem ersten Theil des Dividende, soweit es eine ganze Zahl ist, aufgehet. Z. E. 256 8 ) Z2/r. In andern Fallen kann man das Dividendum auf einen uneigentlichen Bruch bringen, oder auch theilweise rechnen, wie man es bequem findet, z. E. 56 729^104^ 8 7) I 11 ? O.uot. 104 oderauch so: 58Z7 I? 8Z7 8 7) 7294 - !§6) 104^-. Zahl Wenn dagegen der Divisor eine vermischte ist; so muß man ihn allemahl auf einen uneigentlichen Bruch bringen, und da ist es gemeiniglich am Ä 5 kürze- iz8 Anfangsgründe der Rechenkunst. kürzesten, wenn man auch das Dividendum auf einen uneigentlichen Bruch bringet, besonders wenn die angehangten Brüche schon einerlei) Benennung haben, worauf man sie auch jedeömahl leicht bringen kann. Z. E. /« N c L ^ 2 — 6^9, ^,7. -r"Ö O B"o 0° 1ö"O O 0 c5 ) 2"*. UlchU Z ö ) ^ L0O000» Die Regel würde diese seyn. Man zerrhelle den Zahler in zwey Stücke, so daß das niedrigste Stück so viele Ziffern bekommt, als im Kenner Nullen sind; so wird dies letztere Stück der Zahler des anzn- bangenden Bruchs von eben dem Nenner, das andre Stück aber die ganze Zahl seyn, die nebst dein vorigen wahren Bruch in dem uneigentlichen enthalten ist. Man iS t Iimz« mÄr l'- .ip^' t---- r' Die VH. Abschnitt. izy Man pflegte daher in den gewöhnlichen Rechenbüchern wohl die Regel zu geben: man solle so viele 'Ziffern des Dividendi, als der Divisor Nullen hat, durch einen Strich, etwa auf die Art 5842^68957, rechter Hand ab schneiden; so sey die Division gesche- hen. Man hat alsdenn nicht nöthig, den Bruch -7ZZ44G besonders hinzuschreibe», da man ohnehin weis, daß die abgeschnittene Zahl sein Zähler, und die Einheit mit so vielen Nullen, als man Ziffern abgeschnitten hat, sein Nenner werde. Diese Art der Bezeichnung behalt man mit vieler Bequemlichkeit in der Mathematik bey, nur daß man statt des Strichs hier ein Comma (,) oder «inen Punkt (.) braucht, und auf folgende Art 58Z2,68957 den anhangenden Bruch von der voransrehenden ganzen Zahl unterscheidet. Ob zwar der Punkt auch gebraucht wird, die Multiplikation zu bezeichnen; so ist doch daher keine Verwirrung zu besorgen, wenn man bey Zahlen, woran dergleichen Brüche hangen, die Multiplication nie anders, als mit dein Zeichen >r andeutet. n? §. Auf solche Art hat man nie nöthig, den Nenner eines an einer ganzen Zahl Hangenden eigentlichen Bruchs ausdrücklich hinzuschreiben, wenn dieser Nenner die i ist mit einer Reihe daran Hangender Nullen, der Zahler des Bruchs aber aus eben so vielen Ziffern bestehet, als der Nenner Nullen enthalt. Ein Ausdruck von dieser Art 24,5747894 wird alle-- mahl den Quotienten bedeuten, der durch die Division dieser ganzen Zahl, ohne das Comma in Betracht zu ziehen, wm-de gefunden werden, wenn der Divisor die i wäre, mit so vielen beygefügten Nullen, als I4O Anfangsgründe der Rechenkunst. als nach dem Comma Ziffern folgen, deren im gegenwärtigen Fall sieben scyn würden. Also ergiebt sich von selbst, daß diese Zahl eben so viel sey, als 2 4 -j-^ 4 vKZK. Das Comma steht wenn man den Nenner weg laßt, allemahl bei) der Ziffer, welche die Einer bedeutet. Man stehet leicht, daß die Werthe der Ziffern, welche nach dem Comma gegen die rechte Hand zu folgen, nach eben dem Decimal-GeseH abnehmen, nach welchem die Werthe der Ziffern wachsen, die von dem Ort der Einer gegen die Linke fortge- hen. Jede gegen die rechte Hand folgende Ziffer hat einen zchnmahl kleinern Werth, als sie in der nächst vorhergehenden Stelle würde gehabt haben. So bedeutet jede Ziffer nach dem Ort der Einer, in der ersten Stelle Zehnkheile, in der zweyten - Hunderttheile, in der dritten - Tausendtheile n. s. f. von der Einheit. Man nehme nur die letzte Zahl zum Exempel, so ergiebt sich die Richtigkeit folgender Ausdrücke von selbst. 24,5 — 24-^ 24,57 — 24^0 — 24 -i- 4 - 24 ,5 7 2 — 24 — 24 ch ch ff- 1 °^ oF u. s.f. Es zerlegen sich demnach solche Brüche von selbst in solche Theile, deren Zahler einfache Ziffern, und deren Nenner folgende Zahlen sind: io, i oo, i ooo,i sooc> u. s. f. so daß jeder folgende Nenner zehnmahl grösser, als der vorhergehende ist. Man nennt sie Aecimal- Brüche. 7 1g H. Es lassen sich demnach die Ziffern, woraus ein Decimal-Bruch besteht, auf ähnliche Art, wie die Ziffern «r. Äl» N, lklil/. !N N «ichw ».il ,iK^ Der VII. Abschnitt. i4r Ziffern einer ganzen Zahl, in Ziffern verschiedener, aber abnehmender Decumrl-Ordnungen ein- theilen, so wie die Ziffern einer ganzen Zahl zu verschiedenen wachsenden Dreimal-Ordnungen gerechnet werden. Die Ziffer nach dem Ort der Einer gehöret zur ersten abnehmenden Ordnung, die zweyte zur zweyren u. s. f. H9 §. Will man einen solchen Bruch, dergleichen im 114 H. der Zahl 24 beygefügt ist, für sich allein hinschreiben, ohne ihn an eine ganze Zahl anzuhangen; so scheint eö, daß man sich obiger Verkürzung nicht bedienen, und den Nenner nicht weglassm könne. Allein da in diesem Fall keine ganze Zahl vorhanden ist, so ist nur nöthig, daß man in der Stelle, wo sonst die niedrigste Ziffer dieser ganzen Zahl stehen müste, eine 0 hinschreibe, und das Zeichen der Einer dabey setze. Diesemnach ist 0,5 7z 7894 — und diese Betrachtung last sich leicht allgemeiner auch auf solche Brüche anwenden, die von den bisherigen nur darin unterschieden sind, daß ihr Zahler aus weniger Ziffern bestehet, als im Nenner Nullen Vorkommen, wenn man auf folgende Um- staüde acht hat. 120 §. Eine auf gewöhnliche Art geschriebene ganze Zahl wird nicht verändert, wenn man linker Hand so viele Nullen, als man will, beyfüget. So ist 000074z ebenso viel als 74z, denn hiedurch ändert sich die Stelle der Einer nicht, wovon die Werthe der übrigen Stellen abhängen. Ist dies gewiß, so kann man dem Zahler eines Bruchs von dieser Art allemahl so viele Nullen voransetzen, daß die 142 Anfangsgründe der Rechenkunst. die Anzahl der Ziffern und Nullen zusammengenom/ men mit der Anzahl der Nullen im Nenner einerley werde, und so ist dieser Fall auf den vorigen gebracht. Man kann nun den Nenner weglaffen, und die Ausdrücke 2,2222745 (ng §.), werden einerlei) seyn, und einerley Zahl bedeuten. Ueberhaupt also wird die niedrigste Ziffer des Zählers von der Stelle der Einer um so viele Stellen wegzurücken seyn, als der Nenner Nullen enthalt; da dann nach dieser Regel auch felgende Ausdrücke: 0,000000052 und ^0-^-5°-°, imgleichen 0,00500705 und WZMoöö, einerley Zahl bezeichnen. . 121 §. Würde man an einer ganzen Zahl rechter Hand Nullen anhangen, so würde hierdurch allerdings der Werth aller ihrer Ziffern, und der ganzen Zahl selbst geändert werden. (15. 16. §.) Wenn man aber die Stelle der Einer mit einem Zeichen bemerkt, und hiedurch fest seht, das dies ein für allemahl die Stelle der Einer bleiben soll; so ändert auch diese Beyfü- gung der Nullen die Zahl gar nicht. Schreibt man nemlich nun rechter Hand eine oder mehr Nullen hinzu, so ist es so gut, als wenn nian hiedurch zwar init 1 2 oder 100 u. s. f. multiplicirk, aber zugleich mit eben der Zahl wieder dividirt. Es ergiebt sich nemlich nun von selbst, daß z. E. 155,22222 — (117 §.) —155 sey. Eben dies erstreckt sich auf jede nach den bisherigen Regeln ausgedrücktc Zahl. Wenn der Ort der Einer mit einem Zeichen ein für allemahl bemerket ist; so kann man am Ende rechter Hand so viele Nullen, als man will, anhangen, ahne daß dadurch die Zahl geändert wird. So ist auch Der VII. Abschnitt. 143 Z ^Ae '°ÄA ' llH, l°D. VU m rK,M KiÄ!»! «TB Kidtt^ mich z. E. 2,2224 — 0,20240000 24 löBoF ' 24OQOO T " 02 D DvDDck » !22 Zwo oder mehr Zahlen, unter welchen Decimal-Brüche vorkomnwn, zu dividiren. 2 lust. Man schreibe die Zahlen wiederum so untereinander, daß diejenigen einfachen Ziffern, welche zu einerlcy Ordnung gehören, untereinander kommen. Dieses erhalt man leicht, wenn man von jeder folgenden Zahl die Ziffer, so die Einer ausdrückt, zuerst unter der Elaste der Einer der vorhergehenden Zahl setzt: denn so ergeben sich die übrigen sowohl gegen die Linke als auch gegen die rechte Hand von selbst. Hierauf addrre man alle Zahlen nach den Regeln des 2z und 24 §, und bezeichne in der Summe die Ziffer mit dem Zeichen der Einer, welche in der Co- chmme der Einer zu stehen kömmt. Exempel. 7Z8,24oo^ 473,68z 25,9836 k 2,2642z Z24,Z222 L 2,724z 1288,52z6. Summe. 474,45153 Beweis. Jeder Ausdruck von dieser Art ist ein uneigentlicher Bruch, dessen Zahler die Zahl selbst seyn würde, wenn das Zeichen (,) wegbliebe, der Nenner aber die i mit so viel Nullen, als nach diesem Zeichen einzelne Ziffern folgen. Wenn nun gleich in den Zahlen, welche man summiren soll, die Anzahl der Decimal-Stellen und also die Benennung ungleich ist: so kann man doch diese dadurch in allen gleich machen, wenn man rechter Hand an jeder Zahl so F V ?44 Anfangsgründe der Rechenkunst. so viele Nullen anhängk, bis alle gleich viel Dreimal, stellen haben (121 §), und so sind dies lauter Brüche von gleicher Benennung. Deswegen summirt man nur ihre Zähler, und behalt den gemeinschaftlichen Neuner in der Summe dadurch bey, daß man so viel Dreimal-Stellen rechter Hand abschneidet, als der gemeinschaftliche Nenner Nullen hat (94 §.) Man sichet leicht, daß es zum wirklichen summiren nicht erfordert werde, die Nullen den Zahlen, wie /V und L, beyzusügen: deswegen können sie allemahl, wie im zweyten Exempel, wegbleiben. I2Z H. Zwo Zahlen sind noch von der Art, wie im vorigen H, und es wird verlangt, die kleinere von der grösser» zu sübrrahiren. Aust. Man schreibe die Zahlen wie vorhin untereinander, und subtrahire nach den Regeln des 27 §. Zm Rest setze man bey der Ziffer das Zeichen der Einer, welche in der Columne der Einer der gegebenen Zahlen zu stehen kommt. Epempel. 782,57408 554,7572000 _ 259,4507287. Rest 268,64208 Rest 295,5064717. Beweis. Die Regeln beruhen auf eben den Gründen, wie im vorig. §. bey der Addition, wenn man hiemit den 96 H. vergleichet. Wenn die Zahl, welche man subtrahiren soll, mehr Decimal-Stellen enthält, als die andere: so fällt es gleich in die Augen, wie die Regeln des Borgens hier angewandt werden müssen, wenn man durch Beyfügung der Nullen die Anzahl der Decimal-Stellen gleich macht. Eben deswegen sind hier die Nullen im zweyten Exem- Ml «mb chm! sM a bßr fG i I »» Etz «l«' Der VH. Abschnitt. r 4 Z k.rempel nur beygefügt, da man sonst, wenn man im Rechnen geübt ist, auch hier nicht nöthig hat, sie hinzuschreiben. 124 §. - Äch Zwo Zahlen von eben der Art Ln einander se ^ zu multipliciren. Aust. I. Man sehe die Zahlen, wie es bey der >«>«,; Multiplication ganzer Zahlen gewöhnlich ist, unter- einander, und verfahre nach den Regeln des 41 §., ohne daß man während des Rechnens die Zahlen selbst anders als ganze Zahlen ansiehet. Am Ende ÜilM« der Rechnung sehe man das Zeichen der Einer so, daß rechter Hand desselben so viele Decimalstellen folgen, als in beyden Factoren zusammen vorhan- den sind. Pt, U Exempel. 75,5 485 o,ooz 24 Z,?24 O,0OO00Z3 2941 9Z2 1472966 »ch'H 5148581 L 206449 648 _ 972 O,oooooooiOz68 Prod. 275,8938692 Prod. Wenn im Product nicht so viele Ziffern heraus- kommen, als nach der Regel Dreimal-Stellen in demselben seyn sollen: so schreibt man nach dem 122 ^ §. linker Hand so viele Nullen nach einander hin, bis man in allen so viel Ziffern hat, als die Regel ersor- dert, und Überbein noch eine Null für die Stelle der Einer, wie im zweyten Exempel geschehen ist. Rarst.Matbem.I« Th. K Do- 146 Anfangsgnmde der Rechenkunst. ' Beweis. Eü sind hier nemlich zweene Brüche- zu multipliciren, deswegen ist das Product ihrer Zahler des Products Zähler, und das Product ihrer Nenner des Products Nenner. (i c>8 §.) Da nun der Nenner eines jeden Factors so viele Nullen hak, als dieser Factor Decimalstellen enthalt; so bekommt das Product der Nenner so viele Nullen, als die An- zahl der Decimalstellen bcyder Factoren zusammen ausmacht, und dieser Nenner wird dadurch ansge- drückr, daß man im Product eben so viele Dreimal- Stellen abschncidet. (117 §.) III, Sich' dm «sn n. Ob es gleich an sich nicht nothwendig ist, so hat es doch zuweilen sonst seinen Nutzen, wenn man beyde Factoren wie beyn» addiren, (122 §.) so unter einander setzt, daß die Einer, mithin auch die übrigen zu einerlei) Decimal-Ordnung gehörigen Ziffern, unter einander kommen. Alsdenn kann mit der Ziffer des MultiplicacorS, die in der Stelle der Einer steht, die Multiplication angefangen werden, und die niedrigste Ziffer dieses ersten partialen Products kann grade unter der niedrigsten Ziffer des Mulriplicandi ihre Stelle erhalten. So wie nun jedes folgende Product in eine nach der linken folgende Ziffer deö MultiplicatorS um eine Stelle weiter gegen die Linke gerückt werden muß; so rückt inan auch jedes folgende Product in eine nach der Rechten folgende um eine Decimal-Ordnung niedrigere Ziffer des MultiplicatorS um eine Stelle weiter gegen die Rechte. Solchergestalt komme!» alle Ziffern, die zu einerley De- cimalordnung gehören, in einerlei) Eolumne, und da- erste Erempel des vorigen §. laßt sich so berechnen. W Len svm W krEi Cd A !kjk 71 , Der VN. Abs 73,5483 3,724 " ff 220,6449 51,48381 1,472966 294r93 ''' Prod. 27^,89^869 -47 - -ffw Reihe daran Hangender Nullen; so verrücke man das. Comma von der Stelle der einer im Multiplicando um soviele Stellen weiter nach der Rechten, als im riÄnI i Multiplicator Nullen sind, so ist die Multiplication geschehen. Waren im Multiplicando nicht soviel /««Decimalstellen, als im Multiplicator Nullen sind; müste man dem erstem soviele Nullen beyfügen, ,m »dis die Zahl der Ziffern und Nullen nach der Stelle »MM der Einer so groß wäre, als die Zahl der Nullen im Multiplicator. Man findet nemlich nach der isten 6,2754 ^ iOoo-6z75,4OOO —6Z7Z,4, 7,2Z X IOOQO — 72ZOO,00 — 72ZO0. -7-- , I2Z §. . >: ? Eine Zahl, woran Decimal - Stellen han- ff! gen, durch eine kleinere dergleichen Zahl zu dividiren. . Ausi. I. Wenn im Dividendo mehr Dreimal- Stellen, als im Divisor vorhanden sind; so verfahre - v ^ *""n ^uch hier völlig nach den Regeln des 6o §, und ^ sehe bey der ganzen Rechnung die Zahlen nicht an- derö als ganze Zahlen an. ll. Bleibt zuletzt kein Rest, so schneidet man im '^i Quotienten'so viele Decimal-Stellen ab, als das Dividendum mehr, denn der Divisor enthalt, wie K 2 im !^8 Anfangsgründe der Rechenkunst. im ersten Exempel, so hat man den ganzen Quo» timten. NI. Bleibt aber ein Nest, den man nach den gewöhnlichen Regeln nicht weiter dividiren kan; so bestimmt man zwar die Decimal-Stellen des bisher gefundenen Quotienten nach voriger Regel, addirt aber dazu einen Bruch, dessen Zähler der Rest ist, sein Nenner aber ein Product aus dem Divisor in die i mit so vielen Nullen, als cher erste Theil des Quotienten Dreimal - Stellen hat. Exempel. 5,816. 3 7,2 2 2 4 6,4 ... 2 0... 2,334 Z22.. i,6 . 64.. 73 . 5 l 2 . . 16. 10 2. 64. 64. 94 3 84 16 64 ^_82- 3 84 14 r,45 Beweis. Man soll hier einen Bruch durch den andern dividiren: also ist der Quotient ein Bruch, dessen Zahler und Nenner sich durch die Division der beyden Zähler und Nenner des Dividendi und Divisors in einander ergeben (no §). Aber der Quotient der Zähler ist die nach der i Regel gefundene Zahl selbst; der Quotient der Nenner ist die i mit so viel Nullen, als das Divideydum mehr Decimal- Stellen > 5 « L B- L« rersi ik- Wd sch ?!- D kn L dii Der VII. Abschnitt. »49 Stellen hat, denn der Divisor; und dieser wird durch das Abschneider! eben so vieler Decimal-Stel- lm in Quotienten auögedrückt, wenn alles aufgehk. Ist dies nicht, so wird der Zahler des Quotienten selbst eine ganze Zahl mit dem Bruch, welchen die Division nach den.R^eln des 6c> § gicb'k, sein Nenner aber noch der vorhin gedachte» Demnach muß die ganze Zahl des Zählers so viele Decimalstellen bekommen, als die Regel ausdrückt; der Bruch, als der zweite Theil des Zählers, aber muß mit dem vorbin gedachten Nenner noch diridirt, oder, welches dasselbe ist, sein Nenner damit multiplicirk werden. -i, Dieser Beweis wird völlig erläutert, wenn man ^ ^ sich die Berechnung des vorigen Eremxels so vorstellt. 1 d.,' Ml r 6 ^ r o 2ZZ4 : c6 145^4 IOO IO0 IV. Wenn der Divisor eben so viel, oder mehr Deeimal-Stellen, als das Dividendum enthält; so l kann man vermöge des 121 § so viele Nullen rechter ^ Hand anhängen, als man für nöthig findet. Eben dies Verfahren kann man allemahl anbringen, wenn 14 man den Quotienten in mehrern Deeimal-Stellen ausgedrückt verlanget, als die III Regel geben würde. Man schreibt zum Dividende» so viele Nullen hinzu,'h ' cstö man für gut findet, (diese können auch, weil es > einerlei) ist, dem letzten Rest beygefüget werden). Es läst sich nemlich allemahl zum voraus absehen, wie viele Decimak-Stellen man im Quotienten erhalten . wird, weil es jederzeit so viele sind, als im Divi- , ', dendo mehr denn im Divisor Vorkommen. Je mehr Deeimal-Stellen man im Quotienten berechnet, desto" K z genauer izo Anfangsgründe der Rechenkunst. genauer erhalt man denselben, und zuweilen völlig genau, wenn alles aufgehek. Dies erfolgt bey dem , letzten Exempel würklich, wenn inan dem Dividend» ! drey Nullen beyfügk, wie nachstehende Berechnung Zeiget. 2,z z 4 o o O i,6 .... . 7 Z . . . . i 6 ... . 64.... 1,4 5 87 5 . 9 4 . « » i 6 . . . 80. . . 140. . i 6 . . 128.. 12 0 . i 6 . i i 2 . 8 0 i 6 8 c> iB tcN 5^ pkiki de»' An andern Fallen aber erhalt man den Quotienten nie völlig genau in Dreimal-Theilen, so lange noch ein Rest bleibt. Dieser Rest, als der Zahler des noch anzuhan- genden Bruchs, ist nie grösser als der Divisor, (wenn hier nach der 1 stcn Regel die Zahlen noch als ganze Zahlen angesehen werden). Für jede folgende Dici- malsrelle Et le» W tz E la Der VH. Abschnitt. izr malstelle des Quotienten wird der Nenner des anzu hängenden Bruchs zchnmahl grösser, also wird dieser Bruch viel kleiner, als er vorher war. Er ist nemlich nie so groß, als eine ganze Einheit von eben der Qrdnung senn würde, wozu die lebte Decimal- Ziffer des Quotienten gehöret. Wenn inan demnach mit der Division so lange fortfahrt, bis man auf so kleine Decimal-Ziffern kommt, die man in der Ausübung aus der Acht lassen kann: so ist man auch um so mehr berechtiget, den letzten noch anzuhangenden Bruch wegzulassen. V. Wenn der Divisor Eins ist mit einer Reihe anhängender Nullen, so ist die Division geschehen, wenn man im Dividende das Comma um so viele Stellen gegen die linke rückt, als im Divisor Nullen sind. Waren also im Dividende vor dem Comma nicht'so viele Ziffern befindlich, als Nullen im Divisor sind; so müsse man so viele Nullen, als nö- thig, voransetzen, und überdem noch eine Null in die Stelle der Einer des Quotienten setzen. Es ist nem- lich 4Zg6,2; : ioOo— 4ZZ62Z ; 100220 (6;§.) — 4,z5625, (116 §.) und 2,4 : 1222 — 24 : loooo — 0,2024. (122 §.) 126 §. Emen eigentlichen Bruch durch Dreimal- Brüche auszudrückcn. Ausl. Man bemerke die niedrigste Ziffer des Zahlers mit dem Zeichen der Einer, dass, n der Zähler nicht schon selbst Dreimal-Stellen enthalt: so erhält man die Freiheit, rechter Hand so viele Nullen, als man will, anzuhängen, ohne daß sich die Grösse des Zählers ändert. (121 §.) Hierauf dividire man K 4 den lZ2 Anfangsgründe der Rechenkunst. den Zähler durch den Nenner nach den Regeln der vorig. §.; so wird man den Quotienten, welcher mit dem Werthe des Bruches einerlei) ist, entweder genau, oder doch wenigstens so nahe, als man will in Dreimal- Theilen enthalten. * Exempcl. i.o 2 10 o,5 4,0 5 40 0,8 Z.os 4 28 2O 20 2,0 O 0 Z . . r 8 . . o,6 6 6-5/^. 7,o c> 0 9. - 6z.'. 2 0 . 3 . i 8. 70 . 9 - 6 z . 2 c> ? i 8 7 c> 9 6 z kiD. üikkhä zjgO kiid d llGd iM dl«! 0,7 7 7s «^0 »* Es fallt sogleich in'die Augen, daß in den beyden letzten Exempeln nothwendig allemahl ein Rest bleiben müste, woraus also erhellet, daß sich nicht jeder Bruch genau in zehntheilichten Brüchen ausdrücken lasse. Wenn man demnach in solchen Fallen die Einheit in io, oder ioo, oder i ooo Theile u. s. f. ein- Der VII. Abschnitt. < izz «lntheilt, so daß die Anzahl der Theile ein lVluIti- plum der io mit sich selbst ist, und man macht auch diese Anzahl der Theile so groß, wie man will; so wird doch nie eine bestimmte Menge derselben zusammen genommen'eben so viel von der Einheit auö- machen, als der gegebene Bruch. Im ersten Exempel erhält man nie zwcy Drittheile, und im zweyten me sieben Neuntheile der Einheit. Je mehr Deci- malstellen man inzwischen berechnet ) desto genauer wird der Werth des Bruchs in Decimal-Theilen ausgedrückt, und der Jrrthum, den man mit Weglassung des noch anzuhangenden Bruchs begehet, kann kleiner werden, als jede Grösse, dkefich angeben last. Dies letztere werden folgende Sätze deutlicher ins Acht setzen. 127 §. Wenn zwo gleichartige Grössen und e ungleich, und so sehr als man will, unterschieden sind; so kann man die kleinere e so oft zu sich selbst addiren, daß die Summe endlich grösser als^ wird: oder welches einerlei) ist, man kann e mit einer so grossen ganzen Zahl w multipliciren, daß das producr ms grösser als ^ wird, e sty so klein, als man wolle, dafern e nur noch eine Grosse, und mit ^ von einerlei Art ist. 128 §. wenn demnach eine Grösse ^ mit einer: ganzen Zahl m dividirr wird; so kann man diese Zahl M allcmahl so groß nehmen, daß der (Quotient— kleiner wird, als jede an- M dere mir ^ gleichartige Grösse e, die sich an-- angeben last, die letztere sey so klein als sie will. ' K 5 Beweis. i54 Anfangsgründe der Rechenkunst. Beweis. Es sey e eine Grösse, so klein, als man will: so nehme man e so vielmahl, daß die Summe oder daö Product me > ^ wird. (127 §.) Ist dies geschehen, so har man e > —, (44 §.) oder — < e. ^ 12 9 S. Diese beyden letzten Satze lassen sich leicht auf den 12 5 und 12 6 §. amvenden. Der dem Quotienten beyzufügende Bruch ist allemahl ein gebrochner Bruch, dessen Zahler kleiner als 1, dessen Nenner aber ein Product ist, welches entstehet, wenn die Zahl 10 mehrmahl »rach einander wieder mit 10 mul- tiplicirt wird; und dies Product kann sogroß werden, als man will. Wenn also der Zähler dieses gebroch- nen Bruchs ^ ist, und sein Nenner so ist m entweder io, oder ioO, oder 1000 u. s. f. Verlangt man nun, dieser Bruch soll kleiner werden alls c, wy e z. E. ein Milliontheilchen, Billiontheilchen u. s. f. des Ganzen bedeuten kann: so dars man nur so lange fortrechnen, bis 1» > als eine Million, Billion u. s. f. wird, oder welches einerley ist, bis mr > i wird. Ist dies geschehen, so ist auch me > weil ^ < i seyn muß, folglich — r. m IZO §. Wenn man mit solchen Brüchen, die nicht völlig genau in Dreimal-Theilen ausgedrückt sind, dahin denn alle nach den Regeln des 12z und 126 §. berechnete Quotienten gehören, wenn der letzte noch anzuhängende Bruch weggelassen ist, aufs neue Rechnungen vornimmt; so können die Resultate nicht genau l -kB -hrc iB> ki-ir- !>^ r !«ri zrr > A > Ä K L ir d l- Der VH. Abschnitt. rzz nau herauskommen. Sie werden mehr oder weniger unrichtig seyn, nachdem inan jene Quotienten mehr oder weniger genau berechnet hat. Qb man nun gleich in der Anwendung mit diesen nicht ganz genau richtigen Resultaten in den meisten Fallen zufrieden seyn kann; so muß man dennoch die Prüfung, wie weit sie richtig sind, anstellen, und die Grösse deöIrrthumö schätzen können. Bey der Addition zwoer Zahlen von dieser Art kann die letzte Ziffer schon unrichtig seyn, wenn an den summirten Zahleir gleichviel Decimalstellen Ham gen. Z. E. " ^ — 0.666666 rc. — 0.777777 rc. ^ — o.Zzzzzg rc. ^ 0,666666 rc. i — O.999999 rc. — 1.44444z rc. Im ersten Exempel sind alle Ziffern der Summe richtig, im zweyten aber ist die niedrigste Ziffer zu klein, wovon die Ursache leicht in die Augen fallt. Hatte man nämlich in jeder von beyden summirten Zahlen noch eine Ziffer mehr genommen; so wäre in der siebenden Decimal-Stelle die Summe rz geworden, und dies hätte die sechste Decimal-Stelle der Summe um Eins vergrößert. Im ersten Exempel wäre dies nicht geschehen. Aus einer ähnlichen Ursache kann bey der Subtraktion die letzte Ziffer im Rest zu groß herauskommen. So stndet man durch die Subtraktion V — r, 444444 rc. — 0,777777 rc. ? — 0,777777 rc. -z- — o,z zzzzz rc. ^ — 0,666667 rc. S — 0,444444 rc. Aber im ersten Exempel ist die letzte Ziffer des Restes um r zu groß, weil beym Subtrahiren in der sieben- 156 Anfangsgründe der Rechenkunst. siebenden Decimal-Stelle, wenn sie ausgedrückt wäre, von der Ziffer 4 in der sechsten Stelle 1 wäre weggeborgt worden. Im zweyten Exempel fällt diese Ursache weg, und kommen alle Ziffern des Restes richtig heraus. izi. §. Bey der Multiplication zwoer Zahlen von der Art, wie im vorigen §., verfahre man nach der-llten Regel des 124 ; so läßt sich die Prüfung ebenfalls ohne Schwierigkeit anstellen, .wie weit die Ziffern des Products richtig sind. Z. E. ^ ^ 0,666666 4 — V,ZZZZZZ 0,1999998 199999 19999 1999 ^99 19 8 98 998 9998 99998 -Z- — 0,2222217 77778 Es ergiebk sich leicht, daß hier aufs Höchsts nur die sechs höchsten Ziffern richtig seyn, können, und die siebende gewiß schon zu klein sey. Denn die siebende Ziffer 8 des ersten einzelnen Products ist aus einer ähnlichen Ursache schon zu klein, die bey der Addition im vorigen §. statt hatte. Es würde nem- lich die Ziffer nicht 8, sondern 9 geworden seyn, wenn im Multiplidando nur noch eine Stelle mehr genommen wäre. Die Ziffern, welche im Product nach der siebenden folgen, werden um so weniger richtig seyn, weil immer mehr Ziffern in den einzelnen Producten Der VII. Abschnitt. 157 Produkten fehlen, die einen Einfluß in die Summe haben würden. - Die siebende Ziffer des Products aber ist nicht ' allein aus der Ursache zu klein; weil die siebende im ersten einzelnen Product zu klein ist; sondern auch . deswegen, weil in der siebenden Columne unten noch ^-'kk eine Ziffer fehlt, die hinzu gekommen seyn würde, wenn man im Multiplikator eine Ziffer mehr genom- men hatte; dies wäre im gegenwärtigen Fall die i gewesen. tl!---,-' AH ^ Endlich drittens erhellet, wenn alles vollständig wäre, daß bey der Addition der achten Columne, auch mehr würde in mente geblieben, und hierdurch ebenfalls die Summe der siebenden Columne vermehrt worden seyn. Diese drey Umstande zusammengenommen ergeben, daß wenn alles vollständig wäre, zur siebenden Columne so viel hätte hinzukommen können, daß auch hier bey der Addition ein mehreres in ments geblieben, und hiedurch auch-die sechste Ziffer der Summe grösser geworden wäre, wie es denn leicht erhellet, daß im Exempel die Ziffer 2 stakt i hätte herauskommen müssen. Wenn man diese Sache genauer ansiehet; so nimmt man leicht wahr, daß es unnöthig sey, die nach der siebenden Decimalstelle folgenden Ziffern in den einzelnen Producten hinzuschreiben, die im Exempel durch einen Strich von den übrigen abgesondert sind. Man kann sie füglich alle weglaffen, und inan wird doch das Produck bis auf die zwo letzten Ziffern richtig herausbringen. Dies ist der Grund von der so iz8 Anfangsgründe der Rechenkunst. so genannten abgekürzten Mttltipiication, und man nimmt ohne Schwierigkeit wahr, wie sich dies Verfahren in jedem andern ähnlichen Fall anbrinaen lasse. Z-E. 7 s — 7,44^3-1-4 Zs — Z ,57^44« ^ 22,2857142 Z/71428572 51999997 742857 »97142 14856 59 Z 6 _Z72 26ßZ — 26,55061146 Man mnltiplicire hier nemlich mit jeder nachstfolgen» den Ziffer des Multiplikators, nach den Zehntheilen, eine Ziffer weniger im Multiplicando, als mit der nächst vorhergehenden. Nachdem man mit z und mit 5 mulclplicirt hat, sage man: 7 mahl 1 ist 7, und streiche 7 und i durch: Ferner fange man die folgenden einzelnen Products so an: i mahl 7 ist 7; 4 mahl 5 ist 20; 2 mahl 8 istr6; 8 mahl 2 ist 16; 5 mahl 4 ist 22; auch durchstreiche man jedesmahl die Ziffern, womit man die Multiplikation anfängt, so weis man gleich, mit welchen Ziffern die folgende Multiplikation anfangen muß. In dem gefundenen Product aber sind die drey letzten Ziffern noch zweifelhaft. Denn in der siebenden Columne nach derStelle der Einer konnte nicht allein die oberste Ziffer zu klein sein,, sondern es fehlt auch noch unten eine Ziffer: «D !«N l,-°° l,oso ! itk K V li > Der VII. Abschnitt. 159 also kann man nur die fünf ersten Decimalstellen für richtig annehmen. Wieviel übrigens der Fehler aufs höchste betragen könne, wenn mail die sechs ersten Decimalstellen für richtig annimmt, das laßt sich in jedem Fall so übersehen. Gesetzt daß auch in der achten Decimalstelle eines jeden von beyden Factoren die Ziffer 9 stehen inüste, so betrüge der Fehler 0,00000027 -l- 0,00000065, also höchstens 0,0000009, und das würde hier die sechste Decimalstelle nur nm i vergrößern. IZ2 §. Wenn man eine Zahl von dieser Art 26^§ — 26,5506122 durch eine andre ähnliche 7^ — 7,42857'4 dividiren soll, so kann man eine ähnliche Verkürzung anbringen. Man läst nemlich bey jeder folgenden Operation von den Ziffern des Divisors die niedrigste weg, da sich dann der Quotient auf folgende Art ergiebt. i6s Anfangsgründe der Rechenkunst. s 64 § — 2 6,5 z 06 i 2 2 7 ^ - 7,4285714 2 2,2 8 5 7 1 42 3 , 571428 ? 4,2 448980 7,42857 r z,7 1428 5 5 3 ^ 5306125 7,4 2 8 5 7 5 - 99999 106126 7,4285 31841 7,4 2 8 29712 2129 7,4 2 1484 64 5 7,4 5 92 5 Z 7 49 4 . Der Grund dieses Verfahrens ergiebt sich leicht, wenn man damit die inr vorigen §. beschriebene verkürzte Art zu multipliciren vergleicht. , Bey Berechnung der einzelnen Products last man aus dem einen Factor nach und nach immer die niedrigste Ziffer weg : also kann man hier das Dividendum als ein Product anschen, i M «kl 1 N di 1 ü> Der VII. Abschnitt. <6, ansehen, das durch die Multiplication des Quotienten in den Divisor auf eben die Art entstanden wäre, indem man in dem Factor, der hier den Divisor abgiebt, von den niedrigsten Ziffern eine nach der andern Key der Multiplication weggelaffen hatte, welches durch die Vergleichung dieser Berechnung mit der Rechnung des vorigen § deutlich wird. Uebri- gens ist voraus zu sehen, daß eben so, wie in dem berechneten Exempel, auch in andern Fällen, die letzte Ziffer des Quotienten um etwas zu groß heraus kommen müsse, weil der Divisor nach und nach im- mer kleiner, als er würklich ist, angenommen wird. Der VIII. Abschnitt. ' Von den vier Rechnungs-Arten in genannten Zahlen. IZZ §. /As ist eigentlich kein Geschäfte der theoretischen ^ Rechenkunst, die Anwendung der bisherigen Rechnungs-Regeln zu zeigen. Wer diese Anwendung machen will, muß verschiedene Kenntnisse von der Beschaffenheit der Sachen selbst besitzen, die man durch Zahlen auözudrücken gewohnt ist. Manche derselben lernt man gar nicht kennen, wofern man sich nicht mit denjenigen Wissenschaften bekannt macht, die davon besondern Unterricht geben, dahin denn vorzüglich alle Theile der Mathematik gehören. Mit vielen hieher gehörigen Kenntnissen wird man Rarch Machen,.!. Ti). L versehen, i6r Anfangsgründe der Rechenkunst. versehen, wenn man sich mit den mannigfaltigen Gewerben und Handthierungen des gemeinen Lebens bekannt macht, und einige dieser Kenntnisse haben sich so nothwendig gemacht, daß fast niemand dersel- den entbehren kann; daher man auch unvermerkt bey den täglichen Geschäften des gemeinen Lebens davon wenigstens einigermaßen unterrichtet wird. Es gehören hieher vorzüglich die Werthe der Münzen, die verschiedene Beschaffenheit der Maasse, der Gewichte, »nd dergleichen mehr, und man kann ohne alle weitere Schwierigkeit die bisher vorgetragenen Rechnungs- regeln darauf anwenden: nur muß man wissen, in wie viele Theile eine Münze von einem bekannten Werthe, ein bekanntes Maafi und Gewicht, u. s. f. gewöhnlich eingetheilt wird, und was diese Theile für Nahmen führen. Diese Eintheilungen und Nahmen sind völlig willkührlich, und eben daher ist die grosse Verschiedenheit entstanden, die hiebei) obwaltet. Bey den folgenden E,rempeln werden die nachstehenden Eintheilungen gebraucht werden. Ein Thaler gilt 24 Groschen, und ein Groschen 12 Pfennige. Ein Centner hält n o Pfund, ein Pfund 16 Unzen, eine Unze 8 Drachmen, eine Drachma z Scrupel, ein Scrupel 20 Gran. Eine Ruthe hat 12 Fuß, ein Fuß r 2 Zoll, ein Zoll i2 Linien, eine Linie 12 Scrupel. Weil es beym Rechnen weit bequemer ist; so theilendie Mathematiker die Maaße gern in 10 Theile, und rechnen 1 c> Fuß auf eine Ruthe, 1 c> Zoll auf einen Fuß, 10 Linien auf einen Zoll, und io Scrupel auf eine Linie. iZ4 §. Man ist nicht gewohnt, eine Summe Geldes in lauter Pfennigen, oder Groschen auszudrücken, so wie B B P- «sei' u.s> MS. lÄ Kr kz Ri ÄUj! Usch r A L«> k^ri L zi G!l !>ik,k i,.'D 'l?i^ icP O k Der VM. Abschnitt. ,6z wie man ein Gewicht nicht in lauter Granen, eine Länge nicht in lauter Zollen, Linien, oder Scrupel ausdrückt; es müste denn seyn, daß man hiezu eine besondere Ursache hätte. In den allermeisten Fällen drückt man eine Summe kleiner Theile, die einen grossem Theil mehrmahl enthalt, durch diese grossem Theile aus. Wenn man demnach beym Rechnen auf eine Anzahl dergleichen kleiner Theile kommt, die mehr solche Theile enthält, als auf das nächst grössere Maaß, Gewicht, und auf die nächst grössere Münze u. s. f. gerechnet werden; so drückt man eine solche Zahl gewöhnlich durch die nächst grössere Einheit aus. Weiß man die Anzahl der Theile, die das nächst grössere Maaß, Gewicht, u. d. gl. ausmachen, so darf man nur mit dieser Zahl dividiren: der Quotient wird auödrücken, wie viele Einheiten der grösseren Art in der dividirten Zahl, welche den kleinern Nahmen hak, enthalten sind: da dann der Rest die noch übrigen Theile der kleinern Art angiebt, (47 H.) und den kleinern Nahmen behält, wofern man es nicht besser findet, dem Quotienten einen Bruch beyzufügen, damit der ganze Quotient den grossem Nahmen erhalte. Wenn r Gr. — ^ Thl. so sind Z27 Gr. — Thl. ^ lzzr oder i Thl. — i z Thl. r 5 Gr. Wenn i Pf. — ^0 Cent, so sind 46Z4 Pf. - Cent. — 42ss^ oder 42 ^ Cent. ^42 Cent. 14 Pf. Wenn i Fuß — --x Ruch, so sind 519 Fuß - ^4 Ruth. — 4Z-/^ oder 4 zZ Ruth. --- 4 z Ruth, z Fuß. L » Wenn 164 Anfangsgründe der Rechenkunst. ' Wenn aber i Fnß — ^ Ruth. so sind 519Fuß—51, 9R.-51R.9F. Dies Verfahren nennet man eine genannte Zahl auf eine andere Benennung, oder einen andern Nahmen zu bringen, und in den angeführ- ten Exempeln sind solche Zahlen, die den kleinem Namen hatten, auf größere Namen gebracht. §- Soll man umgekehrt eine Zahl, die den grossem Nahmen hat, auf einen kleinern Nabmen bringen, d. i. eine Anzahl der grossem Theile durch die darin enthaltenen kleinern Theile auödrückcn: so er- giebt sich von selbst, daß man für jeden grösser» Theil so viele kleinere rechnen müsse, als diesen grossem Theil ausmachen. Diesemnach muß man mit der Anzahl dieser Theile multipliciren. (zo H.) Man darf also nur auf eine ähnliche Art, wie vorhin, 24 Gr. statt i Thl., noPf. statt i Cent. u. s. f. schreiben : so ergiebt sich die übrige Rechnung von selbst. Wenn i Thl. — 24Gr.; so sind i z Thl. 15 Gr. -- 1 z x 24 Gr. -j- 1; Gr. — ? 27 Gr. Wenn i Centner — 110 Pf.; so sind 42 C. 14 Pf. — 42 x 1 io Pf. -j- 14 Pf. — 46Z4 Pf. Wenn i Ruche — 12 Fuß; so sind 4; R. z F. — 4g x 12 F. ch z F.—ziy F. Wenn aber i R. — 10 F.; so sind 51 R. 9 F. — 51, 9 R. — 51, 9 x io F. — 519 F. ig6 §. Es erstreckt sich eben dies Verfahren auch auf gebrochene genannte Zahlen, man mag einen solchen Bruch auf einen grösfern oder auf einen kleinern Nahmen bringen sollen. Weis man, wie viele Theile, die den kleinern Nahmen haben, Ems von der Ul Ur ! Mi l Die VIII. Abschnitt. 165 ,,, der grossem Art ausmachen, so wird der Bruch mit .„s der Zahl, die dies auzeigt, im ersten Lall divi- ^ l,rr zwcyren Lall mulriplicirr.^ Es sind nemlich 4 Pf. ^ 4 . C. ^ -4- C. § F. 4 . ^ R. — R. "?»« oder wenn i o Fuß eine Ruthe machen I«k O,27 Fuß — O,O27 Ruth. U i> Umgekehrt ist 4 Thl. — 4.2 4 Gr. — Gr. — " e 7 44 Gr. und 4 Gr. — 4 . * 2 Pf. — 4» Pf.—44 Pf. « 8 Ferner 4 C. — Z-. noPf. — ^4 ° Pf. — 9 64 Pf. » B und 4 Pf. — 4. 16 Unzen — 4 Unzen. Mi! Eben so 4 Ruth. — 4.12 Fuß — F. — ; 4 F. L und 4 F. — 4. i2 Zoll — 4 Zoll; l>, .7 oder in Decimal - Theilen: ckä- 4 R. — 0.444 rc. R. — 4?§. 4 Z- 4 rc. i;Ei r Z? §- Genannte Zahlen zu addiren. 4 Zluft. Man schreibe diejenigen alle in einer Co. s.,! lumne untereinander, die einerley Nahmen haben, ' ^ und addire jede Columne besonders. Man fange aber mit derjenigen Columne an, die den kleinsten Nahmen hat, und bringe die Summe gleich auf den nächst großem Nahmen. Die her» ausgebrachte Zahl, welche den nächst grossem Nah- ^ men hat, addire man mit zur nächst grossem Co. ^kli! lumne, und schreibe den Rest, welcher den kleinem Nahmen behält, unter der gleichnahmigen Columne. ^ L z Exem- r66 Anfangsgründe der Rechenkunst. 7 C. 4 s 86 Pf. 9 Z 74 Exempel. *4 Unz. 7 Dr. 9 5 12 4 t 9 Tran 54 255 Z 7 r? 7 Z 110 16 8 6o 220 Z2 16 i z Gran. rzC. Z 5 Pf. 5 Unz. i Dr. 48 Thl. 2i Gr. 9 Pf. 86 Thl. 9 Pf. -ZS §. Eine kleinere genannte Zahl von einer gräst > strn zu subtrahiren. 2 tufl. Man schreibe die Zahlen, welche einerley Nahmen haben, wie vorhin untereinander, und sub- krahire jeden Theil der kleinern Zahl von dem gleichnamigen der grösser». Dafem dieser gleichnamige Theil der grossem Zahl kleiner ist, als diejenige Zahl, welche man davon nach der ersten Regel subtrahiren soll; so borge man von dem Theil, welcher den nächst grossem Nahmen hat, Eins weg und rechne dafür so viele Einheiten zur nächst kleinern Columne, als diese geborgte Einheit auömachen. Exem- Der VIH. Abschnitt. 167 Epempel. !< ! 5 Rlith. 9 Fuß z Zoll 7 Lin. 8 4 !O z ^0 7 R. 4 §- 5 A 4 - 28 Thl. 14 Gr. r r zPk. ry 2! 8 8 Thl. 16 Gr. 7 Pf. y7 Cent. 24 C. re 9 7Z Pf. r e O zU. , 72 C. Z6Pf. rz u. rZ9 §. Eine genannte Zahl »nic einer ganzen Zahl zu mmriplicircn. Aufl. Man multiplicire nach einander die verschiedenen Theile der genannten Zahl, und zwar mache man Key dem Theil, welcher den kleinstem Nahmen hat, den Anfang, und gehe sodann zu den nächst grossem Theilen fort. Allemahl aber bringe man das gefundene Product auf die nächst grössere Benennung, wie bey der Addition. L 4 Erem- t68 Anfangsgründe der Rechenkunst. Exempel, r 6 Gr. 5 Pf. ?Thl. 27 189 18 27 112 Z 2 I l 2? 44z rZ 5 24 r 8 Thl. 1 . 2 , i i Gr. 2 ÖZ i? 24 12 192 L 07 Thl. 11 Gr. zPf- 17 Pf. 94 14 u. 94 zDr. 94 . ,68 »53 84 56 126 Z? 1682 Pf. 7 U. 14 » §. 2 Dr. Die 1 ZZI 282 > 16. 84 Pf. 8-Izz U. .128. 24. I . . ^ , ?r 42 16 8 64 40 ^ >«' Eine genannte Zahl mit einer ganzen Zahl zu dividiren. Aufl. ^ Der VM. Abschnitt. 169 Au fl. Man dividire nach einander die Theile der ^ genannten Zahl so, daß man mit demjenigen Theil ' anfangt, welcher den höchsten Nahmen hat, und sodann auf die nächst niedrigem fort gehet. ' Die Reste bringe man allemahl auf die nächst klei. nern Nahmen (iz; und rechne sie jedeömahl "— zum nächst kleinern Theil deö Dividende "zPf. 7 Exempel« 9 U. 16 zDr. Z2 4Z 7 42 i 16 Pf. 25 7 21 zU. zzIzDr. 7 l Z5 Mult. 16U. Quot. 127 Thl. Z8 4 mult. 8 Z2 i6Pf. z U. ;Dr. HZ Gr. Z12 "Pf. z 12 114 z Thl. ZZQ 8 Gr. Z2Z 1 z Z8 Z8 mult. 24 Z04 ZO 4 8LPf. ?2 26 312 Gr. Quot. 26 mult. 12 52 26 i 9 Z12 Pf. z Thl. 8 Gr. L 5 8LPf. 141 §. l?O Anfangsgründe derRechenkunst. > » 4 ! §. Eine Zahl wird mit einem Bruch multiplicirk, wenn man sie in den Zahler desselben multiplicirk, und was herauskommt, mit dem Nenner dividirt: ! man dividirt eine Zahl mit einem Bruch, wenn man sie mit dem Nenner des Bruchs multi- plicirt, und was herauskommt, mit dem Zähler desselben dividirt. (99. ioz§.), Also wird man die beyden letzten Aufgaben auch auflösen können, wenn- der Multiplikator, oder Divisor, Brüche sind. Epempel. 5 Dr. mult. ^ 272 Pf. r 0916 Pf. z; ! 4U. div. 9 zoPf. '6l 8l 2 96 Z 2 9 i z U. Z2 I ZU. z Dr. 9 »6 45 > ^ Dr« 32 ir. 9 45 c> Prod. zo Pf. 5 U. -z- Dr. Z8 Pf. r;U. 7 ? 266 Iv; 6 4 l? Thl. Der VIII. Abschnitt- 171 Kitz, >7 8 IZ6 l Thl. 5 8 Gr. 7 Pf.' diV. -i 4» 4 ke. 44 i Thl. 56 I 4 Gr. 24 12 s lZ7 Thl. 20 Gr. 48 8 Pf. IZ7 Thl. 2 0 Gr 8 Pf. 5- 27 Thl. 48^ i z Gr. z 6 io. 68 44 Z7 5 : 5 84 Ps 5 ^18 40 Z5 5 4 2 15 24 Z 48 Gr. 12 > Z6 Pf. O.uot. 27 Thl. i z Gr. 8 4 Pf. 142 ^ Die bisherigen Rechnungs-Regeln sind zulänglich, A in allen Fallen, wenn aus gegebenen Zahlen andere unbekannte Zahlen gesucht werden sollen, die unbekannten Zahlen zu finden: sie lehren die einfachen Operationen dieser Wissenschaft, die man aber in vorkommenden Fallen bald so, bald anders mit ein- , ander verbinden muß, um die gesuchten Zahlen her- auszubringen. Sie machen eigentlich die allerersten I,' Anfangsgründe dieser Wissenschaft, die so genannte Element !72 Anfangsgründe der Rechenkunst. Elementar - Rechenkunst, aus. Bey verwi. ekelten Rechnungöfragen muß man genauer wissen, wie man mit den gegebenen Zahlen umzugehen habe, welche Rechnungsarten man mit ihnen vornehmen, und in welcher Ordnung dieses geschehen müsse. In den meisten gewöhnlichen Rechenbüchern wird dies alles nur in speciellen Exempeln gewiesen, und dies ist auch nach der Absicht, weswegen diese Bücher aufgesetzt sind, ziemlich zulänglich; dafern Landers die Regeln selbst nur deutlich vorgetragen, und die Gründe derselben einigermaßen auseinander gesetzt werden. Allein, wenn die Rechenkunst als ein Theil der Mathematik betrachtet, und in allen ihren übri» gen Theilen hiernachst mit Vortheil angewandt wer- den soll: so ist nöthig, über die mancherley Arten, wie man die Zahlen mit einander vergleichen, und aus gegebenen Zahlen andere suchen kann, nunmehro so allgemeine Betrachtungen anzustellen, daß man dadurch in den Stand gesetzet wird, in jedem vorkommenden Fall selbst zu beurtheilen, welche von den mannigfaltigen Regeln anzuwenden sey, die in den gewöhnlichen Anweisungen zur Rechenkunst unter so vielerlei) Nahmen vorgetragen werden. Ja, diese Untersuchungen müssen so allgemein gemacht werden, daß sie sich auch da anwenden lassen, wo man mit Vergleichungen anderer Grössen zu thun hat, die man eben nicht als Zahlen betrachtet. N I ! M ^ K m di z> , >« n> » r k l Der ' Der IX. Abschnitt. !73 ^ Der IX. Abschnitt. «y/ Von den arithmetischen Verhältnissen, > ^ k Proportionen und Progressionen. liÄlje ^43 §. a Äü ungleiche Grössen sind allemahl um eine ge- i/ü-l wisse Differenz unterschieden, und ein Paar an- ck M dere Grössen von eben der Art können um eben diese .-N!!c Differenz unterschieden seyn. Es ist z.E. 8 — 5 — z, Emo und? —4 —z. Man kann also sagen: 8 übertreffe -M ir zum eben so viel, um wieviel ? die Zahl 4 übertrist, i» Ly und dies kann man kurz so ausdrücken: 8—5 — 7 — 4 . M Vier Grössen von dieser Art, da nemlich die erste MÄ von der zweyten um eben die Differenz unterschieden z« ist, wie die dritte von der vierten, heissen : Arith- MU,, mensche Proportional--Grössen. Auf die iöe w Frage: um wie viel 8 von 5 unterschieden sey? inuß , ^ man eben so antworten, als auf die Frage: um wie viel 7 von 4 unterschieden sey? und diese Beziehung zwoer Grössen gegen einander, vermöge welcher sie ^ um eine gewisse Differenz unterschieden sind, nennt ^ xe man ihr Arithmetisches Verhältnis; gegen einan- ^ der. Die Grössen selbst heissen die Glieder (wr- '' ^ mini) des Verhältnisses. Es ist demnach einerley, ob man sagt, ein Paar Grössen ^ und ö sind von einander um eine eben so grosse Differenz unterschieden, wie ein Paar andere Grössen 0 und v; oder ob man sagt, das Arithmetische Verhaltniß der bey- den ersten sey dem Arithmetischen Verhältniß der beyden letzten gegen einander gleich. Diese Gleich ZV heit i74 Anfangsgründe der Rechenkunst. heit zweyer Arithmetischen Verhältnisse Heist eins Arirkmeristioe Proportion, und ihre Glieder sind die Grössen selbst, welche die Proportion aus-- machen. l44 §- DaS Arithmetische Verhalkniß zwoer Grössen gegen einander wird am natürlichsten durch das zwischen bey en gesetzte Zeichen der Subtraction ange- zeiget, da denn das Zeichen der Gleichheit zwischen beyden gleichen Verhältnissen die Arithmetische Proportion ausdrückt, wie im vorig. §. 8 — ; — 7 — 4. In den Schriften der Ausländer findet man die Arithmetische Proportion auch so bezeichnet: 8.5 7 .4, aber die vorige Art wird in der Folge beybehalten werden. Weil man hier eben nicht besonders darauf stehet, welches von den beyden Gliedern des Verhältnisses das grössere, und welches das kleinere sey; sondern eigentlich nur ausdrücken will, daß die beyden ersten Grössen von einander um eben so viel, wie die beyden letzten unterschieden sind: so ist es gleichgültig, ob man das grössere, oder das kleinere Glied eines Verhältnisses voransehek. Man kann auch schreiben z — 8 — 4 — 7, und man kann den Ausdruck so erklären: um wie viel ; kleiner als 8 ist, um so viel jst auch 4 kleiner als 7. Das erste und dritte, imgleichen das zweyte und vierte Glied einer arithmetischen Proportion, werden ihre gleicdnahmiczen Glieder genannt: also ist eS gleichviel, ob die beyden ersten gleichnahmigen Glieder grösser, oder oh sie kleiner als die beyden letzten find. 14; Z. .säd «tz ' st D 1 i st Ä 2 di! II b 6 . § l s- 4 ^ Der IX. Abschnitt. 175 »j Ar Md« kih P '.^Ir ft >>!i M » id» i^s -L «le ri« ««! K- 145 §- Die Differen zwoer Zahlen von'einander wird auch der Nähme ihres arithmetischen Verhältnisses genaimt; und dieserwegen kann man folgende zwo Regeln fesisetzen. Wem: zwcy arithmetische Verhältnisse gleiche Nahmen haben: so sind die Verhältnisse gleich. Umgekehrt: wenn zwey arithmetische Verhältnisse gleich groß sind: so haben sie gleiche Nahmen. Wenn demnach O den Nahmen des Verhältnisses bedeutet: so sicher man leicht, daß der allgemeine Ausdruck: (e^-s-v) - ^ - (6 ssO) - L oder auch /V-(.^4-I))^ x_(k 4 . O) «ine jede arithmetische Proportion bezeichnen könne. 146 §. ' ^ Tin jeder arithmetischen Proportion — K — (7 — D lsr die Summe der beyden inirrlcrn Glieder so groß, als die Summe der Heyden äusscrn. Auch umgekehrt: wenn dieSumme zwoer Grossn ^ -hV einer andern Summe 77 -s- (7 gleich ist; so sind die beyden Tbeile der einen Summe zwischen den beyden Theilcn der andern mittlere Proportional-Grossen. Beweis des i. S. Es sey /V - k — L — V, so ist^4-»-h-0,und^4-l)^6 4 -< 7 . (25 §.) Bcw. d. 2 . S. Wenn umgekehrt ^ -h l) — li 4 -List, sohat man^ 4 -v —L — 0 , und A - L Anfangsgründe der Rechenkunst. 147 §. Es sind drey Grössen gegeben, man soll zu ihnen die vierte arithmetische Proporrlonai- Grösse finden. 2lufl. Man addire die zweyte zur dritten, und subtrahire von der Summe die erste; so ist der Rest die gesuchte Größe. Beweis. A;enn 8, 6, die gegebenen Grössen sind, und X die gesuchte ist; soll die Proportion wahr seyn, A —8 —L —X. Demnach ist tV-j-X - 8 4- <2 (146 §.), also X-- 8 4- L - A. (28 §.) Exempel. ^ Es sind die Zahlen 17, zo, "0 126 gegeben; so giebt die Rech- "4^/ nung die Zahl i zy, man hat also ,7 17 — ZO — 126 — IZY. IZY Man sichet leicht, daß die Summe der beyden lehren Zahlen grösser, als die erste seyn müsse, sonst würde man nicht subtrahiren können. In der Folge wird zwar der Begrif von der Subtraktion erweitert werden, so daß inan auch in diesem Fall in einem gewissen Verstände noch subtrahiren kann: allein diese Untersuchung bleibt zur Zeit noch ausgeseht. i48 §. Wenn die beyden Mittlern Glieder einer arithmetischen Proportion gleich groß sind; so Heist sie eine stetige Proportion, (cominua) von der Art wäre die Proportion 5 —. 8 — 8 — n. Eine Proportion von dieser Art hat also nur drey verschiedene Glieder, und das zweyte, welches hier das mittlere Heist, kommt eigentlich jweymahl vor. Die D Mer fiss 1» ch öl wj nä k g- s° < § ! "> L > i ?7 ^ Der IX. Abschnitt. Die Summe ihrer aussern Glieder ist doppelt so ^ groß, als das mittlere, ^ 146 §.) und aus den bey- ^ den ersten wird das dritte gefunden, wenn man das , zweyte verdoppelt, uild vom Product das erste sub- trahirt. ( > 47 §.) Das doppelte zweyte Glied muß ^ also grösser als das erste seyn, aus der im 147 §. schon angeführten Ursache. 149 §. !k» Wenn ^ und 6 die beyden ersten Glieder der stetigen arithmetischen Proportion sind; so erhalt man auch das dritte, wenn man zum zweyten D den Nahmen des Verhältnisses !> — /X — l) addirt, da- ^ fern L grösser als ^ ist, im Gegentheil aber, wenn - inan die Differenz ^ — g von subtrahirt. Zm ^ ersten Fall werden die drey Grössen diese seyn: />, 7 ) 4- l), F 4- 2 O. Man kaim sodann die Diffe- renz 0 zum dritten Glieds aufs neue addiren: so er- ^ hält man vier stetige arithmetische Proporrio- nal - Grössen, 4 - ^ -l- 2 v, 7 c 4- z O, ^ (cputtasr contiinie aritlimetice progoniongles) da ^ dann die zweyte iirid dritte die beyden Mittlern steril gen arithmetischen Proportional - Grössen ge- . nannk werden. ^ Es erhellet, daß man aus ähnliche Art fünf, sechs und mehr stetige arithmetische Proportionales Grösse» zuwege bringen könne, wenn man dieDif- -!iv ferenz jedeömahl wieder zum letzten Glieds addirt. x>' Man erhält auf solche Art eine Reihe von Grössen, worin jedes Glied zum nächst vorhergehenden einerlei) arith- ^ metisches Verhältnis) hat, und man nennt sie eine arithmetische Progression. Wäre das zweyte Glied kleiner, als das erste; so müste inan die Differenz allemahl subkrahiren, und man erhält sodann s Rarst.MmhTh.l. M eine 178 Anfangsgründe der Rechenkunst. eine abnehmende, so wie im ersten Falle eins wachsende arithmetische Progression. Der» gleichen Progressionen würden folgende seyn; 4 7 io iz i6 ry 22 25 u. s.w. 22Z 2lZ 20Z Igz Igz I?z u. s.w. §. rzo. c- ir; >75 Es sind zwo Grossen gegeben, man soll zwischen ihnen eine oder auch mehr mittlere arithmetische Proportional-Grossen suchen. Ausl. l. Man addire beyde Grossen zusammen und dividire die Summe durch 2, so hat man eine mittlere arithmetische Proportional-Grosse zwischen den gegebenen. So findet man zwischen 12z und 175 die mittlere Zahl 149. Beweis. Wenn ^ und L die gegebenen Grössen sind, und X die gesuchte ist; so soll die Proportion richtig seyn: -X —X --X—L. Demnach wird 2X — iV-HL (148 §.) undX-;(^-l-L). II. Wenn /X das erste Glied und O die Differenz der Glieder ist: so mnß das gesuchte zweyte Glied X — «V -hI) seyn. Demnach wird das dritte Glied — ^ -h Li); aber dies ist das gegebene L, also hat man -h 2 O—L. Hieraus folgt, 2V — L — ^, und I) — H(L — ^). Dies zum ersten ^rill- «litt 2 l,sn 298 >49 ! ^ ! in l gegebenen Glicde ^ addirt, muß also das gesuchte ! zweyte X — ^ -l- ^ (L — geben, und hieraus folgt die Regel: Man addire die halbe Differenz der gegebenen Grössen zum ersten Gliede: so ist die Summe die gesuchte mittlere Grösse. Wenn h Der IX. Abschnitt. -79 ^ Wenn wie vorhin A — 12z, 0 17z 6—17; ist: so giebt die nebenste- A 12z -hende Rechnung ebenfalls X — 149. 52 Sollte aber das erste Glied A 2, ^ grösser als das letzte gegebene 1> seyn; — ' der gegebenen Grossen ^ (-^— (?) 149 -ss' vom ersten Gliede ^ sudrrahiren. Denn ist O die Differenz der Glieder: so ist in diesem Fall X —A —19, undL-A—2O. (i49§.) Hier- V ouö folgt, (? -j- 219 — und 21) — ^ — L, also »» undX-^-t(X-(?). B Wenn — Z9b,und L— 217 A Z96 ist: so giebt die beygesügte Rech- L 217 nungX—zoö^. 179 ri lll. Soll man zwischen zwoen 2 Grössen mehr als eine mittlere arith- ^ -—-—7 ^ metische Proportional - Grösse su- 89r chcn; so kommt es nur darauf an, X zo6Z die erste davon zu finden, weil sich durchaus die übrigen von selbst ergeben. Diese ist allemahl das zweyte .Glied der Progression, wenn sie durch die mittlere ,jg: Glieder vollständig gemacht ist, und es folgt nach etzc dem ersten Gliede immer ein Glied mehr, als man kst mittlere Glieder sucht, weil das letzte hinzukommt. Es sey /r das erste, ll das zweyte, V das letzte ^ Glied, I) die Differenz der Glieder, und man setze, ^ ^ daß w Glieder nach dem ersten folgen sollen: so ist ^ -j-19 und V — A -sirrI9 (149 §.) vorausgesetzt, daß die Progression wachse. Also wird 'st, n 19 — V — , und 19 ^ H (V — A) dies giebt L ^ (V - A). Hiezu 0 addirt giebt das ^ ' Ms dritte, K »8o Anfangsgründe der Rechenkunst. dritte, und abermahl v addirt giebt das vierte, u. f. f. bis man auf V kommt. Dies giebt die Regel: Man dividlre die Differenz des ersten und letzten Gliedes durch die Zahl der Glieder, die nach dem ersten in der Progression folgen sollen, also durch eine Zahl, die um i grösser ist, als die Anzahl der gesuchten Mittlern Grössen. Der (Quoritnc zum ersten Glieds addirt giebt das erste der Mittlern Glieder, woraus die übrigen nach dein 149 §. folgen. Wenn zwischen 4 und 2 5 sechs mittlere Glieder gesucht werden sollen; so giebt die neben stehende Rechnung das erste gesuchte — 7 und die sechs gesuchten sind: 7 IO IZ 16 ly 23 Wenn V < ist: so muß die Soll man zwischen 41 z und 241 sieben mittlere arithmetische Proportionalzahlen suchen; so giebt die beygefugte Berechnung die erste gesuchte — 404, und alle sieben gesuchte sind: 404, zy;, 386, Z77, z68, ZZ 9 , 35 °. /t-V r sr-' 6"" S l> V 25 ^ 4 Prc V— 21 « 7 , L: Z 7 Progression abnehmen. Man dividirt also nun die Differnz dieser Grössen ^ ^ noch mir eben der Zahl, wie vorhin, und subtrahier den (Quotienten vom ersten Glieds um das zweyte Glied der Progression, oder das erste gesuchte mittlere zu erhalten. Denn es ist nun li — ^ — v und V — ^ —»v (164 §.) ?llso irl)-h V—und nv —^ —V, folglich v — A — V)und k — ^ —V). ^ 41; V Z4l 73 8 ) S(^-V) 9 L 404 Der IX. Abschnitt. iZr 7 wenn man die halbe Differenz zwoer ^ Grossen zu ihrer halben Summe addipr, so ch> wird die grossere von beyden gcfimden: wenn man aber die halbe Differenz von der halben G Summe sirbirahirr, so findet man die kleinere. ! M.- Beweis. Wenn /V und L diese Grössen sind, und H„ ^ > (? ist; so ist ^ st- (i:) zwischen beyden die mitt° U« lere arithmetische Proporticnalzahl; ( 150 H. n. i.) also ^ st- L), L eine stetige arithmetische l' Proportion. Wird nun die Differenz der Glieder j -^O geseßt, so ist N—^(^- 0 ), (i zo§. n. II.) - alsound c- ' - v, oder (^jst- L) st- t s^-L), und ^ IZ2 §. ; ? Die Summe des ersten und legren Glie- E des der arithmetischen Progression ist so groß, , E als die Summe zwcyer andern Glieder und ^ ^ derselben progrejston, wenn vor dem ei- ^ nen ^ bis zum ersten ^ so viele Glieder voran ^ gehen, als nach dem andern bis zum leg- ' ren Glieds V folgen. ,Die Su mnte aller Glieder der Progreßion aber wird gefunden, wenn man die Summe des ersten und legren Gliedes mir der halben Anzahl aller Glieder mulriplicirr. ^7 Beweis des i S. Wenn vor? bis zum er- sien Gliede » Glieder voran gehen, so ist ? das .s? (r- st- i )te Glied, das erste ^ ntitgezahlt, und man l hat ? — ^ -l- . 0 . Wenn ferner nach ? bis ff" noch m Glieder folgen (chrnitgezählr, so ist (ch das ^ (r- st- 1 st- m)ke Glied, und man findet ^ st- H' M z (r- st- r«) 182 Anfangsgründe der Rechenkunst. -l- m) I). ' Wenn endlich nach (Zchis zum letzten Glieds V wiederum >-Glieder folgen daö letzte V mit- gezählt, so ist die Anzahl aller Glieder der Progression — 2 -j- i m, und V — -tz ( 2 -tz M 1 v mithin A -j- V— 2^ -j- (2^-i-m) O. Es war aber r - ^ -I- r-0 n tz. — ^ o st-m) v, folglich ist k st- 2^st- (2 ^ st- m) 0 , und l^st-V Beweis des 2. S. Wenn die Anzahl aller Glieder eine grade Zahl ist, so giebt es halb so viel Paar solcher Glieder wie ? und 0 , die unter den übrigen Gliedern eins solche Stelle einnehmen, daß vor dem einen ? so viele Glieder bis zum ersten vorangehen; als nach dem andern (s bis zum letzten V folgen: jedes Paar dieser Glieder ist — /c st- V. Nun fey die Anzahl aller Glieder ?r — 2 ^; so ist die Summe aller dieser Paare — L . GV st- V ), und diese ist einerley mit der Summe aller Glieder der Progression. Wird diese Summe demnach — 8 gesetzt, so ist 8 — ^ -r. (?c st- V). Wenn dagegen » als die Anzahl aller Glieder ungrade ist, so sey :r — 2 st- 1. Zählt man nun die Paare der Glieder wie ? und (Z^die unter den übrigen eine solche Stelle haben, daß vor dem einen bis zum ersten so viele Glieder voran gehen, als nach dem andern bis zum letzten Gliede folgen, so ist die Anzahl dieser Paare — L, und ihre Summe ^ 6 (^- st- V ). Das ist aber noch nicht die Summe aller Glieder der Progression, weil noch das mittelste Glied fehlt. Vor diesem mittelsten gehen ä Glieder voran bis zum ersten, also ist es das )te Glied, und wenn man es — setzt, so hat man U- S d s' d « ! i ! > Der IX. Abschnitt. i8z U —^,-s-L.O. Die Zahl aller Glieder ist — 26-hr, also V —^-s-2L.O, und 2^, wie dem ersten Sah gemäß ist, mithin !el — ^ (^4-V). Daö giebt 8 — L ( -h V) ^ V), oder8 —(/k-H L) (^.-t-V), mithin wie vorhin 8 — ^ ir ( -j- V.) Der X. Abschnitt. Von den geometrischen Verhältnissen, Proportionen und Progressionen. I5Z §. Grösse einer Zahl, oder sonst einer Sache ^ eine andre L so bestimmt, daß man übersehet, wie vielmahl entweder K ganz, oder ein aliquoter Theil von N in ^ enthalten sey, Heist das geometrische Verhalrniß von ^ gegen und die Zahlen oder die Grössen selbst, wovon die eine solchergestalt mit der andern verglichen wird, heissen die Glieder des Verhältnisses. Man betrachte eins davon als das vorhergehende, das andre als das nachfolgende Glied, und die Ordnung ist an si ch willkührlich, denn man kam: fragen: wie groß 12 gegen 4, man kann umgekehrt fragen: wie groß 4 gegen 12 sey? Die Zahl, welche die Grösse des vorhergehenden Gliedes gegen die nachfolgende angiebk, heißt der Exponent des Verhältnisses; und wenn beyde Glieder des Verhältnisses Zahlen sind, so ist dieser Exponent einerlcy mit Sem Duos riencen, der gefunden wird, wenn man das M 4 vor-- i84 Anfangsgründe der Rechenkunst. vorhergehende Glied mit- dem nachfolgenden divldirr. (47. rn §.) Die alten Geometer haben allemahl das geometrische Verhältnis verstanden, wenn sie das Wort Verhältnis) (mtio) allein gebrauchen, und es wird auch hier in der Folge alle, mahl das geometrische Verhältnis; verstanden werden, wenn gleich das Beywort, geometrisch, der Kürze wegen wegbleiben wird. iZ4 §. Nimmt man an, daß tV und II ein Paar Zahlen bezeichnen, so kann das Verhältnis von ü zu k am natürlichsten durch das zwischen beydeis geseßte Divisionszeichens:) auf die Art bezeichnet werden, daß man ä : L schreibt. Wenn alsdenn das nachfolgende Glied k bekaimt, lind der Exponent des Verhältnisses A: 6 — m ebenfalls gegeben ist; so ist zugleich die Grösste des vorhergehenden Gliedes A — mk bekannt. Wenn gleich X und l> ein Paar grade Linien, oder sonst ein Paar andre Grössten von einerlei) Art sind, und man kann auf irgend eine Art finden, wie vielmahl die eine entweder ganz, oder ein aliquoter Theil von ihr in der andern enthalten sey; so laßt sich dies Verfahren ebenfalls als eine Division betrachten. Man muß Wirklich /V in so viele gleiche Theile theilen, als m Eins enthält, wenn,7/ eine ganze Zahl ist, die anzeigt, wie vielmahl 6 in enthalten sey; oder in so viele gleiche Theile, als der Zahler des Bruchs — Eins ent- m I halt, wenn derselbe ausdrückt, wie vielmabl— k 7 « in A enthalten sey. Hiedurch wird der allgemeine Ge- ^ Der X. Abschnitt. 18; ^ Gebrauch deS Divisionszeichens, um ein Verhältniß /st zu bezeichnen, auch für die Fälle völlig gerechtferti- - get, wenn zwar die Glieder des Verhältnisses keine st- Zahlen sind, aber doch entweder das nachfolgende ^ Glied selbst, oder wenigstens ein aliquoter Theil best selben im vorhergehenden Gliede Key der so aiigestell- rlic ten Division aufgeht. §- Bey dieser Art, die Vergleichung anzustellen, liegt die Voraussetzung zum Grunde, daß beyde st Glieder des Verhältnisses ein gemeinschaftliches >D flstaasi haben, oder daß sich ein aliquoter Theil des einen angeben lasse, der zugleich ein aliquoter Theil des andern ist. Grössen von dieser Art heissen com-- xk mensurable Grossen, und so sind alle Zahlen be-- ist/ schaffen, die sich durch eine bestimmte 'Anzahl Zis- fern auSdrücken lassen. Alle ganze Zahlen haben die st« Einheit selbst zum gemeinschaftlichen Maaß; und >,wenn man ein Paar Brüche auf einerlei) Benennung gebracht hat, so zeigt der gemeine Nenner denjeni- L: gen aliquoten Theil der Einheit an, der das gemeine zL Maaß beyder Brüche abgicbt. )kber man darf nicht vormissetzen, daß jede zwo grade Linien, und sonst ^ überhaupt zwo Grössen, wenn sie von einerlei) Art zA sind, ein gemeinschaftliches Maaß haben, das sich eben so bestimmt angeben ließe. In der Folge wird ^ bewiesen werden, daß zuweilen das Gcgenkheil statt st sinde, so daß gar kein aliquoter Theil der einen Grösse ^ bestimmt angegeben werden kann, der zugleich ein !, aliquoter Theil der andern wäre. Da daun solche st ' Grössen, die kein gemeinschaftliches Maaß haben, ^ incominensuradle Grossen heissen, ch M 5 156 i86 AnfanMvünde dev Rechenkunst. l;6 §. In dem Fall, wenn die Glieder des Verhältnis, ses ^ : 6 commcnsurable Grössen sind, kann eine Zahl angegeben werden, die es ausdrückt, wie viel« mahl entweder 8 selbst, oder ein aliquoter Theil von 8 in /V enthalten sey: in eben diesem Fall also kann das Verfahren, vermittelst dessen man den Exponenten des Verhältnisses /V : 8 findet, als eine Division angesehen, und der Exponent selbst als ein Quotient betrachtet, auch in eben dem Fall der Exponent oder der Quotient : 8 wie ein Bruch 8 ausgedrückt werden. Wenn nemlich ^: L — — ist, so ist es völlig gleichgültig, ob man —, oder den Bruch schreibt. Denn ^ und 8 mögen ein Paar grade Linien, ein Paar Gewichte, oder was man sonst will, bezeichnen, wenn es nur Grössen von einerley Art sind; so ist doch der Quotient : 8 allemahl eine Zahl, diejenige nemlich, welche an- giebt wie vielmahl entweder 8 selbst, oder ein aliquoter Theilvon8 in ^ enthalten sey. Ein Verhältniß dieser Art heißt ein rationales Verhältnis); und jede Zahl, die sich bestimmt angeben läßt, nennt man eine rationale Zahl, in wieweit sie die Grösse des vorhergehenden Gliedes in einem Verhältniß gegen das nachfolgende damit commensurable Glied bestimmt und völlig genau auszudrücken, dienen kann. 257 §. Es sey also ^ eine grade Linie, die man den bisherigen Schlüssen gemäß mit 8 vergleichen soll; so wird Der X. Abschnitt- r8? wird das erste seyn, daß man nach stehet, ob k selbst etlichemahl in ^ enthalten sey, ohne daß ein Rest bleibt? Gesetzt es sey 8 in zweymahl enthalten, überdein aber enthalte rV noch einen Ueberschuß über 26 ; so kann man sich diesen Ueberschuß als einen Rest vorstellen, den die Dimston der Linie ^ mir S übrrg laßt. Nnn wird man weiter prüfen, ob vielleicht ^ 8 , oder -^- 8 , oder -^ 8 , oder 48 , u. s. w. in aufgehe? So lange keiner dieser aliquoten Theile der Linie 8 zugleich ein Maaß von ^ ist; so lange wird die Division nicht aufgehen, es wird vielmehr allemahl ein Rest bleiben, und dieser Rest ist in jedem Lall kleiner als der eben dasmabl gebrauchte Divisor. Man nehme an, es sey gefundenworden, daß —6 «mahl und überdem noch -?r der Ueberfchuß 8 in enthalten sey; so ist 8. als der Rest anzusehen, der übrig bleibt, wenn man ^ mit —8 dividirt. Man hat alsdenn — — 8 st- K -?r und 8. < 8. Wird ferner die Ergänzung des Restes zum Divisor — 8 — k — 8 gesetzt; ss ist auch 8 < — 8, und st- 8 — ^8 st- 8. st- 8, m m oder' ^V st- 8 ^ 8, also auch ^ -"-^-'8-8. Demnach hat man — — st- und zugleich L ,7t l> also — >— und zugleich Wenn demnach 8 nicht selbst in ^ arifgeht, so kann man wenigstens ein Paar Brüche von / ,88 Anfangsgründe der Rechenkunst. von einerlei) Nenner angeben, deren Zahler nur lim Eins verschieden sind, wovon zwar der eine noch klei» ner,der andre aber schon grösser ist, als der Exponent des Verhältnisses A: L. 158 §. Waren A und k incommensurable Grössen, so würde — ö in Anie aufgehen, wie groß auch die Zahl m angenommen würde: demnach ließe sich auf diesem Wege kein Bruch finden, der ganz genau den Exponenten des Verhältnisses A : l> auSdrückte. Indessen würde doch jeder von den nach Anleitung -r des vorigen §. gefundenen beyden Brüchen, — und -r -j- i ^ -- dem gesuchten Exponenten so nahe kommen, »r ... i daß der Unterschied kleiner wäre, als —: denn es Ki 8 i ^ ist — < — und — < —. Weil man nun ö Itt l! M die Zahl M sogroß annehmen kann, daß der Bruch —kleiner wird, als jeder noch so kleine Bruch, der W sich angeben läßt; (128 §.) so können zugleich die K 8 . Quotienten —— kleiner werden, als jede gege- li ö bene Zahl. Diesemnach laßt sich der Exponent des Verhältnisses einer Grösse zur andern, wenn gleich bende Grössen incommensurabel sind, so genau angeben, daß der Fehler kleiner ist, als jeder noch so kleiner gegebene Bruch. < s!ks A.-I s.S t« v I- d r n ^59 *89 llddii 'E ikL -« M, Ä » R /« Der X. Abschnitt. iZ9 §- Je grösser die Zahl m angenommen wird, desto grösser wird auch m: nimmt man M nschmahl jo groß an, als vorher, so wird auch » wenigstens nochmahl so groß; und wenn 4 . K 6 kleiner als der vorige Rest ist, so wird die Zahl rr mehr als nochmahl so groß. Indessen kann der so gefun- dene Bruch — nie völlig — —- werden, so lan- ge für »r eine Zahl von bestimmter Grösse angenom- w -j- i A men wird: auch bleibt allemahl - > — , ob ng-l ^ ^ sich gleich der Bruch - ebenfalls dem Quotienten A: II desto mehr nähert, je grösser m angenommen wird. Demnach kann man sich die Sache am besten so vorstellen: der Exponent des Verhältnisses A : k, oder der Quotient, der Bruch , sey dev letzte unter allen Cluorienren, die gefunden werden, wenn man die Zahl m ohne Aufhören grösser nimmt, und jedesmahl A mit dividirt: eigentlich ist dieser Quotient die Gränze, welcher sich -r . p -P- i , die Bruche — und - alsdenn ohne --5 -rr Aufhören nähern, die sie aber nie völlig erreichen. 160 §. Ein solches Verhältnis dessen Glieder inrom- mensurable Grössen sind, heißt ein irrationales Verhältnis, und der Expoment desselben wird um deswillen eine Irrationalzahl genannt, weil derselbe allemahl ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner r9O Anfangsgründe der Rechenkunst. ner in bestimmten Zahlen nie völlig so angegeben we»° den können, daß dieser Bruch die Grösse des vor. Zergehenden Gliedes gegen das nachfolgende ganz genau ansdrückte. Wenn indessen den bisherigen Schlüssen gemäß der Quotient — — — — — -gefunden, und d,e Näherung so m " K 8 weit getrieben ist, daß oder kleiner ist, als ein gegebener sehr kleiner Theil der Einheit; so ist sr . R. — eine Rationalzahl und — der noch unbekannte irrationale Theil des Quotienten. Der lehtere kann, wenn man eö nöthig findet, noch kleiner, und der rationale Theil dein Quotienten — noch naher ge- bracht werden. Diese Schlüsse rechsertigen eö also hinlänglich, daß jedes Verhältnis; wie ein Quotient ^.:ö, oder wie ein Bruch —, bezeichnet werden könne, wenn das vorhergehende Glied als das Divi- dendum, oder der Zähler, das nachfolgende aber als der Divisor, oder der Nenner, angesehen wird. l6i §. wenn eine gegebene Zahl /u kleiner ist, als der Exponent eines Irrational-Verhältnisses ^ so kann der rationale Theil vom Exponenten des Verhältnisses .- L grösser werden, als tue gegebene Zahl. Beweis. Der X. Abschnitt. 191 Beweis. Weil ^ < — angenommen wird, li so sey ^ -s- v und man nehme die Zahl »r so groß an, daß — -< r werde. Wenn man nun der rationale Theil vom Exponenten des Verhältnisses : L; vermöge der Voraussetzung iß überdem Wenn eine Größe gegen k eben so groß iß, als eine dritte L gegen die vierte 0; oder wenn die zweyte 1! in der ersten ^ eben so vielmahl enthalten iß, als die vierte 1) in der dritten ( ; so ist das Verhältnis : 6 eben so groß, als das Verhältniß L:I); und diese Gleichheit zwcyer Verhältnisse heißt eine geometrische Proportion, oder aus den im rzz §. angeführten Ursachen schlechthin eine Proportion. Die Grössen H,, k, L, O, heissen die Glieder der Proportion, oder auch geometrische Proporrionalgrofsen, und das erste und dritte, so wie das zweyte und vierte, werden gleichnahmi- -r vermittelst der Dlvlsion ^ - — 8 gefunden hat, so ist k. < —?>. also >— —, mithin auch < v. Ferner »st und — ll «r 1- -h r, also -h r. Weil -h r, also aber » > war, so erhält man > jU. ( 28 §.) 162 §. 192 Anfangsgründe der Rechenkunst« ge Glieder der Proportion genannt: jenes sind die beyden vorhergehenden, nnd dieses die beyden nach. ! folgenden Glieder der beyden gleichen Verhältnisse, ,, welche die Proportion ausmachen. Am natürlichsten bezeichnet also der Ausdruck ^ : ll — L : l) eine geometrische Proportion, denn dies zeigt an, cs sey das Verhälcniß A : L dem Verhältniß 0 : O /V e gleich; auch kann man so schreiben — (i 7 z 7 §.) In den Schriften der 2luslander wird diese Proportion so bezeichnet A : L :: L: I). i6z §. Wenn mair zwo Grössen 6 und I) mit einerley ganzen Zahl m dividirt; so heissen die Quotienten und ähnliche aliquote Theile (-»equae- submulripl-,) von ll und IX Will man nun wissen, ob vier Grössen/V, 8, L, V in geometrischer Proportion sind, so prüft man, ob ähnliche aliquote Theile der beyden nachfolgende»! Glieder in den damit zusammen gehörigen vorhergehenden Glieder»» gleich vielinahl enthalten sind. In dem Fall, wenn 6 in A und in L aufgeht, und solchergestalt einer- ley Zahl ir gefunden wird, hat man — — — L ?r 8 ^ . rind — — —, mithin A: 8 — L: O. Nun sind v m ,r die beyden vorhergehenden Glieder A — —' 0 — —O ähnliche l77»»ltipla von ähnlichen aliquo- len Theilen der beyden nachfolgenden Glieder, und beyde Verhältnisse sind rational. Waren diese Verhältnisse . irrational,. so könnten die Divisionen nie . ßÄ D iV, ft r- iür l»c> dü ft i»< ak > > leiii ! M,Ü ML V» M/ sie- M r»i A ^ L» » » >! „kj Der X. Abschnitt. 193 gufgehen: indessen läßt sich für incommcnsurable Grössen ein ganz ähnliches Kennzeichen der Proportionalität festsetzen, welches an sich ganz allgemein ist, und jedesmahl seine 'Anwendung findet, wenn geprüft werden soll, ob vier Grössen in geometrischer Proportion sind, oder nicht. 164 §. wenn ähnliche aliquote Theile H S und ^ O der beyden nachfolgenden Glieder zweyer Verhältnisses: /k, und 0:D, in den damit zusammen gehörigen vorhergehenden Gliedern ^ und Lch.llemcrhl gleichvielmahl enthalten sind, wie klein auch jene aliquoten Theile genommen werden, mit Beobachtung dessen, daß die jcdesmahligcn Reste kleiner als die dasmah! gebrauchten Divisoren seyn müssen; so sind bcyde Verhältnisse gleich groß, gesetzt daß auch die Divisionen nie aufgehen. Beweis. Vermöge der Voraussetzung ist mk) in L »mahl enthalten, wenn in ^ rrmahl enthalten ist, wie groß mich angenommen wird. Weil -r aber die Divisionen nie anfgehen; so sey A ^ —L -l- K, und L — —l) 4-n, allemahl aber !b < -s. ls iV - !<. (S - - undr'<^v; mithin— I! w I) Ware nun die Zahl — < so könnte man die Zahl m so groß nehmen, daß der rationale Theil des vuiotlenken — grosser als -^ wurdeAi ö i §). j) . 2>arff.Mathem. I. Th. Z! 'Als- 194 Anfangsgründe der Rechenkunst. Alödenn wäre l) , und vermöge de?' Voraussetzung bleibt allemahl L - r- ^ - 8 . mithin wäre nun möglich ist. 0 1) , welches uw- 0 ^ Wäre dagegen — > so könnte man wiederum die Zahl m so groß nehmen, daß der rationale c ^ . Theil des Quotienten — grösser als würde. (l6i §.) Alödenn hätte man ——— > , und zugleich - — —-—, mithin wäre ä. - 8. O L 8 > welches ebenfalls unmöglich ist. Weil nun vermöge dieser Schlüsse weder e ^ e 2 > noch Am kann, so ist 4 :8 -- L: O. r6; §. N)enn das Verhältnis) ^: -8 dem Verhältnis) D gleich ist, und man alödenn von 7? und D ähnliche aliquote Theile nimmt, so müssen diese in und (7 gleichviclmahl enthalten scyn, die Divisionen mögen aufgehen, oder nicht, wenn nur richtig so dividirc . wird, daß die Reste kleiner als die Divisoren Beweis, ^ dleiden. ' Etz l.. A» j >7 mlk . < . Vs. F' Der X. Abschnitt. 195 Beweis. Es sey ^.: L — 0: v, und H. ^ n ^ rr 8 . . —k -t- k, so ist — - — -l- Ferner ist ^ e ^ , vermöge der Voraussetzung —- — , also auch -F ^ v O >—> ->- ---.. Ueberdem ist K < HL, also 1 ^) r» v O ,r sei) 8 — HL — 8 , und man erhält - 77 - - — -HK 8 j) Z M - 2-. Weil nun 8 < HL ist, so ist -- < H^ O " L ,r r- v — gesetzt, so hak man auch — - — -h W 1 ) also L — —I) -j- und -r < Hl). W 166 §. r.) wenn das Verhältnis) 8 — (7: O und überdrm K — O ist; so must ^ — (7 si-yn: denn ein Paar ungleiche Grössen können gegen einerlei) dritte nicht einerlei) Verhältnis; haben. 2 .) wenn dagegen 7? > /) oder 7? <; H ist, so har man in, ersten Fall auch ^ > (7, im letzten Fall aber ^ < 0 . ^ Beweis. Es ist allemahl ^ — —L 8 , L — — O -I- r-, und 8 < HL, r- < HO, wie groß M auch m genommen wird, (, 6 z §.) Ist nun L > O, so sei) 8 — v 8 , und man hak ^ — — l)-l— L 1 ,r «r m -H8: allemahl aber kann —v <—L werden. m r» N 2 Denn iy6 Anfangsgründe der Rechen kunst. Denn wäre für einen gewissen Werth m noch H D > — kl, so nehme man m nochmahl so groß an: rrr alsdenn muß auch n wenigstens nochmahl so groß -r werden, (159 §.) mithin wird — kl wenigstens nicht kleiner, wogegen,^I) halb so groß wird, als vorher. Fahrt man demnach so fort die Zahl M zu verdoppeln, so wird endlich — O < — kl, also M M auch r- < — kl -rr Alsdenn ist—v-l- — LchR. t> —O ch r-, mithin A > (?. Wäre 8 < k), so könnte inan 8 -s- kl — D se- Hen, und man hätte A — — 8 -j- K, L — — 8 ?r -tt rrr ss- — kl -k Nlin aber kann m so groß genom- «r men werden, daß — 8 — kl wird, so ist auch K »r »r I< < —kl, umhin L < O. ^ 167 §. Vpenn die Proportion .8 — ( 7 : D richtig ist, so bar nian auch in umgekehrter (Dehnung F: D: t 7 . ^ Beweis. Weil nemlich ^ - —8 -l- 8., 0 ru rn -I) -k -9 und 8. < ^8, und r < ^,k) seyn muß, was auch m für eine Zahl bezeichnet; (16; §.) so ist rn 6- _ k) und v r« (L - also " 8 ^-8 8 - — 8, und Der X. Abschnitt. »r O rr-s- i v ----/, so ist^ch8--- 197 Ferner sty —k —k. -?r -/r rr -tz i ^ ... r, und L -s- / —-1), Mithin — O m ^-l-8 rr -i- k ^ -- . -Nun sey k: — v: so mriß entweder L 1 L < 0 oder dö > L seyn, wofern nicht k^ —Lseyukaun. L e Es sey L, so ist und i) 1 ) man kann die Zahl m so groß nehmen, daß der OL rationale Theil des Quotienten — grösser als — wird, (i 61 §.) Dies sey geschehen, also nunmehro ,r L L-r- k > — , oder —— > —, so rst L — > d., o r> 0 "° L n ?> Hung ist — — —, also wäre ll " O Aber vermöge der Vorarisse- I) ?. mit- 6 I» -—^ < -7-, welches nicht seyn kaim. hin auch Wäre lö > L, so setze inan, es sey bl — L -tzch und nehme nun m so groß an, daß wird ; so ist auch / < ^L>, also ^ < ch folglich L -ch / < O I) o ch oder L -i- / < L, und -— > —> ^ber -j- ,s t- 0 l- w vermöge der Voraussetzung ist —> — —, aild ^ n N z c-l-^ 198 Anfangsgründe der Rechenkunst. I) 8 bin wäre- * iV-j-8 ^ . .^8 v Welker ist- --, ' A-j-, c-z-^ 8 > —-, welches unmöglich ist. mik. Weil nun weder 8 < 0, noch 8 > L seyn kann, so ist 8 — (7, folglich auch 8 : A — 1): (7. Diesemnach ist es gleichgültig, ob man einen Ausdruck dieser Art : 8 — <7 : 1) so versteht: ^ mit A? dwidrrt giebt eben soviel als (7 mir 7) divldirc; oder umgekehrt: 77 mir ^ dividirt giebr eben soviel, als 7) mit (7 dividier: denn eins ist eine Folge vom andern. Dividirt man 8 und 1) mit den ähnlichen aliquoten Tyeilen ^ und ^ <7, und findet man alsdenn 8 — — ^ g> 7 /r 8, so daß 8 < ist; so wird zugleich O ^ ir —e -j- e- gefunden, und »- < rrr » r 6 Z §. 2lus einer jeden Proportion A — l7.0, wenn alle vier Glieder von einerley Art sind, folgt aucb f'tnrterealrrrter et eo»/e^rre?rtee ^-j- (7: Ä g- 77— >7.7? oder — 77 .(7. Beweis. Weil allemahl beydes zugleich ir -r . ^ - —8 -j- 8 und <7 — —17 -l- 7 seyn muß, M «j wie groß auch m angenommen wird; (: 6 z §.) so ist A -s (7 — — ( 8 ^-v)-s 8 -i-^, und 8 -i- ^ i ^ i i ^ < — (8 17) well 8 < — 6 , und»- < — D M r-» r» bleibt ! fitz ^ »ic-l ^ fl ! M M l»; j ü, i « j kS s« tz !i Der X. Abschnitt. 199 bleibt. Diesemnach ist vermöge des 164 §. auch ^4-6:84-8)-/X:8 oder -6:0. Wenn demnach auch drey, vier und mehr Verhältnisse gleichartiger Grössen gleich groß sind, und man summirt alle vorhergehende, so wie alle nachfolgende Glieder; so verhalten sich die Summen ww jedes paar der zusammen gehörige» smumirren Theile. Es sey A- : 8 »r : rr 6 : 8) — m : rr 8 : 8 — m : rr 0 : bi — m : » li. s. f. so ist A: 8 - 6: 8>, also ä 4- 6 : 6 4 - v - «r:» mithin ^ 4 -L 4 - 8 : 6 st- 8 )st -8 — «r:,r, also auey 4 - 6 4 - 8 4 - 6 i 6 st- 0 st- 8 4 - 81 — m r ir, u. s. f. Von jeder Anzahl solcher Proportionen gilt der Schluß auf die nächstfolgende um Eins grössere AnM. 169 §. lipenn alle vier Glieder der Proportion ^ F — (7 .- D von cmerley Arr sind, und übcrdem 7? > D, also auch ^ > O ist; so folgt auch, et es sey -4- (7.- ^ - D - 6.- L> oder ^ ^ L Beweis. Man setze ^ — 6— 8, 8 —v —6, so ist iV — 8 st. 6, 8 — 64 - 8 ); also vermöge der Voraussetzling 84 - 6 : 6-8 8) — 6: 8>. Weil es aber möglich seyn inuß, eine Grösse anzugeben,, die sich gegen 6, wie 6 zu 1) verhalt, so sey 8:6—6:8), und man erhält 84 - 6 : 64-8 — 6 : 8 ), (168 §.) also auch 8 st- 6 :6st-8) - 84-0 : 6 st- 8). Demnach muß 8 4 -L — 8 4-6 seyn, (i 66 §.) folglich auch 8 — 8 — A — 6, und man erhalt X — 6 : 8 - v - 6: v oder - : 8. N 4 170 §. 2oo Anfangsgründe der Rechenkunst. i?o §. wenn man zwo Grossen ^ und die von einet ley Art sind, mir einerlcy rationalen oder irrationalen Kahl nniltiplicirr, oder dividier; so verhallen sich die producre wie die N nih riplicanda, und die (Duorienren, wie die Di- vrdenda. Beweis, i.) Es ist ^ ^ : ?>, als» 2 ^ : 2 — A,: ll, (168 §.) mithin aus eben dem Grunde z /V: z ^ : jz - s. f. Es sey n eine ganze Zahl und ,r /V: » ll — /V: n, st folgt aus dieser Proportion allemahl auch (w -i- r) ^ : (u-i- r) ll — X : k. ( 168 §.) 'Aber die Proportion : »ll — iV : ist wahr, wenn u die Zahl 2 oder z bezeichnet, also ist sie für jede andre ganze Zahl 4, 5, 6, 7, u. s. s. ebenfalls richtig. . 2.) Wenn also auch r« eine ganze Zahl bezeich- ^ ^ k ^ 1; net, st ist . — — m . — : zu. —, (st. 1.) ?» r» m r» zX 1; oder — : — — -X : ll. zu ru ^ z.) Ferner ist u . — : u (n. r.) und —> : — — A. u ir «z m — X:—v —.X:L. k ^ A. r/r zu zu k, (n. 2.) also zu iu 4.) Wenn — eilte Irrationalzahl bezeichnet, oder welches einerlei ist, weirn ? und (^incommen- surable Grössen sind; st findet man allemahl ? — u i —K, so daß K < —ist, wie groß auch »r aiige- «S' Der X- Abschnitt. k !H°l ö l >7 i!«r 6 / 7 / 4 «! angenommen wird, mithin k 7 2or (ss ^ m' ^ Xch".' ? Man setze -^— . A — k', '? - - L. — .11 — 6, und nehme A : 6 -- I' : kr an, ^ ^ « . w > n -j- 7 ' so ist uberdenr — A: — H — v : kr und-tr ru ?» m rr -!- i -.. sr -II — ? : kl; (n. z.) auch ist I? > — und k' < 72 -j- I rr -j- i r« m also kl »2 6 und kr < 172 72 L (166 §.) mithin allemahl Ir — —II g--, >7 ' - 71 so daß ^> A:k--. .V : - . il. . ^ ^ I' -;.) Hätte man L und I! -mir —^- divid'.ra, es r / ^ ' mag -7— eine rationale odergrrationale Zahl, se^n; - r> ' ^ 7> ' - I I', » - - — . 6; <> Der X. Abschnitt- 22Z l^ 'M, nß !:v- F, Bk ^ Beweis. Es fey « . A — ?, und /Z. ^ — p, so ist « — i, und /Z — i« Ferner hat ? /? man?:/? — —-- : -- (171 §.) also ? : 5 — « : B, oder c« . A : ^ . A — «: /Z. i?4 §. Dividier man gleiche Grössen mir ungleichen rationalen oder irrariona:eu Zahlen ^ uns , und — A; K 6 so ist ll — . O, und O — F. Daraus folgt und -—.^, also —- — -7, oder ^: -i. " S ^ Wenn die Divisoren Zahlen sind, so sind die Quotienten mit den Dividendis von einerlei,. Art. Sind dagegen die Divisoren mit den Dividendis von einerley Art, so sind die Quotienten Zahlen. Setzt v v ^ ^ man nun — — — /Z, so hat man wie-- a F /Z derum O — « . al — B . F also ci — — . F, und ^ /3 « 1 — —, oder c/: ^ — /Z: 0 « ^74 §» 204 Anfangsgründe der Rechenkunst. 175 §- , Es sind drcy Grössen N, (7, gegeben, inan soll -u ihnen die vierte Proportional- grosse finden. Auch >.) Die gesuchte vierte Grösse sey I), so muß l) mit 0 ven einerlei) Art sey», und über- ' .. l! l) dem wird ersordcrt, daß — - — sey (164. 16; ll ^ ^ §.), also i>r l> — -- . 0. Demnach dividire man die zwcyte Grösse rnit der ersten, und multi- plicirc die dritte Grösse nrit dem gefundenen (Quotienten, so har man die gejuchte vierte Grosse. 2.),Weser» alle drei) gegebene Grössen von ei- ' I) nerley?lrt sind, so hat man auch - —- (i72'§.) alsov — - . ?>. Demnach kam: /V auch die. dritte mir der ersten dividier, und die zweyrc mir den, gefundenen (Quotienten multipltcuc werden. ,Z.). Weil 1- und -i- Zahlen sind; so hat . ?. - man auch O — -— nach der ersten Regel, und , - <-n; nach der zweyten Regel O —-. Wenn alle , drei) Grössen von einerlei) Art sind, so ist es gleich- l; x e - <7 x gültig, ob man —, oder—— schreibt: Das Product der bevdcu Mittlern Grössen mir der ersten Der X. Abschnitt. 2OZ ersten dividier giedt nun die gesuchte vierre Grösse. Wenn eine neue Grösse V mit A und 6 von ei- nerley Art ist, so sind —77-, —77- Zahlen, die V V ?1 verhalten. Wenn also sich eben so, wie /V ^ k — «, - — — /Z gesetzt wird, so hat man V ^ L mich «: — L : O, rmd I) — ——. Nuir sind «.V, A . V, als genannte Zahlen anzusehen, wobei) der Nähme, oder die Grösse der Einheit V wahrend der Rechnung selbst nicht in Betrachtung kommt. Ist nun L mit ii, und k nicht von einerlei) Art, und man setzt — — v, also L — so yat man » /3 /Z . v «: /Z — v, und I) — -— . . rr —-- -v./3 7 , « ^ . u —-. u — — . /Z. tt. Wie nun -/ . ri « cs als eine genannte Zahl anzusehen ist, so wird auch die vierte Grösse eine genannte Zahl, die mit der dritten einerlei) Nahmen har. Wahrend der Rechnung kommt dieser Nähme wiederum nicht in Betrachtung: demnach sind die gegebenen Regeln von allgemeinen Gebrauch, sobald die gegebenen Grölst» als genannte Zahlen auogedruckt sind, so wie es für sich klar ist, daß sie bey absiracten Zahlen allemahl ihre 'Anwendung finden. 4.) Wenn A — i ist, so hat man O — x L, und wenn alle drey Grössen von einerlei) Art sind, auch 1) — Ox l!: also ist jedes Produkt die vierte. Proportionalgrösse zu Eins dem Multiplikator rmd dem 2v6 Anfangsgründe der Rechenkunst. dem Multiplicando, oder zu Eins und beyden Faktoren, iil welcher Ordnung man will, wenn alle drey Größen von einerlei) Art smd. Allemahl aber ist das Product, mit derjenigen Grösse von einerley Art, die man für das Multiplicandum annimmt, so wie die Einheit mit dem Multiplikator von einerley Art seyn muß. Im Grunde ist alsdenn der Mulri- plicator doch eine Zahl, und man hat eigentlich O — —- . L, und wenn L mit k von einerley ' L Art ist, auch v — — . k. i i o 5.) Ist L -- i, so hat man 1 ) - —. < 7 — — - also ist jeder Quotient die vierte Proportionalgi 'sse zum Ditrisor der Einheit und dem Dividende. T er Quotient ist mit dem Dividende von einerlei- Art, die Einheit aber mit dem Divisor. Wie aber eigentlich (7 v —-, und A : i eine Zahl ist, so stehet r i man wohl, daß auch diese Vorstellung mit dem gewöhnlichen Begrif der Division überein komme. Sind Divisor und Dividendum von einerley Art, so O ist v —-. i eine Zahl, so wie auch den A Schlüssen des r 56 und 157 §. gemäß in diesem Fall eine Zahl als Quotient gefunden wird. r?6 Z. In jeder geometrischen Proportion ist das producc der beyden Mittlern Glieder in einander dem producr der deyden äussern gleich. Auch 1 Aä drs ttü' V« sii sm im bs s- il >>i ! r 4 '-'S« lkÄich "s ?« 7 Mp' M. !«,>'»! , lr» Der X. Abschnitt. 207 Auch umgekehrt: wenn zwey Products gleich groß sind; so sind die beydcu Facroren des einen Products zwischen den Heyden Faktoren des andern mittlere Proportional- grossen. Beweis, i.) Wenn A : 6 — L-: I), und V mit und L von einerley Art und eine solche Einheit iss womit man A und 6 vergleichen kann; sd hat AK (k:V)xL man auch --: — L: O, und v — —.— V V ' A:V also . v — . L. Wären alle vier Grössen von einerley Art, so hatte man auch A: L —k:v, und-:-^6:O, alsov-^-, ^ o mithin atich — . I) — -7^7 . 8. 2.) Wofern ? und () die Faetoren eines Products ? x (Bsind, so muß man sich unter einem von beyden Faetoren die Einheit als Divisor verstellen, ? o so daß e >« eigentlich — — .() oder — — .? ist. ii Ein solches Product kann einem andern? x 6 nur alsdenn gleich seyn, wenn wenigstens ein Factor des einen mit einem Factor des andern von einerley Art ist. Ware also (h mit 6 von einerley Art, und k x (ch- 6 x O, so kann diese Gleichheit bestehen, wenngleich?, ?, (^oderL von ganz verschiedener Art sind. Denn eigentlich will der Ausdruck sagen, eö sey --- tt — — .6, da dann V und « Ein* V rr heiten 208 Allfangsgründe der Rechenkunst. Heiken mit I' und ? von einerlei) Art seyn müssen, und so hat man 0 - -—— . 0, inlchm — —- P ? oder — : — — 0. : 6. Sind alle vier Faeto- 77 V ren von einerlei) Art, also V— rr, so ist k: ?— (ch: 0. i?7 §- wenn man die Glieder zweyer oder auch mehrerer Proportionen, wie sie in der Ordnung folgen, mir einander mulripllcirt; so sind die producce wiederum ii: gcomerristticr Proportion. Auch sind die Olusricnrcn einander pro- 1 porrional, wenn man die Glieder einer pro- ' pornon nach der Ordnung mir Sen Gliedern cmcr airdernproporcion,wre sie auf einander folgen, dividirr. Beweis. Zwey dergleichen Proportionen kann man allgemein so ausdrücken: A : wil. — k> : irll : 777 0 — p: rr/I) wenn die Buchstaben rr und die Exponenten der Verhältnisse jedes der nachfolgenden Glieder zum vorhergehenden bezeichnen. Die Producte sind alsdenn X e, ?! . m. . A X L, k X I), 77 . 7U . k> X 1), die Quotienten aber ^ » iV ll -r S (Z ^ m ^ ^ r /7 l) und so ist gleich für sich klar, daß jene Producte und diese Quotienten iu geometrischer Proportion stehen. (164 §.) Wenn ! M U; jl' nsÄ. ^ i« st« ^ M' kik rM D >tD, HB Der X. Abschnitt. 229 . Wenn aber der erste Sah für zwey Proportionen gilt, so folgt eben daraus, daß er auch für drey gelte: denn die Glieder der beyden ersten in einander multiplicirt geben eine Proportion, und diese einander proportionalen Produkte niit den Gliedern der dritten Proportion multiplicirt, geben abermahl proportionale Producke. Wenn überhaupt der Satz für eine gewisse Anzahl von Proportionen wahr ist, so erhellet, daß er noch gelte, wenn die Anzahl der Proportionen um Ems grösser ist: also gilt er für jede Anzahl von Proportionen. §. 178. Wenn die beyden Mittlern Glieder einer geometrischen Proportion gleich groß sind; so heißt sie eine storche Proportion ( propomc» contünu,). Eine solche Proportion hat nur drey verschiedene Glieder, und das mittlere Glied kommt zweymahl vor. Sind ^ und 8 zwo gegebene Grössen, so findet man zu ihnen die dritte stetige Proporkionalgrosse c - — - . 8 ( 17 ; §. n. I.) oder auch L , (175 H. n. z.) und das dritte Glied der stetigen Geometrischen Proportion mit dem ersten Gliede multiplicirt giebt ein eben so grosses Produck, als gefunden wird, wenn man das mittlere Glied mit sich selbst multiplicirt. -79 §. Man setze die Zahl-— «r, so ist 6 — »«^, und m des Verhältnisses 8 : ^ Exponent. Ferner wird L — mlj — ; wenn also ^ das erste Glied, Lacst.Mach.Tb.l. O und 2io Anfangsgründe der Rechenkunst» und W der Exponent des Verhältnisses des Meisten Gliedes zum ersten ist, so sind die allgemeinsten Ausdrücke für drey stetige geometrische Proporrtonalgxäss.'n. Wird uuu das dritte Glied aufs neue mit dem Exponenten multiplicirt; so sind vier stetige geometrische Proportionalgrösseu, da dann die zweyte und dritte die Heyden Mittlern heissen. Wird die letzte von vier stetigen geometrischen Proportionalgrössen aufs neue mit dem Exponenten k . . ru — — multiplicirt, so erhalt man fünf dergleichen stetige Proportionalgrössen, und man stehet leicht, daß eben so sechs und mehr stetige Proportw- nalgrössen zuwege gebracht werden, wenn man jedes- mahl das letzte Glied aufs neue mit dem Exponenten multiplicirt. Auf solche Art erhält man eine Reihe von Grössen, worin jedes Glied zum nächstvorhergehenden einerlei) geometrisches Verhältniß hat, und eine solche Reihe heißt eine geometrische progresston. Wenn der Exponent eine ganze Zahl oder ein uneigentlicher Bruch ist, so wird es eine wachsende oder steigende Progression; eine abnehmende aber, wenn der Exponent ein eigentlicher Bruch ist. 180 §. Ein Product zweener gleich grosser Factoren in einander, wenn beyde als Zahlen betrachtet werden, Heist die Ouadrarzahl eines jeden dieser Factoren, und ein jeder Factor heißt die Quadratwurzel dieses Products. Ein Product dreyer gleich grosser Factoren in einander wird die Cubiczabl eines jeden Factors genannt, und jeder von den dreyen gleichen Facwren Heist die Cudicwurzel dieses Products. Man D »i- -D! ßriis' UV st isl ^ ceM! I ü?) ^ W) ) 1 > d > MM N»l Klir «Istij Der X. Abschnitt. Man schreibt die O.uadratzahl von einer gegebe- ^ „en Wurzel auf folgende Art. , Oben rechter Hand ^ an der gegebenen Wurzel, z. E. 5, fetzt man die Ziffer 2 etwas kleiner als die Ziffern der Wurzel, so ^ daß / eben so viel ist, als ; x 5 — 2;. Diese M« kleinere Ziffer 2 zeigt nämlich an, es sey ein Product zweener gleich groffer Factoren gemeint, wovon jeder so groß ist, als die dabey stehende Wurzel. Auf ähnliche Art bezeichnet 5' die Cubiczahl von ;, und man kann überhaupt jedes Product mehrerer Facto- reu so bezeichnen, wenn sie alle gleich groß sind; Dl N; ist fo viel als 7X7X7X7X7X7. Solche Prodricte heissen überhaupt Potenzen oder Digni- raren des Factors, der durch wiederholte Multipli» cation mit sich selbst das Product hervorbringt; jede Potenz hat den Nahmen von der Anzahl ihrer glei- ^ chen Factoren , und die kleine Ziffer, welche die An- Uffr- zahl der Factoren ausdrückt, heißt der Exponent der Potenz. Demnach ist 7^ die sechste Dignität Wksi' 7 / lind 6 ist der Exponent dieser Potenz. Äü!i Jeden von den gleichen Factoren, deren Product Hi! in einander eine Potenz dieses Factors hieß, nennt Wk marr die Wurzel dieser Potenz, und das Zeichen /,' kiluji welches nichts anders als ein etwas verzogner Buch- siab r-ist, bezeichnet allemahl eine Wurzel von der Zahl'als eine Potenz betrachtet, der man es voran- setzt. Soll es die Quadratwurzel seyn, so wird das fF« Zeichen/ allein, ohne weitern Zusatz voran gesetzt:' M soll es aber die Cubicwurzel bezeichnen, so schreibt man /, und eben so bezeichnen /, /, /, u. s. f. eine Wurzel.der vierten, fünften, sechsten Potenz, ^ und die kleine Ziffern über dein Zeichen / heißt der 2i2 Anfangsgründe der Rechenkunst. Wurzel - Exponent. Demnach ist /A; — 5, z r /°z6 — 6, /8 — 2, ^27 — 9. Der Ausdruck ^2421 bezeichnet jeden von den vier gleichen Facto- ren, worin sich die Zahl 2401 zerfallen läßt, also ist >/^Z42i — 7, denn man findet 7^ — 2401. Diejenigen Potenzen, wovon die Exponenten grösser als z sind, heissen überhaupt ködere Potenzen, und die allgemeinen Lehren von diesen höhern Potenzen bleiben den folgenden Theilen dieses Lehrbuchs Vorbehalten. iZi §. Wenn A das erste Glied, und m der Exponent des Verhältnisses des zweyten Gliedes einer geometrischen Progression zum ersten Gliede ist; so können alle folgende Glieder ganz allgemein so ausgedrückt werden: A, mA, m'A, u. s. f. Jedes Glied der Progression ist ein Product des ersten Gliedes mit einer Potenz des Exponenten des Verhältnisses des zweyten Gliedes zum ersten, und der Exponent dieser Potenz ist für jedes Glied einer- ley mir der 'Anzahl aller Glieder, die vor diesem Gliede vorhergehen, also um. Eins kleiner als die Anzahl aller Glieder der Progression rückwärts hiö zum ersten, das erste und letzte mitgezählk. Ist V das letzte Glied, und » die 'Anzahl aller Glieder, das erste und letzte mit eingeschlossen, so ist V — . A. Wenn das erste Glied A — i ist, so ist die Progression eine Reihe der Potenzen des zweyten Gliedes, wie sie in der Ordnung nach einander folgen. Jede jsU disin W sich ücsli cchi von L:« c,v e ' r , dkS i Pso Äicl . Sch Der X. Abschnitt. 21z "' Jede Quadratzahl ist die dritte stetige geometri- sche Proportionalgrösse zu Eins und der Quadrat- wurzel, und jede Cubiezahl die vierte stetige geome- ,trische Proporrionalgrösse zu Eins und der Cubic- wurzel. , 182 §. " AP In einer stetigen Proportion von drcy Gliedern s-Dil ist das Product des ersten und dritten Glie-- ichlw des in einander der Eiuadrarzahl des Mittlern W Gliedes gleich: und wenn vier Grossen in einer- stetigen Proportion fortgehen, so ist das Product des letzten Gliedes mit der (Quadrarzahl des ersten so groß, als die Cubiczabl des ersten von den beyden Mittlern Gliedern. Wem» >§» nemlich 8, L, drey stetige Proportionalgrössen E st"d, und gesetzt wird , so ist 8 - U- k?» NI,s iVK' P also 8^ — und ^ x L — also ^ x (! — 8^. Sind X, 8, L, O, vier stetige Proportionalgrössen, und es bleibt 8 -— M, so ist 8 — L n O — rrr' also 8' — und OxtV^ — also I) x — 8'. i8z §. Das Product des ersten und letzten Gliedes der geometrischen Progression in einander ist so groß, als das producr zweyer andern Glieder />und H, derselben Progression, wenn vor dem einen bis zum ersten ^ so viele Glieder vorangchen, als nach dem andern H bis zum letzten folgen. S z Auch > « / LI4 Anfangsgründe der Rechenkunst. 1 Auch verhalt sich die Differeuz des zweiten uird ersten Gliedes zum ersten Glieds, wie dre Differenz des leyteu und ersten Gliedes > zrrr Sumine aller Glieder weniger das lerne. Beweis des i. S. Wenn vor r bis zum.f- ersten Glieds, -- Glieder vorangehen, so ist ? das (> -j- r)te Glied, das erste /i mitgezählt, und man hat ? — Wenn ferner nach 1' bis <2. noch »r Glieder folgen, (2 mitgezahlt, so ist das (»- -tz i ?r)te Glied, also . iZ. Wenn endlich nach tchbis zum letzten Gliede V wiederum Glieder folgen, das letzte mitgezahlt; so ist die An- ^ zahl aller Glieder der Progression — 2 n -s 1 rr, und V —A, also AxV — Es wird aber auch kx 0 — gefunden, demnach ist l' x tch— /i x V. Beweis des 2 S- Es sey 8 die Summe aller Glieder der Progression, vom ersten Gliede A bis zum letzten V — . A, wenn die Zahl aller Glieder rr ist, so hat man 8 — V — A -f- mA ch .... M""- ' . A -l- A; 8 — A .. -tz -tz Man mnltiplicire die erste Reihe 8 — V mit so findet imin das Product — 8 — A, mithin erhalt man m (8 — V ) ^ 8 — A. Man subtrahire auf beyden Seiten 8 — V, so findet man (m — i) (8-V) ^8-A-(8-V) --V_A,(2y§.) und das giebt »r — r : i — V — A : 8 — V, oder auch mA — A: tV — V — A: 8 — V. Der Die XI. Abschnitt. 2lZ ^ Der XI. Abschnitt. Die Regeln. isrstii nach welchen man aus jeder Zahl die . ^ §^t>enn zwo Zahlen gleich sind, so sind ihre Qua- »lw drat- nnd Cubiczahlen gleich, auch ist die M Quadrat und Cubiczahl einer grossem Zahl grosser, ^., 1 , als die Quadrat- und Cubiczahl der kleinern. (Z 2 . Z5 H.) Demnach sind' auch Quadrat- und Cubic. Wir, wurzeln aus gleichen Zahlen gleich groß, und die st Quadrat- und Cubicwurzel einer grossem Zahl ist M s/- grösser, als die Quadrat - und Cubiczahl einer klei- nernZahl. ^ Die Quadrat - und Cubiczahl einer ganzen Zahl st,, ist ebenfalls eine ganze Zahl und grösser als die Wurst zel. Die Quadrat - lind Cubiczahl eines Bruchs ist Hst,, ein solcher Bruch, dessen Zahler und Neuner Qua- ^, i drat- und Cubiczahlen vom Zahler und Nenner der h ^ Wurzel sind; demnach sind die Quadrat - und Cubic- ^st ^hl eines uneigentlichen Bruchs wiederum uneigent- '' ,j liche Brüche, und grösser als ihre Wurzel: dagegen stst ist die Quadrat- und Cubiczahl eines eigentlichen st ^ Bnichs ebenfalls ein eigentlicher Bruch, und kleiner ' ' als die Wurzel. (i o8§.) Die Quadrat- oder Cubiczahl eines Products ist das Product aus den Quadrat- oder Cubiczahlen der Faktoren. Denn es ist (aüc)^^nöc.aüc— und (aLr)' aLr . aüc. aüc - man über- Quadratwurzel findet. 184 §. O 4 sieht 216 Anfangsgründe der Rechenkunst. sieht leicht, daß in der Quadratzahl eines jeden Products so vieler Factoren als man will, jeder Factor zweymahl, und in der Cubiczahl jeder Factor drey- mahl Vorkommen müsse, daß also die Regel allgemein sey. Das Product zweyer und mehrerer Potenzen von einerley Wurzel in einander ist eine poeenz von eben der Wurzel, und ihr Exponent ist die Summe der Exponenten der Lacrorcn. Es ist nemlich . a ^ — ^aaa — a also^.ö--^- u.s. f. 28; Die Quadrat und Cubicwurzel aus einem Product ist das Product der Quadrat - oder Cubicwurzeln aller Factoren in einander: und die Quadrat- oder Cubicwurzel aus einem Brnch ist ein nerier Bruch, dessen Zahler und Nenner Quadrat- oder Cubicwurzeln des Zahlers und Nenners der Quadrat - oder Cubiczahl sind. Wenn nemlich — k gesetzt wird, so ist aör — also ^aür — k, mithin ^aöc z z ; (Letztzman dagegen/'a/ü/'c — so . z z »st aSr — also /aLr — k, mithin /°aüc ^ z z » a/ü/' c. Ferner, wenn — (^gesetzt wird, so ist a na a ^ o:, -,s° ^ Wird 2,7 d>t 'aPs- ß l"d ihr Mir wjÜA 'GÄ Ä 5 ich, Ä, si Ä-: il» - /- Ä Der Xl. Abschnitt. z Wird aber — — gesetzt, so ist -- — r z« ^ Za /'s imchln - ()., und . ^ ^ /ö Jede Quadratwurzel ist die mittlere Proportionalgrösse zwischen Ems und der O.uadratzahl, und jede Cllbicwurzel ist die erste von zwoen Mittlern stetigen Proportionalgrössen zwischen Eins und der Cubiczahl. i 86 §. XVenn der Nenner eines uneigentlichen Brucks in seinem Zähler nickt aufgchc; und man «nackt die (Quadrat - oder Cubiczahl des Brucks; jo kann auch der Nenner der (Quadrat- oder Cubiczahl in ihrem Zahler nicht aufgehcn. Beweis. Wenn ^ > k, mithin —- ein un- eigentlicher Bruch ist, Zählerund Nenner aber noch gemeine Maasse haben; so se«) m ihr gröstes Maas, und /b — w«, Z — -Kö: alsdenn hat man auch ^— —-. Wofern überdem a und o ulwt o L vielleicht selbst absolute Primzahlen sind, so besteht nicht allein«, sondern auch ö, aus einer bestimmten Anzahl einfacher Factoren, die insgesammt absolute Priinzahlen sind: beyde Zahlen « und S aber haben keinen einfachen Factor mehr gemein, weil sie der Voraussetzung gemäß schon die kleinsten Zahlen sind, die den Bruch ausdrücken können, und der Nenner 218 Anfangsgründe der Rechenkunst. im Zahler nicht aufgehen soll. Nun ist die Quadratzahl und die Cubiczahl von ——, aber enthalt jeden Factor von a zweymahl, a' enthalt jeden dieser Factoren dreynrahl, sonst keine an- dre Factoren; ferner ^ enthalt jeden Faccor von ö zweymahl, und jeden dieser Factoren dreymahl, sonst wiederum keine andern Factoren: demnach kann weder ^ in noch auch in aufgehen, oder: weder die Qnadratzahl, noch die Cubiczahl des Bruchs kann eine ganze Zahl seyn. Wofern aber -- und — keine ganze Zahlen seyn können. so können auch — und — keme ganze Zahlen seyn, denn es ist — — L- m-ö» und L- 18? §. kVenn die Duadrar - oder (tubicwurzel einer ganzen Zahl keine ganze Zahl ist; so kann sie auch kern rationaler Bruch seyn. Beweis. Ware die Wurzel ein achter rationaler Bruch, so wäre die Zahl selbst auch ein achter Bruch, (i84§- u- 2 .) also keine ganze Zahl, wie doch vorausgesetzt wird. Ware die Wurzel ein unechter Bruch, der sich auf keine ganze Zahl bringen liefst, so müste wiederum die Zahl selbst ein Bruch io rr o N r ? ! k k: ik > c « >! ii Der Xl. Abschnitt. 219 Bruch von eben der Art, ( 186 §.) mithin leine ganze Zahl seyn. Ist aber die Wurzel weder ein - achter noch ein unachter Bruch; so giebt öS gar keinen rationalen Bruch, der die Wurzel genau aus-- drücken könnte. Wenn eine Zahl keine Rationalzahl ist, so muß es eineIrratioalzahl seun. Die Quadrat - oder Cu- bicwurzel ans einer ganzen Zahl, wenn sie keine ganze Zahl ist, kann keine Rationalzahl seyn, also ist eine solche Wurzel eine Irrationalzahl. Wie nun von jeder Irrationalzahl ein rationaler Theil angegeben werden kann, dessen Unterschied von der Ir-- rationalzahl kleiner ist, als jeder gegebene noch so kleine Theil der Einheit; so muß es auch möglich seyn, einen rationalen Theil einer irrationalen Quadrat- oder Cubicwurzel anzugeben, dessen Unterscheid von der gesuchten Wurzel kleiner ist, als jeder gegebene noch so kleine Theil der Einheit. 188 §. Solche ganze Zahlen, deren Quadrat- und Cu- birwurzeln ganze Zahlen sind, heissen vollkommene Guadrar- und Lubiczahlcn, die übrigen aber werden unvollkommene Duadrar- und Eudiczahlen genannt. Die Quadrate aller einfachen Ziffern kommen im Einmal)! Eins vor, und es sind folgende: Ziffern jl-z 4 5 6 78 9 Quadrate >14 9 16 25 ;6 4y 64 8> Wem also das Einmahl Eins geläufig ist, der wird leicht in Gedanken die Wurzel finden, wenn eine von diesen neun Quadratzahlen vorkommt. UcbriacuS erhellet hieraus von selbst, daß das Euadrar einer 22o Anfangsgründe der Rechenkunst. ner einfachen Ziffer höchstens aus zwoen Ziffern bestehe. 198 §. i.) Jede Zahl, sie mag aus einer, oder aus mehreru Ziffern bestehen, wenn an derselben zur Rechten Nullen hangen, ist das Produet einer Zahl, welche diese Ziffern für sich allein ausdrücken würden, in eine Potenz der Zahl io, und der Exponent dieser Potenz ist mit der Anzahl der anhangenden Nullen einerlei). So ist zoooo — z x io"», 64000000 ^ 64 x lO^, und man kann Produkte dieser Art noch kürzer so schreiben: zoooo — z, 6 64000000 — 64. Solchergestalt wird die Anzahl der anzuhangenden Nullen durch eine kleine Ziffer angezeigt, die man grade über der niedrigsten Ziffer des übrigen Theils der Zahl hinschreibt. Eben diese kleine oben über geschriebene Ziffer zeigt also an, zu welcher Decimalordnung die Ziffer gehöre, worüber sie stehet, und man kann sie in solcher Rücksicht den Exponenten dcr Drdnling dieser Ziffer nennen. 2.) Das Quadrat einer Zahl dieser Art, woran rechter Hand Nullen hängen, ist die Quadratzahl der Ziffern mit doppelt so vielen Nullen, als der Wurzel beygefügt waren; und umgekehrt: Wenn an einer vollkommenen Ouadratzahl eine grade Anzahl von Nullen hangt, so ist ihre Quadratwurzel die Wurzel der Ziffern mit halb so vielen Nullen. Demnach ist 6 Z 820^ — 640000, und ^2; — 5 — 5000. z.) Das Product zwoer Ziffern, die zu verschiedenen Decimal-Ordnungen gehören, hat zum Exponenten der Ordnung seiner niedrigsten Ziffer die Summe 22 ! Ad>!- O«i < IS', Äw Ul 7 » »» ^7 7/7 !» > der rm ^ »> ! «« d ik .' qi 'j i« ^ M h lli!> zß B B Der XI. Abschnitt. Summe der Exponenten der Factoren, und der Exponent der Ordnung des Quotienten zwoer Ziffern, wovon die niedrigsten zu verschiedenen Decimalord- nungen gehören, wird gefunden, wenn man den Exponenten des Divisors vom Exponenten desDividen- di subtrahier. N 4.) Die Zahl i ist die kleinste unter allen Zahlen, die ,r 4-1 Ziffern haben, wenn man die Nullen als Ziffern mitzählt: eben die Zahl i aber ist grösser als jede andre, die aus rr Ziffern bestehet. r °9 §. wenn eine Zahl aus zweenen Ehesten he- fteher, so ist ihre (Quadrarzahl aus dem (Quadrat des ersten Theils dem doppelten Product des ersten Theils in dein zweyren, und dein (Quadrat des zweyren Theils zusammengesetzt. Beweis. Es sey a der erste, L der zweyte Theil der Zahl, also die Zahl selbst — a -i- -,so ist die O.ua- dratzahl (a -h — (a -p L) (a -p L). Wenn man nun gehörig multiplicirt, so findet man a ff- ö a -P ^ aö -j- -p2al>-h ^ 2.) Die Quadrarzahl der Differenz zwoer ungleicher Zahlen a und L ist der Uebcrschuß der Summe derQuadrare beyder Zahlen über ihrem doppelten Product. Beweis. 222 Anfangsgründe der Rechenkunst. Beweis. Es seya —S —^ alsoa^ö-pff, so ist -s- 2^ -i- ^ (n. i.) also ^..^L — 2/?^ 4 - 205/ -j- al^. Ferner ist 2/--/ 2/-' — ö) ^-2i?ü—2ää, (ii4§.) also 4-— 2aä4-ti^, und oder (a — ä)^ — 4- — 2aS. z.) Wenn man die Summe zwocr ungleicher Zahlen mir ihrer Differenz mulnpUcirr, so ist das Product so grosi, als die Differenz ihrer Quadrarzahlcn. Beweis. Es ist (n 4-S) ( ze! ausmachen. Beweis. Die rationale Wurzel einer vollkommenen Quadratzahl ist eine ganze Zahl, und diese mag aus so vielen Ziffern, wie sie wolle, bestehen; so kann man sie doch in zweene Theile Zerfällen, davon der erste ihre höchste Ziffer, und der zweyte die übrigen alle enthälk, wie z. E. Z24 — züo 4 - 24. Wenn nun die Wurzel n 4- 1 Ziffern hat, so gehört die höchste Ziffer zur Ordnung n, und ihr Quadrat zur Ordnung 2», also hat es wenigstens 2^4-1- 2(w 4- i) — i Ziffern, die Nullen als Ziffern mit- gezählt. Weil nun, uni die Quadratzahl der gan-^ zen Wurzel zu erhalten, noch das doppelte Product des ersten Theils der Wurzel in den zweytm Theil, mit lheA ^ zLj O pk ^>-1 s°> W NI Ä P hii »i ? r !l! 1 ^ l s« , »/s mk Ä Ä Qssch' Zll- iB Der Xl. Abschnitt. 22z mit dem Quadrat des zweyten Theils, zu jenem Quadrat des ersten TheilS hinzukommen muß; so erhellet , daß die Anzahl der Ziffern des Quadrats der ganzen Wurzel zwar grösser, als 2-r -ff i, aber nie kleiner seyn könne. Das Quadrat der höchsten Ziffer für sich konnte wohl 2 Ziffern haben, aber auch nie mehr, (188 §.) also kann das Quadrat des höchsten Theils der Wurzel 2» -4- 2 — 2(n -ff i) Ziffern haben, die Nullen als Ziffern mitgezählt. Wenn aber gleich die übrigen Theile des Quadrats der ganzenWurze? hinzu kommen^ so kann dasselbe doch nie mehr als 2(» -ff1) Ziffern erhalten. Denn die kleinste von allen Zahlen, die aus 2(» g- ;) -ff i Ziffern bestehen, ist i, wenn man die Nullen als Ziffern mitzahlt, und ihre Quarr -l-1 drakwurzel ist i, und diese Wurzel hat ?r -ff 2 Ziffern, mithin ist sie grosser als die angenommene Wurzel, die nur »-ff 1 Ziffern haben sollte. Man übersiehet das,,Schließende des Beweises am deutlichsten, wenn man ihn auf einen besondern Fall anwendet. Die O.uadrarzahl von z 2 4 — z 00 -ff 24 hat wenigstens 2 xz — r — 5 Ziffern, denn es ist schon zoo^ — 90000, und zum Quadrat gehören noch die Theile 2^00x244-24^. Aber mehr als 6 Ziffern kann die Quadratzahl von Z24 nicht haben: denn die kleinste von allen Zahlen, die 7 Ziffern haben, ist 1000000 und ihre Wurzel ist rooo, welche grösser ist, als jede Zahl von drey Ziffern, also grösser als 524. 19 2 H. lVenn man eine vollkommene Quadrats zahl, dre aus so vielen Ziffern, als man will, bestehen 224 Anfangsgründe der Rechenkunst. bestehen kann, von der rechten gegen die Lrncke in Elasten rherlr, und jeder Elaste zwo Zistern, irurhm Oer höchiren Elaste nur eine Zister giebr, wenn die Zabl aller Zistern ungrade ist; so besteht die Quadratwurzel aus jö vielen Zlstern, als manEiastengemacht hat. Beweis. Wenn die Zahl der Ziffern, welche die Quadratzahl ausmachen, grade und — am ist, so ist die Zahl der Claffen — M. Hatte nun die Wurzel weniger als m Ziffern, wäre die Zahl dieser Ziffern — m so wäre die Zahl der Ziffern des Quadrats nicht grösser, als 2 m — 2?r, also hätte inan nicht mehr als m — 7/ Claffen. Hätte dagegen die Wurzel mehr als m Ziffern, wäre die Zahl dieser Ziffern — m 4-»; so wäre die Zahl der Ziffern des Quadrats nicht kleiner als 2(M-j-«)-. i — 2 m 4- 2 >r — 1 — 2M -j- 2(» — i ) -H i, folglich hätte man M 4- ir Claffen, und beydes ist der Vorauösehung entgegen. Z st die Zahl der Ziffern der Quadrakzahl ungrade — 2»/ -h i, so ist die Zahl der Claffen — ?// 4- i. Wäre nun die Zahl der Ziffern der Wurzeln kleiner, wäre sie — «r 4- 1 — n, so wäre die Zahl der Ziffern des Quadrats nicht grösser als 2(m 4-1) - 2», und man hätte nicht mehr als m 4- i — ,r Classen. Wäre dagegen die Zahl der Ziffern der Wurzel grösste als »r 4- i, wäre sie — m 4- 1 4- »; so wäre die Zahl der Ziffern des Quadrats nicht kleiner als 2^4-14-w)— i, also nicht kleiner als 2m4-2»->-r, rind man hätte nicht weniger, als m 4- i 4- n Clas- stn, beydes wiederum gegen die Voraussetzung. l um chi so ! «' ssiü I -2 l!» i!>ki R «il 22A - Atz, ft»» , IN di. >»iö Ä!« Wt» ji l« M tlj « HR Wk »,ri. kl« krK Der XI. Abschnitt. -93 §. wird die Quadratwurzel einer Zahl um Eins vermehrt, so wachst die O.uadrarzahl um die doppelte vorige Wurzel und Eins. Beweis. Es ist(K 4- r)* ^k? 4-2K4-1: (190 §.) weil Mink? die Qliadratzahs von l< ist, so wachst dies Quadrat um 2K. 4-1, wenn K um Eins waü)st. Weil 2K. 4-1 allemahl eine ungrade Zahl ist, so kann man die Quadrate aller ganzen Zahlen, wie sie in natürlicher Ordnung folgen, leicht machen, wenn nur die ungraden Zahlen in natürlicher Ordnung zusammen addirt werden. Denn es ist ^2- 3 " 4 ' 5 ' 6- 7 ' i i -h 4 4- 9 4- 16 4- 2; 4- 36 4- 2 4- 4 ch 6 4- 8 4- ro 4- 12 -h t 4 - 4 4- 9 4- 16 4- 25 4- zS 4- 3 z 7 9 r i 13 4 9 r6 2 Z 36 49 AilS F is,r u. s. s» Wenn eine Zahl, wie 58 keine vollkommene Quadratzahl ist, und man subtrahirt davon diejenige unter den kleinern vollkommenen Quadratzvhlen, welche jener am nächsten kommt; welches im gegenwärtigen Fall 49 wäre; so ist der Rest kleiner, als die doppelte Wurzel der subtrahirten Quadratzahl um Eins vermehrt, hier also 58 — 49 < 2/°49 4 - i, oder <15. Auch ist die Wurzel der nächst kleinern vollkommenen Quadratzahl derjenige rationale Theil der Wurzel aus der unvollkommenen Quadratzahl, welcher sich in ganzen Zahlen ausdrücken läßt. Weil Rarsl. Machen,. I. Th. P L26 AnfangsgrünDe derRechenkimE. 7^ < 58, und 8* > 58 ist, so folgt, daß /;z 7 ff- einen Bruch sey, der kleiner als : ist. i94 §- wenn man e:no, zwey oder mehr von den Hähern Eiassn einer Duadrarzabi^ allein frrr sich als emc Duadraczal-l vi'lraet)ccr, und daraus die Wurz.. ju.'kn; js sn:d die Z ffern dieser Würzet omerlcy m r «0 viel von den Hähern Ziffern der Duadracrvurzel aus H, als man Dassen genonuncu yar. Bcreers. Wenn man ». höhere Elasten abge» nominen hat, und die Zahl E^aus »r 4. ,r Elasten besteht; so machen die »< hohem Elasten eine Zahl aus, wovon die niedrigste Ziffer zur Ordnung 2,r ge- 2» hört. Es sey also diese Zahl — der übrige Theil 2» der Quadratzahl — 6, so ist ^ ff- H. Die Quadratwurzel aus (hhat m 4- -r Ziffern, und wenn man von den hohem Ziffern dieser Wurzel eben so viele abnimmt, als man von den höher« Elasten der Quadratzahl abgenommen hat; so machen diese eine Zahl aus, wovon die niedrigste zur Ordnung -r ge- tt hört. Man sehe diese Zahl — Id, den übrigen Theil » der Quadratwurzel — r-, so ist / K ff- r-, und 2 -r -r 2 >r Eh— Id^ ff- 2 Id.ff- Demnach ist Id ^ ganz 27r r>t dem hohem Theil des Quadrats (^enthalten: tt wenn aber die Zahl Id nur um eine Einheit der Ord- 2» nung rr vermehrt wird, so ist (Id. ff- r)^ > Denn D lm, kB. l-i- Z« s°!l, 'Ni! Der XI. Abschnitt. 227 Denn es ist i >»', weil die Zahl r nur n Ziffern ' . n n 7, hat, (189 §. ». 4 .) also 8 4- i > 8 4 - oder Mkkj, n rr 2» » (84-1) >8 4-^, mithin (84-1)-> (8^- sey " die Quadratwurzel aus so weit ,xg sch diese in ganzen Zahlen angeben laßt, so ist hj^ jemge unter den kleinern vollkommenen O.uadratzah, , . , len, welche der Zahl ^ am nächsten kommt, und a kann nicht grösser als 8, styn. Denn wäre a nur mH um Eins grösser, also a —8 4 -1, so wäre a^ ^ 2?r (84-1)^ > welches der Voraussetzung entgeä 2?r 2N 27 r gen ist, weil nicht grösser als ^ und ^ < (Z^ist. !. Äe 2» lind« Ferner sey - n- -- F; so ist ^ 4- F, k —a- ^ ^ ^ Ed F < 2a 4- r, also 4- F < (a 4- i )^, "" 2N 2N 2^r 2» 2-r OK sder »- 4. („ 4, IEd a- 4. F 4. L -- tz. 2» 2,r 2,! 2» Aber 8^ ist ganz in a^4-F enthalten, mithin ist 8? Ä" 2» 2»! 2» 2» nicht grösser, als a* 4- «j', also 8^ < (n 4- i )^, sb folglich 8 < a 4- i oder a > 8— r. Weil nun auä) >' a< 8 4- I seyn muste, und a sowohl als 8 eine ^ ganze Zahl ist, so muß a — 8 seyn. Um diesen allgemeinen Schlüssen desto leichter Zu folgen, setze man, es sey tz.- ^ ^ so kann man tz.— 4500000000 4- 52875625 an-- riehmen, alsdenn hat man L — 45, L—52875625, W P 2 «r—I, 228 Anfangsgründe der Rechenkunst. M -- In — 4, und k ist die erste Ziffer der Qua. dratwurzel aus < 2 ., dis zusammen aus z Ziffern be. steht. Die höchste Ziffer K gehört zur vierten Deci. malordnung, und der übnge Theil der Wurzelbe. li!! steht aus 4 Ziffern. Also ist l > mithin (K4.1) > 1< 4-und (84-1)^ > (k-s- 7)2, oder (8.4-1)» >(Z. Nun ist45, also a—6, a» — z6, (188 §.)undF—9, 2«-l-i — iz. Wäre« um Eins grösser als K, so wäre — ( 1 ^ 4 -i)», also a» > (^, welches nicht seyn kann, weil 8 8 8 ist. Ferner ist 8? nicht grösser als a» -si F, weil 8 jene Zahl in dieser ganz enthalten ist: also 8» < (a -sii )», oder 8. < a 4-1, also n 8. — i. Weil nun auch a < 8. 4- i war, so hat man in diesem Beyspiel 6 — 8, oder 6 ist die höchste Ziffer der Wurzel aus < 2 , Wenn also die höchste Elaste für sich allein eine vollkommene Quadratzahl ist; so ist ihre Wurzel, die man leicht aus dem Einmahl Eins findet, (i 88 §.) die höchste Ziffer der Wurzel: im entgegen gesetzten Fall ist diese höchste Ziffer der Wurzel die Quadratwurzel aus der nächstkleinern von den neun vollkommenen Quadratzahlen, die im Einmahl Eins Vorkommen. Setze man ^ — 4552, so wäre 8 — 875625, ^ 2, » — Z, und 8 enthielte die zwey höchsten Ziffern der Wurzel, r- aber die z übrigen. Die Quadratwurzel aus so weit sie sich in ganzen Zahlen angeben läßt, enthält 2 Ziffern, und eben diese sind die sei «1 5 ' hi« 'S l/Iu «lü dit! R !>« ! ^,r-.' llM rT«!,! ^ich ,rD !- Der XI. Abschnitt. 229 die 3 höchsten Ziffern der Quadratwurzel aus (Z, Durch die Multiplication findet man 67^ — Z489, 68^ — 4624,also istnunmehroa —67, a^ — 4489, F —^ — 4552 — 4489— 6z, und 67 — ff. sind die zwei) höchsten Ziffern der Quadratwurzel aus der Zahl r 95 §- Eine ganze Zahl bestehet aus drey, höchstens vier Ziffern, man soll ihre (Quadratwurzel finden. Aufi. Die Q.uadratzahl dem 192 §. gemäß eingetheilt erhält zwei) Elasten, also hat die Wurzel zwey Ziffern, und die höchste Ziffer der Wurzel, die hier also ein Zehner ist, wird den Schlüffen des 194 §. gemäß leicht gesunden. Die gegebene Qua- dratzahl sey 44I89, so ist 44 zwar keine vollkommene Quadratzahl, aber die nächstkleinere ist z6, also die höchste Ziffer der Wurzel 6. Wenn nun -8 die zweyte niedrigste Ziffer der Wurzel ist, so rechnet man leicht auf folgende Art weiter. 6 - 44 -r^z6 « 89I60 -i- 7 oo i I 8 89 — 2«./Z-b 2« — I 2v) r I 2«/Z — 8 40 — 2«/3 49 -/ 2 ^ I r Die Wurzel ist « -h A und « — 6, « — 60; L man mache'also — 9600, und ziehe dies Quadrat des ersten TheilS der Wurzel von der gegebenen P z Quadrat- 2zs Anfangsgrunde der Rechenkunst. Q.uadratzahl ab, so bleibt der Rest 8 8 9 — 2 A ». Wenn man diesen Rest mit 2«— 120 dividirt; so könnte der Quotient wohl grösser als -Z gefunden wer. den, weil eben dieser Rest grösser als 2« . A ist: aber die Probe muß ergeben, ob der so gefundene Quotient würklich —/Z oder grösser alö/Z sey. Man nehme nämlich den Quotienten — A an, suche das I Product 2« . und ziehe es vom vorigen Rest ab; so muß ein neuer Rest bleiben, der — ist. In dem gewählten Exempel ist12 in 8 8 7mahl enthalten: wenn also /Z — 7 angenommen wird, so ist 2«. A — 840, und der neueRest49 — /Z^, mithin ist würklich /Z — 7, und die gesuchte Quadratwurzel /448s — 67. ^ Die Rechnung laßt sich theils etwas abkürzen, theils bey weiterer Anwendung noch etwas bequemer führen, wenn man folgende Betrachtungen anstellet: Weil die Ziffern des Quadrats der höchsten Ziffer der Wurzel in die höchste Classe kommen; so kann man es, ohne die Nullen beyzufügen, in der höchsten Classe unterschreiben, von derselben abziehen, und dem Rest alsdenn die beyden Ziffern der folgenden Classe beyfügen. Das äupluin des ersten Theils der Wurzel hat eine Null weniger, als das Quadrat der höchsten Ziffer der Wurzel, also kann man es, ohne die Null beyzufügen, so unter den Rest sehen, daß die nie. drigste Ziffer dieses doppelten ersten Theils der Wurzel mit der höchsten Ziffer der zweyten Classe in eine Columne kommt. Ist dies geschehen, so dividirt man, um den zweyten Theil der Wurzel zu finden, Der XI. Abschnitt. 2?r '--y, Ocitz j L chiliL Mr^ »scküt sW. ÄÄ . W ,i>k^ >id-E «N so, als wenn die niedrigste Ziffer der zweyten Claffe noch nicht da stünde, in die übrigen hohem Ziffern des Restes. Bey der anzusiellenden Probe kann man gleich das Quadrat der niedrigsten Ziffer der Wurzel machen, die niedrigste Ziffer desselben unter der niedrigsten Ziffer des Restes sehen, die höchste iu mente behalten, und wenn man das Product 2«. A macht, die in inente behaltene Ziffer dazu addiren, so erhält 44 Z 6 89I67 b 8 89 l 2 889 man die Summe 2« . /Z -s- /ZI die nun vom Rest abgezcgen nichts übrig lassen muß, wofern die gegebene Zahl eine vollkommene Ouadratzahl ist. Mit Beobachtung dieser Regeln wird man der zur Seite gesetzten Rechnung leicht Nachfolgen. , " Wenn bey dieser Rechnung ein Rest bleibt, dev grösser ist als die doppelt gefundene Wurzel um Eins vermehrt; so ist es ein Beweis, daß man den zwey- ten Theil der Wurzel zu klein genommen habe, und daß die niedrigste Ziffer derselben noch wenigstens um Eins grösser sey. Bleibt dagegen ein Rest, der kleiner ist, als die doppelte gefundene Wurzel um Eins vermehrt; so hat die gegebene Zahl keine Quadratwurzel unter den ganzen Zahlen: denn die schon gefundene Wurzel ist zu klein, und wenn man sie um Eins vermehrte, so wäre sie zu groß. Demnach hat in eben dem Fall die gegebene Zahl auch keine Wurzel unter den rationalen Brüchen, (187 §.) sondern die gesuchte Wurzel ist eine Irrationalzahl. Indessen ist derjenige Theil der Wurzel gefunden^ der sich in ganzen Zahlen angeben laßt, und der Fehler beträgt keine völlige Einheit. P 4 196 §. 2Z2 Anfangsgründe der Rechenkunst. 196 §. Alle Ziffern der «Quadratwurzel einer ZM bis aufdie niedrigste sind gegeben, man soll die niedrigste Ziffer finden. Aufl. Diejenige Zahl, welche die schon gefu» denen Ziffern der Wurzel für sich allein ausmachcn würden, bezeichne man, wie im 194 §., mit k, so ist l< der schon gefundene Theil der Wurzel, und was dort ^ hies, das ist hier eine einfache Ziffer. Diese sty — so ist die ganze Wurzel st /Z, und die gegebene Quadratzahl (Ast/Z)- und^st-2klA st- -3 wozu vielleicht noch ein Ueberschuß über (^st-/Z)2 kommt, der aber kleiner als 2 (kl. st/Z) st l ist. Diesemnach kann aus dem schon bekannten Theil der Wurzel die noch fehlende niedrigste Ziffer eben so gefunden werden, wie im 19; §. aus dem ersten Theil der Wurzel der zweyte gefunden ward, wenn die Wurzel nur zwey Ziffern hätte. Ware 45 ^42 j?6, so hätte die Wurzel drey Ziffern, und man weis aus dem 194 §., daß die beyden höchsten Ziffern der Wurzel aus einerlei) sind mit den beyden Ziffern der Quadratwurzel aus 4542, und diese findet man den Regeln des 19; §. gemäfi — 67. Mithin ist in diesem Beyspiel k. — 670, und die dritte Ziffer findet man leicht vermittelst der nachstehenden Rechnung. 4?Ist2 2 Z 3 Der XI. Abschnitt. ^ -H/Z 45142,76 ^67o-j- 4 1. I 5 3 76 — 2^/3-j- 2K — lzgo, 5Z?6 0 ry? §. 2lus jeder gegebenen Zahl, sie mag so viel Ziffern,- wie man will, enthalten, die Quadratwurzel Zn finden, so weit rhr rationaler Theii sich durch eine ganze Zahl ausdrückcn laßt. Ausl. Nachdem die gegebene Zahl gehörig in Clasfen ist eingetheilt worden, suche man aus den Heyden höchsten Elasten nach dem 195 §. die beyden Ziffern, welche die Quadratwurzel ausmachen würden, wenn die gegebene Zahl aus diesen beyden Clas- scn allein bestünde; so sind das zugleich die beyden höchsten Ziffern der gesuchten Wurzel. (194 §.) Hiezu nehme man ferner die dritte Elaste, und suche die dritte Ziffer der Wurzel nach den Regeln des 196 §. nicht anders, als wenn die drey höhern Elasten allein die gegebene Quadratzahl ausmachten, so hat man die drey höchsten Ziffern der gesuchten Wurzel. (i94§.) Weiter nehme man die vierte Elaste hinzu, und suche nach den Regeln des 196 §. die vierte Ziffer der Wurzel nicht anders, als wenn die gegebene Zahl aus den vier höhern Elasten allein bestünde; so hat man die vier höhern Ziffern der gesuchten Wurzel. (i 94 §.) 2Z4 Anfangsgründe der Rechenkunst.' Setzt man so die Rechnung für alle fogende Claf. sen fort, so findet man alle Ziffern der gefuchten Wurzel; weil die im 194 §. vorgctragenen Schlüsse jedesmahl beweisen, daß die so gefundene folgende Ziffer, welches die letzte der Wurzel seyn würde, wenn die gegebene Zahl nur so viel Classen Hatte, als man bis dahin in Rechnung angenommen hat, zugleich die nächstfolgende Ziffer der gefuchten Wurzel sey. Bliebe ein Rest übrig, so müste er kleiner seyn, als die doppelte gefundene Wurzel um Eins vermehrt. Ob übrigens vielleicht ein Rechnungsfehler eingeschlichen sey, prüft man durch eine ähnliche Probe, wie bey der Division: wenn nemlich die gefundene Wurzel quadrirc und der etwa übrig gebliebene Rest hinzu addirt wird, so muß die gegebene Zahl gefun- Epempcl. 45!52l87l56j2Z L- 36 6747 ; . 9 Z 2 889^ 20-.A 6z87 ^ r 5376 — 2k/Z-l- , 101156 944O9 — 2K/Z-1-/Z , 674725 2^- — 1Z494 674725 —2^/Z4-/Z^. 0 den werden. i89§. 235 Der Xl. Abschnitt. 198 §. Die Ausziehung der Quadratwurzeln wird erleichtert, wenn, man Tafeln zur Hand hak, worin die Quadratzahlen für solche Wurzeln, die aus drey bis vier Ziffern bestehen, berechnet sind. Im fol- genden wird eine Sammlung Markemarischer Tafeln, welche unter dem Nahmen der Trigons- merristhen Tafeln am meisten bekannt sind, ausführlicher beschrieben werden, wovon man mehrere rhcils vollständigere theils nicht so vollständige Ausgaben hat. Zn der bVolsfifcken Ausgabe der Trigonometrischen Tafeln sind die Quadratzahlen für die Wurzeln von r bis 1002 berechnet; auch stehek diese erste Chiliade in H. Lamberts Zusätzen zu den Loganrhnnfchen und Trigonometrischen Tabellen: Berlin 1772. Hat man dergleichen Tafeln zur Hand, so findet man in denselben ohne alle Rechnung die Wurzel selbst, oder doch ihren rationalen Theil in ganzen Zahlen, so lange die gegebene Quadrakzahl nicht mehr als 6 Ziffern hak. Zn andern Fallen, wenn die Quadrakzahl mehr als 6 Ziffern hat, kann inan dennoch die Rechnung verkürzen, wenn inan, nachdem die gegebene Quadratzahl gehörig in Elasten eingetheilt ist, von den Ziffern der drey höchsten Elasten die nächst kleinere Quadrakzahl, welche rnan in den Tafeln findet, abzichet, und ihre Wurzel für den schon bekannten Theil der gesuchten Wurzel annimmt. Mit der übrigen Rechnung wird alsdenn nach den Regeln des vorigen §. verfahren. Wäre die Zahl gegeben, so könnte man die Quadratzahl 751689 — 867^ aus den Tafeln nehmen, und übrigens so rechnen. 75I2Z 2Z6 Anfangsgründe derRechenkunst. 75I25I56I25 75 >16 89 8675 8 6725 l 7Z4) 8 6725 Dre Quadratwurzel aus einem Bruch wird gefunden, wenn man sowohl aus dem Zahler als auch aus dem Nenner die Quadratwurzel sucht; und von einer Zahl, welche aus der i mit einer graden Anzahl daran hängender Nullen besteht, ist die Quadratwurzel eben die i mit halb so vielen daran Han- genden Nullen. Wendet man dies aus die Decimal- brüchean; so erhellet leicht, daß die Quadratwurzel aus einer Zahl, woran eine grade Anzahl von Decimalstellen hangt, gefunden sey, wenn man die Quadratwurzel aus der Zahl selbst, die Decimalstellen mit als ganze Zahlen bewachter, gefunden hat, und hiernächst von der Wurzel rechter Hand halb so viel Decimalstellen abschneidet, als die gegebene Quadratzahl enthalt. Diesemnach findet man / 75 ,E 5 5 62; - / - »ZGz 8,67 Wäre die Anzahl der Decimalstellen in der Quadratzahl ungrade, so wird dieser Fall auf den vorigen gebracht, wenn man rechter Hand noch eine Null anhangt, weil dies die Zahl selbst nicht ändert. Zwar könnte man auch ohne dies Hülfsmittel zu brauchen, bey der allgemeinen Regel bleiben, und die Quadratwurzel des Zählers und Nenners für sich suchen, hiernächst aber, wenn man es gut fände, den so gefundenen Bruch auf eine ganze Zahl mit anhän- gen- Der XI. Abschnitt. 257 gmdönDecimalbrüchen bringen: allein das gesuchte wird auf jenem Wege kürzer gefunden. Die Qua- Lrakwurzel aus 4,489 wäre — /4444, und man «rüste aus Zähler und Nenner die Quadratwurzel suchen, da dann die Wurzel des Nenners irrational wäre. Statt dessen findet man vorteilhafter /4,4890 — / 44444 —^ V"44890 2,n-l-. Ob nun gleich solchergestalt die Wurzel des Zählers irrational wird, wenngleich die Wurzel des vorigen Zählers rational war, weil ^io irrational ist; so kann doch in diesen und allen andern Fällen der rationale Theil der Wurzel der eigentlich gesuchten irrationalen Wurzel viel näher, ja jedeömahl so nahe gebracht werden, daß der Unterscheid kleiner wird, als jeder noch so kleine Theil der Einheit, der sich angeben läßt. 200 §. Wenn nemlich die unvollkommene O.uadrakzahl nicht vielleicht ohnehin schon zum Theil in Decimal- brüchen gegeben ist; so bemerke man die Stelle der Einer mit dem gewöhnlichen Zeichen, damit der Werth der Zahl unverändert bleibe, wenn man gleich so viele Nullen, als jedesmahl nöthig sind, beyfüget. Aus der schon angeführten Ursache fügt man die Nullen Paarweise bey, wofern nicht vorher schon nach der Stelle der Einer vielleicht eine ungrade Zahl von Decimalstellen folgte: wozu eine Null kommen muß, bevor man die übrigen Paarweise bey- fügt, damit man in allen fällen eine grade Zahl von Decimalstellen in der Quadratzahl erhalte. Für jedes neue Paar Nullen, die man jedesmahl, wie leicht zu übersehen ist, nur dem letzten Rest beyzufü- gen nöthig hat, findet man eine Decimalstelle der Wur- 2Z8 Anfangsgründe der Rechenkunst. Wurzel mehr, und druckt sie solchergestalt in Thel- len der Einheit aus, die zehnmal kleiner sind, als diejenigen waren, wodurch die Wurzel vorher schon ausgedruckt war. Demnach kennen diese Theile kleiner werden, als jeder gegebene noch so kleine Theil der Einheit. Diesen Schlüssen gemäß sind folgende Exempel berechnet. 4/148 >90 j 2,11872603 4 45 21 j, Z 6902 422 8Z824 Z076QS 42 Z 6 296569 HOZI 0 S 42Z74 847484 255616 42Z74 2542 44 r?72 42Z 1269 loz Die letzten drep Ziffern sind in diesem Exempel nach Art einer abgekürzten Division berechnet, und man nimmt leicht den Grund wahr, worauf diese Verkürzung beruhet. Bey jeder folgenden Operation erhalt der Divisor eine Ziffer Mehr, alle vorhergehende Ziffern des Divisors bis auf die letzte bleiben einerley, « Der XI. Abschnitt. rzy rtz. Ä ^'ch - K !>s lh auch kann eben diese letzte Ziffer bey der folgenden -Operation, wenn eine neue hinzu kommt, nur um Eins grösser werden. Wenn demnach die Anzahl der schon gefundenen Ziffern der Wurzel mehr als die HÄfte der 'Anzahl ausmacht, welche man überhaupt zu suchen nöthig findet; so laffen sich die übrigen Ziffern der Wurzel nach Art einer abgekürzten Division finden. Auf eben diese Art kann man folgende Quadratwurzeln suchen. /2 —1,41421256 ^11-9,9166248 /2 — 1,7920507 — 9,605551z / 5 -2,2960679 /A4 - 9,7416574 /6 — 2,4494897 /A? — 8,872983? v^7 -2,64575191 /'r? —4,1291056 ^10—9,1622776625 >^19 — 4,9588989 201 Die Quadratwurzeln zusammengesetzter Zahlen, die sich in Fackoren zerfallen laffen, findet man durch Multiplication der Wurzeln ihrer Factoren in einander, wenn diese schon gefunden sind, deswegen hat man auch /6 — ^14 — /2./ch, u. s. f. Vornemlich alsdenn wird dies eine Abkürzung der Rechnung, wenn die Wurzel aus dem einen Factor rational ist, wie in folgenden Beyspielen. ^8 — 2/2 — 2,82842712 >ffi2 — 2^9 — 2,4641014 — 9^2 — 4,24264068 1000 — IO — 91,622776625 >fflOOOO0 — 100^10 —Zl6,22776625 >ff 44890 — 67/10 -- 21 I, 8726 O 99875 Wenn keiner von den Factoren eine rationale Wurzel hat, so findet man vermittelst der abgekürzten > Multi- 240 Anfangsgründe der Rechenkunst. Multiplication die Wurzel des Products in soviel Ziffern dis auf die zwey letzten richtig, als man Ziffern für die Wurzeln der Factoren berechnet hat, wie "in dem folgenden Exempel. Eö ist/ IO — Z, 16227766 ^2 — 1,41421356 3,16227766 1,264911064 31622776 126491 IO 632455 Z 1622 9486 1581 _ 189 also /'2o — 4,47213594 Uebrigenö kann man jeden Bruch, auch wenn es kein Decimalbruch ist, so verändern, daß die Quadratwurzel seines Nenners rational wird, welches wiederum für die Rechnung bequemer ist, wenn die Quadratwurzel aus einem Bruch verlangt wird: er aö denn man har allemahl — 1 Diesemnach findet man / 2 2 / 3 3 ^6 0,70710678 o,577Z522 0,8164966 V' Der XI. Abschnitt. /5 241 5 0,4472156 ,, /io -^- - 0,6324555; 202 §. Wofern der Fall vorkommt, daß man aus einer Wurzel, die für sich schon irrational ist, von neuen eine Quadratwurzel suchen soll; so kann man die Rechnung nur auf das bekannte Stück der gegebenen Irrationalzahl anwenden. Es sey die gegebene Irrationalzahl, >,1 ihr bekannter rationaler Theil, und n der unbekannte irrationale Theil, so ist -- /(mst-^r), oder —i st-^ ). Mansche 1 st- — ^ — i st- e, so ist /k. ^»r st-e^-« und I -i-— 1 st- 2e-t- e», al- »r so ferner (2 st-e)-- —, und e — -—^- «r (r st- e) m 4 ^ (i st-ste)M 1 Diesemnach ist e <-, und weil 2« ^ 7- gefunden wird, so hat I st- ^ e l st- ste man auch e — — s i — —/V also e > -»V. ist- > —i i - 4 - — ), oder e > — — ^ —-> Kann man nun voraussehen, daß Är in Vergleichung mit m sehr klein sey, so gehört die höchste Zif- Rarlk.Mach.Tb.l. O. fer - -i-1 242 Anfangsgründe der Rechenkunst.' frr des Quadrats der Zahl — zu einer viel niedrk- 2 M gern Decimalordnung, als die höchste Ziffer der Zahl selbst; also werden die höher» Ziffern der Zah- len-und — — ^-nicht verschieden seyn, 2 M 2 >« 4 -/r^ und um so mehr muß die höchste Ziffer der Zahl e x . — mit der höchsten Ziffer der Zahl — zu emerley De« 2 M cimalordnung gehören. Weil nun /k — -s- e/'r» war; so erhellet, daß die höhern Ziffern der Zahl mit den höhern Ziffern der Zahl /R. bis auf diejenige Übereinkommen, die mit der höchsten Ziffer der Zahl c/'m zu einerleyDecimalordnung gehört. Aber diese höchste Ziffer der Zahl m gehört mit der höchsten Ziffer der Zahl —/m zu ei- uerley Decimalordnung: demnach berechne man ^m auf so viele Ziffern, bis die letzte mit der höchsten Ziffer der Zahl zu einerley Decimalordnung gehört, so hak man /K in eben so vielen Ziffern richtig gefunden. Weiter zu rechnen wäre überstüßig, weil die folgenden Ziffern der Zahl ^m mit den Ziffern der Zahl /!< nicht mehr überein kommen. Ein Beyspiel hievon wäre, wenn man die Quadratwurzel aus 1/2 oder /^2 suchen sollte. Im 200 H. ist ^2 — l,4 lg21z;6 gefunden, und wenn man diese Zahl — m setzt, so gehört die höchste Ziffer von n zur neunten abnehmenden Decimalord- nung B! «i el! h ls Der XI. Abschnitt. 24z ^ «urig, also gehört die höchste Ziffer der Zahl —/m k»'i 2 m ^ in diesem Exempel gewiß zu keiner höhern Decimal« Hi ordnung, und wenn man/1,41421256 bis auf die achte Decimalstelle sucht, so hak man // 2 auf eben so viele Decimalstellen richtig gesunden. Die Rech«, nung selbst giebt folgendes. i,4ij42lizj56!l,1892071» r 29 24 j Mi« M fits» HP r»ei« »/k 2 18 rz 22 6 ) 2 12 21 49256 2 z?8) 47564 16 920000 2 Z7840) 16 648849 Ic« 2711510 0 2278414) 1 . 22Z095 9 227841 4 ) Wollte man mehr Ziffern der Zahl //s richtig finden; so müste man vorher mehr Decimalsteh len der Zahl /2 suchen. r- Bi ^4» Q 2 Der 244 Anfangsgründe der Rechenkunst. Der XII. Abschnitt. Die RegUn, nach.welchen man ans jeder Zahl die Cubicwurzel findet. 2OZ §. As^enn man die O.uadratzahlen der ersten neun ^ Wurzeln unter den ganzen Zahlen mit den Wurzeln wieder multiplicirt, so findet man für die ersten neun Wurzeln unter den ganzen Zahlen folgende Lubiczahlen. Ziffern I I 2 ; 4 ; 6 7 8 9 Quadrate ! r 4 9 iü r; zü 49 64 8 i Cubiczahle»i i 8 27 64 125 216 ;4; 5,2 729 Wer oft rechnet, behalt diese neun Cubü zahlen leicht, und erinnert sich benöthigten Falles der Wurzel: sonst muß man sich dieser kleinen Tafel bedienen, um die Wurzel daraus zu nehmen, wenn eine von diesen neun Cubiczahlen vorkommt, und ihre Wurzel verlangt wird. Aus Vergleichung dieser neun ersten vollkommenen Cubiczahlen erhellet übrigens die Richtigkeit des folgenden Saheö. Die Cubiczahl kann höchstens nur aus dreyen Z'sfcrn bestehen, wenn die TVurzcl eine einfache Zister ist; die Cubiczahl von 10 aber hat schon vier Ziffern. Die Cubiczahl von einer Wurzel, die rechter ' Hand eine Reihe Nullen hak, ist die Cubiczahl der Ziffern mit dreymahl so vielen Nullen, als die Wurzel am Ende hatte. Wenn den,nach umgekehrt an , einer 245 m Idl! c>M hm Sit« lÄ i« U»I :!te D ji« Der Xll. Abschnitt. t einer vollkommenen Cubiczahl eine durch z theilbare Zahl von Nullen hängt, so ist ihre Wurzel gefunden, wenn man der Cubicwurzel der Ziffern den dritten Theil der Nullen der Cubiczahl beyfügk. 204 §. wenn die Wurzel aus zweenen Theilen bestehet, jo enthält die Cubiczahl folgende Stücke: die Cubiczahl des ersten Tbcils, das drcysache producc der tQuadrarzahl des ersten Cheils in den zweyen, das dceyfache Product des ersten Cbelis mir dem Quadrat des zweyrcn, und die Cubiczahl des zweycen Thcrls. Beweis. Wenn a und ä die Theile der Wurzel sind, so ist die Quadratzahl -4- 2aö 4- /Q, (190 §.) und diese mit der Wurzel multiplieirt giebr folgendes. ^ 4 2aü 4 ^ n 4 ^ 4 - 4- 2«/-^ eQ 4- 2«^ä 4- (a 4 - ö)^ — 4 4 4 ä' 250 §. Die vollkommene Cubiczahl einer jeden rationalen Wurzel bestehet wenigstens aus dreymahl jovialen Ziffern weniger zwcys als die Wurzel enthalt; aber auch nie aus mehr denn dreymahl sovielcn Ziffern, als die Wurzel ausmachcn. Beweis. Wenn die Wurzel « 4 1 Ziffern hat, so gehört ihre höchste Ziffer zur Ordnung n, und ihre Cubiczahl zur Ordnung z»; also har diese Cu- O. z biczahl 246 Anfangsgründe der Rechenkunst. kx'czahl wenigstens z,r ch r — z (ir-s-1) — 2 Ziffern, die Nullen als Ziffern mitgezahlt. Weil nun, um die Cubiczahl der ganzen Wurzel zu erhalten, noch die dreyfachen Producte und überdem die Cubiczahl deö zweyten Theils hinzukommen, so erhellet, daß die Anzahl der Ziffern der Cubiczahl der ganzen Wurzelzwar grösser als z» ss- i, aber nie kleiner seyn könne. Die Cubiczahl der höchsten Ziffer für sich könnte wohl z Ziffern haben, aber nie mehr, (20z §.) also kann das Quadrat der höchsten Ziffer der Wurzel ZN ch z — z (rr -j- r) Ziffern haben, wenn die Nul* len als Ziffern mitgezahlt werden, und mehr kann auch die Cubiczahl der ganzen Wurzel nicht erhalten, wenn gleich die übrigen Theile dazu kommen. Denn die kleinste unter allen Zahlen, die aus z(« -j- i) -j- l Ziffern bestehen, ist i, die Nullen als Ziffern n-j- I mitgezahlt, und ihre Cubicwurzel ist i; aber diese Wurzel besteht aus rr -j- 2 Ziffern, und ist grösser, als die angenommene Wurzel, die nur n ch 1 Ziffern haben sollte. Demnach hat die Cubiczahl nie mehr, als zO-j-1) Ziffern. 206 §. wenn man eine vollkommene Cubiczahl von der Rechten gegen die Linke in Classen theilr, und jeder Classe drey Ziffern, mithin der höchsten Classc eine oder zwo Ziffern giebt, wenn dicZabl allerZuffcrn nicht durch z tbeil- dar ist; so besteht die Cubicwurzel aus so vielen Ziffern, als man Classen gemacht har. Beweis. Wenn die Zahl der Ziffern, welche die Cubiczahl ausmachen, durch z theilbar und — z« ist, ß, !l! di> A kl r» iii n st « dk> V r E. Die XII. Abschnitt. 247 i»v, ist, so ist die Anzahl der Elasten — m. Hatte nun >>«, die Cubicwurzel weniger als », Ziffern, wäre die Zahl >, ch dieser Ziffern — »» — »; so wäre die Anzahl der Zif- ^ fern der Cubiczahl nicht grösser als zm— z-r, also hätte man nicht mehr, als u» — n Elasten. Hätte Dj, dagegen die Wurzel mehr als m Ziffern, wäre die Zahl dieser Ziffern — m ; so wäre die Anzahl der Ziffern der Cubiczahl nicht kleiner als z( m st-») !i« —2 — z» —2 — zmst- z(-r — 1) st-1. -Dem- nach hätte man m st- » Elasten, und beydeö widcr- spricht der VorauSseHung. A- Ist die Anzahl der Ziffern der Cubiczahl nicht kiz, durch z theilbar, so sey sie — zm st- /», und ^ « st- >. Wäre min die Anzahl der Ziffern der Wurzeln kleiner, wäre sie — m st- I — so wäre die Zahl der Ziffern der Cubiczahl nicht grosser, als z(m st- >) — z», und m man hätte nicht mehr als mst-1 — » Classn. Wäre . dagegen die Zahl der Ziffern der Wurzel grösser als r» st- i, wäre sie — »r st- l st- ; so wäre die Zahl M der Ziffern der Cubiczahl nicht kleiner als z (»»st-ist-») D — 2, also nicht kleiner als zr» st- z» st- i, und man ^ hätte nicht weniger als m st- i st- rr Elasten, bendeS Wiederum gegen die angenommene VorauSseHung. 207 §. ^ wird die Wurzel um Eins vermehrt, so E wachst die Cubiczahl tun die dreysache Sums ^ nieder vorigen Wurzel und ihrer (Ouadrac- zahl, und übcrdem noct) um Eins. Beweis. Denn es ist (A-st-1)^ — K' st- -h st-1. (204 H.) Weil nun K' die Cubiczahl von ^ ist, so wächst diese Cubiczahl um z(! 287 ist, so folgt, daß /28? — 6 -st einen Bruch sey, der kleiner als 1 ist. 208 §. wenn man eine, zwey oder mehr von den höhcrn Classen einer gehörig eingerheiltin Cubiczahl Callein für sich als eine Cubiczahl betrachtet, und daraus die Wurzel sucht; so sind die Ziffern dieser Wurzel cincrley mir jo viel von den hohern Ziffern der Cubicwurzel aus C, als man Clafscn genommen hat. Beweis. Wenn man m höhere Elasten abgenommen hat, und die Zahl L aus m -st ir Classen bestehet, so machen diese m hohern Classen eine Zahl aus, wovon die niedrigste Ziffer zur Ordnung zn ge- z» hört. Es sey also diese Zahl — H, und der übrige Theil der Cubiczahl — L, so ist 0 — 4 -stö. Die Cubic- E, ü AD Ärjei W ün» W , 5j M >kl!k» !I!>^ i>rj^ iik? Pk! ?> S- Der XU- Abschnitt. 249 Cubicwurzel aus 6 hat m ff -r Ziffern, und wenn man von den hohem Ziffern dieser Wurzel eben so viele abnimmt, als man von den hohem Gaffer der Cubiczahl abgenommen hat; so machen diese eine Zahl aus, wovon die niedrigste Ziffer zur Ordnung n « gehört. Man setze diese Zahl — K, den übrigen Theil der Cubicwurzel — , so ist /L ^ K ff- z» r« » undO —Id^ff-zid^. ^ ff-zkd . ff-Dem- ;» ;n nach ist Id ^ ganz in dem hohem Theil ^ derCubic- N zahl L enthalten; wenn aber die Zahl Id nur um eine Einheit der Ordnung » vermehrt wird, so ist (Id ff 1 ) * -r > L. Denn es ist i > in, weil die Zahl-" nur « » -r ir Ziffern hat, ( 18 y §. 4.) also ?d ff i > !< 4 - n -r zn n oder (Idg- >) > Idff»-, mithin (Idff i)' > (Id ff ch', ZN oder (Id ff i)? > L. Nun sey a die Cubicwurzel aus id, so weit sich diese in ganzen Zahlen angeben läßt, so ist a' diejenige unter den kleinern vollkommenen Cubiczahlen, welche der Zahl ^ am nächsten kommt, und ^ kann nicht grösser als Id seyn. Denn wäre a nur um Eins ZN ZN grösser als Id, also a — Idffi; so wäre a - — (Id ff i)' !> L, welches der Voraussetzung entgegen ist, weil z» ;» nicht grösser, als und ^ < O ist. Ferner sey4-a'-- R. — i. Weil nun auch a <; I S K 4-1 seyn muste, und a sowohl als k eine ganze , Zahl ist, so muß Aust. . Wenn man eine solche Zahl dem 206 §. l l gemäß in Classen theilt, so erhalt sie zwey Classen; . i ihre Wurzel hat also zwey Ziffern, und die höchste Ziffer der Wurzel erhält man aus der Tafel des 2 0 z §. ^ Die gegebene Cubiczahl sey 42 1 j 87 5, so ist 42 r , zwar keine vollkommene Cubiczahl, aber die nächst- < kleinere ist ^ 4 ?, also die höchste Ziffer der Wurzel 7. , « Wenn nun /3 die zweyte Ziffer der Wurzel ist, so ! rechnet inan leicht auf folgende Art weiter. ^ j 42l ? Der XU, Abschnitt. ;r>i« !Ä! Äsl! sch» »M! » Ä- ckii iss. i«; ?-> !' ss p 42i>875 — Z4Z 222 2 78 875 : ,8«*- 14 ?QO) « /3 70 -^- 5 b z«*/Z -t- 4«S" Z«/Z^ t 3 ' ?z 5Oo^ -- Z-Zo^ — 12;, - 1 - S' 7887; — 3 «^/Z Z«/ 3 ' Rest o r r Die Wurzel ist«ch/Z, und« —7, «—70: man mache also — Z4Z222, und ziehe diese Cu- biczahl des ersten Theils der Wurzel von der gegebenen Cubiczahl ab; so bleibt der Rest 78875 — L I 3«^/ZchZ«/3^ ch Wenn man diesen Rest mit z«* — 14702 dividirt; so konnte der Quotient wohl grösser als/Z gefunden werden, weil eben die- 2 ser Rest grösser ist als z«^. jö: aber die Probe muß ergeben, ob der so gefundene Quotient würklich — /Z, oder grösser als /Z sey. Dian nehme nemlich den Quotienten — /Z an, suche die dreyfachen Products eines jeden Theils der Wurzel in das Quadrat des andern, und die Cubiczahl des für den zweyten Theil angenommenen Quotienten. Kommt die Summe dieser dreyen Theile grösser heraus, als der vorhin gefundene Rest ist; so vermindere man die für /Z angenommene Ziffer so lange, bis die Summe jener dreyen Theile den Rest nicht mehr übertrift, und Liehe eben diese Summe vom vorigen Rest ab. Wenn nicht« 2Z2 Anfangsgründe der Rechenkunst. nichts übrig bleibt, so ist die gegebene Zahl eine vollkommene Cubiczahl, und die gesuchte Wurzel ge- funden. Das dreyfache Quadrat des ersten TheilS der Wurzel hat eine Null weniger als die Cubiczahl des höchsten Thcilö der Wurzel: also kann man es, ohne die Nullen beyzufügen, so unter den Rest setzen, daß die niedrigste Ziffer dieses dreysachen Quadrats vom ersten Theil der Wurzel mit der höchsten Ziffer der zweyten Classe in eine Columne kommt. Ist dies geschehen, so dividirt man um die zweyte Ziffer der Wurzel zu erhalten so, als wenn die beyden lezten Ziffern der zweyten Classe noch nicht da stünden, in die übrigen hohem Ziffern des Restes. Das erste von den dreysachen Producten hak zwey Nullen, also kommen die Ziffern desselben unter den Ziffern des Divisors zu stehen: das zweyte vpn den dreysachen Producten hat nur eine Null, die Cubiczahl des zweyten Theils gar keine Null am Ende. Demnach schreibt man diese drey Theile auch ohne die anzuhängenden Nullen leicht so unter einander, daß ihre Summe richtig gefunden wird. Wofern nach geschehener Subtraction dieser Summe ein Rest bleibt, so muß derselbe kleiner seyn als die dreyfache Summe der gefundenen Wurzel und ihrer Quadratzahl, wenn zu dieser Summe noch Eins addirt wird: widrigenfalls hatte man die zweyte Ziffer der Wurzel zu klein angenommen, und man müsse sie so lange um Eins vermehren, bis der Rest kleiner würde, als die angezeigte Summe. Zn allen Fällen, wenn ein solcher Rest übrig bleibt, hat die gegebene Zahl keine Cubicwurzel unter den ganzen Zahlen; denn die schon gefundene Wurzel ist zu klein, und Der XU. Abschnitt. 25z und wenn man sie noch um Eins vermehrt, so ist sie ^ zu groß. Demnach hat in allen solchen Fällen die Zahl auch keine Cubicwurzel unter den rationalen Brüchen, (187 §.) und die Wurzel ist irrational: Ol i« wiewohl vermittelst des beschriebenen Verfahrens der- jenige rationale Theil der Wurzel gefunden ist, der lq sich in ganzen Zahlen angeben laßt, so daß der Feh- - d« ler noch keine völlige Einheit beträgt, lü AÄ 210 §. Nd Alle Ziffern einer Cubicwurzel einer Zabl tz« bis auf die niedrigste find gegeben: man soll in, ii die niedrigste finden. ^ 2 lufl. Diejenige Zahl, welche die schon be- ^ E kannten Ziffern der Wurzel für sich allein ausmachen würden, bezeichne man, wie im 228 §. mit K, so M Ä k« 1 ^ xK ist K der schon bekannte Theil der Wurzel, und was dort hieö, das ist hier eine einfache Ziffer. Diese sey /Z; so ist die ganze Wurzel — -s- /Z, und die gegebene Cubiczahl 6 — (k. ff- A)' — l<- zk.r/Z ff-Z^/ 3 ^-b/ 3 ', wozu vielleicht noch ein Ueberschuß über (ll. g- kommt, der aber kleiner ist, als Z (k -i- A) ^ -s- z(!< -b /Z) -r- t. Dieseinnach kann aus dem schon bekannten Theil der Wurzel die noch fehlende niedrigste Ziffer eben so gefunden werden, wie im 209 H, aus der ersten Ziffer die zweyke gefunden ward, wenn die Wurzel nur zwei) Ziffern hatte. A Wäre L — 4Z2 jogij 2,6 , so hätte die Wur- ^ jel dreyZiffern, und man weis aus dem 208 §, daß B die die beyden höchsten Ziffern einerlei) sind mit den Heyden Ziffern der Cubicwurzel aus 432 jog r, und diese findet man den Regeln des 209 §. gemäß — 7;. Demnach ist in diesem Beyspiet li. ^ 7^0, und die, dritte giebt nachstehende Rechnung. 87; 000 lo 226 2l6 — 2^s»^ -i-A* — r 687 500) zIi.2/Z.—io 125 000^ Ziooor 10206216 3^ -3-j-zIi/Z Aus jeder gegebenen Zahl, sie mag soviel« ^ Ziffern, als man will, enthalten, die Cubicwurzel zu finden, so weit als ihr rationaler ^ Theil in ganzen Zahlen ausgcdrückc werden ^ kann. ^ 2lufl. Nachdem die gegebene Zahl gehörig in ' Claffen ist eingetheilt worden, suche man aus den ^ beyden höchsten Claffen nach den Regeln des 209 §. I die beyden Ziffern, welche die Cubicwurzel auöma- chen würden, wenn die gegebene Zahl aus diesen beyden Claffen allein bestünde; so sind das zugleich die beyden höchsten Ziffern der gesuchten Wurzel, ^ c-°L §.) Hiezu Der XU. Abschnitt. 255 «h- Hiezu nehme man ferner die dritte Gasse, und M suche die dritte Ziffer der Wurzel nach Anleitung des l 27 O §, nicht anders, als wenn die drey hohem Clas- sen allein die gegebene Cubiczahl ausmachten; so hat man die drey höchsten Ziffern der gesuchten Wurzel. (208 §.) Weiter nehme man die vierte Classe hinzu, und suche nach den Regeln des 210 §. die vierte Ziffer der Wurzel nicht anders, als wenn die gegebene Zahl aus den vier hohem Gassen allein bestünde; so hat man die vier hohem Ziffern der Wurzel. (208 §.) HÄ iiiz« Akjl. Seht man eben so die Rechnung für alle folgende Gassen fort, so findet man nach einander alle Ziffern der gesuchten Wurzel: weil die im 208 §. vorgetragenen Schlüsse beweisen, daß die jedesmahl so gefundene folgende Ziffer, welches die letzte der Wurzel seyn würde, wenn die gegebene Zahl nur so viel Gassen hatte, als man bis dahin in Rechnung gezogen hat, zugleich die nächstfolgende Ziffer der gesuchten Wurzel sey. Bliebe ein Rest übrig, so müste er kleiner seyn, als die dreysache Summe der gefundenen Wurzel und ihre Quadratzahl, wenn noch Eins dazu ad- dirt wird; auch prüft man die Nichtigkeit der Rechnung dadurch, daß man von der gefundenen Wurzel die Cubiczahl macht, und den Rest hinzu addirt: solchergestalt muß die gegebene Zahl gefunden werden. 212 §. Je mehr Ziffern die gesuchte Wurzel hak, desto weitläufiger muß die Rechnung werden, wenn man alle Ziffern auf diesem Wege sucht: deswegen leisten die 256 Anfangsgründe der Rechenkunst. die im iy8 §. bereits angefühtten Duadrar- und Cribuctafeln dabey vorzügliche Dienste, um die Nennung zu verkürzen. Zn den Lamberrfchen Tafeln hat man die ersten tausend Cubiczahlen mit ihren Wurzeln, und kann die Wurzel nur daraus abschreiben, wenn die gegebene Zahl nicht mehr als neun Zistern hat. Zn andern Fällen subtrahrrt man von den drey höchsten (blassen die nächstkleinere aus den Tafeln genommene Cubiczahl, nimmt die Wurzel daraus für die drey ersten Ziffern der gesuchten Wurzel an, und sucht die noch fehlenden nach den Regeln des vor. §. wie in dem folgenden Exempel. I44li25jo8zl907 143 877 824 ^ " 247 259 907 82 372 8) 247 n8 4 3 48 ^ 2?ö 247 2Z9 907 Rest 0 In diesem und ähnlichen Fällen hat man zugleich benm Gebrauch der Tafeln den Vortheil, daß man auch das Quadrat der ersten drey Ziffern der Wur- 'zel daraus abschreiben, und solchergestalt die Mühe, es vermittelst der Multiplication zu suchen, ersparen kann. 2lZ H. Die Cubicwurzel eines Bruchs ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner die Cubicwurzel aus dem Zähler und Nenner der Cubiczahl ist: und von einer Zahl, s Ä b S- ji, st! eil! st « L L u !° ^ Der XII. Abschnitt. 257 Zahl, die aus der i mit einer durch z theilbaren An- zahl daran Hangender Nullen bestehet, ist die Cubic- wurzel eben die i mit dem dritten Theil der Nullen, «ü Also ist die Cubicwurzel aus einer Zahl, woran eine ^ ^ durch z thcilbare ?lnzahl von Dccimalstellen hangt, ^L geftmden, wenn man die Cubicwurzel aus der Zahl selbst, die Dccimalstellen als ganze Zahlen betrachtet N U gefunden hat, und von der Wurzel den dritten Theil soviel Dccimalstellen abschneidct, als die Cubiczahl enthalt. Diesemnach findet man /4Z2,O8i2i6 Wi - /^4ZLOLr2I6 — V «r —--7^6 M ^ L-o^OOOO- - 1'öo' - ?/)0. IHM ,K Ware.die Zahl der Dccimalstellen der Cubiczahl nicht mit z theilbar, so wird dieser Fall auf den vorigen gebracht, wenn man eine oder zwo Nullen anhangt, weil solches die Zahl nicht ändert. Das ist wiederum ein ähnlicher Vortheil bey Ausziehung der Cubicwurzel, wie die Hinzusehung einer Null bey Ausziehung der Quadratwurzel, wenn die Zahl der Dccimalstellen, die an der Quadratzahl hangen, ungrade ist. Eigentlich wäre/56,4^7—/ und man müste nun beyde Cubicwurzeln suchen, damit man eine mit der andern dividiren könnte. Allein es ist auch ^ Z64Z2700 tso / 56,432700. 214 §. Eben dies Hülfsmittel dient, aus einer unvollkommenen Cubiczahl die Wurzel durch Näherung so jienan, als man will, zu finden, Wenn die räwoll- Rarst. Machen,. l. Th. R kom- 2Z8 Anfangsgründe der Rechenkunst' kommene Cubiczahl nicht vielleicht ohnehin schon zum Theil in Decimalbrüchen gegeben ist; so bemerke man die Stelle der Einer mit dem gewöhnlichen Zeichen, damit der Werth der Zahl unverändert bleibe, wenn man gleich so viele Nullen, als jedesmahl nöthig sind, beyfüget. Mit Ausnahme des Falles, wenn die Cubiczahl schon eine durch drey nicht theilbare Zahl von Decimalstellen enthalt, welchen man der Regel des vorigen §. gemäß eine oder zwo Nullen beyfüget, muß die Anzahl der hinzugesehten Nullen wegen der schon bekannten Ursachen durch z theilbar seyn: für jede drey Nullen, die man nur dem jedesmaligen Rest beyzufügen nöthig hat, erhält man alsdenn eine De- cimalstelle der Wurzel, und man kann jedesmahl zum voraus wissen, wieviele Nullen man anhängen ^ müsse, um die Wurzel bis auf eine gewisse Decimal- stelle richtig zu erhalten. Dieser: Regeln gemäß ist die Rechnung im nachstehenden E,rempel angestellek. * ' i Der XII. Abschnitt. 259 L,V20 000 I 9ZZ I2Z 1 , 25992 k 46 875200 4 6875) 42 1875 Z 2 Z 75 729 42491979 4 Z8zo2iooo. 4755243 ) 4279718? ZO59Z7 729 4282 77879 9 100242201000 47620440z) 952408806 151188 _ 8 95242Z9 2488 4999808512000 47621952192) Z77976i 4762 198998961 2Z760951Z0Z9 Probe. 1,259921 b — i,999999762Z9O48696i Rest 2Z760951Z0Z9 Summe 2,000002000000000200 R 2 26o Anfangsgründe der Rechenkunst. Je mehr Ziffern der Wurzel schon gefunden sind, desto grösser ist der schon gefundene Theil der Wurzel in Vergleichung mit dem nächstfolgenden, deswegen wird das dreyfache Product deö Quadrats vom ersten Theil der Wurzel in den zweyten in Vergleichung mit den übrigen beydcn Theilen immer grösser: auch bleiben desto mehr Ziffern vom dreyfachen Quadrat des schon gefundenen Theilö der Wurzel bey der folgenden Operation dieselben, die sie schon bey der vorigen waren. Wenn man dies bemerkt; so übersiehet man leicht, daß einige von den letzten Ziffern der Wurzel eben so nach Art einer abgekürzten Division gefunden werden können, wie im 202 §. einige der letzten Ziffern der Quadratwurzel vermittelst einer solchen Abkürzung der Rechnung sind gefunden worden. l« K r « / § Sind die Cubicwurzeln solcher Primzahlen schon ^ bekannt, die in einander multiplicirt eine gegebene Cubiczahl als ein Product zuwege bringen, so findet ^ man die Cubicwurzel des Products, wenn man die ^ Cubicwurzeln der Factoren in einander multiplicirt. ^ Die Rechnung wird dadurch vorzüglich alödenn ab- gekürzt, wenn der eine Factor eine rationale Wurzel ^ hat, wie in folgenden Exempeln. Z Z Z ? ^16 — ^2 x 8 — 2/°3 — 2,519842 s /54 -- ^2 x 27 — z/2 — z,779?6z r , z t 128 — ^2 X 64 — 4^2 — ;,OZ 9684 ' ' ' /'IZO — /"2 X I2Z — 5^2 — 6,29960z " r z z /4Z2-/2 X 216—6/2 7,559526 . Ferner 26l R Der XII. Abschnitt. Ferner ist zu bemerken, daß der bey Ausziehung ^ der Quadratwurzel aus Brüchen oben im 201 §. an- ^ gezeigte Vortheil auch alsdenn seine Anwendung fin- Mch de, wenn die Cubicwurzel aus einem Bruch gesucht wird. Meinahl laßt sich der Bruch so verändern, M daß die Cubicwurzel des Nenners rational wird; v»- --. Dicsemnach findet mau ^ — Die Cubikwurzeln der Brüche könnten demnach eben so, wie ihre Quadratwurzeln, durch eine blosse Division gefunden werden, wenn die Cubicwurzeln aller ganzen Zahlen bekannt wären. Soll man aus einer Irrationalzahl die Cubic» ^ wrirzel suchen; so sey m ihr bekannter rationaler Theil, ^ 5 der unbekannte irrationale Theil, und !< die aus ^ beyden zusammengesetzte Irrationalzahl, also K— - 1 - 5 , und /k - /O 4. §0 — I 4 Der rationale Theil m komme der Irrationalzahl^- s» p nahe, daßschon ein sehr kleiner Bruch ist; so ^ übertrift nicht allein 1 4- sondern mich > 4- ^ Ä , - ^ die Einheit sehr wenig, und wenn man / l i 4— j c> V ^ z -- l 4. e setzt, so hat man /k. — (l 4- e) /«. !!»K B ^ - R z Di- s6r Anfangsgründe der Rechenkunst. Die Voraussetzung /fr -1- — ) r e ziehe 27 V. M ^ I -l- — — r -i- ZS -1- ZS* -j- e', also — ^ (z-l-zs-t-^X und----- (Z-l-ZS-1-s )m 27 i nach ist - < ^, und weil Delw> 777 r — - g- I -i- - -j- s-i- 4 - i -tz - -l- * gefunden wird, so ist auch«-— folglich V * s -j- ^ ^. 27 ^ X. «r ^ - > m 27 oder - > 4 . — m 27" 27 * Weil nun /k. ' 771 ^ ' 777 ^ -- ^7rr -l- m war, so müffen die höhern Ziffern der Cubicwurzel aus m mit den höhern Ziffern der Cubicwurzel aus K bis auf diejenige Übereinkommen^ Z welche mit der höchsten Ziffer der Zahl m zu einerlei) Decimalordnung gehört. Aber - ist zwischen den beyden Zahlen und 4 — — ? —7 — -r. T7- z 777 ,777 7»^ . — enthalten, die in den höchsten Ziffern um des- 777 * willen mit einander Übereinkommen, weil — ein sehr 777 kleiner Bruch ist: also muß auch die höchste Ziffer Z der Zahl -^7» mit der höchsten Ziffer der Zahl Z' 7,7 zu cinerley Decimalordnung gehören. Demnach 27 r - 7 ! I »> i 7 » r » , > Der XII. Abschnitt. 26; z ' Demnach suche man z'm auf soviele Ziffern bis Hie niedrigste mit der höchsten Ziffer der Zahl 4 . /'»r zu einerley Decimalordnung gehört; so m Z ist man versichert, daß auch auf eben soviel Ziffern richtig gefunden sey. Aber weiter zu rechnen würde überflüssig seyn, weil die folgenden Ziffern der z ? Zahl /,» mit den Ziffern der Zahl /k. nicht mehr Übereinkommen. 216 §. Es sind zwo Zaklen gegeben: man soll zwischen beyden eine oder auch zwo mittlere stetige Geometrische Proportional - Zahlen finden. Auf!. I.) Man multiplicirs die erste Zahl mit der zweyten, und ziehe aus dem Product die Quadratwurzel, so hat man zwischen beyden eine mittlere stetige Proportionalzahl gefunden. (182 §.) Zwischen 2 und Z2 ist ^2 x z2 — /ß4 — 8 die mittlere Zahl. ll. Werden dagegen zwo mittlere Zahlen verlangt, so multiplicire man die zweyte Zahl mit der Quadratzahl der ersten, und ziehe aus dem Product die Cu- bicwurzel, so hat man die erste der beyden gefuchten Zahlen, (182 §.) und man findet die zweyte, wenn die Quadratzahl der eben gefundenen nrit der ersten gegebenen Zahl dividirt. (178 §.) Zwischen 2 und 3 3 r 2 8 ist die erste mittlere Zahl— ^4x128 —512 — 8, und die zweyte ^ ^ — z2. 264 Anfangsgründe derRechenkunst. Der XIII. Von der Zusammensetzung und Theilung der Verhältnisse, als dem Ursprung der Logarithmen. 21 ? §. HVV)an kann ein Paar Verhältnisse auf ähnliche Art mit einander vergleichen, wie oben im IX. Abschnitt ein Paar einzelne Grössen mit einander ' sind verglichen worden. Denn da ein Verhältnis; grösser oder kleiner als das andre seyn kann, so kann man auch fragen, wie groß das eine in Vergleichung mit dem andern sey? ob es nemlich nochmahl so groß, oder dreymahl so groß, oder halb so groß sey, als das andre Verhältnis;. Wenn man eine solche Vergleichung zwischen zweyen einzelnen Grössen an- stellet; so prüfet man: ob entweder die eine ganz, oder doch ein aliquoter Theil von ihr in der andern ctlichemahl enthalten sey? Eben so muß man bey Vergleichung der Verhältnisse verfahren: vor allen Dingen aber muß man sich eine richtige Vorstellung davon machen, wie sich ein Verhältnis; aus seinen Theilen zusammen setzen lasse, und einige ganz bekannte Beyspiele werden die Sache am besten aufklären. 218 §. Auf die Frage: wieviel gilt ein Thaler? kann man kurz antworten: ein Thaler gilt 24 Groschen, und das heißtangeben, i Thaler verhalte sich zumGgr.wie 24 : i. Eben dies Verhältnis' des ThalerS zum ^ ' D-r XIII. Abschnitt. 26; ^ Groschen ließe sich durch eine Art von Umweg so an- geben: z Mark machen einen Thaler, und 8 Groschen ein Mark. Es folgt daraus, wie man leicht ^ flehet, die vorige kürzere Vergleichung des Thalcrs -Wj „ut dem Groschen, vermöge der 24 Ggr. einen Thlr. ^ machen: indessen liegen in der letzten Antwort folgende zwo Proportionen: Thlr. : Mark - z : i Mark: Ggr. -8:1, ^ und bevde Verhältnisse des Thalerö zum Mark, ^ ^ und des Marks zum Groschen kann man als Theile »Ä tzktrackten, die zusammen das ganze Verhältnis des Thalers zum Groschen ausmachen. Diesemnach siks s„id auch die Verhältnisse z : 1 und 8 : i als Theile Äq anzusehen, die zusammen das ganze Verhältnis 24:1 ausmachen: der Groschen 8mahl, nnd dies ociu- xiuiit wieder dreymah! genommen giebt den Thaler. !ch-- Oder umgekehrt: vom Thaler ss, und wieder 4 von i M- diesem 4 Thaler genommen giebt den Groschen. zMs Auf ähnliche Art ließe sich das Verhälruiß deS MÄ Thalers zum Groschen in mehr Verhältnisse als M!o Theile eintheilcn: denn ein Thaler gilt auch 14 Gul- ««l» den, 1 Gulden gilt 2 Mark und i Mark gilt 8 Gro- M scheu. Das heißt in Proportionen gebracht Mi« Thlr. : Guld. — 14 : i ich' Guld.: Mark — 2 : l Mark: Ggr. — 8 : i, und das ist noch immer eben so viel gesagt, als wenn es kurz und gut hieße, der Thaler gilt 24 Ggr., denn ^ der Groschen gmahl, dies oökuplum 2mahl, und dies ch doppelte ociupbnn 14 mahl genommen ist wiederum der Groschen 2 4mahl: demnach stellt man sich sol- < B chergestalt die drey Verhältnisse als Theile vor, die 'P E R Z . Assam- 266 Anfangsgründe der Rechenkunst. zusammen genommen das ganze Verhältnis; des Tha- lers zum Groschen ausmachen. Auch sind in Zahlen ausgedrückt die drey Verhältnisse : i, 2 : i, 8: r als Theile des ganzen Verhältnisses 24:1 zu betrachten. 291 §. Wenn also überhaupt mehrere Proportionen dieser Art Vorkommen ^ : k ^ m: rr L : 0 ? 0 : O — § I): kl — t : re kl: k — oc: r/ u. s. f. so ist das Verhaltniß ^ : L aus irr : rr und ^ A : I) aus rrr : rr, und r- : r A : kl aus rrr : rr, r : re A : k aus rrr : rr, : r, k : rr, rc: r/, als Theilen zusammengesttzt: und die Verhältnisse, welche als Theile des Ganzen betrachtet werden, sichet man zugleich als einfache Verhältnisse an. Dabey ist folgende Art der Bezeichnung gewöhnlich: man schreibt A : L ^ : v km: rrV l rrr sr» 1s, rrl L : r fl uv, Ur L« ! >«! 26? Der XIII. Abschnitt. «dl. : : : ! «I * : «cid: L : ? und zeigt dadurch an, daß die Verhältnisse k: 6, A : l), u. s. f. aus den hinter dem Gleichheitszeichen befindlichen Verhältnissen als Theilen zusammen gesetzt sind. Ucbrigens ist hiebey vor allen Dingen zu bemerken , daß auf die Grösse der einzelnen Glieder hier gar nichts ankomme, weil ein und eben dasselbe Ver- hältniß sich auf unzählig viele verschiedene Arten aus- drücken läßt. Ware A : 6 - ^ s? - 2 z so wäre auch A : L — Die Rede ist hier bloß von der Grösse der Verhältnisse, nicht von der Grösse ihrer einzelnen Glieder. 220 H. wenn man alle vorhergehende und alle nact)solgende Glieder mehrerer Verhältnisse in in einander multiplicirr; so ist das Verhältnis) derproducre zusammengesetzt aus denVerhält- Nissen der einzelnen Facroren gegen einander. Beweis. Es sey zuerst das Verhältniß ^ : 6 aus zweyen andern m : ?r und : // zusammengesetzt; so kann man zwischen und 0 eine dritte Grösse setzen, so, daß man »» : rr — : 8 «nd o : ^ — L: L erhält. Alsdenn ist 5^ io^ 268 Anfangsgründe der Rechenkunst. ist8- — . A ( 17 5 §.) und L — m L, als- » P . M A, und das giebt A: L — m^ und weil lein c aus allen den Verhältttissen zusammengesetzt, woraus A: L zusammen gesetzt war, und überdem noch aus spi Wäre A: I) aus dreyen Verhältnissen m ; », x : ^ : / zusammengesetzt; so könnte man m . . <7 — ^ : L und — L : O annehmen. Nun wäre vermöge des bewiesenen so wäre nicht al- k»r : ir^ O — ^ sondern auch ^: v ^ : ir. 7 . Eben so erhellet, wenn der Satz für eine gewisse Zahl von Verhältnissen wahr ist, daß er zugleich für die nächstfolgende um Ems grössere 'Anzahl von Verhältnissen wahr sey. Wenn nemlich ^ : O aus sovielen Verhältnissen, wie man will, zusammen gefetzt, und dies Verhältnis mit dem Verhältnis der Producte der einzelnen Glieder ineinander einerlei) ist; wenn ferner noch ein Verhältnis ^ / zu den vorigen hinzu kommt; so kann man — 0:1) annehmen, und man findet dem r?5 §- gemäß v — — . L. Zst nun c -. A, so wrrd O — —. C — —-A, M... /I »- also Ä:0—m.auch ist A:O Al A! jiim st A st !xi! n> k üli, iz- >Hlj. Lm Lm r« H« M «K l,V c- sH' Der XIH. Abschnitt. 269 5.' r. Diesemnach ist der Sah allemahl wahr, die Zahl der einfachen Verhältnisse sey so groß, wie man will. 221 §. Wenn alle einfache Verhältnisse, woraus ein andres zusammen gesetzt ist, gleich groß sind; so Heist das zusammengesetzte ein vervielfachtes Verhältnis), (rrttio inultchlicktta) und man stehet die gleichen einfachen Verhältnisse als soviele gleiche Theile des zusammen gesetzten an, wovon jeder im zusammengesetzten Verhältniß so vielmahl enthalten ist, als gleiche Verhältnisse vorhanden sind., die das zusammengesetzte ausmachen. Wenn eine Ruthe 12 Fuß, ein Fuß 12 Zoll, ein Zoll 12 Linien, eine Linie 12 Scrupel hält, so ist Ruthe : Fuß 12 : 1 Fuß : Zoll — 12 : 1 Zoll : Linie — 12 : 1 Linie : Scrp. — 12 : 1, und es sind die Verhältnisse der Ruthe zum Zoll, zur Linie, zum Scrupel vervielfachte Verhältnisse des einfachen 12:1. Letzteres ist im ersten zweymahl, im zweyten dreymahl, im dritten viermahl enthalten. Jedes aus dergleichen gleich grossen Verhältnissen als seinen Theilen zusammengesetzte Verhältniß erhält den besonder» Nahmen von der Anzahl der gleich grossen Verhältnisse, die darin enthalten sind: es Heist eine rgtio clnssicata, trissicata, gukiärussicgta des einfachen Verhältnisses, nachdem letzteres im ersten zwcy- drey. vier - und mehrmahl enthalten ist. Jedes einfache heißt in Ansehung des ganzen aus mehrern eben so grossen zusammengesetzten Verhältnisses eine ratio lubmulti^licst»; und daraus ergiebt sich von selbst, was 27S Anfangsgründe der Rechenkunst. was die Nahmen: rstio stibäuplic.-ita, subtriplic.-,^ subgnacirupliorir:i u. s. s. sagen wollen. Die I'iitia subäuplicaca ist die Hälfte, die stlbkriplicota der dritte Thcil, die sndguaäruplicata der vierte Theil des ganzen Verhältnisses. Diesemnach ist das Verhältniß zweyer Quadratzahlen doppelt so groß, das Verhältniß zweyer Cu- birzahlen dreymahl so groß, als das Verhältniß ihrer Wurzeln. (220 H.) Ileberhaupt ist das Verhält- uiß zweyer Potenzen, die einerley Exponenten haben, aus dem Verhältniß der Wurzeln so vielmahl genommen zusammen gesetzt, so vielmahl der Exponent der Potenzen Ems enthält. Auch ist das Verhältniß eines jeden Gliedes der Geometrischen Progression zum ersten Glieds aus dem Verhältniß des zweyten Gliedes zum ersten so vielmahl genommen zusammen gesetzt, wievielmahl die Zahl der Glieder, die nach dem ersten folgen. Eins enthält. 22s §. Das erste Glied einer geometrischen Progression sey ^, und m der Exponent des Verhältnisses des zweyren Gliedes zum ersten; so hat man folgenden allgemeinen Ausdruck der Progression. (181 H.) Demnach sind die Verhältnisse : A — : i A — Ni- ! -> kl« '.E- ' !e ^ 4 . Ä : A — r,r^ ; 1 u. s. f. nach der Ordnung zweymahl, dreyrnahl, viermahk, fünfmahl grösser, als das Verhältniß mä, : A odcx m : i. Hieraus wird begreiflich, wie es möglich sey', eine Zahl anzugeben, welche ausdrückt, wie groß ' ^ Der XIII. Abschnitt. 271 ^ groß ein Derhältniß in Vergleichung mit einem an- dem Verhältnisse sey, wenn man die Grösse des letz- tcrn als bekannt annimmt, völlig auf ähnliche Art, llk-iz, wie die Grösse einer einzelnen Sache gegen eine an» dre vermittelst einer Zahl ausgedrückt werden konnte. So wäre das Verhältnis; : i zmahl grösser als M ,»: i, und umgekehrt m : i wäre ^ des Verhältnis- ses : i. Weil ferner : i 2mahl, : r KA zmahl grösser als m:, ist; so wäre auch ?»^: i ^ des Verhältnisses: i und : i wäre ^ dcöVerhält- liisseS m' : i. Wollte man diese Vergleichungen Nix eines Verhältnisses mit dem andern so bezeichnen: Mq : i — ^ («i^ : i) pp : i — 4 (»-r : i) M-- : i - 4 (m- : i) wm : i - (m- : r) sÄ i — (m- : i) — 2 . (m': r), . so wäre das zweydeutig, weik man es so verstehen könnte: die Zahl m'°, oder der Quotient : r M ^ sey 2mahl grösser, als die Zahl m« ^ oder der Quotient : i — ^welches falsch ^ ist. Man will auf oie eben angezeigte Art nicht die ,, ^ Exponenten der Verhältnisse als einzelne Zahlen s , betrachtet, sondern die Verhältnisse als Verhältnisse mit einander vergleichen. Um also diese Zwey- deutigkeit zu vermeiden, nennt man die Zahl, welche die Grösse eines Verhältnisses in Vergleichung mit einem andern als bekannt angenommenen Verhältnisse auödrückt, den Logarithmen jenes Verhält- ^ nisses, und bezeichnet ihn mit dem Buchstaben /, der dem dazu gehörigen Verhältnis; vorangeseht wird. ^ Wenn demnach das Verhältniß -u- : i als bekannt angenommen wird, so ist /(-rr: i) 272 Anfangsgründe der Rechenkunst. /(ur :i) -- /<>- :i) - ss :i) ^ i) — — 2, u. s. f. 22Z §. Mit dieser Sache verhalt es sich eben so, wie mit allen andern Messungen. (152 §.) Die Frage: wie groß cm Verhaicmfi sty? hat einen ganz andern Sinn, als wenn man fragt: wie groß das vorhergehende Glied eines Verhältnisses in Vergleichung mit dem nachfolgenden sey? Die letzte Frage beantwortet der Exponent des Verhältnisses: jene Frage aber läßt sich nicht beantworten, wofern man nicht das Verhältniß mit einem andern Verhältnisse vergleicht, dessen Grösse sonst als bekannt anzusehen ist. Völlig in eben dem Sinn nimmt man die Länge einer Ruthe, eines Fusses, als sonst bekannte Maasse an, wenn man die Grösse einer Länge dadurch angiebt, daß man sagt: die Länge seist) und so viele Ruthen oder Fusse lang. Allemahl muß das Maaß mit der dadurch auszumessenden Grösse von einerlei) Art seyn: wenn man also die Grösse eines Verhältnisses messen will, so muß das angenommene Maaß von eben der Art, eS muß selbst ein Verhältniß seyn, und der Logarichme eines Verhältnisses ist die Zahl, welche ausdrückt, wievielmahl entweder das Maaß selbst, oder ein aliquoter Theil desselben in jenem Verhältnisse enthalten sey. 224 §. Der Logarichme des Verhältnisses einer Zahl zu Ems heißt auch der Logarirbme dieser Zahl. Man W M O !>< - W !-» Aü N Ä Lj iw ^ L ! Ü i»i I Ä kü, ln Die XIII. Abschnitt. 27z Man seße eine willkührlich gewählte geometrische Progression zum Grunde, die von Eins anfangt, und zahle die Glieder, die nach dem ersten folgen, auf folgende Art: «ILZ4S6 7 8 9 r L. l.a W- ijli «>! i 226 §. 275 ^ Der XHI. Abschnitt. ^ . 226 §. In einerlcy System ist der Logaxithme -es Products zrveyer Zahlen die Summe der M Logarithmen dcr Laccoren. Beweis. Die Logarithmen zweyer Zahlen A ' ^ mH Is können ganze Zahlen oder Brüche seyn, und wenn im letzten Fall diese Brüche ungleiche Nenner haben, so kann man sie, ohne ihre Grösse zu andern. ,r ' lM auf gleiche Nenner bringen. Eö sey also /?c - —, llnl> V ^ ^ /L — —, die balis des Systems — L, so ist ei- gentlich /(-. : i) — —, /(ö:i)— —. Fer- ',Ä . , ^ ^ r . .^7 > « sey 7- »-/ oder /(« : I) — K, so istK: r aus ^ den, Verhältniß« : i -/.mahl genommen zusammen- ztzL seseht, und man kann sich das ganze Logarithmen- M Systein auf folgende Art vorstellen: Wch L 1 1 . ^Zlk- I.SF.^.... ö.... ^ . . . . Il . . , ^ »tz Weil diese Zahlen in geometrischer Progression sind, wovon das erste Glied — I, das zweyte — « ist; so ist ^ «»/ ll ^ also ^ x 1 l -- ! M (184 §-) Diesemnach ist das Verhaltniß ä x: r Ä dem Verhaltniß « : r (« 4- ^)mahl genommen Zusammen gesetzt. Aber « : 1 ist - H des Verhält- nisses /-: i, mikhiii ist ^ x li: r — des Ver- hälknisses 5: i, das Heist, der Log. xL:,) oder i. ^ xllist — Der Fall, wenn beyde Logarithmen ganze Zahlen sind, ist in dem Beweise mit enthalten, weil S 2 alsdenn 276 Anfangsgründe der Rechenkunst. alsdenn m in,r und r aufgeht: auch wenn der eine Logarithme eine ganze Zahl, der andre ein Bruch wäre, so liesse sich die ganze Zahl in einen Bruch mit dem letztem von einerley Nenner verwandeln. 227 §. In einerley Logarithmen - System wird der Logarithme des Guorienren gefunden, wenn inan den Logarithmen des Divisors vom Logarithmen des Dividend: sudrrahirr. Beweis. Es sey so ist Zl—L. tz, L also —/L ZO, (226 §.) mithin/^— — ZK, oder Z— ZZ^ — Z6. In jedem Logarithmen-System ist Zl — 0. Denn es ist i — —, was auch a für eine Zahl be- a zeichnet; also istZi — Z-i — Za — 0. Das will sagen: ein Verhältniß, wovon beyde Glieder gleich groß sind, hat in Vergleichung eines jeden andern Verhältnisses, worin das Vorhergehende Glied das nachfolgende übertrift, gar keine Grösse. Weil Brüche und Quotienten einerley sind, so wird der Logarithme eines uneigentlichen Bruchs gefunden, wenn man den Logarithmen des Nenners vom Logarithmen des Zahlers subtrahirt. 228 §. Der Logarithme einer Potenz wird gefunden, wenn man den Logarithmen der Wurzel mit dem Exponenten der Potenz multiplicirt. Denn es ist ZzV--. Z.Z^Zl.--ZZ^Zä- aZä, alsoZä.'--ZZ^- 1 -ZZl. --rZZl. ^ Der Xlil. Abschnitt. 277 1»!.^ --2/^-j./^—Ueberhauptist/^"^' —/H" ki»^ ist also überdem — rr./^, so ist (»r -i- 1) / ^. Es ist aber — n für ir — 2, K » — Z, also auch für » — 4, »r — 5, u. s. f. weil der Schluß von jeder Potenz auf die nächstfolgende gilt. Der Logarithme der Wurzel aus einer gegebenen m Nij Zahl wird gefunden, wenn man den Logarithmen die- Mm, ser Zahl mit dem Wurzel - Exponenten dividirk. Es sey nemlich so ist also 2- w/K, und /K — ^ /^, oder ^ 229 §. Heinrich Brigg, vormahls (in den Jahren ' 1619 bis i6zo) Professor der Geometrie zu Oxford, hat ein Logarithmen-System berechnet, welches unter dem Nahmen des Briggifchen, oder gcmcis -a nen Logaricbmcn-Systems bekannt ist; nach- , . dem vorher ein Schottländischer Freyherr, Johann den Gebrauch der Logarithmen in der Ma- M, thematik einzuführen versucht, und im Jahr 1614 ^ ,ljj seine Oelcriptionein inirikc! canoniz logoritklmoruln ^ heraus gegeben hatte. Weitere Nachrichten hievon, so wie auch umständlichere Untersuchungen über diese in der Mathematik sehr interessante Lehre, werden in s, den folgenden Theilen dieses Lehrbuchs Vorkommen: E hier genügt es, vorläufig zu wissen, daß die Zahl 12 ^ die balis des Briggischen Systems sey, mithin ist /lO — l /lOOO0 —4 /roo —2 /ivOOvo —5 /lO0O— Z / I00O0OO — 6 u. s. f. ^ Die Logarithmen der übrigen ganzen Zahlen, die zwi- schen den Gliedern dieser Progression fehlen, haben uz'r Brigg und andre, welche damahls mit diesen Un- S z terju- 278 Anfangsgründe der Rechenkunst. kersuchungen beschäftiget waren, zum Theil durch sehr mühsame Rechnungen suchen müssen, und man hat allererst in neuern Zeiten durch Hülfe der hohem Mathematik kürzere Methoden gefunden; indessen kam es nur darauf an, die Logarithmen der Primzahlen zu finden, weil die Logarithmen der zusammengesetzten Zahlen durch eine leichte Addition der Logarithmen ihrer Factoren gefunden werden konmen. Für angehende Mathematiker genügt es, zu wissen, daß man vermittelst folgender Rechnungsschlüsse die Logarithmen der Primzahlen habe finden können. siidl D -chr üch P. , 2ZO §. Der Ausdruck bezeichnet die Wurzel der Ordnung m aus A", so-wie der Ausdruck (/"A)» die Potenz der Ordnung » von der Wurzel der Ordnung r» aus A bezeichnet. Beyde Ausdrücke bezeichnen Mt einerley Zahl, weim A einerlei) ist: denn es ist ?.'! »I ' . / A .... wenn der Factor sovielmahl nach einander hingesetzt wird, als die Zahl « Eins enthalt; also ist /A" — (/A)». Ferner ist/^A" —/A" —(228 §.); wenn also A der bali des Logarithmen-Systems ü gleich genom- M ,! rncn wrrd, so ist //L" , weil /S — i ist. Nun sey N eine ganze Zahl, und , st jff folglich N-/ö". Wenn m — i ist, so ist /'A soviel als A, denn die erste Potenz A* einer Zahl ist die Zahl selbst, also ist > Mi dir li» 10 »>- 5 d! !« § in !« Der XIII. Abschnitt. "i tz, K'G Ä5M b? ^ ;s «A IS« A«? ^ V 279 ist auch die Wurzel der ersten Ordnung aus einer Zahl mit der Zahl selbst einerley. Wäre demnach /kl einer ganzen Zahl 1? , so wäre X — ö". Im Briggischen Logarithmen - System ist 5 — r 0, daher gehören die Logarithmen 2, z, 4, ;.u. s. f. zu den Potenzen io", io^, io^, io^, u.s.f. Die Logarithmen aller Zahlen von 2 bis 9 sind kleiner als i, folglich sind es eigentliche Brüche, wofern sie anders in Rationalzahlen angegeben werden können. Die Logarithmen aller übrigen Zahlen, die in jener Reihe der Potenzen von 1 o nicht Vorkommen, müssen aus einer ganzen Zahl mit einem eigentlichen Bruch bestehen, soweit man sie in Rationalzahlen angeben kann; und einer solchen vermischten Zahl ist alsdenn allemahl auch ein unächter Bruch äquipollent. Wenn demnach die Zahl X keine Potenz von io ist, und man soll den Logarithmen «dieser Zahl suchen; so setze man, eö sey /X — alsdenn muß -r < m oder n > seyn, nachdem X kleiner oder grösser als als 1 o ist. Ferner muß nun im Briggischen System X — 1 a" seyn, und die Auslösung der Aufgabe kommt darauf an, daß man finde, wie groß die Exponenten n und »r seyn müssen, damit die gegebene Zahl einer Wurzel der «Ordnung M aus einer Potenz der Ordnung w von der Zahl io gleich werde. Aus 10" laßt sich keine andre rationale Wurzel ausziehen, wofern diese Wurzel nicht selbst entweder — io, oder eine Potenz von io ist, und eine solche Wurzel soll die Zahl X nicht seyn. Demnach kommen rr und m nicht in bestimmten ganzen Zahlen angegeben werden, und eben deswegen kann kein rationaler Bruch seyn, wenn X eine rationale ganze S 4 Zahl 280 Anfangsgvünde der Rechenkunst. Zahl ist. Ware dagegen kl eine Irrationalzahl, so wäre es nicht unmöglich für » und m ein Paar Zahlen zu finden, die der Voraussetzung kl — ^10" ein Genüge leisten. Es sey kl eine andre Irrationalzahl, welche die vorige kl um eine Differenz v übertrift, die in Vergleichung mit kl sehr klein ist, so hat man Kl — kl ff- v - N ^i ff- , also /kl - / kl ff. i ff- (226 §.) Weil nun/^i ff- verschwinden würde, wenn v — 0 würde, (227 §.) und weil / s i ff- — 1 allererst — i werden könnte, wenn v — 9kl würde; so muß auch /k i ff- ^ ein sehr kleiner Bruch seyn, wenn eö — ist. Kann man alödenn die Logarithmen von kl und kl in De- cimalbrüchen auödrücken, so müssen desto mehrere von den hohem Ziffern dieser Logarithmen mit einander Übereinkommen, je kleiner v in Vergleichung mit kl ist. Fällt überdem alsdenn zwischen kl und kl eine Rationalzahl, die grösser als kl und kleiner als kl ist, so müssen die ersten hohem Ziffern des Logarithmen dieser Rationalzahl mit denjenigen Ziffern einerley seyn, worin /kl und/kl mit einander Übereinkommen. , 2ZI §. Die mittlere Geometrische Proportionalzahl zwischen i und 10 ist z,162277 ... (216 §.) und /z,162277 ... — ff —0,5. (228 §.) Zwischen l Md 28t ^ Der Xlll. Abschnitt. i und 9,162277 . . . fallen die Zahlen 2, 9; , ^ zwischen 9,162277 . . . und 10 aber die Zah- ^ len 4, 5, 6, 7, 8, 9. Wenn aufs neue zwi- schm 1 und 9,162277 . . . . oder zwischen der zuleht erwähnten Zahl und der Zahl io, eine mittlere Geometrische Proportionalzahl mit ihrem zugehörigen Logarithmen gesucht wird; so muß jene ' ^ noch etwas kleiner als 2, diese etwas grösser, als ^ 5 fern: Man übersiehet leicht, daß die solcher- gestalt gesuchten mittler» Geometrischen Propor- ö'-ffl tionalzahlen einer jeden von den acht zwischen i und 10 fallenden ganzen Zahlen, die man zuerst ^ wählen will, nach Gefallen näher gebracht wer- // den können. Wollte man, daß diese Mittlern ^ Zahlen der Zahl 5 nach und nach näher kommen sollten, so müste man zwischen der zuleht Mk gefundenen mittler» Zahl, die etwas grösser als M 5 war, und zwischen der Zahl 9,162277 wie- derum eine mittlere Zahl suchen, da dann zu- gleich die Logarithmen der so gefundenen mittler» Zahlen sich dem Logarithmen der Zahl z nähern ^ müssen. Um also wenigstens einige der ersten " Ä Ziffern des Logarithmen der Zahl 5 zu finden, müste man folgende Rechnung anstelle«. Wenn S 5 ä - 282 Anfangsgründe der Rechenkunst. ^—1,0000000000 Z —10,0000000000 und es wird <,,6 0— 5,16227766^ D—5,6254152540 L—4,2169650566 k-4,8696752598 6—5,2929911489 ^^5,0480657187 1 —4,9580682447 X—5,00286461 zo —4,9804160699 rvt—4,99^6277198 14—4,9972452000 6 — 5,0000590165 r —4,9986478107 cz^-4,9999509641 ^--4,9997016759 8 -4,9998773430 1— 4,9999651789 V—5,0000090974 VV—4,9999871380 4,9999981176 X—5,0000056074 2 —5,0000008624 ---4,9999994899 L —5,0000001761 L -4,9999998329 as —5,0000000145 - -4,9999999236 5 -4,9999999691 —0,0000000000 /L —1,0000000000 /o —0,5000000000 M —0,7500000000 /X —0,6250000000 /? —0,6875000000 /O —0,7187500000 / 4 I —0,7051250000 /l —0,6955125000 /X —0,6992187500 /X —0,6972656250 ^—0,6982421875 -X —0,6987504687 /O —0,6989746094 /? —2,6988525590 ^-0,6989155742 /X —0,6989440918 /8 —0,6989595506 /I no,6989669799 /V —0,6989707946 /V/—0,6989688873 /X —0,6989698410 /X —0,6989725178 -2,6989722704 —0,6989699602 /- —2,6989700198 /c —0,6989699900 ^ —2,6989700049 /e —2,6989699974 // —0,6989722012 sosey Ferner sey v-/6.e x-/c.o 6-/v.k X- /».I X^/I.x XI- /X.X N-/X.X4 0- /X.I4 8n:/X.O 1- /8.0 Vr^/'X.O vv-/'X.V X-/5V.V v^/x.v L^/X.X H —^x. -6 S—Z'a . L c — . ö ^ — /X . S s — .ük Vermöge Der Xlll. Abschnitt. 28 z W -st.I !-/!! -/ll 7/^'ö /k.O ^.0' ^.0 5.0 -Ä -u Vermöge dieser Rechnung findet man die Zahl > 5 und / < 5, die Logarithmen dieser beyden Zahlen kommen aber in den erstem Acht Decimalstel- len mit einander überein: also müsteN^ben diese Zis- fcrn zugleich die ersten acht Decimalstellen des Loga- rirhineit der Zahl ^ seyn. Es ist nemlich /; > //, also /; > 0,69897000,2, rmd /; < Ä, also /; < 0,6989700049; mithin /z — 0,69897000 -tz... Vergleicht man diese Rechnung mit den Schlüssen des 2 zo §. so erhellet, wenn man dl — 5, und ^—10 setzt, daß beynahe 77 — 69897 und m — loOOoo angenommen werden könne, oder es sey beynahe 5— ^10°^^??^ Denn wenn den /oF. 5 bezeichnet, so ist -- O 0 o 2* 2Z2 §. Aus den Logarithmen der Primzahlen werden dis Logarithmen der zusammengesetzten Zahlen durch eine leichte 'Addition der Logarithmen ihrer Factoren ge-, funden; deswegen wäre es nur vornemlich nvthig, die Logarithmen der Primzahlen zu suchen, wenn man Tafeln berechnen wollte, welche die Logarithmen aller Zahlen, wie sie in natürlicher Ordnung folgen, enthalten sollten. Unter den Logarithmen der Primzahlen ergiebt sich nun schon der /oZ-. 2 durch eine leichte Eubtraction, weil 2 — also /s -- /io —/z ist. (227 §.) Demnach erhält man /lO ^ I,OOOOOOOO /; — 0,69897000 /2 — o,zoiozooo; auch 284 Anfangsgründe der Rechenkunst. auch daraus weiter /4 — 0,60206000 /8 — 0,9050900. Der /z kann gefunden werden, wenn man zwischen 2 und 4 eine mittlere geometrische Proportionalzahl sucht, und dann mit der Rechnung eben so fortfahrt, wie vorhin im 251 §., bis man auf ein Paar Zahlen kommt, davon eine die Zahl z übertrift, die andre aber kleiner als z ist, und deren Logarithmen in so vielen Decimalstellen überein kommen, als man für den Log. der Zahl z zu suchen nöthig findet. Dies Verfahren giebt /z — O,477I2I2 also /6 — 0,7781512 H — 0,9542424. Nun fehlt unter den Zahlen, die zwischen! und io fallen, nur die Zahl 7, und man findet aus den Logarithmen der Zahlen 6 und 8 vermittelst des eben beschriebenen Verfahrens — 0,8450980. Aus diesen zehn Logarithmen erhalt man leicht eine grosse Menge andrer durch die Addition für solche Zahlen, die aus jenen durch die Mrlltiplication entstehen können. Man findet nemlich /i2 — /6 4 /2 — 1,0791812 /14 — /? 4 /2 — 1,1461280 4 /z — 1,176091z /16 — /8 4 ^2 — 1,2041200— 2/4 /18 — /9 4 /2 — 1,255272; /20 — /io 4 ^2 — I,ZOIOZOO Aber für die Zahlen i >, 1 z, 17, 19, müssen die Logarithmen nach Anleitung des 2 z 1 §. besonders gesucht werden, und man erhalt /n Ml Bl W > Pl hi. ko s 285 . Der XIH. Abschnitt. /n ^ 1,041 Z927 /iz — i,iiZ94ZZ /17 — 1,2904489 /19 — 1,2787536 Unter den Zahlen zwischen 20 und zo kommen nur die beyden Primzahlen 2z und 29 vor, der übrigen ihre Logarithmen erhält man durch .die Addition der Logarithmen ihrer Fackoren. Solchergestalt läßt sich nun vollständig übersehen, wie es möglich gewesen sey, für die Zahlen, wie sie in natürlicher Ordnung auf einander folgen, die Logarithmen ein für allemahl zu berechnen und in Tafeln zu bringen. 2ZZ §. In solchen Sammlungen Mathematischer Tafeln, wovon schon im 198 §. einige Nachrichten vor- gekommen sind, finden sich auch dergleichen Logarithmen-Tafeln, und wer sich in mathematischen Rechnungen üben will, muß mir einer oder der andern Ausgabe dieser Tafeln versehen seyn. Neper hat zwar die ersten Logarithmen - Tafeln berechnet, (229 §.) allein von der Einrichtung dieser Tafeln kann allererst im folgenden weitere Nachricht gegeben werden. Das Nepersche System ist von dem Brig- gischen verschieden, auch hat Neper nicht für die Zahlen, wie sie in natürlicher Ordnung folgen, sondern für die Verhältnisse gewisser Linien gegen einander, die allererst im folgenden unter dem Nahmen der trigonometrischen Linien beschrieben werden können, seine Logarithmen berechnet. Statt der Neperschen sind die Briggischen Tafeln zum Gebrauch eingeführt, und man kann bey der ersten Uebung in diesen Rechnungen fertig werden, wenn man nur eine von den kleinern Ausgaben dieser Tafeln zur Hand hak. 286 Anfangsgründe der Rechenkunst. hat, worin die Logarithmen der Zahlen von i bi'K loooo enthalten sind. Allster Nepern und Briggs hat sich auch ein holländischer Mathemati- ker in Goude, Adrian Vlacg, durch Fortsetzung der Berechnung, welche Briggs nicht hatte endigen kennen, verdient gemacht: von diesem hat man kleinere Ausgaben der Logarithmen und übrigen Mathematischen Tafeln, welche im folgenden unter dein Nahmen der Trigonometrischen Tafeln noch weiter müssen beschrieben werden. Auch gehört hie- her die im 198 §. schon angeführte wölfische Ausgabe, die so wie die Vlacgsche mehrmahls ist neu aufgelegt worden. Zum geschickten und geläufigen Gebrauch solcher Tafeln wird das folgende eine nähere Anleitung geben. 2Z4 §. Jeder Logarithme besteht aus einer ganzen Zahl mit einer Reibe daran Hangender Deciinalbrüche, die Logarithmen der ersten neun Zahlen ausgenommen, welche in der Stelle der Einer eine Null haben. Die ganze Zahl heißt die Cdarakreriftlk, oder Aennzisscr des Logarithmen, und dies um deswillen, weil man an derselben sogleich erkennen kann, aus wievielen Ziffern die Zahl bestehen müsse, welche diesem Logarithmen zugehört. Die Zahl besteht nemlich aus einer Ziffer mehr, als die Kennziffer ihres Logarithmen Eins enthält. Für die Zahlen von i bis 9 ist die Kennziffer 0, von io bis 99 ist sie 1, von 100 bis 999 ist sie 2, von 1002 bis 9999 ist sie z, u. s. f. (229 H.) Als» ergiebt sich die Kennziffer des Logarithmen einer jeden ganzen Zahl sehr leicht von selbst, und das ist die Ursache, Der XIII. Abschnitt. 287 tzchlj Atz Li '»L Alm »Mlh lsi ^ M t,Ä l!M ü!-H O' . ^ ^-p ^!ü Ursache, weswegen in einigen Ausgaben der Loga- rithmentafeln zur Ersparung des,Platzes die Kennziffer weggelassen ist, indem man sie benöthigsten Falles beym Gebrauch des Logarithmen leicht hinzu- setzen kann. 2Z5 §. Eines jeden uneigentlichen Bruchs Loga- rithme wird gefunden, wenn man den Logarithmen des Nenners vom Logarithmen des Zählers sub- trahirt: (227 H.) aber eine ganze Zahl mit anhangenden Decimalstellen ist ein uneigentlicher Bruch, dessen Nenner eine Potenz der Zahl i0 ist, mithin ist der Logarithme des Nenners allemahl für sich bekannt. Derselbe ist eine ganze Zahl, die sovielmahl Eins enthalt, als im Nenner Nullen sind, und eben soviele Decimalstellen müssen in der gegebenen Zahl nach der Stelle der Einer folgen. Man sehe also die Zahl mit allen Decimalstellen als eine ganze Zahl an, und vermindere die Kennziffer des Logarithmen dieser ganzen Zahl um soviele Einheiten, als Decimalstellen nach dem Zeichen der Einer folgen, so hat man dengesuchten Logarithmen. Es ist nemlich / 4 , 7 Z 8 — — /47Z8 -/ross und /47Z8 — 9,6755951 /lOOO — 8,OO0Q000 also /4,7?8—2,6755951. Eben so findet man /47,8g — 1,6755951; / 478,8 — 2,6755951; und überhaupt bleiben alle Decimalstellen des Logarithmen einer Zahl einerley, wenn die Ziffern der Zahl einerley bleiben, es mag die niedrigste Ziffer, oder eine von den übrigen diejenige seyn, welche die Stelle der Einer einnimmt: die 288 Ansangsgründe der Rechenkunst. die Kennziffer des Logarithmen ist allemahl um Eins kleiner, als die Anzahl der Ziffern, welche den groß fern Theil der Zahl, so weit sie eine ganze Zahl ist, ausmachen. 2Z6 §. Wenn man von einem Paar Zahlen, die zwar grösser als 1222 sind, aber nicht über 12222 hinausgehen, und nur um Eins unterschieden sind, z. E. 1728 und 1729 die, die Logarithmen aus den Tafeln nimmt, und den kleinern vom grossem sub- trahirt; wenn man ferner den Logarithmen der kleinern Zahl 1728 auch von dem Logarithmen der nächstfolgenden von ihr um 2 unterschiedenen Zahl 1730 subtrahirt: so findet man, daß die Differenz der den beyden letzten um 2 unterschiedenen Zahlen zugehörigen Logarithmen ebenfalls fast doppelt so groß sey, als die Differenz der beyden ersten um 1 unterschiedenen Zahlen zugehörigen Logarithmen. Es ist nemlich /l029 — Z,<0124154 /lOZo— Z,0I28Z72 /1028 — z,oi I99ZI /i028 — Z,OI 199zl Differenz 0,002422; Differenz 0,0008441 Die letzte Differenz ist nur um etwas weniges kleiner als 2 x 0,200422; — 0,2008446. Hieraus ist zu schließen, daß die Differenzen solcher Zahlen, die nicht einrnahl völlig, oder höchstens um Eins unterschieden sind, den Differenzen ihrer Logarithmen ziemlich genau proportional scyn werden. Je kleiner die Zahlen selbst sind, desto unrichtiger wird diese Voraussetzung, wis die Probe zeigt, wenn man einen ähnlichen Versuch, wie vorhin, mit kleinern Zahlen macht. Je grösser aber die Zahlen sind, desto näher kommt diese Vor- aus- ki«be> O' jillk «ist dis« HM z sin! ' dii, iüdi Li dk» G I m ! As >lh ich k«- i A Der XIII. Abschnitt. 23» «usfcHimg der Wshrheik, wie man aus folgenden < ^ Proben abnehmen kann: /9986 —z,999Z9>6 ^ 9986 -z,999Z9l6 /9985 — 8/9998481 /9984-Z,999Z04L Differenz 0,00004z; Differenz 0,0000870 li'Ur Die letzte Differenz scheint zwar schon genau ::: lM doppelt so groß zu seyn, als die erste; inzwischen ist dies nur in Zehnmilliontheilen zu verstehen, so weit sich nemlich die Differenzen aus den Zahlen finden ^ lassen, welche die Logarithmen noch lange nicht voll- ständig, sondern nur bis auf die siebente Deeimal- stelle richtig ausdrücken. Waren die Logarithmen ^auf mehr als sieben Decimalstellen berechnet; so wür- de sich auch hier die Abweichung von derVorauöse- ^ kleinern Decimaltheilen ergeben. ff G 2Z7 §. M- Den Logarithmen einer Zahl, die mehr denn vier, aber nicht über 7 oder höchstens 8 Ziffern enthält, durch Hülfe der Tafeln zu uM finden. ffr«« ««i Aufl. Weil die Decimalstellen des Logarithmen einerley bleiben müssen, wenn man gleich, ohne die Ziffern, welche die Zahl ausdrücken, selbst zu andern, das Zeichen verrückt, welches die Stelle der Einer angiebk; so setze man das Zeichen der Einer Key der vierten von den höchsten Ziffern, damff die übrigen, welche nach der vierten Ziffer folgen, De- cimaltheile werden. Solchergestalt erhalt man eine Zahl, die grösser als 1000 und kleiner als 10000 ist, und es muß unter den zwischen 1000 und 10000 fallenden ganzen Zahlen ein Paar geben, die nur um Eins unterschieden sind, zwischen welchen die so gebarst. Marhem. I. Th. T theilte 290 Anfangsgründe der Rechenkunst. Heilte gegebene Zahl als zwischen zwoen Granzen enthalten ist. Ware die Zahl 4728425 gegeben, so nehme man an, die Zahl 47 z8,42; sty die gege. bene, und man stehet leicht, daß diese Zahl zwischen 47z 8 und 47z 9 als zwoen Granzen enthalten sey. Ferner hat man aus den Tafeln §4739 — Z,6756867 / 47 Z 8 - Z, 6755951 Differenz 0,0020916 kann man vermöge der im Voraussetzung ansetzen: i : 0,425 — 2,0002916 0,4255 Die gegebene Zahl 4728,425 übertriftdie kleinere um den Deci- malbruch 0,425; also 236 §. gerechtfertigten vierten Zahl 2,2222Z66 18 V 4 Z2 Z80 3 O,2222Z89 - Die so gefundene vierte Zahl muß wenigstens sehr nahe den Ueberschuß des Logarithmen der Zahl 4738,42 5 über den Logarithmen der Zahl 4758 aus» machen; also addirt man zum /47Z8 — Z, 675595 ^ den Ueberschuß 2,2222289 so ist -4738,425 — Z,6756zzo Hiemit hat man zugleich -4,738425 — 2,6756252 / 4738425 — 6,6756530, so wie den Logarithmen jeder andern Zahl gesunden, die aus eben den Ziffern besteht, wenn gleich das Zeichen der Einer bey einer der übrigen Ziffern stünde. Zwey P />o j V- ksc ' «A sr« lk. «d, mH kk^U ssi!» MD »H K ^ Olü«' AK- Der XIII. Abschnitt. 291 Zwey zunächst auf einander folgende Logarithmen, deren Kennziffer z ist, sind nur in den drey oder höchstens vier letzten Decimalstellen verschieden. Es ist /lOvl — 3,0004541 nur um 0,0004Z41 grösser als /i Oc> O — z; und wenn man V0M/4Z46 — g,6380897 den /4Z45 — 8,6379898 subtrahirt; soistderRest— 0,0000999, welcher sich nur bis auf die drey letzten Decimalstellen erstreckt. Aus dieser Bemerkung laßt sich abnehmen, daß der Gebrauch der eben vorgetragenen Regel auf Zahlen eingeschränkt sey, die nicht über acht Ziffern enthalten. Wollte man den Log. 4738,42564 eben fo suchen; so würde die Rechnung folgendes geben: i: 0,42564 — 0,0000916 0,4256z : viert. Z. 0,0000366 4 18 g2 4 580 5496 2748 0,0000389 — dem Ueber- schuß des Log. 4738,42563 über den Log. 47-8. Aber dieser Ueberfchuß ist bis auf die siebente Deci- malstelle nicht von dem vorhin gefundenen unterschieden, als man den Log. der Zahl 4758,425 suchte. Was nach der siebenten Decimalstelle folgt, ist alles unvollständig, weil man die Differenz der Logarithmen für die nächstgrössere und nächstkleinere Zahl aus den Tafeln nur bis auf die siebente Decimalstelle finden kann. Die höchste Ziffer dieser Differenz kann nur höchstens in die Stelle der Zehntausendtheile kom- T 2 men. 292 Anfangsgründe der Rechenkunst. men, und in dem berechneten Exempel gehört sie würklich nur zu den Hunderttausendtheilen. Wenn nun die gegebene Zahl ausser den vier höchsten Zif. fern noch vier andre hat, die man als Decimaltheile betrachtet, so gehört die niedrigste zu den Zehntau- sendtheilen; und wenn damit die höchste Ziffer jener Differenz multiplicirt wird, so giebt das zum Pro» duck Hundertmillionen. Theile: also kann die höchste Ziffer dieses Products nur höchstens noch in die siebente Decimalstelle kommen. Kömmt zur gegebenen Zahl die neunte Ziffer hinzu, so kann das Product dieser Ziffer in die höchste Ziffer jener Differenz höchstens Tausendmillionen-Theile geben, und die höchste Ziffer kömmt höchstens in die achte Decimalstelle. Demnach müssen die Logarithmen auf mehr denn sieben Decimalstellen berechnet'seyn, wenn der Gebrauch dieses Verfahrens nicht auf Zahlen von höchstens acht Ziffern eingeschränkt seyn sollte. Weil alle Logarithmen in den Tafeln in Zehn- milliontheilen ausgedrückt sind; so weis man ein für allemahl, daß die Ziffern, welche dadurch gefunden werden, daß man die nächkleinern Logarithmen vom nächstgröffern abzieht, Zehnmilliontheile bedeuten: deswegen bedarf es dessen nicht, daß man die Nullen bis zur Stelle der Einer voran sehe: man kann mit der so gefundenen Differenz wahrend der Rechnung eben so umgehen, als wenn es eine ganze Zahl wäre: Was alsdenn die Rechnung zur vierten Zahl unter der Form einer ganzen Zahl giebt, davon weis man ohnehin, daß es Zehnmilliontheile sind, die man zu Decimalstellen des nächstkleinern Logarithmen, als wenn auch das ganze Zahlen wären, zu addirt: denn auf die Kennziffer Rücksicht zu nehmen, hat man alödenn j-lil ls i«l S «i ' «! ! is I als N > iin K T , li> ! E jü D,« knicitß sw M »A» i^Mli M .--k 'F Der XIII. Abschnitt. 29 z alsdenn allererst nöthig, wenn die Rechnung geendi- get ist, da man sie denn leicht voranseßt. 2g8 §. Die Zahl zu finden, welche einem gegebenen Logarithmen zugehörr, wenn die Kennziffer die Zahl 6, höchstens die Zahl 7, nicht übenrifr. Aust. Die Logarithmen aller Zahlen von i bis looo kommen in den Tafeln mehr als einmahl vor mit verschiedenen Kennziffern. Denn es ist «.W iNsiij , Oir r!«l> ferner endlich auch /zo /goa /gOOO /2ZO /2ZOO /24ZO /2 z /2 z -i- -l- -h -I- -t- /lO, /lOO, /lOOO; /l S, /ioo; /io. /24z -l- Es verhalt sich mit allen Zahlen, die aus einer, zwoen oder dreyen Ziffern bestehen, eben so: Demnach muffen alle Logarithmen der Zahlen zwischen r und looo auch unter der Kennziffer z, zwischen l ooO Und i oO0O, wieder Vorkommen. Man suche also den gegebenen Logarithmen, ohne seine Kennziffer in Betrachtung zu ziehen, unter den Logarithmen auf, die z zur Kennziffer haben: findet man ihn unter denselben, so gehört ihm die dabei) stehende Zahl zu, wenn man in demselben den Ort der Einer so bestimmt, wie es die Kennziffer des Logarithmen erfordert. Man schneidet nemlich von den höchsten Ziffern eine mehr ab, als die Kennziffer Eins enthält, so gehört die niedrigste von den abgeschnittenen Ziffern zu den Einern, und die folgenden sind Decimalstellen. Wäre dagegen die Kennziffer grösser als z, so müste man der in den Tafeln neben T Z dem 294 Anfangsgründe der Rechenkunst. dem Logarithmen stehenden Zahl rechter Hand so viele Nullen beyfügen, bis die Nutten mit den Ziffern zusammen so viele Stellen ausmachen, als die Kennziffer vermöge der Regel verlangt. Den Logarithmen 1,8741918 findet man unter der Kennziffer 7 bey der Zahl 748?, also ist die zugehörige Zahl 74,8 5. Denn es ist /? 48 ; - Z,8741918 /loa — 2,O2OOO00 also - 74,85 — 1/8741918 (227 §.) Ware aber der Logarithme 6,87415)18 gegeben, so wäre die zugehörige Zahl 7485000. Denn es ist -7485 — 7,8741918 -1020 — 7,2222222 also -7485202 — 6,8741918 (226 §.) Wofern man in den Tafeln keinen Logarithmen findet, wovon alle 7 Decimalstellen des gegebenen Logarithmen durchgängig überein kommen; so wird man doch unter der Kennziffer 7 ein Paar zunächst nach einander folgende Logarithmen antreffen, wovon der eine noch kleiner, der andre schon größer ist, als der gegebene. Man nehme also die zum nachst- klcinern Logarithmen gehörige Zahl, und suche noch drey bis vier dazu gehörige Ziffern so, daß man das Verfahren des 277 §. nur umgekehrt anwendek. Der gegebene Logarithme sey 2,5679462; so ist der nachstgrösfcre -7664 — 5679555 der nächstkleinere -7667 — 5678769 die Differenz 1186. Von gegebenen Logarithmen — 5679462 subtrahirt man auch den nächstkleincrn 5678769 so ist die Differenz 1097. Bey Der XIII. Abschnitt- -y; ^»rökjr HK,E MD «/t- i M M,v A!Ä> >v lk'-" Bey jener Differenz sind die zugehörigen Zahlen uni Eins unterschieden, wenn z die Kennziffer ist: aljo kann man ansetzen nz6 : 1092 — i : vierten Zahl !o,92i6 Ueberschuß der dem 74 ' gegebenen Logarithmen 2562 zugehörigen Zahl über 1186 die Zahl z66g. 2Z72 1880 1'86 6940 n86 Wäre nun g die Kennziffer des gegebenen Logarithmen, so wäre z66g,92i6 die gesuchte Zahl: weil aber 2 die Kennziffer ist; so ist die gesuchte Zahl z66,g92i6. Märe 6 die Kennziffer, so gehörte zu diesem Logarithmen die Zahl 5669921,6. Wäre dagegen die 9 Kennziffer, so müste die dem Logarithmen zugehörige Zahl zehn Ziffern haben. Allein man kann nicht voraussetzen, daß nun 9665921620 die gesuchte Zahl sey; und dies noch weniger, wenn man aus andern Gründen weis, daß selbst der gegebene Logarithme nicht vollständig sey. Allemahl sind die Differenzen unvollständig, aus welchen man den Ueberschuß der dem gegebenen Logarithmen zugehörigen Zahl aiber diejenige sucht, die dem nachstklei- nern Logarithmen zugehören würde, wenn seine Kenn-' ziffer z wäre; und es ist überflüssig, mehr als vier Ziffern für diesen Ueberschuß zu suchen. 4 2Z9 §. 296 Anfangsgründe derRechenkunst. 2 Z 9 §. Durch den Gebrauch der Logarithmen lassen sich viele solche Rechnungen ansehnlich verkürzen, wobey es darauf ankommt, daß etwas grosse Zahlen in einander multiplicirt und dividirt werden sollen, (226. 227 §.) vornemlich alsdcnn, wenn man mit etwas vollständigen Logarithmen-Tafeln versehen ist. Auch kürzen die Logarithmen die Rechnung ab, wenn man eine gegebene Zahl auf eine verlangte Potenz erheben, oder aus derselben eine Wurzel einer gegebenen Ordnung finden soll. (228 §.) Indessen bleibt doch der Gebrauch solcher Tafeln dabey allemahl eingeschränkt, worin die Logarithmen nur bis auf die siebente Decimalstelle angegeben sind, weil malt die gesuchten Resultate, wenn sie mehr als sieben höchstens acht Ziffern enthalten, nicht genau finden kann. ( 2 z 8 §.) Es kommt nemlich in allen solchen Fal- I len darauf an, daß man statt der Zahlen selbst mit ^ ihren Logarithmen rechnet, und solchergestalt einen Logarithmen findet, dessen zugehörige Zahl, die man nach den Regeln des 258 §. suchen muß, diejenige ist, welche gesunden werden sollte. Demnach ist dieser Gebrauch der Logarithmen auf die Falle eingeschränkt, wenn entweder die gesuchte Zahl nicht mehr als acht Ziffern enthält, oder doch die ersten 7 bis 8 Ziffern der gesuchten Zahl die vorgelegte Aufgabe scharf genug aufiösen. Ein Beyspiel hievon wäre, wenn man die im 214 §. schon gefundene Cubicwur- zel aus 2 vermittelst der Logarithmen suchen wollte, Es ist Der XIII. Abschnitt. 297 /2 — O,Z01OZQO z) ; ——-- //2 — Y,IOOZ4ZZ IOOO257 Differenz 317Ü /l26o — IOOZ7OZ il2Z9 — IOOO2Z7 3448 2176 : Z448> g1OZ2 Z448 - i : viert. Zahl O,Y2I 7280 3448 6896 Z 840 , 3448 also 2 22 1,259921, wie im 214 §. gefunden ward. 240 §. Das erste und letzte Glied einer geometrischen Progression sind gegeben, nebst der Anzahl der Glieder, die nach dem ersten folgen sollen: man soll das erste von den fehlenden Mittlern Gliedern finden. Anfl. Wenn ^ das erste, L das zweyte, V das lehte Glied der Progression, M der Exponent des Verhältnisses des zweyten Gliedes zum ersten, und « die Anzahl der nach dem ersten folgenden Glieder ist; so hat man V — (181 §.) und das zweyte Glied L — -uiV. Demnach ist x k""' T 5 - A — oder -rV: und wenn man auf beyden Seiten die Wurzel der Ordnung » nimmt; so auch L — ^ Soll man das erste von 99 Mittlern geometrischen Proportionalgliedern zwischen den Zahlen 7 und 8436 finden; so kann man die Rechnung auf folgende Art führen. Es ist ^ — 7, V — 84z6, 578 : Z72 — i : vierten Zahl also L — 7,51464g. ^ Der XIV. Abschnitt. '299 Der XIV. Abschnitt. Die Regel Detri mit ihren Anwendungen. lj, 241 §. Regel des 175 §, nach welcher man zu »M- ^9 dreyen Zahlen die vierte geometrische Propor- Wl tionalzahl sucht, heißt die Regel Dorn, eigentlich LHK rx^ula,cle rribus mimeris : auch heißt sie' wegen ihres mannigfaltigen und sehr ausgebreiteten Nutzens die güldene Regel. Sie findet allemahl ihre Anwendung, wenn ein Paar Größen von einer gewissen , . 'Art sich eben so wie ein Paar andre Grössen verhalten, die übrigens zu eben der Art gehören, odsrauch von andrer Art seyn können; da dann drey von diesen Grössen gegeben seyn müssen, wenn die vierte gesucht wird. 242 §. Eine Rechnungsfrage, die zur Regel Dem gehört, richtig in Ansatz zu bringen, und hiernächst die gesuchte vierte Zahl, oder das sogenannte Facic zu finden. Aust. I. Unter den dreyen gegebenen Zahlen müssen zwsy seyn, die einerlei) Nahmen haben, oder wenigstens von einerlei) Art sind, so daß man sie auf einerlei) Nahinen bringen kann: die dritte von den gegebenen Zahlen muß mit der gesuchten von einerlei) Art seyn. Wenn die Rechnungsfrage folgende wäre, i sießpf. von einer gewissen Waare kostet Z Thlr., was kostet also ein Centner von eben der Waare? so sind die Zahlen i Ließpf. und i Centner Zoo Anfangsgründe der Rechenkunst. von einerley Art, und können auf einerley Nahmen von Pfunden gebracht werden: es ist eben soviel, als wenn man fragte: 16 Pf. kosten z Thlr, wieviel also noPf. ? Die gesuchte Zahl ist eine Anzahl Tha- ler als der Preis eines Centnerö, und damit ist die Zahl g Thaler, als der Preis eines Ließpfundes, von einerley Art. Eine von den beyden Zahlen, die von einerley Art sind, ist gewöhnlich mit der gesuchten durch die Frage: wieviel? oder ein ähnliches Fragwort verbunden, und diese Zahl heißt die Fragzahl des Exempels: man kann, um sie von den übrigen zu unterscheiden/ das Fragzeichen (?) dabey sehen. Will man nun den Ansaß machen, daß es am besten einleuchte: ob die Rechnungsfrage würklich zur Regel Detri gehöre, so ist folgende Regel zu beobachten: Man sitze die Fragzahl in die Mitte, was mit ihr von einerley Art ist, voran, und was mit der gesuchten Zahl von einerley Are ist, in die dritte Stelle. Das vorhin angeführte Exempel würde demnach so stehen: i LPf. : Centn. — z Thlr. : gef. Anz. Thlr. od. i6Pf. : iioPf. — z Thlr. : ges. Anz. Thlr. Sovielmahl nun die erste Zahl in der zweyten enthalten ist, sovielmahl muß die dritte in der vierten enthalten seyn, widrigenfalls würde die Rechnungöfra- ge nicht zur Regel Detri gehören. Daß dies dev Natur der Rechnungsfrage gemäß sey, davon muß man sich überzeugt haben, bevor man nach der Regel des 175 §. die vierte Zahl sucht. In jenem Exempel muß wirklich der Preis des LPf. im Preise des Centnerö sovielmahl als l LPf. in i Centn, enthalten, V p l" ii« l! lu » »Der XIV. Abschnitt. zvi seyn, und überhaupt verhall sich die Waare wie der dafür zu zahlende Preis. Daß die Fragzahl in die mittlere Stelle gesetzt werde, ist an sich nicht nothwendig, ob sie gleich in Liese Stelle gehört, wenn man die Proportion, welche in der Rechnungsfrage liegt, den Grundbegriffen des 162 §. gemäß ausdrücken will. Man kann aber auch das Exempel so niederfchreiben, wie es an sich lautet, wenn es auf gewöhnliche Art folgender- gestalt auögedrückt wird i LPf. kostet z Thlr., was kostet i Centn.? und aus Vergleichung dieses Ansatzes mit dem vorigen ergiebt sich, daß nur die Ordnung der zweyten und dritten Zahl verwechselt sey. Weil nun die Multiplication der beyden Zahlen in der zweyten und dritten Stelle einerlei) giebt, der Ansatz mag auf die erste, oder die zweyte Art gemacht seyn, so kann man auch bey der letzten Art des Ansatzes bleiben. Man setzt alsdenn die Lragzahl in die dritte Stelle, was mir ihr von einerlei Are ist, in die erste Stelle, und was mir der gesuchten Zahl von eincrley Art ist, in die Micre. Nun muß die erste Zahl in der dritten sovielmahl enthalten seyn, als die zweyte in der gesuchten, und ob sich dies so verhalte, das muß man aus der Natur der Rechnungsfrage beurtheilen. II. Soweit vom richtigen Ansatz. Um nun auch die Rechnung selbst mit Vortheil zu führen, sehe man vorher nach, ob vielleicht die erste und dritte, oder auch die erste und zweyte Zahl ein gemeines Maaß haben: mit demselben dividne man zuförderst, und Zor Anfangsgründe der Rechenkunst. und brauche hiernächst bey Anwendung der Regel des 17 z §. die Quotienten statt der dividirten Zahlend Denn vermöge des 170 §. bleiben die Quotienten in demselben Verhältniß, also erhellet, daß man die erste und die mit ihr gleichartige Fragzahl so gegen einander verkleinern könne, ohne daß solches die gesuchte Zahl ändert. Weil ferner vermöge des 77; §. 11. z. während der Rechnung der Nähme der Zahlen nicht in Betrachtung kommt; so wird auch die ge- " suchte vierte Zahl nicht geändert, wenn man die erste und zweyte nach der gemeinen Art des Ansatzes in die Mitte gesetzte Zahl, falls beyde ein gemeines Maast haben, damit dividirt, und alsdenn die Quotienten bey Anwendung der Regel des 175 §. braucht. Daö ganze Erempel kommt alsdenn so zu stehen: 1 LPf. — 8 Thlr. — i Centner? ^ 16 Pf 8) no Pf. 8) T" 2) 2 §ac. z z Thlr. 2) i Wenn unter den gegebenen Zahlen Brüche oder gemischte Zahlen, die selbst nichts anders als uuei- gentliche Brüche sind, Vorkommen; so kann man, vermöge der angeführten Gründe, wenn man wiederum den 170 §. vergleicht, die Brüche aus der Rechnung wegschaffen, und statt derselben in allen Fällen drcy ganze Zahlen erhalten, womit alsdenn nach der Regel des 175 §. verfahren werden muß. Wenn in der zweyteu oder dritten Stelle ein Bruch stehet, so multiplieire man ihn und zugleich die Zahl in der ersten Stelle mit dem Nenner jenes Bruchs. Steht Der XlV. Abschnitt. Zo; -tis. !"il! Kiill kP ^1. Hm !l!!Ik «ilk Steht in der ersten Stelle ein Bruch, so multiplicire man auch diesen und zugleich die zweyte oder dritte Zahl mit eben des Bruchs Nenner. Ein Veyspiel giebt folgende Rechnung Pf. - - 2Z9^. Thlr. . - 1 Pf.? n 8 X z x 8 589 719 8 X Z 8 767 5752 I 1767 )! Fac. z- kV/-? Thlr. Wenn die erste Zahl mit der ihr gleichartigen Fragzahl nicht einerley Nahmen hat, auch wohl eine oder die andre dieser Zahlen, vielleicht alle beyde aus Theilen bestehen, die verschiedene Nahmen haben, so kann man alle auf einerley und zwar auf den kleinsten Nahmen bringen. Die zweyte mit der gesuchten gleichartige Zahl kann man unverändert lassen, oder wie man will, auf einen andern Nahmen bringen, da denn die gesuchte Zahl allemahl unter eben dem Nahmen heraus kommt. Ein Exempel hiezu wäre das folgende. zCt. z6Pf.— i 2 ;Mk. i 2 ßl. — 12 Ct.?Pf.? HO i6 no z6 ZZQ Z66 1Z27 2012 ßl. Hat man so die zweyte Zahl auf Schillinge gebracht, so giebt sich das Facit in ßl., die man wieder auf Mark, oder welchen Nahmen man sonst will, bringen kann. Statt dessen aber kann man die r 2 z Mk. Z04 Anfangsgründe der Rechenkunst. Mk. 12 ßl. mit lg 72 nach den Regeln des Ig9 §. multipliciren, und das Product dem 140 §. gemäß mitz66 dividiren. BeyEinwendungen der Regel Detri in der Geometrie und in andern Theilen der Mathematik wird oft die Rechnung vortheilhaft verkürzt, wenn man statt der Zahlen selbst mit ihren Logarithmen rechnet. Proben davon werden im folgenden Vorkommen: hier genügt es zu wissen, daß man die Logarithmen der zweyten und dritten Zahl zusammen addiren, und von der Summe den Logarithmen der ersten Zahl sub- trahiren müsse, um den Logarithmen der vierten Zahl zu finden. Von andern Vortheilen, die man sonst noch bey der Regel Detri anbringen kann, geben die practi- schen Schriftsteller mehr Nachricht. Man sehe meines Bruders Fr. Christian Lorenz Rarstens Rechenkunst, Bützow und Wismar 1775, 2te Abth. 2 Abschnitt, v. Clausbergs demonstrativische Rechenkunst, L. Z. Schmids Rechenkunst. Leipzig 1774. u. a. m. 24z §. Die im vor. H. gewählten Beyspiele zur Regel Detri gehören zur Rauf- und waaren- Rechnung: die Fragzahl war Waare, und man suchte - den dafür zu zahlenden Preis. Es kann umgekehrt die Fragzahl eine Summe Geldes seyn, und man sucht, wieviel Waare dafür eingekauft werden kann, wie im folgenden Exempel. Für z Thlr. 7 ßl. kauft man i LPfi, wieviel also für iss Thlr.? "B ';O -.u Gm Ä! A'.Ä Die XIV. Abschnitt. Z°s Der Ansaß ist z Thlr. 7 ßl. x 48 r-r r LPf. — ioo ^hlr.? x 48 Aac. 144 48oo 7 I5>) Eine andre Anwendung der Regel Detri ist die sogenannte Zinß-Rechnung, und die hieher gehörigen Rechnungöfragen sind von zweyerley Art. 1. ) Die Fragzahl ist Capital, man sucht die dazu gehörige Zinse. 2. ) Die Fragzahl ist Zinse, man sucht das dazu gehörige Capital. Gewöhnlich versteht man alsdenn eines Zahres Zinse, und die Zinse selbst drückt man unter dem Nahmen der Procenre durch die Zahl der Thaler aus, welche vom i oo jährlich bezahlt werden müssen. Bey dem zpLZinsenfuß ist die jährliche Zinse der 2oste Theil des Capitals, also auch ohne Ansatz nach der Regel Detri die Rechnung leicht gemacht. Folgende zwey Rechnungsfragen löset man leicht auf, wenn die Zinse 4L pL. betragen soll. 10 ö Thlr.—4L Thlr.jährl. Zinse -271!-! Thlr. ? 20 9 y ' 24^! Tbl 20) ji2i-->Thl. 4TTHl.Zinß- ioO Thl.Capit— z 15 Thl.Zinß? 9 200 9) - Z5 2oc> Rarst.Mach.Th.l. Jac. 7000 Thlr. U Eine zv6 Anfangsgründe der Rechenkunst. . Eine andre Art hieher gehöriger Rechnungsfra- gen ist folgende; Man weis die einjährige Zinse eines Capitals, und will wissen 1. ) entweder, wie hoch die Zinse in längerer oder kürzerer Zeit als Jahresfrist anläuft? 2. ) oder, wie lange das Capital stehen muß, damit die Zinse bis auf eine gegebene Summe angeschwollen sey? Aber auch diese sind so leicht aufzulösen, daß es kaum eines Ansatzes nach der Regel Detri bedarf. Im ersten Fall wird die einjährige Zinse mit der gegebenen Zahl von Jahren multiplicirt, und im andern Fall wird die gegebene Summe mit der einjährigen Zinse dividirt. Denn indessen von einem Zinßtragenden Capital in mehrcrn nach einander folgenden Jahren die Zinsen nicht sind bezahlt worden, und die Frage wird so vorgelegt: wie hoch nach Vcrlaufso und jo vieler Zeit die ganze Summe an Capital und Zinsen angcwachscn sey? so treten zwey verschiedene Fälle ein, wovon jeder auf eine eigene Auflösung der Frage leitet. 244 §. An sich wächst jedes Capital, wenn am Ende eines jeden Jahres einjährige Zinsen hinzu kommen, Aus loo werden bey 6 Zinsen in arithmetischer Proportion, bey 5 pC. Zinsen i Jahr 105 m »n in » Jahren HO "5 120 I2Z Ivo -h 5» m 1 Jahr 2 — 3 - 4 - 5 - » Jahren 106 112 n8 124 1 ZO iQ2-h6-r. Wer M-r" E, M »U' B-k Mir ihm! dtz, Mlü chlm N Ascj Ä» in in >n i« Der XIV. Abschnitt. Z07 Ä,j> Hij Äli KK !» kiim, 'uch n-i Ml Mi !I> i ! ss5 Kil Mer aber am Ende eines jeden Jahres die Zinse von seinem Capital richtig erhielte, der könnte die Zinse wieder zu Capital machen, und am Ende des zwey- ten Jahres ausser der Capitalmässtgen Zinse des zweyten Jahres schon Zinsen von den Zinsen des ersten Jahres einnehmen. Wenn dies von Jahr zu Jahr so fortgienge, so würde das Capital in geometrischer Progression wachsen. Es wäre ebenso viel, als wenn der Eigener am Ende eines jeden Jahres sein Capital mit der einjährigen Zinse bezahlt erhielte, und die ganze Summe wieder zu Capital machte. Nun wächst das Capital Ln jedem Jahr in dem Verhältnis;. 100 : io; — i : — i,: 1,25. Wenn überhaupt die Zinse rrpL. beträgt, so ist dies Verhältnis 122 : 122 -s- » — i : Hier genügt es, die Anwendung auf den fünf pL. Zinsenfuß zu machen, und so erhellet, daß für jedes folgende Jahr mit l,o; multipli- cirt werden müsse, um die Stimme des Capitals mit den bis dahin angeschwollenen ZinseS-Zinsen zu erhalten. Will man die hieher gehörigen Rechnungsfragen nach der Regel Detri in Ansatz bringen, so muß man folgende Zahlen im voraus suchen. Aus 122 werden in i Jahr 125 io;* in 2 Jahren-^ 112,25 100 m Z Jahren ^ — 115,7625 ' rv ^ IOZ* rn 4 Jühren-— 121,550625 122? u s in zog Anfangsgründe der Rechenkunst. 105 ^ in 5 Jahren —— 127,6281562; 122 - _ , >05" in » Jahren ——. Das will eben so viel sagen, als wenn man setzte: Es werden 122 in i Jahr io; 122^ in 2 Jahren 125» 122^ in 5 Jahren 125' 122^ in 4 Jahren 12z» 122' in 5 Jahren 125 ° 122" in » Jahren 125 Es sey nun die Frage vorgelegt: Wie hoch ist ein Capital von 1022 Thalern nach 22 Jahren durch seine Zinsen und Zinses-Zinsen zu 5 xL. gerechnet, angewachsen? Der Ansatz wäre 122" —in 22Jahr 125" — 1222Thl. M22J.? und vermittelst der Logarithmen findet man /12; — 2,221189z /l2Z^°— 42,4257860 /1222 — Z, 4 Z, 42 Z 786 o /l22°°— 42, Logar. der gesuchten Zahl 5,4257862 /265z — 5,4257572 Diff. 488 /26;4 — 5,4259229 /26ZZ --- 5 , 42 Z 7 Z ?2 Diff. 16z? Der XIV. Abschnitt. zc>9 i6z? 488 r6g? Z274 - i : viert. Zahl 0,298 16062 i6z? I47ZZ IZ2? 16Z7 also die gesuchte Zahl 265 z,298 Thlr. 24; §. Ein Capital, das man nach Verlauf einiger Monathe oder Jahre allererst heben kann, ist nicht so viel werth, als ein für sich eben so grosses Capital, das man gleich seht baar in Empfang nimmt: denn mit dem letzter» können während der noch übrigen Monate oder Jahre bis zur Verfallzeit des ersten wenigstens die gewöhnlichen Zinsen, vielleicht auch Zinses - Zinsen gewonnen werden. Wer also ein Capital vor-.der Verfallzeit baar in Empfang nimmt, kann sich ohne Schaden gefallen lassen, daß wegen der frühem Zahlung von dem baaren Capital ein Theil gekürzt werde, welchen man den Rabatt, in den Rechten das Interusuriuin nennt. Was nach abgezogenen Rabatt von dem baaren Capital übrig ist, heißt der gegenwärtige Werth des nach Verlauf einiger Zeit allererst fälligen Capitals; und wenn man den gegenwärtigen Werth eines solchen Capitals suchen will, so kommt alles darauf an, ob man voraussetzen darf: der Empfänger könne bis zur Verfallzeit nicht allein Zinsen, sondern auch Zinses-Zinsen mit dem baaren Capital gewinnen? U z oder zio Anfangsgründe der Rechenkunst. oder ob man keine Zinses-Zinsen in Rechnung bringen müssen. Allemahl muß man, um den gegenwärtigen Werth des nach Verlauf einiger Zeit fälligen Capitals zu finden, den gesuchten gegenwärtigen Werth als ein Capital ansehen, das, wenn es sich bis zur Verfallzeit um seine Zinsen (vielleicht auch die Zinses-Zinsen) vergrößerte, die Summe als- denn das zur Versallzeit zahlbare Capital ausmachte: und das ist der Grund der Rabatt- oder Inter- usurien - Rechnung. Man frägt nur umgekehrt: wie groß war das gegebene Capital so und so viele Jahre oder Monarde vor der Ver- snllzcir? Wofern mm einfache Zinsen zu 5 fiL. in Rechnung kommen; so weis man ioz waren vor r Jahr ic-c> no — vor 2 Jahren iOO uz — vor z — ioo loo-stz» — vor 7! -100. Demnach wird die Frage: Was ist der gegenwärtige Werth von izoo Thlr. in z Jahr vor der Verfallzeit? so beantwortet n 5 — vorz Jahr ioo — 1 zoo Thlr. vor z Jahr? I zoooo "5) Fae. izv4Thl. n 5 — vor z Jahr 1 oo 5 ) 5 ) 2Z 20 1 zoo Thlr. vor z Jahr? 20 ZOOOO 2Z) I Fac. z 04^5 Thlr. Sollen aber auch Zinses-Zinsen in Rechnung kommen- so wird angesetzt 105^ UN Ädikl Hs 4n l '»ic Der XlV. Abschnitt. zu >>«- U Äz, e A «Äk! jllM Da, loz^ —vor 8 Jahr loo'— 1520Thlr.vorzJahr? /izoo-j-/ioO^ 2^9,1760918 /105 — 2,021189z /1O5' — 6,0685679 Log. der gesuchten Zahl 8 /n 25284 /129z — z,i 122698 Diff. 2;z6 /1296 — g,i 126050 /1295 — 8,1122698 Diff. Z 852 ;8Z2 : 2zg6 — r : viert. Zah! 8852 28464 0,756 1896 8Z52 16762 i°s 2192 8852 also die gesuchte Zahl 1295,756 Thlr. 246 §. Wenn eine Summe Geldes, oder sonst etwas, dessen Grösse sich durch Zahl und Maaß bestimmen läßt, unter mehr Personen gleich vertheilt werden soll; so wird der Antheil eines jeden gefunden, wenn man die gegebene Summe mit der Anzahl der Personen dividirt. XVenn dagegen die Theile ungleich seyn sollen; so müssen Überbein noch so viel^ Zahlen gegeben seyn, als man Theile finden soll. Und diese Zahlen müssen sich gegen einander: so, wie die gesuchten Theile verhalten. Es sep 8 die gegebene Stimme, welche man in drey U 4 Theile Zi2 Anfangsgründe der Rechenkunst. Theile?, K, verthrilen soll, die sich wie die Zahlen, verhalten. Man fetze 7, -t- ^ ^ ^ /, so ist vermöge der Voraussetzung ? : ? — r : ^ : r' — (^: 1^. . also auch 7, : ? — ^ ^ : (^- : K, (172 §.) und die Verhältnisse ^: (Z, : K sind gleich groß. Demnach ist / : 8 — /> : ? / : 8 — ^ / : 8 — : K. (168 §). In diesen Proportionen sind die drey ersten Glieder gegeben, also kann man in einer jeden das vierte Glied finden. Wenn auch die Summe 8 in vier und mehr dergleichen Theile zu theilen wäre, die sich wie eben'so viele gegebene Zahlen verhalten sollten; so würde allemahl das Verhältnis der Summe § dieser Zahlen zur andern gegebenen eben so einzuthei- lenden Summe 8 dem Verhältniß zweyer zusammengehöriger Theile gleich seyn. Auf diesen Gründen beruhet die Gesellsctmfcs- xechmmrl, die alsdenn diesen Nahmen führt, wenn eine Summe Geldes, oder etwas dergleichen, dessen Werth sich schätzen läßt, unter mehrere Personen ungleich verkheilt werden soll. Bey Compagnie- Handlungen, Concursen, Erbtheilungen, Have- reyen, u. s. f. wird nach derselben Gewinnst und Verlust vertheilt. Eben diese Gesellschaftsrechnung kommt auch unterdem Nahmen der Vermiscbungs- rcchnunrz be» den practischen Schriftstellern vor: und dieser Nähme ist daher entstanden, weil man eben die Regeln auch in solchen Fällen anwendet, wenn MS Mu N-i MM «i!>^ Mk T M ckir -l yi ß, » MI dH! ^«!iü pk» Wl Der XIV. Abschnitt. 31z wenn eine Masse aus Vermischung mehrerer Massen von verschiedener Art entstanden ist, und man will wiederum eine gewisse Menge der vermischten Masse von eben der Art zuwege bringen, so daß die unter einander gemischten Theile sich der Menge, oder dem Gewicht nach gegen einander eben so, wie in jener Masse verhalten. Vier Personen k, L, I), legen zu einer Handlung folgende Summen, 9600 Thlr., 6000 Thlr., 4800 Thlr., g6oo. Thlr., und sie gewinnen zusammen 5000 Thlr.: die Frage ist, wieviel jedem nach Proportion seiner Einlage von dem Gewinnst gebühre? Die jedem gebührenden Theile des GewinnsteS müssen sich, wie die eingelegten Summen verhalten, und weil es nur auf das Verhaltniß dieser- Zahlen ankommt; so kann man sie, wenn sie alle ein gemeines Maaß haben, vor Anwendring der Gesellschaftsregel, damit dividiren, um die Rechnung abznkürzen, da denn die ganze Rechnung so zu stehen kommt. 2?! — 8 — zoojö Thlr.? 2) 2) 2 i 4 Fac. 2200 Thlr. 20 — 5 — 5000 Thlr.? 5 ) 5 ) 4 ) 4 i , Fac. 1250 — 20 — 4 — ;oOc> Thlr.? 4 ) 4 ) 5 ) 5 i Fac. 1000 — 2^ — z — 500-! Thlr.? 2) 2) i 250 Fac. 750 — Summe ZOoo Thlr. U 5 Korm k L v 96^ 60?! 48?!?! 8 5 4 3 20 zi4 Anfangsgründe der Rechenkunst. Kommen Brüche unter den gegebenen Zahlen vor, so kann man sie vorher insgesammt auf ihren kleinsten General-Nenner bringen, und hiernachst alle Zahlen mit diesem General-Nenner multiplici- ren, so kommen lauter ganze Zahlen, die gegen einander in eben dem Verhältniß stehen. 247 §. Der Werth einer jeden Sache, als Kaufmanns- waare betrachtet, ist für jede Menge von eben der Waare bestimmt, wenn der Preis einer solchen Menge von ihr bekannt ist, die man durch Ems an- giebt. Weis man, wieviel ein Pfund davon kostet; so weis man, daß » Pfund mnahl soviel kosten. Ge- kreyde mißt inan mit Scheffeln, flüssige Sachen, als Wein, Bier und dergleichen mehr, mit Kannen, Tonnen, Aamen u. s. w. Der Preis verschiedener Waarcn ist verschieden, wenn einerlen Menge von beyderley Waare mit ungleicher Geldsumme bezahlt werden muß. Man verstehe also durch den Preis einer Waare, die Geldsumme, welche für so viel Waare bezahlt werden muß, als man bey Ausmessung ihrer Menge oder Grösse für Eins annimmt, z. E. für ein Pfund, einen Scheffel, eine Kanne von dieser Waare. Wenn alsdenn die Menge der Waare nach Maaß oder Gewicht ausgcdrückt — X 4 gesetzt wird, und ihr Preis — der Werth der ganzen Menge eben dieser Waare — so ist k — . /?. Wenn z. E. i Maaß Wein 8 gGr. kostet, und mau will den Werth von 40 Maaß eben des Weins wissen, so ist dieser Werth — ?, und L — 8 gGr., so wie lVl — 40 Maaß, und man hat k — Ivl. /s — 40 mahl 8 gGr. Aus kn ü« Ä L !d i§- lri !« rk, 81- i!§ R/ -r ; « !!p . M, «S « Hl >!- v, n » l! iS Der XIV. Abschnitt. ziz Aus dem Werth der ganzen Menge Waare wird olso der Preis gefunden, wenn mau den Werth der ganzen Menge mit der Zahl dividirt, welche diese Menge in Pfunden oder andern Maassen ausdrückt. r Das heißt kürzer, esist/i——. Wenn4oMaaß Wein 40 Mark oder iz^ Thlr. kosten, so ist der i-r^Thlr. Preis von i Maaß Wein — —^-. 40 248 §. Man kann Weine von verschiedener Güte, also auch von verschiedenen Preisen, mit einander vermischen, und solchergestalt einen Wein von mittlerer Güte zuwege bringen. Der Preis von einem Maaß dieses Weins ist nun größer als der Preis von einem Maaß des schlechter», und geringer, als der Preis von einem Maaß des bessern Weins. Der Werth der ganzen Menge des vermischten Weins ist die Summe der Werthe der Menge des bessern und des schlechter» Weins, woraus der vermischte entstanden ist. Sind also die Preise von einem Maaß des schlechtem und des bessern Weins bekannt; so wird der Preis des vermischten nach der Regel des g47 §. leicht gefunden. Wenn Maaß Wein zu dem Preise und bk Maaß Wein zu dem Preise ^ mit einander vermischt werden; so hat man d 4 4- dl Maaß Wein, und ihr Werth ist d 4 . p-stdl.-?. Also ist der Preis einer Kanne dieses Mittelweins dl. /.>4- dl.^ ' 249 §- Hatte man dl 4- dl Maaß Mittelwein ausdl Maaß bessern und dl Maaß schlechter^ Weins gemacht. zi6 Anfangsgründe der Rechenkunst. macht, rind man wollte ein andermahl mehr oder weniger Mittelwein zu eben dem Preise machen; so könnte man leicht nach der Vermischllngsrcgel ( 946 §.) finden, wieviel Maaß von jeder Art in die Vermischung gebracht werden müste, um den verlangten Mittelwein zu erhalten: denn das Verhält- niß der Theile b-1: bl wäre gegeben. Wenn dagegen das Verhältnis; der Theile noch nicht bekannt, statt dessen aber mit den Preisen des bessern und schlechtem Weins, auch der Mittelpreis gegeben wäre: so müste man vorher suchen, wieviel Maaß des bessern mit so und soviel Maaß des schlechtem Weins vermischt werden müssen, um einen Wein zu dem verlangten Mittelpreise zuwege zu bringen. Diese Schlüsse finden in vielen andern Fällen ihre Anwendung, weil man auch Metalle und sonst mancherlei) andre Massen von verschiedenem Gehalt unter einander mischen kann, um eine Masse von einem verlangten Mittelgehalt zuwege zu bringen. Die Regel, nach welcher man alsdenn rechnen muß, um das Verhältniß der Menge der Massen des bessern und schlechtem Gehalts zu finden, welche nach der Vermischung einer Masse des verlangten Mittelge- haltS zuwege bringen, heißt die Alligacionsregel. Wenn die Buchstaben bvl, bl, dieselbe Bedeutung, wie im vor. H. behalten, und der gegebe- ^ 4 .v-s-bl.n ne Mittelpreis — m gesetzt wird; so ist ——-- bl 4- bl — M, also bl. /? 4 - bl. 2 — bl . M ch bl. M, lind daraus folgt bl/, — bl',, — bl. W —bl. L oder bL(/i — m) — bl(m — 2) und Ktlch ,,W «D zM' hcki W Der XIV. Abschnitt. Zi? und man erhalt kl: kl — »r — § : ^ — m. Das giebt folgende Regeln: 1. ) Man schreibe den schlechtem Preis unter dem bessern, zur Seite aber den Mittlern Preis zwischen beyden zur Linken. Rechter Hand ziehe man von oben herunter einen Strich, um die gesuchten Zahlen auf die andre Seite desselben zu bringen. 2. ) Den Ueberschuß des mittler,, Preises über den schlechtem sehe man oben bey den, bessern Preis: den Ueberschuß des bessern Preises über den Mittlern aber setze man unten bey dem schlechtem Preis. z.) Diese beyden rechter Hand des Strichs stehenden Zahlen zeigen nun, wieviel man von jeder der beyden Sorten nehmen müsse, die ihnen linker Hand des Strichs gegen über stehen. Soll man aus Weinen das Maaß zu , 8 gGr. und zu 5 gGr. einen Mittelwein das Maaß zu ,4 gGr. machen, so stehet die Rechnung wie folget. 14 gGr.) i8 gGr. 5 gGr. auf 9 Maaß des bessern nimmt man 4 Maaß des schlechtem. so hat man i z Maaß Mittelwein. Will man nun 40 Maaß Mittelwein haben, so giebt die Vermischungöregel folgendes. , z Maaß M. W.—9 Maaß gut. W. — 40 Maaß M. W. ? 40 ^^Facit 27^ Maaß. iZ) izMaaß M.W.—4Maaß schl. W.—40 Maaß M.W.? 40 i6c>i IZ) Facit 12^ Maaß. Summe 40 Maaß Mittel-Wein. Wer zi8 Anfangsgründe der Rechenkunst. Wer es weiß, daß rzlöthiges, 14- iz- ralöthk- ges Silber, feines mit schlechterm Metall so vermischtes Silber ist, daß jede Mark, oder jedes halbe -Pfund, des vermischten Silbers l 5, 14, iz, 12 Loth sein Silber hält, der löset leicht dergleichen Rech- nungsfragen auf, wovon die folgende eineProbe giebt. Aus izlöthigen und 8^löthigem Silber soll man i4löthigeS machen: wieviel muß man von jeder Art in den Tiegel sehen? Man stehet wohl, daß 1z Lt. und 84 st. der Gehalt des bessern und schlechtem Silbers, der verlangte Mittelgehalt'aber 14 st. sey: also seht man an: ^ auf 14 Lt. ) iz st.'54 84 st> -M DZ! Ä« n Theile rzlöthiges kommen 2 Theile 84 löthiges Silber. ' 252 §. Alle Rechnungsfragen, wobey es darauf ankommt, daß man eine genannte Zahl auf eenen andern Nahmen bringen soll , können ebenfalls nach der Regel Detri in Änsah gebracht werden, obgleich die im rzg. rzz und > z6 §. betrachteten Fälle, als die leichtesten und bekanntesten Reductions-Rechnungsfragen, auch ohne ihren Zusammenhang mit der Regel Detri zu zeigen, ihre Auflösung finden konnten. Die Frage: z 27 gGr. wieviel stnds Thaler? giebt folgenden Ansatz: 24 gGr. — i Thlr, - Z27 gGr.? Denn r Thlr., als der Werth von 24 gGr. muß in dem gesuchten Werth von Z27 gGr. sovielmahl enthalten seyn, als 24 gGr. in Z27 gGr. enthalten sind. Die Frage: 4 Thlr. wieviel sind es gGr.? giebt also den Ansatz i Thlr. 34.gGr. — 4 Thlr.? AN «ül «Dl «Ai Ä qtdkk rjidi «ihti, Man Der XIV. Abschnitt. 519 Man sucht nemlich den Werth von ^ Thlr. in gGr. auSgedrückt, und kennt den Werth eines Thalers in Groschen. Alle Reductionsrechnungöfragen können demnach so angesehen werden, als diejenigen, die zur Kauf- und Waaren-Rechnung gehören, weil man den Werth einer genannten Zahl unter einem andern Nahmen wissen will. Die zweyte Zahl im Ansatz ist der Werth der ersten, und die gesuchte vierte Zahl der Werth der dritten im Ansatz, oder der Fragzahl. Die beyden ersten Zahlen im Ansatz müssen, so wie die Fragzahl gegeben seyn, das heißt, man muß den Werth irgend einer andern Zahl, die mit der Zragzahl einerlei) Nahmen hat, unter dem Nahmen der gesuchten Zahl wissen: und es genügt allemahl, wenn man weis, wie viele Stücke unter dem einen Nahmen Eins unter dem andern Nahmen auöma- chen. Man könnte die Zahl, welche das angiebt, die Reducrionszahl nennen, und diese Zahl kann eine ganze oder gebrochene Zahl seyn. Weis man, daß eine Hamburger Elle 4 Vrabander Ellen aus- mache, so kann man leicht Hamburger Ellen auf Brabander Ellen bringen und umgekehrt: denn man weis zugleich, daß eine Brabander Elle § Hamburger Ellen ausmache. Wenn diese Reductionszahl ein Bruch ist, so zeigt derselbe zugleich an, wie viele Stücke man unter jedem Nahmen nehmen muß, um an Werth gleichviel zu erhalten. Weis man i Hamb. Elle — A Brab. Ell. so weis man auch, es sey 6 Hamb. Ell. — 5 Brab. Ell. Es muß nemlich auf beyden Seiten mit dem Nenner Z2O Anfangsgründe der Rechenkunst. der ReductionSzahl multiplicirt werden, so erhalt , man den Reducrionsjatz, und derselbe dient vor- nemlich, alle Rechnungöfragen dieser Art in einen bequemen Ansatz nach der Regel Detri zu bringen, so daß in den beyden ersten Stellen des Ansatzes kein Bruch zu stehen kommt. , 251 §. Der Reductionssatz giebt das Verhältniß zweyer an sich gleichartiger Grössen an, die nur bey unglei- cher Größe verschiedene Rahmen haben. Sind 6 Wl Hamb. Ell. — z Brab. Ellen, so ist das Verhält- ^ niß der Hainb. Elle : Brab. Elle —5:6; und ^ W umgekehrt, wenn inan sonst wüste, es verhalte sich die Hamb. Elle : Brab. Elle — z : 6; ldmzm so gäbe das den Reductionssatz 5 Brab. Ellen — 6 bm, Hamb. Ellen. (, 76 tz.) Zn der Mathematik und ^»i' Naturlehre ist es vorzüglich interessant, die Verhält- nisse der mancherley in verschiedenen Ländern übli- Eimüc chen Längenmaaße und Gewichte unter einander zu kennen; so wie es für die Kaufmännische Rechen- M kunst interessant ist, die Verhältnisse der mancherley chn Münzen gegen einander zu kennen, die in verschie- denen Ländern lind Handelsplätzen üblich sind. Die Dm, Gründe der Münzvergleichungsrechnungen sind in meines Bruders oben im 242 §. schon angeführten H Rechenkunst, im ^ und Abschnitt der ßiU // Abtheilunrz so gut aus einander gesetzt, daß der ^ Vortrag jeden befriedigen wird, der Vergnügen dar- an findet, oder sonst genöthiget ist, sich in Rechnungen Hx, dieser Art zu über«. Hier werde ich noch vornemlich zunr Gebrauch in der Mathematik und Naturlehre die Gründe der Maaß- und GewichtsvergleichungS- Rechnung Vorträgen. Der ^ j dch O N «Si«' ^r» 'dir >P« MH -s-' Der XV. Abschnitt. Anwendung der Regel Dem auf die Maaß- mrd Gewichts-Vergleichung. 252 §. § 1 ^ eil niemand die Reductionözahl, oder denRe- ductionssatz bey Vergleichung zweyer Maafse oder Gewichte wissen kann, der nicht entweder die Maasse selbst zur Hand hak, und selbst die Vergleichung mit ihnen anstellet, oder doch sonst die Resultate kennt, wenn andre solche Vergleichungen angestellet haben; so hat man Vergleichungstafeln nöthig, welche die Vergleichungözahlen ein für allemahl angeben. Einer der vornehmsten Schriftsteller, bey welchem man die nöthigen hieher gehörigen Nachrichten recht vollständig findet, ist Jürgen Eiert Rruse, im ersten Theil seines Allgemeinen und besonders Hamburgiscben Loiiroristen. Hamburg 1766. Dem ersten Theil dieses Buchs ist ein Verzeichniß derjenigen Bücher beygefügt, welche der Verfasser bey Ausarbeitung seines Werks zu Rath gezogen hat: auch hat derselbe die nöthigen Nachrichten, welche jene Schriftsteller nicht enthalten, durch Briefwechsel und sonst zu erhalten gesucht, und darauf viele Jahre gesammelt. Aus der Vergleichungstafel der Fußmaasse, welche dem ersten Theil dieses Werks unter der Vllten Nummer beygefügt ist, setze ich hier folgenden Auszug her. Barst. Marhem. I. Th. T Achsel 322 Anfangsgründe der Rechenkunst. Tafel zur Vergleichung der Fuß-Maasse. Aachen 1285 Hannover 129. Amsterdamm I2Z5 Holstein IZ 2 Z Anspach I Z 22 Königsberg IZ64 Antwerpen 1266 Leiden IZW Augsburg I 2824 L* Leipzig Augsb.Landsch. 1509* London iz5i,6 Basel 1Z22 gemeine Fuß I Z 5 2* Bayern » * » » Lübeck 1292 Berlin 1 Z 7 Z Mecklenburg 1 292 Bern IZ 22 Nürnberg iZ46z* Bologna 1682^* Paris königl.Fuß 1440 Braunschweig 1265 6 machen i Toise Bremen 1282 Pommern 1295 Breslau 1260 Prag »ZZ8 Brüssel 1292 Rheinländischer 1591,3^ Calenberg 1296 Riga 1215 CarlSruhe 1241 Römischer Palme 992* Cleve 1ZI2 alte Röm Fuß 1922* Cötn 1220 Rostock 1282 Dannemark Igyl/Z Schweden 1 z 16^* Danzig 1271,5'- Schweiz IZZ2 Dresden 1255 Spanien 125z Emden IZ 1 Z Strasburg 1282,75 Erfurt 1251 Stettin 125z Florenz, Bauelle 24^2* Turin 14Z2 Frankfurth am Ulm 1281 Mayn 1270 Utrecht 1210 Giessen 1Z22 Venedig 1542* Gotha 1275 Wien 1422 Groningen 1295 Wircenberg Zürch 1255 Halle IZ 22 IZZ 2 Hamburg 127S S50Z Der XV. Abschnitt. zrz 2ZZ §. Bey dieser Vergleichungstafel wird die Lange des Pariser oder königl. Französischen Fußmaastes als bekannt zum Grunde gesetzt; und bey diesem Fuß- maaß ist die Eintheilung in 12 Zoll, des Zolles in l2 Linien, wie beym Rheinlandischen, also des ganzen Fusses in 144 Linien gewöhnlich: nur wird die französische Linie nicht, wie die Rheinlandische, ; abermahl in 12, sondern nlir in 10 kleinere gleiche ' Theile getheilt, die gemeiniglich princte heissen. Diesemnach machen 1440 Princte die Lange des Pariser Fusses ans, und in solchen Puncten des Pariser Fusseö ist die Lange eines jeden andern in der Tabelle angeführten Fusses angegeben. Wenn also bey dem Rheinlandischen Fuß die Zahl i Z9i,z steht, so will das sagen, der Rheinlandische Friß sey rzoi,z Puncte des französischen Fusses lang. Wie nun diesen Gründen gemäß die in der Tabelle aufgeführten Zahlen sich gegen einander, wie die daneben stehenden Fußmaasse verhalten; so erhält man für zwey dergleichen Fußmaasse den Reductionssatz, wenn ^ man in der Proportion, welche die Tabelle zwischen zweyen Fußmassen und den daneben stehenden Zahlen angiebt, die beyden Mittlern und äußern Glieder mit einander multiplicirt. Eö ist nemlich vermöge der Tabelle Hamb. Fuß: Lübeck.Fuß — 127^ : 129^, also 127 Lübeck. Friß — 129 Hamb. Fuß: (176 §.) und wenn man die ReduetionSzahl habe>r will, i Lübeck. Fuß — 442 Hamb. Fuß »der r Hamb. Fuß — Lübeck. Fuß UebrigcnS ist nicht undienlich, hier zu bemerken, daß alle kleinere Längenmaasse der alten Griechen und T 2 Römer, Z24 Anfangsgründe der Rechenkunst. Römer, eben so wie das Fußmaaß, von den Abmessungen der Glieder des menschlichen Körpers hergenommen sind. Eine Mannslange, ein Klafter (ol-A^ia) fasset 6 Fuß, oder 4 Ellenbogen (cabitu8), so wie i Ellenbogen i ^ Fuß. Eine Spanne, oder Handlange (lpubama auch P-1IMU8 Major) fasset ,2 Fingerbreiten, so wie-ein Fuß 12 Daumenbreiten oder Zolle: wenn nun 4 Fingerbreiten soviel als z Daumenbreiten sind, so fasset ein Fuß 16 Finge» breiten, oder Spannen. Ferner eine Handbreite (paimu8 minor) fasset 4 Fingerbreiten, also i Fuß 4 Handbreiten, und eine Spanne z Handbreiten. 254 §. Zu den Schriften, aus welchen die Zahlen in der Vergleichungötafel zum Theil genommen sind, gehört unter andern /o. La//,. Lr/ttssr/r»,rH' poncic- ribv8 et meuluri8 veterum ILomanorunr, 6raeco- ruin, blebraeorum, nec non eie vaiore pecunias veteri8, eiilgnilitio. ^rZentorgti, (die zweyteAusgabe ist von I7Z7«) 8eöl. III. eie menlnri8 intervaliorum, xag. 91 - 12 l. Weil der Verfasser dieser Schrift die Vergleichungen theils selbst angestellet, theils sonst seine Nachrichten aus zuverlässigen jedesmahl von ihm angezeigten Quellen geschöpft hat; so habe ich die daraus genommenen Zahlen in der vorhin mitgetheilten Tafel mit einem Sternchen bezeichnet. Im ersten Bande der Abhandlungen der königl. Schwedischen Academie der Wissenschaften befindet sich ein Aufsatz vom Herrn Celsius: Vergleichung zwischen dem schwedischen Fuß und den davon unterschiedenen ausländischen Maassen, woraus ich die Resultate um deswillen noch hersetze, H»z! Ml ön« Äll 7' §1« b« !Nch iAsü l/c- «- Ä - Ivoo 128 ; 1962 1842 8z6 IO 26 ,') 1094 ,; 1075 1841 Der XV. Abschnitt. 325 weil H. Celsius selbst die Vergleichungen angestellet hak. Die Länge der ausländischen Fußmaaße ist in Tausendtheilen des schwedischen Fußes angezeigk, der eine halbe schwedische Elle beträgt. Schwedischer Fuß Fußmaaß in Bononien Die Elle in Florenz von Tuch von Erdreich Eine Spanne in Genua Ein Fuß in London — — in Paris Rheinläudischer Fuß Ein geometrischer Fuß in Rimini In Rom auf dem Campidolio (vordem Capitolio) ist in der Malier ein weis- ser Marmelstein eingefasset, worauf mit einigen groben Strichen folgende Maa>se eingehauen stehen: Römischer Fuß Griechischer Fuß Baumeister-Ruthe -r^ einer solchen Ruthe oder Spanne Eine Kaufmanns-Ruthe Eine Kaufmannö-Elle In Venedig hat niemand dem Herrn Celsius ein öffentliches Original des Fuß- maasseö zeigen können: von einigen Stücken ein Mittel genommen fand er es Die russische Elle oder Arschine hält in Tausendtheilen der schwedischen Elle 255 §- Bey den Gewichtsvergleichungen ist zu merken, daß das Handlungsgewichr, welches bey solchen T z Maaren 99? IOZ4 75Z4 75 ZL- 8Z95 2856 1172 i'78 ZL6 Anfangsgründe der Rechenkunst. Waaren, die eben nicht in hohem Preise stehen, ger braucht wird, an den meisten Orten vom Gold- Silber-- und Edelsteinengcwicht auch vom Apo- tbckcrgewlchr unterschieden sey. Ein Pfund Handlungs-Gewicht wird in z2Loth, ein Loth in 4 Quentchen, ein Quentchen in 4 Pfenniggewichte geteilt. Fast in ganz Deutschland bedient man sich beyin Golde und Silber des LöUnrsthcn Markgewichrs, wovon eine Mark ^ Pfund Cöllnisch wiegt. Beym Silber wird diese Mark in 16 Loth oder 8 Unzen, ein Loth in 4 Quentchen, i Quentchen in 4 Pfenniggc- wichte, also eine Mark in 2;6 Pfenniggewichte ge- theilt. Ein solches Pfenniggewicht theilt man noch in 15 Gran, mithin die Unze in 480 Gran, die Mark in Z840, und das Pfund Cöllnisch in 7680 Gran. Beym Münzwesen aber wird eben dies Pfenniggewicht in 256 kleinere gleiche Theile geteilt, die Richrpfcnningschetle heissen: alch wiegt eine Mark Cöllnisch 65576 Richtpfennings- theile, eine Unze Cöllnisch wiegt 8192, ein Loth 4096, und ein Quentchen 1024, 1 Gran aber 17 ^ solcher Richtpfenningstheile. Auch wird der Pfenning in 2 Heller getheilt, da dann i Heller 128 RichtpfenningStheile wiegt. Beyin Münzwesen wird ein Loth auch in 18 Gran getheilt, und i Grän wiegt 227^ Richtpfenningstheile. Beym Golde theilt man die Mark in 24 Karat, und i Karat in 12 Gran, also wiegt i Loth Karat, und die Unze 7 Karat, oder 76 Gran; mithin die ganze Mark 288 Gran, und ein Karat wiegt 2770? Richtpfenningstheile. Ueberdem sind beiden goldenen Münzen die sogenannten Ducaten-Aefi- Mk 2" AI W Ki8 ml» Mli siiil I-ii N: Der XV. Abschnitt. st » M ;i- Ä ;i- >!y O ie irZ B Lch O Z27 chm gewöhnlich, und i Pfenning wiegt 17 Aeßchen, als» i O.uentchen 68 ?leßchen, i Loch 272 Aeßchen, eine Unze z 4 4 Aeßchen, i Mark 4 z 5 2 Aeßchen. In Engelland, Frankreich, Holland, und meh^ rern andern Orten, ist beym Golde, Silber und Edelsteinen das fo genannte Troygewicht üblich, welches doch in diesen dreyen Landern nicht von gleicher Schwere ist. Ein Pfund holländisch' Troygewicht hat eigentlich 12 Unzen, ob man gleich in Holland wohl 16 Unzen darauf rechnet: hievon gehen 8 Unzen auf i Mark Troy, und 1 Pfund wiegt 14 Mark. Weiter wird die Unze in 20 Engels, und ein Engel in z z Aß, oder statt dessen in 24 Grän getheilt, weswegen g Grane so viel als 4 Aß aus- machen, und r Mark wiegt 5120 Aß oder Z840 Grän, eine Unze 640 Aß oder 480 Troyfche Kräne. Die Cvllnische Unze wiegt 19 solcher Engels, wovon 20 eine Unze holländisch Troy wägen, (inan sehe Eiscnscdmid a. a. O. r o.) also ist 1 Cölln. Unze: i Unz. holl. Troy — 19:20. und 1 9UNZ. holl. Troy sind — 20 Cölln. Unzen, mithin auch 19 Mk. holl. Troy-- 22 Mk. Cölln. Diesemnach wiegt die Cöllnische Unze 4A. 640 — 19 . Z2 — 6o8 Aß holl. Troy, und i Cöllni- sches Pfenning-Gewicht von i; Gran Cöllnisch, oder 17 Ducatcn-Aeßchen wiegt ^ — i9Aß holl. Troy. 256 §. Ein Pfund Englisch Troygewicht wird eingetheilt in 12 Unzen, oder Mark, die Unze in 20 Pennys, i Penny in 24 Grane, also eine Mk. von 8 Unzen in g84v Gran, und i Unze wiegt 480 Gran. Ausser diesem Troygewicht wird in Engelland ein «ndres Gewicht bey der übrigen Handlung gebraucht, T 4 welches Z28 Anfangsgründe der Rechenkunst. welches ^voirciu pm'z heißt, und leichter alöTroy- gewicht ist. Noch wird daselbst das so genannte Rö- mgSIewichr bey einigen Waaren gebraucht, und i ^ Ps. ^voir ch> z,o>8 sind I Psund Königsgewicht. Auf ein Apotheker Pfund werden, wie auf i Pfund Troygewicht, 12 Unzen gerechnet, die Unze wird in 8 Drachmen oder Quentchen, ein Drachme in z Scrupel, > Scrupel in 20 Gran, also die Unze in 24 Scrupel oder 480 Gran getheilt. In Frankreich ist beym Golde und Silber ebenfalls ein so genanntes Markgewicht von 8 Unzen üblich: die Unze davon wird bis auf Scrupel wie das Apothekergewichr eingetheilt, nemlich in 8 Oros oder Oracbmez, und i 6ros in z Denier oder 8cru- ples. Dagegen wird ein Denier oder Fernziel nicht in 2o Gran, wie beym Apothekergcwicht, sondern in 24 6rains getheilt, also wiegt die Pariser Unze 576 6rain8, und die Pariser Mark wiegt 4608 6rains. 257 §> Eistnschnüdr a. a. O. 1 o 5 " !d,ch Kzki chW illn! iür- Ä ikÄ ' '< it, t 1! » Der XV. Abschnitt. Z29 Paris. 6r-un8 i Unze englisch Troy Gewicht wiegt 58 Z> i Unze englisch ^voirciu poiz 5 Z 4 i Unze holländisch Troy 579 ^- Ä i Unze spanisch Silber-Gewicht 540 »- Ä i Unze in Venedig ;62-z 1 Unze in Neapel 50? 1 !» 1 Unze in Florenz und Pisa 5 Z 7 i Unze in Siena 526 i Unze in Genua 494 k- 1 Unze in Spanien 54 oL 1 Unze in Lion 59 M i deutsche Apotheker-Unze 562 M 1 Unze Nürnberger Silber-Gewicht 599 ? M- l Unze Ausburger Silber-Gewicht 5 ) 4 ? Ät 1 Unze Cöllnisch ^ Die Vergleichung der vier zuleht aufgeführten V Gewichte mit der Pariser Unze von 576 Zrams hat ^ Eistnschmidc selbst angestellet. Seht man nach dieser Vergleichung zum Grunde, es sey « K ^ O T>! , K B' i Apoth. Unze: 1 Cölln. Unze — 562:550z- — 2248: 220l so sind 2201 Apoth. Unze — 2248 Cölln. Unz. und die Regel Detri giebt 2248 Cölln. Unz.—2 20 tAp. Unz. — i Cölln. Unz.? ?48c> 176080 8804 1056480 Facit 470 Gran Apoth. 2248) Gewicht sehr nahe. Tz i Loch zzo Anfangsgründe ^der Rechenkunst. i Loth Cöllnisch wiegt also 2 z 5 Gran Apoth. Ge« wicht, und weil die Apoth. Unze 480 Gran wiegt; so ist Die Apoth. Unze : Cölln. Unze — 48!-!: 47? und 47 Apoth. Unzen sind 48 Cölln. Unzen. 258 §. Die IV. und V Tafel in Krusens Contoristen vergleicht das Gold - und Silbergewicht der berühmtesten Handelsplätze, so wie das übrige Handelsgewicht mit dem holländischen Troygewicht so, daß je- desmahl ^angezeigt wird, wie viele Troysche Aß holl. Gewicht eben so schwer sind als ein Pfund, eine Mk., oder eine Unze eines andern Gewichts. Ich setze folgende daher genommene Vergleichungen hieher, die man mit den Eisenschmidtschen Zusammenhalten und prüfen kann, wieweit sie übereinstimmen. Apoth. Gewicht in holl. Asten. i Pfund deutsches wiegt 74 Z 2 -englisches — 7766 _französisches — 7641 -hannöverscheS 7595 -holländisches — 7680 —— schwedisches — 7416 Ferner in wiegt holländ. Aß. Holland 1 Mark ZI2O 1 Unze 64O Augsburg i Mark 4912 Basel — 4864 Berlin — 4875 Braunschweig — — 4858 Cölln - 4L64 in In «i ÄP iHii h'lL 0«I Die XV. Abschnitt. zzi «!. m wiegt holl. Aß v> Dänemark i Mark 4888 Danzig - - 3974 England r Ps.Troy 7766 i UnzeTroy 647z' Florenz, Pisa u. Livorno i Pfund 7060 i Unze 5884 m Frankreich i Mark 5094 i Unze 6 z 64 Genf i Mark 5094 §/k- Genua i Pfund 6612 i Unze 55 * Lissabon i Mark 4776 stz i Unze 597 Magdeburg i Mark 4874 /M Neapolis i Pfund 6677 i Unze 5 564 Nürnberg iMark 4972 Polen 4198 Regenöburg , - zm Riga ——. 4 Z?r 4 ' Rom i Pfund 7090 -5 i Unze 5904 - Rußland i Pfund 8512 S Solotnik 88§ h- Schweden i Mark 4 Z 84 s Siena i Pfund 6982 ° Spanien i Unze 58^4 i i Mark Silb. 4796 r Unze 5994 Strasburg i Mark 4906 i Unze 6 i ?4 Turin ; Mark 5 120 Venedig zzr Anfangsgründe der Rechenkunst. ln Venedig wiege i Pfund i Mark r Unze i Mark i Mark holl. M 7456 4970 621^ Z8Z7 4876 Frankfurth am Mayn, Ham. Leipzig, Lübeck, haben Cöllni- Wien Zürch Bremen, Erfurt, bürg, Hannover, sches Silbergewicht. Vom Herrn Brander in Augsburg ist mir ein halber Bogen mitgetheilt worden, worauf eine in Kupfer gestochene Tabelle befindlich ist, unter dem Titel: Srlbergewichts-Verhältnisse, wie solche aus genauester Abwaag und Collarioni- rung derselben mir den im Augsburgischcn Bau - Amt befindlichen cxacc congruirendcn Silbergewichrs-Einsätzen cle amüs 1515 und 1650 befunden lind berechnet worden durch G. F. Brairdcr im Jahr 175z, woraus ich folgende Bestimmungen mittheile, i Mark Troy enthalt 162 Engels 1 Mark Cöllnisch enthalt i z 2 Eiigels 6 Mark Cöllnisch thrm z Mark Wiennisch i Mark Wiennifch halt i M. z Lt. 0 Qu. 0^4 Pf. i Mark Augsburg, halt i M. 0 Lt. o Qu. 2^ Pf. i Mark Cöllnisch halt o M. 15 Lt. i Mark Nürnberg, hält i M. 0 Lt. Ai» L8° Mi» W m« 1 Augsblirg. Cöllnisch. 2 Qu. 2^ Pf. Nürnbergisck. ^ Qu. Pf. Cöllnisch. i Mark Paristsch hält i M. 0 Lt. 2 Qu. i ^ Pf. Augsburg. 2 Z 9 §. Alb kiiil '«ik Der XV. Abschnitt. zzz 259 §. Diamanten und andre Edelsteine werden in so genannten Ixarareu gewogen, und ein Karat wird in 4 Gran getheilt. Nach einer Stelle in Arnsens Comoriften unter dem 2 lrtikel: Hamburcz, , 65 S. ist das Perlen.- und Diamanten-Gewicht an allen Orten in Europa gleich, und nach der Äru fischen Vergleichungstafel wagen 95 Mark holl. Troy soviel als 119770 Karate Diamantengewicht: also sind 19 Mark Troy — 22754 Karate — 20 Mark Cöllnisch; oder 160 Unzen Cöllnisch — 22754 Karate, und 80 Unzen Cöllnisch — 11977 Karate, mithin 1 Unze Cöllnisch — 142,212 5 Karate. Vermöge einer Probe, die Eisenschmidr selbst angestellet hat, und wovon er a. a. O. xaZ. 18. Nachricht giebt, wäre die Cöllnische Unze 1424 solcher Karate schwer, mithin würde die Unze holl.Troy 4 K. >42^ oder 14944 Karat wägen. Nach einer andern Probe haben 298z Karat ein Pariser Pfund von 16 Unzen gewogen, also die Pariser Unze 148^4 Karat. Setzt man nun mit Elsenschmidt 1 Unz. holl. Tr. 1 Unz. fr. Tr. — 579---: 576 — 2896 : 288» — 181 : i8c>, mithin 180 Unz. holl. — 181 Unz. franz., so findet man die Unz. holl. Tr. ^ 444 . ' 4844 - — — 149,765 Karat. Nach beyden Proben wiegt also die Unze holl. Troy nicht völlig 150 Karat Diamantengewicht: auch selbst die vorhin aus der Krusischen Tafel angeführten Zahlen 19 Mark oder 152 Unzen holl. Troy — 22754 Karat geben, 1 Unze Troy ^ 14944 Karat. Indeß wird doch unter dem Artikel: Amsterdam, 42 S. gemeldet. zz4 Anfangsgründe der Rechenkunst. meldet, daß bey dem Juwelen- und Perlengewicht das Pfund von 2 Mark Troy zu 2400 Karate, und die Mark zu 1200 Karate gerechnet werde: als» wäre doch 1 Unze r 50 Karat schwer. Ferner wird unter dem Artikel: London, 2Zi'S. Die Unze Englisch Troy zu izo Karat in Perlen- und Edelstein-Gewicht angegeben; und unter dem Artikel: Frankreich, i z2S. heißt es, Edelsteine werden bey Onces (französisch Troy oder Mark-Gewicht) von 144 Oarars oder 576 6rain8 gewogen, und 1 Larat: hat 4 Oraius. Diesemnach wäre das Edelsteingewicht nicht an allen Orten gleich. 260 §. ^ Her-r von Clausberg theilt am Ende des dritten Theils seiner demonstrativischcn Rechenkunst HO2. HOZ S. eine Vergleichung der Europäischen Handels-Gewichte mit, die man um deswillen für zuverlässig halten muß, weil er die Untersuchung mit den Gewichten in natura selbst angestellet hat. E. E. Rath der Stadt Leipzig hatte dein Cominercio zum Besten die Gewichte der vornehmsten Europäischen Handelsplätze mit nicht geringer Mühe und Aufwand angeschaft, und Herr von Ciausberg erhielt die Erlaubniß, eine Untersuchung solcher Gewichte anzustellen, um sie zum Nutzen des Publici bekannt zu machen. Er verglich alle übrige mit dem Leipziger Pfunde von g2 Loth, das Loth zu 16 Pfenniggewich- re, und i Pfenniggewicht zu 1; Gran, also das Pfund zu 7680 Gran gerechnet. Nach Krusens Eontoristen wiegt 1 Pfund Cöllnisch Handelsgewicht 9728 Troysche Aß holl., also 4 Pf. Cöllnisch Han- drlsgcwicht 4L64 Aß. Weil nun i Mark Cöllnisch Silber- ülvse b: h«!' > Der XV. Abschnitt. zzz >chl Silbergewicht eben so viele Aß holl. Troy wiegt; so Ä ist das Cöllnische Handelsgewicht mit dem Cöllni- ä! schm Silbergewicht einerlei). Herr von Claus- hcrcz giebt das Cöllnische Pfand eben so schwer als Lj! das Leipziger Pfund an, nach H. Anise aber wiegt i Leipziger Pfund Handelsgewicht 9716 Aß holl, kl:' Tr., also wäre es 12 Aß leichter als das Cöllnische Pfund, welches 9728 Aß wiegt. Im ersten Theit ckt) des Contoristen auf der 228 S. rechtfertiget Herr «t Anise seine Voraussetzung aus folgenden Gründen. ^ Das Braunschweiger Pfund soll dein Leipziger Pfunde gleich seyn, und jenes findet Herr Anise 9716 Aß schwer. ^ Das Amsterdammer Pfund hat 8125 Gran r . gewogen, und Herr Anise findet eö 10279 Aß ^ schwer. (in der Tabelle 416 S. stehen 12282 Aß). L Setzt man nun an M 8125 Gran — 12279 Aß -- 7682 Gran E so ist das Facit 9 716 Aß. ^ Das Nürnberger Pfund hat gewogen 8z8; I Gran, und wird angegeben zu 12608 Aß; thut jB' 7682 Gran —9716 Aß. Das Danziger Pfund hat gewogen 716z A>- Gran, ( 726z ist beym Kruse ein Druckfehler) und wird angegeben zu 9262 Aß; thut 7682 Gran Hi --9716 Aß. F Folgende Vergleichungstafel giebt die darin auf- geführten Gewichte nach von Clausberg in Granen iLs des Leipziger Pfundes, und nach Kruse in Assen der B holl. TrongewichtS an. ?z6 Anfangsgründe der Rechenkunst. 261 §. Tafel zur Vergleichung der Handelsgewichte. I Pf. in wiegt in Amsterdam Antwerpen Arcvangel Aachen Augsburger groß Gewicht klein Gewicht Bologna Botzen Brüssel Brcßlau Braunschweig Berlin Bremen Bautzen Bourdeaux Constantinopel Cracau Cadix Cölln am Rhein Copenhagen Danzig Florenz ^ Frankfurth am Mayn Frankfurth an der Oder Genua Genf Hamburg Königsberg alt Gewicht neu Gewicht London Lissabon Livorno Granen 8125 7710 6705 7710 8088 7776 5958 8241 7710 6657 7682 7697 in Ass. 8IO0 7IZ0 8 o 85 20865 6660 756 o 7680 7716 7163 558i 768 Z 5208 9075 7980 6255 7695 74Z4 7552 5605 10280 9790 8512 9754 10220 9856 75Z7 10426 9790 8454 9716 9750 12Z82 9020 10228 26596 8426 9592 9728 10588 9062 727Z 9720 9750 /"7i4oschw.Gew. ^6720 lcichtGew. 1462 groß Gew. ^ 9552 klein Gew. 10080 79 iZ 9750 . / 9459 au poir ( 14158 Königsg. 9552 7151 iPf. lilüÄ! ?»z W 5 S bä kch! Ällk Der XV. Abschnitt. M' i-f-d A >ßj Lucea Lion Lübeck Leipzig Lüneburg Lindau Malaga Marieille München Memmingen Magdeburg Neapolis Nürnberg , Paris Petersburg Prag Rom Riga Rcgensburg St. Gallen gr. Gewicht klein Gewicht Strasburg Schaffhausen Salzburg Ulm Venedig groß Gewicht klein Gewicht Verona groß Gewicht klein Gewicht Wien Warschau klein Gewicht Zürch Zittau 5488 6885 7950 7630 8000 7555 7560 630z 9225 8422 7695 698 Z 8385 8265 672z 8450 5581 6878 9225 9615 7650 7755 7562 9210 7710 7845 4959 8.82 5448 9240 6215 869z 7695 7746 8842 IOOZ9 9716 12127 9558 9592 8359 11671 10655 9752 6677 10623 ioi88 8512 10692 7545 8721 11671 ^ 12164 9678 /ioi88schw.Gew. V, 98ii leichtGew 9564 11652 9754 9955 6322 I2Z52 6924 II692 7863 /10972 schw.Gew. V. 975ZlcichtGew. 9755 Wenn man mehr Zahlen in dieser Tafel prüfet, so bestätiget sich die Voraussetzung nicht durchgängig, daß das Leipziger Pfund, welches von Llausbcrg gebraucht hat, um 12 Aß leichter als das Cöllnische Rarst.Marh.Th.l. B gewe- zz8 Anfangsgründe derRechenkunst. gewesen sey, und y 716 Aß gewogen habe: denn die -E Verhältnisse der von Clauöbergischen Zahlen treffen mit den Krussschen nicht immer zusammen. Nach Liii - von Llausdcrg ist ftiD! das Paris. Pfund : Cölln. Pfund — 8065 : 768a jldt ^ ^ i,ozoi : r, ferner das Cölln. Pf.: Londner Pf. — 7680 : 74Z4 ^ — i,ozzi:i, D^i- dagegen ist nach Rrufe M« Paris. Pstmd : Cölln. Pfund — 10188 : 9728 -riiln — i,o47Z - !/ ferner Cölln. Pf.: ^voir 6u pois — 9728 : 94Z9 — r,Ogo6: 1 . Die Krusischen Zahlen treffen in diesen beydcn Beyspielen mit den Cisenfchmidtschen und andern Bestimmungen besser zusammen. Der XVI. Abschnitt. Die umgekehrte Regel Detri, auch eine kurze Erklärung der zusammen gesetzten Regel Detri. 262 §. allen bisher vermittelst der Regel Dem aus- gelöseten Rechnungsfragen waren die gleich- nahmigen Glieder der gehörig geordneten Proportion in einer ähnlichen Verbindung, als Waare und Preis, Capital und Zins, u. s. f. Eine doppelte, ein z, 4, 5 mahl grössere Fragzahl muste auch ein doppeltes, ein 5,4, zmahl grösseres Facik geben: hingegen U!>" M s!m »« Air i» Vel ! so« üiil !»« ilkinr l!Aiü Der XVI. Abschnitt. 359 Hingegen muste eine 2, z, 4 und überhaupt «mahl kleinere Fragzahl auch ein eben so vielmahl kleineres Facit geben. Allein es sind nicht allemahl zwo Grössen zwoen andern, auf welche sie sonst eine ähnlich Beziehung haben, in cinerley Ordnung, sondern zuweilen in umgekehrter Ordnung pro, porkional. Wofern nach der Natur der Rechnungs- stags die gesuchte Zahl oinahl, gmahl, oder überhaupt «mahl kleiner seyn muß, wenn die Fragzahl so vielmaht grösser, oder umgekehrt jene gesuchte Zahl in eben dem Verhältniß grösser seyn muß, in welchem die Fragzahl kleiner angenommen wird; so können die drey gegebenen Zahlen mit der gesuchten in der bisher beobachteten Ordnung keine!Proportion ausmachen, wie das folgende leichte Beyspiel deutlich machen wird. Mit einem gewissen Festungsbau können 120 Mann in 6 Monathen fertig werden: wieviel Mann hat man nöthig, um mit eben dem Bau in 2 Monath fertig zu werden? Wollte man ansetzen: 6 Monath — i2o Mann — 2 Monath? so wäre die Proportion eigentlich diese: 6 Monath: 2 Monath —120 Mann: ges. Zahl. Weil nun das zweyte Glied dreyniahl kleiner als das erste ist, so würde auch die gesuchte Zahl dreymahl kleiner als das damit gleichnahmige Glied der Proportion herauskommen; man würde 40 Mann finden, welches offenbar eine falsche Auslösung wäre, weil desto mehr Mann angestellet werden müssen, je kürzer die Zeit seyn soll, worin man zu Stande kommen will. Verwechselt man dagegen die Stellen der Fragzahl und der damit gleichnahmigm Zahl unter 2) 2 einem- Z4o Anfangsgründe der Rechenkunst. einander; setzt man die Fragzahl in die erste, die mir ihr gleichnahinige in die dritte Stelle, so machen die drey gegebenen Zahlen mit der gesuchten in dieser Ordnung eine richtige Proportion, und der Ansatz des vorigen Exempels stehet so: 2 Monath? — i2c> Mann — 6 Monath 2) 3 2) i Far.zöoMann. z Weil die Fragzahl nun der Divisor wird, so giebk die doppelte Fragzahl ein halb so grosses, die z, 4mahl grössere Fragzahl ein z, 4>uahl kleineres Facit, und umgekehrt die kleinere Fragzahl ein in eben dem Verhältnis; grösseres Facir. Von Rechnungsfragen dieser Arr sagt man, sie gehören zur umgekehrten Regel Detri; die Umkehrung aber bereift nur die Ordnung des Ansatzes, be» der Rechnung selbst. Bleibt die Regel des r'75 §. die Grundregel. 26z §. Man kann, wenn man will, alle ReductionS- Rechnungsfragen auch zur umgekehrten Regel Dem rechnen, nachdem man sich die Sache so, oder anders vorstellct. Einerlev länge, einerlei) Gewicht, einerley Geldsumme, wird unter einem doppelt so grossen Nahmen durch eine halb so grosse Zahl auS- gedrückt, uud umgekehrt unter einem halb so grossen Nahmen durch eine doppelt so grosse Zahl. Demnach kann man sich eine Rechnungsfrage dieser Art: l oo Gulden wieviel sind es Mark? so vorstellen: i Gulden ist in der gegebenen Summe ivomahl enthalten, wievielmahl also i Mark? oder: i Gulden giebt 100 Stück,wieviel also i Mk.? Ze M» D« sdj-? !ikS->U D! I Kens Hamb. k-,< k-k Ulki dem ' 4 e 34r Der XVI. Abschnitt. Je kleiner der neue Nähme ist, unter welchem eine Zahl von eben dem Werth gesucht wird desto grösser, und je grösser der neue Nähme ist, desto kleiner muß die gesuchte Zahl seyn. Deswegen muß man am sehen: i Mk.? -7- ioo Stück — i Gulden 2 2 Mk. Fac. 2oo Stück in Marken. Eben so die Frage: i z Brab. Ellen, wieviel sinds Hamb. Ellen? kann man so ansetzen i Hamb. Elle? — iz Stück — r Brab. Elle z 6 6 ?^Fac. Hamb. Ellen. Es ist indessen wohl so vortheilhaft, wenn man sich bey Auslösung solcher Maaß- und Gewichts - Vergleichungs-Rechnungsfragen an die vorige im 247 §. gebrauchte Art des Ansatzes nach der ordentlichen Regel Derri gewöhnt. 264 §. Wenn mehr als g Zahlen gegeben sind, und man soll eine neue Zahl finden; so gehört zwar das Exempel nicht zur einfachen Regel Detri: oft aber läßt es sich in zwey oder mehr Rechnungsfragen zergliedern, wovon jede für sich zur Regel Detri gehört, so daß man die Regel Detri mehr als einmahl anwen- den muß, um das Facit zu finden. Von der Art wäre folgende Rechnungsfrage: Wieviel Zinse zu 6 x. L. xro anno geben z l Thlr. in 7 Monath? Y 3 Eigent-. Z42 Anfangsgründe der Rechenkunst. Eigentlich hat man ; Zahlen, und man soll eine sechste suchen, denn der Sinn ist: i oo Thlr. geben in i Jahr (oder in 12 Monath) 6 Thlr. Zinse, wieviel also 51 Thlr. in 7 Monath? Man könnte zweymahl so ansetzen loo Thlr. — 6 Thlr. Zinß in i Jahr - 51 Thlr.? Fac. Thlr. Zinß in 1 Jahr, r Jahr - Thlr. Zinß - 7 Monath? oder 12 Monath Fac. VoF^ Thlr.Zinß. Weil die nöthigen Rechnungen noch nicht ange- stellet sind, sondern nur durch allgemeine Zeichen auS- gedrückt ist, in welcher Ordnung man rechnen könne, um das Facit zu finden; so übersiehet man leicht, daß der zwiefache Ansatz sich auf folgende Art in einen einzigen zusammen ziehen lasse. r oc> Thlr. — 6 Thlr. Zinß — 51 Thlr. ? in ,2 Monath in 7 Monath IO0XI2 5lX7 Die Products der beyden Zahlen in der ersten und dritten Stelle machen mit der Zahl in der Mittlern Stelle drey Zahlen aus, womit man nach der Regel des 175 §. umgehen kann, um das Facit zu finden. In einem Exempel dieser Art giebt es zwey zusammengehörige Fragzahlen, die man in der dritten Stelle unter einander setzt; ferner zwey andre die mit den Fragzahlen von einerlei) Art sind, und in der ersten Stelle unter einander gesetzt werden. Die fünfte Zahl, welche man in der Mitte setzt, muß mit der gesuchten von einerlei) Art seyn. Vergleicht man hiemit die lehren des 218 und 219 §., so erhallet, daß das Verhaltniß der mit der gesuchten gleichartigen ^ahl zu dieser gesuchten zusammengesetzt fey aus den Verhältnissen der beyden mit den Frag- zahleu Ml «tlP nch äm i«a vH B B Aus « «» > ' vi> Sk» Ilk «I «ß. S!s U lM K il«- i!k ?>! lB B D ,N B Der XVL. Abschnitt- Z4Z zahlen gleichartigen Zahlen zu diesen Fragzahlen. Denn in der Aufgabe liegen eigentlich folgende zw» Proportionen: rooThlr. : ;i Thlr. — 6 Thlr. : -' 4 -o^-Thlr. jährliche Zinse. 12 Mon. : 7 Mon. — Thlr.: gef. 7 mo- , nathlichen Zinse. 265 §. Die Regel, nach welcher man beyde Proportio« nen in einen Ansatz zusammen ziehet, heißt die Regel quingue, und es lassen sich in andern noch mehr, zusammen gesetzten Fallen ähnliche Verkürzungen anbringen. Wenn in der Rechnungsfrage zwey oder mehr Fragzahlen Vorkommen, und in der Frage eben so viele Proportionen liegen, die man im Ansatz in eine zusammen ziehet, so nennt man das überhaupt die zusammengesetzte Regel Derri. Enthält aber die Aufgabe nur eine Fragzahl und dabey mehr Verhältnisse, so daß das Verhältnis der Fragzahl zur gesuchten aus jenen Verhältnissen zusammen gesetzt ist; so lassen sich ebenfalls die mehrern in der Aufgabe enthaltenen Proportionen unter dein' Nahmen der Regel multiplex, oder Rettenregel in einen einzigen Ansatz vorteilhaft zusammenziehen. Eine Probe davon giebt folgende Rechnungsfrage: Wenn 5 Brabander Ellen 6 Danziger Ellen machen, und ? Danziger Ellen 8 fl. kosten; wieviel kosten alsdenn 17 Brabander Ellen? Die Fragzahl: i5 Brab. Ellen, muß zuförderst auf einen andern Nahmen von Danziger Ellen gebracht werden durch den Ansatz 5 Brab. Ell. — 6 Danz. Ell. — 17 Brab. Eli.? Fae. Danz. Ellen. P 4 Alsdenn Z44 Anfangsgründe der Rechenkunst. Alsdenn kann man weiter setzen 7 Danz. Ellen — 8 fl. — Danz. Ellen? Das Facit im ersten Ansatz wird die Fragzahl im zweyten Ansatz, und wenn man das Facit nicht in fl. sondern in Thalern zu 14 fl. verlangte, so käme der dritte Ansatz hinzu: worin zfl. - 2 Thlr. - fl.? Fac. Thlr. j D- Eben das Facit wird gefunden, wenn man folgende Regeln beobachtet. 1. ) Man mache zwey Columnen neben einander, setze den Nahmen der gesuchten Zahl mit dem Fragzeichen voran oben in der linken Columne, und ihm gegen über in der rechten Columne die Fragzahl. 2. ) Wiederum linker Hand setze man von den gegebenen Zahlen diejenige, welche mit der Fragzahl von einerley Art ist, so daß sie mit ihr unter einerley Nahmen ausgedrückt werden kann, wenn sie etwa nicht eben den Nahmen schon hat, und rechter Hand gegen über diejenige Zahl, welche in der Aufgabe damit verglichen oder sonst damit verbunden ist. Was mit eben dieser zur Rechten geschriebenen Zahl von einerley Art ist, setze man aufs neue zur Linken, und gegen über zur Rechten die in der Aufgabe damit verglichene oder sonst verbundene Zahl. Solchergestalt fahre man fort, bis zuletzt zur Rechten eine Zahl kommt, die mit der gesuchten Zahl von einerley Art ist. z.) Hiernachst mulciplicire man alle Zahlen einer jeden Columne in einander, und dividire das Product aller Zahlen in der rechten Columne durch das Product aller Zahlen in «der Linken, so giebt der Quotient bas gesuchte Facit. Das 1°; i km ' W Li- «i» ich ich chi U -SI Der XVI. Abschnitt. Z45 Das vorhin gegebene Exempel kommt nach diesen Regeln so zu stehen. ' - 17 Brab. Ellen - 6 Dauz. Ellen (z - 8fl. - 2Thlr. Wieviel Tahler wenn 5 Brak. Ell. 7 Danz. Ell. Zsi- Z) io; io;) I 6z2 Fae. 15 Dstr» B Ä Zweyerley Rechnungsvortheile sind dabey in acht zu nehmen. Einmahl wenn in der einen Columne ein Bruch oder eine gemischte Zahl vorkommt; so schaffe man den Bruch oder die gemischte Zahl dadurch weg, daß man mit dem dazu gehörigen Nenner multiplicirt, und eben diesen Nenner zugleich der andern Columne als Factor zur Seite schreibt. Nachdem so alle Brüche sind weggeschaft worden, sehe man nach, ob nicht unrer den Zahlen in der einen Columne solche Vorkommen, die mit den in der andern Columne befindlichen Zahlen ein gemeines Maaß haben. Diese Zahlen hebe man mit den gemeinen Maassen gegen einander auf, schreibe die Quotienten zur Seite, und brauche sie statt der divi- dirten Zahlen als Factoren bey der Multiplication aller zu einer jeden Columne gehörigen Zahlen in einander. Weil übrigens bey solchen Exempeln, die zur Regel qmnque oder noch mehr zusammen gesetzten Regel Detri gehören, zwcy ganz ähnliche Co- lumnen im Ansatz kommen, und das Verhältnis; der P; Zahl 246 Anfangsgründe der Rechenkunst. Zahl in der Mittlern Stelle zur gesuchten aus den Verhältnissen der Zahlen in jenen Columnen eben so zusammen gesetzt ist;so lassen sich die erwähntenRech- nungsvortheile dabey ebenfalls anbringen. Mehr hieher gehörige praccische Anweisungen mit allerley Exempeln und umständlichen Anwendungen auf die Münz- und Wechsel-Rechnung findet man in meines Bruders Franz Christian Lorenz Aarstens Rechenkunst rteÄbtheilung im achten und neunte» Abschnitt. Der Geometrie erster Theil. Die ebene Geometrie. Der I. Abschnitt. Von den ersten Grundwahrheiten der Geometrie , und insbesondere von gmden Linien und Winkeln. r §- --^ie Eigenschaft der Grösse kommt den körpcrli- ^ ) chen Dingen im eigentlichen Verstände zu, insofern diese einen gewissen Raum einnehmen. Ob nemlich ein Körper grösser oder kleiner, als der andre sei), beurtheilen wir daher, daß Vereine bald mehr, bald weniger Raum, als der andre einnimmt, oder wie man auch zu reden gewohnt ist, der eine bald mehr, bald weniger ausgedehnt ist, als der andre. Von diesem Raum aber, den ein Körper ausfüllk, haben wir schwerlich einen andern, als bloS sinnlichen Begriff: wenigstens genügt es hier, wenn man sich allein an den sinnlichen Begriff halt. Ware ein gewisser Körper, z. E. ein Würfel, in zerschmolzenes Wachs, oder etwas dergleichen, ganz eingetaucht: so würde das Wachs beym Erkalten sich rund um an den Körper anhangen. Man sehe, der Körper könnte, nachdem das Wachs erkaltet, aus demselben herausgebracht werden, ohne daß die Rinde, so 348 Der Germetrie erster Theil. so ihn allenthalben umgiebt, zerbrochen würde: so würde innerhalb des Wachses eine Höhlung bleiben, mit dem hcrausgeschaften Würfel von einerlei) Gestalt und Grösse. Und diese Höhlung ist der Raum, den der Würfel einnahm, da er noch im Wachs verschlossen war. Eben so einen Raum nimmt der Würfel allenthalben ein, wo man ihn auch hinbringt, und die Grösse und Gestalt dieses Raums ist mit der Grösse und Gestalt des Würfels allemahl einerley. Man kann sich leicht auf ähnliche Art eine Vorstellung von dem Raum machen, den jeder andre Körper ausfüllt. 2 §. Die Grösse, welche eigentlich den körperlichen Dingen allein eigen ist, nennt man eine ausgedehnte Grösse, weil der Körper desto grösser oder kleiner ist, je mehr oder weniger er ausgedehnt ist. Die Grösse seiner Ausdehnung ist mit der Grösse des Raums, den der Körper ausfüllt, allemahl einerlei): (i H.) deswegen Heist auch wohl der Raun: selbst eitle ausgedehnte Grösse. 3 H- Die Geometrie ist eine Wissenschaft von der Art und Weife, wie man eine ausgedehnte Grösse mit der andern vergleichen, und aus gegebenen Grössen von dieser Art, andre von eben der Art finden kann. Sie ist eine Wissenschaft von einem ungemein grossen Umfange, und der Nähme drückt den Vorwurf derselben nicht in seiner völligen Allgemeinheit aus. Das griechische Wort bedeutet nicht allein die ganze Erde, sondern auch oft eine Landschaft, ein Stück Feld, und der Name bedeutet ein Maaß. Also würde man den griechischen Nahmen Geor D' AZ«" richK M sS. > jdttih W: mH k» ki» A ch W, kl Ä Nt ui Km Äl Hst s« ^! !«: Ä. V, dir irr. Ä- ^ir- tr» !M l Y ! lA zü>> Bl F> ,d>! Der I. Abschnitt. 349 Geometrie.füglich durch das deutsche Wort: Lcld-- moßkunst übersetzen können. Zn der That stehen auch viele noch in den Gedanken, daß Geometrie und Feldmeßkunst einerlei) Wissenschaft sey, und vor Zeiten, bevor die Wissenschaft zu ihrer Vollkommenheit gebracht worden, war es auch wirklich so: die Regeln, nach welchen sich ein Feld aufmessen last, machten wahrscheinlicher Weise die erste Geometrie aus. Die Nothwendigkeit hat die Menschen dahin gebracht, auf solche Regeln zu denken, und man schreibt ihre Erfindung gemeiniglich den alten Egy- ptern zu. Aber die Griechen haben schon lange vor Christi Geburt dieser Wissenschaft eine ganz andre Gestalt gegeben, und ihre kehren so allgemein gemacht, daß man sie nunmehr» allenthalben anwenden kann, wo sich eine ausgedehnte Grösse mit einer andern vergleichen läßt. So viel inan weis, ist der unter den Geometern so berühmte Euclides der erste, welcher die zu seiner Zeit bekannt gewesenen geometrischen kehren gesammlet, und einen kehrbegriff der Geometrie verfasset hat, der noch bis auf den heutigen Tag das Muster aller übrigen kehrbücher dieser Wissenschaft ist. Euclides lebte etwa zoo Jahre vor Christi Geburt, und sein kehrbuch ist unter dem Titel: LuLliclislMnnemg, bekannt. Man hat davon viele theils altere theils neuere Ausgaben, die man aus Herrn Prof. Scherhels Anleitung zur mathematischen Bücherkennrniß, Brcßlau 1769—1775 kennen lernen kann. Die beste unter den neuern Handausgaben hat Herr Georg Friedr. Barmann, ehemaliger Prof, der Mathematik zu Wittenberg veranstaltet. Die erste Ausgabe ist von 174z, die zweyte von 1769, beyde unter dem Titel: Lleuwn- ! zzo Der Geometrie erster Theil. ! ülemciitorum Imcli6i8Uibri XV 36 6rseci Oontex- tns liäem receilstti et 36 Vstun lironum gceommo- ^ ciati. Ui^iiao Luuuu Io. kricler. Lleäirlcbü. Wenn man sich von dem leeren Raum, den ein Körper ausfüllte, da er in demselben befindlich war, etwa eine solche Vorstellung macht, wie im 1 §: so siehet man leicht, das? dieser leere Raum zwar eigentlich kein Körper heissen könne, ob er gleich einige Eigenschaften des Körpers, der ihn ausfüllte, behalt, nemlich Gestalt lind Grösse. Die übrigen Eigenschaften des Körpers kommen in der Geometrie gar nicht in Betrachtung, und das ist die Ursache, weswegen dieser leere Raum ein geometrischer Körper heißt. Es ist hier gleich viel, ob man sich diesen Raum mit irgend einem Körper angefüllt verstellt, oder nicht. 5 §- Jeder Körper hat gewisse Granzen, die ihn von allen Seiten umgebeil, und diese äußerste Gränze desselben, die ihn von allen Seiten nmgiebt, Heist seine (Dberflache. Mail kann sich auch einzelne Theile einer sollen Oberfläche allein vorstellen, dergleichen z. E. die sechs Seitenflächen eines Würfels sind. Dann aber hat eine solche Fläche wiederum ihre Granzen, und diese Gränzen der Oberflächen heissen geometrische Linien. Auch hier kann man sich einzelne Theile von der Gränze vorstellen, die eine solche Flache von allen Seiten umgiebt, die ebenfalls Linien sind: jede Seitenfläche eines Würfels ist von vier solchen Linien eingeschlossen. Auch M AU' Mlkl Md; slck« KL, An s«I den ft»! seei, Ds Kl! lk>« ß !>>!- p z« ^rl- ?r- «n tz-isi A N- D B ,is .iS U K»- sß Der I. Abschnitt. zzr 6 §. 2luch eine jede Linie hat ihre Granzen, wo sie anfängt und aufhört, und die Granzen einer Linie heissen geometrische puncte. Man kann sich jede Linie, wo man will, getheilt vorstellen, und die Gran- ze, wo beyde Stücke zusammen hängen, wird ein Punct seyn. 'Also kann man sich in einer Linie unzählig viele Puncte vorstellen, nur muß man sich hier die Vorstellung nicht machen, als ob eine solche Linie etwa aus einer Menge aneinander gelegter Puncte bestehe. Wenn eine Linie, die sich von A nach k er-1 streckt, bey L in zwey Stücke AL und OK getheilt wird; so fängt das Stück AL in A an, und endiget sich in L: aber L ist nicht allein der Endpunkt von AL, sondern zugleich der Anfangspunkt von Lll. Die beyden Stücke AL und Lk hängen in dem Punkt L zusammen. 7 §. Wenn die Theile einer Grösse so mit einander Zusammenhängen, daß da, wo der eine aufhört, zugleich der andre anfängt, und zwischen beyden nichts vorhanden ist, das zu dieser Grösse nicht gehört: so Heist sie eine stetige Grösse, (gusmiws cominun). So sind alle ausgedehnte Grössen beschaffen, die man in der Geometrie betrachtet, wie das vorige Exempel von der Linie zeiget. Die in der Welt wirklich vorhandenen Körper sind nicht von der Beschaffenheit, welches bey einigen deutlich in die Augen fällt. In dem Innern eines Schwammes z. E. befinden sich unzählig viele Löcher, die mit der Materie des Schwammes nicht ausgefüllt sind, und zwischen einem Paar nach einander folgenden Theilchen befindet sich 352 Der Geometrie erster Theit. sich häufig Lust, Wasser, und dergleichen fremde Materie, die zu dem schwamm selbst nicht gehört. 8 §. Man theilt die Linien in verschiedene Classen, und unterscheidet vorneinlich grade und krumme Linien voneinander. Eine grade Linie erstreckt sich von ihrem Anfangs- bis zum Endpunkt in cmcrlcy Dichtung fort, alle ihre Theile haben einerlei) Lage, und jeder noch so kleine Theil der graden Linie ist selbst eine grade Linie. Eine krumme Linie hat gar keine gradlinichte Theile: wenn zwischen zweenen Punkten in einer krummen Linie auch eine grade Linie liegt; so ist diese von dein zwischen eben diesen Punkten liegenden Stück der krummen Linie allemahl unterschieden, die beyden Punkte mögen so nahe an einander liegen, als man will. 9 §- Man nimmt in der Geometrie die Voraussetzung an, daß es allemahl möglich sey, von einem gegebenen Punkt ^ bis zum andern O eine grade Linie zu ziehen, und diese grade Lmie ^0 vorwärts nach F, oder auch rückwärts nach O, so weit, als inan will, zu verlängern. Eigentlich lassen sich keine bloS geometrische Linien sinnlich darstellen, so wenig als man geometrische Punkte sinnlich vorstellen kann. Allein ein Tüpfelchen, das man mit Dime oder etwas dergleichen, vermittelst einer spitzigen Feder aus dem Papier macht, ist eine sinnliche Abbildung des Punkts; und ein Strich, dm man mit einer zarten Feder ziehet, ist eine sinnliche Abbildung einer Linie. Man stehet das Tüpfelchen als etwas an, das gar keine Ausdehnung hat, und bey dem Strich betrachtet man bloS die Ausdehnung -k- Äg« e»>ir! MS W szr pn> jL j«i« ch ch »> !» »!» W ÜIII fl- iü>>, st «z N' rde M »klt! ilS > t?« D «>id Der I. Abschnitt. 35z nach der Lange. Deswegen kann man solche Bilder der Puncte nnd Linien so ansehen, als wenn es wirklich geometrische Puncte und Linien waren. Bewegte sich ein wahrer geometrischer Punct von ä nach L; so würde der Weg, durch welchen er gegangen wäre, eine Linie seyn: und wenn der Punct wahrend seiner Bewegung seine Richtung nie änderte; so wäre sein Weg eine grade Linie. Deswegen kann man sich die Vorstellung machen, daß eine Linie entstehe, indem ein Punct von einem Ort zum andern sortgeht: und wenn dieser Punct, indem er fortgeht, seine Richtung nicht ändert; so wird sein Weg eine grade Linie seyn. rc> §. Wenn die Oberfläche eines geometrischen Körpers so beschaffen ist, daß jede grade Linie, die man zwischen zweenen ans dieser Oberfläche angenommenen Punkten ziehen kann, ganz in diese Oberfläche fallt; so heißt sie eine ebene Fläche, auch schlechthin eine Ebene. Eine krumme Fläche aber ist eine solche, worauf sich kein Theil, der eben wäre; angeben läßt. Ein zarter nicht sehr langer Faden wird grade, wenn man ihn ausspannt. Wenn man auf einem ebenen Tische zwischen zweenen angenommenen Puncten einen solchen Faden spannt: so wird er sich allenthalben an dem Tische anschliessen, wo auch die Puncte auf dem Tische angenommen werden. Hierauf gründet sich die Art, wie man vermittelst des Lineals auf einer ebenen Fläche von einen, Punct zum andern eine grade Linie zieht. Weil das Lineal selbst eben, und an seiner Schärfe grade ist; so wird die Schärfe an der Ebene allenthalben «nschlieffen, wenn man sie an zweenen Puncten auf Rarli, Machen:. I. Th A dieser 354 Der Geometrie erster Theil. dieser Ebene anlegt, und nun kann man eine spitzige Feder, oder etwas dergleichen, an der Schärfe des Lineals von einem Puncte zum andern fortführen, n §. Ueberhaupt wird in der Geometrie anfangs zum Grunde gesetzt, daß alle Linien und Puncte, die in Betrachtung kommen werden, auf einer und eben derselben Ebene liegen: und diejenigen Lehren von den ausgedehnten Grossen, welche sich in dieser Voraussetzung erweisen lassen, machen den ersten Haupttheil der Geometrie aus, welcher den Nahmen der ebenen Geometrie (Leomenia plana)'führet. 12 §. i kiZ. wenn man durch zwcy puncte ^ und 6 eine grade Linie D?? gelegt bar: so ist dadurch die Lage dieser Linie völlig bestimmt, und man kann durch eben die Puncte A und O keine andre grade Linie legen, die von der vorigen der Lage nach unterschieden wäre, obgleich sie länger oder kürzer seyn könnte. Wenn man durch eben die Puncte A und L noch andre grade Linien ziehet; so fallen sie inöge- sammt mit der ersten zusammen. rZ §- Man kann von einem und eben demselben Punct rln'A. /V ein Paar unterschiedene grade Linien äk und AL fortziehen, so daß beyde in dem gemeinschaftlichen Anfangspunct A zusammenstossen: alsdenn bleibt der zwischen beyden liegende Flächenraum gegen die Endpunkte ?> und zu zwar noch unbegränzt; doch ist derselbe da, wo beyde grade Linien ihren gemeinschaftlichen Anfangspunkt haben, in bestimmte Gränzen eingeschlossen. Dieser zwischen zween nach verschiedenen Richtungen AK und AL aus einerley Anfangs- puncc cheiüj -Ml, «'LH wie» Mi u (ÄH irkv «ck zr>Ä zeiid» «fö ikrsn IkNd« M l>s- kj r k» LS- iidiil « ich » w- iv >-L! »P ?Bki ^Il!l Der l- Abschnitt. zzz punct LZ fortgezogenen graden Linien siegende gegen die Endpuncce derselben noch unbegränzte Flächenraum heißt ein gradluuchrer ebener Winkel, oder schlecht hin ein Winkel, weil in der ebenen Geometrie von keinen andern Winkeln die Rede fern wird. Der Punctch worin beyde Linien Zusammenstößen, heißt die Spitze, und die beyden graden Linien ^6 und LZL die Selten oder Schenkel des Winkels. 14 §. Verlängert man die beyden Schenkel LZ?> und eines Winkels durch die SpiHe .ZL nach der entgegengesetzten Seite, bis 0 und 0: so erhalt man zwo grade Linien, L k und 00, die sich bey ^ durchschnei- den, und es erhellet leicht, daß zwo grade Linien sich nicht in mehrcrn als in dein einen puncc ^ schneiden können. Wenn beyde grade Linien ausser ö. noch einen andern Punct b gemein Härten; so würde die eine mit der alldem völlig zusammen fallen müssen, (12 H.) und es wären nicht zwo der Lage nach unterschiedene Linien. Uebrigens theilt jede grade Linie, wie 00, die Ebene, worauf sie verzeichnet ist, in zwey Stücke, die zu beyden Seiten dieser Linie 00 liegen: und wenn ein puncc D auf der einen, ein andrer puncc D aber auf der andern Seite der Linie ED liegt; so muß die grade Linie KD die vorige ED gewiß irs gendwo schneiden. r; §. Allemahl, wenn eine grade Linie 00 die andre M schneidet, entstehen um den Durchschnittspunkt ^ herum vier unterschiedene Winkel, die man mit Buchstaben so bezeichnen muß, daß einer mit dem andern nicht verwechselt werde. Dies erhält man A 2 am ' ;z6 Der Geometrie erster Theil- am besten dadurch, wenn man jeden Winkel mit dreyen Buchstaben bezeichnet, davon einer an der Spitze, lind zweene an den Schenkeln gesetzt werden. Im Schreiben aber, und in der^ Aussprache, seht man allemahl denjenigen Buchstaben in der Mitte, welcher an der Spitze stehet. Wenn nun gleich noch weit mehr als vier Winkel in eben der Spitze ^ Zusammenstößen ; so wird doch keiner mit den übrigen verwechselt werden. Wenn z. E. der Winkel, welcher in der Zeichnung rechter Hand liegt, verstanden werden soll; so nennt man ihn oder auch derjenige, welcher ihm linker Hand grade gegen über liegt, Heist oder L/XI) u. s. f. Wenn eben die akiZ. Spitze /Xnur zu einem Winkel gehöret, wie in der zwoten Figur; so ist es hinlänglich den Winkel mit dem einzigen Buchstaberl tX, der an seiner Spitze stehet, anzudeuten, weil nun daher keine Verwirrung zu besorgen ist. Oft ist es auch bequem, einen klei- zkiZ.nen Buchstaben, wie x, v u. s. f. in der Oefnung zwischen den Schenkeln zr, setzen, und dadurch die Winkel zu unterscheiden. 16 §. ^ Wenn eine ausgedehnte Grösse so auf eine andre gelegt werden kann, daß die Granzen der einen mit den Granzen der andern zusammen fallen: so sagt inan, sie passen auf einander. Sind es geometrische Körper (oder wenigstens nicht blos Linien, Winkel, und ebene Flächen), und man kann den einen in den andern so hineinschieben, daß beyde völlig zwischen einerlei) Granzen enthalten sind, wie wenn man im i §. den dort als ein Beyspiel erwähnten Würfel wiederum in die Holung innerhalb des Wachses brächte: so sagt man besser, daß sie in einander passen K Mi' MM § Mihe MP» Ml!' Hz Ä .idc> »> !> Ij«- All Der I. Abschnitt. zz? Es ist am leichtesten, diesen Gedanken aufgrade Linien und Winkel anzuwenden. Die Granzen einer graden Linie sind ihre beyden Endpunkte: kann man demnach die grade Linie TD aufso auflegen, daß wenn der Punct T auf und TD auf^I> liegt, auch I) in k fallt; so paßt TD auf Die Spitze eines Winkels nebst seinen beyden Schenkeln machen seine Grauzen aus: kann man demnach den Winkel TDk in den Winkel b^T so hineinfchieben, daß wenn die Spitze D auf der Spitze und der eine Schenkel Db arif liegt, auch der andre Schenkel DT auf fallt; so paßt der Winkel TDT auf dem Winkel K^L. In 2lnsehung der Winkel ist folgendes aber noch anzumerken. Es kann der Winkel TI)b auf dem Winkel li^T passen, obgleich weder DT auf L6, noch Db auf ^T paßt. Es hangt nemlich die Grösse des Winkels gar nicht von der Grösse seiner Schenkel ab, sondern allein von der Grösse der Oefnung zwischen den Schenkeln. Wenn man sich bey ^ etwa ein Gewinde vorstellt, um welches sich der Schenkel ^6 umdrehen läßt; so wächst der Winkel ll^L, wenn man von weg gegen H.6 zu drehet, und der Winkel ö^T wird kleiner, wenn man von ^6 weg gegen LZ.L zu drehet. Aber wenn gleich ^6 länger oder kürzer wurde, ohne sich um ^ zu drehen; so würde die Grösse des Winkels K/VT ungeändert bleiben. r? §. Ausgedehnte Grössen, die auf und in einander passen, sind gleichgroß. Grade Linie» also und gradlinichte Winkel, die auf einander passen, sind von gleicher Grösse. Z 3 i8 Z. 258 Der Geometrie erster Theil. i8 §. ^ Ueberhaupk zu sagen, läßt sich dieser Sah nicht umkehren: es ist falsch / daß alle ausgedehnte Grössen, die gleich groß sind, auch auf einander passen müssen. Wenn aber bloö von graden Linien und Winkeln die Rede ist; so ist der Saß auch umgekehrt allgemein wahr, welches folgende Säße beweisen: Wenn eine grade Linie d auf eine ander nicht " paßt; so i stell bl entweder kleiner oder grösser, als Legt man nemlich L auf und d auf d>, so deckt Lbl entweder nur einen Theil von /V6, da dann dl < ist, (i 2 §. Rechenk.) oder bl fällt über ?» hinaus, und so deckt ein Theil von d die ganze Linie Xlk, daß also nun d > /Vlk ist, (12 §. Rechenk.) Wenn ein Winkel bllvl in einen andern 6/VO nicht paßt; so ist wiederum kld entweder kleiner oder grösser, alsd.L. Legt man b) aus G und 1)ck auf ^(ll; so fällt Dbl entweder zwischen und .>6, 5.6?.und so ist bllk)? < 6/>(l: oder k)bl fällt über hinaus, in wie in der 6 Figur, da dann blvk > 6/^c ist. Gleich grosse grade Linien und gleich grosse gradlinichrc slVnikel müssen also nothwen- dig auf einander passen; denn paßte die eine Linie nicht auf der andern, und der eine Winkel nicht ans dem andern: so wäre die eine Linie entweder kleiner, oder grösser, und der eine Winkel entweder kleiner, oder grösser, als der andre, welches nicht seyn kann, da beyde gleich groß seyn sollen. ,19 §- 7k)'A. Wenn man einen Schenkel eines Winkels durch seine Spitze D nach k verlängert, so kommen zwecne Winkel, dW und d-L, heraus, die «BÜ Zß"- lcr de Mkä 's fers »>>>! wtz ll> «j, r L ak. liSK )ll >ÜIlI Der I. Abschnitt. Z59 Äi kis» L Ä l» !!M «k) l>?5 4 6, ! »k ^>f !>a, Ä k-, K ,F, die eine gemeinschaftliche SpiheO und einen gemeinschaftlichen Schenkel OL haben, deren übrige Schenkel O und 08 aber in grader Linie liegen. Solche Winkel heissen Neben-Winkel, (conriAui. ciein- cepz poliri.) und jeder Winkel hat einen solchen Nebenwinkel. Ein Winkel /MO, der eben so groß, als sein Nebenwinkel ist, heißt ein rechter Winkel, (anAuIus reelluz) und man braucht nun die Redensart: die grade Linie l)0 stehe auf M grade, oder senkrecht, oder lorhrccht, (reell-r 00 alteriAK eli yei yencliLuIariz, normaliz). Wenn beyde Nebenwinkel LO^, LOK, ungleich sind; so sagt man, daß LO auf AK schief stehe, und die Winkel /ML und 8 OL heissen schiefe Winkel. Man ist gewohnt, statt des Worts rechter Winkel, der Kürze wegen, den Buchstabens zu brauchen, und wenn man z. E. seht Ak)0 — 0: so heißt dies so viel, es sey MO ein rechter Winkel. 20 §. Alle rechte Winkel sind gleich groß. Beweis. Es sey /MO — 0, und AOL — k, ^ aber /ML > AOO. Man verlängere /M nach 8/ so muß vermöge der Natur des rechten Winkels /MO — 800 seyn, und aus eben dem Grunde ML - 80L. Weil aber /ML > /MO angenommen ist, so müste 80L>800 seyn, welches unmöglich ist, denn ein Theil kann nicht grösser als das ganze seyn. Aus einerlei) Punct O einer graden Linie kann man also nicht zwen verschiedene grade Linien 00, OL, so ziehen, daß bevde zugleich auf AK senkrecht sind. ; 6 o Der Geometrie erster Lheil. 2 ! §. Wenn in der 8 Fig. und ein Paar ^ gleich grosse Nebenwinkel, mithin rechte Winkel sind, ^ und man nimmt an, daß die Linie LI-' sich um I' ge- llttso gen zu drehe; so wachst der Winkel kchlck: wenn dies so lange fortgehet, bis LH in 6? fallt; so ist «»^ null der Winkel LHIck uin das StückLW angewach- > sen, folglich der Winkel ObbI - L?6 -h Lktt — -l-^ — 2 K. Das will so viel sagen: ein wmkel, dessen Schenkel in grader Linie lie-- ll 2 gen, lst doppelt so groß, als ein rechter Win- kel; oder ein rechter Winkel ist die Halste eines solchen Winkels, dcsstn Schenkel in gradcr ^ Linie liegen. W Jede bestimmte Lage zwoer grader Linien gegen einander, die von einein gemeinschaftlichen Punct aus sich nach verschiedenen Richtungen erstrecken, macht das aus, was in der Geometrie ein gradli- nichrer Winkel Heist: (iz §.) und dahin gehört ohne Zweifel der besondre Fall, wenn beyde Linien von dem gemeinschaftlichen Punct aus nach grade entgegengesetzten Richtungen fortlaufen. Wenn es also gleich scheinen mögte, daß kein Winkel heissen könne; so ist doch allerdings der geometrische Begrif vom Winkel so allgemein, daß die erwähnte Lage zweyer grader Linien gegen einander als ein besondrer Fall darunter enthalten ist. lü ch buj »m! lkN Wenn sich die Linie lH'. noch weiter herunter drehet, und nun unter in ke fällt; so enthält der erhabene Winkel lckfe nicht allein sondern überdein noch 61 e, und ist folglich grösser, als zweene .rcebte Winkel. 22 §. ick slikj ilr» 'kß WS!, k' isl G' M !>V «! >!dll ! lm, G tm zÄ » !«»- r» M /B ;r ^ Der I. Abschnitt. 361 22 §. Aweene Nebenwinkel auf einer graben 7^. Linie, wie /MC und CD^?, oder auch mehrere so an einander liegende Winkel, daß alle eine gemeinschaftliche Spitze, und jede zwccne an einander gränzende einen Schenkel gemein haben, wenn ihre äußern Schenkel in grader Linie liegen, betragen zusammen so viel, als zwcene rechte Winkel. Beweis. Weil ^ 1)6 — 28. (21 §.), und AVC 4- LV 8 - AV 6 , (9 H. Rechenk.) so ist - Ave ch LV8 - 28. Auch umgekehrt: wenn mehrere auf die eben beschriebene Art an einander granzende Winkel zusammen zwey rechte Winkel ausmachen, so liegen die äußern Schenkel in grader Linie. Denn widrigenfalls müste ihre Summe mehr oder weniger als zwey rechte Winkel betragen. 2Z §. wenn von einem punct nach allen 9p;«. Seiten so viel grade Linien /M, /M, /M, als man will, in einer Ebene fortlaufen; so machen alle um den punct ^ Herumliegendewinkel die Summe von vier rechten Winkeln aus. Beweis. Man kann eine dieser Linien, welche man will, z. E. kA, durch /V nach 6 verlängern: so fallen diese Winkel um herum zum Theil auf der einen, zum Theil auf der andern Seite von Aber die Summe derer, die auf jeder Seite liegen, betragt zweene rechte Winkel: (22 §.) also machen sie alle die Summe von vier rechten Winkeln aus. Z 5 24 §. Z62 Der Geometrie erster Theil. 24 §. Alle Winkel lassen sich nun in drey Classen bringen: Denn jeder Winkel ist entweder ein rechter, oder ein schiefer Winkel, und der schiefe ist entweder kleiner oder grösser als ein rechter Winkel. Solche Winkel, die kleiner sind, als rechte Winkel, heissen spitze Winkel sacuti), und Winkel, die grösser sind, als rechte Winkel, werden stumpfe Winkel (obruli) genannt. Die stumpfen Winkel kann man wieder cintheilen in solche, die kleiner, eben so groß, oder grösser als zweene rechte Winkel sind, und die erste Art könnte man hoble, (concavos) die letzte Art erhabene Winkel (cc>nvexo5) nennen. 7 ?iA. Von zweenen ungleichen Nebenwinkeln LOK, und LO/Z, auf einer graden iinic /Oi ist also allemahl der eine spitz, und der andre stumpf. Denn es wird einer z. E. LOK-< 4-^OK, und der andre LO^ > 4^vl; seyn. Also ist LOK < k., und LO/V >K(2I H.) folglich LOL ein spitzer, LO/V aber ein stumpfer Winkel. 25 §. 7 O'Z. Ein Winkel LO^, der mit einem andern LOK zusammen genommen zweene rechte Winkel ausmacht, Heist des Winkels LOK Ergänzung oder Complcmcnc zu zween rechten Winkeln. Man findet dieses Complement leicht für jeden gegebenen Winkel LOK, der kleiner, als zweene rechte Winkel ist, wenn man den einen Schenkel KO durch die Spitze O bis verlängert: denn so erhalt man den Nebenwinkel L1W, welcher die gesuchte Ergänzung ist. (22 §.) 2 kiZ. Jeden: hohlen Winkel k/eL (oder x) stehet ein erhabener Winkel auf der andern Seite entgegen, der mit itz- 'ch »s>> Ä ch >r O -Ä D Der I. Abschnitt. z6z mit ihm 4 rechte Winkel ausmacht. .(2 g §.) Man kann also den erhabenen Winkel des hohlen Winkels Ergänzung oder Lomprcmcnr zu 4 rechten Winkeln nennen, und umgekehrt. Ein Winkel LOL, der mit einem spitzen Winkel 7^. LOK einen rechten Winkel ausmacht, kann auf ahn-' lichc Art des Winkels LOK Ergänzung oder Com- plemenr zum rechten Winkel heissen. 26 §. wenn eine grade Linie FL eine andre LOzLiZ. in ^ schneidet: so sind die an der Spitze -4 entgegengesetzten Winkel F/tL und oder die Scheitelwinkel, wie man sic gewöhnlich nennt, gleich groß. Beweis. Weil OAK 4- KAL — 2K und OAK 4- OAL -2K: (22 §.) so ist OAK 4 - KAL - OAKg-OAL, folglich KAL-OAL (28 §. Rech.) Wenn also einer von den vier Winkeln um A ein rechter Winkel ist: so ist jeder der übrigen auch ein rechter Winkel, und überhaupt bestimmt die Grosse des einen allemahl die Grösse der drey übrigen. Denn eö ist KAL - OAL undkAO-2k.- KAL-KAL. Umgekehrt: wenn LO eine grade Linie, und ein w:nkcl L'^/F auf der einen Serre so groß ist, als em andrer Winkel an der andern Seite, jenem an der gemeinschaftlichen Spitze grade entgegen gesetzt; so liegen auch die Schenkel und in grader Linie. Denn es ist OAK 4-KAL — 2ch (21 H.) und der Voraussetzung gemäß OAL — KAL; also auch OAK 4. OAL — 2K, und AL liegt mit AK in grader Linie. (22 §.) Z64 Der Germetrie erster Theil. Der II. Abschnitt. Vom Umfange der ebenen Figuren überhaupt, und insbesondere von der Kreislinie. 27 §- r o?. AAenn man zwischen einem Puncte U, in dem ei- nein Schenkel ^U, und einem andern Pnnct L in dem andern Schenkel AL des gradlinichten Winkels KAL, eine grade Linie UL ziehet; so erhält man eine ebene Fläche, die von allen Seiten durch drei) grade Linien AU, UL, AL, begränzt ist. Auf ähnliche Art läst sich eine Ebene durch so viel Linien, n kl. als man will, einschliessen, wie ALLOLb', und es ist nicht nothwendig, daß die Linie AU, UL, u. s. f. grade sind; es können einige derselben krumme, es können auch alle diese Linien krumme Linien senn. Eine ebene Fläche die von allen Seiten!begränzt ist, Heist eine ebene Figur, oder hier schlechthin eine Figur, weil in der ebenen Geometrie nie von andern Figuren die Rede ist: die Linien, welche die Figur umschliessen, heissen ihre Seitenlinien, und alle Seitenlinien zusammen machen den Umfang der Figur aus. 28 §. Eine einzige grade Linie allein, oder auch zwo grade Linien allein, können keine Figur 11 m sch Iw iss n: eö kann aber gar wohl eine einzige krumme Linie den Umfang einer Figur ausmachen. Sind alle Seitenlinien einer Figur grade Linien; so Heist sie eine gradlinichrc Figur: und wenn eine ßsMl" »z tzBiB- ieiii^kk ichrschc W alb Hm WM ^ Amz Okm LkfÄ m ch P«' i» kW E, jklk Lk! /Äkch äAli Ml sttieli- !klher^ ^k»e ^ Diss, Tch, Der H.' Abschnitt- z6z oder mehr krumme Linien ihren Umfang ausmachen; so nennt man sie eine krummlinichre Figur. Der- mischrlinichre Figuren sind diejenigen, deren Umfang zum Theil aus graden und zum Theil aus krummen Linien bestehet. Der ganze Umfang einer gradlinichten Figur ist selbst eine Linie, die aber weder in' die Classe der graden noch krummen Linien gehört. Man kann sie eine gebrochene Linie nennen, und hieher gehören überhaupt alle Linien, die aus graden Stücken, unter welchen Winkeln man will, zusammengesetzt sind. Eine ähnliche Bewandniß hat es mir dem Umfange einer vermifchtlinichten Figur. Sowohl dieser Umfang, als auch jede andre Linie, die aus graden und krummen Stücken zusammengeseht ist, kann eine vermischte Linie heissen. 29 §. Die Anzahl der Seiten einer Figur ist mit der 11 k'. Anzahl ihrer Winkel allemahl einerley. Wenn ncmlich eine grade Linie ^8 mit einer krummen in einem Puncte 8, oder ein Paar krumme Linie Lb und Uk), in einem Puncte L zusammen stossen: so heissen auch A8L, und OLk ebene UVinkel. Nun schlieft jede Seitenlinie ^8 mit der nächstfolgenden KL einen Winkel ein, und die lehte L8 einen mit der nächst- lehten bL, überdem aber noch einen andern mit der ersten ^8: woraus sich dann ergiebt, daß jede Figur so viele Winkel als Seitenlinien habe. Diese Winkel der Figur können zum Theil hohle, zum Theil erhabene Winkel seyn; auch können alle Winkel der Figur hohle Winkel seyn, wenn man nemlich diejenigen Winkel als zur Figur gehörige Winkel ansiehet, die dem innern der Figur zugekehret sind. Eine solche Figur z66 Der Geometrie erster Theil. Figur aber ist unmöglich, die keine andre als erhabene dem innern der Figur zugekehrre liVinkel hätte. ZQ §. Deswegen theilt man alle Figuren nach der Anzahl ihrer Winkel, oder Seitenlinien, in Elasten ein, und giebt ihnen Nahmen, die von der Anzahl ihrer Winkel, oder auch ihrer Seitenlinien hergenommen sind: woraus man leicht abnehmen wird, was dreiseitige, vierseitige, funfsemgc Figuren, oder Drcyccke, Vierecke, Fünfecke u. s. f. sind. Figuren, die mehr als vier Seitenlinien haben, pflegt man überhaupt Vielecke oder Polygone zu nennen. Man nennt sie schlechthin Dreyecke, Vierecke, oder Polygone, wenn sie gradlinichte Figuren sind: sonst aber drückt man durch die Beywvrter: ver-- mischrlinichr oder krummiimcht, zugleich die Beschaffenheit ihrer Seitenlinien aus. Alle drey Winkel eines gradlinichten Dreyecks sind hohle, oder auswärts laufende bVmkei: und es ist kein gradlinichtes Dreyeck möglich, das einen erhabenen einwärts laufenden Winkel hatte. Unter den Winkeln eines Vierecks kann nur einer zwey rechte Winkel übertreffen. Denn man verlängere die Schenkel kl^, kl6 des Winkels (66 Fig.) rückwärts durch die Spitze kl nach b und 6; so erhellet, daß der vierte Winkelpunct 6 eines Vierecks zwischen den Schenkeln des Winkels 6kl l- liegen müsse, wenn der erhabene Winkel äAL ein Winkel des Vierecks werden soll: die übrigen drey Winkel sind alsdenn nothwendig hohle Winkel. Zi H- Der H. Abschnitt. Z67 Wenn ein P»nct? innerhalb der Granzen einer ^, x Figur liegt, und man ziehet durch denselben eine grade Linie 6kl: so wird diese Linie, wenn man sie nach beyden Seiten gehörig verlängert, den Umsang der Figur wenigstens in zweenen Puncten schneiden. Denn sie muß sowohl ans der einen, als auch auf der andern Seite, den Umfang der Figur einmahl erreichen und sodann durch denselben durchgehen. Ist also die Figur gradlmicht: so schneidet 6Ul wenigstens zwo von ihren Seitenlinien (14 §.) Und wenn die Figur ein gradlinichtes Dreyeck ist, wie in der 10 Figur, 6kl aber durch die Spitze ^ eines i o k. Winkels in diesem Dreyeck lauft: so schneidet 6kl verlängert gewiß die dem Winkel ^ gegen überstehende Seite. Z2 §. Die grade Linie ^6 ist unter allen übrigen Linien , ^ /iLll, LOLL, die man zwischen eben den Puncten und 6 ziehen kann, die kürzeste. Durch die Entfernung eines Orts vom andern verstehet man gewöhnlich den kürzesten Weg, den man nehmen muß, um von einem Ort nach dem andern zu kommen: deswegen ist die Entfernung eines puncts vom andern mit der gradenLinie zwischen beyden Puncten einerley. Wenn von /r nach k mehrere andre Linien ll66, ^I)LK u. s. f. auf einer Seite der graben Linie ^6 so gezogen sind, daß sie insgesammt gegen die hohle Seite kehren, und einander nicht schneiden, auch keine derselben entgegengesetzte Wendungen macht, wie so sind diese Linien alle ungleich, und desto M Der Geometrie erster Theil. desto grösser, je weiter sie von der graden Linie abweichen. So ist hier /MU3 > Demnach sind in jedem Dreveck tVIZd zwo Sei- tenlinien ^6, LL, zusammengenommen grösser als die dritte .^L. ZZ §- izb'. Eine Breislülie ist eine krumme Linie, wie ^kk'.vbl, die eine Ebene so umschließt, daß alle Puncte in derselben von einein gewissen Punct L in dieser Ebene gleich weit entfernt sind. Dieser Punct 0 Heist des Kreises NAtrelpuncr, und die ebene Figur, welche von der Kreislinie begränzt wird, die Breisslache. Dieser Kreisfläche Umfang oder Peripherie ist also die Kreislinie, und jedes Stück von dieser Kreislinie, wie heißt ein Breis- bogen. Jede grade Linie, die inan vom Mittelpunkt L »ach einen Puncr l) des Umfangs zieht, heißt ein Halbmesser des Kreises (mäin8): also sind alle Halbmesser eines und eben desselben Brcises gleich groß, (z z §.) Das Stück der Kreisfläche so zwischen zweenen Halbmessern KO lind dem dazwischen fallenden Bogen enthalten ist, wird ein Ausschnitt des Kreises (leäior) genannt. , z h. Eine grade Linie Lk voll einem Punct ^ in der Kreislinie zum andern k, heißt eine Sehne Z und die bei,den Stücke der Kreislinie tVkk, werden als Bogen angesehen, die der Sehne zu- gehören. Das Stück der Kreisfläche zwischen der Sehne All und einem ihrer Bogen tZbk, oder wird ein Abschnitt (ic§mentum) des Kreises genannt. Ei>le Wl Zt'LK!» 'W Hm;« ^ ^iveiiH MM! sei'», LI grüiihei 3tki chiiNli G,ll ?wali K>»j v, H Die H. Abschnitt. 369 äü Eine Sehne wie /M, die durch den Mittelpuncr , 6 geht, Heist des Kreises Durchmesser. Jeder ^ > solcher Durchmessr ist doppelt so groß, als des ^ , Kreises Halbmesser; und eben deswegen sind auch alle Durchmesser eines und eben desselben Rrcists gleich groß. , Z 4 §- ^ Man nimmt es in der Geometrie als eine mög- >» liche Voraussetzung an, wenn der NAtrelpuncr ( 7 , M Und der Halbmesser eines Rreises gegeben ^ sind, daß man aus diesem Mittelpuncr mit ^ diesenr Halbmesser den Arcis beschreiben könne. Ä . Würde die grade Linie Lg um den Punct L rund r z I'. llt herum gedrehet, bis sie wieder in die vorige Lage ge- W kommen: so würde ihr äußerster Punct g eine Linie beschreiben, (9 §.) worin alle Puncte von L gleich L weit entfernt seyn müsten, weil g von (7 immer gleich M weit entfernt bleibt. Dies würde also die Kreislinie Ile seyn, und die Ebene, worüber Lg fortgeführet ist, O die Kreisfläche. (24 §.) Alis diese Betrachtung Ä gründet sich die 2str, wie man in der Ausübung ver kL ^ mittelst des bekannten Cirkel-Instrumentö die Kreisel' ^ linie verzeichnet. z; §. Jeder Punct 6, dessen Entfernung 60 vom Mit-1 Lc telpunct des Kreises kleiner ist, als des Kreises Halb- c! ^ messer, liegt innerhalb der Kreisfläche: und jeder j Punct bl, dessen Entfernung IIL vom Mittelpunct ^ grosser als der Halbmesser ist, siegt ausserhalb der ^ , Kreisfläche. Denn LO verlängert trist die Peri- jrr pherie in I), und 0 liegt auf dem Halbmesser, der ^ . allemahl ganz in der Kreisfläche liegt. Wenn aber ! LH grösser als der Halbmesser LI) ist: so geht die ji»k Rarst. Machern, k. Th. Aa Kris- 37v Der Geometrie erster Theil. Kreislinie durch 0, und II bleibt ausserhalb dieser Granze der Kreisfläche liegen. Jede grade Linie KM also, die durch einen Punct 6 gezogen ist, dessen Entfernung vom Mittelpunct kleiner, als der Halbmesser ist, muß dieKreislinie we- wenigstenS in zwcenen Puncten schneiden. (z> §.) Eben dies gilt demnach auch vom Durchmesser eines Kreises. z6 §. - zO. Ein Durchmesser KD aber kann dieKreislinie auch nicht in mehr denn zweenen Puncten k und v schneiden. Wäre !l ein dritter DurchschnittSpunct: so müste6v —6l! seyn, (z 4 §.) welches falsch ist. Auf einer Seite des Puncts 6 können in der graben Linie KV nicht zweene unterschiedene Puncte v und bl m gleicher Entfernung liegen. (i8§.) Dafern 6 der Mittelpunct eines Kreises KOI',0 ist: so kann kein andrer Punct 6 in der Kreisfläche von allen Puncten des Umfangs gleich weit entfernt seyn. Denn die grade Linie durch 0 und 6 ist ein Durchmesser, und schneidet die Kreislinie nur in k und v. Es wird aber 6k — 6O (g 4 H.) und 6K > 6K, also auch 6K > 6V; und weil 6 V > 6V, so ist 6K > 6V. Jeder Kreis hat also nur einen, nicht mehrere Mittelpuncte. Das Stück 6K ist unter allen graben Linien, die man von 6 bis an die Kreislinie ziehen kann, die größte, und 6V unter allen die kleinste. Es sey 60 eine solche Linie: so ziehe man 60, und es ist 66 st- 60 > 60 (z 2 H.), oder 66 -s- 6K > 60, d. i. 6K >60. Weil aber 60 <664-60 und 60-6V; so ist 6V < 66 st- 60, folglich 6V - 66 < 60 ( 28 §.R.), vder6v<60. chck K'z ich zlcx. siiii ! »E kl«, , killt, ! « ü ^ kili c 1 »i ''ich 37l !'«! »«, >z L« W ch sck u>» iü rüi >eü cv; Der H. Abschnitt. Z7 §. Jeder Durchmesser theilr die I.reis-izL. flache sowohl, als die Kreislinie in zwcy gleiche Stücke, dre man Halbkreise nennet. Beweis. Man stelle sich vor, es werde ALL!) um AO herum gedrehet, und das Stück ALLO auf AOO gelegt, so daß die Linie AI) ungeändert bleibt: so fallt jeder Punct L auf einen zugehörigen Punct L>. Denn man ziehe KL, und es sey OLL — OLL: so fallt LL in LL, und k in L. (i 8 §.) Also paßt der Bogen ALLO auf dem Bogen LIM, und die Flache äLOLL auf der Flache ALDO (16 H.), und sowohl beyde Bogen, als auch beyde Flachen sind gleich groß. (i7§.) Wenn demnach eine Kreislinie bey A und O in zweene gleiche Theile getheilt ist, und man ziehet AO: so ist /M ein Durchmesser. Denn wäre dies nicht, so müste der Mittelpunkt ausser .^O irgendwo in a liegen, und denn könnte man die grade Linie Ac ziehen, welche nun ein Durchmesser wäre, der die Kreislinie nochmahl in ä schneiden würde. Denn aber wäre der Bogen AL6 nicht allein, sondern auch der Bogen HLO der halben Peripherie des Kreises gleich, welches beydes zugleich nicht seyn kann. Z8 §. Wenn auf einer Linie AL irgeudwo ein Punct L14 r. gegeben ist: so kann man vermittelst der Kreislinie allemahl ein Stück von dieser Linie abfchneiden, das in dem gegebenen Punct L anfängt, und eben so groß ist, als eine andre gegebene Linie I'. Denn man nehme L für den Mittelpunkt, die Linie L aber für den Halbmesser, und verzeichne eine Kreislinie: (Z6 §.) so schneidet diese die grade Linie AL nur in Aa s zwee- Z72 Der Geometrie erster Theil. zweenen Puncten O und O, (z8 §.), und nun ist so, wohl 66 als auch 61) — k. ( Z 4 §.) Auf eben die Art addirt man eine grade Linie ? zu einer gegebenen A6, oder subtrahirt jene von dieser, wenn k < A6 ist. Denn es wird AO — A6 -j- 80 A6 -s- k, und .-VI) — A6 - 61) - A6 - ?. Setzt man voraus, daß A6 unverändert bleibe, aber k — 60 — 61) wachse oder abnehme; so ändern sich auch A0 und AI). Wenn st wächst, so wächst A0, aber AI) wird kleiner: wirbst — A8 angenommen, so fällt I) in A, und es wird AI) — o. Wäre 6 > A6, so würde der bisher mit I) bezeichnte Durchschnittöpnnct nicht mehr rechter Hand, sondern linker Hand des Puncts A in F fallen: bey dem allen aber bleibt AF noch die Differenz der Linien A6 und 6F, nur daß AF eine Lage hat, die der Lage der Linie A6 entgegengesetzt ist. Diese Schlüsse erläutern es, in welchem Verstände eine Subtracrion auch in dem Fall möglich sei), weiin das, was man subtrahiren soll, grösser ist, als das, wovon man es subtrahiren soll. Man stelle sich vor, ein Punct habe sich von A nach 6 um 4 Fuß vorwärts bewegt, von 6 aber wieder ; Fuß rückwärts, und man wollte wissen, wie weit nun nach beyden Bewegungen dieser Punct von A entfernt sey? so ist offenbar, daß derselbe um einen Fuß aber nicht vorwärts, sondern rückwärts von A entfernt sey. Vorwärts lind rückwärts gehen sind entgegen gesetzte Bewegungen, die vorwärts und rückwärts zurück gelegten Wege sind entgegengesetzte Linien. 39 §- . ^ Entgegengesetzte Grössen heissen in der Mathematik überhaupt solche, die zwar für sich unter einem Der II. Abschnitt. k. «g>- -,k >-L O Ä, !» ker- O °>ser l!^ M i ^11^'! Bi Z7Z nem gemeinschaftlichen Hauptbegrif stehen, wovon aber die eine allemahl um eben so viel abnimmt, als die andre wächst, und umgekehrt. Das, was von zwoen entgegen gesetzten Grössen hcrauskommt, nachdem die eine um die andre ist vermindert worden, könnte man ihr Resultat nennen: aber man nennt es zu nicht geringer Verkürzung vieler Untersuchungen über die Blenderungen, welche mit geometrischen und andern Grössen nach gewissen Gesetzen Vorgehen, die Summe der entgegen gesetzten Grössen, wenn gleich diese so genannte Summe durch eine arithmetische Subtraktion gefunden werden muß. Auch ist die geometrische Construction, vermöge der die arithmetische Differenz Av zwoer grader Linien All und IM gefunden wird, von derjenigen in der Hauptsacke nicht verschieden, wodurch man ihre arithmetische Summe AL findet, lz8 §.) wodurch also jener Sprachgebrauch noch mehr gerechtfertigt wird. Entgegen gesetzte Grössen addiren heißt also dasjenige Stück der grösstem angeben, um welches sie die kleinere ihr entgegen gesetzte übertrift. Man kann solches die allgemeine geometrische Addition nennen, um sie von der arithmetischen, die allemahl in einer Vermehrung besteht, zu unterscheiden. Wenn vorausgesetzt wird, daß von dem Hauptbegrif die Rede sey, den zwo entgegen gesetzte Grössen gemein haben; so kann man jede derselben durch Verneinung der ihr entgegengesetzten anzeigen: denn durch Verneinung der einen wird nothwendig die andre gesetzt. Um einen Punct auf der graden Linie All anzugeben, der nur den Abstand — b' von ll entfernt ist, und nicht auf der Seite von ll liege, wo L an. A a z qcnom- ?74 Der'Geometrie erster Theil. genommen ist, muß man die Entfernung ID — ? von » nach /V zu nehnien. Diejenige von zwoen entgegen gesetzten Grössen, welche man durch Verneinung der andern anzeigt, heißt eine negative, oder verneinte, eigentlich eine verneint ausgedrückre Grösse. Die ihr entgegengesetzte, welche man ohne -Verneinung anzeigt,nennt man eine positive oder be- schw., eigentlich eine positiv au sgedrückre Grösse. Das bejahte oder verneinte liegt nur im Ausdruck, der die Grösse bezeichnet, nicht in der Natur der Grösse selbst. Eine nicht rechter Hand von K auf der graben Linie chk angenommene Entfernung von so und so viel Fuß, liegt lincker Hand von ?>, und umgekehrt. Der positiv angenommenen Grösse, das ist, derjenigen, die man ohne Verneinung ausdrücken will, setzt mau das Zeichen (-H), der entgegen gesetzten verneinten Grösse aber das Zeichen (—) voran: diese Zeichen dienen alsdenn statt der Worte, wodurch man die entgegen gesetzte Beziehung der einen gegen die andre sonst ausdrücken müste. An sich ist es gleichgültig, welche von zwoen entgegen gesehten Grössen man positiv oder negativ ausdrücken will: nur muß man die cinmahl angenommene Voraussetzung nicht andern, so lange man mit Auslösung einer und eben derselben Aufgabe beschäftiget ist. Werden also diejenigen ans der graben Linie /G abgeschnittenen Stttcke, welche sich von ^ oder II aus nach der Rechten erstrecken, mit-h bezeichnet, so müssen diejenigen , welche von oder K aus sich nach der Linken erstrecken, mit — bezeichnet werden. Diesen Vorstellungen gemäß muß man folgende Satze als Grundregeln der allgemeinen geometrischen Addition ein für allemahl anmerken. Pr h!^ im KN zm ! jP Pi iw Äs! , K- kn «W - i.) Die Der H. Abschnitt. Z75 '«?»!«- k,kt« Akdli §kch- il.drr »fls jm- ierke, «ki- KßH ^itzm !»«Ü! '»4 i^Kl d As >r. 1. ) Die geometrische Summe zwoer positiven, oder auch zwoer negativen Grössen ist mit ihrer arithmetischen Summe einerlei, jene ist positiv, diese negativ. Esistnemlich LL ^ -i- __ L/V - ^ - KF 2. ) Die geometrische Summe entgegen gesetzter Grössen ist der Ucbcrschust der grössten über die kleinere, und dieser Ueberschuß behalt mir der grösser» einerley Zeichen. Denn es ist - KV - 4- eVV AK - LF - - AF _ KA 4- Av - - KV / — LA 4- AL — 4- KO. 40 §. Die arithmetische Addition findet aus den gegebenen Theilen das Ganze, und umgekehrt wird vermittelst der arithmetischen Subtraktion aus dem gegebenen Ganzen und einem Theil desselben der andre Theil gefunden, der mit dem gegebenen zusammen genommen das Ganze auömacht. Hier kann man sich die geometrische Summe entgegen gesehter Grössen auch als ein Ganzes vorstellen: nur ist es als- denn kein Ganzes in dem Sinn, wie dies Wort verstanden wird, wenn vermöge des Grundsatzes im 9 H. der Rechenkunst jeder Theil kleiner seyn muß als das Ganze. Was man sich hier als einen Theil des Ganzen vorstellet, kann an sich grösser als das Ganze seyn, wenn das Ganze aus Theilen bestehet, die einander entgegen gesetzt sind: daher wird begreiflich, was es mit der allgemeinen geometrischen Subtraktion für eine Bewandniß habe. Man stellt sich die Grösse, wovon man subkrahircn soll, im Aa 4 eilige- z?6 Der Geometrie erster Theil. ahgememsten Sinn als ein Ganzes vor, und was man subtrahiren soll, als einen gegebenen Theil dieses Ganzen, da dann das gesuchte derjenige Theil seyn muß, der mit dem gegebenen zusammen genommen das Ganze ausmacht. Wie nun die allgemein/ geometrische Addition zuweilen im arithmetischen Sinn eine Verminderung ist, so wird die allgemeine geometrische Subtraction zuweilen im arithmetischen Sinn eine -Vermehrung. Vom positiven Ganzen Ariden negativen Theil — ('6 subtrahiren, heißt den positiven Theil HO finden, welcher mit — OK zusammen genommen, oder um OK vermindert, das Ganze Hk ausmacht: demnach muß der gesuchte Theil das Ganze Hk nothwendig übertreffen, und zwar um eben so viel, als derselbe durch Hinzusetzung des negativen Theils -OK vermindert wird. Diesen Vorstellungen gemäß muß man folgende Satze als Grundregeln der allgemeinen geometrischen Subcra- ction festsetzen. Eine positive Grösse von einer positiven, und eine negative Grösse von einer negativen subtrahier, giebt rm ersten Fall eine positive, nn letzten Fall eine negative Differenz, die mit der arithmetischen Differenz bepder Grössen eincrley ist, so lange das Subrraben- dum das, wovon man es subtrahiren soll, nicht überrrifr. Im entgegen gesetzten Fall ist das, was man sucht, der Ucberschuß des grösiern über das kleinere mir dem entgegen gesetzten Zeichen. ! Von ff- HO . Von - KH subtr^ff-^iO sub tr.- VH giebt ff- HR giebt — KO i Von Z77 Der H. Abschnitt. Von 4- AK Von - ck subtr. 4 - KL - kF subtr. - KF- KL giebt — AF hiebt 4- LL 2 .) Von einer Grösse eine andre ihr entgegen geserzre subrrahiren, heiße jene um eine solche Grösse vermehren, die dem Subtrahend» für sich gleich, demselben aber entgegen gesetzt ist. Den negativen Theil — Lk von AK subtrahiren Heist nemlich AK als ein Ganzes ansehen, das durch die geometrische Addition des gesuchten Theils, den ich X nennen will, und des gegebenen — Lk, ent- standeü ist: also sollAK —X —(^k seyn, und das giebt X - AK 4 - CK - 4 - AL. Den positiven Theil 4 - AI) von — KV subtrahiren, heißt —KV als ein Ganzes ansehen, das durch die geometrische Addition des gesuchten Theils X und des gegebenen -h Av entstanden ist: demnach soll —-KV —X 4 -Av seyn, und das giebtX——KV—AO -- (KV 4 -VA) —-KA. Die alten Geometer haben die Begriffe von den entgegen gesetzten Grössen in ihren Schriften nicht gebraucht: ebendeswegen hatten sie keine Veranlassung, die Begriffe von dem, was addiren und subtrahiren heißt, in einem so sehr allgemeinen Sinn zu nehmen, wie hier die Sache ist vorstellig gemacht worden. Es sind dies Vorstellungsarten, wozu hie neuern Geometer vornemlich seit der Zeit sind veranlasset worden, da man angefangen hat, die höhere Rechenkunst auf die Geometrie anzuwenden, ja beyde Wissenschaften gewissermaßen auf eine solche Art mit einander zu verbinden, daß daraus eine allgemeine mathematische Erfindungs- Aa z kunst z?8 Der Geometrie erster Theil. kunst geworden ist, die in den folgenden Theilen dieses Lehrbuchs unter dem Nahmen der allgemeinen Mathematischen Analysis wird vorgetragen werden. Die Geometrie selbst wird hier zwar vor- nemlich nach Art der Alten abgehandelt werden: dabey aber hat es doch seinen mannigfaltigen Nuhen, wenn der angehende Geometer zugleich auf dasjenige aufmerksam gemacht wird, wodurch die neuere Ma. thematische Ersindungskunst mit den ihr eigenen Kunstgriffen ist bereichert worden. 4i §- , 4 ^. Wenn ein Punct I' innerhalb, und ein andrer ausserhalb der Fläche einer Figur 6VI4L liegt, und der Umfang einer andern Figur UiVlblO durch die Puncte ? und (h läuft: so schneiden sich die Peripherien beyder Figuren wenigstens in zweenen Punc- ten, und der einen Figur Umfang fällt zum Theil innerhalb, zum Theil ausserhalb der andern Figur. Ein Punct k, welcher den Umfang der Figur beschreibt, indem er durch UlblO fortgeht, muß wenigstens zweymahl durch die Peripherie der Figur 60kb(l durchgehen; einmahl wenn er von l> durch I, und Xl nach (ch gehet, und das andere mahl, wenn er von (^durch bl und O nach >' zrirück kommt. Wenn deinnach zwo Kreislinien einander schneiden ; so gicbt es ebenfalls wenigstens zweene Durch- fchnictspuncte. rz?. 42 §. Zwo Kreislinien, die alis den Mittelpuncs ren und bestPrieben sind, schneiden einander, wenn nicht allein die Entfernung ihrer Mmelpuncre kleiner als die Summe ihrer Halbmesser, sondern auch jeder Halbmesser «i-ß scr I ' l di;» W ' ^ k: IL - 5' P sm ln j ls st«' Der H. Abschnitt. 379 messer kleiner ist, als die Summe der Distanz der Mittelpunkte und des Halbmessers des andern Rreises. Beweis, Jeder Kreis schneidet die grade Linie All zweymahl, und nicht mehr, (z6 §.) der eine in I' und 6, der andre in k lind ll: alsdenn aber ist klk des um ^ beschriebenen Kreises Durchmesser, und dieser Durchmesser liegt ganz in der Fläche des dazu gehörigen Kreises. Ferner ist vermöge der Voraussetzung AK < Ak) 4- llk, also All - kk < Ak>, oder Ak < Ak: mithin liegt k in der Flache des um A beschriebenen Kreises. Ueberdem Ak Ak-sill6, vermöge der Voraussetzung, oder A6 > Ak: folglich liegt 0 ausserhalb des Kreises LkOkl (zz §.) und beyde Kreise schneiden einander (41 §.). 4g §. Kreislinien und Ixreisflacben stnd gleich r6k. groß, wenn ihre Halbmesser gleich groß stnd. Beweis. Wenn man die eine Kreisfläche so auf die andre legt, daß beyde Mittelpunkte zusammenfallen; so fallt in die Augen, daß auch beyde Peripherien auf einander fallen müssen. Sind LA, kl) ein Paar Halbmesser: so sey der Winkel kkv-^llLA. -Man lege k auf 0 und kl) auf LA: so fallt k> in A, und kk in Lk, imgleichen k in ll (18 §). Demnach fallt jeder Punct der einen Peripherie auf einen zugehörigen Punct der andern, und die Kreislinien sowohl, als die Kreisflächen passen auf einander (16 §.). 44 , Kreislinien, die mit verschiedenen Halbmessern 17k. LA, Lk. aus einerlei) Mittelpunkt L beschrieben sind, heißen Loucemrische Rrerfe, so wie alle Kreise, die z8o Der Geometrie erster Theil. die verschiedene Mittelpunkte haben Eccentrifche Preise genannt werden. Concentrische Kreislinien können einander nicht schneiden, auch sonst in keinem einzigen Punkt zusam- menstossen. Widrigenfalls würde die grade Linie von dem gemeinschaftlichen Punct bis zum Mittelpunkt gezogen, sowohl des einen, als auch des andern Kreises Halbmesser seyn, und beyde Kreislinien würden völlig zusammen fallen (4 z §). Kreisflächen sind ungleich groß, wenn die Halbmesser ungleich sind, und der kleinere Halbmesser giebt «inen kleinern Kreis, als der grössere. Gleiche Kreise haben also gleiche Halbmesser und Durchmesser. Wenn ein Paar Kreislinien einander schneiden, oder sonst auf irgend eine Art Zusammenstößen; so sind es Eccentrifche Kreislinien. 45 §. zIA A)eim eine aus dem Nurrelpunct S betriebene Kreislinie durch zweene puncre (7 und D einer andern um ^ beschriebenen Kreislinie laufr; jo schneiden beyde Kreise einander. - Beweis. Man ziehe die Halbmesser AL, /VI), KL, kl),so ist AL 4- KL — /VI) 4- KI), mithin kann weder ALK nach Avk eine grade Linie seyn, weil im ersten Fall AL 4- LI! < AI) 4- KI) , im andern Fall AD 4 - < AL 4- KL seyn müste (zo §.). Wird also die grade Linie -V k gezogen, so ist AKL ein Dreyeck, worin /Vk < AL 4- KL , und AL < AK 4. KL, so wie KL < AK 4- AL ist: demnach schneiden die Kreise einander (42 §.). 46 §. Eine Kreislinie berühret die andre, wenn beyde zwar zusammen stoßen, übrigens aber der eine Kreis entweder ! ^ ' trisll Pi« s-", ssq s-i !« V M pil Sl i!i( sirs ^ks Der II. Abschnitt. M entweder ganz ausserhalb oder ganz innerhalb des andern fällt. Im ersten Fall berührt einer den andern von aussen, im andern Fall von innen. Dergleichen Kreislinien sind also allemahl Eccen- trisch (44 §), und die Berührung kann nur in einem Puncte geschehen. Denn gäbe es in beyden zweene gemeinschaftliche Puncte; so schnitten die Kreise einander. (45 §«) 47 §> Zweene Rreise berühren einander von aus r 8^« sen, wenn die Entfernung ihrer NArrelpuncre sö groß ist, als die Summe ihrer Halbmesser. Beweis. Wenn A und li die Mittelpunkte sind, so schneidet der aus A beschriebene Kreis die grade Linie AL in zweenen Puncten L und L (z6 §.). Alsdenn istLL — AL — AL, und wenn des um L beschriebenen Kreises Halbmesser — ^ gesetzt wird; so ist vermöge der Voraussetzung AL 4- — AL, also auch » — AL — AL, folglich LL —,, und der umL beschriebene Kreis geht durch 0 . Aber ausser L haben sie keinen Punct gemein. Denn es sey k 4 noch ein andrer Punct in beyden Kreislinien ausserhalb der Linie AL: so kan man AL 4 und Lbl ziehen, und es wird AI 46 ein Dreyeck, worin Al 4 4- LI 4 > Ali ist (Z2 §.) Also wäre die Summe der Halbmesser grösser, als die Entfernung der Mittelpunkte^ gegen die Voraussetzung. UebrigenS liegt jeder Punct k des um k beschriebenen Kreises ausserhalb des andern; weil A? 4- Lk >- Ali, oder Ak 4- L? > AL 4 - LL, undLk —LL, mithin AL > AL ist. 48 §- Zweene B reise berühren einander von in- ,9?, nen, wenn dieEnrfernung ihrer ilsirrelpuncre so Z82 Der Geometrie erster Theil. so groß ist, als die Differenz ihrer Halbmesser. Beweis. Die grade Linie durch die Mittel puncte A und 3 wird von dem aus A beschriebenen Kreise wiederum in L und k geschnitten, und als- denn ist 36 — r ^6 — A3. Wenn also des um 3 beschriebenen Kreises Halbmesser —, gesetzt wird, so ist vermöge der Voraussetzung A 6 - - — A3, also auch A3 4 - — A 6 , und ^ — /^6 — A3; folglich 36 — und der um 3 beschriebene Kreis geht durch 6 . Ausser 6 können beyde Kreise keinen Punet Ik gemein haben, weil sonst A3 4 - 3kk grosser als Alk, also A3 > Akk — kkkk wäre, gegen die Vor- anssetzung. UebrigenS liegt jeder Punct k des um 3 mit dem kleinern Halbmesser beschriebenen Kreises innerhalb der Fläche des andern; weil Ab < A3 ss- 3k, und 3k - 36, also Ak < A3 4 - 36, oder Ab < A 6 ist. 49 §. 18. DieMirrelpuncre ^ und^ zweenerRreift, 19k. die einander berühren, liegen mir dem Be- rührungspuncr in grader Linie. Beweis. Wenn kk der BerührungSpunct wäre, und A3 verlängert nicht durch bk liefe; so könnte man Akk und 3kk ziehen, und dadurch ein Dreyeck A3lk zuwege bringen. Alsdenn wäre die Entfernung der Mittelpuncte A3 kleiner als die Stimme der Halbmesser Äkk -h 3ki; auch wäre jeder Halbmesser Akk kleiner als die Summe der Entfernung der Mittelpuncte A3 und des andern Halbmessers: mithin S .schnitten die Kreise einander, (42 §.) gegen die Voraussetzung. 50 H. Z8Z ZÄ Ni >4 Ä ,!>tz ' ch ^ L- » ^ A li- p S Der H. Abschnitt. 50 §. Die Kreislinie ist unter allen krummen Linien die einzige, welche Euclidcs bey der 'Auflösung geometrischer Aufgaben gebraucht hat. Die alten griechischen Geometer glaubten Anfangs, daß keine andre krumme Linie verdiene, in der Geometrie ausgenommen zu werden, und hielten dafür, daß keine Ausgabe geometrisch aufgelöftt sey, bey der man andere krumme Linien, als die Kreislinie, zu Hülse genommen habe. Ihnen kamen aber bald solche Aufgaben vor, die sie vermittelst der graben und Kreislinien allein nicht auflösen konnten, und sie wurden dadurch bewogen, auch über die Eigenschaften einiger andrer krummen Linien Untersuchungen anzustellen. Jetzt nennt man denjenigen Theil der Geometrie, worin mit dem Euclidcs keine andre krumme Linie, als die Kreislinie bey der Auflösung der Aufgaben gebraucht wird, die Elemenrar-Geometrie. Der Jnbegrif aller übrigen Lehren von den ausgedehnten Grössen die sich aus den Eigenschaften der graben Linie und Kreislinie allein nicht herleiten lassen, macht die höhere Geometrie aus. Der III. Abschnitt. Von den Dreyecken und Parallel-Linien. HAas eine grade Linie in einer Ebene für eine Lage habe, läßt sich nicht angeben, wofern nicht ausserdem die Lage einer andern graben Linie in derselben Ebene als bekannt angenommen wird. Wenn Vage- z84 Der Geometrie erster Theil. dagegen vorausgeseht wird,j daß die Lage einer gewissen graben Linie b'k sonst bekannt sey; so hat man Zk'iZ-von der Lage einer solchen graben Linie DL, welche die vorige schneidet, einen bestimmten Begrif, wenn man weiß, wie groß der Winkel sey, uns ^ rer welchem LD gegen die Linie LS, deren Lage bekannt war, geneigt ist. Wenn ausserdem auch in der Linie L?> die Stelle ^ des PunctS S bekannt ist, worin Lk von DL geschnitten wird; so ist zugleich die Stelle völlig bekannt, welche die Linie DL in der Ebene einnimmt. 52 §. Zwo grade Linien, wie LS, DL die einander schneiden, haben nicht einerley Lage. Denn hatten sie einerlei) Lage, und liefen sie überdein durch einerlei) Puuct S; so müßten sie völlig zusaim men fallen. Zwo verschiedene grade Linien also, die j in einerley Ebene einerley Lage haben; können einander nicht schneiden. Denn schnitten ^ sie einander, so hatten sie nicht einerlei) Lage. 5Z §- 42D Zwo grade Linien, ^S, LD, die Ln einer- lcy Ebene eine und eben dieselbe dritte grade Linie LL in 6 und D unter eincrley Winkel LLS LDD so schneiden, daß beyder Winkel (Desnungen nach einerley Endpuncr der Lnne LL liegen, haben einerley Lage. Denn Sil und LD haben gewiß gegen Lb also auch für sich einerlei) Lage, weil in der Ebene, worin sie mit SL lind LD liegt, ihre bestimmte Lage hat. Es kommt nemlich, wenn allein von der Lage der Linie ! Der HI. Abschnitt. Z85 >!^ die Rede ist, auf die Stelle des Punetö 6 in Lb nicht an, worin Xll mrd Lk einander schneiden; dieser Durchschi,ittspliurt kann in LH seine Stelle haben, wo man will: wofern nur der Winkel l derselbe bleibt, so bleibt auch die läge der Linie ^8 A,! dieselbe. 54 §- » wenn dagegen die Winkel ML, MO, ungleich) sind, unter welchen zwo grade Li- Es nien «L, (7O, gegen eine dritte L?' geneigt sind, vorausgesetzt, daß allemahl solche Winkel verstanden werden, wovon die Oesnungen gegen einerley Endpunct der Linie bk liegen; so haben aL, und ^ (7O nicht einerley Lage. Denn soviel ist für sich ^ klar, dast «s und LD gegen Lhhiicht einerley Lage * "" haben. Aber jede grade Linie wie l- 4 - hak in der Ebene, worin sie mit den übrigen liegt, ihre bestimmte Lage: wenn also ein Paar grade Linien «L, . LI4 gegen Lb nicht einerley Lage haben, so haben sie ^ auch für sich nicht einerley Lage in derselben Ebene. 5 5 §- Zwo grade Linien t7O, die in einer* ley Ebene einerley Lage haben, müssen jede ^ dritte grade Linie, AO, die von bcyden ge- ^ schnitten wird, unter einerley Winkel M/^, E' OOO schneiden. Denn waren diese Winkel in ^ irgend einem Fall verschieden, so hätten Lll und Lv - ^ nicht einerley Lage. (5 4 §.). ^ ^ §. .Ai wenn im gradlinichren Dreyeck eine 26 k ß Seite nach O verlängert wird; so ist der äustere Winkel MO der Summe beyder iig ^ Larst. Machem. I. Th Bb Drev* 386 Der Geometrie erster Theil. Dreyech ihm gegenüber stehenden IVinkek ^Lst- gleich. Beweis. Jeder Winkel im Dreyeck, also auch ML, ist kleiner als 28., also muß es möglich seyn, durch L eine grade Linie L? so zu ziehen, daß der Winkel OL? — ^8L werde. Ware OL? < ^V8L, so könnte sich L? um L gegeu L?) und L6 zu drehen, und solchergestalt würde OL? bis zu 28 wachsen: also muß L? in eine solche Lage kommen können, daß OL? — ML wird. Es sey also OL? - ^L8L, so haben L? lind 8^ einerlei, Lage, ( ;z §.) mithin können L? und 8/^ einander nicht schneiden, (52 §.) also muß OL? < OL/V seyn. Denn wäre OL? ^ OL^, so fiele L? mit L/^ zusammen (18 H.) und ^8 würde von L? geschnitten. Ware OL? > OL^,, so fiele L? in die Fläche des DreyeckS ^6L, und M würde von L? geschnitten, (zi §.) Diesemnach ist OL? < OLM Wenn nun /^L nach 6 und ?L nach ?I verlängert wird; so ist der Winkel OLL — 8M, weil L? uiid ^8 einerlei) Lage haben. (z z§.) Ueberdem ist OLO-^^L?, (26 §.) also auch ^L? — 8^L. Vorhin war OL? — ^8L, Mithin ist ?tL? st- OL? — 8^L st- ^8L, oder MO - 8^L ^6L. 57 §. In jedem gradlinichren Dreyeck ist die Summe aller dreyer LVinkel zweenen rechten Winkeln gleich. 26?. Beweis. Wenn eine Seite 8L des Dreyecks ^8L nach O verlängert wird, so ist MO st- M8 -^28 (22 §.) und MO — ML st- LM, als» ML st- ÜM st- ^LL -- 28. ^ Di LB ! E» ^ L-o M ' T lkn siiiici «L Es MI> ötiij lM rich L !«) Die Ä: oc? Lw- ,-iS P>- Der m. Abschnitt. z87 Die drey Winkel eines Dreyecks zusammen betragen soviel, als die drey Winkel eines jeden andern Dreyecks zrisammen genommen: und wenn zwey Drcyecke einen gleichen Winkel haben, so,ist die Summe der beyden übrigen in dem einen so groß, als in dem andern. Sind zwey Winkel des einen Dreyecks so groß, als zwey Winkel des andern; so ist der dritte Winkel in beyden gleichfalls von einer- ley Grösse. Wenn ein Winkel eines Dreyecks ein rechter, 24^. oder ein stumpfer Winkel ist; so ist jeder von den übrigen beyden ein spitzer Winkel. Durch einerley Punct L können also nicht zwo verschiedene grade Linien Lv, Lb so gezogen werden, daß sie auf einer und eben derselben dritten Lö senkrecht stehen. 58 §. Es ist ein Winkel gegeben nebst i ok. zwsen graben Linien O und L; man soll aus diesen dreyen Stücken ein solches Dreyeck machen, welches den Winkel enthält, und worin die beyden Selten, die den Winkel einschliessen, so groß als die gegebenen Linien D und L stnd. Aust. Man schneide von der Spitze des Winkels ^ augerechnet auf dem einen Schenkel ein Stück — V, und auf dem andern ein Stück — T ab, (40 §.) und ziehe die grade Linie LL: (9 §.) so hat man das verlangte Dreyeck Weil die Kreise, welche man braucht die Puncte 8 und L zu finden, die Schenkel des Winkels auch in ü und e schneiden, (Z8 §.) und der Winkel 8^0 » LtVc ist: ^26 §.)so kann man auch ürziehen, und Bb 2 das z88 Der Geometrie erster Theil. das Dreyeck thut der Aufgabe ebenfalls ein Genüge. 59 §. Wenn die gegebenen Seiten O und L gleich groß sind: so werden auch und gleich groß, und man erhalt ein Dreyeck, das zwo gleiche Seiten hat. Ein Dreyeck von dieser Art Heist ein gleich- schenklichres Dreyeck (-wgmerurum, iloicelez): die beiden gleichen Seiten desselben heissen die gleichen Schenkel, und man steht gewöhnlich die dritte, den vorigen ungleiche, Seite als die Grundlinie des Dreyecks an. Wenn alle drey Seiten eines Dreyecks gleich groß sind: so Heist es ein gleichseitiges Dreyeck (aegui- lalerum, üoplciieun). Die übrigen Dreyecks, die lauter ungleiche Seiten haben, heissen ungleichseitige Dreyecke (loalena). 60 §. 22?. wenn zweyDreyecke und OLL ei- ncn gleichen Winkel haben, so daß L— L ist, und zwo gleiche Selten — O?", LL 7 — LL, die den gleichen Winkel cinschliefsen; so sind die Flacheit dieser Dreyeckc nicht allein, sondern auch die übrigen Seiten und die Winkel gleich groß, die den gleichen Seiten gegen über stehen. Beweis. Man lege das Dreyeck OLL auf?KL so, daß L auf k, und Lb auf KL falle: so muß b aufL, LI) aufkH, und v auf^ fallen. (18 §.) Folglich fallt Ob in zusammen, (12 §.) und das Dreyeck OLb paßt aufE, Ob auf^L, der Winkel O auf , und L auf L. Also Der m. Abschnitt. z89 )tlso sind die beyden Dreyecke AKL lind ALc in IO?. der zehnten Figur nicht der Grösse, sondern nur der Lage nach unterschieden. 6r §. In jedem gleichschenklichren Dreyeck ^(7 sind die Winkel, an der Grundlinie und gleich groß, die den gleichen Schenkeln und entgegen stehen. Beweis. Man verlängere die gleichen Schenkel AL und AL unter der Grundlinie, nehme auf AK unter KL einen beliebigen Punct I), und mache AO — /VI): (40 §.) so ist auch KO—LO. (2 8 §. R.) Nun hat man in den Dreyecken AKO und ALD den Winkel A - A, die Seite AK —AL, und AO — AO; folglich ist KO — 1)0 und AkO — ALO, wie auch AOK — AOL. (6o §.) Diestrwegen hat man ferner in den Dreyecken KOL und KOL, ausser den eben erwiesenen Sätzen AOK— AOL, und KO—OL, noch LO -KO. Also ist der Winkel LKO - KLO, (6o§.), und weil AKO — ALO war: sowirdAKÖ — LKO — ALO — KLO, (28 §. Rechenk.) oder AKL - ALK. Inr gleichseitigen Dreyeck stnd demnach alle drey Winkel gleich groß. Denn wäre auch AK — KL; so wäre A - ALK, folglich auch A — /VKL. Weil übrigens alle drey Winkel zusammen zwey rechte Winkel ausmachen, (57 H.) so ist jeder Winkel im gleichseitigen Dreyeck — sO. 62 §. w^nn ^Ai 7 ein Ileichschenklichtes Äreyeckrzst. ist, und einer von den gleichen Schenkeln durch die Spitze des der Grundlinie gegen- uder-stehenden Winkels nach L' verlängert Bb z wird: Z90 Der Geometrie erster Theil. wird; so ist der äussere Winkel ^(7 doppelt so groß, als jeder von den Winkeln an der Grundlinie Kl 7 . Beweis. Es ist Hi^O —/^ 80 -h ^ 06 , (;6§.) lind ^60 — 7 ^ 08 , folglich 17^0 — 2^,80 — 2^08. Umgekehrt also ist jeder Winkel an der Grundlinie halb so groß, als der äussere Winkel an der Spitze der Grundlinie gegen über. 6z §. Zweene Winkel, welche im Drcyeck zwoen Ungleichen Seiten gegenüber stehen, stnd ungleich groß, und zwar stehet der grössere wmkei der grössern Seite, dev kleinere aber der kleinern entgegen. yr. Beweis. Wenn im Drcyeck ^80 die Seite ^0 > ^8 ist; so sey ^0 - /^8, (i 2 §. Rech.) und man ziehe 80 : so ist der Winkel ^V 80 — Xk)8. ( 61 §.) Aber -X 80 > ^8O, also ^60 > /VV8. Da nun ^08 >0, (56 H.) so ist ^80 > O. (izH. Rechenk.) wenn also ein Dreycck zweene gleiche Winkel hat, so bar es auch zwo gleiche gegen über stehende Seiten. Denn wenn die Seiten ungleich waren, so waren vermöge des bewiesenen Satzes die gegenüber stehenden Winkel ungleich. Ein Dreyeck, das drep gleich grosse Winkel har, ist gleichseitig. Sind aber zweene Winkel im Dreoeck ungleich groß; so steht dem grössern Winkel die grössere Seite, und dem kleinern Winkel die kleinere Seite entgegen. Denn ist der Winkel ^80 >0: so kann nicht ^0 — ,^X8 senn, weil sonst >^80 —.0 wäre. (61 H.) Es kann auch nicht < ?U> jchn, weil sonst< L seyn nrüste, wie eben 8s didr ) Tr M ft -°K lHj »El »iS ühkk Ä >c. g!st KZ» M xk»S F i^c i!» Der m. Abschnitt. 39^ eben bewiesen ist. Also muß AL > A8 seyn, wenn ALL > L ist. Ist v ein Punct in der Kreisfläche, der vom Mit- 25 k. tessunck L unterschieden ist, und man ziehet durch L und v den Durchmester k.k; so sind alle grade Linien VA, V6 die man auf einer Seite des Durchmessers von v nach den Umfang des Kreises ziehen kann, ungleich groß: und wenn der Bogen 0 ? < AK ist; so ist V6 > VA. Denn man ziehe LA, L 0 , undAO: so ist LAO ^ LOA. (6i §.) Aber VA6 > LAL 5 , also VA6 > LOA. Ueberdem LOA > V6A, also VA6 > V6A, und DO > DA. 64 §. U)enn zwo Seiten und eines Drcy- 29. ecks jo groß sind, als zwo Seiten eines zo. andern Dreyecks nemlich — zrk. und ^(7 — überdem aber der UDinkel den jene einschliessen, grösser, als der Winkel den die leizrcrn einschliessen: so ist auch die dritte Seite ^0 des ersten Dreyecks grösser, als die dritte Seite L?" des letzter». Beweis. Wenn an DI 5 in dem Punct I) ein Winkel KD6 — KAL angeseHt würde: so müste DK zwischen DK und 1)6 fallen, weilkDO > KDK seyn soll. Man nehme DO—AL—DK, und ziehe 150 : so wird K 56 — KL, (Z4§.) und man hat drey Fälle zu unterscheiden. 1) Es kann die Linie KO mit kk znsammenfal- 2 9?. len, wie in der 29 Fig. und dann ist für sich klar daß KO > kk, folglich KL > kk sey. 2) Es kann KO unter kk fallen, wie in der ^k. Zo Fig. Ziehet man sodann noch KO; so ist 156 -l-DO> kk 4- DK, (^4§.) und überdem DO—OK: also ist KO > kk wie vorhin. M Der Geometrie ersierTheil. z l k. z) Es kann KO über kk fallen, wie in der z I Ziehet man wiederum K6; so ist OK6 — OOK, (6i §.) und weil OOK > KOK, so ist auch ÖKO > KOK. Es ist ferner KKO > ÖKO, also KKO > KOK, und K 0 > kk, (6 z §.) folglich KE > kk. Wenn also zwo Seiten eines Dreyecks /X, L so groß sind, als zwo Seiten eines andern Okk, nein- lich -Xk — DK und AL — DK; die dritte Seite KL des ersten aber grösser ist, als die dritte Kk des zweyten: so ist der Winkel KAL, welcher der gröffern KL gegenübersteht, grösser als der Winkel KOK, welcher der kleinern entgegen steht. Denn wäre K,,L — KDK; so müßte KL — KK seyn: (6o §.) und wäre KAL < KDK; so müßte KL < kk seyn, wie eben bewiesen worden, welches beydes wider die Voraussetzung ist. Also ist KAL > KDK, wenn KL > kk ist. 6; §. 2 ok. llVenn die drey Seiten eines Dreyecks ^NC !o groß sind, als die drey Seiten eines andern DLL, näinlico - O L, NC- LA. >/C-OL: so sind die Drcyccke selbst gleich groß, und die IVrnkel, welck)e den gleichen Seiten gegenüber sieben. Beweis. Weil AK — DK, AL —DK, und über- dem KL — KK angenoinmen wird; so ist der Winkel KAL — KDK. Denn wäre KAL > KOK, oder KAL -< KOI': so wäre in: ersten Falle KL > kk, und im zweytess Falle KL < Kk, (64§.) welches bendes der Voraussetzung entgegen ist. Also ist KAL — KDK, folglich dgS Dreycck AKL — Dkk, auch die Winkel k — k, L — k. (6o §.) Legt Der Hl. Abschnitt. ?9Z ^ Legt man das eine Dreyeck OK? auf das andre so, daß k auf 6, und k? auf KL fällt; so paßen die 7^ Dreyecke auf einander. Deswegen kann man auf v k!b xjner Seite einer graden Linie KL als einer Grund- ^ ^ ßnie nicht zwey unterschiedene Dreyecke sehen, wenn L j, auch die übrigen beyden Seiten gleich groß seyn, und » die gleichen Seiten an einerlei) Endpunct der Grundriß linie KL liegen sollen. Diese lehre Einschränkung Mi ist deswegen nöthig, weil OK? auf rVKL nicht noth- E y wendig paßen würde, wenn man OK? verkehrt auf M, ^KL so legte, daß? in 6, und k in L fiele. Denn ö c die Winkel K und L sind ungleich, wenn ^6 und /VL )v!,d ungleich sind, (6z §.) also sind in eben dem Fall , M auch k und? ungleiche Winkel. rd< 66 H. » Ein Rrcis LWDL' rann einen andern LLO//1;?. nicht in mehr als zwcenen punctcn schneiden, Mid diese puncre liegen auf verschiedenen Seiten der graden Linie welche durch dey- der Preise L^Zicrelpuncte ^ und /? gehet. M Beweis. In der Linie rVK kann keiir Durchschnitts- pnnet liegen, weil Kreise, die durch einen Punct die- rbkll sti- hnie gehen, einander nur berühren. (47. 48 §.) yv Wenn nun ein Durchschnittspunct außer /VK in L liegt: so kann aus eben der Seite von ^k kein andrer D Durchschnittspunct liegen. Wäre c ein solcher Kis Durchschnittspunct; so hätte man zwey Dreyecke -x ^KL und L^kc, worin XlÜ — ^c, und KL — kc seyn , müste, (z 4 §.) und diese Dreyecke fielen nicht zusain- men, welches dem 6; §. entgegen ist. Nun ist aber v Ä gewiß noch ein Durchschnittspunct da, (41 §.) also 'ßs, muß dieser auf der andern Seite von ^k liegen: und wenn dies O istz so fällt auf dieser Seite, vermöge i-i! Bb z des Z94 Der Geometrie erster Theil. des vorigen, wiederum kein neuer Durchschnittspunck. Demnach kann es überhaupt nicht mehr als zweene DurchschnittSpuncte geben. 67 H. » 5^. Es sind drey grade LiitLen «, A -/ gegeben, man soll an der gegebenen Linie eiir Dreyeck setzen, dessen eine Seite — « ist, und sich auf dieser Linie von>^ nach t? erstrecket. Von den übrigen beyden Seiten aber soll die, so durch ^ gehet — /?, und die, so durch das andre Ende der Grundlinie gehet — seyn, vorausgesetzt, daß jede zweene dieser Linien, «,A-/ zusammen grösser als die dritte sind. Aufl. Dian mache /tk — «, (42 H.) und verzeichne mit dem Halbmesser — /Z aus dem Mittelpunkt mit dem Halbmesser — aber aus k einen Kreis: so werden beyde Kreislinien einander schneiden, und es wird auf jeder Seite von einDurch- schnittSpunct fallen. Sind L und v diese Puncte: so kann man und k(^, oder auch i^v und KV ziehen, und man hat in beyden Fällen ein Dreyeck oder ^Vvl'>, wie es verlangt worden. Beweis. Daß oder/VV — /Z, und KL oder KV — sey, erhellet aus dem Z4 §, und daß beyde Kreise einander gewiß schneiden, wenn jede zwo von den gegebenen iinien «, A, -y, zusaiumen grösser, als die dritte sind, ergiebt sich aus dem 42 §. Wenn zwo von den gegebenen Seiten -8 und ein gleichschcnklichkeö Dreyeck, da denn jeder Schenkel /3 oder -y grösser, als die halbe Grundlinie seyn muß. Sind aber alle drey gegebene Seiten gleichgroß: so wird das Dreyeck gleichseitig, welches ^ Der III. Abschnitt. Z95 ^ welches man also auf einer jeden gegebenen Grund» ^ linie leicht verzeichnet. 68 §. ^ Durch einen gegebenen punct (7, der Ln der graden Linie liegt, eine andere grade ^ ^!ich Linie auf senkrecht zu zicben. . Vs» Ausl. Man schneide auf beyden Seiten von L dil, ss ein Paar Stücke Lid — LL ab (40 H.) und setze auf DL ein gleichschenklichtes Dreyeck OLL: so ist die ", ttl- durch L lind L gezogene grade Linie auf A8 senkrecht. rL-/ In der Ausübung ist es nicht nothwendig, die beyden Kreise mit den Halbmessern OL und LL, wel- üdw che zur Verzeichnung nöthig sind, (67 §.) ganz zu W zeichnen: es dienen schon ein paar kleine Bogen da- » von, den Durchschnittspunct L zu finden, den man ^1- eigentlich sucht. Dies ist auch bey den folgenden ich Aufgaben zu merken, wo ähnliche Verzeichnungen Mir: Vorkommen. Lp Beweis. Weil Lv — LL, OL — LL, und M, LL LL ist, so ist OLL ^ OLL ( 65 §.) also LL auf ^8 senkrecht (19 §.). Eine grade Linie, welche die Grundlinie des gleicher schenklichten Dreyecks halbirk, und durch des entge- r.'S gen gesetzten Winkels Spitze geht, steht nicht allein ^ K auf der Grundlinie senkrecht, sondern halbirt auch ' ^ den Winkel an der Spitze und die ganze Fläche des DreyeckZ. Wenn ein Durchmesser LL (2 5 Fig.) die Seh- ^ ne /L8 des Kreises in O halbirt, so steht dieser Durch- ^ messer auf der Sehne senkrecht, und halbirt den Winkel ALL des der Sehne zugehörigen Ausschnitts V-B, A(,LL. - 69 §. Z96 Der Geometrie erster Theil. 69 §. zzL. Emen gegebenen Winkel -ML zu halbiren. 2 lufl. Man nehme auf beyden Schenkeln ein Paar gleiche Stücke IM ^ IM, und setze auf OL ein gleichfchenklichteS Dreyeck OLL: so halbirt LL den Winkel /XLL. Weil nemlich LI) — KL, OL—LL, LL-LL: so istOLL-LLL (65 §.). 7 ° §. Z4L. Eine grade Linie mit einer andern senkrecht zu halbiren. Ausl. Man setze auf /XL ein gleichfchenklichteS Dreyeck/XLL, und halbire den der Grundlinie /XL über stehenden Winkel /XLL: (69 §.) so steht die Linie LL, die den Winkel /XLL halbirt, auf /XL senkrecht, und halbirt /XL. Beweis. Es ist der Winkel /XLO — KLO, überdem /XL — LL, und LI) — Ll); also /XO ^ ^ LO und /XOL — KOL (60 §.) folglich auch LO auf /XL senkrecht ( 19 §.), Eine grade Linie, die den Winkel an der Spitze des gleichscheuklichten Dreyecks halbirt, halbirt auch die Grundlinie senkrecht^ und halbirt überdem das ganze Dreyeck. Umgekehrt: eine grade Linie OL, welche die Grundlinie/XL des gleichscheuklichten Dreyecks /XLL (24 Fig.l senkrecht halbirt, geht durch die Spitze O. Denn sonst könnte man auch LO ziehen, und als- denn waren OL, OL, beyde auf /XL senkrecht, (68 §. ^ welches nicht seyn kaitn ( 20 H.). Ein Durchmesser LL des Kreises, der eine Sehne/XL (2; Kg.) senkrecht halbier, geht durch des Kreises Mittelpunct: und wenii der Durchmesser den «itk dikM ßlic! § - Winkel ßA Kchl S hü-c W- M« E«! süs iiL^ !>irc Äs lchl r ^ Der m. Abschnitt. 599 Winkel OLL. (6g§.) Die Linie L6, welche diesen ^ ^!t Winkel halbirt, steht auf /XL senkrecht (70 H.). ^ Eine grade Linie L6 von der Spitze L des gleicher schenklichten Dreyecks LOL auf die Grundlinie OL senkrecht gezogen halbirt die Grundlinie; denn wenn iW VO - »L wäre, so stünde LO ebenfalls auf OL senkrecht, (68 H.) welches dem 57 §. widerspricht. ^ U Ein auf der Sehne OL senkrechter Durchmesser des kh». Kreises halbirt also die Sehne, lkst» Wenn eine Linie LO auf /XL schief stehet, und also mit ihr auf der einen Seite einen spitzen Winkel LOL, auf der andern einen stumpfen Winkel LOO macht, und man zieht von einem Prmct L der Linie lkg LO auf (XL eine senkrechte Linie: so muß sie auf der M Seite des spitzgen Winkels LOL fallen. Denn ck, ^ fiele sie auf der Seite des stumpfen Winkels in L/s: . so hätte das Dreyeck LO^ bey § einen rechten und Tim bey O einen stumpfen Winkel, welches nicht seyn Mv kann. (z?§.) MM. 74 §. » Durch einen Endpuncc ^ einer gegebenen 44^. graben Linie eine andre darauf senkrecht 1.7V zu ziehen. 2 lufl. Man nehme (XO von willkührlicher Grösse, und sehe über /XO als einer Grundlinie das OA gleichschenklichte Dreyeck (XLO. 2 tus dem Mittel- punct L mit dem Halbmesser L-X verzeichne man einen Kreis, so wird derselbe auch durch O gehen. A Durch L und O ziehe man einen Durchmesser dieses " 2 Kreises, und hicrnächst (XL, so steht -XL auf (XL I« senkrecht. Beweib. Es ist (XLO - 2L(XL, und (XLL ^ sL(XOz (62 §.) also (XLO -h (XLL—2(L(XL D!' ^ 7hL(XV). 4oo Der Geometrie erster Theil. 4- L/M>. Aber ^LO 4 ^LL -- 2L, (22 §.) folglich L-^L L^O, oderO/^L-L. 75 §- Nechtwinklichte Dreyecke (reökgnZuIa, nrtbo- «onia) heissen diejenigen, welche einen rechten Win- - kel haben: alle übrige werden schicswinkiichte Dreyecke (nbliguüUAuIa) genannt. Ist ein Winkel stumpf, so Heist es ein stumpfwinklichtes (obw- hinAuIum, rnnl) 1 vAui>iuin,l lind wenn alle drey Wim kel spitze sind, ein spitzwinklichres Dreyeck (acu- wnAulum, oxv»nniuin). Im rechtwinklichten Dreyeck, wird die Seite, welche dem rechten Winkel entgegen stehet, die Hypothenuse genannt, die übrigen Seiten aber, welche den rechten Winkel eiu- schliessen, heissen die Larheri oder Perpendicularr Seiten, wovon man gemeiniglich eine als die Grundlinie des Dreyecks ansieht. Im rechtwinklichten Dreyecke ist also die Hypo- thenuse, und im strunpfwinklichten Dreyecke diejenige Seite die grosse, welche dem stumpfen Winkel gegenüber stehet (62 §.). 76 §. . Unter allen graben Linien, die man von einem puncr 0, der ausser der graben Linie ^ liegt, nach einem punct in dieser Linie ziehen kann, ist die senkrechte Linie LO die kleinste. Und wenn L und 7? ein paar puncre sind, die in auf eben der Seite derIIormalltnie LO liegen: so ist allemahl die grade Linie LA' > LL, wenn > -OL ist. Beweis. Eine jede stlcher Linien, wie LL, LL ist im rechtwinklichten Dreyecke LOL oder LOL die Hypothenuse, und LO eine Perpendiculär-Seite. Deö- js,D bkkö K ikkAcn Hi !>>lk,l! NSk/ mlcr ÄÄ jit,» .Lk. 1 V !^ksc 40t Der Hl. Abschnitt. Mil«. Äl! T»- h«. Äo, i'Ä Deswegen ist allcmahlLl > LI), oder LI > LI). (7 Z 8-) Wenn aber I und I auf einer Seite des Perpendiculs LI) liegen, und es ist DI > DI: so ist attemahl der Winkel LII > LDI. (56 jl.) Also LII ein stlimpfer Winkel, und LI > LI (75 H.) Man kann also von L »lach auf einer Seite der Normallinie Li) nicht zwo unterschiedene gleich grosse grade Linien ziehen. Ein Kreis mit dem Halbmesser LI beschrieben schneidet weil LD < LI ist, und zwar einmahl in I, aber der andre Durchschnittspunct 6 fällt noch- wendig auf der andern Seite der Normallinie LD, weil LO — LI nicht mit LI aus einer Seite liegen, kann. «- »firm F rkn sii. si«d» iB-e >kk>- 77 H. wenn LDD ein gleichschenklichresDreyeck, zül. und LD — LD ist: so ist jede grade Linie L// von der Spitze L naci) der Grundlinie DD in--, ucrhaib des Dreyecks kleiner, als die Schenkel. ^edc Linie LD aber nach der verlängerten Grundlinie ausserhalb des Dreyecks, ist grösser, als die Schenkel LD, LD, stnd. Beweis. Die senkrechte Linie L6 auf DI fällt nothwcndig innerhalb des Dreyecks, (74 H.) und es ist L'6 < LD. (76 §.) Da also allemahl LDI > I, wenn LD auf DI schief stehet; so ist LD < Ol. Eben so ist allemahl LIL > I, (56 ^.) also Li > LI. Wenn also ein Kreis die grade Linie in D und I schneidet; so fallt das Stuck DI ganz innerhalb des Kreises. Demnach liegt jede Sehne ganz innerhalb der Kreisstäche. - " . > - -- Rarst. Mach. Th. I. Cc 78 §. 4O2 Der Geometrie erster Ther'l. 78 §. -Sk)?. wenn zwey Drcyecke DLL einen ' gleichen Winkel haben, so daß L — L ist, und zwo gleiche Seiten, die den gleichen Winkel nicht einschliejscn, ncmlich — DL, ^ 7(7 ^ DL' wenn überdem die dem gleichen Winkel gegenüberstchendc Seite/XL, DL grosser ist, als die anliegende Seite/XL, DL: jo sind die ganzen Dreiecke /XLL, DLL gleich groß, und die übrigen Seiten, nebst den Winkeln, die den gleichen Seiten gegcnüberstehen. ^ 2 ?cweis. Unter den angenommenen Bedingungen ,st auch LU — LL. Denn es sey nicht LL, sondern LO oder L^ — UL: so ist L >0 oder Do — /XL. s vo H.) 'Also im ersten Falle auch DO — DI', und DOL ein gleichschenklichteS Dreyeck, mithin Dl') > DO, (77 §.) oder /XL > /XL wider die Voraussetzung. Wäre Lg — LL; so wäre OL^ ein gleichschenklichteS Dreyeck und DL > Dl-, oder wiederum XL > /XL. Demnach muß LL — LL seyn: also ist auch /X — LDL, L — OLL, und daS Dreyeck /XLL — DLL (65 §.). Wenn also rechcwinkiichrc drcyecke zwo gleiche Seiten haben, die den rechten Winkel niche einschliessen; so passen sie auf einander, und di« übrigen Seiten und Winkel sind von gleicher Grösse. Denn die dem rechten Winkel entgegen stehende Hy- pothenuse ist grösser als die anliegende Perpendicular-- seite. (75 §.). 79 §. 40. Es ist ein Winkel L gegeben nebst zwocn 4»L. graden Linien Lund L, man soll ein Dreyeck verzeichnen, worin zwo Seiten, die den Winkel 5 , 1 »*" ' , ^ HMIÜ rc ck k mW, «L7.1 fsllüi, rii > 1 ^ Der m. Abschnitt. 4SZ kl!» jlH ftk-, 2D üllNI öc> K. cm zO Ski« , B- ^ E k-l kel nicht einschliefsen, so groß als die gegebenen Limen L, ^ sind. ?lnfl. Man nehme auf dem einen Schenkel des Winkels k das Stück — der einen gegebenen Linie L, und aus dem Mittelpunkt ^ beschreibe man mit einem Halbmesser, welcher der andern gegebenen Linie l' gleich ist, einen Kreis, dieser wird den andern Schenkel KL des Winkels k schneiden-, dasern.VL grösser ist, als die Normallinie, die von ^ auskL fällt. Wenn nun k > L ist, wie in der 40 Figur; so fal- 42?, len die Durchschnittöpuncte L und 1 ) der graben Linie KL und des Kreises auf entgegengesetzten Seiten von Sie können nicht auf einer Seite fallen, wie in der 41 Figur, weil sonst 7 M < Lk, (77 §.) d. i. -< L seyn würde. Wenn also b" > L ist, sa muß inan von ^ nach dem DurchschnittSpunct L, welcher aus der Seite des gegebenen Winkels fällt, A.L ziehen, und /XLL wird das verlangte Dreyeck seyn. Wenn I' < ?. ist, wie in der 41 Figur; so fallen beyde Dlirchschnitcspunrte O und L auf einer Seite ^ von Sie können nicht auf verschiedenen Seiten fallen, wie in der 40 Figur, weil sonst lauf »kdr Ich Lil- ch ! IV l ml M s«k- lilük illlB z 65 z ck ! co Der Ul. Abschnitt. 4^5 Lv haben nun einerlei) läge, (zz §.) und sind um deswillen parallel. (82 H.) Die Winkel HOL, und MV, pflegte man die Wcchselswinkel zu nennen, so wie LOK der äussere, und Lliv der innere heißt. Wenn also zwo grade Linien Hk, Lv, von einer dritten LL geschni^- ten werden, so ist die Gleichheit des äußern und in- nern Winkels, oder die Gleichheit der WechselSwin-- kel, ein-Kennzeichen der parallelen Lage der graben Linien Hk und Ov. — Die Winkel LIflv und KOL können afle beyde innere Winkel heissen: zu KOL gehört alsdenn der äussere Winkel vläL. Wenn übrigens Llflvfl-KOL — 2L wäre; so ist auch LOL fl- HOL — 2K, (22 §.) also Llflv fl-LOL - KOL fl- HOL, mithin MV — HOL. wenn demnach zwo grade Linien und OOeine dritte LH so schneiden, daß dir deyden innern Winkel zwey rechte Winkel ausmachen, so sind und 0/) parallel. Es ist gleichgültig, ob man die beyden innern Winkel an der einen oder der andern Seite von LL versteht. Denn es ist HOL fl-LOL — 2?v, und OlflL fl-VVL - 2^, (22 §.) also HOL fl-KOL fl- OcflL fl- OlflL — 4L. Wenn demnach LLIV fl- KOL — 2 L ist; so hat man auch HOL fl- LLIL — 2 L, und umgekehrt. 82 §. wenn zwo grade Linien L 7 O, die in 42?. emerley Ebene einerley Lage haben, mir einer dritten L?' in O und L geschnnren werden; so sind nicht allein jeder äussere dem zugehörigen nmern, und beydeWechstlswinkel gleich; sondern es ist auch überdcm an jeder Seite die ? Ec z Summe 4v6 Der Geometrie erster Theil. Summe der beiden innen; Winkel zweenen rechten Winkeln gleich. Beweis. Daß 868 oder ^68 — kW sey, wenn ^8 und 6O einerlei) sage haben, ist aus dem z; bekannt. Ueberdem aber ist 86k -j- ^68 28, also 86k -l- 8llO — 2 8, und eben deswegen auch ^6k -h 6blk — 28. ( 8 r §.) 8Z §. 42k. werden dagegen zwo grade Linien aS und LD, die in einerlei Ebene nicht cincrley Lage haben, mit einer dritten L8" in 6 und ^ geschnitten; jo ist auf der einen Seite der äussere Winkel grösser, auf der andern Seite kleiner, als der gegenüber-stehende innere: auch ist auf der Seite, wo der äussere Winkel den inncrn überrrifr, die Summe der beydcr; Lnnern Winkel kleiner, an der andern Seite dagegen grösser als zweene rechte Winkel. Beweis. Der äussere Winkel 86ä ist nun dem gegenüberstehenden Winkel kill) ungleich, denn sonst hatten aä und Lv cinerley sage. (; z §.) Ferner ist allemahl 86-4-86«---klll) 4- 8 I 4 L — 28: wenn also 86- > 8lll) ist, so ist dagegen 86« -< 8llL, und umgekehrt. Es sei) also 86- > kill), so ist 8148 » -s- -68 < 86- 4- -68, folglich 8blO 4- -68 <28. Ueberdem ist alsdenn 86 a 86«-8«68, oder 8bIL-8 «68 >28. 84 §. 42k. wenn eine Seitenlinie und ein anliegender Winkel 6/M gegeben find; jo kann man aus beyden ein solches Drcycck verzeichnen, worin der Winkel, welcher der gegebenen Ms K6-- rjkrL: >yE>xn Der UI. Abschnitt. -407 nen Seite gegenüber steht, kleiner ist, crls jeder gegebene Winkel. Beweis In demjenigen Schenkel klb des gegebenen Winkels, dessen Lange nicht bestimmt ist, nehme man einen Punct XI, wo man will, an, und ziehe 6 X 1 ; mm nehme hiemachst Xlbl -^X16, und ziehe 6 X 1 , jo ist 6 XkI — 6 X 1 lg: ( 6 s §.) man nehme aujv neue XO — bI 6 , und ziehe 60, so ist 60X - i-OM, also 60X1 - ^ . 6 XM: weiter nehme man O? — 00 und ziehe Ost, so ist Oklk - ^OObl, also O?» - ^ 6 X 1 ». Fahrt mau so fort, so wird jedesmahl der Winkel an der Spitze im folgenden Dreycck halb sogroß, als er im vorigen war. Im folgenden dienen Dreyeck, 6 biI I für das erste gezahlt, wird dieser Winkel — ^ 6X1II, und nach rrmahliger Wiederholung desstlben Verfahrens ^ 6 XII I: die Zahl 2 " aber kann so groß werden, daß 6 X 1 II kleiner wird, als jeder Winkel, der sich angeben laßt, er sey so klein, als er wolle. (128 §. Rechmk.) 85 §- Zwo grade Linien aS, <7D, die in einerlei Ebene nicht cinerley Lage haben, schneiden einander nach der Seite verlängert, wo die Summe der innernwinkcl, wenn man bcyde mit einer dritten schneidet, kleiner als die Summe zweener rechten Winkel ist. Cc 4 Beweis. c? 4v8 Der Gcömetrie erster Theil. Beweis. Die Innern Winkes, deren Sum- me < 2 X ist, liegen an der Seite, wo der äusters Winkel XO/- grösser ist, als der innere gegenüber- stehende, III!), ( 8 z H.) sey also XOö > IUI) und man mache 161 — III), st haben 01 und LI) cinerley Lage, und e 6 ist II1I) 4 - 161 ^ 2 X. (8 2 §.) Weil nun 1110 4 -61 < K 2 >< ist, st ist XIII) 4 /- 6 I < 1110 4 161, und ^ 561 < 161, inithin liegt 6 ü zwischen den Sehen- )rB. ^ kein des Winkels 1.(11, und 16/, - 1165 - Ü 6 I ist M ein gegebener Winkel. Man nehme OH und den anliegenden Winkel 6111) als gegebene Stücke an, Htss, und zeichne über Oll ein Dreyeck, worin der Winkel 6011 der Seitenlinie Oll gegenüber kleiner als 16- kchcvL ist ; (84 §.) st ist überdem 6011 — 100 , ( 2 8 §.) ' also 100 < 16/-. Es ist aber 1160 4 160 -- -61 416/-, also nun 1160 4/-6I, mithin liegt 6L zwischen den Schenkeln des Winkels H6.0 in der > Fläche des Dreyecks 1160, und 6- verlängert schnei- ! ; det HO. (z:§.) istzm 86 §. parallele Linie'.: baden in einerley Ebene H«, einerlei Lage. Beweis. Denn parallele Linien liegen in einer- . m,:ss,c ley Ebene, st daß sie nicht zusammen laufen, und einander schneiden können. ( 8 o §.) Hätten sie aber ^ nicht einerley Lage, so würden sie verlängert einander j,j^ schneiden, (85 §.) welches jenem widerspricht: also haben parallele Linien in einerley Ebene einerley Lage. Wenn demnach zwo parallele Linien von einer 4^4 dritten geschnitten werden; st sind nicht allein der äussere und innere Winkel, so wie beyde Wechsels- /' Winkel gleich groß, sondern auch die Summe der beyden ^ Der M. Abschnitt. 4^9 beyden iimem Winkel ist zweenen rechten Winkeln gleich. (82 §. Der Satz des 85 §. ist beym Euclides ein Grund salz, den er ohne Beweis annimmt, und sowohl seine Ausleger, als auch andre Schriftsteller haben versucht, davon einen scharfen Beweis zu geben, wovon man in des H. Pros. Ixlügels Abhandlung: Oonatuum piaeaipnomin tlieoririm pamlls- jrirnin cielnonlir-urai recenün, Oott. 176z, Nachrichten findet. Statt eines ehemals von mir gebrauchten Verfahrens, dessen auch H. Alügel er- wehnt hat, halte ich nun das hier gebrauchte für vollkommen befriedigend. DieSatze des 52. ;z.Z4§. beruhen aus sehr einfachen, und dabey doch so natürlich klaren Begriffen, daß icl^dafür halte, niemand werde sich ein Bedenken machen , sie als Grundsätze gelten zu lassen. 87 §. . . ^ Zwo grade Linien und ( 7 /), die mit 4 Zk- einer dritten DS parallel laufen, sind auch unter sic!) parallel. Eine grade Linie aL aber, die eine von 42k. zwsen parallelen schneidet, must, wenn man sie verlängert, auch die andre SD mit der vorigen unter eincrlcy Winkel schneiden. - Beweis. Weil AK und LO mit 0? (4 z Fig.) einerlei) läge haben, wenn AL und 00 mit Ob parallel find, (86 §.) so haben AL und 00 auch für sich einerlei) läge, wie schon für sich klar ist. Waren M und a/, mit 00 (42 F.) aber nicht unter sich parallel; so müßten AL und aL einander irgendwo in 6 schneideil. Man nehme bl Ln OO, und ziehe Ob' durch 6 und!!; so müßte nun L6L - WO seyn, weil AL 4 s OO Cc 5 senk 4IO Der Geometrie erster Theil. seyn soll, und überdem HO- — LkM, weil zugseich «L 60 seyn soll: mithin wäre L66 — L6/-, welches nicht seyn kann. Würde von den bcyden Parallellinien HK und LO die eine Hk von einer dritten graden Linie uö geschnitten, ohne daß aö auch 60 schnitte; so waren t-ü und 60 parallel, (80 §.) und hatten einerley Lage: (86 §.) mithin müßte vermöge des vorigen Satzes auch a- mit Hk parallel seyn, und nü könnte Hl? ebenfalls nicht schneiden. Diesemnach wird 60 von aü und zwar so geschnitten, daß beyde mit einander einen Winkel von eben der Grösse, wie HL und aL ejn-- schliefsen. (86§.) 88 §. . wenn die Schenkel 6L, DHs, und 6Z, DL. zweener Winkel DtDi und H'DL, die in Ansehung der Spitzen 6 und D nach einer Seite zu liegen, parallel sind, so sind die Winkel gleich groß. Beweis. Weil 66 nnt DL parallel ist, und 66 von Ok. geschnitten wird; so wird auch OL von OL geschnitten, wenn man diese beyden Schenkel durch O und 6 nach bl verlängert. (8?<-.) Wenn nun bl der DurchschnittSpunct ist, so hat man L66 - LblO, und LOL - LblO, (86 §.) mithin auch LOK -- LOL. 8Y §. wenn zwey Dreyecke DDD gleiche Winkel haben L — L, — D, also auch 6—D(Z 7 H.) und überdrrn eine gleiche Seite, die zwischen gleichen Winkeln liegt ^6— LW: so passen die Dreyecke auf einander, und die Der m. Abschnitt. 4n die Seiten sind gleich groß, die den gleichen Winkeln gegenubcrsiehen. Beweis. Die Seite LL paßt auf 80, der Winkel 0 auf 8 und k auf 0. ( 18 §.) 'Also fallt Lv mir 8A und kl) mit LA zusammen, und als- denn liegt O iu öeyden Linien 8A und 0A zugleich, mithin fällt auch I) mit /V zusammen. Folglich paffen dieDreyecke aufeinder, und es ist auch AO — OL, AL — OL. wenn zwey bey Ä und D rechtwinklichte 49^- Dreiecke DAL, DL?' eine gleiche Perpcndl- cularseice haben, ncinlich LL — L?', und unglcrche anliegende stailze Winkel ^LL, DLL; so sind die entgegengesetzten Seiten und DL auch ungleich, und zwar sicher die grössere Seite dem grösser,! Winkel entgegen. Beweis. Es fey ALL > L, und man mache 608 — k: so muß 06 zwischen OA und 08 fallen, weil 608 08 wird. Es ist aber 68 — OL, (89 §.) also auch AL > OL. yr §. Es isi eine grade Linie LL ncbsi zweenen ;o. Winkeln«und/Zgegeben, die beyde zusam- ziL. men kleiner, als zweene rechte sind; man soll ein Drcyeck verzeichnen, worin eine Seiten ^0, ein Winkel — «, und ein andrer — /Z isi. Llusi. Dies last sich auf zweyerley Art bewerkstelligen. Denn man kann das Drcyeck so verzeichnen, daß beyde Winkel« und /Z an der Seite KL an- kegen: man kann es auch so verzeichnen, daß einer von 412 Der Geometrie erster Theil. von diesen beyden Winkeln der Seite KL gegenüber- stehek. r. Seht man an KL bey 6 den Winkel ^KL — «, und bey L den Winkel ^Lk /Z: so schneiden ^8 und einander, oberhalb KL, (8; §.) und es er- giebt sich ein Dreyeck L1KL, welä-es die verlangten Eigenschaften hat. ^ ik Soll /Z der Seite KL gegenüber stehen: so ver- ' fahre man so: Nachdem äkL — « gemachr worden, mache man/VkO^/Z und verlängere KL durch K uachk: so erhalt man den Winkel KKI) —wel- cher mit « -ff /Z zweens rechte Winkel ausmacht. (2 2§.) Man mache nun KL^ — so werden 8^. und L^ zusammen stoffen, weil«-b-/ < o k, und man wird ein Dreycck /^KL erhalten, worin — 2K. — («-i-V,) (57 §-) also^-/Z .st. 92 §. Weil die Entfernung eines Orts vom andern überhaupt der kürzeste Weg ist, der von einem Ort zum andern führt, (zz §.-) so ist die Entfernug eines 0.7 Punctö L von einer graben kirne ^k mit der graben ' Linie LI) einerlei-, die sich von L auf tlk senkrecht ^ ziehen last. (76 §.) Wie weit eine grade Linie ^ ' in irgend einen! ihrer Puncke k von einer andern LD entfernt sey, wird also durch die Gröffe der vonk nach LO gezogenen Normallinie kl? bestimmt. 93 H- ^ wenn zwo Entfernungen DD, LD einer ^ graden Linie DÄ von einer andern LD gleich groß sind: so sind die Linien DD, LI) parallel, wenn dagegen zwo Entfernungen DD, DL ( 54§ig.) einer graden Linie DL von der andern ungleich sind, so läuft DL mir DD nach der Der Hl. Abschnitt. der Seite verlängert zusammen, wo die Entfernung die kleinere ist. Beweis, i.) Ziehet man Lll, so ist LO6 ^ ibLO, weil Lk chs 6Ll ist. Ueberdem wird vor- ausgeseht, es sey Lk ^ 6I I, und es ist LII — LII. Demnach istin denDreyeckenLLKI undLLO(6oh.) der Winkel L6LI — LLKI — k. 6OL, und HL^.LO (8o§.). 2.) Man verlängere KL, nehme HL — HD, und ziehe OL, so ist OL 4 s Hk: (vermöge n. i.) also KHO -I- HOL - 2K, (86 §.) und weil KHO so ist auch HOL — k, mithin HOC < k, und OL muß mit Hk nach L und L verlängert zusammen laufen. (85 §.). parallele Linien sind also durchgängig gleichwcic von einander entfernt. Denn wenn nur zwo Entfernungen der einen von der andern ungleich wären, so wären die Linien nicht parallel. Nicht parallele Linien DO nähern sich einander immer mehr je näher ste ihrem Durchschnirrspuncr kommen. Wenn nem- lich vH, Lk, zwo Entfernungen sind; so ist HOL, so wie KLL — OLL -< k., und die lothrechte Linie OL auf KL fallt so, daß KL > KL wird. ?llsdenn aber ist KL — HO, also HO > KL. Auf der andern Seite des Durchfchnittspunetö L, wachsen die Entfernungen, ör,ach wieder wie sie vorher abnahmen. 94 §. Alle puncre L, 6, u. s. f. die von einer 52k. graben Linze LD gleichweir entfernt sind, liegen in grader Linre. Beweis. 4i4 Der Geometrie erster Theil. Beweis. Es sey pk' — Okk — I-.X, und jede dieser graben Linien sey auf LI) senkrecht; so ist die grade Linie durch L und 6 mit ED parallel, (9 z H.) und schneidet Kk. (87 §.) in einem solchen Punct, der von LO eben so weit, als L und 6 entfernt ist: also muß 0 der Durchschnittspunct seyn, oder 0 muß in der verlängerten Linie HO liegen. Von den Vierecken, und insbesondre den Parallelogrammen. 95 §- /Am Viereck lVKLV, worin jede zwo entgegen ge- setzte Seiten, l^K und Lp, imgleichen ckp und KO, parallel sind, heißt ein Parallelogramm. Wenn dagegen nur zwo entgegen gesetzte Seiten im Viereck parallel sind; so heißt die Figur ein Trapes zium: rmd wenn keine Seite mit einer andern parallel ist, ein Trapezoidcs oder schlechthin ein Viereck. . Weil man durch zweene Puncte ck, k, einer von zwoen Parallellinien .^k, OL, in jeder Lage gegen 7^k wiederum zwo andre Parallelinien ckp, KL, ziehen kann, welche LD ebenfalls schneiden, (88 H.) so wird solchergestalt ein Parallelogramm verzeichnet. Eine grade Linie, die zwischen den Spitzen zwee- ner Winkel einer gradlinichten Figrir, und überdem ganz in der Flache der Figur liegt, heißt eine Dia- gonallime der Figur. Der y6 § Jeder !kK ü M. im I» p » Die IV. Abschnitt. 4 ,5 Jedes Viereck laßt sich vermittelst einer solchen Diagonalllnie in zwey Dreyecke theilen, auch al§- denn, wenn es einen erhabenen Winkel hat, wie MOL in der 66 Fig. Denn die grade Linie LO zwischen den Spitzen des erhabenen und des ihm gegenüber liegenden hohlen Winkels liegt um deßwillen in der Fläche des Vierecks, weil die übrigen beydea Winkel nothwendig hohle Winkel sind. (ZO §.') Alle sechs Winkel dieser beyden Dreyecke sind zusammen so groß, als die Summe der vier Winkel deö Vierecks: mithin machen alle vier Winkel eines jeden Vierecks die Summe von vier rechten Winkeln aus. (57 §.). 97 §- wenn -M und FO, ein paar gleich große parallellinicn sind, und man ziehet auf jeder Seite die Endpuncre mit den graden Linien -Mund < 7/9 zusammen; so wird das Viereck -MOD ein Parallelogramm. Beweis. Man ziehe die Diagonallinie KO; sa ist in den Dreyecken MO und LLO der Winkel ^vti - DKL, ( 86 H.) die Seite iM -- LO, und LO -- KO, also der Winkel ^KO^LOL: (6o§.) folglich /ch mit O'O parallel. (80 §.). ^ 98 §. ^sn einenr Parallelogramm ist je- 5z?. der Winkel dem gegenüberstehcnden gleich; und umgekehrt: ein Viereck, worin jeder Winkel jo groß ist als der gcgcnüderstekende ist ein Parallelogramm. Beweis. Es ist/^-^OL—2K— (86 §.) also ^VO' -- ^ 80 . Ferner ^ -f ^OL S: -- /VOL -l- L (86 §.) also auch ^ — 6 (28 §. 4i6 Der Geometrie erster Theil. (28 §. Rech.) In jedem Viereck aber ist /X 4 - /X60 4 - 0 4 - >X1)0 — 4 K (96 H.) wenn also /X — 0 und /X60 — /XI)0 ist, so hat man 2 .X 4 - 2 /X 8 O — 48, und -X 4- X 60 — 28, folglich auch X 4- /X 1)0 — 28, und es ist >XI) 44 8 / so wie ^8 cks 01 ). 99 §- In jedem Parallelogramm ;:>?d i - cntge- Iengestc;ren Seiten gleich; und t!!r,.;ekei-rt: ein Viereck, worin jede zwo c, rgegengejetzre Seiten gleict) sind, ist ein parallelostr min. Beweis. Wenn /X601) ein Parallelogramm ist, und man ziehet die Diagonallinie 81); so ist in den Dreyecken/X61), und 081) der Winkel/XO 8 — 1)60, und /X81) — 81)0. (86 §.) Da nun auch 8 O —81) ist; so ist -X 6 — 01), und /XI) — 80. ( 89 ^.) Wenn abep in dem Viereck-X601) die Seite /X 8 — 01) und /XI) — 60 ist; so ist über- den: 61) — 81). Folglich in den Dreyecken /X 8 I), und 81)0 der Winkel >XI )6 ^ 1)80, also /XI) cks 80, überdem /X81) — 81)0, (65 §.) mithin auch/X 6 chs 01). ( 8 o§.). Jedes Parallelogramm wird vermittelst derDia- gonallinie in zwey Dreyecke getheilt, die'gleich grosse Seiten und Winkel, also auch eine gleiche Flache haben: und wenn in einem Parallelogramm /X80i) zwo Seiten -X 8 , 01), die einen Winkel -X einschlies- sen, gleich groß sind; so sind alle Seiten gleich groß. 100 §. Wenn ein Winkel eines Parallelogramms ein rechter Winkel ist, so sind die übrigen alle auch rechte Winkel, und das Parallelogramm heißt alödenn ein Rechteck. Wofern dagegen ein Winkel des Pa" rallelo-- 4i? Der IV. Abschnitt. rallelogramms schief ist; so sind die übrigen alle auch schief, (99 zwey einander entgegen gesetzte sind spitze und die übrigen beyden stumpfe 'v inkel. Ein (Quadrat ist ein gleichseitiges und recht- winklichtes, ein Rhoindus aber ein gleichseitiges und schiefwinklichtes Parallelogramm. Das ungleichseitige und schiefwinklichte Parallelogramm heißt auch wohl ein Rbomboides. !0I §. Es ist ein Winkel nebst zvvoen Gei- 5Z^. ten L und ^gegeben, man soll aus diesen Stücken ein Parallelogramm verzeichnen. Aust. Man nehme auf dem einen Schenkel des gegebenen Winkels AK — L, und auf dem andern AI) — k. Mit dein Halbmesser AI) verzeichne man aus 8, und mit dem Halbmesser AK aus I) Kreise. Diese werden sich schneiden, weil AKI) ein Dreyeck ist: (42 §.) der eine DurchschnittSpunct ist mit A einerley, und der andre fallt über KO. >,66ßA Er sep L, und man ziehe HO und LI): so ist ALLO ein Parallelogramm, weil AL — LI), und AO -KList. (99. §.). In der Ausübung ist es nicht nöthig, die ganzen Kreise zu zeichnen, denn man sucht eigentlich nur den über LO fallenden DurchschnittSpunct, und diesen erhalt man schon durch ein paar mäßige Bogen derselben. Soll man auf einer gegebenen graden Linie AL ^ s, ein Quadrat setzen; so bedarf man weiter keiner andern gegebenen Stücke. Man setzt auf AL durch A eine senkrechte Linie (74 §.) nimmt aus derselben AI) -- AL, und verfahret wie vorhin: so erhalt man das Quadrat ALLI). Rarst.Marhem.l.TH. Dd Wenn > ' I 4I8 Der Geometrie ersterTheil. ;6k. Wenn zwo Seiten L und L gegeben sind, und man soll daraus ein Rechteck verzeichnen; so bedarf man weiter keines gegebenen Winkels. Auf einer graden Linie -Xk setzt man, wie vorhin, eine senkrechte Linie -Xv; so ist V-XL der gegebene Winkel: übrigens verfahrt man nach den gegebenen Regeln. ;7?. Soll man auf einer gegebenen Linie -XL einen Rhombum setzen; so muß man den Winkel« wissen, den die Seiten des Rhombi einschliessen sollen. Man macht den Winkel L/Xv — «, und -XI) - -XL: übrigens ergiebt sich der Rhombus -XLLV wie vorhin. IO2 §. §8^. Zwey Quadrate-XLLS), LL6V, die gleiche Seiten haben, passen auf einander, und sind gleich groß. Wenn aber die Seite -XL desQuadratS -XLLVkleiner als die Seite LI des Quadrats L!KL ist: so ist -XLLV < LIKI.. Denn -Ev past aufdas Stück LL6V, des Quadrats LiKL. Wenn demnach umgekehrt zwo Quadrate gleich groß sind; so sind ihre Seiten gleich groß, und des grossem Quadrats Seite ist grösser, als die Seite des kleinern Quadrats. IOZ §. Nimmt man im Parallelogramm eine Seite für die Grundlinie an; so ist die Höhe des Parallelogramms die Entfernung der entgegengesetzten Seite von dieser Grundlinie. Und wenn man im Dreyeck eine Seite für die Grundlinie nimmt; so ist die Höhe des Dreyecks die Entfernung der Spitze des entgegengesetzten Winkels von dieser Grundlinie. 5 Wenn im rechtwinklichten Parallelogramm XKLI) eine Seite, welche man will, z. E. All die Grundlinie ist; so ist die anliegende Seite AO oder KL, dis Höhe: X E Mn M' Mm ws M !k .. 'Q Der IV. Abschnitt. 419 L Höhe: und wenn im rechtwinklichten Dreyeck WL 1 der eine Cathetus KL die Grundlinie ist; so ist der 49k. f andre /W die Höhe, z 104 §. Parallelogramme und die 59?. gleiche Grundlinien und Hohen haben, sind gleich groß. » Beweis. Man kann allemahl das eine/Wb? ^ so auf das andre/VKLO legen, daß beyde Grundlinien zusammenfallen, wie die Figur verstellet. Sind nun die Höhen gleich; so sind alle Puncte in LO und Ob . gleichweit von /ik entfernt, und deswegen fallen LO i und klb in einer graben Linie. (94 Dafern nun überdem der Winkel O/W — b/^k ist; so paßt Wkb auf ^KLO, und bei,de Figuren sind gleich groß. Wenn aber die Winkel O-^k, und b^k nichtLleich groß sind: so muß man drey Falle unterscheiden. i) Es kann b zwischen O und L fallen, wie in der 59 Figur. Nun ist OL — /W — bk, also ^ DL — Lb — bk — Lb, oder Ob — Lk; ferner iw -- KL, ^Vb- kk: also das Dreyeck^Ob—LLK ( 6; §.) und /^Ob4- ^KLb- KLb 4- tWLb, d. i. Pgr. /^KLO - /^kbb. ^ 2) Es kann binL fallen, und es bleibt das Drey- 60k. ' eckWLO-Kkb, also /^LO4-E-Lkb 4- ^Lb, d. i. Pgr.^kLQ-Eb.' z) Es kannb auf der andern Seite von L fallen, 6ib. ^' so daß KL von in 6 geschnitten wird. Es bleibt aber noch OL-KL, und also OL 4. Lb- Ob 4 LH, oder Ob-Lk, /W - KL, ^b-LK, also das Dreyeck ^Ob-KLb. Ferner/Wb-LLb-KLK - L6b d. i. /WLO — KOKK, und wiederum /WL6 -l-^LL-LLkkch^LL, oderPgr./VkLO ^ ^kkb. Dd 2 Staat 422 Der Geometrie erster Theil. Statt eines gegebenen schiefwinklichten Parallelogramms kann man also allemahl leicht ein recht- winklichteö verzeichnen, das jenem gleich ist, wenn man die eine Seite des rechtwinklichten der Grundlinie, und die andre Seite der Höhe des andern gleich macht. io; §. 62k. Dreyecke O über gleichen Grundlinien, in gleicher Höhe, sind gleich groß. Beweis. Aus den Winkeln H, O, und den Seiten ^l>, ^L, und Ob, Ob verzeichne man die Parallelogramme ^6 und OO, die mit den Dreyccken OKb gleiche Grundlinien und Höhen haben: so ist Pgr. - Pgr. Obl. (104 §.) Also ^^6 — ^ OO, oder das Dreyeck — OKb. (99 §.) Jedes Parallelogramm ist demnach doppelt so groß, als ein Dreyeck, so mit demselben gleiche Grundlinie hat. 106 §. 62k. i.) Ist die Grundlinie OK eines von zweycn gleich hohen Dreyecken /X6L, OKb grösser, als die Grundlinie des zweyten: so ist das Dreyeck OKI- grösser, als Denn ein Theil OK von OK ist nun — und das Dreyeck OKb > OKb, also OKb > S9?. 2.) Wenn in zweyen rechtwinklichten Dreyecken aör, die Grundlinie ^6 — aS ist, aber die Höhe ar > ^L, so ist das Dreneck nör in grösserer Höhe grösser als denn auch ac, ^0, kann man für die Grundlinien nehmen, so sind die Höhen a-, gleich, und der Satz folgt aus dem vorigen. Statt eines jeden von zweycn schiefwinklichten Dreyecken /VIIO, a/>^, auf gleichen Grundlinien in unglei- 42k Der I V. Abschnitt. ungleichen Höhen ac > kann man ans derselben Höhe ein rechtwinklichteö Dreyeck zeichnen, das dein damit zusammen gehörigen schiefwinklichten gleich ^ ist: alödenn ist aäe > t^kL, mithin auch aä§ > ^K6. > z.) Wenn demnach sowohl die Grundlinie, als j auch die Höhe eines Dreyecks grösser, als die Grundlinie und Höhe eines andern Dreyecks ist: so ist noch i um so mehr das erste Dreyeck grösser, als das letzte. > >°7 §. Ein rechtwinkliges Parallelogramm zu 045. verzeichnen, das so groß, als cm gegebenes Dreyeck ^(7 ist. Aust. I. Nachdem man ( 7 ? mit der Grundlinie ^k parallel gezogen hat, theile man /VK bey I) in zwey gleiche Theile, setze 1)17 auf ^k senkrecht, l und ziehe K? mit OL parallel: so ist OöbL das verlangte Rechteck. Beweis. Man ziehe LO: so ist das Rechteck OKI-'L — 2 . OLL (105 §.) und zugleich tVLO - 2 ÖKO, also OKKL - t^kL. Es könnte mich KOL einem jeden andern gegebe- ! nen Winkel gleich genommen werden, wenn das Parallelogramm schiefwinklicht 'werden sollte: allemahl aber wird vermittelst dieser Verzeichnung ein Parallelogramm zuwege gebracht, das mit dem Dreyeck eine gleiche Höhe, und eine halb so grosse Grundlinie als das Dreyeck hat. Statt desselben laßt sich unter eben dem Winkel auch ein andres noch eben so grosses Parallelogramm verzeichnen, wovon eine Seitenlinie eine gegebene Lange hat. II. Man verlängere die Grundlinie t^k nach 6 und nehme K6 so lang, als die gegebene Linie aä ist. Durch 6 ziehe man 6Ll mit l'K parallel, so werden Dd z LL 422 Der Geometrie erster Theil. kill und OOl einander in lll schneiden, und ryan erhalt das Parallelogramm llOlill. Ferner ziehe man in'demselben die Diagonallinie welche Oll in l schneidet, durch I aber IX mit Lll parallel; so werden l»ll und OLL von III in ll und ll geschnitten, und man erhalt das Parallelogramm llOllll,, worin 1)6 die verlangte Lange hat. Aber auch eben dies Parallelogramm ist dem vorigen Ol-llll gleich. Beweis. Es ist nemlich das Dreyeck lllLI - und das Dreneck llbl-l - llOLL, (yy §.) also llttl - KM - lllLI - 80», oder das Viereck Llllll ^ llOlll. Ferner ist Olli - lllll, also llllkl — Olli — KOllI — llllj, oder das Parallelogramm Dlll ll - liOlll.. Aus dem zuletzt beygefügten Beweise folgt der allgemeine Satz: Wenn durch einen Punct 6 in der Diagonallinie i l! eines Parallelogramms llllllll zwo grade Linien 00 , llll mit den Seiten des Parallelogramms parallel gezogen werden, die es in vier andre Parallelogramme theilen; so sind von den letztem diejenigen beyden, durch welche die Diagonallinie des ganzen nicht durchgehet, gleich groß. log §. 67 ^- N>enn aufden dreyen Seiten ^0, ^0 eiiws bey ^ recs-rwinkirchten Drcyecks (Quadrate verzeuPner sind; so ist das Quadrat OL auf der Hyporhenust so groß, als die Summe der (Quadrate -j- auf den Perpendicu'ar-Senen. Beweis. Weil ll^LL — K — 0^0 ist, so liegt AO mit ^llund /LILI mit /LL in grader Linie. (22 §.) Ans der Spitze des rechten Winkels ?v, scy auf -er Hypothenuse LO senkrecht gezogen, und stl)neide die M' ' f-c! stk- ßkL M Wl« ^ 5k gmß Heist Ms Km l'chi ÜMl . Lrsi t- »! >1 !»: Ä i! Ä « k!l iss V , ! >- ! i- ie ' r e «« ^ - B , Ke ^ Der IV. Abschnitt. 42z < die gegenüberstehende Seite des Quadrats OK in k: so ist kk sowohl als OK ein Rechteck. Man ziehe AK und 00 : so ist > l' — 2/VKK und /VI) — 2DLO. (io; H.) 'Aber der Winkel Aki) —k — 06 k, also AKO 4- AKO - OLK -j- AKO, oder OLO - ALK; ferner OL — AL, und LO — Lk, also das Dreyeck Akk - OLO, (6o H.) und 2ALK - -OLO, folglich das Rechteck kk — dein Quadrat AI). Eben so erhellet, daß das Rechteck OK — 2A0KI, und das Quadrat AK — 2 LOK, A 0 K 1 aber —KOK, mithin das Rechteck OK— Quadr. AK sty. Demnach ist Kk -!- OK - OK - Av ch AK. Dieser Lehrsatz Heist von dem Erfinder der Pytha- gorische Lehrsatz, und wird in der Folge oft gebraucht werden. Weil es etwas leichtes ist, sich über jeder graben Linie ein Quadrat vorzustellen; so pflegt man die Quadrate nicht allemahl ausdrücklich in den Figuren zu zeichnen, vielmehr in der Ausübung sich folgender Verkürzung zu bedienen. Wenn über einer graben Linie AL ein Quadrat stehen sollte, das nicht ausdrücklich gezeichnet ist; so setzt man an den Buchstaben, die diese Linie bezeichnen, oberwartö rechter Hand den Buchstab 7, auf diese Art AM: so wäre in der 67 Fig. ALS — AO, AOs i^AK, KOS — OK. Vermöge dieser verkürzten Ausdrücke last sich der Pythagorische Lehrsatz so ausdrücken: In einem bey A rechtwinklichen Dreyeck ALO ist LL- — Akz 4- AOs.' Es folgt hieraus, daß LOS —ALS — ALs sey, das Heist: Im rechtwinklichten Dreyeck ist das Quadrat eines jeden Catheti gleich der Differenz des Quadrats des andern Earheki vom Quadrat der Hypothennse. Dd 4 ivg§. 424 Der Geometrie erster Theil. 109 §. . wenn in einem Dreyeck ^-^(7, 8(7- — 4 ^L- ist: so ist der Winkel der Ege- genüber stehet, ein rechter Winkel. Beweib. Man sehe 41) auf 4K senkrecht, und mache 41)—40, ziehekl): so istkl)-—4k-441)- s 108 §.) - 4K- 4 ^L- - KL-, also KI) - KO , (lO 2 §.) Demnach paßt das Dreyeck 4M auf ^ KO und es ist der Winkel K/Vl) — K4L — L. (65 H.). Wenn also in.einem Dreyeck aör, -e- < aL- 4 «er ist: so ist der Winkel a spih. Denn im Dreyeck 4K0, worin 4L — nS, 4L — ae, und KL- -4K- 4 ) 0 - — a/i- 4 ae- gemacht worden, ist 4 — L. Weil nun är- -< KL-, folglich äe < KL: so ista < 4, ( 6 z §.) also a < k.. ?luf ähnliche Art erhellet, wenn ör- > aä- 4 «,e- ist, daß 4 stumpfseyn müsse. Ho H. Es sind die Seiten zweyer Duadrate gege- ben: man soll die Seite eines Duadrats suchen, welches der Summe, oder Oer Differenz der vorigen gleich ist. Aust. Man verzeichne einen rechten Winkel 4. (74 tz.) Dascrn nun 1 ) und k die Seiten der gegebenen Quadrate sind, deren Summe gesucht wird: so mache man Hk — I), 4L — k, lind ziehe KL: so ist KL- — 4K- 4 äL- — D- 4 L-. Sind k lind k die Seiten der gegebenen Quadrate, deren Differenz gesucht wird: so nehme man 4L — der kleinern Seite k, und mit dem Halbmesser b verzeichne man aus L einen Kreis, welcher den andern Schenkel des rechten Winkels 4 schneidet. (79 §.) Ist nun k ein Durchschnittspunct, so ist 4L die gesuchte Seite. Denn Der IV. Abschnitt. 425 Denn man ziehe KO: so ist^K^— -L?(io8 §.). m §. . wenn in zwcyen rcck)twinklicbtcn Drcy- ! ecken die Hypochenuse ^(7 des einen so groß, I als die Hypockcnuse üc des andern, aber die 8 Grundlinie grosser als die Grundlinie aü 8 des andern isr' so ist des erstcrn Höhe ^(7 klci- H ncr als die Hobe ac des andern, s Beweis. Es ist -s- tV(7^ ^ k(7-, rmd s a-? 4- ac- — üc- : ( 1 o8 §.) wenn also k<7 — Sc ist, so ist ^8r 4- ^(7-7 — a -7 4- ac7. ( ioZ H.) Ist nun ferner ^8 > «S, so ist ^87 > nS-, mithin tV07 < acs, und ^0 < ac. (roz §.) Der V. Abschnitt. Anwendung der Rechenkunst auf die Ausmessung grader Linien und Winkel. 112 §. ^ey allen Messungen nimmt man eine gewisse Grösse, die mit demjenigen, was man messen will, von einerley Art ist, als bekannt an; man nennt diese als bekannt angenommene Grösse das Limas), und sie ist nichts anders, als die Einheit, womit man die auszumessende Grösse vergleicht, um ihr Verhaltniß gegen diese Einheit durch eine Zahl auszudrücken. Ein jedes Maaß ist an sich willkühr- lich: inzwischen hat man mm allenthalben eingeführte bestimmte Maasse, und dies Maas; ist bey jeder Messung eine gegebene Grösse. Bey Ausmessung Dd z grader 426 Der Geometrie erster Theil. grader Linien muß also eine bestimmte Lange für das Maaß angenommen werden, und es ist fast durchgängig eingeführt, ohngefehr die Lange des Fußes eines erwachsenen Menschen dafür anzunehmen, daher man auch dies Maaß einen Fuß nennt. Man vergleiche den 251 §. der Rechenkunst: uz §. Eine Lange von 1 o Füssen heiß eine Ruche, der zehnte Theil des Fußes ein Zoll, der zehnte Theil des Zolles eine Lime, und der zehnte Theil einer Linie ein Scrupcl. Diese Eintheilung ist aber vornemlich nur bcy den Geometern gewöhnlich und dies deswegen, weil auf solche Art die kleinern Theile des Maasses durch Decimalbrüchc ausgedrückt werden, welches wie aus der Rechenkunst bekannt ist, oft dazu dient, Rechnungen mehr ins kurze zu ziehen. Sonst ist es in gemeinen Leben mehr gewöhnlich, den Fuß in 12 Zolle, den Zoll in 12 Linien, die Linie in 12 Scrupcl zu theilen, da dann 12 Fuß eine Ruche auömachen, wiewohl auch an einigen Orten i z, und wiederum an andern 16 Fuß auf eine Ruthe gerechnet werden. Auf einen Rlaftcr, einen Faden, eine Lachter werden 6 Fuß gerechnet. Man kann das geometrische Maaß mit seiner Eintheilung das Decimal-Maaß, das gemeine aber, wenn Ruthen, Füsse, Zolle, Linien allemahl in 12 gleiche Theile getheilt werden, das Duodecinial- maaß nennen. '14 §. Hat man beym geometrischen Messen eben den Fuß, oder eben die Ruthe gebraucht, die sonst nach gemeiner Art in 12 gleiche Theile getheilt wird; so kann man die Zahlen, welche Decimalmaaß ausr u s >2 W Q n: iL Der V. Abschnitt. 427 Ausdrücken, leicht auf Duodecimalmaaß bringen, wenn man nach dem 247 §. der Rechenkunst verfährt. Vorläufig muß man nur folgende Reductionssätze merken. Bey einerlei) Rukhenmaaß sind io Decimalfuß — 12 Duodecimalsuß: Bey einerlei) Fußmaaß sind io Decimalzoll — 12 Duodecimalzoll. Wird nun gefragt: z Zoll 6 Linien Decimalmaaß wieviel sinds Duodecimalzoll? so setzt man an: io Dcc. Z. — l 2 Duod. Z. z Zoll 6 Linien Dec. Maaß' 10 10 icx)Litt. z6 Lin. 12 3 6 4lZ2 4Z. z Lin. ie>A-Scr. ioo)_ Duod. Maaß. 32 12 64 32 3184 IOO) 84 ^ 12 '1 68 84 lojoZ Ware die Ruthe schon in 10 Füße, und jeder Fuß r» 10 Zoll getheilt worden; so müste man nachstehenden Ansatz machen. roDcc. 428 Der Geometrie erster Theil. I o Dec. Fuß —12 Duod. F. z Zoll 6 Lin. Dec. M.? X IO XIS X 10 looZoll 144 Duod.Z. Z6Lin. X io z6 ivoaLin. 864 4 Z 2 5l 184I; Zoll 2 Lin. 2/^. Scrupel 1000) I Duodecimal-Maaß. 184 12 z68 1 84 2j2O8 IOO0) ^ _ 208 12 416 2 OF looo) In beyden Exempeln müsten die 10 Fuß in der ersten Stelle mit der Fragzahl auf einerlei) Nahmen gebracht werden; und weil im zweyten Erempel das Facit in Duodecimalzollen gesucht ward, so müste die Zahl in der Mittlern Stelle eben den Nahmen haben. Auch war vorauszusehen, daß unter dem Nahmen von Duod. Füßen ein Bruch wäre gefunden worden. Eben diese Reductionssahe dienen, wenn man umgekehrt Duodccimalmaaß auf Decimal- maaß W ^ »Ms) ßszt MP «Ä' >11: i! mH ßk»! Tilsit Der V. Abschnitt. 429 maaß dringen soll, wovon der folgende Ansatz zum Beyspicl dienet. 12 Duod. F— io Dec. F. - z 2 7 Fuß 7Z.Duod.Vr.? 12 12 144 Duod. Z. 66i Z2? Z9Z1 Duod.Z. IO Fac. ^^o>2^2,986^ Dec. > Fuß. Oder 272 Fuß 9 Zoll 8 Linien 6? Scrupel D. Maaß. HZ §- In der Theorie nimmt man die Voraussetzung an, daß es möglich sey, eine grade Linie zu messen, wenn der Maaßstad gegeben ist, obgleich die Ausführung in vielen Fällen, wovon die practischen Theile der Mathematik Unterricht geben, mit Schwierigkeiten verbunden ist, die hier noch bey- seite gesetzt werden. So lange man nur mit Figuren zu thun hat, die auf dem Papier gezeichnet sind, wird die Ausmessung der graden Linien vermittelst des Cirkel - Instruments bewerkstelliget, wenn der Maaßstab gegeben, oder willkührlich angenommen ist ; und das letzte ist bey solchen Zeichnungen allemahl erlaubt, die nur zur Erläuterung der theoretischen Lehren der Geometrie dienen sollen: denn es ist an sich ganz willkührlich, wie groß die Linie seyn soll, die man eine Ruthe, oder einen Fuß nennen will. Dieserwegen nimmt man bey dergleichen Zeichnungen gewöhnlich eine sehr kleine Linie für eine Ruthe an; man macht übrigens die Eintheilung in Fusse, Zolle, eben so wie es im grossen gewöhnlich ist, und nennt 4ZO Der Geometrie erster Theil. nennt ein solches Maaß alödenn ein verjüngtes Maas). ,27 Um also zuerst auf dem Papier einen Maasstab ki§> Zu erhalten, ziehe man eine grade Linie stk, trage von ^ nach U hin in kleine gleiche Theile bis 6, und nenne sie Ruthen oder Füsse, wie man will. Hier- nachst fasse nian zwischen den Schenkeln des Cir- kel-Instruments und trage sie weiter von 6 nach D, von I) nach L, u. s. f. so weit man Platz hat, oder eS sonst nöthig findet: so wird jede Abtheilung wie 6l) — DL, u. fi f. io Ruthen lang, wenn jede kleine Abtheining eine Ruthe vorstellet. Die kleinern Theile zahle man von 6 nach ^, und setze die Ziffern von r bis 10 dabey: die grossem Abtheilungen zählt man am bequemsten von 6 nach I>, so daß bey D die Zahl io, bey II die Zahl 20 u. s. f. ihre Stelle erhält. n6 H. Eine grade Linie LI), die nicht langer als der Maaßstab selbst ist, und die man Zwischen den Spitzen des Cirkels aus einn.ahl fassen kann, wird nun auf folgende 'Art gemessen. Nachdem man dem Cir- kel die gehörige Oesnung gegeben hat, so daß die Entfernung zwischen den Spitzen mit der Linie LI) einerley ist, setze man die eine Spitze auf einen der Haupttheiluttgspuncte, wie 6 oder D, und gehe so lange nach k zurück, bis die andre Spitze entweder selbst in ä, oder zwischen ^ und 6 fallt." Trift sie alödenn einen von den zwischen ^ und befindlichen TheilungSpuncten, so zahlt man leicht die Anzahl der Ruthen von der einen Spitze zur andern, welche die Lange der Linie Ls) ausmachen. Wofern die zwote Spitze des Cirkels zwischen zweene Theilungspuncte / trist: i-c- s W sikiilr Äst iZ« jps, 'still'»!» stüv» §!!>: kklmi !«>», Al kch» Der V. Abschnitt. er >Ä »- e- !ir « > « is N X, r n i> Ä -c >« !>l Ä -k ik !! li 4ZI trist; so muß man bey dieser Einrichtung des Maaß- stades nur schätzen, ob noch etwa 4, oder 4, oder H von einer Ruthe zu der 'Anzahl der ganzen Ruthen hir,zuzusehen sey, die zwischen beyden Spitzen enthalten sind. Zn der! 27 Fig. findet man auf diese Art ED — 27-h Rlithen. Wenn die zu messende Linie I-(^länger, als der ganze Maaßsrab ist, so kann man sie in Theile ein- theilen, und jeden Theil wie vorhin messen. Am kürzesten wird man fertig, wenn man den ganzen Maaßsrab, oder einen Theil desselben, der sich bequem zwischen den Cirkelsätzen fassen läßt, auf ID sovielmahl aufträgt, als es angehet, und hiernächst noch den übrigen Rest, wie vorhin misset. So sin- det man I.? — 70 Ruthen und ID — 64 Ruthen: also k.(^— z 64 Ruthen. Eben das zuletzt beschriebene verfahren dienet, auf eine gegebene grade Linie Theile aufzutrage», die eine gegebene Anzahl Ruthen fassen, also auch eine solche Linie, wie b.t) so viele Ruthen lang zu machen, als verlangt wAd. -i? §- Das Maaß eines Winkels muß ein Winkel von bekannter Grösse seyn: also kann der rechte Winkel entweder selbst, oder ein gewisser aliquoter Theil davon am füglichsten als ein Maaß dienen, um die Grösse eines jeden andern Winkels damit zu vergleichen; auch ist diese Vergleichung aller übrigen Winkel mit dem rechten Winkel, als die natürlichste, bisher würklich schon gebraucht worden. (20. 24 §.) Will man den rechten Winkel selbst — Eins annehmen ; so muß die Grösse eines jeVen spitzen Winkels durch einen eigentlichen Bruch ausgedrückt werden, und die Grösse der meisten stumpfen Winkel, wenige i 432 Der Geometrie erster Theil. wenige Fälle ausgenommen, läßt sich nicht anders, ^ als durch einen uneigentlichen Bruch, oder eine ver- ^ mischte Zahl auedrücken. Theilt man aber den rech- E"' ken Winkel in kleinere aliquote Theile auf ähnliche Art, wie man .Ruthen in Füße, Füsse in Zolle, Zolle ^ in Linien u. s. f. theilt; und giebt man diesen Theilen E ihre eigenen Nahmen; so läßt sich die Grösse eines " jeden Winkels durch eine oder mehr ganze Zahlen un- rer den erwählten Nahmen auedrücken. Folgende N-r Nahmen sind in solcher Absicht eingeführt: der 9c.sie KÄ Theil des rechten Winkels heißt ein Grad, der 6oste ^ Theil des Grades eine Llmnite, und der Koste Theil kr- der Minute eine Sccunde. Findet man nöthig, ^ noch weiter zu theilen, so bleibt man bey der Einthei- , kirig> lung in 6o gleiche Theile unter den Nahmen von Tcrrien, Duarren u. s. f. Das Zeichen (°) be- klm deutet Grade, ss) Minuten, (") Secundcn, L/l- und auf ähnliche Art werden Tertien mit ihren noch »L kleinern Theilen bezeichnet, wenn man allemahl bey iMli der Eintheilnug in 60 gleiche Theile bleibt. Also liesi man den Ausdruck 5 z" 27" 18" zso: zz Grade, 27 Minuten, 18 Seninden, z z Tertien. Eben diese Zeichen werden auch wohl gebraucht, die Ruthen, Füsse, Zolle, Linien und Scrupel des Nis Längenmaßes kurz zu bezeichnen, vornemlich aber nur M beym Duodecimalmaasse: alsdenn muß man die Zah- len 98° 7" 9" 5" z"" so lesen: 98 Ruthen, 7 Fuß, 9 Zoll, 5 Linien, g Scrupel. Beym Decimal- Längenmaaß ist es kaum nöthig, die kleinern Theile unter diesen Nahmen anzugebcn, weil man alsdenn die eben angeführte Zahl völlig eben so gut auch auf ^ diese Art schreibt: 98,795 z Ruthen. n8 §. Der V. Abschnitt. 4ZZ n8 §. Damit man sich diese Art, die Winkel auszr^ messen, geläufig mache, ist es nicht undienlich, ein für allemahl folgende Säße anzumerken. Zwey Nebenwinkel auf einer graden Linie machen zusammen i8o° aus. (22 §.) Alle in einerley Ebene um einen Punct herum liegende Winkel machen zusammen z6o° Grade aus. (2z §.) Wenn demnach diese Winkel insgesammt gleich groß sind, so wird die Grösse eines jeden in Gradengesunden, wenn man z6o° mit der Anzahl der Winkel dividirt. DieSumme aller dreyerWinkel eineöDreyecksAKL beträgt , 8 o °. (5 7 §.) Wenn also die Grösse eines Winkels ^ in Graden, Minuten, Secunden, u. s. f. bekannt ist; so wird die Summe der beyden übrigen Lg-L in Graden und Theilen eines Grades gefunden, wenn man die Zahl, welche die Grösse des Winkels A ausdrückt, von 180° subtrahirt. Es sey A --- 54° 29" 17", so giebt die Rechnung Ag-Lg-L-180° o' o" 54° 29 17" Ä M 'O zinl- !<>l! B «»s also kg-c ^ 125° zo' gZ" Weis man die Grösse zweener Winkel 6 und O, si> wird der dritte A durch die Subtraction der Summe jener beyden Winkel von 180° gesunden. Es sey L — 52° 47' 49" e 7 2 ' 42' 54" so ist 8 4. c — I2Z° zo" 4z". Dies subtrahirt von 182° c>^ o" giebt A— 4;^ 39^ 17^ Barst. Machen,. I. Th. E e Im r 434 Der Geometrie erster Theil. Im gleichseitigen Dreyeck ist jeder Winkel 6c>° groß. (6i §.) Wenn im gleichschenklichten Dreyeck der Winkel an der Spitze der Grundlinie gegenüber in Graden gegeben ist; so wird jeder Winkel an der Grundlinie gefunden, wenn man den Winkel an der Spitze von subtrahirt, und den Rest halbirt. Dian erhält also auch eben den Winkel an der Grundlinie, wenn man die halbe Anzahl der Grade des Winkels an der Spitze von yo° subtrahirt. Ist dagegen ein Winkel an der Grundlinie in Graden gegeben, so wird der Winkel an der Spitze gefunden, wenn man den doppelten Winkel an der Grundlinie von i8o° subtrahirt. 119 §. ? wenn die Winkel LOL, am Mir- telpunct zweener Ausschnitte OLA/L, inj einerley oder verschiedenen Zxrciscn, die gleiche Halbmesser haben, gleich groß sind; so sind die Bogen LA/T-', und die Ausschnitte selbst gleich groß. wenn aber die Winkel am Nnkrelpunct ^t7L, LOL ungleich sind; so gehört zuin kleinern Winkel der kleinere Bogen und kleinere Ausschnitt, zum grösser» Winkel LOL der grössere» Bogen und grössere Ausschnitt. Beweis. Die Kreise passen auf einander, wenn ' man ihre Mittelpunkte auf einander legt. Wenn nun LA auf VL gelegt wird; so paßt im ersten Fall der Winkel ALL auf Lvb, und LL auf Ob: mithin passen auch die Bogen A6L, Lkäb, und die dazu gehörigen Ausschnitte auf einander. Im zweyken ««ist § Dl W zziD lim sA« li'M ÜM Di ft dni Wh üc KZ Kk rch Der V. Abschnitt. 4Z5 Fall ist ein Theil KOK des Winkel KOK so groß, als ^Lk, und kttK > k»k, xttkl) > kklkO, also auch kttK > A08, und KKIKO > AOKL. wenn also die Bogenund ihre Halbmesser gleict) groß sind, oder die Ausschnitte ^6^0, OLl/A'; si> sind die Winkel am Mirrelpunct gleict) groß. Denn widrigenfalls wären die Bogen und Ausschnitte nicht gleichgroß. Zu in grösser« Bogen und Ausschnitt gehört der größere Winkel am Mittelpunkt, zuin kleinern Bogen oder Ausschnitt aber der kleinere Winkel. Denn wenn die Bogen der Ausschnitte ungleich sind, so können die Winkel am Mittelpunkt nicht gleich groß seyn, weil sonst auch die Bogen und Ausschnitte gleich groß seyn müßten. Auch kann zum grossem Bogen oder Ausschnitt nicht der kleinere Winkel am Mittelpunkt gehören, weil der zum kleinern Winkel gehörige Bogen oder Ausschnitt der kleinere ist. I2O §. Zweene Durchmesser AK und die einander senkrecht schneiden, theilen die Kreislinie in vier gleiche Bogen, All, 1L, klVl, AKl, die man (Quadranten der Kreislinie nennt; und eben so die Kreisfläche in vier gleiche 'Ausschnitte, die (Quadranten der Ixreissiache heissen. (119 §.) Ein Bogen aus der Spitze A eines Winkels KAL, DAL, oder ? 2 k. KAL mit einem willkührlichen Halbmesser zwischen des Winkels Schenkeln beschrieben, wie KO, HO, oder KO, ist ein Quadrant, grösser oder kleiner als rin Quadrant von seiner Peripherie, nachdem der Winkel ein rechter, stumpfer oder spitzer Winkel ist. Ce 2 Auch 4z6 Der Geometrie erster Theil. Auch umgekehrt: wenn man sonst weis, daß der Bogen ein Quadrant, grösser oder kleiner als ein Quadrant von seiner Peripherie sey; so ist der Winkel im ersten Fall ein rechter, im zweyten ein stum- pfer, und im dritten Fall ein spitzer Winkel. 74k. Könnte man einen Winkel ^ 68 in eine gegebene Anzahl gleicher Theile eintheilen; so würden die Linien LI), Lk, Lk, 66, welche den Winkel theilen, den Bogen ^6 zwischen seinen Schenkeln in eben soviele gleiche Bogen theilen. Ein solcher Bogen wird also halbirt, wenn man den Winkel halbirt, (69 §.) und jeder Durchmesser, der seine Sehne senkrecht halbirt, halbirt beyde dazu gehörige Bogen. (70 §.) Umgekehrt: Ein Durchmesser kk, (7z Fig.) der einen Bogen tVk8 halbirt, halbirt auch den Winkel am Mittelpunkt LL8, mithin halbirt er zugleich die Sehne t^8 senkrecht. (70 §.) Wenn also ^8611 parallele Sehnen sind, so sind die dazwischen liegende Bogen t^6, 8 HI, gleich groß. Weil nemlich 6k — klk, — 8k ist, so hat man 6k — ^k — klk -8k, d.i. ^6-8». Wäre ein Kreisbogen ^6 (74 Fig.) zwischen den Schenkeln des Winkels ^68 bey O, k, k, 0, in gleiche Theile getheilt, so würden die Linien von der Spitze des Winkels L durch die Theilungöpuncte des Bogens gezogen den Winkel t^L8 in ebep so viele gleiche Winkel theilen. Ein rechter Winkel 8^6 wird in drey gleiche 72k. getheilt, wenn man über einen seiner Schenkel ein gleichseitiges Dreyeck ^6K verzeichnet. Denn alsdenn ist 6KX - also 8äk - ^8., und man kann nach dem 69 §. halbiren. Eben so ! 1 ßck öö' w, iriilj micS M l > ü, i« i'g >L, 'S Der V. Abschnitt. 437 ! so theilt man auch den Quadranten k6 in drey glei- cheTheile. irir N»- 121 §. In emerley Kreise, oder auch verschiede- nen Kreisen, die gleiche Halbmesser haben,' gehören gleiche Bogen zu gleichen Sehnen, und umgekehrt. Derjenige von den beydcn zu einerley Sehne gehörigen Bogen wachst mit seiner Sehne, der kleiner ist, als die halbe Peripherie, der andre nimmt ab, wenn die Sehne wachst; und umgekehrt: die Sehne wachst mit demjenigen Bogen der kleiner als die halbe Peripherie ist. Beweis. Wenn die Sehne — VV ist, und man zieht die Halbmesser Oä, LH, kV, kV; so ha- R ide »k sh» i,ili der «!>! D- je»» «»d tze» ben die Dreyecke ^L!>, vkk, gleiche Winkel, (65 §.) also ist^LK-vkk, mithin der Bog. ?.OK-v»k. (119 §.) Wenn umgekehrt der Bog. ^(16 — vklv ist, so ist der Winkel ^06 — vkk, (119 §.) also — vk. ( 60 §.) Wenn ferner vv > Lk ist, so ist vkv > (64 H.) also vklv > ^66: (119 §.) und wenn vklv > ^63 ist, so ist vkK > 4 Lö, (ii9§.)alsovX>4k. (64§.) 122 §. Die Theilung eines Bogens in gleiche Theile würde also darauf ankommen, daß man aus der Sehne des gegebenen Bogens die Sehne eines jeden aliquoten Theils von ihm finden könnte: vermittelst dieser Sehne ließen sich alsdenn die Theilungspuncce des Bogens finden. Soll nemlich von v ans ein 75h, Bogen auf der Peripherie abgeschnitten werden, wozu eine Sehne von- gegebener lange gehört, die aber Ee z alle- - 4Z8 Der Geometrie erster Theil. allemahl kleiner als des Kreises Durchmesser seyn muß; so beschreibe man aus D niit einem der Sehne gleichen Halbmesser einen Kreis: derselbe wird die Peripherie des gegebenen Kreises zweymahl in L und - schneiden, da dann nicht allein der Bogen VI-H7, sondern auch O/re der gegebenen Sehne zugehört. I2Z §. 111 . Die Winkel ^(7^, m, am Mmelpunct ns eines Preises verhalten sich gegen einander, InZ. wie die Bogen zwischen ihren Schenkeln: auch sind die Flachen der zu diesen Winkeln gehörigen Ausschnitte in demselben Verhältnis. Beweis. Wenn die Bogen X8, AD, ein gemeinschaftliches Maaß haben, so scy AL dieses Maaß, und A6 - «. AL, AI) - m.AL, also AL - ; so ist A8 — — AD. Vermittelst der Sehne des Bogens AL, theile man AD in m gleiche Theile, so wird All vermöge der VorauSsehung solcher Theile enthalten: und wenn man von ( nach alle Theilungs- puncte die Halbmesser ziehet; so sind die Winkel ALll, ALD, und die dazu gehörigen Ausschnitte AL8L, AD8L, in eben so viele gleiche Theile, als die dazu gehörigen Bogen getheilt. (120 §.) Alsdenn ist A<76 -».ALL^ALD- m.ALL, also ALL- ^ALD, und A( 8 — — ALD. Demnach ist » XI) -// - — — —, oder A(78 : ALD — A8 : AD. (i6z §. Rechcnk.) Man kann statt der Winkel ALll, ALD die dazu gehörigen Ausschnitte verstehen; Mt S'. »k Rk, ' l k-iMkl L rill Ä- .Lz Der V. Abschnitt. 459 4 «! hm, ohne daß solches in diesen Schlüssen etwas ver- ändert. > >i>L In allen Fällen aber, wenn auch die Bogen A8, HD, inkommensurabel sind, kann man /V>) halbiren, jede Halste aufs neue halbiren, und solchergestalt^!) wenigstens in eine solche Anzahl gleicher Theile thei- len, die eine Potenz der Zahl 2 ist. Wenn nun ebenfalls die Halbmesser nach den TheilungS- puncten gezogen werden; so ist des Verhältnisses Exponent allemahl zwischen denselben Gränzen und enthalten, zwischen welchen ;>» IG «4 !ö; I, W Unkel B- tz«! des Verhältnisses Exponent enthalten ist: demnach ist allemahl ALK,: ^L1) — ^8 : Av, (164 H. R.) man mag die Winkel am Mittelpunkt oder die dazu gehörigen Ausschnitte verstehen. 124 H. wenn in ungleichen Rreistn, wozu die Peripheriengehören, die Winkel am Micrelpuncr gleich groß sind; so haben die dazu gehörigen Bogfn gegen ihre Peripherien einerley perhalrniß. Auch umgekehrt: wenn ein paar Dogen ungleicher Rreisc gegen ihre Peripherien einerley Perhalcniß haben; so sind die dazu gehörigen Winkel am wiccclpunce gleich groß. Beweis, r.) Man sehe L6 auf ^L, und M auf LI) senkrecht, so ist der Bogen A6 und VI! — (120 §.) Ferner ist : AO äc!I:^L6, und OL : O«-OLL:OM, (12z §>.) überdem aber — L — OLÜ, und vermöge der Voraussetzung AOö-MLL; also ^8: AO--OL: vbl, Ee 4 oder 44o Der Geometrie erster Theil. AK v? , AK v? °°" IS - M' ""Sm Mch ^ ^. »d-e AK vk AK AK Ferner ist — - A6 vkk 1' (I2Z §.) OL?. ;W ? k' 2.) Wird umgekehrt angenommen, es sey vr -so sey A6 ^ 4/?, VOI — und man ? k ziehe L6, LLl. Dies vorausgesetzt sind AL6, OLkj, rechte Winkel, (120 §.) und man hat auch AL 0? AK 0 k 4A6 " 46»^ ^ A6 " vtt' Ack ALK v? vkk AL6 "" ^ Ott — VM " also ^ ^ ---, mrkhtn ALL 12 5 §. Zwischen den Schenkeln des rechten Winkels LAD 128 sey mit einem willkührlichen Halbmesser A? derO.ua- kiZ. drant?6 beschrieben, und man stelle sich vor, der rechte Winkel sey durch dergleichen TheilungSlinien, wieAiv eine vorstellt, in seine 90 Grade getheilt, so daß der Winkel LAX einen Grad fasset; so ist der Bogen zwischen den Schenkeln des Winkels LAL der yoste Theil vom Quadranten >0: und wenn alle übrige Thei- lungslinien ebenfalls gezogen waren, so würden sie den Quadranten eben so wie den rechten Winkel in 90 gleiche Theile theilen. Umgekehrt: wäre der Qua- drant bO sonst auf eine andre Art in 90 gleiche Theile getheilt; so würden die Halbmesser vom Mittelpunkt A nach die Theilungspuncte des Quadranten gezogen den rechten Winkel in seine 90 Grade theilen; dieser- wegen giebt man den Theilen des Quadranten eben die Nahmen, welche die damit zusammen gehörigen Theile des rechten Winkels führen. Der 9oste Theil des ilchr ml fEkNi Ü- si!»l Mlki Kr, ^ s'lNk 441 Der V. Abschnitt. des Quadranten heißt ein Grad der Peripherie, wozu der Quadrant gehört, also fasset die halbe Pe. ripherie 182 und die ganze Peripherie z6o solcher Grade. Jeden Grad theilt man in 6o winutcn, die Minute in 60 Secunden, u. s. f. wie die Grade des rechten Winkels. Sovielc Grade der Peripherie und Theile dieser Grade nun der Bogen zwischen den Schenkeln eines Winkels fasset, eben jo viele Grade des rechten Winkels und Theile dieser Grade fasset auch der Winkel (120 H.) Wenn überhaupt (chden Quadranten derjenigen Peripherie bezeichnet, wozu der Bogen gehört; so seytch: kdl—9 0:also k'dl—n. so heißt das: I d! fasset »Grade von seiner Peripherie, es mag »eine rationale oder irrationale Zahl seyn. In allen Fallen ist 1 , (l-z §.) also auch ^ oder das heißt fasset » Grade des rechten Winkels. 126 §. In dem so erklärten Verstände kann man den Kreisbogen zwischen den Schenkeln eines Winkels als das Maaß dieses Winkels betrachten, nicht in dem Verstände des 112 §., als wenn der Bogen oder ein Theil desselben so und so vielmahl in dem Winkel enthalten seyn konnte; denn Bogen und Winkel sind ungleichartige Grössen. Nur die Zahl der Grade und Theile der Grade, die der Bogen von seiner Peripherie fasset, ist einerlei) mit der Zahl der Grade und Theile der Grade eines rechten Winkels, welche die Grösse des mit dem Bogen zusammen gehörigen Winkels ausmachen. Demnach giebt auch Ee 5 die 442 Der Geometrie erster Theil. die Zahl der Grade des Bogens nicht die Lange des ^ Bogens im Langenmaaß an, sondern vielmehr in ^ Theilen seiner Peripherie. , Weil zum grossem Halbmesser eine grössere Pe- ^ ripherie als zur kleinern gehört, so werden auch die ^ Grade und gleichnahmigen Theile der Grade grösser, rE wenn man einen grossem Halbmesser nimmt, und kleiner, wenn man den Halbmesser kleiner nimmt. Allein dieser Umstand kommt nur in Betrachtung, wenn von der Lange der Bogen an sich die Frage ist, ' ^ nicht wenn die Bogen als Maasse der Winkel ge- ^ braucht werden. Zwey Bogen bdl, 0? mit ver- schiedenen Halbmessern zwischen den Schenkeln des Winkels beschrieben fassen gleichviele Grade und s« B Theile der Grads ihrer Peripherien, weil sie gegen W»! ihre Peripherien einerlei) Verhältnis; haben. (124 §.) »« Und wenn die Bogen 0 ?, zwar mit verschiede- nen Halbmessern verzeichnet sind, aber gleichviele 0 )rade und Theile der Grade ihrer Peripherien fas- sen, nnthin gegen ihre Peripherien einerlei) Verhält- hiw niß haben; so sind die Winkel L^l', gleich groß. (124 §.) sm 127 §. wenn die Sehne eines Bogens dem Halb? messer der dazu gehörigen Peripherie gleich ^ ist; so fastet der Bogen 60 Grade. ^ Beweis. Wenn die Sehne bkk dem Halbmes- § sergleich ist, so ist auch mithinder Winkel kl — 6o^, (ng §.) also fasset der Bo- gen hll 6o Grade von seiner Peripherie. Ein solcher Bogen inacht den sechsten Theil der Peripherie aus, und man kann vermittelst des ^ Halb- ^! ldiik G, >zk- iv- k« B §) ^5 l- s- ,k- ch » !« Der V. Abschnitt. 44Z Halbmessers als einer Sehne die Peripherie eines Preises in 6 gleiche Theilc rheilen. 128 §. Um einen jeden Winkel bequem zu messen, muß man einen Halbkreis, der mit einem Halbmesser von willkührlicher Grösse beschrieben ist, ein für allemahl in seine igo Grade theilen, so dient er bey Ausmessung der Winkel auf ähnliche Art, wie der Maaß- stab im n; und n 6 H. bey Ausmessung der graben Linsen. Aus dem Mittelpunct ^ mit dem Halbmes- ^^8 ser Ak sey also der Halbkreis b'6(^beschrieben und -^6 auf senkrecht, so sind HO, IssQuadranteu. ^ Die Sehne sbl nehme man dem Halbmesser gleich, so fasset kli 6o° und zo°. Ferner halbire man bl^ in U, so fasset auch b'U —Ul^l zo", und wenn man kU in z gleiche Bogen theilen kann, so fasset jeder davon iDurch ein Verfahren, das von den beyden ersten Foderungssätzen der Geometrie (y. g6 §.) abhienge, laßt sich der Bogen sb so nicht theilen: man findet aber leicht, so genau, als es hier nöthig ist, durch Versuche mit dem Cirkel-Instrument eine Sehne, die sich auf kU dreymahl auftragen laßt, und erhalt auf solche Art Bogen von i o Graden. Jeder davon aufs neue halbirt giebt Bogen von z Graden, und wenn davon ein-jeder durch Versuche in ; gleiche Theile gctheilt wird; so kommt man auf einzelne Grade. Soll nun ein Winkel DVXV gemessen werden; » so kann man mit deiy Halbmesser aus dem Mittelpunct V einen Bogen K8 zwischen den Schenkeln des zu messenden Winkels beschreiben, hiernächst dis Sehne dieses Bogens zwischen dem Cirkcl fassen,, und selbige aus lb nach 0 zu auf den eingetheilten Halb- 444 Der Geometrie erster Theil. Halbkreis tragen. Wenn die eine Spitze des Cirkels in L stehet, so kann man leicht sehen, wohin die an- dre Spitze in dem Halbkreise trist, wieviele Grade, und kleinere Theile eines Grades der Sehne zwischen den Cirkelspitzen zugehören: eben so viele Grade fasset der Winkel 'I'VW, welches in der Zeichnung 50° sind. 129 §. ,29 Einen noch bequemem Winkelmesser kann man 1^. aus Pappe oder Chartenpapier so verfertigen. Aus dem Mittelpunct A beschreibe man zweene Halbkreise OcklL, UUAl, und theile den einen in seine l8c> Grade: so thcilen die Halbmesser durch die Thei- lungspuncte dieses Halbkreises den andern eben so ein. An den Durchmesser OL setze man das Rechteck VL6L, schneide die Flache des kleinern Halbkreises - XUA1 aus dem Stück Pappe, worauf die Figur ge. zeichnet ist, heraus, und mache die Stelle des Mit- telpuncts A durch einen kleinen Einschnitt, wie es die Figur anzciget, bemerklich. Weiter schneide man auch das übrige Chartenpapier nach dem Umfang des grossem Halbkreises OI-IL und des Rechtecks VL6L weg; so hat man einen eingetheilten Halbkreis, den man auf jeden Winkel so auflegen kann, daß der Mittelpunct desselben mit des zu messenden Winkels llAL Spitze zusammen fallt, und die innere Seitenlinie OL des Rechtecks an einen Schenkel AL desselben anschließt. Nun wird ein Bogen LK des Halbkreises zwischen den Schenkeln des Winkels lie- gen, worauf man die Grade, welche der Winkel fasset, zählen kann. Unter den zum Zeichnen dienlichen Werkzeugen, die ein so genanntes mathematisches Besteck auömachen, findet sich gewöhnlich ein aus Messing W E Ulj Sch NM, PM Wlj Ms mich dm kch MI! !hii r isSA G Ä Der V. Abschnitt. 445 Messing so verfertigter Winkelmesser unter dem Nah. men eines Transporteurs. Die Grade sind auf zweyerley Art von l) durch 1-1 nach L, und zugleich rückwärts von^ durchs nachL so gezählt, daß der Anfang und das Ende der Eintheilung in den Durchmesser OL fallen, und dadurch wird der Vortheil erhalten, daß der Transporteur das Maaß zweener Nebenwinkel auf einer graben Linie zugleich angiebt. izo §. Ein solcher Winkelmesser dient zugleich, an ei- 129 ner graden Linie ^(7, einen Winkel, dessen kiz. Grösse in Graden gegeben ist, so zu zeichnen, dasi seine Spitze in einen gegebenen punct dieser Linie fallt. Dian lege des Winkelmessers Mittelpunkt auf A und seinen Durchmesser OL an ^<7, am Umfang zähle man von L nach k so viele Grade ab, als der Winkel fassen soll, und bemerke die Stelle X mit einem Punct: so kann man hiernächst durch ä, und L die grade Linie ^8 ziehen, welche mit den verlangten Winkel einschließt. iZi §. Einen gradlinichren Winkel mir- hin auch jeden aus der Spitze als einen Mir- relpunck zwischen seinen Schenkeln beschriebenen Rreisbsgen vermittelst des Transporteurs in jede verlangte Anzahl gleicher Theile einzurheilen. Aust. Man dividire die Anzahl der Grade, die - das Maaß des Winkels ausmachen, mit der gege- ! denen Zahl: so zeigt der Quotient, wie viele Grade ein jeder von den verlangten gleich grossen Theilen des Winkels, und zugleich der damit zusammen gehörige Bogen fassen muß. Ferner zeichne man an einen von 446 Der Geometrie erster Lheil. von beyden Schenkeln einen Winkel der soviele Grade fasset, als vermittelst jener Division gefunden sind, (i zo §.) und zwar so, daß die Spitze L des gegebenen Winkels auch dieses neuen Winkels Spitze wird: alsdenn ist zugleich /V!) eben sovielmahl in Xk, als ^LI) in enthalten, und vermittelst der Sehne deöLZogens Av läßt sich die übrige Einteilung des Bogens ^ 6 , (122 §.) mithin auch des Winkels bewerkstelligen. Soll man die ganze Peripherie eines um den Mittelpunkt X beschriebenen Kreises in eine gegebene Anzahl gleicher Theile eintheilen; so dividire man z 6 o Grade, als das Maaß aller Winkel, welche in der Ebene des Kreises um den Mittelpunkt X liegen können, mit der gegebenen Zahl der Theile der Peripherie, so giebt der Quotient die Zahl der Grade eines jeden der gesuchten gleich grossen Bogen der Peripherie, und zugleich des dazu gehörigen Winkels am Mittelpunkt X. Soll nun die Theilung in dem Punkt L anfaugen, so ziehe man den Halbmesser XtV, und zeichne an demselben einen Winkel ^XX, der die gefundene Zahl der Grade fasset, so daß der Mittelpunkt X dieses Winkels Spitze wird, (i zo §.) Nun ist der Bogen als daö Maaß des Winkels t^XX einer von den gejuchten Theilen der Kreislinie, und vermittelst der Sehne dieses Bogenö bewerkstelliget man die übrige Theilung. Die VI. Abschnitt. 447 Der VI. Abschnitt. Von den Sehnen und Berührmrgslinien des, Kreises. IZ2 §. enn zwo grade Linien ^L7 einander in ^ schneiden, und DL auf in L, LD auf -^0 in ^senkrecht gefetzt wird; fc> müssen diefe iTsormallinien einander ebenfalls schneiden. Beweis. Dafern der Winkel ein schiefer Winkel ist, so wird er entweder spitz oder stumpf seyn. Ist er spitz: so ist K^L st- AkstO < 2L, und k6 schneidet ^8 nach ö und 6 zu verlängert. (85 §.) Ist stumpf: so ist ein Nebenwinkel LIL spitz, und?6 schneidet I.K nach /V und k verlängert. Wenn nun L der Durchschnittspunct ist; so ist der Winkel bey L in beyden Fällen spitz, weil LVlL — L ist. (57H.) Da nun bey bl ein rechter Winkel ist; so hat man in beyden Fällen bst st- L < 2L, also schneiden auch LO und OL einander. Dafern endlich 8 ^ 0 ^ List, so liegt OL mit LO parallel: (8o§.) also wird OL von L6 vermöge des 87 §. geschnitten. rZZ §. Durch dreypuncre^, L, l7 die nicht in gra- 72 ?^ der Linie liegen, einen Rreis zu beschreiben. Ausl. Man ziehe von einem Puncte L bis an die übrigen beyden ö und O die graden Linien Lk, LO, und halbire diese mit den senkrechten Linien OL, (70 §.) welche einander irgendwo in L schneiden werden. 448 Der Geometrie erster Theil » 76?. den. Dann aber wird eine Kreislinie aus dem Mittelpunkt X mit dem Halbmesser XX beschrieben auch durch X und L durchgehen. Beweis. Weil XXL < 2X ist:» so schneiden VX und XL einander irgendwo in X. (1^2 §.) Man ziehe nun XX, XX, LX: so ist XX — LX (6o §.) und aus eben der Ursache XX — XX, folglich geht die Kreislinie aus X mit dem Halbmesser XX beschrieben durch X und L. Durch jede drey Puncte, dafern sie nur nicht in grader Linie liegen, (72 H.) last sich also eine Kreislinie verzeichnen, und drey solche Puncte bestimmen die Grösse und Lage des Kreises. rZ 4 §. In einem Areise sind gleiche Sehnen DL vom Mittelpuncc (7 gleichweit entfernt; und umgekehrt: vomNurcelpunct gleichweic entfernte Sehnen find gleich groß. Don ungleichen Sehnen XlL, DL liegt die grossere DL naher beym Mirrelpunct, als die klcmere^M; und umgekehrt: EineSehne DL, die dem Mirrclpuncr naher liegt, ist grosser, als eine entferntere Beweis. Wenn L6, LXl die Entfernungen der gleich grossen Sehnen XX, OX, von L sind: so ist XL — 4XX, und Ott — 4OX. Man ziehe LX, LO: so hat man in den rechtwinklichten Dreyecken XLO, VLtt, XL — Ott, LX —LO, also L6 — Ltt. (?8§.) Auch umgekehrt: wenn L6 —Ltt ist, so bleibt LX - LO, also ist X6 - Ott, (78 §.) folglich XX - OX. Wenn aber LX die Entfernung der Sehne Ost von (7 ist: so hat man 1 )X — ^OX, also OX > XL, wenn ir Mlst Ml! LZ Ä ßkilk« a»kr M D Äl chc Der VI. Abschnitt. 449 >>ch wenn D!? > ist. Weil aber LO — bleibt, so ist d ^,6, ( in §.) mithin Ob' > -"H K- , die die >?, iZ5 §- wenn zwo Sehnen einen Win- 77. kel einschlicsssen, dessen Spitze D in der 78. Kreislinie liegt, und wenn zu dem Bogen 79k. ;wisct)en den Schenkeln dieses Winkels am Nurtelpuncr der Winkel ^ 6 ^ gehört: so ist doppelt so groß, als Beweis. Man muß folgende drcy Falle unterscheiden. 1. ) Es kann ein Schenkel ^O des Winkels vZ OV an der Peripherie durch den Mittelpunkt 0 geben, also auf ^.L fallen, da dann vermöge des 62 6. der Winkel - 2^OL ist. 2. ) Es kann der Mittelpunkt 0 innerhalb des 70p Winkels -XO8 fallen. Ziehet man nun den Durchmesser OL; so ist — 2/^OL, und LL6 - 2LVV. (r Fall.) Also ^LL -1- LLL-^LL -2(^OL-b LOL) ^-2>XOK. z.) Es kann L ausserhalb des Winkels ^l)6 _o? fallen. Ziehet man wiederum den Durchmesser OL: ' ' soistkLL—2KOL, und/^EL —2-^OL, also KOL -/VEL^EL^ 2(LOL-^OL)-2/XOL ! ,z6 §. :Ä Wenn man die Sehne >^6 ziehet: so Heist der ssj Winkel an der Peripherie ?rOK, dessen Schenkel durch ! die Endpunkte und 8 der Sehne gehen, und dessen Vk ! Cpihe O in den Bogen des dieser Sehne zugehori- Z6, > zm Abschnitts fallt, der Winkel irr diesem Ad- B' rarst.Mach.TH.!. Ff sch„irk 79 ^- 4Zo Dev Geometrie erster Theit. schnitt, und man sagt: der Abschnitt fasse die- sen Winkel. Alle Winkel in einerlei) Abschiritt sind gleich groß, W denn sie sind die Hälften von einerlei) Winkel am Mittelpunct. M Ein Winkel an der Peripherie fasset soviele Grade, als der halbe Bogen zwischen seinen Schenkeln von ^ seiner Peripherie enthält: denn soviele Grade fasset iis ^ die Hälfte des Winkels am Mittelpunct. 4D Wenn /XL drirch 0 gehet; so ist /wk ein ^ Kinkel im Halbkreis', und zwischen seinen Sehen- U keln liegt ein Halbkreis. Demnach ist sein Maaß lwc ein Quadrant oder 90°°, folglich ist jeder Winkel ükhme ! im Halbkreise ein rechter Winkel. kgki Ein Winkel /VI)ö, den ein kleinerer Abschnitt WL als ein Halbkreis fasset, ist stunrpf. Denn der Bo- A» gen /^ALS zwischen seinen Schenkeln ist grösser als M ein Halbkreis, also das Maaß des Winkels AOö <4 >90°. - w Ein Winkel 4 I)/Z, den ein grösserer Abschnitt ^ als ein Halbkreis fasset, ist spitz, weil der Bogen A, zwischen seinen Schenkeln kleiner, als ein Halb- kreis, also sein Maaß kleiner als 90° ist. km !Z7 §. 'l!W 8ik. In einem Vierecke ^( 7 /), dessen vier ^ ' winkclpuncre in einer Rreislinie lieIcn, sind ^ jede zweene entIegengesetzte Winkel ^(7 4^(7-rT?. ( Beweis. Man ziehe-w, und LI): so ist^LO Km 4 L 04 . -I- L-w ^ 2K. Aber LL^^KV^, und ^ E^L -- EDK, also ^LL ch Ll)^ 4 EI)L -- 2 K, r, undweilkl)^4(7I)L—)XI)E; so hat man/^LO ^ 4 /WL ^ 2K, also auch Lew 4 LLI) -- 2K. ^ (96 §.) Durch s Der VI. Abschnitt. 451 Durch drey Winkelpuncte /X, 8, 0, eines Vier- ^ ^ ecks, /^80I)^ worin jeder Winkel kleiner als 2 rechte ^ ^ Winkel ist, geht allemahl eine Kreislinie. (i gz H.) Wenn nun der vierte Winkelpunct O innerhalb der Fläche dieses Kreises liegt, so kann /^!) bis an die Kreislinie in verlängert werden, und man- kann Ob ziehen. Alsdenn ist /MO > /MO, f;6 H.) also -X00 4 ^80 > /^80 4 - ^60, und -MO -f- /^80 — 2 K, mithin?XI)L -f- ^80 > 2 l<. Wofern im Gegentheil k) außerhalb des Kreises liegt, so muß ein Stück des Bogens /MO zwischen den Schenkeln des Winkels /MO fallen. Man nehme 0 in diesem Bogen, ziehe /> 6 , 66 und verlängere 06 bis kk: so ist -MO < /^klO, und /MO < /^60, (56 §.) mithin /MO < XoO. Demnach ist ferner/MO-f-/MO durch. . Ziehet man drirch D eine grade Linie aö so, daß ^ DUa < D wird; so schneidet diese Linie nothwendig ^ alle Kreise, die in D einander berühren. Denn nun ^ fallt vom Mittelpunct eines jeden dieser Kreise eine Normallinie auf aö, die aus der Seite des spitzen ^ Winkels DD/i liegt: und weil diese Normallinie klei- ^ ner ist, als der Halbmesser des Kreises, durch dessen ' D Mittelprinct sie geht; so giebt es auf dieser Seite ^ile, Puncce in nü, die innerhalb eines jeden dieser Kreise fallen. Aufder andern Seite ist nun DDü stumpf, und die Tangente Dll geht zwischen Dä, und jeden »bi dieser Kreise durch. Man nennt nun UDD, oder >>id DD6den Winkel -cs Halbkreises, 6Dlä, oder I'D/X aber den Bcrührungswrnkel, (ononlum Uh coiNiiölkiz) und schließt daraus mit dem Euclides ^ gewöhnlich folgende Sätze. Ly 144 §» ' 455 Dev VI. Abschnitt. 144 §. Der Winkel des Halbkreises wie ist grösser, als jeder spitze Winkel, und kleiner als jeder srumpfer Winkel. Denn DDa mag einem rechten Winkel so nahe kommen, als man will: so fallt doch allemahl ein Stück des Bogens Ob zwischen Da und IW... Weil ferner der Winkel DD/, stumpf ist; so mag er übrigens einem rechten Winkel so nahe, als man will, kommen, es wird doch allemahl die Tangente DK zwischen dem Bogen D/, und der graden Linie Dü durchgehen: also DD/ allemahl kleiner, als DDü seyn. Aus ähnlicher Ursache laßt sich dieser Sah behaupten : Der Bcrübrungswinkcl ist kleiner, als jeder gradlinichre Winkel ^/)a. Denn ADa mag so klein seyn, wie man will; so fallt noch ein Stück des Bogens Dk zwischen DA und Da. Die Sähe sind an sich richtig: damit sie aber nicht zum Mißverstand 'Anlaß geben, ist nöthig, folgendes dabey zu erinnern. Eine grade Linie, wie DA, oder Oa, hat überall einerlei, Lage gegen eine andre Dkl, die sie schneidet. Dagegen har ein Kreisbogen DD, DO, gegen eine grade Linie DD oderD/^, die er schneidet, oder berührt, nicht überall einerlei) Lage: vielmehr ist die Lage des Kreisbogens in jedem folgenden Punct gegen eine solche grade Linie anders, als in dem vorhergehenden. Nur in dem Punct I) ist die Lage des Bogens D? oder DO mit der Lage der Tangente einerlei): das heißt, er schließt daselbst mit der Tangente gar keinen Winkel ein. In eben der Stelle D also schneidet er seinen Durchmesser unter einen) eben so grossen Winkel, als derjenig ist, Ff 4 unter 456 Der Geometrie erster Theil. unter welchem die Tangente 1 )^ den Durchmesser schneidet: das heißt, der Bogen schneidet seinen Durchmesser unter einem rechten Winkel. Ein Punct, der die Kreislinie beschreibt, hat in dem Augenblick, da er in I) anlangt, dieselbe Richtung, die er hatte, wenn er die grade linie KA beschriebe: er ändert aber diese Richtung sogleich, wenn er die Stelle O verläßt. r45 §- 88^. Der Winkel des Abschnitts Heist derjenige Winkel, den die Sehne AK des Abschnitts mit dem Bogen an seinem Endpunct einschliest. Wenn den Kreis in ö berührt, so ist Akt? der Winkel des Abschi,itts. Denn es sey kk ein Durchmesser: so ist I-KL — KKO, (144 tz.) also kM-kkA-KLO-KKA, oder ALL — AKO. 146 §. 88 Der Winkel des Abschnitts macht mir dem Winkel welchen eben dieser Abschnitt fasset, zweene rechte Winkel aus. Beweis. Wenn kll ein Durchmesser ist, und man ziehet Ak; so ist KAK — ix, (,z6 §.), also Akk 4-Akk-k. (z7H.)-AK6-l-AM:(i4o §.) mithin Akk- AK6. Weil nun AKK4-AVK-2K ist; (,Z7§.) so ist auch AK6 4-AVK - 2K. Demnach ist der Winkel AOK, welchen der eine zur Sehne AK gehörige Kreisabschnitt Avkk fasset, so groß, als der Winkel AklI des andern zu eben der Sehne gehörigen Abschnitts Aklxk. sscl Kl!, Der t Der VH. Abschnitt. 457 Der VII. Abschnitt. Von den vielseitigen und besonders den regulären Figuren. 147 §. As)e»n man die Ergänzungen aller hohlen winkclcincr gradlinichren Figur zu nach der Ordnung, wie die Winkel in der Figur auf einander folgen, zusammen addirr, aber jedcsmahl, wenn ein erhabener Winkel folgt, den Ueberschuß desselben über 2/? von der bis dahin gefundenen Summe fubtrahirt: so ergrebr sich, daß die Summe aller Ergänzungen der hohlen Winkel die Summe der lieber schüfe der erhabenen Winkel über 2K um 4K übercreffen müsse, wenn anders die Figur schliefen soll. Beweis. Weil die Figur wenigstens einen 46. hohlen Winkel hat, (29 §.) so sey H 7 XL < 2K. 47k. Durch b ziehe man mit den Seitenlinien der Figur, wie sie nach einander in der Ordnung folgen, die parallelen sinien kr, h/ ke, u. s. w. so sind die Winkel-Xb'S-L-X«, Shr-LLS, «ike ^ LW, eh/ ^ (88 H.) Nun ist in der 47 Fig. >Xkö 4- Lh'c — L/X« 4- LL/Z, und weil Key L eiir erhabener Winkel folgt, so wird /Xl'^l -/XkS4.E5-c^^L/X«4-ck/Z-Oe-/. Hiezu kommt ferner r 7 ke — LO?, und eh/ — bllx: wird hievon ^Xh/ abgezogen, weil /XkL ein erhabener Winkel ist; so findet man /XbS ch Lßc — rkal 4- rix« Ff 5 - -s-ek/ 458 Der Geometrie erster Theil. 4- essss - sskH. — 4K. Eben so hak man in der 46 Fig. /Xkö — ükc -i- 4- ckke ->-rk/ 4 - — 4?<. Gesetzt daß auch anfangs mehr erhabene Winkel nach einander folgten, wie wenn in der 46 Figur IAKLKMO? einen Theil vom Umfang der Fig. ausmachte; so könnte zwar anfangs die Summe der Ue- berfchüsfe der erhabenen Winkel die Summe der Ergänzungen der hohlen Winkel übertreffen: allein wofern der hohle Winkel k/^6 ein Winkel der Figur werden soll, so muffen nach den erhabenen Winkeln wieder hohle Winkel folgen, und die Summe ihrer Ergänzungen zu a!< muß wieder grösser werden, als die Summe jener Uebsrschüsse der hohlen Winkel über 2K. Zöge sich die gebrochene Linie noch weiter linker Hand herum, und schlösse sie so mit k, so würde nicht der hohle Winkel sondern seine Ergänzung zu 4kl, ein Winkel der Figur werden: deswegen muß die gebrochene Linie kALL^MOk bey kk oder an einer andern Stelle wieder anfangen, sich rechter Hand herum zu ziehen, da dann bey kl, O, wieder hohle Winkel folgen. Wenn also gleich anfangs die Summe der Uebcrschüsse der erhabenen Winkel die Ergänzung des ersten hohlen Winkels um den Winkel -Xk« übertrift; so wird doch von der Summe der Ergänzungen der folgenden hohlen Winkel «ko 4 - ok/i aufs neue um den Winkel übertroffen. Nun könnten ützssnnd kl) einander schon schneiden; und wenn die Figur so schlösse, so kämen zu /Vk/o noch die Winkel 4- -ß die mit /Xkp zusammen 4K ausmachen. Die Abwechselung in der Folge der erhabenen und hohlen Winkel nach einander könnte noch viel mannigfaltiger seyn: allein man mag sich den Fall s» -N »Oil O- >O tikN i'K st» Ä 'Ä 459 Der VII. Abschnitt. so verwickelt wie man will vorstellen, so ist doch eben um deswillen unmöglich, daß ein von 4^ Winkeln verschiedenes Resultat herauskommen kann, weil die gebrochene Linie, die den Umsang der Figur ausmachen soll, mit I' so wieder schließen muß, daß der hohle Winkel ein innerer Winkel wird. 148 H. Die Summe aller Winkel einer jeden grad-- linichrcn Figur beträgt zweymahl soviele rechte Winkel, als die Figur Seiten har, weniger vier rechten Winkeln. Beweis. Wenn man Kürze halber die inner« Winkel der Figur, welche hier verstanden werden, mit /ä, 8, L, I), u. s. w. ihre Ergänzungen zu 2 k, oder wenn es erhabene Winkel sind, ihre'Ueberschüsse über alt, mit «, B, F, u. s. w. bezeichnet; so hat mail ^ -ß SS — 2k^ ?. ss /Z - 2K. 0-^-2«. O ch F - 2K. . 8 -j- k - 2k. ' I' - ^ 2k. l und dies jederzeit sovielmahl, als die Figur Seitenlinien hat. (29 §.) Es sey also die Zahl der Sei- ! tenlinien — rr, die Sinnme aller Winkel der Figur - — 8, die Summe aller Ergänzungen der hohlen Winkel —L, die Summe aller Überschüsse der erhabenen Winkel über 2K aber sey — so findet man 8 ch L — ^ — 2 rrk. Es ist aber L — / — 4 k, (147 H.) also 8 4- 4K, — 2?rk., lind 8 — 2?rld —4K. Die Summe aller Winkel solcher Figuren, die gleichviele Seitenlinien haben, ist also in der einen so 46o Der Geometrie erster Theil. so groß als in der andern, und man findet diese Sum. me, wenn man i8o° mit der Zahl der Seitenlinien weniger 2 multiplicirt: denn es ist auch 8 --(rr — 2) 2K. Demnach betragt diese Summe im Fünfeck 6k, im Sechseck 8 k, im Siebeneck 10k, und allemahl wachst die Summe aller -Winkel um skoder 180°, wenn die Zahl der Seitenlinien um Eins wachst. i4y §. Jede gradlinichre Figur hat wenigstens drey hohle Winkel die Heiner als Winkel find. Beweis. Wenn die Figur nur zwey hohle Winkel hätte, so wäre die Summe aller ihrer erhabenen Winkel schon grösser als (rr — 2 ) 2K, welches dem 148 §. widerspricht: demnach muß die Figur we- rügstens drey hohle Winkel haben. 150 H. wenn die Winkeln /?, (7, O, unter welchen die gradlinichrcn Theile einer gebrochenen Linie einander schneiden, insgesamt auf der Seite hohl sind, auf welcher die hohle Seite des ersten liegt; fo liegt die grade Linie zwischen ihren Endpuncten auf eben der Seite. Beweis. Wenn man zieht, so giebt sich eine gradlinichtc Figur, und ausser den Winkeln der gebrochenen Linie kommen nur zweene Winkel bey ^ und L hinzu. Fiele nun auf der Seite, wo die hohlen Winkel liegen, so wären gewiß alle Winkel bis auf zweene, erhabene Winkel, welches nicht seyn kann HÄ r «lij« 'ÄU IB L!« ich Lm wd, ch' A>ii i !öcn N >D Üiy- » M >k- !>- V ' >P -ic W -N si kle Kl B Der Vll. Abschnitt. 461 kann. (149 §.) Es kann aber auch von der gebrochenen Linie zwischen ^ und L nicht geschnitten werden: sonst müste wenigstens ein Winkelpunct auf der andern Seite von /VL liegen, und der dazu gehörige Winkel müste seine hohle Seite nicht auf der Seite haben, wie die hohle Seite der übrigen Winkel liegt. rzi H. Jede gradlim'chre Figur laßt sich durch DiagonaUitüen in Dreyecke tbcilen, deren Summe so groß ist, als die Flache der ganzen Figur. Beweis. Wenn alle Winkel der Figur kleiner als zweene rechte Winkel sind, so folgt die Möglichkeit dieser Voraussetzung aus dem 150 §. zwischen den Endpunrten /V, (F der Schenkel eines jeden Winkels liegt nun eine solche Diagonallinie, weil der übrige Theil OOU/V vom Umfang der Figur eine solche gebrochene Linie ist, wie sie der izo §. Voraussicht. Demnach liegt die Linie üL nothwendig zwischen dem hohlen Winkel Ü.8L, und der hohlen Seite des übrigen Theils vom Umfang der Figur. Letztere ist nun vermittelst der Diagonallinie in ein Dreyeck und eine andre Figur von eben der Art wie vorhin vertheilt, die aber eine Seitenlinie weniger hat, als vorhin: demnach kann darin aufs neue eine Diagonale gezogen, und so forkgefahren werden, bis ein Viereck übrig bleibt, das man durch die letzte Diagonale in zwey Dreyecke theilt. Ein Fünfeck kann nur zwei) solche innere Winkel haben, die 2^ übertreffen, ein Sechseck hat nie mehr als drey, ein Siebeneck nie niehr, als.vier Winkel dieser Art. (149 §.) Entwirft man sich die Figur für 462 Der Geometrie erster Theil. für diese besonder« Falle, so überzeugt man sich leichf, M daß dergleichen Figuren sich ebenfalls durch Diago- ^ nallinien in Dreyecke zerlegen lassen: nur wegen der ^ immer grossem Mannigfaltigkeit der Falle, wenn' B"! die Zahl der Seitenlinien immer grösser angenommen wird, läßt sich die allgemeine Möglichkeit einer ^ solchen Zertheilung der Figur in Drerecke nicht so kurz wie für den Fall beweisen, wenn alle innere Win- ltz? kel kleiner als 2K sind. Indessen wird es verstattet seyn, anzunehmen: jede Figur lasse sich vermittelst M einer Diagonale in ein Dreyeck und eine andre Fi- . «»i! gur zertheilen, die eine Seitenlinie weniger, als die M» vorige hat. Denn unter den Winkeln der Figur giebt es wenigstens drey solche, die kleiner als ZK sind, ih» und wenigstens einer davon muß sich mit einer gra- wd den kirne durch die Endpunete seiner Schenkel schlief- ! sen lassen, die zugleich ganz in der Flache der Figur Ms liegt. Also kann man jedes Fünfeck in ein Dreyeck iÄ und Viereck, mithin das Fünfeck selbst in Dreyecke fain theilen, weil sich das Viereck allemahl so theilm ^ laßt. (96 H.) Aber eben darum muß jedes Sechseck ^ sich so theilen lasser:, weil eö in ein Dreyeck und Fünfeck ^ w zettheilt werden kann, und dieserwegen auch das Sie- §n> bcneck, weil man es in ein Sechseck lind Dreyeck jss theilen kann. So gilt derSchluß von jedem Vieleck ans ein andres, das eine Seitenlinie mehr hat: mithin ist es verstattet, für alle Vielecke überhaupt anzunehmen , daß die Theilung derselben durch Diago- bcj nale in Dreyecke möglich sey. ' Eine gradlinichte Figur heißt eine im kreise be^ scbriebcne, wenn der Kreis durch alle ihre Winkel- ^! spitzen gehr, und man sagt, der Breis sey um die ^ Figur K !ü»r > kk,- lkl« zÄ stz, 'eck ?cke lc» ;cck Alk ! Sl- ! Rlk ! Ä A i!» ! )tz' stk M- Der VH. Abschnitt. 46z Figur beschrieben. Eine gradlinichte Figur aber heißt eine um den Dreis beschriebene, wenn alle ihre Seiten Berührungslinien des Kreises sind, und man sagt, derRrcis seyin der Figur beschrieben. iZZ H. Eine gradlinichte Figur heißt gleichwinklickt, 'wenn alle ihre Winkel gleich groß sind, und gleichseitig, wenn alle ihre Seiten gleich groß sind. Eine reguläre Figur ist eine solche, die lauter gleiche Seiten und gleiche Winkel hat, und also beydc-S gleichseitig und gleichwinklicht ist. Sie heißt gewöhnlich ein reguläres Polygon, -wenn sie mehr als vier Seitenhat: der Winkel, welchen zwo Seiten einer solchen Figur cinschliessen, heißt der polygonwinkel, und jede Seite, die polygonseire. Es sey die Anzahl aller Seitenlinien des regulären Polygons — so ist die Summe aller Winkel desselben — — 4K.: (148 §.) weil nun über- dem alle Winkel gleich groß sind, so ist jeder Polygonwinkel — 2R. — also kleiner als 2K, das letztere folgt auch schon daraus, weil jeder von den übrigen insgesammt gleich grossen Winkeln 2K übertreffen müste, wenn einer davon 2R, überträse, welche» nicht seyn kann. (29 §.) *54 §. Ein reguläres Polygon in einem Rreise zu beschreiben, wenn vorausgesetzt wird, daß man die Kreislinie in so viele gleiche Theile eintheilen könne, als verlangt wird. Aufl. Man theile die Kreislinie in so viele gleiche Bogen, als das Polygon Seiten haben soll, (IzI §.) und ziehe die Sehne eines jeden dieser Bogen : so ist das verlangte Polygon verzeichnet. Beweis. 464 Der Geometrie erster Theil. Beweis. Wenn All, KL, Lv, u. s.f. diese gleiche Bogen sind, und k die Peripherie des Kreises, ,r aber die Anzahl der Seiten des Polygons bezeichnet; so ist jeder von diesen Bogen —und jeden Winkel der Figur, wie AllL, fasset ein Abschnitt, dessen Bogen — ^ ll ist: folglich stehen alle Winkel, in gleichen'Abschnitten, und sind gleich groß. (iz6§.) Ueberdem sind alle Seiten der Figur gleich groß, weil es Sehnen sind, die zu gleichen Bogen gehören. (121 §.) Die Sehne eines Bogen von 6o°, oder vom sechsten Theil der Peripherie ist dem Halbmesser gleich: (a27 §.) also kann auch ohne Hülse des Transporteurs leicht ein Sechseck in: Kreise verzeichnet werden. Da jede Sehne ganz im Kreise liegt: so ist jedes im Kreise beschriebene reguläre Polygon kleiner, als der Kreis, und alle Seiten desselben sind vomMit- telpunct des Kreises gleich weit entfernt. Wenn aber in eben dem Kreise ein neues reguläres Polygon beschrieben wird, das mehr Seiteil hat, als das vorige: so werden die Seiten des letzter» kleiner, als die Seiten des ersten waren, (121 §.) und jene sind zugleich vom Mittelpunkt weiter entfernt. (i Z4 §.) Indessen mag man dem Polygon so viele Seiten geben, als man will; so bleibt es doch allemahl kleiner, als der Kreis. Auch ist der Umfang eines solchen Polygons kleiner, als des Kreises Umfang, weil jede Sehne kleiner, als ihr Bogen ist. (g2 §.) Wenn man vom Mittelpunkt des Kreises X bis an alle Winkelstützen des Polygons A, ll, L, u. s. f. die Halbmesser XA, Xll, XL u. s. f. ziehet: so theilcn sie das ganze Polygon in so viele gleichschenklichte Drey- HK och iH ich .ich ' l ich r !«p U ik». i- m »i >§ iS Ä ij l!N bki » Der VH. Abschnitt. 465 Dreyecke, als Seiten vorhanden sind. Diese gleich- schenklichten Dreyecke passen überdein alle auf einander: (6; H.)also halbirt jeder Halbmesser, wie KL den Polygonwinkel KLO. rZZ §- Irr jedem tcgttlärcn Polygon giebr es einen puncr A, der von allen Nlinkeljpitzen gleichweir entfernt ist, und derssl'oe liegt in jeder graden Liine, die einen polygonwinkel haldrrr. Dewcis. Wenn man zweene an einer Seite LL anliegende Polygonwinkel KLL, KOV halbirt, so müssen die Theilungslinien LK, OK einander schneiden. (85 §.) Denn KLO-j-Lev < 4K, (i zz H.) also 4 KLO 4 - 4Lev -- KLO g- KOL < 2K. Als- denn ist ferner ML ein gleichschenklichtes Dreyeck; (6z. izz §.) und wenn man KO ziehet; so ist KOV ^ KLO, cc> - KO, (IZZ §.) KO - KL, also past das Dreyeck KOV auf KLO (60 §.) und es ist KV - KL, KOL - KLL - Kev - KVK. Demnach erhellet auf eben die Art, das auch KK — KV, mithin die Entfemung eines jeden der folgenden Win- kelpuncte von K eben so groß, als die Entfernung der vorigen sey. Eben der Punct K ist von allen Seitenlinien des Polygons gleichweit entfernt, und derselbe liegt zugleich in jeder graden Linie, die eine Polygonseite senkrecht halbirt. i;6 §. Der von allen Winkelpuncten und allen Seitenlinien des Polygons gleichweit entfernte Punct K kann des Polygons Mittelpunkt heissen: er ist zugleich Agxst.Machem.i.TH. Gg der 466 Der Geometrie erster Theil. der Mittelpunkt eines Kreises, der mit dem Halbmesser X/t — XL, u. s. w. um das Polygon beschreiben läßt. Alle durch X bis an den Umsang des Polygons gezogene grade Linien, wie XU 4 , halbiren einander in X, weil die Dreyeck'e XLXl, X(M ausser der glei- chen Seite XL — XL zwey gleiche anliegende Win- kel haben. (89 §.) r ?7 §. Der Winkel XXL am Mittelpunkt des regulären Polygons, welchen zwey nach den Endpunkten X und L einer Polygonseite gezogene Halbmesser ein- schliessen, Heist der Lcntri-Winkel, und dieser Centriwinkel ist — —wenn n die Anzahl der Seiten des Polygons ist. Denn alle Winkel um X machen 4X, ihre Anzahl ist », und sie sind alle gleich 4k groß. Der Polygonwinkel ist — 2X-, (15 z §.) mithin ergänzen der Polygonwinkel und Centriwinkel einander zu 2X. Diesemnach findet man für das den Centri-W. den Polygon-W. 108° 0' 0" Fünfeck 72° 0^ 0" Sechseck 60° 120° v' O" Siebeneck 25' 424" 128° Z4' IZZO v" Achteck 45 ° o' 0" Neuneck 40° / O 0 140° o" 0" Zehncck z6° 0^ v" 144° 0' 0" i;8 §. Auf einer gegebenen graben Linie ein Polygon zu verzeichnen, das eine gegebene Anzahl von Seiten har, wenn vorausgesetzt wirb, daß man jeden Winkel zeichnen könne, dessen lic". A Kli 'jB W s-lM ll»^. Midi ^ ! PÄ' w M Nt ' 1 Wrr lüHK »Ül, A 8i» >> > 'M U dtt lli -) >> -- ^S» k»! U k ' Der VH. Abschnitt. 467 Hessen Verhglrniß zum rechten Winkel gegeben ist. Aust. Man setze an der gegebenen Linie 80 in 8 92k. und 0 den halben Polygonwinkel, daß ist, einen Winkel 080 ^ 806 — R — (l 5 z §.) wenn » die gegebene Anzahl der Seiten ist. Beyde auf solche Art durch 6 und 0 gezogenen grade Linien werden einander in 6 schneiden, (8; §.) und 6 wird der Mittelpunkt, so wie 08 — 60 der Halbmesser eines Kreises seyn, worin die Sehne 80 zu einem Bogen gehört, der im ganzen Um sang « mahl enthalten ist. Denn 660 ergänzt die Summe der bey- den Winkel an 8 und 0 zu 28, und weil diese Summe dem Polygonwinkel gleich ist, so ist 860 der Centriwinkel des verlangten Polygons. (157 H.) Für das Sechseck wird 800 ein gleichseitiges Dreyeck, weil alle drey Winkel 60 ° groß seyn müssen. Man vergleiche den 127 §. 159 §. Um einen gegebenen Rreis ein reguläres Polygon zu beschreiben, wenn wiederum vorausgesetzt wird, daß man dcn Zxreis in so viele gleiche Therle eintheilen könne, als verlangt wird. Aust. Man theile die Kreislinie in so viele gleiche Theile, als das Polygon Seiten haben soll. (1 zi H.) 9 "« Wenn nun 0, 81 , 8, O, ?, (^, 8, u. s. f. die Thei- lungöpuncte sind; so ziehe man durch alle diese Puncte Tangenten des Kreises: jede derselben wird die nächstfolgende schneiden, in 8, O, v, U u. s. f., und alle diese Tangenten werden das verlangte Polygon ein- schliessen. Gg 2 Be^ 468 Der Geometrie erster Theil. Beweis. Die Halbmesser Id, 6X4, IM u. s. f. sind auf den Berührungslinien senkrecht, und die ^ Winkel 1.6X4, X46.XI u. s. f. sind kleiner, als 26, weil das Polygon wenigstens z Seiten haben muß: ( 28 §.) also schneidet jede Tangente X6 die nächst- > folgende 60, (i z 2 §.) und die Tangenten 6k., 6X4, ^ sind gleich groß, so wie aus eben dem Grunde OXl ^ — Obi, 1)0 — OX ist, u. s. w. um den ganzen Um- ^ ^ fang herum. (141 §.) Ferner sind in den Vierecken. ^ j 61.6X4, 0X16X1 u. s. f. die Winkel bey 6 gleich, ^ ( n 9 §.) bey U., XI, XI u. s. f. sind rechte Winkel, ^ (140 H.) also sind die Winkel 6, O, u. s. f. gleich, weil sie die gleichen Winkel bey 6 zu zweenen rechten Winkeln ergänzen. (96 H.) Weiter ist X46K - — ^X46I. und X460 — -1-X46XI; (141 §.) alsoX466 X460, und aus eben dem Grunde lMO — MI) «l u. s. w. um den gan-zen Umfang herum: mithin ist ^ X46 ^ X10, XU - 1.6, NO - NI), u. s. w. ^ (89 §.) Diesemnach ist X6 - 26U, 60 - 26XI > — -0X4, 0v-20^; und weil 6 U-6X4, 0X4 ! -- ON war, so ist X6 — 60 ^ 01), und s. f. um den ganzen Umfang herum. > jmz Weil die Winkelpuncte 6,0,1), u. s. f. nothwen- Mjs dig ausserhalb des Kreises fallen, (1 z8 §.) so ist M jedes um einen Kreis beschriebene Polygon grosser, j als der Kreis. Weil ferner die gebrochene Linie U6X4 > Bog. UX4 ist, und X40N > Bog. X4N, L! u. s. f. (g 2 §.) so ist der Umfang des Polygons grös- ser, als des Kreises Umfang. !ich Wenn man 66 ziehet; so stehet diese Linie auf ^ L.X4 senkrecht: denn sie halbirt U6X4, so daß 66U ^ — IU6X4 ist. Bekommt das Polygon mehr Sei- ren, als vorhin; so wird der Bogen UX4, folglich U6X1 k- Ä, M » LL N P ii. M I» ^ ^^>i i 5 , ^ Al! ^ ! fk ^ Der VII. Abschnitt. 469 XXXl und KXX kleiner, als vorhin: also wird LX kleiner, (90 §.) folglich auch LX. (ivg §.) Wenn zwo an einander liegende Seiten Xk, KO, eines regulären Polygons mit senkrechten Linien XX, XIX halbirt werden; so schneiden diese einander im Mittelpunct X des Polygons, (155. 156 §.) und XX, XXI, sind gleich groß, so wie die Entfernungen aller übrigen Seiten von X gleich groß sind. Demnach kann aus dem Mittelpunkt X mit dem Halbmesser XX in jedem regulären Polygon ein Kreis beschrieben werden. 160 §. Jedes reguläre Polygon ist jo groß als ein gojst. Dreycck, dessen Grundlinie dem Umfang des Polygons, und dessen Höhe der Entfernung der Seiten des Polygons von; Mittelpuncc gleich ist. Beweis. Es sey « die Zahl der Seitenlinien des Polygons X.KOV XX, (go Fig.) so ist der Umfang desselben — ir KO; und wenn man die Halbmesser 6K, 00 , ziehet, so ist die Fläche des Polygons — » Dr. L 06 . Nun sey XX — u KO, und des Dreyecks X1XX Höhe XXI — (?lg; ferner sey X^ - KO: so ist XLXN - L 06 . (10 5 §.) Auf XX kann man XX — KO rr mahl auftragen, und alsdenn nach alle Theilungspnncke O, ?, (^, u. s. w. die Linien XO, Xk, Xrch, u. s. w. ziehen; soerhellet, daß XIXX — » XlXXl sey, also auch XIX X u K 06 . Weil nun das Polygcn ebenfalls — « K66 war, so ist das Polygon — dem Dreyeck X 1 XX. 470 Der Geometrie erster Theil. Der VIII. Abschnitt. Fernere Lehren von den Proportionen mit Anwendungen ans die Lehren von der Proportionalität grader Linien. i6i §. Verhaltniß ^: 6 ist dem Verhaltniß ( 7 : v nur alsdenn gleich, wenn man versichert ist, daß allemahl 4 > -^-8 und ^ < ^-^8 sey, wenn 6 > —v und 0 < ist; was auch m und -r für ganze Zahlen bezeichnen. (164. r 6 5 §. Rech.) Dies Kennzeichen der Proportionalität läßt sich auch so ausdrücken: das Vers halmiß ^: L sty demVerhälcniß ( 7 : O gleich, wenn man verstcherr ist, daß allemahl und »r^ < (rr -j- i ) L stzi, wenn ml 7 > rrO und '»(7 < (n 4-I) O ist; ' was man auch für ganze Zahlen durch,» und « verstehen will. So drückt Euclides dies Kennzeichen der Proportionalität aus. (klein. V. I)«ss V.) Wären die Verhältnisse rational, so ließe sich ein rationaler Bruch — für den Exponenten angeben, da dann ^ — k seyn muß, wenn L— — v ist,al- so auch — »8, wenn »i (7 — -M ist. Das alles fasset Euclides in die folgende Erklärung zusammen: In e-'äein rarione inoAnituclines clicuntni- esse priina ^ aä lecunäslu et tertia ss riä guartam D; cuin ^riinss -if Ll>>- Ml! c§>l« «c!k Ü ßb» Pl Wl imsl k m il ! KN l den l Stk irj r- d, M- - «i: Der VIII. Abschnitt. 4?r primae ^ et tertise (7 segueinultipucis s secuncise^l ct gusrtse O seguemultiplicibug, gusli8cnngue 6t bsee multiplicstio, utrnnrgue sb utrogue, vel uns 6e6eiurit, vel uns segnslis flink, vel uns ex- ceciunt, 6 es flunsntur segnemnltiplicis, guse in- ter le relponäent. Eö ist rathsam, daß man sich auch diese Vorstellung des Kennzeichens der Proportionalität geläufig mache, um den Euclides selbst und andre alte Geometer desto besser zu verstehen, Indessen führt jene Vorstellung die Sache auf die einfachsten und leichtesten Grundbegriffe zurück: deswegen wird sie jm folgenden auch beybehalten werden. Die alten Geometer bedienten sich vornemlich der Proportionen, und der mancherley Arten zu schließen, nach welchen man aus einer oder mehrern Proportionen neue herleiten kann, wenn sie mit der Auflösung geometrischer Probleme und andern Untersuchungen beschäftiget waren. Die vornehmsten Regeln, nach welchen man dergleichen Blenderungen mit einer oder mehrern Proportionen vornehmen kann, so daß vier neue Proportionalgrössen gefunden werden, sind im 168. i6y. I?2. und >77 §. schon vorgetragen worden : daraus lassen sich aber noch mehrere andre Regeln dieser Art herleiten, die man um deswillen ein für allemahl zu merken hat, weil bey den im folgenden häufig anzustellenden Vergleichungen die Beweise und Schlüsse dadurch sehr abgekürzt werden. 162 §. Aus zwoen Proportionen von dieser Art ^: Ä — ( 7 :0, und : K — D : wenn die beiden nachfolgenden Glieder der ersten mir Gz 4 den 472 Der Geometrie ersterTheil. den bcpden vorhergehenden Gliedern der zweyren einerley sind, folgt sso»vimarrm er e.v ae^rradie dritte — (7: Beweis. )lris A : 8 — (7 : v und 8 : 8 — V: 8 folgt AX 8:8 X 8^0 x O:8 x v, (l77§.Rcch.) und es ist 4 x 8 : 8x8 — A : 8, so wie L x O : 8 x O — L : 8; (171 §. Rechenk.) also 4 : 8 - 0 : 8 . Das Verhälmiß : 17 ist aus den Verhältnissen ^ : 8 und 8:8, so wie das Verhältniß L : 8 aus 0 : l) und v : 8 zusammengesetzt: ( 219 §. Rech.) also leitet die erwiesene Regel aus den folgenden allgemeinen Satz: i6z §. Verhältnisse, die ans einer gleichen Anzahl gleich grosser Verhältnisse zusammen gesetzt werden, sind gleiche Verhältnisse. Beweis. Aus A : 8 — O: v und 8 : 17 — 1 ) : 8 folgt ^ : 8 - 0 : 8 (162 §.) Hat man also ferner 8 : 6 - 8 : tt, so ist auch A : 6 — L : 1^, und wenn überdem 6 : 8 — 81 : 8 ist, so folgt eben so ^ : 8 — L : 8. So kann man von jeder Anzahl von Proportionen dieser Art auf die folgende um Eins grössere Airzahl schließen: mithin ist der Satz allemahl richtig, die Anzahl der gleichen Verhältnisse, ans welchen man zwe» andre zusammen setzt, sty so groß, als sie wolle. s l) ,kB BZ 4 « »1 Äi n -0 II -c -0 c;i ?»iki 47Z aj . 1 ! ss- Der VUl. Abschnitt. 164 §. ^ Wenn .6 — (7 .D ist; so ist auch I. ) zusammengesetzt oder gethcilc ^com/?o- ve»^o ue/ ^rmAeui/o) ^4- A.L —( 7 4- D.' D, oder H.-Z —(7 — /).-/); im letzten Fall vorausgesetzt, daß ^ > Z, also auch <7 > D siy. Beweis. Es sey ^ > -^-8 und ^ < '-^-^8, so ist allemahl zugleich (7 > ^o und 0 < ^-^ 0 . Daraus folgt, es sey A 4- 8 > -^-8 und ^.4-8 < i;; überdem aber allemahl auch 0 4- 0 > 7/r 'L:'c> und cg-o < !L^!o- folglich istL ch 8:8 — L4-I):I). <161 §.) Wenn ferner ^ > 8 , also wenigstens ?r nicht kleiner als m ist, so hat man auch l!V — 8 > ——-8 und — 8 < -8, zugleich aber allemah! (7—O > —-—I) und 0 — 0 < - 0 : mithin wiederum ^ — 8 :8 — 0 - 0 : 0 . II. ) Umgekehrt c^ ^ 4- Ä -( 7 . ( 7 4-D, oder^:^-S-( 7 .-( 7 -D. Beweis. Aus ^ : 8 — 0 :0 folgt ^4-8:8 — 04-1) : O, vermöge n. i. und überdem 8: ^ — I) : 0 (167 §. Rech.) also auch 4 - 8 : ^ — 0 4- 0 : 0 (162 H.) oder?e:^4-8 — 0 : 0 -s- 0 . Ferner ist ^ - 8 : 8 - 0 - v : 0 (n. i.) und 8:^-0:0, also ^-8:A-0-0 :0,(162 §.) oder ^ ^ — 6 — 0: 0 — O. (167 §. Rechenk.) Gg 5 III.) Aus 474 Der Geometrie erster Theil. III. ) Aus den beyden Proportionen — L-i-V-i-c, und^:^-L-L:c-v, folgt auch nach dem 162 §. diese, L —L-j-O : c-v. IV. ) Wenn also alle vier Glieder der Proportion ^ : II — L: v von einerley Art sind, so hat man aus der letzten Proportion wiederum folgende: 4- ö :L^D-A-K:L-I). (172 §. Rech.) 165 §. Man kann zwey gleich« ahmige Glieder einer Proportion nrit einerley Rational- oder Irrational-Zahl multiplicircn oder dividiren, und man erhalt eine neue Proportion. Beweis. Wenn ^ : II ^ L : O ist; so hat man — wenn gleich rr irrational wäre, (r6; §. Rech.) und ^ : 6 — L :v; also K ^ : 6 — » L : v. (162 §.) Mit der Proportion ^ — L : O verbinde man ferner diese, 6 : ir8 — P: »I), (164. 16 5 §. Rech.) so ist auch ^ : ?rL ^ L: » v, (16 2 H.) ?lus jener Proportion wird 8 ^ v < alödenn ferner : — — L : —, aus dieser aber /r c " " -— : II — — : v gefunden. (170 tz. Rech.) « -r Demnach kann man auch bcydes zugleich die beyden vorhergehenden Glieder mit einerley Zahl, und jedes der beyden nachfolgenden Glieder mit einer und eben derselben von der vorigen verschiedenen Zahl multipliciren oder dividiren, um eine neue Proportion zu erhalten. Denn aus ^ : k — L : O folgt : 6 »L : v, und daraus ferner «rö » L : »rD. l-kfl dcs! jÄ dir eiiil itt r öö §. 475 Der VIII. Abschnitt. 166 §. 2lus zwoen Proportionen von dieser Art . Ä — (7: /), und L.— A'.- (7, wenn die Heyden Mittlern Glieder der ersten mir den Heyden äußern der legten emerley sind, folge öa/e «r ex die dritte ^. L — A? /). Beweis. Aus/(: 8 — (7 :1) und 8 :k-k :(7 folgt ^ x 8 :kx 8 —p x (7:1) x (7, (i77§.Rech.) also auch : k — k: l). (171 §. R.) 167 H. « wenn in zwoen Proportionen — (7: D und L.6 .die beiden ersten gleich- nahmigen Glieder bcyder Proportionen einander proportional sind; so stnd auch die Heyden letzterer einander proportional. Beweis. Weil iV: k — <7 : 6, und k: k — 0:1^ angenommen wird; so isU : k — (7 : H. (162 §.) Ueberdem ist 8 : A — I) : (7, also 8: k (162 §.) 168 §. wenn in zwoen Proportionen ^: K — (7: D und L: A' — 6: /il die gleichnahmi- gen Glieder der einen den gleichnahmigen Gliedern der andern proportional sind; so sind die Surmnen oder Differenzen der Glieder, wie ste nach einander folgen, proportional : da dann im letzten Lall alle Glieder der einen Proportion die gleichnahmigen Glieder der andern üderrreffen müssen. Beweis. Weil /(: k — L: 6 angenommen wird: soist^-hk:k —(7-hO:6; (, 64 H.) und weil i überdem k : k — 6 : H gesetzt ist, so wird A -H k k ' ' -(7 476 Der Geometrie erster Theil. — c 4 6 : ». (162 §.) Ferner hat man 8: ? -1): »; (167 §.) also istk:84-? -1^: v-i-tt, (164 §.) mithin auch H.4-L:84k—04-6:1) 4-bl. (162 §.) Wäre L so ist (167 §.) L : k - 6 : « : lL - 6:6 8 : x - O : tt I : K ^ I. : L : I — 6: bjb': lL - » : also hat man aus den beyden ersten Proportionen ^-s-L:8-j-8^L-l-6:D-l-bl. (168 §.) hie- mit verbinde man die dritte I: II—b: kl; so hat man vermöge der zweyten Columne L-l-T : L—04-6:6, (164 §^) also weiter /b 4- : I — O 4- 6 : I., (162 §.) mithin : 8-j-b4-X —L-i-6 4-1.: 0 4- ll 4-kl. (168 H.) So kann niau von jeder Anzahl von Proportionen auf die nächstfolgende schließen; also gilt der Sah von so vielen Proportionen, als man will, wenn ihre glcichnahmigen Glieder proportional sind. 170 §. Wenn in mehrern Proportionen zwo gleichnah- mige Glieder einerley sind, wie in folgenden. A : a — 8 : ö O : a — D: ö T : a,— b : 5 u. s. f. so findet die Regel des vor. §. ihre Anwendung, weil alsdenn die gleichnahmigen Glieder in der zweyren und DU iinz^ s«m httgS Mich S!«!' i Mir W W z»« Um; jchn !l«z NH tikiru Der VIII. Abschnitt. 477 und vierten Stelle, wie sie in der Ordnung folgen, proportional sind. Demnach hat man ^ -j- L T 4 - cte : «a L 4 - Q -j- k -tz etc : wenn « die Anzahl der Proportionen ist: also ist auch, A-j-L-j-lL^-etc:n —ö-j-O-i-k'-j-etc:ö. (167 §.) §. Die Begriffe von der geometrischen Progreßion (179 §. R.) sind eben so wenig auf die Zahlen allein eingeschränkt als es die Begriffe von den Verhältnissen und Proportionen überhaupt sind: vielmehr können die Glieder der Progression auch Linien und andre geometrische Grössen seyn. Eben diese Allgemeinheit der Begriffe von den Verhältnissen, Proportionen und Progressionen, hat veranlasset, daß auch in die Geometrie Redensarten sind ausgenommen worden, die sonst nur in dex Rechenkunst gewöhnlich wären. Eine Linie mir einer Linie mul- tipliciren oder dividiren heißt im ersten Fall: zu einer Linie, die — 1 gesetzt ist, und zu beyden Faktoren; im zweyten Fall: zum Divisor, der — i gesetzten Linie, und dem Dividendo die vierte Proportionallinie suchen. (175 H. Rech. n. 4.5.) In der Geometrie bedeuten diese Redensarten Construcrio- neu, da sie statt dessen in der Rechenkunst Rechnungsarten mit Zahlen bezeichneten. Im allgemeinen geometrischen Verstände ist also die Quadratwurzel auö einer Linie eine mitlere Proportional-Linie ^ zwischen eben dieser Linie und der Einheit: die Cu- bikwurzel auö einer Linie ist die erste von zwoen mitlern Proportional-Linien zwischen der gegebenen Linie und der — i gesetzten Linie. Ueberhaupt ist die Wurzel einer jeden höhern Ordnung die erste von so vielen der? « 478 Der Ge ometrie erster Theil. dergleichen Mittlern Proportionallinien, als der Wur- ^ ^ zel-Epponent weniger Eins anzeigt. ( 18 r §. Rech.) D ° 172 §. 95 ^. wenn eine Seite eines Dreyccks ^(7 W ! in gleiche Theile «ch Lr, n. s f. eingerhetlc chkr»! ist, und durch alle Theilungspuncre, a, ch c u. s. f. die gradcn Linien gch c/r, u. s. w. mir ^ der anliegenden Seite parallel gezogen M werden; so wird dadurch die dritte Seite ^(7 in eben so viele gleiche Theile gerheilr. iullä Beweis Jede Parallele schneidet auch 4L und ßiüi zwar zwischen 4 und (ch wtil sie alle die Seite 48 M unter dem Winkel 4a/48L schneiden, mithin L durch die Flache des Dreyecks durchgehen müssen: Di (zi H.) also giebt es in 4L so viele Theile, als in ZIm! Xk. Durch alle Theilungspuncte a, ch r, u. s. f. ziehe kcm > / man mit 4L die Parallelen aru, Lrr, u. s. f. bis an die U«/ ^ nächste Parallele: so hat man in den Dreyecken 4«/ M und nöm die Seite 4n — ach den Winkel ach/'— LaM, Mk und 4a/— ; 86 §.) folglich am — ch/. ( 8 y§.) «ZI Aber es ist auch aw 2 ^/^: (99 H.)also 4/—chs. Aus M, ähnlicher Ursache ist (8 9 §.)-/§, und : ö?r — (99 §.) also auch /A — ^ch Da diese S chlüsse von jedem Stück auf das nächstfolgende alle-- ' inahl gelten; so sind alle Theile in 4L gleich groß. i?Z §- ' ^ 95 k, Eine gegebene grade Linie in eine ver^ langte 2lnzahl gleiäier Theile zu theilen. Z Aust. Man ziehe durch /V eine andre grade Linie ^ 48, die mit 4L einen beliebigen Winkel 84L macht. Eg, Auf 48 nehme man ein Stück 4a von willkührlicher Grosse, und trage es von a in ch von in c u. s. f. so ^ oft aus (40 §.) bis man auf 46 so viele Theile hat, ^ als !»- Le tüil W Md Ä >) iS »d « M !§i !» Ä !- -t, lli Der VHI. Abschnitt. 479 als 46 haben soll. Wenn nun der lehts Theilungö- punct L ist; so ziehe man KL, und durch alle Theilungspuncte a, -, c u. s. f. mit KL Parallclinien: so theilen diese die Linie 4L in die verlangte Anzahl gleicher Theile. (172 §.) -74 §. N)enn eine grade Linie DL zwo Seiten 95 . und ^L eines Dreyecks .FFLin D und L 96 k. schneidet, und mir der dritten Seite FL parallel liegt: so sind die beyden abgeschniccenen Stücke ^O, ^L, den dazu gehörigen Seiten FL proportional. Beweis. Dafern 41) und 4L ein gemeinschaftliches Maaß haben: so sey es 4a, uud 4L — m. 4a. Nun wird man 4a von 4 nach k mmahl auftragen können, und es wird ein TheilungSpunct in I) fallen. Man ziehe durch alle Theilungspuncte mit LL Pa- rallelinien: diese werden 4L gleichfalls in m gleiche Theile eintheilen so, daß 4L —M. 4/wird. Wenn nun 4V rr solcher Theile enthalt, wovon m in 4L enthalten sind, also 4 V — ». 4a ist; so wird auch 4L — rr. 4/ seyn. (172 §.) Diesemnach ist 4a Z 4L, 4/— ^ 4L; ferner 4V — 4L, und ^/r 4L—^-4L: also 4L:4v-4L:4L,(i6i §.) oder 4L: 4L — 4V: 4V. (172 H. Rech.) Wenn 4V und-4L kein gemeinschaftliches Maaß haben, und -4L in so viele gleiche Theile als man will getheilt wird; so kann nie ein TheilungSpunct in V fallen. Aber wenn durch alle Theilungspuncte die graben Linien a/, cL, u. s. f. mit LL parallel gezogen werden; so liegt VL zwischen zwoen solchen Pa- rall«- ^ 480 Der Geometrie erster Theil. rallelen: und wenn v zwischen dem »ten und (n-l- Lten Theilungspunct in/XL fällt; so liegt allemahl auch L zwischen den »ten und ( nchi )ten Theilungspunct in /XL. Wenn also /XL < /Xv und ^-^/XL > /XO ist; so fällt /XL allemahl zwischen eben solchen Gränzen, und es ist zugleich — HL < HL, B> ^ BK' Pu« se>!^ iirPl! < »chr ^ ^ aber-HL > HL, was auch m und ?r sur ganze Zahlen bedeuten. Demnach ist auch in diesem Fall HL :HO - HL:HL, (16 2 H.) oder HL: HL — HI) : HL. gkschii! Es folgt hieraus, daß auch die Stücke OL, und islläir LL zwischen den Parallelinien den beyden andern mül Stücken, HO, HL proportional seyn müssen. Denn Ä aus HL: HO — HL: HL folgt (164 §.) (ciiviäenäo) Hk - HO : HO — HL - HL : HL, oder OL : HO -- LL : HL, oder auch OL : LL — HO : HL. R 2 Diese beyden Stücke zwischen den Parallelinien jM sind also ebenfalls den zugehörigen Seiten proportio- Wink nal. Denn die beyden Proportionen HL : HL — HO: Ls ^ Hk, und OK : LL — HO : HL geben die dritte HL: HL -- OK : LL. ' §- .. r?5 §- kv,°i 9;^ wenn zwoSeiren einesDreyecks E-l in D und L so gerbeilt sind, daß die bcy- ^ den Stücke der einen Seite ^ den beyden Stücken der andern ^^proportional sind; so rst die grade Linie DL durch die Tbeilungs- 7^ puncte mir der dritten Seite LL parallel. Beweis. Es sey HO : LO — HL : LL, und ^ OL nicht mit LL parallel: so muß durch Verne andre sr.^ V g-ad- ^ ltz ich 4 N m d 0 m >e- L: »kr! i-ir Die VIII. Abschnitt. 48i grade Linie vk mit KL parallel gezogen werden können. Dann aber ist ^v: l)L — Sk : kL, (174 §.) und es wird vorausgeseht, es sey SV : vk — ^L: kL, deswegen müste /Vk : kL — /Vk: kL seyn, welches nicht angehet. Wenn nämlich k über k fällt: so ist /Vk < XL, also müste kL < kL seyn, 167 §. Rech.) welches sich widerspricht. Ein ähnlicher Widerspruch käme heraus, wenn k unter k fiele. Demnach muß vk selbst mit KL parallel seyn. 176 §. Zwo grade Linien SS, LO, werden von drepen parallelinien ^L, LS, SO, allemahl so geschnitten, daß die Stücke zwischen den pa- rallclinien ^S, ÖS, LS, SO einander proportional sind. Beweis. Wenn auch S6 und Lv parallel sind: so ist der Satz für sich klar, weil sodann /Vk — <7?, und kll - kV ist, ( 99 §.), also /Vk: kk - Lk: kV/ Wenn aber /Vk nicht mitLV parallel ist; so sey durch X mit Lv die Parallele XL gezogen, welche KV in 6, und kk in kl schneidet: so wird /Vv — Lk, und kI6 — kV. (99 §.) Da nun Xk: kk — Xll: kl6, (174 §.) so ist auch XL: kk — Lk: kV. Es ist also auch Xk -j- kk : Lk — Lk -l- kV: kl), oder Xk : kk — LI): kl), und /vL -s- kk: XL - Lk -s- kO : Lk, oder Xk : /Vk Lv: Lk. Umgekehrt: wenn ein paar grade Linien ^S, LO zwischen zwocn parallelen SL, und SO in Sund Sso gerheilet sind, daß SS: LS-^ LS: SO; so ist SS mir SL und SO parallel. Denn wäre nicht kk; sondern kX mit Ll) und XL parallel, so wäre auchXL : LL — LX: Xv, also Lk:kV — LX: XI), welches nicht seyn kann. Rarst. Machem-l.Th. Hh Schnei- I 482 Der Geometrie erster Theil. 98k. Schneiden demnach ein Paar grade Linien -X6 ' und L6) einander in I., und eö fällt 6 zwischen den B ^ Parallelen ^XL, und 61): so ist -X6: 6 k — L6r ^ 61). .Denn man kann durch 6 die dritte Parallele 2 e/'ziehen, da denn der vorige Beweis gilt. Auch umgekehrt: Wenn die entgegengesehten ^ Schenkel -X6, 6!) 66, 66), der Scheitel-Winkel ' D« -X66, 861 ) einander proportional sind; so ist /XL 6k >-> L6). Denn wäre nicht L6) chs /XL : soseykch wel- Kerl che L6) in«1 schneidet, mit /XL parallel, und es wird -rk, ^6:66 — L6 : 6,/ seyn. Da nun auch /X6 : 68 — Wdk 66:66) seyn soll; so müste 66:6«?— 66:66), also -ö.1 Lei—66) seyn, welches nicht seyn kann. r. 177 §. , chk 996. IVenn ^6, -8D die beyden parallelen Sei- cen eines Trapczn ^6)k7 sind, und inan Hab -E birr die bcyden andern Seiten ^und LO bep L und A': ft» ist die halbe Summe der pa- ^ rallelcn Seiten und ^D. Beweis. Man halbire /XL in 6, 81) in H, und ^ ziehe 66, 616, imgleichen KL, welche 66 in 6 schnei- det. Nun ist einmahl 66 A-XL chs LI). (1768.) ^ Ueberdem -X6:6-8 — -X6:66, und 6>H: 861—6)6: 66; also 66 chs 66 chs 616 . (175 §.). Deswegen ist 6K ^ 66, 66 - 861 , und 66 ^ 66 - 66 - 66 ^ ch 8» - 4-XL -j- Lk6>) oder 66 - 4(/XL -6 L6>.) IOV ^78 §. 6iZ. Eine grade Linie Oie den IVinkel ^ imDreyeck halbirr, lhcilr die gegenüber- E- stehende Seite ft», das; dre Theile KL), D6 sich wie die anliegenden Seiten verhalten. 'W Und umgekehrt: 6Venn eine Seite -8L des ^ Dreyecks in D ft» gecheilr ist, daß die ch^ Srü- ' ^ Der VIU. Abschnitt. 48z Stücke ÄO, OL sich wie die anliegenden Gei- ren ^L verhalten; so halbier den ge- genüberfiehenden Winkel ö^L. Beweis. Man verlängere 8/X, eine von den Seiten, die den Winkel L/XL einschliessen, bis L, nnd mache /XL — /XL, ziehe sodann LL. Dafern nun 1. ) 8/XO^V/XList; soist6/XL-2L/XO. Aber auch L-XL — 28, (62 §.) also 2 L/XO - 28, und 8/Xv — L; folglich /XI) H: LL (81 §.) und 61): OL L/X:/XL, (174 §.) oder LO: OL - L/X: /XL. 2. ) Wenn umgekehrt 61) : OL — 6/X: /XL, also LO : OL - L/X : /XL ist; so ist /XO LO i ( 17 ? §.) und L/XO — L. (86 H.) Aber L - zL/XL, ( 62. §.) also L/XO - .^L/XL. i?9 §. Zu dreyen gegebenen graden Linien a, S, r, die vierte Proporrronallinle zu finden. Auf!. Man verzeichne einen Winkel /X von will- kührlicher Grösse. Auf dem einen Schenkel nehme man -XL — und /XL — ö, aus dein andern Schenkel aber /XO — c, ziehe LI), und durch Lmit LO die Parallele LL, welche /XO in L schileidet: so ist /XL die gesuchte vierte Proportionallinie. Denn eö ist /XL: /XL — /XO: /XL. (174 §.) 2llso auch a: S ^ c: /XL. s Wenn a — i ist; so hat man r : L — r: /XL, also /XL —L x c—/XL x /XI): undwennö — rist; fowird a: i -r: /XL, folglich -XL — — — (i - z §. Rech. n. 4. ;.) Hiedurch.- wird es also völlig ins Licht gesetzt, daß die Multiplication,und Dio.swn Hh 2 einer 484 Der Geometrie erster Theil. einer Linie mit der andern geometrische Constructio» nen sind, wenn diese Wörter in der allgemeinen Bedeutung genommen werden, welche eben im 171 §. ist festgesetzt worden. Demnach ist auch AL -- Grösse allein, sondern zugleich ihre Lage in Betrachtung kommt; so unterscheidet man bey Bezeichnung ^ derselben diejenigen, welche eine entgegen gesetzte Lage ' haben, durch die voran gesetzten Zeichen (-H) und (-_) von einander, wie dazu im zy §. ist Anleitung ^ gegeben worden. Ueberdem aber kommt alsdenn zu K'" den bisher aus einander gesetzten Begriffen von der V Proportionalität grader Linien noch der Umstand hin- zu, daß zwey Linien von übcrcinstimmiger ^ Lage sich nur wie zwey andre Linien verhak- "M ten können, wenn letztere ebenfalls eine über- verli einstimmige Lage haben. Eben so können auch G- zwo Linien von entgegengesetzter Lage sich nur wie zwo andre Linien verhalten, wenn letztere ebenfalls der ^ Lage nach einander entgegen gesetzt sind. Ueberhaupt ans muß zwischen den beyden letzten Gliedern einer Pro- W, Portion eben die Beziehung des Gegensatzes oder Nicht-Gegensatzes statt haben, welche zwischen den »W beyden ersten Gliedern statt hat. Wofern also für E sich betrachtet L gegen L so groß ist, als L gegen v; 'Pli so ist auch vicn l -— ---—, weil dre Regel des 175 §. z: der Rech, so allgemein erwiesen ist, daß sie diese ^ Folge zulaßt. < MNi! jkllkil Igo §. Wenn bey Vergleichung grader Linien nicht ihre Der VIH. Abschnitt. 485 st-A:st»8 — st-6:st- D, st-A:st-8 — — L:- v, st-^:^8-st-L:-0, st» A ; — 6 — — O : st- D; keinesweges aber st- A: st- 8 — st- L: — v, oder —8 —st-L: —O. Wenn nemlich diese vier Buchstaben Linien bezeichnen, so könnte zwar die erste i gegen die zweyte eben so groß seyn, als die dritte ge- - gen die vierte: allein -l- A hatte gegen 4 - 8, oder — gegen — 8 nicht eben die Lage, die st- L gegen — I), oder — L gegen st-1) hat. Wenn demnach außer der Größe auch die Lage zwoer Linien, oder überhaupt bey einem Paar Grössen, von welcher Art sie auch seyn mögen, diese be- sondre Beziehung der einen gegen die andre mit in Betrachtung kommt, vermöge der sie einander entgegen oder nicht entgegen gesetzt sind; so sind nur diejenigen Linien für gleiche Linien anzunehmen, die beydes einerley Größe und einerlei) Lage haben: und überhaupt sind ein paar Größen nur alsdenn gleich, wenn sie nicht allein als Grossen für einander gesetzt werden können, sondern auch überdem einander nicht entgegen gesetzt sind. 181 §. Jedes Product entgegen gesetzter Facto- ren ist negativ, und jedes Product nicht entgegen gesetzter Grössen in einander ist positiv, vorausgesetzt, daß die Einheit allemahl positiv genommen werde. Bey eben dieser Voraussetzung geben entgegen gesetzte Grössen in einander Dividirc einen negativen, nicht entgegen gesetzte Grössen aber einen positiven Duoricmen. Hh Z Beweis. 486 Der Geometrie erster Theil. Beweis des i G. Wenn a das Multiplican- dum, -den Multiplikator bezeichnet, so ist vermöge des allgemeinen Begrifs der Multiplikation -l-i:—-ö- -j-a:-l-ax — 5 , — a: — ax-l-ö, -l- l r-j-L-n-z-at-j-ax -j- -, g- I — a: — NX--: also wird erfordert, daß -s-ax — - — — ei-, und eben so — ax-s-ö — — a- sey, aber -s-ax-s- ^ -j-aö, und — a X — - — ch (igo. §.) Beweis, des 2 S. Wenn ferner a das Divi- dendum und - den Divisor bezeiä)net; so hat man dem qllgemeinen Begrif der Division gemäß - L -l- ö - ö -s- r ch i -l- i —- 6k demnach wird nicht allein ^ ^ ' ab-- - mb — er ch- Mt"» W Wtk rjf"' stb a : — S «! -i-s ' filirl — -s- a : -IHÄ - ch a : --i-a K : '— er -- ' Mi sondern auch — - (180 §.) Wenn a und - grade Linien bezeichnen, so kann man die Hieselbst alifgeführten Produkte und Quotienten den Regeln des 179 §. gemäß su'cheu, da dann die geometrische Construction mit diesen allgemeinen Schlüfseir aufs vollkommenste übereinstimmct. Man »8° sehe — -j- 1, — -s- -, /zi) — a, st stud die aiifden Schenkeln des Winkels L 4 L von 4 nach L und 't^ Ne, Der V1!I. Abschnitt. 487 und nach k zu abgeschnittenen Stücke positiv, die ihnen auf der andern Seite von A entgegen gesetzten aber negativ. Vermöge der im i8o §. gelehrten Construction fällt k auf der positiven Seite, wenn k, e) I), auf der positiven Seite genoinmen werden, und es ist AK — 4- aö. Man nehme A7 — AL, AF — AI), also A7 - - L, AF - - a, ziehe dem 179 §. gemäß LF und durch -7 eine grade Linie mit LF parallel, so schneidet selbige /VI) eben so wie vorhin in k, und es ist noch AK : /V-/ — AF: AK, (176 §.) d. i. i : — ö — — a : -j- AK, also 4 -AK — — a X — ö. Nimmt man dagegen A7 — — AI) — 4- ziehet 8V, und durch 7 eine grade Linie 7? mit KO parallel, die AO in x schneidet, so liegt Ax auf der negativen Seite, und es ist AK: A7 — /VI) : /V?, ( 176 H.) oder -t- > : — L —4- a: — AK, also —AK 4 - a X — ö. Wird umgekehrt AL — 4 - AF — — a genommen, und durch L eine grade Linie mit KF parallel gezogeii; so schneidet selbige AI) wiederum in s, und cs ist AL : AL — AF: Ax, oder -j-1: 4-L —— a: —AK, also —AK —— a x-j-ö. Wenn man AL — 4- L, AL — 4 - i, und AK — 4- a nimmt, alsdenn aber durch L eine grade Linie KO mit Lk parallel ziehet, so ist AI) — ^ positiv: auch wenn A7 — — L, Ax — — a genommen, und KO mit 7s parallel gezogen wird, so findet man noch AI) — positiv. Wird aber A7 — — - , AK — 4- a genommen und durch K eine grade Linie mit K7 parallel gezogen, die AK in F Hh 4 schnei- 488 Der Geometrie erster Theil. i ^ schneidet; so ist - -- negativ. Auch umgekehrt, wenn AO — -P -, und — — a genommen, hiernachst aber durch v eine grade Linie mit Lg parallel gezogen wird, so findet man ebenfalls — — L negativ. 182 §. Wenn zwey oder mehr Grössen vermittelst der Zeichen (ch) und (—), vielleicht überdem auch vermittelst der Multiplications - und Divisionszeichen verbunden sind, wie a -s- —, oder so zeigt ein solcher Ausdruck eine Grösse an, die aus a, 5, r,/ oder/, F, entweder durch Rechnring, wenn die Buchstaben Zahlen bezeichnen, oder durch geometrische Constructionen, wenn die Buchstaben Linien vorstellen , gefunden werden kann. Zwey dergleichen allgemeine Abdrücke können eine und eben dieselbe Grösse bezeichnen, weil einerlei) Grösse bald auf eine Art aus diesen gegebenen Grössen, bald auf andre Art aus andern von den vorigen entweder völlig oder zum Theil verschiedenen Grössen durch Rechnung oder Construction zuwege gebracht werden kann: wenn alsdenn zwey dergleichen allgemeine Ausdrücke vermittelst des Zeichens der Gleichheit verbunden sind, so nennt man das eine Gleichung faegumio). Eine Probe davon giebt jede Proportion a : ü — c : ch woraus die Gleichung ax ^ — öxc folgt. Aus einer solchen Gleichung kann man unzählig viele andre herleiten, wenn man nemlich auf beyden Seiten gleiches addirt oder fubtrahirt, oder auf beii- dcn Seiten mit einerlei) Grösse multiplicirt oder divi- drrt: Mi! FM W km, jkckr KkI !«! . lms, h- dir »- V S>! li- e e L » S Der VIII. Abschnitt. 489 dirt: und aufdiesen an sich ganz leichten und einfachen Gründen beruhen die vornehmsten Kunstgriffe der neuern Machemanschen Analysis. (40 H.) Bey Auflösung einer Mathematischen Aufgabe vermittelst der Methode der Gleichungen bezeichnet man die gesuchte Grösse mit einem von den letzten Buchstaben des Alphabeths 2, e/, n, die gegebenen Grössen aber mit den ersten Buchstaben a, c, u. s. w. Ferner leitet man aus der Natur der Aufgabe eine Gleichung her, worin die unbekannte Grösse mit den gegebenen auf mancherlei) Art auch so verbunden seyn kann, daß diese unbekannte Grösse selbst auf eine höhere Potenz erhaben ist, oder unter einem Wurzelzeichen vorkommt. Zn allen Fällen sucht man daraus eine andre Gleichung herzuleiten, worin die unbekannte Grösse auf der einen Seite des Gleichheitszeichens, allein steht, auf der andern Seite aber ein allgemeiner Ausdruck, worin keine andre, als bekannte Grössen unter einander verbunden sind. Man nennt das die Gleichung auslöjen: denn die so veränderte zuletzt herausgebrachtc Gleichung zeigt nun unmittelbar an, wie und in welcher Ordnung die unbekannte Grösse aus den gegebenen gefunden werden könne. ^ Wenn die Gleichung keine andre als die erste Po- tenz der unbekannten Grösse enthält, die mit den gege- ^ benen Grössen vermittelst der vier allgemeinen Rechnungsarten auf mancherlei) Art verbunden seyn kann; , . so findet man ihre Auflösung nach folgenden Regeln. A Wofern unter den Gliedern der Gleichung Brüche ^ Vorkommen, so multiplire man die ganze Gleichung xj, ^ niit allen Nennern nach der Ordnung, oder welches il! ! Hh Z gleich- 49v Der Geometrie erster Theil. gleichviel ist, auf einmahl mi't dem Product aller Nenner. Diejenigen ganz bekannten Glieder der Gleichung, welche nun vor dem Gleichheitszeichen stehen, und mit unbekannten Gliedern durch die Addition oder Subtraction verbunden sind, setze man mit dem entgegen gesetzten Zeichen hinter dasselbe. Die Glieder hinter dem Gleichheitszeichen, welche die unbekannte Grösse enthalten, setze man mit dem entgegen gesetzten Zeichen vor dasselbe. Nun ist das, was vor dem Gleichheitszeichen steht, ein Product der unbekannten Grösse in die Summe aller ihrer Factoren oder Coefficienten: demnach dividire man mit dieser Summe der Cyefsicien- ten auf beydcn Seiten, so ist die Gleichung auf- gelöset. Eine Probe hievon giebt folgende Rechnung: Es sey -l- c ^-b so rst ferner -i- -j- -A/r, und nF-c — — /-Ar, oder ssL f-'Mch Der'zweyte Theil dieses Lehrbuchs wird von diesem allen mehr Unterricht geben. Der IX. Abschnitt. 49 ! Der IX. Abschnitt. Von der Achnlichkeit der Figuren. r8z §. /Jiradlinichte Figuren ALLOL?, heissen ähnlicbe Figuren, wenn bey einer gleichen Anzahl von Seiten die Winkel A, 6, L, u> s. f. den Winkeln a, L, c u. s. f. nach der Ordnung gleich, und die Seiten, welche die gleiche» Winkel einschliessen, einander proportional sind. Diese Seiten nennt man die gleichnahmigen Seiten derFiguren, und gleich- nahmige Diagonallinien sind in ähnlichen Figuren solche, die man zwischen den Spitzen gleichnah- miger Winkel ziehet. Um die Achnlichkeit zwoer Figuren anzudeuren, wird das Zeichen (n ) gebraucht. Figuren, die aufeinander passen, sind nicht allein gleiche, sondern auch ähnliche Figuren. Zwo Figuren sind einander selbst ähnlich, wenn sie einer dritten ähnlich sind. Denn jede zweene nach einander folgende Winkel der beyden ersten Figuren sind alsdenn dem gleichnahmigen Winkel in der dritten, und die Verhältnisse zwoer gleichnahmigen Seiten der beyden ersten dem Verhältniß der gleichnahmigen Seiten in der dritten gleich. Alle reguläre Polygone, die gleichviel Seiten haben, sind ähnliche Polygone. Denn wenn » die Anzahl der Seiten ist; so ist jeder Winkel, sowohl des einen als des andern Polygons, — 2 K. — — (r; z §.) Weil ferner die Seiten eines jeden Polygons alle unter sich gleich groß sind; so ergiebt sich von selbst, daß auch kiZ. 492 Der Geometrie erster Theil. auch die gleichnahmigen Seiten proportional seyn müssen. Mk 184 §. Ns' I0Z In gleichwinklichccu Dreiecken ^/?6, xjs. OLL sind die gleichnahmigen Seiten propor- -kk ^ rronal, und die Dreyecke sind einander ähnlich. !6- Auch umgekehrt: wenn die Seiten eines Dreyecks den Seiten eines andern OL/? in eben der Mrdnung proportional sind; so 1.^ sind die Winkel zwischen den proportionalen Seiten gleich groß, und die Dreyecke sind Wd ähnliche Dreyecke. ^ - Beweis des i. S. Wenn 8 — L, 4 — O, M folglich 6-^L ist; (57 §.) so nehme man 86—8?, wenn LL die Seite ist, die mit 86 zwischen gleichen Winkeln liegt. Durch 6 ziehe man 6/4 mit 46, Ü und durch 6 die Linie 61 mit 48 parallel; so hat man W 8«6 - 4 - O, und 86O — 6 — L. (86 §.) d-fm Also 8tt - OL, O6--1VL (89 §.) -- LI ( 99 Z.) W Ferner ist 48 :86 — LI6: 86 (i 74 §.) — OL: LL, p-M und überdem 46:86—4l:86(i74§.)—VL:LL. ^ Demnach sind die Seiten proportional, welche die chm gleichen Winkel 8 —L und 6—L einschliessen. Aber 6a die beyden gefundenen Proportionen 48 : 86 — OL sG : LL, und 46 : 86 - OL : LL, oder 86:46— chm LL: OL, geben die dritte 48 : 46 ^ OL : OL. jft, (162 §.) Also sind auch die Seiten, welche den ^ dritten Winkel einschliessen, proportional, und die Dreyecke 486, OLL einander ähnlich, (i 8z §.) gk§ Beweis des 2. S. Wenn 86 und LL ein paar gleichnahmige Seiten sind, so nehme man 86 ^ — LL, und ziehe 6li init 46 parallel: so wird 6ll die Seite 48 irgendwo in LI schneiden, und dann ist jj,, 86 » ^ Der IX. Abschnitt. 49Z 86 ^l — 80^, 8»6 — 8 A 0 ; also werden die Dreyecke » 86 , A80 einander ähnlich. (i 8 z §.) Nun ist aber Vermöge der Voraussetzung M : 80 — Lv: LL, und vermöge des l. Satzes 6 ^ : 80 ! — 8 »: 86 . 2llso 8 » : 86 Lv : Lp, und weil 86 — LL gemacht ist; so wird 6 »— Lv. (i 68 §. Rech.) Es ist ferner vorausgesetzt, daß 80 : ^0 — Lp : 6 ? sey, und man hat überdem vermöge des I. Satzes 80 : A0 - 86 : » 6 . Also 86 : »6 -- Lp : kV, folglich auch «6 - VL. (i 68 §. R.) Aus den dreyen Sähen aber 86 — Lp, 8 » — VL, »6 -^vp, folgt, es seyvLk — 8 , und VPL 86 » - 0, also LVL - A, und das DreyeckvLk L80. i 8 z §. Dreyecke DLL, die einen gleichen ,04 Winkel haben L— L, sind ähnliche Dreyecke, pi^. dafcrn die Seiten, welche den gleichen Winkel einschliessen L 0 , DL, LL einander proportional sind. Auch sind solche Dreyecke, die einen gleichen Winkel haben, und zwo proportionale Seiten, die den gleichen Winkel nicht ein- schliessen, einander ähnlich, wenn die dem gleichen Winkel gegenüber stehende Seite grösser ist, als die an demselben anliegende Seite. Beweis des i. S. Wofern 8 ^: 80—Lv: LL ist, also 8 ^, Lv, imgleichen 80, Lp gleichnahmi- ge Seiten sind; so schneide man auf 6 ^ das Stück 8 » — der gleichnahmigen Seite LI), und eben so auf 80 das Stück 86 — Lp ab, und ziehe 6 »: so ist auch »6 ^ Op, 8»6 - LOP, »68 - vkL. (60 §.) Ueberdem aber 8 A: 80 — 8 »: 86 , also ! »6 494 Der Geometrie erster Theit. roq II6chsA<7, (r?; §.) und LOL — LLl6 — A, L— LI6L.— folglich das Dreyeck i)kL v2 ALL. (184 §.) Beweis des 2. S. In den Dreyecken ALL, OLL sey ö — L, und LA: AO — LO : OL, über- dem AO > LA, also OL > LO. Man nehme LH — LO, und mache den Winkel LH6 — A; so ist das Dreyeck LHO c.-- ALL (184 ^.) und L/i: /VL — LH : HL. Aber vermöge der Porauöseßung ist LA : AL^ LO : Ob, also auchLII:»6-LO:OL. Weil nun LH — LI), so ist LIL — OL, also der Winkel O — lll-IO (78 §.) — A: und weil auch L — L; so ist das Dreyeck ALL n OLL. scri>l Zv- Knk ßM sd! 186 §. Eine Linie von der Spitze des rechten ^Vinkels ^ im rechrwinklichren Dreyeck auf die Hyporhenuse LI) senkrecht gezogen theilr das Dreyeck in zwo andre, die unter sich und auch dem ganzen ähnlich sind. Beweis. Die Dreyecke ALV und /UlL sind gleichwinklicht, weil LAO — L — ALL, und L bey- den Dreyecken gemein ist: also ist ALO n ALL. So sind auch /UM und AOL gleichwinklicht, weil LAO — L — ALO, und O beyden Dreyecken ge« mein ist: also ist /UM AOL) (184 §.) mithin auch das Dreyeck ALL n AOL. (i8z H.) Demnach ist die grade Linie AL, welche von der Spihe des rechten Winkels auf die Hypothenuse eines rechtwinklichten Drcyccks senkrecht fallt, zwischen den beyden Stücken, worin sie die Hypothenuse theilt, die mittlere Propmjonqllmie. >r§ c» M din Wenn Der IX. Abschnitt. 495 Wenn also im Kreise über einen Durchmesser 8V eine senkrechte Linie stehet, die den Kreis in H trist; so ist diese zwischen den beyden zugehörigen Stücken des Durchmessers 8D,DD, die mittlere Proportionallinie: auch ist jede von den beyden Sehnen HD oder ^8 zwischen dem Durchmesser 8D und dem an der Sehne anliegenden Theil desselben DD oder 8D die mittlere Proportionallinie. Denn die Sehnen H6, HD schliessen mit dem Durchmesser 8V ein rechtwinklichtes Dreyeck ein, daö bey H den rechten Winkel und 6D zur Hypothenuse hat; (iz6 §.) also ist 8D : t^D - HD : DD, 8D : HD - HD : DL, und 8V : H8 - H8 : 8D. i8? §. Zwo Secanren des Rreists, die sich irgend- i öS wo in schneiden, werden vom Preise so ge- Diz. theilc, dass die beyden Stücke der einen Se- canre zwischen beyder Durchschnircspunct ^ und den Dnrchschnitrspuncren mir dem kreise den ähnlichen beyden Stücke«; der andern umgekehrt proportional sind. Und wenn eine Tangente von einer Se- 107 canre des Preises irgendwo in ^ geschnitten Dig. wird, so ist das Stück der Tangente, das zwischen ^ und den; Berührungspuncr liege, zwischen den beyden Stücken der Secanre, die sich von bis an de«; Rrers erstrecken, eine mittlere Proporrionallmie. Beweis. Es mag der Durchschnittspunct H innerhalb oder ausserhalb des Kreises fallen: so werden zwo grade Linien 6D, und OO allemahl ein Paav Drenecke H8D, HDL geben, «von» der Winket LH6 -- OHO, ( 26 §.) und 8cv -- 8DD (i z6 H.) 'st 496 DerGeometrie erster Theil. ist. Also wird das Dreyeck ALL ->2 Ave, (r84§.) und AK: Av - AL : AL. io? Wenn aber HL den Kreis in v berühret, und AO ihn in L und e schneidet; so ziehe man KV, cv. Nnn ist ekv - A AVL, und evL - A-j- ALV, ( 56 §.) aber LLV - LOL, (146 §.) also Ach AVL — Ach Aev, und AVL n ALV. Den Winkel A haben die beydcn Dreyecke VAL, mW AVL gemein. Also ist das Dreyeck VAL n AVL (184 h.) und Ae: Av - Av : AL. 188 §. IOZ Zwischen zwoen gegebenen graben Linien LiZ. a, eme miclere Proporrionaltnue zu finden. I. Aufl. Man trage auf einer willkührlich gezogenen graden Linie 6Ozuerst6L —aauf,und addire dazu L' ( 40 ^.) so, daß LO — ö und 61 ) — achö wird. Die Summe 61 ) halbire man in 0 , und verzeichne aus 0 mit dem Halbmesser 06 — OO — achL einen Kreis. Durch 6 ziehe man eine grade Linie auf 61 ) senkrecht, diese wird den Kreis in ^ schneiden, und wird die gesuchte mittlere Proportionallinie seyn. (r 86 §.) i v? H. ?lufl. Man kann auch so fortfahren. Auf LiZ. einer willkührlich gezogenen graden Linie >V 0 nehme man ^0 - a, >A6 ^ L. Ueber 60 -- ^0 - /^6 — a — ü sehe man ein gleichschenklichtes Dreyeck 660 , und mit dem Halbmesser 66 — 60 verzeichne man aus dem Mittelpunkt 6 einen Kreis: so wird-V ausserhalb dieses Kreises fallen. (77h.) Durch /V ziehe man eine Tangente des Kreisest!): (iZ9 §) so wird die gesuchte mittlere Pro- portionaliinie seyn. (187 H ) Wenn a — rist, so DA A- Lw !!>' >>" r) bech» li/ij w W L° g! »W Avc, "Di Der IX. Abschnitt. 497 ^ 1 findet man vermittelst dieser Consiruction die Qua- ^ drakwurzel auö ö. (171 ^.) > t89 §. Aehnlich liegende Dreyecke in ähnlichen ror iLl Liguren, solche ncmlich, die zwischen gleich- kl«, ch j nahinigen Seiten und Diagonallinien liegen, zk- . sind ähnliche Dreyecke. Beweis, i) Wenn zwo Seiten solcher Dreyecke zugleich gleichnahmigte Seiten der ähnlichen Figuren find, wie a-, KL, Lr, in den Dreyecken aäc; so folgt die Ähnlichkeit der beyden Dreyecke aus dem 1 84 H. Denn eö ist nun k—S, ^ und IL : aö — LL : öc. P- 2 ) Rechnet man diese Dreyeckeaör, von U beyden Figuren ab: so bleibe» und ac^/ ^ auch noch ähnliche Figuren. Denn es ist LLÖ !d — öech und LL/V — Lea, also 8LO — LL-^—^ » — öca, oder — arch Ueberdem ist auch : lii ae — LL : öc — Ll) : c«l, also sind ILO und acck jj ähnliche Dreyecke; ferner sind IOL?, aale/wieder K ähnliche Figuren, auch ist das Dreyeck IOL a^e. So gilt der Schluß von jedem Dreyeck auf das nächstfolgende, und deswegen sind alle ähnlichliegende E Dreyecke einander ähnlich. U In ähnlichen Figuren verhält sich also jedes ^ ° Paar ähnlich liegender Diagonallinien, wie sich zwo ^ ^ gleichnahmige Seiten der Figuren verhalten. is ^ 190 §. !) Die ganzen Peripherien ähnlicher Ligu- 123 ren verbalten sich wie jedes paar gleichnah- 128 ^ miger Seiten, oder gleichnahmigcr Diago-- x;». ,!° nallinien. Lacst.Müch.Th.l. Ii Beweis. I lo NZ. 498 Der Geometrie erster Theil. Beweis. Man hat folgende Proportionen. -XL : aö — ^X6 : aL — -^xo : ae 60 : Le - /yL : «rö — /X 0 : ae 00 : ce/ — -XL : «L — -XO t ac OL: ele — -XL : aL — -XO : ae Also LXL -s- 80 -h 00 -h OL : aL -i- Le -ß eel-ß tk- — -XL: aL — -XO : ae. (167 §. Rech.) Hieraus erhellet soviel, daß ein Paar Stücke des Umfangs ähnlicher Figuren wie -XLOOL, nLceie sich wie -XL : «L, oder wie ^XO .' ne, verhüten, wenn diese Stücke aus einer gleichen Anzahl nach einander folgender gleichnahmiqer Selten zusammengeseht sind. Aber man sieht leicht, daß jedesmahl noch die beyden folgenden Seiten LL, e/'zu den vorigen Summen addirt werden können, ohne daß sich das Verhältniß der Summen ändert. Dicscrwegen gilt der Sah für die ganzen Peripherien ähnlicher Figuren. !«S' lli-I lc>r iik ch 06 191 tz. Die Peripherien ähnlicher regulärer Polygone verhalten sich wie die Halbmesser der dazu gehörigen in oder um diese Polygone beschriebenen Rreise. Beweis. Wenn LL, e/) zwo Seiten ähnlicher regulärer Polygone, 0, e, ihre Mittelpuncte, 06, eL, die Entfernungen der Seiten von diesen Mittel- puncten, OL, er, aber Halbmesser durch die Endpunkte dieser Seitenlinien sind; so sind 06, cö, die Halbmesser der in diese» Polygonen, OL, re, die Halbmesser der um diese Polygons beschriebenen Kreise. Ferner sind die Dreyccke LOL, Lee, einander ähnlich, (184 §.) also LL : Le —OL:eö — OL : ee. Diesen Verhältnissen ist das Verhälk- niß -l inH > «» «or chm hdÄ W ch- sti0 icks M ^ce, B' ihl- -;? r>r M Der!X. Abschnitt. 499 „iß der Selten L?: s/, also auch das Vcrhälkniß der ganzen Peripherien gleich. (19 0§.) IY2 §. Niem kann Ln und uin den Kreis ein paar Ähnliche reguläre Polygone von jovielcn Sci- rcirlimen verzeichnen, daß der Erponenr des Verhältnisses der Peripherie des äußern gegen die Peripherie des innern Polygons kleiner wird, als jede Zahl, welche die Einheit üderrrifr. Beweis. Um den Mittelpunkt 6 sey ein Kreis 109 beschriebe», wozu der Halbmesser LL gehört, und LiZ. es sey die Zahler > r. Man verlängere LL, nehme LO — /n.Lv, und ziehe durch 6 eine Tangente ' des Kreises. Wen» nun hl der Berührungspunkt ist, so nehme inan Ol—O6, und ziehe Ö, wel- che die Kreislinie in k schneidet; so ist Hk. ein Bogen von bestimmter Grösse. Ferner sty? die Peripherie des Kreises, und die Zahl » so groß, daß ^ < Hk wird; man nehme ILF — H!6 — 4. ,iilso den Bog. KO8 — A 8, ziehe ^8, und ver- I'ngere die Halbmesser L6, bis an die Tangente in O und 8: so ist 7^8 die Seitenlinie eines > innern Pologons, das » Seiten hat, und OL ist die Seitenlinie eines ähnlichen äussern Polygons. Die Peripherie des innern Pologons sey — des äussern-N; so ist (,91 §.) Ue- berdem ist LO < LO, (76 §.) und — OL, 00 66 n also — < —, mithin --- < Ii s wenn ZOO Der Geometrie erster Theil wenn also eine Linie L kleiner ist, als die Peripherie des Preises, so kann man im Greift ein reguläres Polygon verzeichnen, dessen Peripherie grosser als ^ ist. Denn es sey i»— und man verzeichne wie vorhin die regulären ähnlichen Polygone in und um den Kreis, so daß — ist, oder N 77 Das giebt i : N 77 > I 77 oder — > H e -id-' L Dl« B" Ueberdem ist k I-. wenn dagegen eine Linie x grösser als die Peripherie des Areists ist; so kann man um den Rreis ein reguläres Polygon verzeichnen, dessen Peripherie kleiner als x ist. Es sey nemlich —und man verzeichne wie vorhin die ähnlichen Polygone ln nnd um den Kreis; so daß ^ < --t wird. Alsdenn hat man — c 77 < 77 1 ' A WkF Kitt! iiilk < dllski °"g 77 , also -< —, mithin auch - 7 ,- X ^77 v < —, und das giebt N < x. ^ i 9 Z §. 02 Zwo gradlinichre Figuren 08 a-rtie/, die aus einer gleichen Anzahl ähnlicher i< 7 . Dreyecke in einerley Ordnung so zusammen- gesey > »abm S»r>> s«^ Äm Der IX. Abschnitt. M >i ui gesetzt sind, daß jedes Dreyeck wie ^KL, aSr, mir dem folgenden -^LO, accl eine Seite --^L, ac gemein har, sind ähnliche Figuren. Beweis. Alle Seilen der einen Figur sind, den gleichnahmigen Seiten der andern proportional, und die gleichnahmigen Winkel in den beyden Figuren sind gleich groß. Denn es sind entweder die gleichen Winkel der Dreyccke selbst, wie ^VLL, a-c, oder die Summe zweener oder mehrerer solcher gleichen Winkel, wie KLO — KL^ st- ^LD — -ca st- acal — -cc/; oder auch in der log Fig. KLO — KL^V st- ^LK st- KLO — -ca st- acL st- -cal—öcch Also sind die Figuren einander ähnlich. (181 §.) bie um !tN, sey ßs« !94 §- Wenn die Länge zmoer Seitenlinien ^k, KL, einer Figur in Ruthen, Füssen und falls es nölhig ist in noch kleinern Theilen eines bekannten Maaß- stabes gegeben ist; so ist dadurch das Verhaltniß dieser Linien in Zahlen gegeben. Es sei) eine Ruthe dieses Maaßstabes — k, und /^k fasse m Ruthen, KL rr Ruthen, da dann m und ?r ganze Zahlen mit angehängten Brüchen seyn werden, wenn und KL ausser den Ruthen noch Füsse, Zolle, u. s. w. enthalten: so ist — »» . l'. KL — w . k, also ^8 : KL — >»:». Wenn ferner -c, zwo gleich- nahmige Seitenlinien einer der vorigen ähnlichen Figur sind, unda- nach einem kleinern Maaßstab eben so vieleRuthen undTheile von Ruthen als ^8 nach einem grössern Maaßstab fasset; so ist auch -c nach dem kleinern Maaßstab soviele Ruthen und Theile von Ruthen lang, als KL nach dem grossen Maaßstab. Denn eö ist -^8:LL—a- : -c, oder W:n — a-:-c. Ii z Die IO2 I'i§. 5?2 Der Geometrie erster Theil. Die Länge einer Ruthe nach dem kleinern Maaß» stab sei) — /?, und aü —«r./,; so wird Sc — ir./?. Umgekehrt, wenn man weis, wie lang zw» Seiten -XL, LÖ, einer Figur nach einem bekannten Maaßstab sind; und wenn man von zwoen Seiten aS, Sc, einer andern Figur die erste in einem kleinern mit dem vorigen gleichnahmigen Maaß so lang, als die erste von jenen, und die zweyte so lang, als dis zweote von jenen macbt; so ist /XL : LL — aS : Sr. Es sei) nemlich -XL — m ?, LL — » L, aS — M./?, Sc — »./?, so ist -XL : LL — m : und aS;Sc — »« : » ( 17 l §. Rech.) also -XL : LL — aö : Sr. - Verbindet man hiemit die bisher vorgetragencn Lehren von den Eigenschaften der ähnlichen grabli- nichten Figuren; so erhellet, daß man auf mancherlei) Art eine Figur zeichnen könne, die einer andern ähnlich ist. Auch wird daraus der vorzügliche Nutzen des verjüngten Maaßstülacs bey Zeichnungen im kleinen begreiflich. Die bisherige Lehren stnd übrigens der Grund aller Charkenzeichnungen, weil die ganze Figur von einem Stück Feldes, und jeder andern ebenen Flache vermittelst des verjüngten Maaßstabeö im kleinen so gezeichnet werden kann, daß sie der grossen ähnlich ist. Wenn alle Seiten und Winkel der Figur im grossen gemessen sind, so kann man im kleinen eine Figur zeichnen, wovon alle Seitenlinien nach der Ordnung im verjüngten Maas? so groß sind, als jene im grossen Maaß, und jedes Paar dieser Seitenlinien kann man vermittelst des Transporteurs unter eben dem Winkel zusammen sehen, unter welchen die gleichnahmigen Seiten der grossen Figur einander schneiden. H' jr»!^ j,sB grlM hbü kB (,S- F,- Dc! dir,« I Mi so» k!üs Es- md >°z° rs H'.7 Wenn / Der IX. Abschnitt. z^z Wenn man die Figur im grossen durch Diago« nallinien in Dreyecke getheilt hat, so kann man die Figur jm kleinen aus eben sovielcn Dreyecken, die jenen ähnlich sind, in eben der Ordnung zusammen sehen, (19g H.) wobey der Vorcheil einkrift, daß dre» Stücke vom Umfang eines Dreyecks, unter welche» wenigstens eine Seitenlinie ist, die übrigen bestimmen. Sind ausser den Seitenlinien alle Dia« gonallinien der Figur im grossen gemessen worden, so bedarf es des Messens der Winkel nicht: man kann alle Dreyecke aus den gemessenen dreyen Seitenlinien nach dem verjüngten Maaßstab zeichnen. (181 §.) 195 §- Die Halbmesser r-, oder Durchmesser r ic- e/ zweener um die rMcrclpuncte 0, c, de- schriebenen Brcisc verhalten sich gegeneinander, wie ihre Peripherie Beweis. Die vierte Proportionallinie zu r-, und k sey /, so daß k.: r- — k : / ist, oder /^ so muß / — seyn: denn / ist grösser als der Umfang eines jeden innern, und kleiner als der Umfang eines jeden aussern zu dem um den Mittelpunkt c beschriebenen Kreise gehörigen regulären Polygons. Es sey nemlich im Kreise um c ein reguläres Poly- > gon von soviel Seiten als man will verzeichnet, und in dem Kreise um L ein dem vorigen ähnliches Polygon; des ersten Umfang fty — 7r, des letztem — U; soistld:^ — (,91 H.) Ferner ist vermöge der Voraussetzung U : r — k : /, also U:77 —k./; und weil ?>II ist, (154 §.) ss Ii 4 ist 5O4 Der Geometrie erster Theil. ist allemahl / > (i6g §. Rech.) wieviel Seiten man auch den Polygonen geben will. Man verzeichne weiter um den Kreis, dessen Mittelpunkt e ist, ein reguläres Polygon von soviel Seiten als man will, und um den Kreis, dessen Mi telpunct (7 ist, ein dem vorigen ähnliches Po» lvgon; des ersten Umfang sey — des letztem Umfang — so istK (192 §.) und vermöge der Voraussetzung istI< also (^: ^ — Aber alkemahl ist (i 59 §.)also / < man mag den Polygonen soviel Seiten als man will geben. Eine Linie /, die grösser als die Peripherie eines jeden inner», und kleiner als die Peripherie eines jeden aussern Polygons ist, muß der Peripherie des Kreises gleich seyn. Denn wenn sie grösser wäre, so gäbe es noch ein Polygon um den Kreis dessen Peripherie kleiner,als / wäre; und wenn/ srrl lmi ^ Äl, ^ diks ' Al,! 1»^ !»>«, Der IX. Abschnitt. 505 so ist /XE8 : 4K - /XL:5, und 4K : 8)88 - k : 8)8; (12z H.) also ist /XLL : Mb - /XL x? : 8)8 x p (219. 220 H. Rech.) oder /XE8 : O88 -- ^ ^^ ?). Ferner ist k88) - E/X (.95 §.) also /XLL: 8 > 88 ^ ^ Ao - ei- !- ^97 §- Eine grade Linie die an der erhabenen Seite ei- 114 ner krummen Linie mit der letzter» zwar zusammen' 8iß. stößt, übrigens aber wenigstens in der Nahe der Stelle, wo beyde zusammenlanfe», ganz an der erhabenen Seite der krummen Linie liegen bleibt, Heist eine Tangente der krummen Linie. Eine solche Berührung der graden und krummen Linie kann nur in einem Punct geschehen, weil das Stück einer graden Linie, welches zwischen zwee- nen Puneten liegt, die eine grade und krumme Linie gemein haben, ganz an der hohlen Seite liegt, wenn gleich übrigens die grade Linie zu beyden Seiten dieser Punkte an der erhabenen Seite der krummen Linie fortläuft. 198 §. Zwo krumme Linien, /XLL, 8)88, sind ein- H4 ander ähnlich, wenn die Tangenten LX, 8b., durch i, 5 die Endpunkte 6, 8, zweener den ganzen krummen 8i>. Linien proportionaler Theile gegen die Tangenten /XO, 8)8j, durch die Anfangspunkte /X, I), allemahl einerley jage haben, wie groß oder klein auch /XL, und 8)8 genommen worden, dafcrne diese Bogen nur allemahl proportionale Theile der ganzen Linien /XLL, 8)88 bleiben. Ii 5 Dies 5v6 Der Geometrie ersterTheil. 116 Dies ist der Begriff der Aehnlichkeit des 18 k §, 2 nur so verändert, wie es der Natur krummerLinien Pi" gemäß ist. Eine gebrochne Linie -VLLDO, ist einer j M andern n-reiF ähnlich, wenn ihre graben Theile ^8, i W aü, 8L, ör, LI), cch u. s. f. nach der Ordnung in ei- vch nerley Verhältniß stehen, welches also mit dem Ver- i k6, hältnisse der ganzen Linien einerlei) ist, und wenn überdem die Winkel ./^8L, aöc; LED, -rc/ u. s. f. D zwischen den proportionalen Theilen gleich groß sind. »»d ^ Das Heist mit andern Worten: wenn die äußersten ech gradlinichten Theile LI), rch zweycr den ganzen Li- D nien ^O, proportionaler Stücke ^1), ach gegen die anfänglichen gradlinichten Theile /^8, ach ,'sM allemahl einerlei) Lage haben; so sind die gcbroche- «e nen Linien einander ähnlich. Die gradlinichten snr! Theile einer gebrochenen Linie behalten von einem s,?, Winkelpunct bis zum andern einerlei- Lage: dage- L gen ist die Lage einer krummen Linie in jeder folgen- ! den Stelle von ihrer Lage in der nächstvorhergehen- ! den verschieden, und die Lage einer krummen Linie I an einer gegebenen Stelle kommt mit der Lage ihrer Dm Tangente an dieser Stelle überein. Wenn dem- ^ nach die Tangenten durch die Endpuncte solcher W Theile zwoer krummer Linien, die den ganzen Linien K proportional sind, allemahl mit den ersten Tangen- H ten in ihren Anfangspunkten gleiche Winkel ma- . chen; so sind es ähnliche Linien. D» i99 §. ri 7 Alle Ixreise sind einander ähnlich, auch kiZ. sind alle Ixreisbogen, die ihren Peripherien ^ proportional sind, ebenfalls ähnliche Bogen. ^ Auch umgekehrt: ähnliche Kreisbogen sind ' ^ ihren Peripherien proportional. c,! Beweis. Der IX. Abschnitt. 5-7 Beweis. Wenn O-X, 88) ein Paar Halbmesser zwcencr Kreise sind; so ziehe man durch -X und I) die Tangenten )XX 1 , 8)X8 Man nehme ei» Paar Bogen ^X6, 8)8, die sich wie die ganzen Kreislinien > verhalten, und ziebe durch 8 und 8 die Tangenten ! 80 , 811 : so ist der Winkel /X 08 - V88. (. 24^.) Ferner ist 80 X 1 — 28. — ^X 08 (22 H.) und -X 06 -- 2 K- 7 X 06 ; (96 h.) also 80 X 1 -^ 06 , und aus eben dem Grunde 881 Xl — 8)88. Demnach ist auch 80 X 1 — 88U8, und die Kreise sind einander ähnlich. («98 H.) Sind nun 7 XK und 8)8 ein paar Kreisbogen, die ihrcnPcripherien p und 8 proportional sind, und man nimmt -X6 :8)8—eXX : 8)8 d. i. -X8:I)8—z/:8; so erhellet, wie vorhin, dasi 80 X 1 allemahl —88881 sey, deswegen sind /Xl(, 8)8 ähnliche Bogen. Umgekehrt: Wenn -X6, 1)8 ähnliche Kreisbogen sind; so ist der Winkel 80 X 8 — 88lXl, alss auch)XL8—8)88, und/X6:I)8 -/>:?. (124 H.) ?llso verhalten sich ähnliche Kreisbogen wie die Durchmesser, oder Halbmesser, ihrer Peripherien: (i95 §.) auch verhalten sich ähnliche Kreisbogen wie ihre Sehnen, die zu ähnlichen Bogen gehörige i Winkel am Mittelpunct sind gleich groß, (124 §.) und die Sehnen ähnlicher Bogen verhalten sich wie die damit zusammen gehörigen halben oder ganzen Durchmesser. 200 §. Ausschnitte und Abschnitt 8' 7 te'^^6, 8)/k^, die zu ähnlichen Bogen gehö- ^2« ren, sind ähnliche Figuren. Beweis. In den Ausschnitten sind die Winkel bey/XundO, 8 und 8, 0 und 8 gleich groß, und /XO: zoZ Der Geometrie erster Theil. /cL : O? - KL: ?? - Bog: -^Hk: Bog: OK?. (i99 H.) Der Abschnitte ^.(ZK, OK?, Winkel bey undO, kund? sind gleia-: denncöistL^K—?O?, undLK^.-??O, also L/^6 - ?O?l, 6K-V ^ 14 ?O. Ueberdem der Bogen : Bog. OK? -^^8:O?. si 99 §.) 201 §. ^ ^ 7 Aehnliche ?lbschnitte fasten gleiche win- ^8- kel: (iz6 §.) u«;d wenn Abschnitte gleiche Winkel fasten; so sind cs äbnlicheAbschnitte. Beweis. Die Winkel 6/ch, ?lO?, und OL-^, O?O ähnlicher Abschnitte müssen gleich groß seyn (itzzH.): also sind auch die Winkelgleich groß welche die Abschnitte fassen, denn sie sind jener Ergänzungen zu 2K. (146 H.) Umgekehrt also: wenn die Abschnitte gleiche Winkel fassen; so ist 0^.6 - OO? - Ok/c ^ O?O, also auch 6 O, (57 §-) und ^LK^OL?. (96 H.) Folglich OK?. (200 tz.) Der X. Abschnitt. Von der Vergleichung des Flächen-Inhalts der Figuren. n8 Og. Z02 §. H^reyecke OL?', die gleich hoch sind, verhalten sich wie ihre Grundlinien LL, L?. Beweis. Wenn KL die grössere Grundlinie ist; so nehme man KO-2: ??, und ziehe LO: so ist daö Der X. Abschnitt. 509 das Dreyeck ^86 — O88. (10z §.) Ist nun 881 das gemeinschaftliche Maaß von 86 und 86 so, daß 86 — » 881 , 86 — M 884 , also 881 — ^86, und 86 — — 66 ist; so trage man 814 auf 86 mnahl auf (40 §.) und ziehe die graben Linien ^8l u. ft f. nach allen TheilungSpuncten in 86. Hiedurch erhalt man Dreyecke, die alle — ^881 sind; auf ^86 gehen so viele, als 86, und auf ^86 so viele, als 86 Theile hat, so, daß L88l — ^,^66, und ^86 — ^-^86 wird. Weil nun ^66: i 166—86 86, und ^^86 -:/z86-v88, — 8 L -- 86 - 88 ist; so hak man^86 : 1)88-86:88. Dafern 86 und 86 oder 88 kein gemeinschaftliches Maaß haben; so mag man 86 in so viele gleiche Theile, als man will, eintheilen, es wird allemahl 6 zwischen zween TheilungSpuncten fallen. Wenn aber 86 — m 881 ist, es mag m so groß seyn als man will, und wenn 6 zwischen dem men und (ft -8 i)ten Theilungspumt fallt; so wird auch ^6 zwischen der Men und (u 81 )ten Theilungslinie fallen. Man hat also alleimhl zugleich —< L86 /I l Z und-—K86>^86, nenn - 86 < 86, und -^-86 > 86 ist. Demnach ist auch in diesem Fall H86: ^66 — 8L: 86, oder ^86:V88 — 86: 88. ( 161 §.) Gleich hohe Parallelogramme verhalten sich also ebenfalls wie ihre Grundlinien: denn ein Paar Dreyecke 5lo Der Geometrie erster Theil. ecke auf eben den Grundlinien von eben der Höhe sind ihre Hälften. (roz §.) 20Z §. Drcyecke ^L( 7 , DL?', die gleiche Grund- ^L' linien haben, verhalten sich wie lhre Höhen. Beweib. Des Dreyecks ^LL Höhe sey 66, und Lll des Dreyecks OLL Höhe. Man ziehe?-6, LLl, so sind ll6L, hl LH rechtwinklichte Dreyecks; und wenn 66, LLk für ihre Grundlinie genommen werden, so sind KL-, LH, ihre Höhen. ( ic>z §.) Da nunL>6 — LL angenomnwn wird; so ist 6L6 : LlLL -6L : »L. (202 §.) Aber 6L6-LL6, und klLL - OLL, (105 §.) also auch ^L6 : OLL ^66 : !!L. Demnach verhalten sich auch Parallelogramms auf gleichen Grundlinien, wie ihre Höhen. 204 §. r 20 Das Verhältnis; zwcycr Dreyecke, oder pa- kiZ. raUclogramme gegen einander ist ans.dem Verhältnis; ihrer Grundlinien und Höhen zusammengesetzt. Beweis. Wenn 6k des Dreyecks i^L6 Höhe und OLl des Dreyecks OL?Höhe ist; so nehme man LL - OLl, und ziehe L6. Nun ist äL6: L!l6 -6L:Lll, (20z §.) un)LK6: OLL-L6:LL; also LL6 : OLL ^ (^c! Lk) (21 d §. Rech.) Wenn man auf jeder Grundlinie Lc, LL, zweyer Parallelogramme LL, LM, denen die Höhen 36 , OLk zugehören, in gleiher Höhe mit dem Parallelogramm Lc das Dreyeck L 36 , und in gleicher Höhe mit dem anden LU das Dreyeck OLL seht) >«!-» «» Äi -h) !>^ ^ ! >K : D ' ß! Der X. Abschnitt. zu seht; so ist-^L- 4LP undvLL — 4kiN. (r 6v §.) Also LL: LN - ^LL: OLL (17 O §. R.) ' A)- 205 §. Ist L die Seite eines Quadrats so ist sowohl die Grundlinie, als auch die Höhe desselben — L. (10z §.) Wenn also eines andern Quadrats - Seite — / ist; so hat man ^ S — ! /)' ist das Verhältniß zwcyer (Quadrate das doppelte Verhältnis) ihrer Seiten. Wenn die Höhen zweyer Dreyecke oder Parallelogramme sich wie die Grundlinien verhalten; so ist das Verhältniß derselben ebenfalls das verdoppelte Verhältniß der Grundlinien oder Höhen, und ein Paar Quadrate, welche dieselben Grundlinien oder Höhen hätten, würden sich eben so verhalten. Demnach verhalten sich Dreyecke, oder Parallelogramme, wre die (Quadrate ihrer Grundlinien oder Höhen, wenn das Verhältniß ihrer Grundlinien mir dem Verhältniß ihrer Höhen eincrley ist. 206 §. Weil E: OLk - IV: LN - (xA - ^ -- L6 x LL : Oli x LL; (220 §. Rech.) so verhalten sich Dreyecke und parallelogramnre auch wie die producre aus ihren (Grundlinien und Höhen, und Rechtecke verhalten sich wie die producre ihrer Seitenlinien. Dasern nun k!L: LL—VLl: LO ist; so hat man LO x — Dkl L?. Wenn also die Grundlinien sich umgekehrt wie die Höhen odxr die Seitenlinien eines zi2 Der Geometrie erster Theil. eines Rechtecks sich umgekehrt wie die Seitenlinien eines andern verhalten; so sind die Dreyecke oder Parallelogramme oder die Rechtecke gleich. Und wenn die Seite eines Quadrats zwischen den beyden Seiten eines Rechtecks die mittlere Proportionallinie ist; so ist das Quadrat dem Rechteck gleich. Umgekehrt: Wenn dieDreyecke, oder Parallelogramme gleich sind; so verhalten sich die Grundlinien umgekehrt wie die Höhen: und wenn Rechtecke gleich groß sind, so sind die Seitenlinien des einen den Seitenlinien des andern umgekehrt proportional. ^ Denn nun ist 86 x 86 — Vli x Lk, also 66: Lk 86. (i?6§. Rech.) Wenn ein Quadrat einem Rechteck gleich ist; so ist die Seite desselben zwischen den Seiten des Rechtecks die mittlere Proportionallinie. Auf diese Vergleichung der Rechtecke unter sich und mit den Quadraten, gründet sich eine Art die Rechtecke zu bezeichnen, wenn ihre Seiten gegeben sind, ohne daß man nöthig hat, das Rechteck in der Figur würklich zu zeichnen. Sind a und - die zwo Seiten desselben, so schreibt man eö so: a x Denn wenn r und zwo Seiten eines andern Rechtecks sind, das man ebenso bezeichnet: rxal; so ist es gleichviel, ob man das Verhaltniß der Rechtecke selbst, oder das Verhaltniß der Producte a x ö, c x ck braucht, weil beyde Verhältnisse gleich sind. 207 §. i 2 i wenn zwey Parallelogramme IO, OO, l i§. oder Dreyecke ^I(7, LO6, einen gleichen Winkel haben I—O, und wenn die Seiten, welche diesen gleichen Winkel einschliessen, einander lnnge- ü Wil «ndi -k' ick gmjl MSN . L W Hit. ckz N nc» N Tnit rxitz' Kkk toit, IniT- .Äch! ^«^rz Ach k die jkbm i ck« > Tm W > ij kS ^ jick M F M chi Der X. Abschnitt. 51z umgekehrt proporrioiral sind; so sind die Dreyecke, odr Parallelogramme, gleich groß. Umgekehrt: wenn gleich grosse Parallelogramme oder Dreyecke einen glerchin Winkel haben, jo sind die Seiten an dem gleichen Winkel einander umgekehrt proportional. Beweis. Wenn HX, XX die Höhen dieser Figuren sind; so ist das Dreyeck HM n XXX, und IM : Hk - XX : HX. Ist also KL : XL — XX: HL; so ist auch KL : X6 — XX: HX; mithin HLL - XX6, und LO - klch (206 §.) Wenn aber diese letzte Gleichheit vorausgesetzt wird; so folgen jene Proportionen rückwärts. 208 §. Das Rechteck beyder.Diagonallinien eines g M. im R reise beschriebenen Vierecks -M x LD ist so gross, Äs d.e Summe der Rechrecke jeder zwocr einander gegenüber stehender Seitenlinien 6(7 -j- ^6 x (7D. Beweis. Man mache den Winkel HM — LKV, so ist auch Hkv — X 7 KL. Ferner ist KLH — LDH, (i z6 §.) also das Dreyeck KVH c^> KLX, und man hat 8(7 : LX — KO : VH, folglich k (7 x VH — LX x KV. Weiter ist das Dreyeck MH 02 KLV, alsoHK:HX-vk:VL,und Hk x VL -HX x vk. Addirt man nun gleiches zu gleichen, so findet man KL x VH -tz Hk x VL - (LX -tz HX) KV, oder HLxKV — HvxKL -hHkx LV. 209 §. wenn in ähnlichen Dreyecken ^6(7, OLH' Zwo gleichnahmige Seiten ^(7, L6 für die Grundlinien genommen werden; so verbal- Barst. Machem.l. Th. Kk reu (, ZI4 Der Geometrie erster Theil. ren sich die Höhen wie ihretSrund- liinen. Beweis. Es ist AK!A n OLbl ; (184 §-) also AK 1 : V>I — AK: 0 ^, und AK : OL — KL :LK. Folglich auch : Odl — KL : LK. Also verhalten sich ähnliche Dreyecke wie die Quadrate ihrer gleichnahmigen Seiten. (205 §.) 210 §. Alle ähnliche gradlinichre Figuren verhalten sich wie die (puadrate ihrer gleichnahmi- gen Seiten oder Diagonallmien. i O2 Beweis. Wenn man die Figuren nach dem io8 r89 §. in ähnlichliegends Dreyecke eintheilt; so ist kiA. das Verhältniß von jedem Paar solcher ähnlichliegender Dreyecke — A K- : a/i- — AL-: ar- n. s. f. ?llso ist das Verhältniß der Summe aller Dreyecke in der einen Figur zur Stimme aller Dreyecke in der andern, oder das Verhältniß her einen ganzen Figur gegen die andre, eben so groß. (168 §. Nech.) 211 §. Die Flachen ähnlicher regulärer Polygone verhalten sich wie die (Quadrate der Halbmesser oder Durchmesser der dazu gehörigen in oder um diese Polygone beschriebenen kreise, x 12 Beweis. Wenn die Figur wie im 192 §. ge- ^ zeichnet ist; also LK, c/-, die Halbmesser der innern Kreise LL, re, aber die Halbmesser der äussern Kreise sind, so sind die Dreyecke LLL, re/' einander ähnlich, ( 184 §.) also ist LL : e/— LK : cä (229 §.) — LL: re. 'Aber das Verhältniß der Polygone ist — LLs : (210 tz.) also ist eben das Verhältniß --Lkr : rL§ - LL-: cer. 212 §. chv' ch»>< ^ «d» äär Der X Abschnitt. 515 212 §. Man kann Ln und um den Breis ein paar ähnliche reguläre Polygone von so vielen Seitenlinien verzeichnen, daß der Exponent des Verhältnisses der Fläche des äusscrn gegen» die Fläche des innern Polygons kleiner wird, als jede Zahl, welche die Einheit üderrrife. Beweis. Die gegebene Zahl ^ sey grosser als i, und l' ein Halbmesser des Kreises; so kann man denselben nach 6 verlängern, und L 6 — LbH nehmen. AlsdenN hat inan und man kann die regulären Polygone eben so, wie im 192 §. zeichnen. Wenn nun (^und ,/ die Flächen des äussern und inner» Polygons bezeichnen; so ist — — und -77— < -7777-, mithin r < cl-2 xiU" lr!isc> ln? Wenn also die Fläche ^ einer ebenen Figur kleiner als die Kreisstäche ist: so kann man im Kreise ein reguläres Polygon verzeichnen, dessen Fläche grösser als ^ ist. Denn es sey die Kreissiäche — (?, und - — zr, und man verzeichne wie vorhin die regulären ähnlichen Polygone in und um den Kreis, so daß ^ ist, oder — < Das giebt i: tz. c: ^ v - > r : oder Ueberdem ist (7 «Z, 2 L ^ also mithin auch c: L Kk 2 r>-, und§>^. Wenn 516 Der Geometrie erster Theil. Wenn dagegen die Fläche L einer ebenen Figur grösser als die Kreisfläche c ist; so kann inan um den Kreis ein reguläres Polygon verzeichnen, desien Fläche kleiner als L ist. Es sey nemlich — und man verzeichne wie vorhin die ähnlichen regulären Polygone (^und § in und um den Kreis, so daß 06 — also ^ wird. Alsdenn hat cr. .(ch 0 2 " man — < und L > also , mit- hin auch ^ folglich 2. 2IZ x Die ganze Fläche eines um den Mirtelpunce ^ ' A' beschriebenen Preises ist einem Dreyeck ^6//° gleich, dessen Grundlinie ^6 so groß als die Peripherie Z', und dessen Höhe so groß, als der Halbmesser ^ des Greises ist. Beweis. Eine Figur, die grösser ist, als jedes im Kreise beschriebene Polygon, und kleiner, als jedes um den Kreis beschriebene Polygon, muß der Kreisfläche selbst gleich seyn. Denn wäre sie grösser als der Kreis, so gäbe es noch ein kleineres äusseres Polygon; und wenn sie kleiner wäre, so gäbe es noch ein grösseres inneres Polugon. (212 §.) Aber das Dreyeck k6lck ist grösser als jedes innere Polygon. Denn im Kreise sey ein inneres Polygon a von so viel Seiten, als man will, beschrieben, dessen Peripherie — - 7 t ist, und dessen Seiten vom Mittelpunkt um den Abstand F entfernt sind. Ferner sey das Dreyeck I-Xlbl verzeichnet, dessen Grundlinie Klöl - und Höhe F ist; so ist - (r6o H.) C'6 ist aber 'Sch WjN lvidr bim Der X. Abschnitt. 517 »Atz c > , L ! ^ t ^ 4 > M ckke B->k sW -W chs »k*. > ,'hß '' über ? > ?r, und k. > F, also I'O > unh ?bl > Dbl, mithin das Dreyeck ?6bl t> (i O6 §.) folglich auch i 6» > §. Eben das Dreyeck h'6b^ ist kleiner als jedes äussere Polygon. Denn um den Kreis sey ein äußeres Polygon (^von so viel Seittn, wie man will, beschrieben, dessen Peripherie — II ist. Ferner sey das Dreyeck verzeichnet, besten Grundlinie ?(ch—II, und Höhe l'A—R. ist; so ist (i6o §.) Es ist aber ? < H, also l'6 < I'O, und bH — A — 11^, also das Dreyeck l 6ll < , (io6 H.) folglich auch b6LI < (). Diesemnach ist das Dreyeck b'6H der Kreisfläche gleich. Dieser in der lehre vom Kreise sehr merkwürdige Sah ist vom Archimcdes erfunden, der etwa ;c> Jahre später als Euclides berühmt war. Er wird mit Recht für den gröstcn -Erfinder unter den alten Mathematikern gehalten, und es werden unten noch einige andre von ihm erfundene geometrische Lehrsätze Vorkommen. Zu seinen Werken gehört eine kleine Schrift unter dem Titel: x.urrXL ü Orculi Dünen lio, welche mit dem hier vorgecragenen Lehrsatz anfängt. 214 §. Ein Zxrcis - Ausschnitt ist einem 124 Dreyeck LA'// gleich, dessen Grundlinie L// so groß als der Bogen und dessen Höhe -LL so groß, als der Halbmesser /M des Aus- sichnirrs ist. Beweis. Man setze es se» der Peripherie ? des Kreises gleich, wozu der 'Ausschnitt gehört: so ist die Kreisfläche, wozu der Ausschnitt gehört, dem Dreyecke DIL gleich. (21 z §.) Diese Kreisfläche Kk z sey zi8 Der Geometrie ersierTheit. sey — 0: so hat man zwo Proportionen /VLKQ: ^ 08: l' blTl: bO (12 z H.) und hbll : hbO ! ^ — kll:b6. (202 §.) Diese geben die dritte LL80 sib : 0 - hb!^ : hb(!; und weil 0 — bbO ist, so ist ' auch ^080 - Hb». (166 §. Rech.) ß" 21; §. ^7 ^reisstachcn, ähnliche Kreisausschnitte, und ähnliche Breisabschnitte verhalten sich wie die lQuadrare der zugehörigen Halbmest O) ser oder Durchmesser. Ä Das verhalt,'.ist der ähnlichen Abschnitte i» ist auch gleich dem Verhältnis der (Quadrate ihrer Sehnen. < i 124 Beweis. Der einen Kreisfläche L Peripherie zchr 12 5 seyk, der andern Kreisfläche r Peripherie sey p. i hi^. Man verzeichne zwo Dreyecke HbO, und mache irci die Grundlinie bO — ?,./§ — ?, die Höhen Hb — ^0, M 5/— ar; so hat man b: — iiL : ac, (195 §.) also HO : — bb : e/i Demnach ist bbO : ) Hb- : (20; §.) — ^VL- : ac-. Weil ferner >M HbO — o, und i/F — r ist; (21z §.) so ist auch km 0:c—O Wenn die Bogen ^08, aa'/-, einander ähnlich jl-kt sind, alsdenn aber bll — .VO!', und//r — aää ist; ^ W so hat man wiederum^08:a^ —ä.0: ac; (199 H.) also l ll :/ä- Hb:e/, und Lbtt : r/L^bb- : /^L- : ar-. (2OZ §.) Da nun hbbl — i(L 08 , und e/H — art/ä; ( 214 §.) so ist auch i(Ll)8 : — iiO- : ae-. ^ Man ziehe die Sehnen ^8 und aö; so ist der tz. Winkel ^08— arä (199 und: ac — 80 :öe, ^ also dasDreyeck/(08 co arä (184 §.) undi(06:aüe ^ — i^o- : ar-. (209 §.) 2lber auch ^008 : aeci- ^ I ' Die X. Abschnitt. 519 m ft! Ätz sÄM ALS : arS; also ALVK — ALK: aralö — acL — ALsracs, (i6y§.) oder der Abschnitt AI)K:Absch. aciä — ALs : acs. Das Verhältniß der Quadrate der Durchmesser ist mit dem Verhältniß der Quadrate der Halbmesser einerlei weil die Durchmesser selbst sich wie dieHalb- messer verhalten; auch ist das Verhältniß der Halbmesser mit dem Verhältniß der Sehnen ähnlicher Bo. gen einerley; also ist auch das Verhältniß ähnlicher Abschnitte einerley mit dem Verhältniß der Quadrate ihrer Sehnen. ch'. MF Hiss h - , perl -Ä ,ßs) F° 316 §. Eine Figur quadriren Heist ein Quadrat verzeichnen, das der gegebenen Figur gleich ist. Wenn ein Rechteck gegeben ist; so sucht man nach dem >88 §. zwischen den Seiten desselben eine mittlere Proportionallmie, diese ist die Seite des dem Rechteck gleichen Quadrats. (206 §.) Ist die gegebene Figur ein schiefwinklichtes Parallelogramm, oderein Dreyeck: so sucht man nach dem r c>4, oder 107 §. ein eben so grosses Rechteck, und quadrirt dieses, wie vorhin gewiesen ist. An- statt des so gefundenen Rechtecks kann hiernächst auf einer gegebenen Seitenlinie auch ein anders eben so grosses Rechteck gezeichnet werden, wovon man die zweyte Seitenlinie findet, wenn man zur gegebenen Seitenlinie und den Seitenlinien des gegebenen Rechtecks die vierte Proportionallinie sucht. (206 H.) Eben diese Seitenlinie wird nach Anleitung des i c>7§. gefunden. Stakt eines gegebenen regulären Polygons qua- drirk man, wie vorhin, das demselben gleiche Dreyeck. (i6o H.). Kk 4 Ist zro Der Geometrie erster Theil. Ist eine irreguläre gradlinichke Figur gegeben: so verchcile man sie durch Diagonallinien in Drey. ^ ecke, und quadrire jedes Dreyeck für sich. Statt ^r! aller so gefundenen Quadrate kann hiernächst mit dcl" Hülfe des Pykhagorifchen Theorems, ein Quadrat gV' gefunden werde», welches allen vorigen zusammen ^ genommen gleich ist. Auch kann man stakt eines ^ jeden dieser Dreyecke ein eben so grosses Rechteck dem 107 §. gemäß so verzeichnen, daß diese Recht- D ecke insgefamnit eine gleiche Seitenlinie haben. Diese ^ Rechtecke lassen sich so an einander sitzen, daß jedes mit dem folgenden die eben so grosse Seitenlinie ge- Ak mein hat, und alle zusammen machen alsdenn ein sii; Rechteck aus, daß der gegebenen Figur gleich ist, (>6' welches man guadriren kann. Fm -c Vorausgesetzt, daß man eine grade Linie finden ! könne, die dem Umfang eines Kreises gleich ist, last pki sich auch der Kreis, oder ein Abschnitt, oder Aus- km schnitt des Kreises guadriren; wenn das Verhalt- niß des dem Abschnitt, oder Ausschnitt, zugehörigen M Bogens zur Peripherie gegeben ist. Man müste m nach dem 21g §. ein der ganzen Kreisfläche, und T« nach dem 2 l 4 §. ein dem Ausschnitte gleiches Dreneck , D, suchen, welches sich dann statt des Kreises, oder des Ausschnitts guadriren ließe. Von der Q.ua- drakur des Ausschnitts hinge dann zugleich dieO.ua- l «g, dratur des Abschnitts zwischen dem zugehörigen Bo- ^ gen, und der Sehne ab: denn diese Sehne schneidet ein Dreneck ab, und man könnte nun die Diffe- renz der dem Ausschnitt und dem Dreyeck gleichen ^ O.uadrate nach dem n 0 §. suchen. iß ^ Ä Ai,! Der X. Abschnitt. 521 Rchl? HU ^j,d! !»i>> ?lüS- ^ W- W >O ,,, «»i ^ -Skt , Ä!' G-- 1'- >is ^ 217 §. Den Durchmesser eines Rreists zu finden, 126 der so groß ist, als die Summe zwccncr an- 8 jv. dern Rreise 0 , c, deren. Durchmesser ^70 gegeben sind. Ausi. Man verzeichne einen rechten Winkel 8^0, und mache seine Schenkel -X 8 , >V0 ko aroß, als die Durchmesser der gegebenen Kreise sind: so ist die Hrporhenuse 80 des rechtwinklichten DreyeckS ^.80 der Durchmesser des gesuchten Kreises. Beweis. Der Kreis, dessen Durchmesser die Hypothcnufe ist, h> isse X : so ist /V 8 s: ^.0- - 0: c, ( 21 ; H.) also /r8<7 -j- /r 0 - : ^. 0 - — 0 ff- c : c ( 164 H.) oder 80s : ^Oi? — 0 ff- r : r. (l Ost H.) Ferner ist 80s : ^0- — X : r, ( 21 ; H.) also : c — Off-r:r, undX —Off-c. (e 66 H. Rech.) Der Durchmesser eines Kreises 0, welcher so groß ist, als die Differenz eines grösser« Kreises lv von einem kleinern c wird demnach gesunden, wenn man auf dem einen Schenkel des rechten Winkels 8^0 den Durchmesser /rO des kleinern Kreises nimmt, und aus dem Mittelpunct 0 mit dein Durchmesser 08 des größten I< einen Kreis beschreibt, der den andern Schenkel in 6 schneidet: alödenn ist ^,6 der Durchmesser des gesuchten Kreises. Denn ist 0 der diesem Durchmesser zugehörige Kreis; so ist vermöge des Beweises K — 0 ff- c alsok —e— Dieser Beweis gründet sich, auf den Pytagori- schen Lehrsatz, und auf die Eigenschaft der Kreise, daß ihr Verhältnis; gegen einander mit dem Verhalt- niß der Quadrate jh^r Durchmesser einerley ist. Weil es nun eine allgemeine Eigenschaft aller ahn- Kk 5 lichen S22 Der Geometrie erster Theil. lichen Figuren ist, daß sie sich wie die Quadrate ihrer gleichnahmigcn Seiten oder Diagonallinien verhalten: so gilt der Satz mit gehöriger Verände- rung von allen ähnlichen Figuren, wenn statt der ^ Durchmesser der Kreise glcichnahmige Seiten oder Diagonallinien ähnlicher Figuren, oder auch die Sehnen ähnlicher Kreis - Abschnitte verstanden werden. M wenn nemlich die Summe der (Quadrate zwoer solcher gleichnahmigen Linien in zwoen ähnlichen Figuren st> groß ist/ als das (Qua- drat ei«;er gleichnahmigcn Linie einer ahnli- ^ chen dritten Figur; so ist diese dritte Figur s- ^ groß, als die Summe der beyden vorigen. En 2l8 §. 4 26 Vermöge des vorigen Satzes ist in der l 26 F. N xjZ. die halbe Kreisfläche L/t8 der Stimme der beyden halben Kreisflächen 8Q.^ -s- .^80 gleich. Wenn m> nun von dem Halbkreis 8/rL die beyden Abschnitte .Nil /c 06 und ^Vl'lL abgehen; so bleibt das Dreyeck .»ich übrig: und wenn von den beyden Halbkreisen tzm eben dieAbschnitte /^O 8 ,^l^ 0 abge- dm hen; so bleiben die beyden Figuren ^ 1 ) 86 , und m, ^8LbIübrig. Beydezusammen sind also dem grad- ^ linichten Dreyeck /t8L gleich, oder jede für sich einem derDreyecke ^Vl<6, HKO, wenn ^.6 — W, und /(K eine senkrechte Linie auf 80 ist. Diese M Figuren /(I) 60 , werden von ihrer Gestalt ,'ss, Blondchen (lunnlaL) genannt. Man kann sie quadriren, weil man die ihnen gleichen Dreyecke ^ quadriren kann. (2!6 §.) Sie werden von dem ^ Erfinder dieser Quadratur Ntöndchen des Gj pocrarcs, (lunnlae l-ichpocrati8) genannt: aber „ch der- Wik >1!»^ 1 «!,' sLlir Wl W. l ! M! L'll» !«llki > iMlk l W! O sie« Der X. Abschnitt- 523 dergleichen besondre Quadraturen solcher Figuren, die von Kreisbogen eingeschlosten sind, haben in der Ausübung eben keinen Nutzen. Der XL. Abschnitt. Anwendung der Rechenkunst auf die Ausmessung ebener Figuren. 219 §. ^j^cn Flachen r Inhalt eines parallel»-- gramms ^ auszurccdncn, wenn die fj«. Grundlinie und Höhe desselben gegeben sind. Aust. Man muß eine andre ebene Figur, deren Größe als bekannt voraus gesetzt werden kann, für das Maaß annehmen, (i 12 §.) und untersuchen, wie vielmahl diese entweder selbst, oder ein aliquoter Thci! von ihr, in dem Parallelogramm enthalten sey. In solcher Absicht erwählt man ei» Quadrat (^, besten Seite I. so lang ist, als eines von den im 112 H. erwchnten Maasten, z. E. ein Fuß, eine Ruthe 11. s. f. Ein solches Quadrat erhält den Nahmen von diesem kängenmaaffe, dem die Seite desselben gleich ist: es Heist eine (Quadrar-Rurhe, ein Guadrar-Fuß, ein Ouadrar-Zoll u. s. f., nachdem I. eine Ruthe einen Fuß, einen Zoll lang ist, u. s. f. Wenn nun die Grundlinie ^8 und die Höhe L8 des Parallelogramms in Zahlen gegeben sind, wobei) 8 die Einheit ist; so hat man aus dem 206 H. die Proportion — 8 x 8 : ^8 x G8, also ().:?— 1 : ^8 x G8, weil 8 — 1 ist. Demnach ist das Quadrat dessen Seitenlinie einen Fuß/ 524 Der Geometrie erster Theil. Fuß, eine Ruthe, wie man will, lang seyn kann, im Parallelogramm k so vielmahl enthalten, als Eins in derjenigen Zahl enthalten ist, welche das Product aus der Grundlinie -FL in die Höhe EL ausdrückt, vorausgesetzt, daß man beydes Grundlinie und Höhe mit einerlei) Langenmaaß gemessen habe, mithin die Zahlen, welche ihre Länge ange- bcn, einerlei) Nahmen haben. Es sey -FL — Z9,g6 Ruth. EL — 54 ,78 Ruth . )-488 27552 »5744 1968» so wird k — 2156,1408 O.. Ruthen. 220 §. Die Quadrate selbst gehören in die Classe der Parallelogrammen, und die Grundlinie eine? Quadrats ist seiner Höhe gleich. FVenn man also die Fahl, welche die Lange der nach einem bekannten Q)aaß gemessenen Seite eines Quadrats angiebr, mir sich stlbst mulripllcirr; so drückt das Product aus, wie viclmahl ein (Quadrat, dessen Seite so lang als das gebrauchte Langenmaaß ist, in jenem enthalten scy: und dies ist der Ursprung des Nahmens einer Quadrakzahl. ( 180 §. Rech.) Wenn dagegen der Flachenraum eines Quadrats im Quadratmaaß gegeben ist; so wird die Seitenlinie des (Quadrats im Langenmaaß, das mir dein (Quadratmaaß glcichnahnng ist, durch der« ! HU Mi H kick dil- r- dt» LZi ,pic IW L' IHN L» die and deal die »lil, Der XI. Abschnitt. 525 Erich zruiP rdrr H! >rl;s> j 1 °^ >- xl« durch Ausziehung der «Quadratwurzel aus der gegebenen Zahl gefunden. Cme Quadrat-Ruche enthält 100Q. F., weil ihre Seite »ach der Dreimal-Abtheilung — io F. ist: aus eben der Ursache enthält ein Quadrat-Fuß 100 Quadrat-Zoll, ein Quadrat-Zoll aber loc» Quadrat-Ltnien, eine Q.uadraklinie ioo Quadrat- Scrupel. Hiedurch werden zugleich die Nahmen solcher De- cimalcheile bestimmt, die an einer ganzen Zahl an- hängen, welche den Flachen-Inhalt einer Figur ausdrückt, wenn die Einheit eine Quadrat-Ruthe, oder ein Quadrat-Fuß u. s. f. ist. Im vor. H. ward das Parallelogramm I' ^ 2156,1408 Q. R. oder ? — 21Q. R. gesunden, und man kann den anhängenden Bruch nach dem 1 z6 §. R. auf Quadratfüsse bringen: alsdenn erhält man Q. R. — -^'0^771 oo Q. F. —14,08 Q. F. Eben so werden Q. F. — 8 Q.uad. Zollen, und deswegen sind 2156,1428 Q. R. so viel, als 2156 Q R. 14Q.F.8Q.Z. Man kann sich auf solche Art jedesmahl die an einer Zahl von dieser An anhängende Decimalzahl von der Linken gegen die Rechte so eingetheilt vvrstel- len, daß jede Elaste zwo Ziffern bekommt, und es werde» diese Elasten Quadratfüste, Quadrakzolle, Quadratlinien, und s.f. nacheinander bedeuten, wenn die Einheit eine Quadrat-Ruthe ist. Wie sich dies ändre, wenn die Einheit en Quadratfuß, oder Qua- dratzoll, u. s. f. ist, fällt leicht in die Augen. Wäre die Anzahl der Decimalsiellen ungrade; so erhält man durch Hinzusehung ier 0 eine grade Anzahl, welches den Werth der Zahl bekannter masten nicht ändert. Z26 Der Geometrie erster Theil. ändert. So sind 45^,75269 Q. R. — 45z Q. 9 t. 7z Q. §. 26 O.- Z> 90 Q. L. 22 ! §. Nach dem Duodccimal - Maaß enthalt eine O.uadrat-Rulhe 144 O.uadrat-Fuß, ein Quadrat. Fuß enthält 144 Quadrat-Zoll, ein Quadrat-Zoll »44 Quadrat-Linien, und in einer Quadratlinie sind l 44 Quadrat- Scrupel enthalten. Dies vorausgesetzt, kann man leicht das Decimal-Q.uadrat- maaß auf Duodecimal-Quadratmaaß, und umqe- kehrt dieses auf jenes bringen. Es dienen dazu folgende Sätze, als Reductivnsfatze. Bey einerlei) Ruthenmaaß sind r ov Der. Q- F. — '44 Duod. Q. F. Bey einerlei) Fußinaaß sind Ivo Der. Q- Z. — 144 Duod. Q- Z. Wird nun gefragt: 6z Quadrat-Fuß 95 Qua- brat-Zoll Decimalmaaß, wieviel sinds Duodeci- mal - Quadrat - Füße und kleinere Duodecimal- O.uadrattheile von solchen Quadratfüßen? so seht Der XI. Abschnitt. 527 ioODec.Q.F. — l44Duod.Q,F—6z Q-F- 95 Q- A. » 576 144 _ 90790 Duod-Qu.Z. 144 DuodM>? 1144 1144 280 rZ 7 _ 41Z2I Duod Qu. Z. 207 z 6) 4IZ2ILO 199,271798 Qu-F- Tec. Maaß. Weil übrigens die Verschiedenheit des in verschiedenen Ländern und Städten üblichen LängenmaasseS oft Reductionen solcher Zahlen, die eine gemessene Länge angeben, auf ein andres Längenmaaß noth- wendig macht; so ist leicht zu erachten, daß man zuweilen genöthiget seyn werde, solche Zahlen, welche die Grösse einer Fläche im Quadratmaaß angeben, auf ein Quadratmaaß eines andern Nahmens zu bringen. Wenn man die Zahlen quadrirt, welche in der Vergleichungstafel der Fußmaasse des 254 H. der Rechenkunst sind mitgetheilt worden; so verhalten sich die so gefundenen Quadratzahlen wie die Qua- dratmaasse an den Oertern, welche in der Tafel da- bey angezeigt sind. Auch hat man leicht die nöthi- gen Reductionssäße, wenn man die Zahlen in den ReductionssäHen für die Längenmaasse quadrirt. Sind 144 Lond. Fuß — 19z Paris. Fuß: so sind 20796 Lond. Q. F. — 18225 Paris. Z).- F. Wie man sich weiter bey Auslösung hieher gehöriger Rechnungsfragen verhalten müsse, dazu hat die Rechenkunst ausführlich genug Anleitung gegeben: nur ist nicht undienlich zu bemerken, daß man sin) dabey in vielen Fallen mit Vortheil der Logarithmen bedienen MM Ätz Rklh Ürch Tu K ' »M >iitz »«>: '«jb . M/chi Hm, !>KM- !Md!r der Hie» § H'. ,l i»; tü-': . ' §§' Der XI. Abschnitt. 529 bedienen könne. Soll man 47 zy Lond. Q. F. auf P.iriser O.. F> bringen, so kann man so rechnen. 144" Lond. — iz^ Paris. — 4789 Lond? /i44 —2,158)625 2 /i44^—4,8167250 /izz -2,izozzz8 2 /iz;2 —4,2606676 /47Z9 — 8,6756867 7 , 9 Z 6 Z 54 Z ,144^ — 4,8167250 Log. der ges. Zahl — 8,619629z also diese Zahl--4,65,1871 P.Q.F. 222 §. Den Flächen-Inhalt eines Dreyecks ^6 i z i auszurechuen, wenn eine Seite desselben^/? ki§. nebst der dazu gehörigen Höhe l 7 L nach eir nem bekannten Maas in Zahlen gegeben sind. Ausl. Wenn auf eben der Grundllnie -^8 in eben der Höhe 68 ein Parallelogramm b stehet; so ist das Dreyeck ^86 — ^ Weil nun 8 — -^8 x 68 gefunden wird, (2i9§.)so erhält man 86 -- 4 Xk x 68. Demnach giebk das halbe Product aus der Grundlinie eines Dreyeckö in seine Höhe den Flächen-Inhalt des Dreyeckö im Quadrat-Maafi, allemahl vorausgescht, daß Grundlinie und Höhe im gleichnahmigen Längenmaaß durch Zahlen ausgedrückt seyn muffen. Wenn also ^8 —89, z6 R, 68 — 54,78 R: so wird das Dreyeck /186 — 1078,0704 Quad. R. oder 1078 Q. R. 7 Q- F. 4 Q. Z. 22z §. Ein Trapezium auszurechnen, igL wenn beyde parallele Seiten, w, nebst 17 Z. Barst. Mathem. I. Tb. L l ihrer rZZ 5ZO Der Geometrie erster Theil. ihrer Entfernung, oder der hohe des Trapez» DL, gegeben sind. Aust. Die halbe Summe der parallelen Seiten ^(-^8 4 - LO) multiplicire man in die Höhe OL; so drückt das Product den Inhalt des Trapez» ans. Beweis. Man ziehe die Diagonallinie 81); so ist das Dreneck /^ 8 O — 4 /t 8 . OL, und das Dreyeck L 8 O ^ 4 LO. OL : (222 §.) also /r 8 LO -- ^ 8 O -i- L 8 O ^ ^ ^ 8 .OL 4 - L LO .OL ^L(^4-LO)VL. 224 §. Den Flachen-Inhalt einer jeden irregulären gradlinichtenFigurauszurechnen, wenn man alle ihre Diagonaliinien, und die diesen Diagonallinien zugehörigen Höhen der Dreiecke messen kann, in welche die Figur durch diese Diagonallimen verrheilr wird. , ?iust. Man berechne den Inhalt eines jeden dieser Dreyecke besonders nach dem 222 H., und bringe zuletzt alle gefundene Zahlen in eine Summe: so hat man den Inhalt der ganzen Figur. Im Viereck ^ 80 O ist eine Diagonalst"» ^L hinlänglich, und wenn man diese für die gemeinschaftliche Grundlinie der beyden Dreyecke A8L, -XOL nimmt, so daß 88, OL, die Höhen werden; so ist das ganze Viereck — ^-sXL. 88-8 ^/^L.OL — ^-XO (68 -j- OL). Solchergestalt findet man den Inhalt auf einmal durch eine einzige Multiplication, welches die Rechnung verkürzt. In jeder andern Figur, die mehr als vier Seiten hat, machen zwey Dreyecke, die an einer Dia- gonaltinie liegen, ein solches Viereck aus: daher kann z!i>2^ tik» 2 ii>P? Mn> Aoj üMi: «tj s-il ilsSDld! ^!!l> r>) jilAij Der XI. Abschnitt. 551 !>,tz »Nid kann man zu Verkürzung der Rechnung den Inhalt, aller dieser Vierecke auf die seht beschriebene Arc berechnen, und zuleßt alles mit den etwa noch übrt« gen Dreyecken in eine Summe bringen. A 22; §. Die Lange zwoer Seiten eines rcchtwirik- lichten Dreyecks ist gegeben, man soll die, Länge der dritten Seite durch Rechnung finden. cÄ üTch fden «» .Ä, 2 lust. Wenn »die eine, und /-die andre Perpendikulär-Seite, ^ aber die Hypothenufe bezeichnet; soisi/-- —und«- —LssiOgH.) also auch— unda^——/^, ^220 H.) mithin ferner L—/'(a^^-Sr)unda—^^ — L^). ( 184 §. Rech.) Sind also beyde Perpendieulär- seiten in gleichnamigen Zahlen gegeben, so mache man von jeder dieser Zahlen die A.uadratzahl, addire diese zusammen, und ziehe aus der Summe die Quadrat-Wurzel: so hat man die Hypothenufe gesunden. Ist nebst der Hypothenufe ein CathetuS gegeben ; so ziehe man die O.uadratZahl des gegebenen Cathcti Von der Ouadratzahl der Hypothenufe ab, und suche aus dem Rest die Quadrat-Wurzel: so hat man die Länge des andern Calheki gefunden. Ware er — /> — i; so wäre /r — -"2. Alst» sind in diesem Fall er oder /> und L inkommensurable Linien. 226 §. Die Lange der Seite eines regulären i^o Polygons nebst dcnrHalbinesser (7^—des I-je-. um dasselbe beschriebenen Rreiscs ist gcgcben: Ll 2 man zzr Der Geometrie erster Theil. man soll den Flächen-Inhalt des Polygons durch Rechnung finden. Aufl. Man suche zuerst die Entfernung cv der Seiten vom Mittelpunkt des Polygons: diese halbirt die Seite in N, (74 H.) und weil gegeben ist, so hat man auch Demnach wird im rechtwinklichten Dreyeck ^VL die Perpen- dicularseite Ov —gefunden, und man hat den ganzen Umfang des Polygons, wenn man die Länge der Seite mit der Anzahl der Seiten multiplicirt. Wird nun die halbe Peripherie des Polygons mit der Entfernung der Seiten vom Mittelpunkt multiplicirt, so findet man den Flächeninhalt des Polygons: denn dies Product giebt den Inhalt eines dem Polygon gleichen Dreyecks. (160 §.) Wenn der Halbmesser des Kreises — 1 ist, so ist auch die Seite des regulären Sechsecks — i, lund man findet für das Sechseck LO — >/(i — — ^ ^ O,866o25Z5, (200 H. Rech.) mithin für den Inhalt 2,59807605 Decimal-Quadrattheile des Halbmessers. Die Seite des im Kreise beschriebenen Quadrats ist — /2, und daraus hat man unmittelbar nach dem 220 §. den Flächeninhalt — 2 Quadrate des Halbmessers, wie auch für sich schon klar ist. Die Entfernung der Seiten vom Mittelpunkt ist — /(i— 4/2) — 0,70710678. Ks Dl W Lli !«rch tü jus s 227 §. Eine Figur wird arithmetisch quadrier, wenn man die Seitenlinie desjenigen Quadrats durch Rechnung sucht, dessen Flächenraum eben so groß, als der Flächenraum der gegebenen Figur ist. Weil l. i,« »8 >Ä i,D mikhin chile W« Ä lÄ d ß «ilß Der XI. Abschnitt. zzz Weil mein den Flächeninhalt einer jeden grad- linichten Figur im Quadratmaaß finden kann, in der Voraussetzung, daß alle diejenigen graben Innen vermittelst des LangenmaasseS gemessen werden können, welche bey der Rechnung gegeben seyn müssen; so läßt sich jede gradlinichte Figur arithmetisch quadri- ren. Weil nemlich ihr im Quadratmaaß gefundener Flächeninhalt zugleich die Grösse des Flächenraums eines eben so grossen Quadrats angiebt; so suche man aus der so gefundenen Quadratzahl die dazu gehörige Quadratwurzel: diese giebt die Länge der Seitenlinie des gesuchten Quadrats im Längenmaaß, das mit dem Quadratmaaß einerlei) Nahmen hat, wodurch der Flächeninhalt der Figur ausgedrückt ist. (220 §.) Der XII. Abschnitt. Die ersten Grundlehren von den trigonometrischen Linien. 228 §. ^s sey ALK ein spitzer Winkel und 8LK seine Er- , -- gänzung zu igo° oder 2 K; ferner sey LM auf AL senkrecht, und aus dem Mittelpunkt mit einem willkührlichen Halbmesser ein Halbkreis über AK beschrieben: so sind Ab, XI', Quadranten, und AI» ist das Maaß des Winkels ALK. Aus k ziehe man IM, KL aufdie Schenkel des rechten Winkels senkrecht, durch A und b aber Tangenten des Kreises, welche Lk in 1 und V schneiden; so erhellet, daß die Linien LO — LL, AO, AM, QM, KL — LI), Ll z Lb, 5Z4 Der Geometrie erster Theil. klk, kV, und OV insgesammt von der Grösse des Winkels AON abhangen. Es Heist aber LO — LU der Sinns, AI) der Tluersrnus, ( 8inu5 versii?) AN die Tangente, L'k die Sccanre sowohl des Winkels AON, als mich des Bogens All. Zn eben dem Verstände ist kL — Ol) der Sinns, Uk der O.uersinus, kV die Tangente, OV die Sceante sowohl des Winkels kLll, der AON zu yo° ergänzt, als auch des Bogens kli der AN zum Quadranten ergänzt: man könnte also die letzten vier Linien den Sinus, den Quersinns, die Tangente, die Secante des Comple- ments des Winkels AON, oder des Bogens /Ul zu 92° nennen: statt besten aber heißt kürzer LU — Ol) der Cosinus, Uk der Cosinus versus, kV die Corangence, LV die Cosecaiuc sowohl des Winkels AOL, als auch des Bogens All. Alle acht Linien heissen auch überhaupt die zu dein Winkel oder Bogen gehörigen rrlgonomcmscdcn -s-'l fniöl w6i !L ÄLii: Wk Mi silbttll Linien; rind wenn « einen Winkel oder einen Kreis- bogen bezeichnet, so dienen die verkürzten Ausdrücke kin «, lin V. «, tkMZ «, lec «, cos «, col V. or, cot«, Losec«, als allgemeine Zeichen für diese trigonometrischen Linien. Sie führen diesen gemeinschaftlichen Nahmen, weil sie anfangs vornemlich nur gebraucht wurden, aus dreyen Stücken vom Umfang eines Dreyecks, wenn unter denselben wenigstens eine ' Ul»« »ÄH Der XU. Abschnitt. 555 «ine Seite befindlich ist, die übrigen durch Rech- nung zu finden, wozu die nähere Anleitung bald folgen wird. 229 §. Wenn der spitze Winke- >XL8 wachst, so wächst zugleich sein Sinus und D.uersinus, seine Tangente und Secante: dagegen nehmen die übrigen vier trigonometrischen Linien ab. Nach diesem Gesetz erfolgen die Blenderungen so lange bis ^L6, oder /^8 — 90° wird mithin L6 in L8 fällt. Nun wirb nicht allein der Sinus 1)8 — L8, sondern auch der QuersinuS -VI) — BL, also beyde dem Halbmesser des Bogens B8 gleich, der nun ein Quadrant ist, wenn 8 in 8 fällt. Wenn 8 über 8 nach O hinaus rückt, so nimmt der Sinus, der nun Lick ist, wieder ab, und der Sinus kann nie grösser, als der Halbmesser werden: deswegen heißt der Sinus des rechten Winkels auch der ganze Sinns. Wird dieser Sinus — r gesetzt, so lasten sich alle übrige Sinus in Zahlen nicht anders als durch Brüche ausdrücken. Für den stumpfen Winkel BLO ist BH der QuersinuS, mithin übertrift derselbe nun den ganzen Sinus. Die Tangente Bch' und Secante LI wachsen über alle Gränzen, wenn sich BL8 dem rechten Winkel nähert, und weil Tangente und Secante eines rechten Winkels eigentlich gar keinen Endpunkt haben, da es keinen DurchschnittSpunct 1 ° alsdenn mehr gicbt, so ist sowohl die Tangente als auch die Secante eines rechten Winkels grösser als jede gegebene Linie. Eine Linie dieser Art nennt man unendlich groß, und das Zeichen oc> wird alsdenn gebraucht, eine solche Linie anzudeuten. Die Ll 4 Tan- zz 6 Der Geometrie erster Theil. Tangente und Secante des stumpfen Winkels sind -^8, L8, beyder Durchfchnittöpunct liegt nun auf der andern Seite des Durchmessers und beyde Linien haben nun eine Lage die der vorigen entgegen gefetzt ist. Der Cosinus, der Cosinusverfus, und die Co- tangenke des rechten Winkels verschwinden, und die Cofecante ist dem Halbmesser gleich. Für den stumpfen Winkel haben der Cosinus LO — Cbl, und die Cokangente eine Lage, die der vorigen entgegen gefetzt ist, die Cofecante LW ist wieder grösser als der Halbmesser. Eben diese Linien wachsen mit dem stumpfen Winkel, auch der O.uersinuS mit dem Cosinusverfus wächst; so wie im Gegen- theil Sinus, Tangente, Secante abnehmcn. Werden /XLO oder r8o°, so verschwindet der Sinus, der O.uersinus ist dem Durchmesser des Bogensgleich, der nun ein Halbkreis ist, die Tangenke verschwindet, die Secante ist dem Halbmesser gleich, die Cotangente und Cofecante werden unendlich groß, der Cosinus und der Cosinusverfus aber dem Halbmesser gleich. Wenn man die mit einem spitzen Winkel zusammen gehörigen trigonometrischen Linien positiv annimmt, so bleiben die Sinus, O.uersinus, Cosinusverfus und Cosecanken für stumpfe Winkel zwischen 90° und 180° positiv, aber die Cosinus, Ti'' Lv»^ qm zz, ? Wp", «mW ik!> mli cm Lvzu «Kä Lckii, jMiüI! 'Lanqenten, Secanten und Cotangenten dieser stumpfen Winkel werden negativ, (gy §.) Die übrigen Acnderungen, welche mit diesen Linien Vorgehen, wenn Winkel und Bogen über «80° wachsen, werden hier noch nicht in Betrachtung kommen. Die SM« i A«, >, «ti «MD 'lkM AI- 8» ^., Mkn it?6 ^ die halb- lklbm WS M AÄ- ^L» !,i;» IM l-A" )»ö» K Der XII. Abschnitt. 537 Die Winkel AL6, ALI, haben eine entgegengesetzte Lage, und beyde haben einerley Cosinus LI) und Quersinus AI) der Grösse lind Lage nach, wenn die Winkel selbst gleich groß sind, aber entgegen gesetzte Sinus 1)8, 1)1, und Tangenten AI", A8. Des negativen Winkels ALI. — AL6 Co- tangenke, Cvsecante, und Cosinusversuö sind IW, LW, ir, die Cosecante LW ist der Secante L8 entgegen gesetzt. Wie es komme, daß des negativen Winkels Cosinus und Secante positiv bleiben, übersiehet man am deutlichsten, wenn man sich vorstellt, daß AL8 abnehme, verschwinde, und in den entgegen gesetzten Zustand übergehn, indem L8 sich um L gegen LA zu drehet: alsdenn nimmt LI) zu und LT" nimmt ab so lange bis AL8 verschwindet, da dann Cosinus und Secante dem Halbmesser gleich sind, weil I) und 1 in A fallen. Sobald aber L6 auf die Seite von LA kommt, wo LL liegt, sobald nimmt LO wieder ab, L"I oder L8 aber wächst, und der Endpunct T" oder 8 bleibt auf eben der Seite von L liegen, wo er seine Stelle für den positiven Winkel hakte. Indem sich solchergestalt LL um L durch LA gegen LI. zu drehet, wachst zugleich derCosinusversuS 88; er wird dem Halbmesser gleich, wenn AL8 verschwindet, und er übertrift den Halbmesser 8L, wenn L6 über LA hinaus gerückt, und der Winkel nun negativ geworden ist. 2Z0 §. Zu zweenen Winkeln, die einander zu i8o°Grad ergänzen, gehören gleich grosse trigonometrische Linien, wenn der einzige CLuersinus ausgenommen wird. Ll 5 Beweis. 558 Der Geometrie erster THE , Beweis. Wenn HL6 18°° - ^LO ist, so hat man auch KLO — 180"—r^LO, also H.L8 - KLO ^ H.L8, und LLKkLO. Ferner E ist LO — L6, bey O und O sind rechte Winkel; ke»!^ also ist in den Dreiecken KOL und OOL die Seite LO — OO, LO — LO, mithin sind Sinus und Cosinus der Winkel HLK, /tLO gleich groß, nur ^ nicht die O.uersintiS HO, HO, welche um den dop- pelten Cosinus verschieden sind. In den Drcyecken «si"«- LHV, LH8, ist /VI' - H8, L I - L8, also sind Tangente und Sccante gleich groß. Eben so hat MlV man in den Dreyecken Lk V, LLVV, auch kV—kV.^, 0 ^ LV — L VV, also sind die Cotangente und Cosecante xs A für beyde Winkel HLL, HLO gleich groß, und der -LD Cosinus versus kk ist gleichfalls für beyde einerley, weil der Sinus Lk für beyde einerlei) ist. MrÄ Einige dieser Linien haben für solche Winkel, die tms, einander zu i8o" ergänzen, eine entgegengesetzte Lage, wie schon im vor. H. bemerkt ist. Wenn dem- zi:! nach auf bcydes zugleich ihre Grosse und Lage Rück- M,, sicht genommen wird, lind «einen spitzigen Winkel Lchz bezeichnet; so ist -Nch sin (lsiO°-«) — sin «, -L!j cos(,8o° —«) — — cos«, schi tanA(i8o°-«) - - t-mA a-, cot(i8o°-«) — — cot«, sec(i8o°—«) — — sec«, colcc (182°—«) — coiec «, coliii v. O82O —«) — colinv. «. 2ZI §. 177 lDenn ^L/?, ack-, gleich grosse kVinkel, 178 Bogen a/,, .rber mit ungleichen Halb- LiZ. Messern < 7 ^, ca, beschrieben smb, und wenn als- ^8, »i ^ ülchfch «hj ch-U, «,«!« !«»> ch^ii ^ i§Mt iillM' lRik- Äil / l> ' K- Der XU. Abschnitt. 5Z9 alsdcnn für diese Winkel oder Bogen die den Halbmesser E^, ca, zugehörigen trigonometrischen Linien verzeickncr werden; so verhalten sich von diesen Linien diejenigen, die eis nerley Nahmen haben, wie die dazugehörigen Halbmesser. Beweis. Es ist so gleich einleuchtend, daß die Drcyecke LED und ücch HE I und acch HHV und a/v einander ähnlich sind: (184 §.) deswegen verhalten sich die Sinus und Cosinus wie die Halbmesser LL:cS, die Tangenten und Secanten wie EH : ca, die Cotangenten und Cosicanten wie EL :c/. Ferner ist HE : ac — ED : cch also auch HE — ED : ac — cci—HE: ac (169 §. Rech.) d. i. die QuersinuS HD, ach verhalten sich wie die Halbmesser. Für die Cosinusvcrsus LIch cch, folgt es eben so: denn es ist EI' : cch— EL : cc, also EI' — EL : cch — cc, oder LH: cch — EL : cc. Für die stumpfen Winkel gilt eben der Sah, weil sie, mit Ausnahme des O.uersinuS, mit ihren Ergänzungen zu 18o° cinerlcy trigonometrische Linien haben. Uebrigens aber hat man auch HL: ac — Eli: c/r, also HL -h LH : ac -h c/c — HE : ac (168 §. Rech.) oder die Quersinus HD, ach zwee- ncr gleich grossen stumpfen Winkel verhalten sich wie die dazu gehörigen Halbmesser. Trigonometrische Linien, die zu eincrley Winkel gehören, bleiben also in einerley Verhältnis, wenn man gleich den Halbmesser ändert. Denn es ist LD : ü.v — HL :'ac, und ED : c// — HE : ac, also LD : Lci — ED : c^/, Mithin auch LD : LD — /-cl : cch Ferner ist H'L : aL — HL : ac — E'L : cch also auch H'L: E'L—at:ct. Eben 540 Der Geometrie erster Theil. Eben so erhellet, daß das Verhaltniß zweyer trigonometrischer Linien für den Halbmesser einerley sey mit dem Verhaltniß zweyer mit den vorigen gleichnahmiger trigonometrischen Linien für den Halbmesser ca, wenn die Winkel acö, gleich groß sind. 2Z2 §. Der Sinus eines Winkels oder Bogens — « lfi für den Halbmesser — i gegeben: man soll die übrigen zu eben dem Winkel gehörigen trigonomerrischen Linien finden. Aufi. Ans dem Sinus hat man gleich den Co- sinus versus, denn es ist Ol? — Ck — Ck, also colin V. « — I — lur «. Weiter ist CO — ^<(KL^ — LO^), (225 H.) weil nun der Halbmesser KL — i gesetzt wird, so hat man cos« — /(i — 5ur «^), so wie überhaupt allemahl lin «^ -s- cos«^ — i. Ferner ist CO: OK — C/^ : also O6.C?) d. i. tanz«- sin « weil C^. Lv ' " cos« — i ist. Aus dem Cosinus hat man auch ^O — >^C — CO, d. i. linv.« — i — cos«, wenn « spitz ist. Für den Winkel?eCO — 180" — « hat man -XO — ^VC 4 CO, d.i.linv.(180°_«) — 1 4 - cos «. K lrc«- W!i «IIS X"! c^c «>jsikci A>! Aus der Tangente hat man auch die Cotangente, . denn es ist das Dr. /XL kco kCV, also : -^C — Ck : kV, d. i. tanz« : 1 — i : cot«, also cot« ü,chU ! so! "7^—. Allemahl also ist das Rechteck der Tan- H ri,zü ->zk- «id, i E« ^ itifi, Lk,,- ^ K-l rM! !«/« m! Lrl' k ,«« ^ °°-« ! i Der XU. Abschnitt. 541 Tangente und Cotangente tzem Quadrat des Halb- , lin« meiserö gleich. Well nun tan§« — —— war, so cos« col« ist auch cot«-- —^-. un « Aus der Tangente wird die Secante und aus der Cotangente die Cosecante nach dem Purhago- rischen Lebrsatz gefunden. Denn es ist LI' — und ev--^(ex--^kv-) also sec « — /(i -f- tanZ «°°), cosec « -- /(i -f- cot«^). Man findet aber auch die Secante aus dem Cosinus und die Cosecante aus dem Sinus: denn es ist (D : L8 - : LI', d. i. cos«: l -- l: sec«, und OL:(W—Lk:LV, d.i.ün«: l — I rcosec «, also sec«— --—, cosec«-- —. Auch cui« un« ist allemahl cos«. sec « — 6n «. cosec « — r Diese Formuln sind insgesammt allgemein richtig, es mag « einen spitzen oder stumpfen Winkel bezeichnen, wenn man nur bemerkt, daß cos«, tanz«, cot«, sec«, negativ werden, wenn « zwischen 90° und lZo" fallt. Diese Bemerkung vorausgesetzt, kann auch der Ausdruck Imv. — r — cos« als allgemein gelten, weil nach dem Subtra- ctionsregeln des 40 §. ohnehin lin v. (i80° — «) -- l -f- cos(180" — «) gefunden wird. Vergleicht man überdem hiemik die allgemeinen MultiplicationS- u»d Divisions-Regeln aus dem i8t §; so stießt l^n« auch aus den Formuln raus» -- —, cot « cos« ^ i /os« — —r-, sec«--: -, daß tanz «, cot«, un « coi« sec«, mit cos« zugleich negativ werden, wenn ün« 542 Der Geometrie erster Theil. sin « positiv bleibt. Weil ferner cos« positiv bleibt ober sin« mit« negativ wird, (229 tz.) so folgt nach eben den Regeln, daß rang-«, cot«, mit« negativ werden, aber siec « positiv bleibe. Hat man die trigonometrische Linie eines Win» kels für den Halbmesser — 1, so hat man die eben dem Winkel zugehörige Linie desselben Rahmens für einen andern Halbmesser, wenn man die Zahl, welche sie für den Halbmesser 1 ausdrückt,-mit der Länge des neuen Halbmessers multiplicirt. Es sey e für den Halbmesser r, 8 für den Halbmesser r- der-Sinus eines Winkels,, so ist 1 8, (2gi H.) also 8 — r'. Eigentlich sind die Zahlen, welche man für den Halbmesser — i findet, die Exponenten der Verhältnisse der Trigonometrischen Linien zum Halbmesser oder dem ganzen Sinus: deswegen kommt es bey Berechnung der trigonometrischen Linien vornem- lich nur darauf an, diese Zahlen zu finden. Aber eben um deswillen müssen auch die abgekürzten/Ausdrücke sin «, cos«, u. s. w. welche die trigonometrischen Linien bezeichnen, allemahl für den Halbmesser -- 1 verstanden werden, da sie denn Zahlen, eigentlich keine Linien, bezeichnen. 2ZZ §. 1 79 Der Sinus und Cofinus zweener liVmkcl i go -4OD — ß find gegeben, man soll kiß. den Sinus und Cosinus der Summe oder der , Differenz beyder Winkel finden. Aufi. Es sey in der 17 9 Fig. M auf AL und DO auf lkL senkrecht, so istsisi — sin «, LL — col«, DO ^ sin /Z, und LO — cosi /§. Ferner sey D? auf AL senkrecht, und schneide Lik in b., so ist ALD « n / 3 , DI- -- sin («st-A), Lsi col'(« -i- - 3 ). Ms 5 ?, d-D« vü'.v .U-c ii» )M>I wl Z: rc-kl cc: i Mm ileüm BS ßl Elch I»ch »Li«. >s« tlit-A IMtz mA MÄtS MD Akr «W- «>- i, i>P iE Der XIl. Abschnitt. 54z ^Lleberdem sey 014 auf und OK auf 04 senkeecht, so ist 01' oder Kn (« 4 - /Z) — 4K 4 - OK, und 04 oder cos(« 4- /?) — 014-^144: demnach muß man 4K, OK, 014, und 144 suchen. Es ist 60 : 60 — 00:014, (, 84 §.) oder i : Kn « — cos/3: 011 , also 6 kl — Kn « cos/Z — 4K. Ferner sind die Winkel bey 0 in den rechlwinklichten Dreyecken, 000 , 400 gleich, also ist der Winkel ^06 OOK, und das Dreyeck604 co Dr. OKO; mithin 60:04 — 00 : OK, oder i : cos « — Kn /Z: OK, und OK — cos« Kn A: demnach hat mau Kn (« 4 -/Z) — Kn« cos/Z 4 - cos« Kn A Ferner ist 60:00—00: 014, oder i : cos « — cos /Z : 014, also 014 ^ cos « cos /Z; überdem 60:60— 00 :^0K, oder i : Kn « — Kn /Z : OK, also OK — Kn « Kn /Z — H4, und das giebt col (« 4 -/Z) — cos« col /Z — Kn « Kn /Z. In der 18 o Fig. sey ebenfalls iV06 — «, 800 — /Z, also?eOO — « — /Z, und alles übrige wie zuvor; so ist nun 04 — Kn (« — /Z) — 4K — KO, und 04 — cos(« — /Z) — OH 4-144. Ferner bleibt 014 — 4K ^ Kn« cot /Z, 60 und 04 schneiden einander wiederum in 4, die Dreyecke OKO und 600 bleiben einander ähnlich, also bleibt KO—col « Kn/Z, 014 — cos« cos/Z und 114 ^ OK — Kn« Kn/Z: mithin ist Kn (« —^Z) — Kn«coI/Z — cos« Kn /Z cos(« —/Z) —cos« cos/Z 4 - Kn « Kn /Z. Diese letzten beyden Formuln fliesten schon aus den beyden ersten, wenn man in denselben den Winkel /Z negativ annimmt: dem: alsdenn ist Kn /Z negativ und cos /§ bleibt positiv. (229 §.) 2Z4 §. 544 Der Geometrie erster Tyeil. LZ4 H. Der Sinus und Cosinus eines Winkels « sind gegebcir: man soll den Sinus und Cosinus des doppelten Winkels 2« finden. Aufi. Es war im (« 4 /Z) — 6n « cos/Z 4 cos« 6n /Z und col (« 4 /Z — col« coiA — iin« 1iu/Z: Demnach setze man « — /Z, und man erhalt im 2« — 2iIn«coi«, so wie cos 2« — cos«^ — im 2z; §. Der Sinus oder Cosinus eines Winkels >/ ist gegeben: man soll den Sinus und Cosinus seiner Hälfte finden. Aufi. Man setze « — 4^, also 2« — -/, so verwandelt sich der zuletzt gefundene allgemeine Ausdruck des cos 2« in den folgenden cos-/ — cos 4^ — im 4 "/^, oder im 4^ 4 cos-/ ^ cos 4 >/^. §er» ner ist cos4-/^ — 1 — im 4-/^, also lm4 M »niO- Il) L Ä» Ml;- cch Äs« cch. col,. >K.r Ull^ >U rc°,^ ws// > Kr- s.co5/ Der XII. Abschnitt. 545 die Tangente der halben Summe dieser ^Vinkel zur Tangente ihrer halben Differenz. Beweis. Es war im 2 z z §. im (oe 4 / 3 ) — im « cos/Z 4 cos« kill /3 sm(«—/Z) — 611« cos/Z — cos« im/Z Also ist I. ) sm(« 4 / 3 ) 4 s"(«— /Z) — 2iin« cos/Z II. ) sm(«4/Z) — im(« —/Z)— 2 cos«im/Z (Man vergleiche den 29 H. der Rechenkunst.) Nunsey«4 ^ —»f, « —-3 —A, seist«— und /Z — 4 (r/ — A), (i 51 Rech.) also I. ) imy-htmA- 2 im^(r) 4 S)cos^(>—S) II. ) sin y — im A — 2 coi 4 (y 4 A) iin ^ — S), und man erhalt s'n 14 lmZ- iin 4 (^ 4 A) cos4(>/—A) s>ü^ — ünZ- 6 " ^ 04 - 9 ) cos 4 (» 4 S) s>n t(»/-A) X cos 4 4 A) ' cos^(,i . , iioch s>n K des 2Z2 § sm 4 (-, - A) mithin vermöge (»/ 4 -S)' t -^8 __ tr>"Z 4 (>?-A) --S Im — lin Z- Die Formuln im 2 zg §. cos(«—/Z)—cos«cos/Z4so« lln/Z coi(« 4/3) —cos«cos/Z —sm«lio/Z geben auch cos(«—/Z) 4 cos(«4/Z) — 2 cos« cos/Z cos/«—/Z) — cos(«4/Z) — 2 im« iin /Z. Man sehe« — ^ (»/ 4A) und /3 — ^ (r, — A) wie vorhin, so findet man III. ) cosZ4cos>/— 2 cos^(>/ 49 ) cos^(q —A) IV. ) cosA —cos»/— 2 sm ^(»/ 4 lio^ (>,—A) 2Z7 §. r.) Die Sehne Kleines Kreisbogens Ä^Z- ist der doppelte Sinus, 2-AD, der Hälse Rarfi. Mach. Th. I. M m des 546 Der Geometrie erster Theil. des Bogens also ist zugleich die Sehne ei. nes Bogens gefunden, wenn der Sinus seiner Hälfte gefunden ist. Bezeichnet der Ausdruck Morel. die ä'' dem Bogen zugehörige Sehne; so ist clicuxi. ^ — 2 lin , und diese Sehne gehört als- denn mit dem Halbmesser — l zusanuuen. Dc!»' Man weis, daß die Sehnen ähnlicher Bogen, 5»'^ oder solcher, die zu gleichen Winkeln am Mittelpunkt B gehören, sich wie die damit zusammen gehörigen . Halbmesser verhalten; (199 H.) wenn also dre Sehne c eines in Graden gegebenen BogenS für den Halb- mefser — i bekannt ist, so sindet man die Sehne L ^ eines zum Halbmesser r- gehörigen Bogens von eben 4.) sovielen Graden — 7. c : denn es ist 1 : r : 0 . d « Die Berechnung der Sehnen des Kreises hangt also chM von der Berechnung VeV Sinus, und Mgekehrt die sci Berechnung der Sinus von der Berechnung der Seh- nen ab: denn es ist Im^ Morel-)/, oder im« M-, cborä. 2«, wenn LV — « gesetzt wird. ^1. 2.) Die Sehne Ver Ergänzung eines Bo- A- gcns zu 180° ist der doppelte Cosinus jemer Hälfte: denn es ist Morel. (180° — — 2iln ^ (182°— <),) — 2lin (90" —4-/), oder Morel. >,182° — <),) — 2col ^-)/; also auch Morel. (182° —2«) — 2 cos«, wenn man M/ — « setzt. Diesemnach ist cos« — ^Morel. (M2^ — 2«), oder der Cosinus ^ eines Bogens ist die halbe Sehne der Ergän- „ ' zung des doppelten Bogens zu 180°. ' z.) Wenn L >1 auf den Durchmesser H6 senk- ^ ^ recht fällt; so ist hiVl—iln v. ^/, und LH — Morä-)/: ferner ist der Bogen LI O — 1-82° also LO ^ ^ ^ cliorel (182°_ »i li»A i>!Ly,c «Sma» us-"L Me-j elaüi« ) imsVo- mstr cdois>^° >--W U'W 4 '^ Der XII. Abschnitt. 547 also 2,: clroick -/ — cliorä -/: lrn V. -/, und das giebt cborcl-/ — ^2 linv.-/ oder clrorä-/ — ^2(1—ml-/). AuS demselben Grunde ist 68:66 — 86 : 61 ^, also clrorä (i 80° —-/) ^ /'2smv, (182°- -/); oder clrorä (182°—-/) — ^2 (i 4 col-/). Setzt man in diesen Formuln clrorcl-/— 2811 4 >/ und clrorä (182° —-/) — 28» 4 ( 182 —-/) — ii—cos-/) 2cos4-/, so hat man ün 4-/ — /"-, und i 4 cos-/ , . 2 cos 4 -/ —/--—wie liN2Z5§. 4.) Weil lm«2 4-cos«^ — I (2Z2 §.) so hat man auch 4(c!rorck 2«)^ 4 4(clrorä (182^-. 2«))^ — i, oder wenn man 2« — -/ seht, ( clrorck -/) ^ 4 cirorcl (i8o°- -/)^— 4. In diesen allgemeine» Ausdrücken ist der Halbmesser — i , also der Durchmesser — 2 , und 4 ist das Quadrat des Durchmessers. In der 177 Fig. ist 88 — clrorä -/, 86 -LI clrorä (182^ — -/^ wenn der Bogen 18 ^ 8 — -/gesetzt wird; also erhellet der Satz auch aus dem Pythagorischen Lehrsatz, weil der Winkel 886 im Halbkreise ein rechter Winkel ist. 2Z8 §. Aus der Sehne eines Bogens die Sehne des doppelten Bogens zu finden. Allst. Es ist sin«-2I1N4« cos^a-, (2z4 H.) UNd lin « — 4 clrorcl 2«, lin 4 « — 4 clrorcl cs, col 4 cs r- 4 c!rorc> (i go" —«): (2Z7 H.) also clrorcl 2« — cborci « - clrorcl ( l 82° — «). Ferner ist clrorä si8o° — «) —/sg.—c!ior6«2), erhält man ^ clrorä 2« — cborä« . / (4 — clrorä «4). - Mm 2 2Z9§ Z48 Der Geometrie erster Theil. und 2c«s« — cliorö( 1 80° — 2 «), (2^7 §.) alp cstorcl « — ^( 2 — cliorä s 180° — 2 « )), oder sst-l cliurel 4 — >^(2 — cborä >.180° — '/))/ wenn « — 4 -/ist. Man suche also zuerst M'l clrorä (i8o°— >/) ^ / (-4 — (cliorcl -/) ^ ), so hat man hiernächst ^ cborä ^ — ^(2 — cliorä (18 0 ° — "/)). K >s> 240 §. Aus dem gegebenen Halbmesser die Seite des regulären Zehnecks im Zxrcisc zu finden. 'M 2 lufi. Es sey HL die gesuchte Sette des Zehn» '«n< ecks, diese sey bis O verlängert, LI) — LL ue- macht, und LO gezogen: so ist -XLL — 28LV. Äc>d (62 §.) Ferner ist -XL6 — ^ K, -XLL — K ^>1.! — 4^(157 §.) —folglich-X6L — 2-XLL, und -XL8 ^ KLO -XOL. Demnach sind die Dreyecke -XLL, -XLK einander ähnlich, ( 182 §.) ^ic und es ist -XV : -XL —-XL : ?eL. Wenn nun küch- -XL — LL — LO — I, und -XL — ar gesehc wird, kn ist so hak man i 4- x: r — i : also 4- x — i ^ folglich auch n*-st " 4 -^ — unda-4-4 —/z, (190 §. Rech.) mithin ar — oder ac — ^ "'H seiner Hälfte zu finden ^2)5 H-) Z-l Aufl. Es ist stnz « —^ ^(2 — 2 cos«), also 2stn Aus der Sehne eines Bogens die Sehne 1 " .X — /( 2 — 2 cos«). Ferner ist 2 stu4 « — cborci « - Für jeden andern Halbmesser L-X — 7 ist also ^ die Seite des regulären Zehnecks — ^ (/4 — ^) ^ Der XII. Abschnitt. 549 (2Z7 §.) — — 4^, und daraus, fließt folgende Regel. Man setze Gss auf dem Durchmesser /ckc ß nkrecht, und nehme LO — so wird O? — v' Ferner nehme man 611 ^ 01 -', so i,rL»^6tt - 6L ^ die gejuchte Seite des Zehnecks. Wnm »' der Halbmesser, und / die Seite des , Zehnecks ije; so giebt die Pcoporcion r- st- /: r-: / ! auch folgende / : 64 H.) oder also LX : L» - Ltt : ttbi, weil LX —Ski —/ist. Demnach ist das Rechteck zwistchcn dcrn Halbmesser und dein Ueberschuß desselben über drc Seite des Zehnccks dem Ettra- drar der Seite des Zebnecks gleict): die Linie LX ist in bl, und eben so -äl) ltt L so gcthcilk, daß Vas Quadrat deö grösser» TheilS dem Rechteck zwischen der ganzen Linie und dem kleinern Theil gleich ist. Dies drückten die alten Geometer so aus: die Linie sei) ineüia et extrema ratione gckheilt. ?ln- dre Eonstrucklone» dieser Ai'fgabe stndet man berm Euclrdes bib. II. Icko^. XI. M. s. auch I lausen bleni. Xlacb. 6eoin. ?co^. blll. 241 §. ^ Die Seite des regulären Fünfecks im Rreise zu finden, wenn der Halbmesser gegeben ist. Anfi. Für den Halbmesser — i ist die Seite " des Zehnccks ———(240 §.) und wenn«— 2. gesetzt wird, so ist diese Seite des Zehnecks —cburci«, K die Seite des Fünfecks aber cbnrst 2 «. Es war ^ aber ciiorä r« — cliorci « . ^(4 — cln-'lch «^); Mm z (2Z8§.) Zzo Der Geometrie erster Lheil. (2Z8 §.) wenn also nun die Seite des Fünfecks ^-1., die Seite des Zchnecks — / gesetzt wird, so ist b. Für jeden andern Halbmesser -- ist die Seite des Wir Fünfecks — -- ^(l 4-/^) — /(?'^4-r^/^) und ^ . / Mzd^ ist die Seite des Zehnecks für eben den Halbmesser. A, Diesemnach ist das Quadrat der Seite des Fünf- cch ecks der Summe der Quadrate der Seite des «st! Zehnecks und des Halbmessers gleich; und «sti wenn man nach den Regeln des 2 40 §. die Seite des Zchnecks — Lbl ( 181 Fig.) gefunden hat, so ist «i) ckib'die Seite des Fünfecks. Den geometrischen Be- e»st> weis hat Euclides bib. XIII. krox. X. und Haust«; «st Illoin. Xlarli. Oeum. kro^i. I^VH. xgss s >> — , V — /. ^(4 — —-— -) Weiter . hat man 4 > 4 (/5-l)^- 5 - 2 /5-s-i (igo^.R.)—6-2/ . (/5 —r)^ i6-(6-2/5) 104-2/5 und 4 — --— —-—-- 4 4 4 (29 §. R.) -- mithin I.- //< 2 5 ck- V 5 Statt / setze man noch ——- — / 2 ' ss 4 z - so findet man b (54-/5)(Z-^f 5 ) (n4§.R.) 44-5-2/^ ;4-r vdert.— 4 - (190 §. Rech.) also auch I. — ^(r 4 -/^). ^44 §ll' Der XIII. Abschnitt. 55^ Der XIII. Abschnitt. Nähere Anleitung zur Berechnung und dem Gebrauch der trigonometrischen Tafeln. 242 §. man in den Formuln des 2 5 5 §. lin -cos-) und cos^-/ — 2 i -si cos-/ den Winkel oder Bogen -/ — 90°, so hat man lin 45° sin ^ R. — v^ 2 / und cos 4 z o — cos^ l< — Auf diese Art kann man fortfahren, und solchergestalt die Sinus und Cosinus aller Bogen finden, die durch fortgesetzte Halbirung des Quadranten entstehen: diese Sinus und Cosinus gehören alsdenn zugleich zu denjenigen Winkeln, die man durch fortgesetzte Halbirung des rechten Winkels findet. Nach angestellter Rechnung findet man folgende Zahlen. cos-^R. cos^Hk cos-/-^- K eosi^k colH^-Is cos^K cos^^K oos^ o 2 4 0,707 I 0678 n 86547; — 0,925879552511286.7 — 0,9807852804052504 — 0,9951847266721968 — 0,99879545620527259 — 0,99969881869620422 — 0,999924701859^4454 — 0,99998117528260114 — 0,99999529580957617 — 0,99999882545170109 Mm 4 col 552 Der Geometrie erster Theil. cof^'^k. — 0,999999705862882219 col-^'^K — 0,999999926465717851 cot^-^k. — 0,99999998161642929^8» Für die drey letzten Winkel ergeben sich zugleich fol- gende drey Sinus lin^^k — 0,000766990^22 — o,oOoz8z495l875 — 0,200191747597 z Der letzte Winkel ist schon kleiner, als ein Winkel von einer Minute, weil 60 mahl 90 oder 5400 Minuten einen rechten Winkel aukmachen: dagegen aber übertrist der nächst letzte Winkel noch eine Minute. . 24z §. Den Ucberstbuß der Tangente über den Sinus eines Kreisbogens zu finden. Aufi. EöisttanZ« — —^ (2Z2 §.) und x col« sjn 2« lin 2«^ 2611« cos« (2Z4 §.) also cos«——- , 2 slI 1«2 ' 2 llI 1 « mithin taiiZ « —--. Demnach erhalt man tans« — lin« — sin 2« 2 lin «^ lin 2 « sin « tanA « — lin « — lin 2« (2 lin « — lin 2«) lin « oder (cliorei 2« — lin 2«) lin « lin 2« lin 2« Weil allemahl lin 2« > lin « ist, so lange « < 45 ° bleibt, so ist bey kleinen Winkeln -—— lin 2« ein eigentlicher Bruch, also tanZ «—lin « < cborä 2« ^ — sin bsW Wb Lori!'. Wim livüdu schikkn >dij! Tttl, chune tz,» i irz) 88 :z>, ^8;! s»«Tich> Ächl« ' Äkk i« 5) und liii:« '.w« chl« ,'br Der Xlll. Abschnitt. 553 — sm2«. Ferner ist «< t-m^«, also«—stn«< wno« — sin«, mithin auch « — sin« < cliorcir« -sin 2«, oder: der Unrerscketd eines Rreiö- bogcns von seinem Sinus beträgt nickt soviel, als der Unterjckcid zwisckcn der Sebne und dem Sinus des doppelt so grossen Bogens. 244 §. Man sehe « — wenn (seinen Quadranten für den Halbmesser r bezeichnet; so ist 5m« —0,200191747597; csiorär« — 2,2225854951946 sin2« — 2,2225854951875 (242 §.) cliorst 2« —sin 2« — 0,0000002000071 Ueberdcm sty/Z — ?°'s s so ist lin/Z — 2 , 222 ; 8 Z 495 >946 cIior62/Z — 2,2207669925892 Im 2/Z — 2,222760992522 cIior^2/Z — lm2/Z — 2,022222222067 Demnach ist jeder.von den beyden Bogen und^ö?s^B, «och nicht um ein zehntausend Mil- lioucheilchen des Halbmessers von seinem Sinus ver- schieden: also kann auch jeder von den dazwischen fallenden Bogen von seinem Sinus nicht um ein solches Theilchen des Halbmessers verschieden seyn. Folglich ist 0,0221917476 0,2225854952 Weil nun die Bogen sich wie die Winkel am Mit« telpunck verhalten; so läßt sich hieraus der Bogen von 1 oder (^bis auf die Zehnte Dccimalstelle finden, wenn man anseßt. «2-2 -: »— 0,2201917476: viert. Zahl Mm 5 und 554 Der Geometrie erster Theil. und man erhalt 4 rc. 0,000290888'. Weil ferner die Zahl, welche den Sinus dieses Bogens ausdrückt, mit derjenigen, die den Bo- gen angiebt, bis auf die zehnte Decimalstclle überein kommen muß; (242 §.) so ist auch stn >' — 0,000290888'. Aus dem stm" findet man costi" vermittelst der Formul cos« —/'(i — stn«*), alsdenn ferner stn2" und colV vermittelst der Formuln des 2^4 H, und wiederum stn z" — stn (2-f-l)", cosz" — col(2-f-i/ vermittelst der Formuln des 2gz So kann man fortfahren und die folgenden Sinus und Cosinus von Minute zu Minute berechnen, da dann alle Sinus und Cosinus gefunden sind, wenn man bis zu 45° gekommen ist. Es würde iirdessen nur erfordert werden, daß man dies Verfahren bis zu zo° fortfehc: denn die übrigen Sinus und Cosinus bis zu 45° können alö- denn durch eine leichte Addition und Subtraktion gefunden werden. Es ist nemlich stn« cos/3 -f- cos« stn/Z — stn(«st-/Z) UNd stn «cos/Z — cos« stn Z — stn(« —/Z); also 2 stn« cos/Z stn(«-j-/Z) -f- stn(«—/Z) Ueberdem ist üiikll j> krOk> LIM' H!lÄ «I Äd l cos« cosA -s- stn« stn/Z — cos(«—A) und cos«cos /3 — stn« stn/Z — cos(«-f-/Z); lchi!, also 2lin« stn/Z — cos(« —-Z) — cos(«-f-Z) ft»«! (29 §. Rech.) W Man sehe « —Zo°, so ist stn« — ;, und man erhalt ^ cos/Z - stn(go°.si/Z) ck- stn(zo°-/Z) stn/Z - cos(zo°^/Z) - cos(zo°st-/?^. tztz, also 555 Der XIII. Abschnitt. also — cos/Z — A) unv co1(^o°-!-/Z) — co1'(zo° —/Z) — stn/Z. Man setze demnach /Z— i", /Z — r", u. s. f. bis 150, st, können nach diesen Formuln die SmnS lind Cosinus bis zn 45° gefunden werden, wenn man sie für Winke!, die kleiner als zo° sind, schon gefunden hat. Aus dem bekannten Sinus und Cosinus eines jeden Winkels könne» die übrigen dazu gehörigen trigonometrischen Linien nach 'Anleitung Lg2 H. gefunden werden: also läßt es sich nun vollständig übersehen, wie es möglich gewesen sey, diese Linien für alle Winkel von Minute zu Minute zu berechnen, und in Tafeln zu bringen, die den so genannten Canon der Sinus, Tangenten Ses canrcn und Guersinus ausmachen. Der gröste Theil der schon eilügemahl (198.21 2. 229 H.Rech.) angeführten Mathematischen Tafeln bestehet aus den Tafeln für diese trigonometrischen Linien, und den Logarithmen Tafeln für die Zahlen, so wie sie in natürlicher Ordnung folgen: weswegen sie auch unter dem Titel der trigonometrischen Tafeln am bekanntesten sind. Auch die Logarithmen sind anfangs vornemlich zum Gebrauch bey trigonometrischen Rechnungen erfunden worden: eben um deß- willen hat man für die Zahlen, lyeiche die trigono- mekrifchen Linien auSdrücken, die Logarithmen be- rechnet, und mit in die trigonometrischen Tafeln gebracht, von deren Einrichtung man noch folgendes wissen muß. 245 §. Die Zahlen, welche in den Tafeln für die tri- gonometrischen Linien angegeben sind, kommen zwar sonst mit denjenigen überein, welche den bisher vor- getra- 5)6 Der Geometrie erster Theil. getragenen Gründen gemäß gefunden werden: nur ist der Halbmesser in den Tafeln nicht — i gesetzt. Bey Berechnung der Logarithmen hat man den Halbmesser, oder den Sinns coms — I O OOO OOO OOO 3 ^ angenommen, solchergestalt wird der Logarikhme des Halbmessers oder des ganzen Sinus — i o. Sind g!», ^ alsdenn die trigonometrischen Linien für den Halb- messer — i bis auf die zehnte Decimalstelle berech- M' net, so hat man sie zugleich für den Halbmesser der Tafeln in ganzen Zahlen richtig, wenn man mit l o oooooo ooo multiplicirt. Es bleiben übrigens WM dieselben Ziffern, wie für den Halbmesser — I, nur wird das Zeichen der Einer um zehn Classen weiter gegen die Rechte gerückt. Weil nun im vorhergehenden festgesetzt ist, daß die abgekürzten Ausdrücke stn«, cos«, tsuA«, cot«, u. f. f. ailcmahl für den c Halbmesser— r verstanden werden müssen; (2^2 h.) so kann man in den allgemeinen Formuln des 2g2sten und der folgenden die aus den krigonometrijchen Tafeln genommenen Zahlen nur alsdenn brauchen, wenn man sie vorher mit 10000 000000 dividirt ci oder welches einerley ist, die Stelle der Einer um zehn Classen von der rechten gegen die Linke gerückt hat. So müste man sich verhalten, wenn in allen Tafeln die Zahlen, welche die trigonometrischen Li-' ^ men für den Halbmesser — 10000000000 auS- drucken, vollständig mitgetheilt wären: allein man hat in den kleinern Tafeln die drey letzten Ziffern v weggelassen, mithin für den Halbmesser — i diese Zahlen nur bis auf die siebende Decimalstelle mit- ^ getheilt. Sie sind also als solche anzusehen, die zum Halbmesser — 10000000 gehören, und um sie auf den Halbmesser — i zu bringen, muß man ^ die Der XIII. Abschnitt- '/o, A.> ""M w»« sk:i,v llA'üIW K!S!!> «2lli::ü B/sl» «tchkü KwtkN, uMt itz«a liüb Ä -xiüB -,S iu!^ ,«? !i>", die Stelle der Einer um sieben Classen von der Rechten gegen die Linke rücken. 246 §. Im folgenden soll rum allemahl der abgekürzte Ausdruck stn.toc. den Halbmesser der Tafeln anzei- gen, statt dessen auch noch Kürzer in den hicher gehörigen allgemeinen Formuln der Buchstab K. gebraucht werden kann. Ferner sollen abgekürzte Ausdrücke dieser Art: stn.tab.«, costsb.«, tanA tab.«, cot.tab.«, u. s. f. die trigonometrischen Linien für den Halbmesser der Tafeln bezeichnen. Dies vorausgesetzt hat man stn. tab.« cos. tab. « ün« — cos« — tanz«: cot« — stn. tot. costtab. « stn. rot. tanz. rab.« stn. tot. cot. tob.« cos tab.« t-wA. tab.« . - ^ , cot. tab. « stn. tot. . 1^. und eben so für die übrigen vier trigonometrischen Linien sec. tsb.« scc. tob. « lec « — cosec « — stn.v. « — costn. v.« stn. tot. cosec. tab. « stn. tot. stn.v. tab.« stn. tot. costn. v. tab.« sin. tot. cosec. tab. « , -- , stn. v. tab. « ^ , costn.v. tob.« Will ZZ8 Der Geometrie erster Theil. Will man nun in den Formuln des 2Z2sien und der folgenden §§. für die trigonometrifchen Linien dis Zahlen aus den Tafeln brauchen, so inuß man zuförderst die Formuln darnach gehörig verändern, und die folgenden Beyfpiele werden dies weiter erläutern. Es ist tanZ « — su, cs . für den Halbmesser — i cotcs k. l>n. cs . .. lin. « also tanA. tob. cs —-- —; ubcrdem ist cOLLL sin. wb.« , (2 ZI tz.) aljo wn^.wb.cs cos. lab.cs cos « Id lin. tab.cs cos wb.cs Ferner ist scc cs — —5-, also sec. wb. cs " col cs k. , coswb.« ^ x ——, und weil cot« — ---, so wird lec. cotcs tsb. c« — col.wb. cs chllm W i«M§ Ml« Aus dem 2 z 7 "H. hat man cborci « - : 2 stn ^ cs, also lin V. cs — 2 (lin ^ cs)' sin v. kob. cs — (lin. wb. ^ cs)' : 2k. (tlN 4«)^^ , also lin V. tklb. PS. /"c lin V. cs . Das giebt und (lin ^cs) " 2 zlin. wb. ^cs)^ - . 247 §. Die Logarithmen der Sinus für den Halbmesser der Tafeln können aus den Logarithmen für die natürlichen Zahlen, wenn diese schon berechnet sind, so gefunden werden, wie der 2Z7 §. der Rechenkunst dazu 'Anleitung giebt. Wollte man den Logarithmen des Sinus eines Winkels von i Minute suchen, so hak Üichd! «licht Ti Der XIH. Abschnitt. Z59 hat man 5 m. rab. i — 2908881 (244 §.), und man findet K909 — 46Z74Z7 /2908 — 46 Z 5 944 Differenz 149 z Ferner i0,881 ^ 1 49 Z : viert. Zahl 0,881 1 1944 1194 15 1515 /29O8 — 46Z5944 also /ftn. tat). 1^—6,46^7259 Um aus dem Logarithmen des Sinus eines Winkels den Logarithmen der Tangente, der Secante und des Quersmus für eben den Winkel zu finden, dienen die am Ende des vor. H. angezeigten allgemeinen Formuln, wenn man die aus der Rechenkunst bekannten Eigenschaften der Logarithmen damit verbindet. Es ist ncmlich lvA.ranA. tab.« —/U-s/lln.tab.« — /colftab.« log. Leo. tab.« — 2/K—/cos. tab.« 1c>A. tin v. tab.« — /2 -s 2 /ftn. tab. 4 «— /R-, und /K — 1 o, weil — 10 000 000 000 gesetzt ist. Nach den kleinern Tafel» wäre zwar der Halbmesser — 10000000 also /K —7: allein man hat/k —io beybehalten, obgleich von den Logarithmen ebenfalls nur die ersten sieben Decimalsiellcn mitgetheilt sind. 248 H. Wer solche Tafeln zur Hand und sich ibre Ein« richtung bekannt gemacht har, der findet darin leicht sowol 560 Dev Geometrie erster Theil. sowol jede trigonometrische Linie als auch ihren Loga- rithmen, wenn der dazu gehörige Winkel in Gra- den und Minuten gegeben ist. Auch umgekehrt, wenn der Sinus die Tangente oder der Logarichme Mi/' deö Sinus, der Tangente, eines Winkels gegeben M"" ist, und man will den Winkel haben, weicher der trigonometrischen Linie zugehört; so sucht man die gegebene trigonometrische Linie unter den Zahlen auf, welche die trigonometrischen Linien desselben Nah- mens in den Tafeln angeben, oder stakt dessen den gegebenen. Logarithmen unter den Logarithmen der Linien desselben Nahmens: da dann die gegebene Zahl oder der Logarithme sich gewiß darin finden muß, wofern der dazu gehörige Winkel nur Grade Mn und Minuten, keine Secunden und kleinere Theile fasset. HÄ Hat man die trigonometrischen Linien oder ihre Logarithmen für solche Winkel nöchig, die ausser ^ Graden und Minuten auch noch in Secunden ange- i»> geben sind; so hilft man sich bcym Gebrauch der kleinen Tafeln, so lange nicht die gröste Schärfe nöthig ist, mit einer ähnlichen Voraussetzung, wie .die im 2^6 H. Rech, angenommene war. Man nimmt an, daß die Differenzen nicht allein der trigonometrischen Linien sondern auch ihrer Logarithmen, den Differenzen der dazu gehörigen Winkel proportional sind, obgleich diese Voraussetzung bei, kleinen Winkeln ziemlich ft unrichtig ist. Was die Sinus betrist, so vermin- ^ dert sich der Fehler desto mehr, je grösser die Winkel werden, bei, den Tangenten aber nimmt er wieder zu, wenn die Winkel dem rechten Winkel nahe kommen. Wie man sich verhalten müsse, wenn schärfere kkch.. H-k, l'jöm lirLii Eiiir -Pi enD üvjsir n S» Der XHI. Abschnitt. 561 schärfere Rechnungen nöthig sind, dazu wird die all- gtmeine analytische Trigonometrie Einleitung geben. Wenn umgt kehrt eine gegebene trigonometrische Linie, oder ihr Lvgarithme, in den Tafeln nicht an- zukreffen ist, so wird man doch unter den Johlen, welche die Linien desselben Nahmens, oder auch die dazu gehörigen Logarithmen angcben, ein Paar solche finden, die zu Winkeln gehören, welche nur um eine Minute unterschieden sind, und wovon die eine grösser, die andre kleiner, als die gegebene Zahl oder der gegebene Logen ilhme ist. der nächst kleinern Zahl, oder auch bey dem nächst kleinern Logarithmen, findet man alc-denn die Grade und Minuten des dazu gehörigen Winkels, und um die Sccunden wenigstens bei,nahe zu finden, rechnet man ebenfalls nach der vorhin angeführten Voraussetzung. Die folgenden Beyspjele werden das in beyden Fällen nölhige Verfahren zulänglich erläutern. Der gegebene Winkel fasse 28' 54"; so ist . /lin zz° 29 -- 9,9050852 /Im 5z° 28' — 9,9049yl6 Differenz 956 und man findet 60": 54"^ 956 1842 zum /sin zz° 2g' — 9,9049916 addirt man die vierte Zahl — 9,9052758 > llSp ! so ist /lm 5Z° Ferner ist /tanz 5^,° 29" — 10,1^05269 /trmx 55° 28' — 10,1^02628 also 60": 54"— 2641: 2Z77 Differ. 2641 Larst.Machem.I.TH. Nn 562 Der Geometrie erster THE. zur vierten Zahl wird addirt /wnA zz° 28^ — 10,1902623 soist/tan§ ZZ° 28' 54^ — 10,1905005 Weiter findet man /cos 59° 28" — 9,7747288 /co 5 59° 29' — 9 / 774558 Z Differenz 1705; aber 6o" : 54" — 1705 : 1594, rmd vom /cos 59° 28" — 9,7747288 subtrahirt 15z 4 giebt /cos 59° 28' 54" — 9,7745754 Sucht man den Logarithmen der Cotangente eben ' des Winkels; seist /cot zzo 28" 9,8697972 /cot zzo 29" — 9,8694751 Kr Differenz 2641 und überdem 6c>": 54" ^ 2641 : 2Z76. ^ Wird nun von /cot zz" 28" — 9,8697 Z72 subtrahirt 2g 76 so erhalt man /cot 59° 28" 54" — 9,8694996 Man hat vollständige Ausgaben der Trigonome- V trischen Tafeln, worin die Differenzen der nach einander folgenden Logarithmen mit aufgeführt find, damit mau der Mühe überhobeu seyu könne, selbige in jedem besonder» Fall zu suchen. Eben diese Dis- serenzen hat man in dem umgekehrten Fall nöchig, wenn der Logarithine einer trigonometrischen Linie gegeben ist, rmd inan dm damit zusammen gehörigen Winkel sucht. ^ P« ch ii Die X!Il. Abschnitt. 56z Es sch /lin « — 9,94269 z 8, man sucht« ; so ist /s!n 61° iz'' — 9,94272;; /sin 6i° 12^ 9,9426561 Differenz 694 Ferner ist //in « — 9,9426958 /6n 6i° 12" — 9,9426561 Differenz 577 und die Regel Detri giebt 694 : Z77 — 60": Z2", also ist « — 61° 12" 52". Ferner sey /wnZ « — 10,1948576, so ist /wnz 57° 27' — 10,1949767 /tNNA 57° 26' ^ 10,1946981 Differenz 2786; Ferner ist ' /tanZ « — 10,1948576 /tanA 57^ 26" — 10,1946981 Differenz 159z und nach der Regel Detri 2786 : 1585 — 60" : 52" also « — 57° 26^ zo". Ware /.cos« — 9,8807852, so hatte man /cos 40° 52" — 9,8808296 /cos 40° zz" — 9,8807215 Differenz 1081; ferner /cos « 9,8807852 /cos 40° zz" — 9,8807215 Differenz 617/ und 1081 : 617 — 60': 54", also « — 42O Zz" — 54"' 40° Z2^ 26". Nn 2 Noch 564 Der Geometrie erster Theil. Noch sei) /cot« — 9 ,?? 66 z 84 , so ist /cot 59° 7" — 9,7767685 /cor 59° 8" — 9,7764816 Differenz 2869; ferner /cor« — 9,7766^84 /cot 59° 8" — 9,7764816 Differenz 1568, und 2869 : 1568 — 6o" : Z2"; also « — 59° 8^ — Z2^ — 59° 7' 28'^. 249 §. iMit Hülfe der trigonomelrischen Tafeln / die Sehne eines Bogens zu finden, wenn der Halbmesser mir der Zahl der Grade des Bogens gegeben ist. Auch umgekehrt: Aus der gegebenen Sehne und dem Halbmesser eines Bogens die Zahl seiner Grade zu finden. Aufi. Wenn L die Sehne, und »- den Halbmesser und « die Zahl der Grade des Bogens bezeichnet; so istL — 2 -- im 4 «. ( 2 g 7 §.) Ferner sey der Halbmesser der Tafeln — K, so ist L — 2 ^ im. wb. 4 « --; also umgekehrt im. wb. 4 « — 4 . - . e, und man kann 4 «, also auch « vermit- kelst der Tafeln finden. Z;n den kleinen Tafeln istk — l ooooooo, und man kann bey Auflösuiig beyder Ausgaben auch die Logarithmen brauchen. Nimmt man r48., so wird L ^ lin. wo. 4«. Ml-! Iie Mn Wlkils. -iZ 'MS M fr Är 1 c «li« j>M! Der XIII. Abschnitt- 565 250 §. Vermittelst dieser 'Aufgaben kann für jedes reguläre Polygon nn kreise die Polygonseire gefunden werden, wenn der Haidmesser und die Zahl der Gerrcn des Polygons gegeben ljt; denn die Polvgonseite ist die Sehne des zum Ccntri- winkel gehörigen Bogens. Wäre der Halbmesser -- des im Polygon beschriebenen Kreises gegeben, so wäre die Seite des äussern Polygons die doppelte Tangente des halben Centri- winkels. Zst also die Seite des äussern Polygons — d, der Ccnrriwinkel — so hat man d ^ or tan^. mb. 4« 14 Wäre dagegen die Seite (7 des innern Polygons schon gegeben, so würde man die Seite des äussern dem vorigen ähnlichen Polygons vermittelst der Proportion finden tln 4 « : wnz 4 « — O: d. Es ist aber auch lang 4« — ——, also verwandelt sich ^ - L : I.. cot 4 jene Proportion in folgende i : —^ col ^.. oder i : lec 4« — L : d, und man erhalt d — —^— — c siec 4«. Wenn also 17 den Umfang des col 4« äussern und 77 den Umfang des innern ähnlichen Po<> lygons bezeichnet, so ist auch dl — —7 -- — 77 sec 1«; also H cot 4 « lv. 77 77 . lec. tob. 4 « ccii. nib. 4 c« !4 Eben die allgemeinen Ausdrücke dienen, aus der Sehne und der Zahl der Grade eines BogenS seinen Nn g Halb- k 566 Der Geometrie erster Theil. Halbmesser zu finden: denn es ist ^ . O, und auf eben die Art wird zur Seite des inner» Polygons, wenn« der Centriwinkcl ist, der Halbmesser des um dasselbe betriebenen Kreises gefunden. Ware die Seite b. des äussern PolngonS gegeben, wozu der Ccntriwinkel « gehört; so fände inan den .Halbmesser des darin betriebenen Kreises . 1.. ksnA. tab. ^oc Für das gleichseitige Dreyeck und den Halbmesser r'— 1 istL —2 lin 6 o° und 1 m 6 o° — coszoO — ^(r-( 6 n zo°)-——also L —/'z, und 77 - z/z. Ferner.ist I. - — 2 0 , — 2>ssz, und ll — 6 /z. Für das Sechseck istL — i, 77 — ^ -,-; 47 °° 47 . und H — 6,92820262. Für das Siebe>,eck ist « — 2;^ 4z", 4 « 2;° 42" 51^", und man findet im 25° 4z' ^ 4ZZ92I2 Im 25^ 42' — 4zz6z9l c lin ZO° 6; ferner ferner 60" : ; i Differenz — 2621 ! 621; 49 , 6 , und zum im 52° 42" ^ 4zz6z9i addirt die vierte Zahl 2249,6 gicbt stu 25° 42' zrl-" — 4zz884o,ö' X 2 slso L — 0,8677681 Eben Der XIII. Abschnitt. 567 Ebenso findet man tnnZ 2;° 43" — 4816258 lsnZ 25° 42" — 48 1267; Differenz 3583 und 6o": 51^" — z;8z : 3075,4. Wird hiernächss zur kanZ 25° 42^ — 481267; addirt 3075,4 so ist t!w§2;° 42'51^"— 4815750,4 x 2 also I. 0,9631501. Der XIV. Abschnitt. Von der Kreismessung. 251 §. §)Oenn die sänge der Peripherie /- des Kreises für den Halbmesser — 1 bekannt wäre, so wäre sie für jeden andern Halbmesser r bekannt, dem die Peripherie l zugehört: denn es iss 1 : ^ : ?. (19; §.) Demnach bedarf cs dessen nur, daß man k ein für allemahl die Zahl ^ — — suche, um hiernächst für jeden Halbmesser r- die Peripherie!' . i- ;u finden. Im Kreise, dessen Halbmesser — 1 iss, scy ein reguläres Polngon beschrieben, und die Peripherie desselben sey — 77; uni eben den Kreis sey ein dem vorigen ähnliches reguläres Polygon beschrieben, und dessen Peripherie — jl: wenn nun beyde um die Differenz ? verschieden find, und Fein gegebener Theil Nn 4 ^des 568 Der Geometrie erster Theil. des Halbmessers ist, so klein man will; so kann man den Polygonen soviele Seiten geben, daß ? < F wird. Es sey nemlich x eine sinke, welche die Peripherie des Kreises übertrift, und r- der Halbmesser; st jst —F ebenfalls eine gegebene Linie, und (---j-y) X ^ / F :— i st-eine Zahl, welche die Einheit über- trist. Diese Zahl sey — //, so können die Polygone soviele Seitenlinien erhalten, daß —, 77 oder- II - k < ^ wird. (192 §.) Alsdenn ist i -st 77H— -< . F ' . ^ stl- , st-; nuthln x < — kl -F, oder § < -^-F, und x X F < F, weil ^ < x, also ist nun ? < F. Der Unterschied der Kreislinie selbst von der Peripherie sowohl des innern als auch des aussern Polygons ist kleiner als ?; also kann man in oder um den Kreis ein reguläres Polygon von so vielen Seiten beschreiben, daß die Peripherie desselben von der Peripherie des Kreises weniger als um einen gegebenen noch so kleinen Theil des Halbmessers verschieden ist. 2Z2 §. Die Peripherie y dcsRrciscs für den Halbmesser - 1 so genau zu finden, daß der Fehler kleiner sty, als jeder gegebene Theil des Halb- messtrs. Aust. B-'- l?' ^ck Ättt sM- L« Ät!! W «late iiiikt Der XIV. Abschnitt. 569 Au fl. Es sey der gegebene Theil des Halbmessers — F, den Halbmesser selbst — i gefetzt. Wenn man nun die Schlüsse des 192 §. mit dieser Aufgabe verbindet; so erhellet, daß in der 109 Figur ('6 die Secante des Bogens -W für den Halbmesser ^9 sey: demnach sey O i — Lb — i, so hat man ^ 3 ' Was aber im 192 H. die ge- - — ^sec^. cy «ebene Zahl ^ war, dafür nehme man hier die Zahl I q-an, (251 §.) und setze 5 ec bl? — l -l-; so erhellet, daß die Peripherie eines regulären Polygons im Kreise von der Peripherie des Kreises selbst nicht um den gegebenen Theil ^ des Halbmessers verschieden sey, wenn der Bogen lck/ch wozu der halbe Ceutriwinkcl gehört, kleiner ist, als ein Bo- F gen, dessen Secante — 1 g-ist, wofern nur grösser als die Peripherie des Kreises angenommen wird. Weil nun die Peripherie des um den Kreis beschriebenen Sechsecks noch nicht völlig — 7 ist; (2zo §.) so kann man — 7 annehmen. Demnach suche man einen Bogen, wozu die Secante > ch ^ ch , oder der Cosinusgehört; man suche ferner einen solchen aliquoten Theil der Peripherie des Kreises, der kleiner ist, als ^rc. cot. ; so ist die Sehne eines doppelt so grossen Bogens die Seitenlinie eines innern Polugons, dessen Peripherie von der Kreislinie selbst nicht um den Theil ä des Kalb- Messers verschieden ist. Wenn demnach die so ge-- Nn z fun- Der Geometrie erster Theil. fundene Seitenlinie mit der Zahl der Seiten multi- plicirt, oder sovielmahl genommen wird, als der dazu gehörige Bogen in der Peripherie des Kreises enthalten ist; so hat man die Peripherie des Kreises so genau, als man sie verlangte. Sucht man hier- nächst auch die Peripherie des ähnlichen aussern Polygons; so werden die Zahlen, welche die Peripherien beyder Polygone ausdrücken, in den hohem Ziffern mit einander Übereinkommen, und in eben so- vielen Ziffern ist zugleich die Peripherie/, des Kreises gefunden. Es sepalso F—2,2002021, so ist i -j- — M! 1,22022001422,also-—-^-0,999999985725, ^ und wenn man die im 242 h. gefundenen Cosinus vergleicht, so ergiebt sich, daß der letzte daselbst an- gezeigke Cosinus noch etwas kleiner, als hier die r -1/ Zahl scy. Wenn also § den Quadranten für den Halbmesser — 1 bezeichnet, so ist § -M- noch grösser, als ^rc. cos Setzt man aber die Rechnung des 242 §. fort, so findet man col 0,999999990424127^1289, alsoist -rü sZ « 7 < öuc. cos. und man findctwciter d»l!t Der XLV. Abschnitt. 571 - 0,02009587)7990959 — 0,022 19 1747598 19'8 Diese Sehne mult. mit 8'yr Z 8 z 495 l 96 z 8 z 6 17257283837262 i 9 ' 747598 i 9 i 8 _ 1 53398078 55 344 Siebten — 1,5727963243872256 also L-77 — 3,1415926487744512- undTr 6,2831852975489224 Der zu diesem Polygon gehörige Halde Cenkri-- winkel ist und aus dem vorhin angegebenen Cosinus desselben findet man seine Secante ^ 1,22222222959589277927, also H — 6,283I8535784>6737, UNd N — 77 — ? — 2,2220222622927713, auch ^ H — 3,14159:6789228368. Diesemnach ist -^-7? > 3,14159264, und< 3,14159267, und wenn man — 3,1415926 onnimmt, so beträgt der Fehler kein Zehnmilliontheilchen des Halbmessers. 253 §. Aus dem gegebenen ganzen oder halben Durchmesser eines Rreiscs die Peripherie, oder umgekehrt aus der Peripherie den Durchmesser zu finden. Auch wenn von der Länge eines Kreisbogens, der Zahl seiner Grade, und der Lange des dazu gehörigen Halbmessers zwcy Stücke gegeben sind, das dritte zu finden. Aufl. 572 Der Geometrie erster Theil. Allst. i.) Gehört die Peripherie ? zum Halb. ^ Messer r-, und Durchmesser I), so ist^ — — , und ^ k k " — — ^ — z, 1415926 - 4/?. Man sehe von nun an allemahl die Zahl 4 p — 71- für den Halb. „HÄ Messer — 1; so hat man k — 27^ — . I) : und MB weil die Zahl 277 so genau gesunden werden kann, daß der Fehler kleiner als jeder gegebene noch so klei- Mt ne Bruch ist; so kann zugleich die Peripherie ? für jeden «Halbmesser r oder den Durchmesser ^ ht so genau gefunden werden, daß der Fehler klei- ner ist, als jeder gegebene Theil des Halmcffers. 2.) wenn ein Kreisbogen in Graden und Theilen eines Grades gegeben ist, so ist sein Verhältniß zur ganzen Peripherie gegeben, weil diese allemahl z 6 o° fasset. Um also die Lange des Bogens in demjenigen Maaß zu finden worin die Länge des Halbmessers gegeben ist, kann man zuerst in eben dem Maaß die Lange der Peripherie suchen, wenn diese nicht schon bekannt ist; so giebt hiernächst ein leichter Ansah nach der Regel Dem die Lange des Bogens. Ist diese — , die Zahl seiner Grade — », die Länge der Peripherie ?, so hat man z 6 o° : rr° — ? .also äV —-. ?. z6o° Wenn der Bogen in Graden und Minuten, oder in Graden Minuten und Secündm auSgcdrückt wäre; so verstünde sich von selbst, daß man statt der bcy- den ersten Zahlen der Proportion allemahl solche brauche!' müste, die einerlen Nahm.n haben: mithin müssen entweder die Minuten und Secunvcn durch »rjs« Nilhm Ä>«l Der XIV. Abschnitt. 57z durch Brüche von Graden ausgedrückt, oder die Grade aufMimiten und Secuuden gebracht werden, z.) Weil ? — 277»' ist, so hat man auch/^ --.277»°, und es tsi-- 277 die Länge ci- z6o" 260° „es ähnlichen Vogens, der eben sovicle Grade und Theile eines Grades fasset, für de» Halbmesser — i. Mcnn also die Lange eines jeden in Graden Minuten und Secundcn ausgedruckren Bogens für den Halbmesser — i schon bckainrc ist; so har man die Lange eines ähnlichen Bogens für den Halbmesser r, wenn man mir diesem Halbmesser multiplicirr. Daraus wird der Nuhen einer solchen Tafel begreiflich, welche die Länge aller Kreisbogen für den Halbmesser — i von bis g6c>°, und hiernachst von / bis 62', ferner auch von 1" bis 60" enthalt, so wie sie Herr Lambert in den Zusätzen zu den Trigonometrischen Tabellen, auf der 146 S. 'lab. XXI ll. mitgetheilt hat. Die Lange dieser Bogen ist daselbst bis auf die 27ste Decimalstelle richtig angegeben, und man nimmt davon soviele Ziffern, als die jcdeömahlige Schärfe erfordert, die man bey der Rechnung zu erreichen sucht. Will man die Länge eines Bogens von 56° 24 17" für den Halbmesser r bis ausZchn- milliontheilchen richtig haben, so rechnet man aus der Tafel zusammen ^rc. 56° — s, 977 z 8 gZ 8 ^rc. 22^ — 2,22; 8 »776 ^ ^ra. 4" — 0,22116^55 l^rc. — 2,22224848 /^rc. 7" — 2,0222 ^rc, 56° 24' 17" 0,984448 ro Wer 574 Der Geometrie erster Dheik. Wer die Tafeln nicht zur Hand hat, der kann schorr Mit Vortheil folgende Zahlen brauchen. ärc. i 8 o-° Z,l 4 l592 6ZZZ8979Z2Z8 46264 z Z 8 Z-N, ^rc. ---o,oi745Z2925.994Z29Z7Ü92Zv9<78, 6rc. 1' --10,000290888268065721 59615z 948, ^rc. 1" — 0 ,coooo 4848 iZ 68 n° 95 Z 599 Z 5899 . 4.) Wird umgekehrt gefragt, wie groß dev balde oder ganze Durchmesser sey, wenn die Lange der Peripherie, oder auch die Länge eines Bogens, und im letzten Fall zugleich die Zahl der Grade dieses Bogens, gegeben ist; so hat man I) i 27 Ferner ist L > 2^ - k,r-:- 25 25 L l', und !?,^ MlD k!x MS Ei! o,Zi 8 Z °9 88618z 790671 5Z7767 926. z6o w- zmgct /V, (2;i §.) also auch v 2»'-: z6o° 27 rr . und man findet den gesuchten Durchmesser oder Halbmesser r — 27 tmd, ibliibi La desto schärfer, je mehr Decimaltheile der Zahl in Rechnung gebracht werden. 25 5.) wäre die Lage eines Bogens mir dem dazu gehörigen ganzen oder Halden Durchmesser — rr- gegeben, so hatte man die Zahl ferner Grade vermittelst der Formul ^1 I ^ . I , . 6 . Der UV. Abschnitt. 575 L.) Soll der Bogen seinem Halbmesser gleich seyn, so hat man — — r, also»— — .igo"- § 77 57,-957795rz° 8 °- 57° i?44"4ss" 22 W 29 V Li^ .... Soviele Grade und Theile eines Grades fasset jeder Bogen der fernem Halbmesser gleich ist. Weil ncmlich die Halbmesser gegen ihre Peripherien einerlei) Verhältniß haben, (>95 §.) st haben die eben so grossen Dogen gegen ihre Peripherien gleichfalls einerlei) Verhältniß, und fassen eben deßwegen gleichvirle Grad/ und Theile eines Grades. (,r 6 H.) 254 §. fVenn man dcn N)rnkel, wozu ein Bogen gehört, der seinen, Halbmesser gleich ist, für die Einheit annimmr, so ist die Zahl, welche die Grösse eines jeden andern ^Vinkels ausdrückr, einerley mit derjenigen, welche die Länge eines mit dem Halbmesser — 1 zwischen den Schenkeln eben des Ü)jnkels beschriebenen Bogens angicbt. Beweis. Es fty y der Winkel, wozu der seinem Halbmesser gleiche Bogen gehört, st ist der Bogen — i, den man mit dem Halbmesser -- r zwischen seinen Schenkeln beschreibt. Mit eben dem Halbmesser — 1 sey zwischen den Schenkeln eines andern Winkels P ein Bogen beschrieben, und dieser Bogen sey — « so ist q :

! bcn, solst^.-«.»-, (25z §.n. z.)und«^--. Weil nun bei) der angenommenen Voraussetzung « ^D!» unv durcb einerlei) Zahl ausgedrückc werden, jo ist «l auch Verlangt man die Zahl der Grade ^ dieses Winkels, so muß man mit der Zahl —.180 Dik>< multiplrciren. (25z 8. n. z.) ^ Der Halbmesser r' ist — —, welches mit dem ^ vor. §. n. 4 überein kommt, denn G drückt auch ^ die Lange des mit dem Halbmesser-— i beschriebe- nen Bogens aus, der dem Bogen -V ähnlich ist. Aus der Zahl rr der Grade des Bogens hat man ^ ji — . 75 (25z §. n. z) also kommt der Aus- ^ druck P — mit dem 2 5 z H. n. 4 überein. 255 §- Ar Die Flache eines Rreists auch eines Rreis- M l üusschnicts oder -O AtU ldß. >! MN r Kims- Uni- lün« W s» stlm »sf c? »!>,/ Der XI^. Abschnitt. 577 net, so ist G — L»-. k, und ? — 27? also 0 77,'-- — ^77!)^. Weil man nun 77 m Decimal- kheilen so genau finden kann, daß der Fehler kleiner wird, als jeder gegebene noch so kleine Bruch, so findet man auch 0 im Quadratmaaß, das mit dem Längenmaaß, worin der Halbmesser auögedn'ickt ist, eincrlcy Nahmen hat, so genau, daß der Fehler kleinep-werden kann, als jeder gegebene Theil vom Quadrat des Halbmessers. Die allgemeine Formul L — 7? r»- giebt die Proportion L:»-—77 : r, demnach verhält sich die Rreisflüche zum (Quadrat des Halbmessers wie die Peripherie zum Durchmesser. Ferner ist auch L: I)* — ^ 7?: I, also die Fxreisfläche zum (Quadrat des Durchmessers,^ wie ein (Quadrant der Peripherie zun» Durchmesser, und man hat s, 77 -- 0,785^98 - 6 ZZ 97 - - . . Ist die Kreisfläche gegeben, und man soll den halben oder ganzen Durchmesser, oder auch die Peripherie finden, so hat man — L, und 1 ^ D — r-/" — L, also? — 2?r» — 2^ 77. L. 2.) Wenn der Vogen IW—I, der Halb- rzo Messer — r der Ausschnitt ILW — 8 gescßt wird, ^8' so fis>der man 8 — xI .denn dies ist der Inhalt eines dem Ausschnitt gleichen Dreyecks. (214 ^.) Ferner sey » die Zahl der Grade des Bogens I, svistI-:-. 277 »-, (25z §.) mithin 8 — n° ?6o" . 7 t z6c>° Barst. Mathcm.Tb. 7 . Oo Z.) Im §78 Der Geometrie erster Theil. z.) Im gradlittichten Dreycck^LL sey aufLL senkrecht, so iji der Smus desCni- --»-stn.ir° — —. -, mithin des DreyeckS Li°^lintab«" ^LLFläche^^»-.^ (222 Z.) - -M > im tot KM Der Inhalt des Abschnitts ^OLL fty — 7, so ist / - 8 - Dreyeck ^LL, folglich ^ Eine jede ebene Figur kann arithmetisch qua» ikih »>< drirt werden, wenn man »hnn Flächeninhalt im "t>k^ O.uadratmaaß finden kann. (227 H.) Demnach « i kann nicht allein die ganze Kreisfläche, sondern auch M-< jeder Ausschnitt und Abschnitt des Kreises, qua- Ä"i> drirt werden, und die Richtigkeit dieser Quadratur hängt von der Richtigkeit der Zahlen ab, welche das Verhältniß 77: r ausdrückcn: daher h iffen die ms»« Bemühungen, dieses Verhältntß zu bestimmen, Whi auch Quadraturen des Kreises. Sonst braucht Mkc man auch die Redensart: eine krumme Linie werde Ei recrisicirr, wenn man eine grade Linie von eben der Um Länge findet; demnach kann man vermittelst deS lbjH Verhältnisses 77: i den Kreis so genau reclificiren, niea« als die Schärfe erfordert, die man in jedem best«- dern Fall zu erreichen sucht. Die Quadratur des Ln A Kreises hangt solchergestalt von seiner Reckification ab, und man hat bcyde überflüssig genau. Aus ^ dem Inhalt des Kreises -2 (254 §.) hat man ^ triwinkels für den Halbmefler a>>o 182° M« stn.tab.ir stir. tot. 256 §. du»«- ,jlim Millich qua- »lur s«cht «ude Mdik iß d«r D, ßd»» ßB «»- Der XIV. Abschnitt. 579 die Seite des eben so grossen Quadrats — und man findet / 77 — 1,77245 g 85075 . . . Es wäre sreylich angenehm, wenn sich das Ver» hältniß der Kreislinie zu ihrem Durchmesser durch ein Paar bestimmte Zahlen völlig genau ausdrücken Hesse: wie aber, wenn man entscheidend beweisen könnte, das; dies Verhältnis; irrational sey? Ware cs denn ein Mangel der Theorie, wenn dies Ver« hältniß nur durch Näherung angegeben werden könnte? Soviel ist schon von den Marhematikver- srändigen, unter andern vom Hn. Lamberrun zmeyren Tbeil seiner Beiträge zum Gebrauch der dl^atbemarik, 142«. f. S. bewiesen, wenn auch das Verhaltniß 77: i rational wäre, daß es doch nicht anders als im grossen zum rechnen sehe unbequemen Zahlen würde angegeben werden kön» ncn. Die Zahlen ^245215420^2945 : 1219514486299146 drücken das Verhältnis; 75: 1 bis auf die 25ste De» cimalstelle richtig aus, und wenn es ein Paar ratio« nale Zahlen giebt, die es genau ausdrücken, so müs» sen ste grösser als jene angezeigten seyn. GesHt also, man hätte auch dergleichen Zahlen, so würde man sich doch wohl kein Bedenken machen, in Fällen, wo keine so grosse Schärfe nöchiq ist, mit kleinern Zahlen zu rechnen, -die es nach der jedesmahligen Absicht scharf genug, obgleich nicht so genau, wie jene ausdrückten. In ungemein vielen Fällen muß man sich bei) der vollkommensten Theorie mit ähnli» chen Näherungen begnügen. Oft läßt sich nicht einmahl der Umfang eines gradlinjchten Dreyecks, in andern Fällen die Fläche des Dreyecks nicht durch «ine rationalzahl ausdrücken. Wenn, im 580 Der Geometrie erster Theil. Dreyeckjede Seite— r ist, soisi der Umfang — die E Fläche — 460600 und lm6o° —4/z . (250 H.): ist dagegen im rechtwinkiichten Dreyr ck jede Pei pen. «^ ^ diculärstite — i, so ist die Mache — 4 , und der Umfang — 2 -j- 2. So wenig die Ausübung c>^°' verliert, wenn man sich in diesen und andern ähnli- chen Fällen mit Näherungen begnügt, so wenig ver. lierr sie auch bey der nur durch Näherung besann- ken Quadratur des Kreises. ^ Elitz! l! Berm Hn. Lambert a. a. O. 156. 157. S. findet man 27 verschiedene 1» Rationalzahlen aus- wtz>» gedrückte Verhältnisse, wovon jedes folgende dem l»I-o Verhältniß : 1 näher als das vorhergehende ist, «dir und unter denselben ist da? vorhin angezeigte das MI lehte. Arcbimedcs hat für das Verhältniß n: l MS» dis Gränzcn 22:7 und 21^:7, oder z 4 - llSiN und : 1, angegeben. (1)imen6o circuli ?. llk. ÄclL Viieor. II>.) Bey V-rgleichui g der Kreisstäche mit dem Quadrat des Durchmessers behält Archi- medes die Zahlen 22 : 7 — ^ : r, welchesG:O^ lluntz — L. Tr- : i — 44:1 — 11:14 giebt: (a. ä. O. dmci krux>. II. Vbcor. II.) es ist aber das Verhältniß- 4 : l Ml j nur bis auf Hunderttheilchen richtig, denn man ii-eg findet-H — z,1428 . . . . Genauer ist die W, Zahl 444 — z,>4> 52 . . . . aber etwas zu klein: noch genauer die Zahl 444 — z,i 415929 .... aber etwas zu groß. Die Zahlen z;z: 11z hat ilkA L 17 erius angegeben, und weil sie bis auf Million- ^ theilchen des Halbm -ssers richtig sind, so kann mau ^ sie in allen Fällen brauchen , wenn mehr Schärfe nicht erford-rlich ist. Der wegen seiner überaus ^ mühsamen Rechnungen über die Quadratur des ^ Kreises Der XIV. Abschnitt. 581 Kreises berühmte Ludolph von Cculen aus Hlidebhenn hat die Zahl sr — Z,-41592 654589 79 Z 2 Z 8 46264z Z 8 Z 879 50 gefunden: so ist diese Zahl IN eie circelie) ct astsLii^kis libroe vernaculo lat. vers a VVil. lebrorsto Lnsllio, kuAcl. Kat. 1619, s.ib. Hl-92. Letemate 2. angegeben. Dies Werk ist eigentlich eine Sammlung mehrerer kleiner Schriften eben des Verfassers mit fortlaufenden Seitenzahlen: am Ende allererst ist das Buch clecircnlo et sstlcriptiz mit von neuen anfangenden Seitenzahlen bevgefügt, und in demselben ist paz. z r die Rechnung nur b;S auf 22 Derimalstellen fortgesetzt. Nach der Zeit aber hak eben dieser Ludolpi) von Ceulen mit Hülfe seines Schülers percr Eorncltr, die Rech» uung weiter fortgeführt: auch har man von eben dem Verfasser noch ein andres hiehcr gehöriges von VVillebrorsto 8nellio übersetztes Werk: kunöamenta ^ritinnetica er 6eoinetrica cunr ettrnuclem vfii in variis ^roblematibns 6comc:tNLl8, knAcl. Kat t6iz. Um eben die Zeit hat sich Philipp Lanöberg mit den cyclometiisiven Rechnungen beschäftiget, und man findet in dessen Oporibnz Iv1i66eIbnroi Lelan- ciiae 166z. s^ao. 89 seine hiehcr gehörigen Aussätze Unter dem Titel (,'^Llomekrias IWrae lhibri stuo: die Zahl 77 ist daselbst in 27 Decimalstellen mit der vorhin angezeigten Übereinstimmung gefunden, und die Methode, nach welcher sowohl Ludolph von Eeulcn, als auch Landsderg ihre Rechnungen angestellet haben, beruhet mit der oben im rzo §. vorgetragenen auf einerlei) Gründen. Nach der Zeit sind vermittelst der höhern Rechenkunst weit vortheil» haftere Methoden erfunden worden, nach welchen O 0 z man §82 Der Geometrie erster Theik. man diese Zahl 7? mit weniger Mühe und Zeitverlust scharfer als man sie jemahls nökhig hat, finden kann, und vermittelst dieser Methoden hak man ge. funden, daß die von Ludolpl) von Cculen herausgebrachte Zahl völlig richtig sey, weswegen sie zur vollkommen sichern Prüfung aller vermeinten ältern und neuern Quadraturen des Kreises dient. Der XV. Abschnitt. auch AL - (246 §.) LL cofiALL - kin. tot. LL.co 5 .wb. ALL Im. tot. Ferner ist jede Perpendiculärftite AL die Tangente des gegcnüberstehenden Winkels ALL, oder die Cotangente des anliegenden Winkels, für einen Halbmesser, der in diesem Dreyeck der andern Per- pendiculärseite AL gleich ist: demnach hat man auch 3 " ,B>!! Trigonometrische Berechnung der Seiten und Winkel gradlinichter Dreyecke. 257 §. ^82 rcchtwinklichten Dreyeck ALL ist jede Per« pendicularftire AL der Sinus des gegenüber- stehenden Winkels ALL und der Cosinus des anliegenden Winkels ALL für den Halbmesser 8L, der in diesem Dreyeck die Hypothenuse'ist: also hat man ^ ^ LL. sin. wb. ALL AL — LL sin ALL —---, oder zci« ,U: - >W L- OlM Mi «ik »Li ^klü »Li Der XV. Abschnitt. 583 AL - AL t-mZ ALL - AL . t-inZ. tab. ALL lin. tot. ^ AL. cot. tob. ALL oder AL — AL. cor ALL — lin. tor. In eben dem Fall, wenn eine Perpendicular» feite AL für den Haidmesser genommen wird, ist die Hnpokhenuse LL die Secante de6 an dieser Per» pendiculärseite anliegenden Winkels, oder die Cose- cance des eben der Perpcndiculärseite gegen übersie- henden Winkels: also LL — AL iec ALL — AL lec. tab . ALK . /- -:-, oder auch LL — ALcolcc. lin. tot. . AL cosiec. tob . ALL ALL - -_- ^tm. tot. 258 §. Isn jedenr Dreyeck verhalten sich die ^ "5 Seiten wie die Sinus der gegcnüdersichcnden ^84 tVinkel, die zu ernerley Halbnrcsser gehören. Beweis. Wenn ^k, KL, zwo Seiten eines Dreyecks sind, so lasse man ans der Spitze k des Winkels, den sie einschliessen, auf die gegenüber stehende Seite )VL die senkrechte Linie KO jallen, wobey cs gleichviel ist, ob diese innerhalb oder ausserhalb des DreyeckS fallt. Das letztere wird erfolgen, wenn einer von den Winkeln an XL stumpf ist, wie in der 184 Figur der Winkel L/V- im Dreyeck i^öL. Nun hat man in dem rechtwinklichten Dreyeck ^KO _ äkknkäl) äk kn L 4 L die iserte KO — -^-, und im rechtwinklichten Dreneck KLO eben die Seite KO KL kn VLK KL kn äLK ^ ^ . . Wenn also k. einer. k Oo 4 len 584 Der Geometrie erster Theil. ley Halbmesser bezeichnet, so ist /rk km K^L — KL 5 m k^LK, mithin : KL ^ km ^LK : 5 n 8 ^.L. 176 §. R.) oder auch :km^LK—KL : kmkiVL. ^172 §. Rechenk.) In dem Fall, welchen das Dreyeck ^ 5 L in der 184 Fig. vorstellt, hat man eben so 4ä.6n.ö^c ^ . /-c.lin.äcs ^ .7 ^ --, und H« — -——7 also ^K.un. HAL — HL. 5n /^LH, woraus die Proportion AH : HL — kin ALH : 5ur HAL wie vorhin folgt. Esf' . ä- ks-!-'- Md die! il IFZ 'Im Dreyeck sind zweene Winkel ^ kig. und F nebst einer Serre in Zahlen gegeben: man soll die übrigen beyden Seiten durch Rechnung finden. D Aust. Wenn zweene Winkel und k bekannt ^ find, so wird zugleich die Grösse des dritten Winkels --1 dem n'8 §. gemäß leicht gefunden: demnach weiß . man die Grösse einer Seite .^k und des gegenüber stehenden Winkels L. Aber vermöge des 258 §. hat man eine Proportion zwischen der bekannten und gesuchten Seite und den Sinus der diesen beyden Seiten entgegengesetzten Winkel, und diese kann man so ordnen, daß die gesuchte Seite das vierte Glied wird, da sie daun nach der Regel des 17; §. ^ der Rechenkunst gefunden werden kann. Diesemnach ^ ^ ist die vorgelegte Aufgabe aufgelößt, wenn man in folgenden zwoen Proportionen. ^ km L : AK — km A: KL ^ kmL : AL — 5 m k : AL das Der XV. Abschnitt. 58z das vierte Glied sucht, wobey man statt der Zahlen selbst mit ihren Logarithmen rechnen kann. Es sey A —29058^24" A-j-kchL—179^ 59 ' 6 'c>" k—109O54A6" A-s-k—159° 52^40" A-i-K—159052^40" Also L— 40027^20". Ferner sey /56 78524,? Ruthen, so ist 6040°27"20": 78Z24,z R. —60290 58^24": KL, und die Rechnung giebt /?8Z24,? — 4,8958965 /6a 290 28^24" — 9,6942091 14,5881056 /illl 4O° 2/ 2v" — 9,8121497 /6L — 4,7759559 also AK — 59697,47 Ruthen. Weiter ist La 40° 27" 20": 78524,7 R. — 6a 1090 54^16" : /»L, und weil 109° 54^ 16"— 182°-(?O°5'44"), so findet man ^78524,5 — 4,8958965 /6a 72° 5^44" — 9,9752488 14,8671455 /6a 40° 2/20" — 9,8121497 /AL — 5,0549956 also AL — 115499,915 Ruthen. Weil diese Proportionen allgemein find, so kann man ste allemahl gebrauchen, auch wenn einer von den gegebenen Winkeln — 90° ist, da denn sein Sinus dem ganzen Sinus, und beym Gebrauch der Tgfeln seinLogarithme — 10 wird. Wenn A—90°, igr und die Hypothenuse nebst den übrigen Winkeln ge- kiZ. geben ist, so Art man O 0 5 La. 586 Der Geometrie erster Theil. fin.tot. : KL — stn k : ^L lin.tot. : KL — costk : ^K. Wofern eine Perpendicularfeite H.6 gegeben ist, so kann man um die andre zu finden, die Proportion gebrauchen, lin. tot.: tsuA. k — ^k : ^L, (257 §.) und falls man Tafeln zur Hand hat, welche die Sekanten mit ihren Logarithmen enthalten, so findet man die Hypothenuse vermittelst der Proportion lin. tot.: kec. K — 7^k: KL. (257 §.) Es sey ^k — 5 48z 7,2 Ruthen, und k — 65° 28' 17", so findet man ^t§.6;°28^ 17" also : 10,^406267 948 4,7^907 ?Z ^5,0797968 1 120170,2 R- /lec. 65° 2F^ also 17- /L8 /nc 1 LL : -10,2817191 784 : 4'7Z907?Z 1^5,1208728 1152090,8 R. 260 §. Aus zrvoen gegebenen Seiten -KL, und einem von beyöcn entgegen gesetzten Winkeln im Dreyeck^KL die übrigen Winkel mit der dritten Seite ^Lzu finden. Auf! Wenn ausser den Seiten 7^k und KL der Winkel ^ gegeben ist, so hat man zwischen diesen Seiten und den Sinus der entgegengesetzten Winkel eine Proportion, die man so ordnet KL : lin ^ — /VK : stnL, daß der Sinus des noch unbekannten Winkels L in das letzte Glied kommt. Der Sinus, welcher solchergestalt für den Winkel L gefunden wird, gehört für zweyerley Winkel, wofern es nicht etwa der ganze Sinus ist: (290 §.) also konnte L sowohl stumpf als spitz ftyn. Wenn indessen ^ stumpf oder ein rechter ,._K> tz >4 MB Äicl> .Hit Äll, 'ich Der XV. Abschnitt. 587 rechter Winkel ist, so weiß man, daß L nothwendig spitz seyn müsse; und wenn A ein spitzer Winkel über- dem aber LL > Alk ist, so ist ebenfalls L nothwen- big spitz/ weil sonst All > IkL seyn mäste. Also bleibt die Sache nur zweifelhaft, wenn A spitz und LL < All ist, welches mit dem 79 §. übereinstimmt. Bey Einwendung dieser Lehren in der Ausübung kennt man gemeiniglich die Grösse der gesuchten Winkel schon einigermaaßen im voraus, weswegen der Zweifel mehrentheils wegfallt. Hat man L gefunden, so ist auch ll bekannt, und man sucht AL vermittelst der Proportion Im A : LL — km 6 : AL. Es sey Alk — 64875,74 Ruthen, LL — 4z6iz,96 Ruhen,A —26° issz6", so setzt man an 45612,96 R.: 6,1 260 19' z6" — 64875,74 R.: tu, c, und die Rechnung giebt /kin 26° 19^6"— 9,6468822 ^ 48 ? 5 / 74 Z— 4,8120822 14,4589645 /4;6rZ,96 — 4,6590976 /km L — 9,7998669 ^ also entweder L — 29° 6" 22" oder L — 140" Z2 28^, und im ersten Fall wird N-H 4 ° 24 'i" im zweyten Fall L — 12 ° 46" 5 6" Hiernach richtet sich also die fernere Rechnung, wenn man AL aus der Proportion km A : LL — sin k: AL sucht. Es 538 Der Geometrie erster Theil. r8Z Es sey nun L — z6° 52' 1 r 7 V 8 — lovvo kiZ. Ruth. KL — 6020 Ruthen, man sucht L, so fin- det man As 6ooo : Kn z6° Z2' H7" I0000:kn L, Md es ist /lOooo — 4,0OOQO00 ' /lm z6^ 52' n-ff - 9,778-5IZ IZ/ 778 IZIZ ^ /6ooo — Z, 7 ? 8 iZiZ /kn L ^ IO,0200000, also c -- 90 ' und 8 ^ 5 z° / 48 261 §. In jedem Dreieck verkalk sich die Suin* me zwoer Seiten zu ihrer Differenz ^7(7 — ^7/7 wie die Tangeirre der halben Sum- me der Key den gegcitübcr stehenden Winkel F und <7 zue Tangente ihrer halben Differenz. Beweis. Es ist : ?c 8 — Kn 8 : Kn 6 ^ (r^8 §-) also 7^(7 -j- 7^6 ! ^(7 — 7^8 — kn 8 4° ^ kn (7 : kn 8 — kn ( 7 , (165 H. n. III.) folglich auch ^(74-^8: 7^(7 - -X8 ^ m. 4 (6 4-'L) , ^ :,z.i(8-c:). c--zs§.) 7 262 §. ^gri ' 8 r ^lus zwoen gegebenen Seiten ^' 8 ' und dem dazwischen liegenden Winkel im ^ Dreyeck ^777(7 die übrigen beydcn Winkel 7? ^ und 0 nehst der dritten Seite 72(7zu finden. ^ Aufl. I.) Wenn 7V — 90 ° ist, so schliesse man ^ 7^8 : ^(7 Kn. cot: wng 6 , (257 §.) daraus stn- "s( det man 8 , also (7 — 90 ° — 8 , und die Hypo- " -»! tbenu- Der XV. Abschnitt. 589 thenuse 86 kann man vermittelst der Proportion fiu 6: 7^6 — l'm tot: 86 suchen. Es fty 7 V — 90°, 7)8 — 5419 Ruth 7^6 -- 7564, 7 Ruth, so ist der Ansatz 5419: 7564,7 — sin tot: trmZ 6, und man findet ^7564,7tot — rZ,867155! ^54-9 - Z,7)Z9'92 /tgliA 8 — 10,1552559 /tsuZ 55° 59' — ,o,,551709 Differenz ... 650 2647:650 — 6o": 15" beynahe also 6 55° 59" 15" und 6 — 56° 20' 45". II.) Wenn 7 ) ein schiefer Winkel ist, so sub« trahire man ihn von r 80°, so findet man die Summe der übrigen beyden Winkel, und daraus ferner ihre halbe Summe. Wenn alsdenn 7)6 > 7)8 ist, so setze man dem 261 §. gemäß ferner an AL-j-AK: A6 - AK - tanZ 4 (L-s-L): tauZ 4 (k-6), so wird die halbe Differenz der gesuchte» Winkel gefunden, und diese zur halben Summe addirt giebt den grössten Winkel, so wie sie von der halben Summe subtrahirt den kleinern Winkel giebt. (151 §. Rech.) Sind solcherg'stalt die Winkel gefunden, so erhalt man die dritte Seite wie im 259 §. Es sei) 7 V - 29° 58' 24", 7 ) 6 — 115499,91 z Ruthen, 7)6 — 78524,5 Ruthen, so hat man 8 -sL — 150° 28 56", und 4 (8 -j- 6) — 75" 48 ". 67) 590 Der Geometrie erster Theik. HL: HL: :iIZ499,9ZlR. ' 78Z24,Z HL 4- HL: HL^HL: . 191324,21z Z5i75,6izR. /(HL—HL)— 4,5462418 /t8.j(L-^L)-io,5774Z;i i;,i2z67§7 /(HL 4- HL) — z,2 l 290z 5 /k§.4(L-L) —9,84O77zr 1 'S Alsos(L-L) — Z4° 2 ^ 8 - 109° 54 .6" O — 40^ 27' 20". Man sehe die Winkel 7^. — 8 — /Z, 6 — die gegenüberstehenven Seiten 8L — a, 7^0 — /»> r lin -V /r6 —c; so hat man-— — n (258 H.) und ö lin/Z" — 182 — (« 4 -/ 3 ) also kin -7 — 611 (« 4 " /2) (2ZO H.) —tin.« cos/Z 4- cos«sui/Z, (2ZZ §.) col /3 . . , . , e und -—cot ,Z. (2Z2 h.) Das glebt '/S K, Hi»! sur/Z' ^ ^ ^ ^ ^ jin « cot /Z 4- cos «, mithin ferner c — scos « c —öcos« ö UN « cot /Z und man stndet cot/Z^. Hsin Llin « also t3iiZ/Z — (242 §.) Dieser allge- c—öcol« meine Ausdruck giebt den Winkel /Z aus « und den anliegenden Seiten, und man hat eben so wnZ clin « "'V, l :,l>N ö — c. cos«' Aus dem 258 §. stndet man die dritte Seite a ölui« . 2- und aus t-mg/Z wrrd auch ün /Z ver« iin/Z mittelst der allgemeine» Formuln des 2z2 H. gefun- irlüi, M»ll! sin/Z den. Es ist nemlich tan? /Z — und sec A cul/Z 59 - Der XV. Abschnitt. — —777, also sin/Z — Ucberdem ist sec/Z cot ^3 tec/Z --/(i -s WNZ/Z^), also findet man hier sec /Z — —2öe. cos«-I-L^) , weil sin oos tan? /3 c—l?cot« — l ist, und daraus ferner sin /Z — 56n « sec/3 . Demnach ist die dritte /(L 2 — 2öc. cos« 's c^) Seite a — — 2Üc cos« -s e^) tm/2 Wenn«— 90° ist, so hat man cos«—0 (229 §.) also in diesem Fall a - /(ö^-sc^), wie VemPytha- gorischen Lehrsatz gemäß ist. 26z §. Alle drey Seiten ^ 0 , ^t 7 , eines , Dreiecks sind gegeben: man soll die Winkel , finden. s Anfl. Wenn zwo Seiten ^ 8 , 80 , gleich groß sind, und aus der Spitze 6 des dazwischen liegenden Winkels 81 ) auf die dritte Seite senkrecht gesetzt wird, so ist /M — 4 §.) und man hat im rechtwinklichten Dreyeck ^8V zwo Seiten, die den rechten Winkel nicht einschliessen, ^6, woraus nach dem 260 §. die Winkel gesunden werden. Man setzt nemlich an >V8 : lin. tot — ^ : lin ^8D, und findet daraus ^8L2ALO, so wie 592 Der Geometrie erster Theil. Ist dagegen das Dreyeck ungleichseitig, ft lasse man auf die graste Seite ^XL aus der Spitze 8 des gcgenüberstehenden Winkels die Linie 81) senkrecht fallen, ft wird /XI) > OL scyn, wenn -X 8 > 86 ist. Man s he 8 L — a, -XL — ki, -X 6 — c, -XI) — ec, also LI)--: ö —ec; ft hat man im rechtwink, lichten Dreyeck ^X80 vermöge des Pyrhagorischen Lehrsatzes cv-^ 80 - / und im Dreyeck 8L0 ist eben so 80^ — — (k> mithin c^ — — ^c)^, also ferner c- st- (/, — st- undsö—— L* — 2 S a: st- (190 §. Rech.) folglich c^ -8 2 L a: — § 2 . Das giebt ferner st- c^ — st- 2 ö ac UNd 2ÜX ^ L* st- c^ — Ferner istc^ — a^ — (cst-u) (c—a), (i 9 o§. Rech.) also n — T" st- - Die MtM b>> Man halbste )XL in 8 , soist)X 8 —also . sc st- a) sc — a) -xo - )X 8 st- 80 ^ -X 8 st- ^ ^ M lt »> -i 2/- sc st- a) sc — a) ^ und 80 - ' -oder 80 2 Ü 0X6st-6L) (-X 8 - 8 L) 2-XL Die Voraussetzung war, daß -X 6 > 8 L sey, oder c > c-, daher giebt der gefundene allgemeine Ausdruck das grossere Stück )X0 der Grundlinie-XL: wäre also-X 8 < LL, ober c a, wie in der 184 Figur, ft müste man Der X-V. Abschnitt. 59z man LO durch x verstehen, und es wird in eben dienen alsdenn a und c noch wie vorhin die Seitenlinien diesem Fall, wenn ^8 < KL ist, das kleinere Stück der Grundlinie 0 ^ Diesemnach kann aus den dreyen gegebenen Seiten des Dreyecks gefunden werden, und man erhält im rechtwinklichten Dreyeck H .80 den Winkel ä. vermittelst der Proportion ^6 : lin. wt. — : cok die übrigen Winkel werden hiernachst wie im 259 §. gefunden. Es sey^c — HZ499,9IZ Ruthen, 8L — 78524, zR., ^8— 59697,47 R., fo ist 8c: > ?t8, oder a > c, und man hat nun LO -- (-ch c) (a—c) ^ Demnach giebt die Rechnung -ö ^6" 78Z24,; — F- «rdu «dm Dn MMN Md, ' Ml. Nem d« »M A ÜiiikK L, in Der XVI. Abschnitt. 597 Durch beyde Schenkel eines gradlinichten Winkels kann eine Ebene gelegt werden, und zwei) grade Linien, die einander schneiden, liegen in einerlei) Ebene. 268 §. wenn man durch drey nicht in grader 154 Linie liegende puncte eine Ebene DL gelegt har. so ist dadurch die Lage dieser Ebene völlig bestimmt, und man kann durch eben die drey Puncte keine andre Ebene leger,, die von der vorigen, der Lage nach, unterschieden ist, ob sie gleich grösser oder kleiner seyn könnte. Legt man durch eben die Puncte noch mehr Ebenen; so fallen sie inöge- sammt mit der ersten zusammen. 269 §. Durch eine und eben dieselbe grade Linie All kann 1 z ; mehr, als eine Ebene gelegt werden, (267 §.)und alsdenn schneiden diese Ebenen einander in dieser gra- den Linie All. Allemahl aber, wenn zwo Ebenen Ll), Xb, einander schneiden, giebt es eine grade Linie, wie All, die man ihre Durchschnirrslime nennt. Ausser dieser graben Linie AK können beyde Ebenen nichts gemein haben; denn wäre nur noch ein Punct 6 ausser der graben Linie AL in beyden Ebenen zugleich; so müsten beyde Ebenen zusammen fallen, und könnten einander nicht schneiden. (268 §.) 270 §. Zieht man durch einen Punct Xl in der Ebene LI), und einen andern X, der ausser ihr liegt, die grade ^ Linie XI.: so schneidet die Ebene Li) die grade Linie XX. In allen Fällen, wenn eine Ebene LI) eine grade Linie XX schneidet, giebt es einen Durch- schnirrspuucc, wie XI, und ausser demselben kann Pp z die 598 Der Geometrie zweyter Theil. die Ebene LO mit der graben Linie KI- nichts ge- ^ mein haben. Denn wäre noch einPunct l in beyden >"9, Zugleich: so fiele KI. ganz in LO, (io §.) und LU »kB > könnte KI. nicht schneiden. ^ Jede durch zweene auf verschiedenen Seiten der -E! Ebene LO liegende Puncte K und l. gezogene grade Linie KL, wird von der Ebene LI) geschnitten: und jede durch zweene auf verschiedenen Seiten der Ebene LK liegende Puncte L und v gelegte Ebene Lv, schneidet KI'. ^ 271 §. iz6 Zwo oder drey ebene Flachen allein können kei- kIZ. nen Körper einschliessen: es werden wenigstens vier ^ ^ Ebenen dazu erfodert. ^ Man stelle sich eine Ebene, wie KLO vor. und gebe ihr die Gestalt eines Drey- ecks; durch eine Seite KL lege man eine neue Ebene ä ULK, und ziehe in derselben willkührlich die grade lsi» Linie L,V: so liegt Liz nicht in einerlei) Ebene mit «dö Lk und LI), und man kann durch Lil und LI) eine iikllir, dritte Ebene legen. Nun wird zwar von den dreyen hikM Ebenen um L herum ein körperlicher Raum ringe- drrA schlossen, dieser ist aber noch nicht von allen Seiten ch! begränzt. Um ihn an der noch offenen Seite zu isi^ schließen, wird eine vierte Ebene erfordert, die man ckr/ durch drey Puncte /I, k, I), legen kann, wovon der erste in Lü, der andre in Lk, der dritte in Ll) H liegt. im U 272 §. . M Dis ebenen Flachen, welche den Körper einschlies- ch,^ sen, heissen seine Seitenflächen, (beärae) sowie die graben Linien, worin die Seitenflächen einander ^ schneiden, seine Seitenlinien, (termini lineares) ^ genannt werden. Ist der Körper an allen Seiten ^ . durch ^ Der XVI. Abschnitt. 599 durch ebene Flachen begränzt, so führt er den allgemeinen Nahmen eines eckigten Adrpcrs: eö giebt nemlich alsdenn arif der Oberfläche des Körpers Puncte, durch welche drey oder mehr Seitenflächen gelegt sind, wie L, L, k, I), in der i z6 Figur, und der an einer solchen Stelle, wie L, sonst rings herum zwar begränzte, aber gegen 6, I), zu noch unbegränzte Raum heißt eine Ecke des Körpers, auch ein körperlicher Winkel. Die Seitenflächen des eckigten Körpers sind gradlinichte Figuren, also hat jede wenigstens drey Seitenlinien und drey Winkel. Wenn also die Zahl der Seitenflächen — ^ die Zahl aller auf der Oberfläche des Körpers liegenden ebenen Winkel — ^ gesetzt wird, so ist v nie kleiner als g ä. Jede Seitenfläche hak mit einer andern anliegenden eine Seitenlinie gemein: demnach ist die Anzahl aller Seitenlinien des Körpers nur halb so groß, als die Anzahl der Seitenlinien aller Seitenflächen, mithin auch nur halb so groß, als die Anzahl aller auf der Oberfläche des Körpers liegenden Winkel. Wenn also / die Anzahl aller Seitenlinien des Körpers ist; so ist ^ — 2 /. Demnach ist auch 2/ nie kleiner als zL, oder / nie kleiner als ^ ä. 27Z §- Im Umfang ebener Figuren waren nur die Seiten und Winkel zu unterscheiden, und das machce gleich anfangs in der ebenen Geometrie die Untersuchungen über die Natur gradlinichter Winkel, oder über die verschiedenen Lagen einer graden Linie gegen andre, die mit ihr in einer Ebene gezogen sind, nochwendig. Die ganze den eckigten Körper umgebende Gränze bestehet aus ebenen Seitenflächen, die ein- Pp 4 ander 6vo Der Geometrie zweyter Theil. ander gleichfalls unter gewissen Winkeln schneiden, ^ und selbst die Seitenlinien machen mit den Seiten- ^ stächen gewisse Winkel. Schon um deswillen würde 2^" in der körperlichen Geometrie mit Untersuchungen über die mancherlei) möglichen Lagen einer graben ^ Linie gegen eine Ebene, oder einer Ebene gegen die andre, der Anfang gemacht werden müssen, wenn ^ auch nicht ausserdem die dahin gehörigen Lehren ih- re>l mannigfaltigen sehr auögebreiteten Nutzen hatten. O"- Di Wenn eine Ebene LI) eine andre Lk in der gra- den Linie AK schneidet: so kann man durch einen Punct I' in der Ebene LI) auf A k die senkrechte Linie E kbl, und zugleich durch eben den Punct ? in der Ebene ^ ^ Lk auf AL die senkrechte Linie K.V1 ziehen. (68 §.) M Demnach kann eine grade Linie AK auf zwoen andern « ^ IM, kkil, die sich in ? schneiden, im Durchschnitts- ^ punct k senkrecht seyn, wenn sie mit ihnen nicht in ^ einer Ebene liegt. Wäre ALI mit IM und kkl in einerley Ebene befindlich, so würde das nicht mög- ^ lich seyn. (20 §.) 27? §. fkM Wenn eine grade Linie AK, so von einer Ebene Di IM in k geschnitten wird, daß sie auf allen durch 8 s, in der Ebene LAI gezogenen graben Linien Lv, Lk; - OLL u. s. f. senkrecht ist; so schneidet IM die grade ^ Linie AK senkrecht, und AK steht auf der Ebene IM (fv senkrecht oder lochrecht, auch heißt AK eine Nor- ^ ^ Mallinie auf IM. Ist aber AK nicht auf allen durch k in IM gezogenen graben Linien senkrecht; so zy, wird AK von IM schief geschnitten, oder AK stehet ^ schief auf LAI. Durch ich lchz, Di« W °>h « ü« 6«i! IÄ- ! in ! in ch W iliLö >,K. Der XVI. Abschnitt. 6vi Durch einen Punct ö in der Ebene blvl laßt sich nur eine grade Linie AK auf blvl senkrecht setzen. Denn wäre auch KL auf LAk senkrecht, so konnte man durch den Winkel AöL eine Ebene legen, welche in IM schnitte: alsdenn wären Al>O und LöO rechte Winkel, welches nicht seyn kann. (-2.0 H.1 Auch durch einen Punct /V ausserhalb der Ebene HAI läßt sich nur eine grade Linie nach Hk senkrecht ziehen. Denn wäre auch AO auf LXl senkrecht; so würde bkl von der Ebene KAI) in öl) geschnitten, da dann AöO — L — AOK wäre, welches dem 5? §. zuwider ist. 276 §. Eine grade Linie die nur aufzwocn rg8 in der Ebene gezogenen graden Linien b. l 7 D, LA' in, Durchschmrrspuncr L senkrecht ist, stcher auf der Ebene L 7 l 7 selbst senkrecht. Beweis. Man ziehe in der Ebene OAl durch 8 die dritte grade Linie Olk, und wenn diese zwischen des Winkels LIM Schenkeln fällt; so nehme manöO und IM von willkührlicher Grosse, und ziehe OL, welche Oll in 0 schneidet, (zz tz.) Man nehme ferner öl) ^ öO, öb — KL, und ziehe Ob: so ist KO: öl) -MM : ill-, also Ob mit OL parallel, und Oll schneidet auch Ob' so, daß öO — öll wird. (177 §-) bleberdem wird LO —Ob, undLO —bll. (6o §.) Ziehet man nun von A nach den Puncten 0 , v, L, b, O, ll, grade Linien, so wird AO — Av, AL —Ab: (6o§.) und weil auch LO — Ob war, so wird der Winkel AbO — Abll, (65 §.) folglich AO — All. (60 §.) Demnach ist in den Drey- ecken AöO und Allö der Winkel AöO — ALll, (6 ; §) und Aö aufObl senkrecht. (iy §.) Pp 5 Weil 6OS Der Geometrie zweyer Theil. Weil dieser Beweis von allen graden Linien gilt, die durch k in der Ebene LlVl gezogen werden können: ^ so ist .^k auf! senkrecht. ^ - Die senkrechte Linie -V- ist unter allen, die von ä. nach der Ebene L.^l gezogen werdön können, die kür- ^ zefte, (75 §.) mithin ist sie die Entfernung des ^ PunctS ^ von der Ebene bkvl. (zz §.) r?7 §- wenn drey grade Linien - 8 t 7 , L?, r« einander in einem PunctS schneiden, und eine >ksb vierte ^ auf allen drcyen im Durchschnitts- 2 puncr ösenkrecht ist; so liegend, ^6, Mj in einer Ebene. Äm < Beweis. Man lege durch den Winkel 0 K 6 'OLse eine Ebene L> 4 : wenn diese nicht zugleich durch 6? Mn gehet; so wird sie die Ebene des Winkels ^k? in einer graden Linie KL schneiden, die von k? verschie- Zir den ist. Nun wird aber ^ KL — li, (276 §.), und kW vermöge der Voraussetzung ist auch t^K? — L, wel- Ms ches nicht zugleich seyn kann: (2o§.),also muß die «t Ebene OKO durch kl' gehen, wenn auch ^Lk ein A rechter Winkel ist. »krl 278 §. ytui fZ 9 wenn ^L aufder Ebene L 7 l 5 senkrecht und M lug. t 7 D tnit^ü parallel ist; so ij! auch L'Dauf senkrecht. ^ Beweis. Die Ebene der Parallelen Lk, 01), schneidet blcl in der graden Linie kl), und in dieser A, Ebene liegt auch V/E (io §.) In der Ebene l.Iv! ^ setze man VL arif I)k senkrecht, mache VL — t^k, ^ und ziehe KL: so ist E) - L - KDL, und KV - KV, also auch /U) — KL. (6o §.) Man ziehe ^ ferner 7 rL; so passen die Dreyecke /VLK und ^bv auf ^ Der XVI. Abschnitt. 6vz einander, weil die Seiten AK, OD, und Av, KD gleich groß sind, und AD zu beyden Dreyecken gehört: (6; H? also ist AOD — AKD — k.. Ueberdem war KOD — D, folglich ist DO auf der Ebene AKLO senkrecht, und LOD — k. (276 H.) Weiter ist LOK - 2 !< - ALO (86 §.) ^ k.: also steht CO mifDkll senkrecht. (276 279 §. Zwo grade Linien CO, die auf einer- i zg ley Ebene senkrecht stehen, sind parallel. x. Beweis. Man kann durch O mit AL eine Parallele ziehen, diese steht auf Hl senkrecht, (278 §.) und muß mit OL zusammen fallen, (27z §.) wenn OL so wie AK auf OKI senkrecht ist: demnach ist OL selbst mit AK parallel. 280 §. Zwo grade Linien, CO, die mit einer 1 dritten LC parallel sind, sind unter einander ^ selbst parallel, auch wenn nicht alle drey in einer Ebene liegen. Beweis. In der Ebene LODO ziehe man DO, in der Ebene AKD6 aber DK auf DL senkrecht, und lege durch KDO die Ebene DK 4 : so ist DL aufDK 4 senkrecht. (276 H.) Also sind auch AK und LO auf Dkl senkrecht, (278 §.) folglich AK und LO einander parallel. (279 §.) 281 §. Eine grade Linie AK ist mit einer Ebene DD pa- 14 rallel oder gleichlaufend, wenn sie mit der Ebene D nicht Zusammenstößen kann, die Ebene und die Lime mögen so groß werden, als man will. wenn mit einer in der Ebene OC liegenden graben Linie CO parallel ist; so ist sie auch 604 Der Geometrie zweyter Theil. 142 r. '85 lv auch mir der Ebene parallel. Denn ,XIi und LI) bleiben allemal in einer Ebene; wenn also mit 8k' zusammenstresse; so müste es in einem P Punct geschehen, der in beyden Ebenen öikLI) und Lk zugleich, also in beyder Durchschnitt LI) befind- ^ lich wäre: welches wider die Voraussetzung ist. Wenn mit der Ebene 8k parallel ist, so ist auch ^XII mit jeder graben Linie LI) parallel, worin -„sin kill von einer durch /X!> gelegten Ebene geschnitten wird. Denn /XII und LI) liegen in einerlei) schnei- ^ denden Ebene, und können nicht zusammen flössen, «H weil sonst /Xk auch mit der Ebene 8k zusammenstiesse, womit sie doch parallel seyn soll. ^ 282 §. w! Zweene Winkel OLss, die nicht in mch einer Ebene liegen, sind gleich groß, wenn Wi ihre Schenkel L'^, L'v, ungleichen (7S, die in Absicht der durch die Spitzen gczoges ncn graden Linie LL nach einer Seite liegen, parallel sind. M. Beweis. Man nehme —8V, und L6 — 8k; so sind >XV und 8k beyde mit L8 parallel, und überdcm bcyde eben so groß als L8. (97 §.) Also sind auch ^v und 8? parallel, (280 §.) und ^ gleich groß: mithin ferner Xk — Ok, und ^L8 -VE(c;§.) 28z §. W NN eine Ebene Lv die andre 8k in der gra- Ech, den Linie /X8 schneidet: so schließen beyde an der . ^ Dnrchschnittölinie >X6 einen Winkel ein, den man ^ ^ einen Aachen - wiiikel nennen könnte. Einen solchen Flächenwinkel kann man zuweilen kurz mit H z vier Der XVI. Abschnitt. 6oz vier Buchstaben 8)^88 bezeichnen, wovon die bey- den Mittlern 8, an der Durchschnittslinie stehen. Man nehme in -X8 irgendwo einen Punct I' und ziehe durch 8 auf ^8 ein paar senkrechte Linien 8U und wovon eine ?U in der einen Ebene 88, die andre M in der andren Ebene LO liegt. Der Winkel den diese beyde Linien einsiblieffen, Heist der Ncigungs-l^Vinkel der Ebenen LÖ und 88 gegeneinander: er «st mit dem flachen-lVinkel an ^V8 einerley, und wenn es ein rechter Winkel »st: so stehen die Ebenen L8), 88, auf einander senkrecht. Dieser Winkel UM ist nemlich bey unveränderter jage beyder Ebenen gegen einander immer einerley, wo man auch den Punct k in der Durch- schnittölinie /^8 annimmt. Wenn in der Ebene 88 auch 6(^auf A6, nnd M in der Ebene Ll) auf ^V8 senkrecht sind; so ist Lt^mit?U und K8. mit kdl parallel (8o§.) also der Winkel UkK. (282 §.) 284 §. Die Durchschnittslinie ^8 zwoer Ebenen ED, 88 steht auf der Ebene ihres Neigungswinkels UM senkrecht: (276 §.) und wenn eine Ebene 81 die Durchschnittslinie ^ in 1 senkrecht schneidet; so ist sie die Ebene des Neigungswinkels. Denn wenn 88 in ?U, und L8) in M von der Ebene 81 geschnitten werden, so sind 8?U, 8M rechte Winkel, (275 §.) folglich ist UM der Ebene 88 Neigungswinkel gegen LO. (-8Z §.) 285 §. 626 Der Geometrie zweyter Theil. 285 §. 14 z Zwo Ebenen ^O, die einander schnei- ^ ?. den, können nicht auf einer dritten Ebene OM, ^ worin jener bcyden Ebenen Dutchschnircsli- ^'-2 nie liegt, beydc zuglerch senkrecht seyn. Beweis. Man lege durch einen Punce 8 der Durchfchnittslinie ?el) eine Ebene auf /M senkrecht, welche in 80 , in 88 und 8de1 in 8? schneidet ; so ist 08 ? der Ebene und 88? der Ebene ^14 Neigungswinkel gegen 8 le 4 . Es können aber 08 ? und 88? nicht beyde zugleich ^ rechte Wittkel seyn. (ao §.) 286 H. D; ^ 4 Z wenn die grade Linie SO auf der Ebene ^ i k. OM senkrecht ist: so ftebr jede durch SO ge- legre Ebene ^6 auf OM ebenfalls senkrecht. Beweis. Die Ebene schneide Olel in der M graden Linie und weil diese durch 8 gehen >.§r must; so setze man 8? in der Ebene Ole 4 auf ^8) ^ senkrecht. Weil ferner 60 auf Olvl senkrecht ist; so ist zuerst 08 ^ - 8, (275 §.) also 06 ? der ^ EbeneNeigungs-Winkel gegen 8lVl. (28z §.) Es ist aber auch 06 ? k, (275 §.) also ,^0 auf 8Ivl senkrecht. (28z H.) ' Demnach stehen zwo Ebenen, die einander schneiden, auf der Ebene ihres Neigungswinkels ^ senkrecht. I 287 §. "üdk -44 Zweene gleich grosse Flachen-Winkel ?. S^DO, S /007 passen in einander. Beweis. Zn 7VO und ?18 nehme man die rir»> Puncte ? und dl witlkührlich, und ziehe durch sie gehörig di« Neigungswinkel 8 ? 6 , d» 1 X 0 . Man As; lege , Der XVI. Abschnitt. 607 lege die Ebene HI auf >^0 so, baß ,'n /VO, und in k fällt: so muß l^O in 60 , und di. Ebene - LäKO mit LkO zusammen fallen. (285 tz.) Also fallt blKI in kL ( 18 §.) und die Ebene oder fällt mit oder IL zusammen. (268 §.) 288 §. Eine grade Linie Ä (7 die in einer von 14z zwoen senkrechten Ebenen H auf bcy- kiz. I der Durchschnitt senkrecht ist, stehrauch auf der andern Ebene LM senkrecht. Beweis. In OKI ziehe man 6? auf^I) senkrecht; so hat man den Neigungswinkel 06 k, (28; §.) weil -^60 und ^66 rechte Winkel sind. Ueberdem ist vermöge der Voraussetzung AO auf OKI senkrecht, also 06 k eben so wie 06 V ein rechter Winkel: demnach steht 06 auf OKI senkrecht (276 §.) Eine grade Linie, die von einem Punct 0 der Ebene -VO auf die ihr senkrechte Ebene OKI loth- recht gezogen ist, muß in der Ebene liegen. Denn es sey 06 auf dem Durchschnitt senkrecht. Fiele nun eine senkrechte Linie OK auf OKI ausser der Ebene so wären 06 und OK beyde auf OKI senkrecht, welches nicht seyn kann. (276^.) Wenn I.O und OKI auf einander senkrecht sind, und durch einen Punct 6 in der Durchschnittslinie /M eine grade Linie 60 auf OKI senkrecht gesetzt wird; so liegt 60 in der Ebene /^O. Denn sonst wären O^O und 6^O zwo verschiedene auf OKl senkrechte Ebenen, (r86§.) welches dem 285 §. widerspricht. s8K§. 6o8 Der Geometrie zweyter Theisi rZ7 k. 140 r. -45 k. 289 §. sVenn zwo Ebenen (76, 6/7 einander in schneldcn, und auf einer dritten senkrecht sind; so ist auch ihr Durchschnitt auf 6^7 senkrecht. Beweis. In der Ebene ziehe man Mauf KL, und Ll auf LL, beyder Ebenen Durchschnitte mitb^l, senkrecht: so ist LK. auf LO, und LI auf Ltt senkrecht. (288 tz.) Demnach ist /rLii - K — /VLI, (275 §.) folglich ^L auf sink- recht. (276 tz.) 290 §. Von einem punct der ausser der Ebene H liegt, nach H eine senkrechte Linie zu ziehen. Ausi. Man ziehe in der Ebene Llol eine grade Linie LO, und sehe in der Ebene ^LO die grade Linie auf LL) senkrecht, durch L ziehe man LL in der Ebene auf LL) senkrecht; so ist /^Lk der Ebene /^LL) Neigungswinkel gegen Ll^l, mithin die Ebene -^LL aufL^I senkrecht. (28z. 286 H.) Weiter sehe man XL in der Ebene /^LL auf LL senkrecht, so ist auch /^LaufLkvl senkrecht. (288 §.) Durch einen in der Ebene Lkvl gegebenen Punct k kann man also auf L^l eine grade Linie k(^senk- recht ziehen, wenn man von einem willkürlichen Punct nach LK 4 die senkrechte Linie /^L, und LH mit ^L parallel ziehet. (278 §.) 291 H. Lpenn von einem punct ^ einer Ebene 6/7, die eine andre 66 in 66 schneidet, auf letztere die grade Linie ^6 senkrecht gesetzt, und hiernächsi von ^ oder 6 nach 66 die - grade Äi A Ä« ,mus sl mgke KN Kd 'Lc Der XVI. Abschnitt. 609 grade Linie oder -SL senkrecht gezogen wird; so ist die Ebene des Neigungswinkels. ' Beweis. Die Ebene LIK ist auf 1)6 senkrecht, (286 H.) und wenn KL auf LO senkrecht ist, so steht LO auf der Ebene ILL senkrecht (288 §.) also ist LIK die Ebene des Neigungswinkels. (284 §-) Ist umgekehrt IL auf LO senkrecht, so ist es auch KL: denn wäre nicht LK, sondern LS auf LO senkrecht, so wäre I.LS der Neigungswinkel, und die Ebene ILS auf O6 senkrecht. Setzte man nun IS auf LS senkrecht, so wäre auch IS auf 1)6 senkrecht, (288 §.) worauf schon IL senkrecht ist, welches dem 27; §. widerspricht. Wenn die Ebenen zweycr Dreyecke JOB, KLO, auf einerlei) Grundlinie LO einander so schneiden, daß zugleich LO die Durchschnittslinie ist, und wenn alsdenn die grade Linie IL zwischen den Spitzen I und L der Grundlinie LO gegenüber auf der Ebene eines dieser Dreyecke KLO senkrecht steht; so verhalt sich das gegen geneigte Dreyeck ^kLO zu dem auf^M senkrechten LLO, wie der ganze Sinus zum Cosinus des Neigungswinkels beyder Ebenen gegen einander. Demi LL auf LO senkrecht gesetzt, ist des Drenecks KLO Höhe, und weil alsdenn zugleich IL auf LO senkrecht, und IL6 der Neigungswinkel ist; so ist IL des Dreyccks ILO Höhe, und man hat I,L : KL — lm. tot. colILK. (2;7 §. G.) Ferner ist Dr. ILO: Dr. KLO - IL: KL, (20z §. G.) also auch Dr. ILO: Dr. KLO - 6n. tor. col ILL. Larst.Mach.Tb.l. Qq 292 §. 6icr Der Geometrie zweyter Theil. 140 L. 140 r. 145 r. 292 §. M Der Neigungswinkel einer graben Linke gegen eine Ebene LM, welche sic in L schnei- det, ist der gradlinichre Winkel /XLL, den die Durch- -8»" schnittSlinie LL einer durch /XL auf Lwl senkrecht gesetzten Ebene mir /XL einschliest. Läst man von einem Punct /X der Linie /XL auf Lkl die senkrechte Linie /XL fallen, und ziehet LL; . so ist /XLL der Linie /XL Neigungswinkel gegen LXl. ^ Denn die Ebene /XLL ist auf L^l senkrecht, (286 §.) ^ ^ und schneidet sie in LL. 29z §. lB, Parallellinien ^ sind gegen einerlei Ebene H unter einerley Winkel geneigt. ^iici Beweis. Wenn/XL, (Z? auf I.?e 1 senkrecht ste- hen; so sind /XL6, die Neigungswinkel, mim (292 §.) Aber /XL, und HL sind parallel; (279 §.) ^ also ist der Winkel /X — O, (282 §.) folglich auch /XLL^^l'. (57§.) L ^94 §» ,1>Xl Eine grade Linie ac, oder kann nichc aus zwoen Ebenen D6, O//, die eina>idcr in >0 kl OD schneiden, zugleich senkrecht scyn. ^ Beweis. Die grade Linie ac gehe zuerst durch einen Punct L der Durchschnitkslinie LO, und man ziehe L/X in der einen Ebenen Dkl; so schneidet die ^ Ebene des Winkels /XLa auch die andre Ebene O6 in einer graben Linie LL. Wäre nun aö auf beyden Ä Ebenen zugleich senkrecht; so wäre /XL« — k — KLa, welches unmöglich ist. (20 H.) Wenn statt ressen eine grade Linie /XL die Ebene chm Oll in /X und OO in L trist, also nicht durch bey- tn,, der Durchschnitkslinie LO gehet; so ziehe man von Hy einem Der XVI. Abschnitt. bn rL einem Punct k der Durchschnittslinie LI) sowohl nach /X, als auch nach L, grade Linien: dies gicbt ein Dreyeck ALK, worin sowohl beyA, als auch bey 6 ein rechter Winkel wäre, wenn AK auf bey- denEbenenOl^, OO, zugleich senkrecht stünde, wel« cheS dem 57 §. widerspricht. ch O Ä llllj M F 295 §. Zwo Ebenen Xk, KM, die eine solche Lage haben, daß sie nicht zusammenstossen können, sie mögen nach allen Seiten, so weit man will, erweitert werden, heissen parallele Ebenen. wenn eine grade Linie auf zwsen Ebenen H-, zugleich senkrecht ftcher; so sind H, einander parallel. Denn sie können einander nicht schneiden. (294 H.) Wenn demnach ausser der Ebene KM ein Punct A gegeben ist; so kann man durch A auf folgende Art eine Ebene mit KM parallel legen. Man lasse von A auf KM die senkrechte Linie AK fallen, ziehe durch k in der Ebene KM ein Paar grade Linien LL, KO, und mit ihnen durch A die Linien AK, AK parallel. Durch den Winkel KAK lege man die Ebene Xk: so ist Xk mit KM parallel. Denn es ist KAK — X — KAK, also AL auf bcyden Ebenen KM, Xk senkrecht. Wenn zwo parallele Ebenen Xk, KM von einer dritten Lk geschnitten werden; so sind die Durchschnittslinien AK, KL parallel: denn sie liegen in der schneidenden Ebene, und können nicht zusammen stossen, weil sonst Xk mit KM zusammenstiesse, welches der Voraussetzung entgegen ist. Qq r 146 k. 296 §. 6l2 Der Geometrie zweyter ryeil. 2y6 §. Die Ebenen H-, zwecncr Winkel sind parallel, wenn die Schenkel ^ 0 , und dieser Winkel parallel sind. beweis. Von /V falle auf KM die lokhrecht« Linie AK, durch L aber so» KL mit l'0, und KO mit L(^ parallel gezogen: fo ist auch KL mit AL, und LI) mit /XL parallel. (280 H.) Alfo ist nicht allein KAL — 2K - ALI) — k, sondern auch KAL — 2K — ALL —k, (86 H.) und AK auf KL sink« recht, (276 H.) folglich KL mir KM parallel. (295 §.) 297 §. wenn die Ebene H. mit parallel, und von einem punct^ dieser Ebene /iLdie Linie auf senkrecht gezogen ist; so auch aufH, senkrecht. Beweis. Durch L ziehe man ein Paar grade Linien KL, LI) i» der Ebene KM: fo schneiden die Ebenen ALL, ALI) auch KL in AL und AL, und es ist AL mit LE fo wie AL mit KO parallel. (29; H.) Demnach ist KAL — 2K - ALL - k, und LAL — 2K — ALI) — k, (86 § ) folglich AL auf KL senkrecht. (276 H.) Durch einen gegebenen Punct A last sich nicht Mehr als eine Ebene KL mit KM parallel legen, denn man kann AK auf KM senkrecht ziehen, und als- denn stünde AK auf beyden durch A mit KM parallel gelegten Ebenen senkrecht, gegen den 294 §. Eine Ebene alfo, die eine von zwoen parallelen Ebenen schneidet, schneidet auch die andre: und zwo. Ebenen, die mit einer dritten parallel sind, müssen untereinander selbst parallel seyn. Denn schnitten jene BÄ W L, Tn> lps ch Ä «Ä LI, ^ir alt die wd ä!>. Hlld ,O ,,v s!>^ ,-i« j«< Der XVI. Abschnitt. 6iz jene beyde einander; so schnitte jede von ihnen die di itte, womit sie parallel senn soll. 298 §. Eine grade Linie LD, die eine von zwoen 147 parallelen Ebenen H. schneidet, trist vcrlan- LiZ. gerc auch die andre und ist gegen beyde unter cinerley Winkel geneigt. Beweis. Wenn 01 ) die Ebene KL in A schnei, det, und AL auf KM senkrecht gezogen ist: so steht AL auch auf KL senkrecht. (297 §.) Die ebene DAL also, welche KL. in AL, »ndkldl inLLschnei- det, ist sowohl auf KL, al6 auch aufkldl senkrecht, (286 H.) und AL, KL sind Parallcllmien. (295 H.) Demnach schneiden LI) und LL einander, (88 §.) folglich auch LO und KM. Wenn nun L der Durchschnittö-Pnnct ist; so ist LA gegen KLun- ter dem Winkel LAL, gegen K 4 K^ aber, unter dem Winkel ALK geneigt, (292 H.) und es ist LAL --ALL.(88§.) 299 §- . , parallele Ebenen stnd durch- ^46 gängig gleich weit von einander entfernt. ^8° Beweis. Wenn AL und LLdie Entfernungen der Puncte A und L von KM sind: so sind AK, LL parallel, ( 279 H.) und die Durchschnitte AL, KL der Ebenen KL, KM mit der Ebene ALL6 sind auch parallel; (295 §.) also AK —LL. (99 §-) Eben so erhellet, daß eines jeden andern Puncts k in der Ebene KL Entfernung LO von KM — AK sey. Wenn eine grade Linie AL durch A mitklkl pa- rallel ist; so liegt sie in der mit KM durch A parallelen Ebene^kL: denn schnitte sie KL, so schnitte sie auch KM. (2988.) Also ist auch AL durchgän- gig gleich weit von KM entfernt. Qq z Wenn 614 Der Geometrie zweyter Theil. 148 Wenn drcy Puncte /k, L, L von der Ebene KM gleic!» weit entfernt sind; so ist die Ebene LE durch /k, L und L mit KM parallel. Denn die gleichen Entfernungen /KL, LE, LI) sind auch parallel. (279 §.) Zieht man also/KL,/KL, KE, KD; so sind /KLLL, /KKDL rechtwinklichte Parallele, gramme, <97, roo §.) und /KL ist auf LI. senk- recht, (276 H.) also LE mit KM parallel. (295 §.) Alle Puncte /k, L, L, O, u. s. f., die von der Ebene KM gleich weit entfernt sind, liegen in einer Ebene. Denn es sey /KL - LE - LD - EU: so muß eine Ebene LE durch /k, L und L gelegt auch durch E gehen. Im Geqenkheil würde LE doch mit KM parallel sey», und ED irgendwo in! schneiden, (298 §.) da dann ID — /KL wäre. Es wird aber vorausgeseht, daß EU —/KL sey, und bey- deö zugleich kann nicht feyn. PF illO Kr Bzs Afi!» ' Zoo §. Zwo grade Linien D/>, ED, werden von drcyen parallelen Ebenen DE, DE, M/V, in proportionale Theile geschnitten. Beweis. Wenn /k, L, K und E, L, I) die DurchfchnitkSpuncke sind; so ziehe man LE, welche LE in E schneidet. Die Ebene /KKL wird Hl in Wr !« zuG ZM »üdl 2 /KE, und LE in LE schneiden, so wie die Ebene M LEI) von LE in EL und von KM in LL) geschnit- E> tcn wird. Da nun /KE und LE, ungleichen LD ich. ^ und EL parallel sind; (295 §.) so ist /KL : LL EE: EL, und E6:66 — EL: LI), (l?4 H.) ÜW« also /KL : LL - EL : LD. utz, 2 l»s dieser Proportion folact auch ?.L : LL ---LD: LD, und/KL:/KL — ED: EL. (i64§.) ch, Z0l tz. Der XVI. Abschnitt. 6iz zol §. parallele Ebenen werden'von *49 einer dritten Ebene unter gleichen Nci- k>L- gungswlnkeln geschnitten, wovon die Gef- nungcn eine übereinstinnnige Lage haben. Beweis. Die Durchschnitte ^L, LI) sind parallel. (295 §.) Wenn also durch einen Punct k in ^6 eine Ebene auf senkrecht gesetzt wird, welche k(^in, KK und Kl. in KU schneidet; so ist KKH der Neigungswinkel der Ebene ?() gegen KK. (28z §.) Aber LK trist verlängert auch LI) in 6; (88 §.) also schneidet die Ebene LKI4 auch LO, und zwar senkrecht. (278 §-) Wenn also LI ihr Durchschnitt mit iVlkil ist; so ist KL! der Ebene Neigungswinkel gegen Ueberdcm sind Kl4, 61 parallel, (295 §.) also ist KKII - KLI. (86 §.) g02 H. wenn zwo Ebenen /rl, MiV von einer 149 dritten so geschnitten werden, das; die Kj^. Durchschnitte LD parallel. und die Neigungswinkel gegen X/>, MiV auf eben der Seite von /^gleich groß sind; so sind H', und parallel. Beweis. Es sey K.KH der Ebene r(Z, Neigungswinkel gegen KI.: so ist die Ebene KKII auf senkrecht, (284 §.) und schneidet auch LI) in O, wo KK verlängert LI) trist, (88 §.) und zwar senkrecht. (278 §.) Wenn also Ll der Ebene KKII Durchschnitt mir Xliil ist; so ist ILl der Ebene K() Neigungswinkel gegen und vermöge der Voraussetzung KKKl — K6I. 2llsv ist KI4 mit Ol parallel, und weil auch mit LO parallel ist; so ist die Ebene KI. mit parallel. (296 §.) O.q 4 Der 6i6 Der Geometrie zweyterTheil. Der XVII. Abschnitt. Von den prismatischen Körpern und Pyramiden. ZOZ §. k^rey und mehr ebene Flächen HL, 06, Vk4, LI, können einander so schneiden, daß alle Durchschnittslinien ^L, L6, 6 LI, VI, LK, mit einander parallel laufen. Solchergestalt wird zwar ein körperlicher Raum rings herum durch diese Ebenen begränzt: weil aber die parallelen Durchschnittslinien nicht zusammen laufen können, so bleibt dieser Raum an beyden Seiten, wohin diese Durch- schnittSlinien laufen, noch unbegränzt. Um den Raum völlig zu schließen, werden noch zwo Ebenen Lkch XO, eine an jeder Seite erfordert, und wenn diese unter einander parallel sind; so heißt der so be- gränzte Körper ein Prisma, ein Pfeiler, odereine Ecksaule. Die parallelen Seitenflächen betrachtet man als die Grundflächen des Prisma, die übrigen, welche einander inSgesammt in parallelen Durch- schnittslinien schneiden, heissen hier im besonder» Sinn die Seitenflächen des Prisma, und von der Anzahl dieser Seitenflächen erhält das Prisma den Nahmen eines dreiseitigen, vier - fünf- sechsseitigen Prisma u. s. f. Z°4 §- ßrtj« chmg Ga Die Seitenflächen des Prisma sind Parallelogramme, und die Grundflächen desselben sind gleiche und ähnliche gradlinichreLigurcn. Beweis. Die XVII. Abschnitt. 617 Beweis. Die Durchschnittslinien jeder Seitenfläche mit den Grundflächeir sind parallel, (29; H.) also sind die Seitenflächen Parallelogramme. Ferner sind die Grundflächen gradlinichte Figuren, die gleichviele Seitenlinien haben, eben so- viele, als das Prisma Seitenflächen hat. Zu jeder Seitenlinie der einen Grundfläche gehört eine Seitenlinie der andern Grundfläche, die mit jener in einerlei) Seitenfläche des Prisma liegt, und jede zwo so zusammengehörige Seitenlinien der Grundflächen sind parallel und gleich groß, wie und 16 . Ferner gehört zu jedem Winkel der einen Grundfläche einWin- kel in der andern, dessen Spitze mit der Spitze jenes Winkels in einer von den parallelen Seitenlinien des Prisma liegt, und jede zweene so zusammengehörige Winkel.^KL, sind gleich groß, weil ihre Schenkel parallel sind. (282 §.) Demnach sind die Grundflächen gleiche und ähnliche Figuren. Zeder Schnitt der prismatischen Fläche mit einer Ebene, die den Grundflächen parallel liegt, giebt also ebenfalls eine Durchschnittsfigur, die den Grundflächen gleich und ähnlich ist. zoz §. Wenn die parallelen Seitenlinien des Prisma, also auch die Seitenflächen auf den Grundflächen * ^ senkrecht stehen; (286 §.) so heißt der Körper ein grades widrigenfalls aber ein schiefes Prisma. Die Seitenflächen eines graben Prisma sind also Rechtecke. Wenn eine dreyseitige prismatische Fläche I.K1X0k(^mic einer Ebene auf den Seitenlinien kXI, 01 ., und mit einer andern Ebene auf eben den Seitenlinien schief geschnitten wird; so Qq 5 verl 6i8 Der Geometrie zweyter Theil. verhält sich der schiefe Schnitt zum sinkrech- ^! ren, wie der ganze Sinus zum Cosinus des «is" Neigungswinkels beyder Ebenen gegen ein-- sW ^ ander. Eö sey nemlich Okl^der senkrechte Schnitt, niid durch einen Winkelpunct (^dieses Dreyeckö sey eine Ebene mit dem schiefen Schnitt parallel gelegt,- ist ^ welche das Dreyeck (Xck8 gicbt, so ist dies Dreyeck jenem schiefen Schnitt gleich; (904 §.) wenn also jskikli'l der Neigungswinkel der Ebene (ZK8 gegen Obs).— « gesetzt wird, so wird nur der Beweis des Satzes erfo- ^ dert, es sey : Ok(^— j'in tot: cosi «. Man ver- AB längere alsokkäundKO bis beydekinieneinander inD W schneiden, und ziehe 'IO, so ist KchdieDurchschnitts» jiM linie beyder Ebenen (^fl8 und 0?(^, und man hat ^ Dr. Dr. yn. tot.: cos« «e.« Dr.8K2,:Dr.O"s(2,— 6». tot.: cos« (291 §.) - also KKE— L't'O : ri-g).— OK2.H s.n. tot.: cos « t»» (168 §. Rech.) d. i. Dr. : Dr. O?t2.— sn. tot.: cos« Wenn I<8 mit 0!> parallel ist, so kann man KÜ durch l<8 eine Ebene mit parallel legen, da ^ dann die DurchschniktSfigur ein Dreyeck mit 0?(^ von gleicher Grösse ist: alSdenn aber folgt die Rich- M ? tigkeit des Satzes für sich schon aus dem 2 91 §. 2 Ist nun 86KL ein vielseitiges Prisma, so kann ^ man die beyden Grundflächen ^.KLVL, b'OkälK M durch gleichnahmige Diagonallinien und kick, rind kl. u. s. f. in Dreyecke, und hiemit das ^ ganze Prisma in eben soviele dreyseitige Prismen khei- len. Wird alsdenn das vielseitige Prisma mit einer Ebene auf den Seitenlinien senkrecht, mit einer an- ^ dem aber darauf schief geschnitten; so sind die Schnitte ^ gradlinichte Figuren von gleich vielen Seitenlinien, ^ und die DurchschnittSlinien mit den Diagonalflächen ^ Der XVH. Abschnitt. 619 Heilen sie in gleichviele Dreyecke, so daß jedes Drey- eck im senkrechten Schnitt mit einem Dreyeck inr schiefen Schnitt, als ein senkrechter und schiefer Schnitt eines von den dreyseitigen Prismen zusammen gehört, woraus das vielseitige zusammen gesetzt ist. Aber das Verhältnis; eines jeden der schiefen dreyseitigen Schnitte zuin damit zusammengehörigen senkrechten ist so groß, als das Verhaltniß des ganzen Sinus zum Cosinus des Neigungswinkels beyder Schnitte gegen einander, also ist das Verhaltniß der Summe aller schiefen zur Summe aller senkrechten Schnitte eben so groß, (167 h. Rech. ) das heißt: in jedem Prisma verhalt sich der schiefe Schnitt zum senkrechten, wie der ganze Sinus zum Cosinus des Neigungswinkels der Ebenen dieser Schnitte gegen einander. §. Ein Parallelepipedum ist ein Prisma, dessen Grundflächen ^ 60 v, kl?6!ch Parallelogramme sind. Jede zwo entgegen gesetzte Seitenflächen des Parallelepipedi, wie 66 sind einander parallel, weil mit 60 , und mit 6k parallel ist. (2y6§.) Also können jede zwo entgegen gesetzte Seitenflächen, wie E, 66, für die Grundflächen des Pa- raklelepipedi angenommen werden, da dann die Grundflächen A 0 , k6 Seitenflächen werden. Jedem Flächenwinkel an einer Seitenlinie Ak, den zwo Seitenflächen cinschliessen, steht ein andrer an der Seitenlinie 06 gegenüber, und weil 06 , parallel sind, so kann man durch beyde Seitenlinien eine Ebene legen: ihre Durchschnitte ^ 0 , k6, mit den Grundflächen sind Diagonallinien der Grundflächen, und die schneidende Ebene kann auf ähnliche 62O Der Geometrie zweyter Theil. Art eine Diagonalstäche des Parallelepipedi heis- ^ sen. Letzteres wird dadurch in zwey dreyseitige Pris- men gethcilt. Zv? §> ,. i Ein rechrwinklichres Parallelepipedum ist M ^ r- ein gradeö Parallelepipedum, dessen Grundstächen ^VL, L6 Rechtecke sind. Es können also die Grund- sM stachen Quadrate seyn: und weil die Seitenflächen Rechtecke sind; (zo z H.) so werden sie ebenfalls Qua- - brate, wenn die Entfernung der Grundflächen von einander ihrer Seitenlinie gleich ist. M Ein rechtwinklichtes Parallelepipedum von die- ixdie ser Art,, welches also von sechs gleich grossen Qua- G braten eingeschlossen ist, heißt ein Würfel. Die Wi Seitenlinie von jeder Seitenfläche heißt zugleich eine zrHll Seitenlinie des Würfels. Zv8 §. Die Höhe des Prisma ist die Entfernung der ^ einen Grundfläche von der andern. Daher kann im rechtwinklichten Parallelepipedo eine jede Seitenlinie ir.r ^ die Höhe seyn, weil man jedes Paar der entgegen gesetz- Em ten Seitenflächen als die Grundflächen anseheu kann. ZOY H. stdttt wenn zwey prisinen nebst gleichen Höhen E gleiche irnd ähnliche Grundflächen haben, ^ und wenir überdem ihre gleichnahnügen Sei-? ^ renflachen (das ist, drcjeingen, welche die Grundflächen in gleichnahnügen Seitenlinien ömg schneiden) gegen die Grün dflächen unter glci- iich chen Winkeln geneigt sind: st> sind die pris- men gleich groß. ^ Beweis. Denn die Grundflächen passen auf einander: und wenn man diese gehörig auf einander U legt; " Der XVII. Abschnitt. 621 legt; so fällt jedes Paar gleichnahmiger Seitenflächen zusammen. (2 8 7 H.) Ueberdem fallen die Ebenen der entgegen gesetzten Grundflächen zusammen. (299 §.) Demnach müssen auch die Durchschnitts- linien dieser letzten Ebenen, und der Seitenflächen, mithin die entgegen gesetzten Grundflächen selbst zu- sallimen fallen. Also paßt ein Prisma in dem andern, (i6H.) und beyde sind gleich groß. Würfel also, deren Seitenlinien gleich groß sind, sind selbst gleich groß. Von zweenen Würfeln aber mit ungleichen Seitenlinien ist derjenige der grössere, der die grössere Seitenlinie hat. Gleich grosse Würfel haben demnach gleich grosse Seitenlinien, und von ungleichen Würfeln hat der grössere eine grössere Seitenlinie, als der kleinere. . Zio H. Drey und mehr ebene Flachen L^I), die an der Spitze ^ eine körperliche Ecke * 5? (272 §.) einschliessen, begranzen noch nicht an allen Seiten einen körperlichen Raum: ausser den Seitenflächen der Ecke wird noch eine neue Ebene KL er- fodert, die alle Seitenlinien, mithin auch alle Seitenflächen der Ecke schneidet, und solchergestalt den Seitenflächen der Ecke um /r die Figur gradlinichter Dreyecke giebt. Der geometrische Körper, welchen die Seitenflächen der Ecke und ausserdem eine neue Ebene KLOLL, die diese Seitenflächen inögesammt schneidet, an allen Seiten begranzen, führt den Nahmen einer Ppminide oderSpitzsäule. Die Spitze der Ecke ^ heißt auch der Pyramide Spitze, die Figur KLOLL ihre Grundfläche, und die Dreyecke äkL, u. s. f. ihre Seitenflächen. Jede r;z r. 62s Der Geometrie zweyter Theil. Jede Pyramide hat demnach so viele Seitenflächen, als die Grundfläche Seitenlinien hat: daher erhellet leicht, was dreyseitlge, vierseitige, fünf- seirrge Pyramiden sind, u. s. f. Wenn die Grundfläche auch ein Dreyeck, also die Pyramide dreyseitig ist; so kann jede Seitenfläche als die Grundfläche angesehen werden. Die Entfernung der Spitze einer Pyramide von ihrer Grundfläche heißt ihre Höhe. Zu Z. wenn Pyramiden gleiche und ähnliche Grundflächen haben, und übcrdcm alle gleich- nahmige Seitenflächen gegen die Grundflächen unter einerley Winkel geneigt find: so sind sie gleich groß. Beweis. Die Grundflächen passen auf einan» der: und wenn man sie gehörig auf einander legt; so fallen nicht allein die Ebenen jeder zwocr glcichnah- migen Seitenflächen zusammen, (287 §.) sondern auch alle Seitenlinien, (269 H.) und diescrmegen auch die Spitzen der Pyramiden. Also passen die Pyramiden in einander, und sind gleich groß. zir §. K ho-j 3' IG« «! ß; f l«k wenn man ein Parallelepipcdum mit ^ ^ einer Ebene schneidet, die zwoen Seiten- flächend, ^parallel liegt; so verhält sich das abgeschnirtene Parallelcptpedum zum ^ ^ ganzen^, wie dieGrundsiäche des ersten^ ^ zur Grundfläche des zwcyrcn Beweis. Es sey iVk eine von den Seitenlinien, ^ welche die Seitenflächen Lkl, 8k schneiden; so wird ^ eben diese Linie auch von (D irgendwo in v gefchnik- ) , ten. * ^ Der XVII. Abschnitt. 6rz ken. Wenn nun HD und Hk kommensurable Linien sind und H6 ihr gemeinschaftliches Maaß ist, so trage man H6 auf Hk so vielmahl auf, als es angehet, und man sehe, es werde HD — «HL, und Hk — ,»H6, also HL — ^ Hk und HD — — Hk ge- funden. Durch alle Theilungspuncte in Hk lege man Ebenen mit LD parallel, und eine davon sey 6bl: so wird HL in « Parallelcpipeda, und Hk in »»Parallelepipedaackheilt, wovon jedes—^ ist, (zoy H.) und man erhält HL — «Hkl, Hk — »«Hkl, also Hl I — Hk und HL — HL. Demnach ist HL: Hk-HO: Hk. (16. §.) In dem Fall, wenn HD und Hk inkommensurable Linien sind, kann man Hk in soviel« gleiche Theile, als man will theilcn, und es wird HL — A Hk nie in HD aufgehen, wie grost auch die Zahl -» angenommen wird. Indessen wird D allemal zwischen zweenen Theilungspuncten fallen, und wenn dies der «te, und (»-j- i )te Theilungspunct ist; so wird auch LD zwischen der «ken, und (« -s- i)ken Theilnngö-Ebene fallen. Demnach sind wiederum ähnliche aliquote Theile von Hk und Hk gleichvielmahl in HD und HL enthalten, wie groß auch ru angenommen ist, und die Reste sind je- deömahl kleiner als die gebrauchten Divisoren. Also folgt aus dem i6r §., es sey auch in diesem Fall HL: Hk — HD : Hk. Ferner hat man HD : Hk -- HX: Hk, (2 02 §.) also auch HL: HK — HX: Hk. Die abgeschnittencn Stücke HL, DK verhalten sich demnach ebenfalls wie ihre Grundflächen HX, Ok. Denn vermöge des Beweises ist HL : Hk - HX 624 Der Geometrie zweyterTheil. '54 /Vk : ^VO, und>V8 :O8 — /VI.: OL, also ^vo: 68 --Vk:O8. (i 62 §.) Z-Z §- , Gleich hohe Paraliclcpipcda auf gleichen und ähnlichen Grundflächen sind gleich groß. Beweis. Ucber der Grundfläche 480 O des Parallelepipedi OL stehe noch ein andres Parallele- pipcdum, dessen zweyke Grundfläche O.88.8 mit L868I als der zweyten Grundfläche des ersten in einer Ebene liegt, so sind bcydeParallelepipeda gleich doch. Die erweiterte Ebene der Seitenfläche M schneide die-Ebenen 1)8 und 08 . in und ök, so ist /VI chf 8K. Eben die Ebene 8-O schneidet auch die Ebene 88, und wenn IK daö Stück der Durch- fchnittslinie ist, das zwischen den wo es nöthig ist verlängerten Parallellinien 8(Z,, 8.8 liegt, so ist auch IK chf /V8, und /VIK8 ein Parallelogramm. (295 §.) Die Ebene der Seitenfläche 081 schneide eben so die Ebenen O8 und 08 . in Ob/l und 08 , die Ebene 88 aber in OIvI, und 8^1 sey das Stück der Durch- schnittSlinie zwischen den Parallellinien 8(^, 8.8, so ist auch VK 1 I .0 ein Parallelogramm. Wie nun auch .VOM, LOH, Parallelogramme sind, so hat man auf eben der Grundfläche ein drittes Parallele- pipedum, dessen zweyte Grundfläche KIIK8. ist. Zwo Seitenflächen dieses dritten Parallelepipedi, welches ich das mittlere nennen will, fallen mit zwoen Seitenflächen des einen OL, und die beyden übrigen Seitenflächen des mittler» mit zwoen Seitenflächen des andern 08 in cinerley Ebene: und wenn bewiesen ist, daß das mittlere OK — OL sey, so folgt aus eben dem Beweise, es sey auch OK -- 08 , mithin OL - 08 . klB KOI .«Ti! M i!nz, Zujide »M Di,i L Mljj »co> Daß ^ Der XVII. Abschnitt. 625 i!ül »z -W jj K ch- «ü''^ -cl«' Daß aber das mittlere Parallelepipedum DK — 0 L sey, erheKrtsv: die Körper ^hlOblXI, und LkK06h sind dreyseitige Prismen (zo 2 H.) ihre Grundstachen D11X1 und L 6 H sind gleich und ähn» sich, (60 §.) weil DU — 06, OX 1 — LH, und der Winkel ttvXI - 60X1 - 601. ist. (88 §.) Beyde Prismen stehen zwischen parallelen Ebenen OLHH, und sind also gleich hoch; (299 §.) ihre Seitenflächen und L06L, ^VXIl und LLHK, und L 6 HK sind gegen die Grundflächen unter gleichen Winkeln geneigt: (501 §.) also ist das Prisma XLlOttXI -- LI>K06H. (zoo § ) Man nehme von beyden das drenseitige Prisma HXI60X1 ab, so bleiben gleiche viersiitiae Prismen übrig, nemlich XLkXlvtt60 — KMK 00 X 1 H. Zu jedem dieser gleichen Körper sehe man das dreyseitige Prisma ^VblLOOL hinzu: so hat man gleiche Summen, also das mittlere Parallelepipedum VK- 0 L. Z»4 tz. ^ Grade Parallelcpipeda auf gleichen obgleich) unähnlichen Grundflächen 0D in gleicher Hohe, sind gleich groß. Beweis. Die vier Seitenflächen 0 V, 08, D 6 , 68 , schließen eine prismatische Fläche ein, wozu 06, bX^als Grundflächen gehören (zo 6 H.) diese prismatische Fläche sey über h(^ hinaus erweitert, und Dk — HL genommen, durch? aber eine Ebene mit 06 oder parallel gelegt; so ist die Durch- schnittsfigur k"I den Grundflächen L(), 06 gleich und ähnlich, (Z 04 §.) und HXV ein Parallelepipedum, wovon die Seitenfläche LL18 der Seitenfläche HL des Parallelepipedi gleich und ähn- Rarst. Machem.Th.l. Rr lich »55 626 Der Geometrie zweyter Theil. ltch ist. Denn beyde sind Rechtecke, und es ist TT ^ -- Tk, TT - KI'. Auch die vier Seitenflächen T< 2 , TT, T(Z, TT, des Parallelcpipedi TW schliessen eine prismatische Fläche ein, wozu TT, VW als Grundflächen ge- W^' hören. Diese prismatische Flache sey über Ti hin. KM! aus erweitert, so kann man sie diesseits TT mit W-B einer Ebene schneiden, die den Grundflächen LI' VW parallel liegt; alsdenn ist die Durchschnitts« M figur VI/M den Grundflächen TI, VW gleich ;i;tz und ähnlich, und man erhält das dritte Parallele- iHg pipedum KU, dessen Grundfläche T'T der Seitenfläche T? des Parallelcpipedi /IT gleich und ähnlich ^ ist. Wird »umdiese Seitenfläche T? für die Grund- fläche des Parallelcpipedi /IT angenommen, so ist ^ ihre Entfernung von der gegen überstehenden Sei- 'A tensiache die dazu gehörige Höhe. Die Ebene ^ TITLX 1 sey von der Grundfläche T8TT eben so weit entfernt; so ist das Ppp. VT — Ppp. ^T; (g i z H.) ^ auch ist die Seitenfläche VT — /rL, weil TT —T6 ^ war, und beyde Parallelogramme gleich hoch sind. (104 §.) Ueberdem ist /ek — Lv angenommen, ,jch, also hat man vT — Lv. ^ ^ Vermöge des g 12 H. hat man ferner Ppp. L(Z.: Ppp. TW -- Lv : TT; Ppp. TW : Ppp. VT^ TT: VT, also Ppp. G(^: Ppp. VT ^Lv: VT; (162 §.) und weil Lv — VT ist, so ist am!) Ppp. ^ tÜH — Ppp. VT. Es war aber Ppp. VT — Ppp. ^ also auch Ppp. Ppp. ^.T. ^ Z'5 ^ ^ Jede zwey Parallelepipeda auf gleichen, ' ^ obgleich unähnlichen, Grundflächen in glci- chen Höhen sind gleich groß. . ^ Beweis. Der XVII. Abschnitt- 627 Beweis. Wenn beyde grade sind; so ist der Satz in, vor. §. erwiesen. Ist eins schief; so setze man ans eben der Grundfläche ein grades in gleicher Höhe: dies ist dem schiefen, (ziz §.) und dem an« dem graben, (514 §.) folglich auch dies letzte dem schiefen gleich. Sind beyde schief; so setze man auf eines jeden Grundfläche ein grades in eben der Höhe r so sind beyde grade Parallelepipeda gleich, (z 14 H.) auch ist jedes grade dem zugehörigen schiefen gleich, (z 1 z §.) also sind auch beyde schiefe Parallelepipeda gleich groß. z l 6 H. Die Diagsnalfläche ^?( 7 D rdeilr jedes Pa* rallelepipcdum M in zwey gleich grosse drey-> sticige Prismen. Beweis. Man halbire die Diagonallinie 1 z 6 KL, beyder Grundflächen in 1 -l und ll, so ist L? mit lliZ. den Seitenlinien und Seitenflächen des Parallelepi» pedi parallel, und man kann durch Lll ein Paar Ebenen 0(ch, bl?, mit den Seitenflächen des Pa- rallelepipedi parallel legen. Diese thcilen es in vier gleich grosse Parallelepipeda blO, 0?, r!d, LO, und die, beyden ersten werden wiederum durch die Diagonalfläche in zwey dreyseitige Prismen getheilt. Mit diesen beyden Parallelepipeden bl0, ()?, gehe man eben so, wie mit dem ersten um, so erhält man abermahl in jedem von ihnen vier gleich grosse Parallelepipeda, wovon ihrer zwey llll, !ll, und ll v>, aufs neue durch dieselbe Diagonalfläche in zwey dreyseitige Prismen getheilt werden. Von den übrigen Parallelepipedis, durch welche die Diagonalfläche nicht durchgehet, ist die eine Hälfte im Prisma ^K 0 LI) 8 , die andre Halste in, Prisma Rr a beschrie- 628 Der Geometrie zweyter Theil. beschrieben. Iedeömahl, wenn man alle Parallele- ^^ pipeda, durch welche die Diagonalflache durch. ^ gehet, und welche ich die Mittlern nennen will, eben ^ so wie das erste theilt, geht von ihrer Summe die Hälfte ab: also kann die Summe dieser Mittlern Pa- ^ rallelpipeden kleiner werden, als jeder gegebene geo- ^ metrische Körper. (12 8 §. Rechenk.) ^ Es sey das Prisma AL 6 ( 7 I )8 — st, das andre, ALstlLOL. — p, die Summe der in jedem dieser , Prismen beschriebenen Parallelepipeden — 8, die 2 Summe der Mittlern — e, das ganze Parallelepipe- ^ dum 6L.— 17 , so ist II—28-st/—st-st/?. Ware nunst>/?, so sey st —/? — < 7 . Man setze die Thei- ^ lung der Mittlern Parallelepipeden auf die beschriebe- ne Art so lange fort, bis / < -7 ist. Alödenn hat sÄn man 28 -st /< 28 -st « 7 , also st -st /? < 28 -st ch weil aber k — p -st «l gesetzt ist, so giebt das 2/? -st ?7 < 28 -st < 7 . Demnach wäre/?< 8, welches nicht seyn kann. Hätte man /> > st, und /> — st -st <7 gesetzt, so wäre ? -st — 2? -st ^ 7 , und es müste 2k -st ^7 < isi, h 28 -st«?, mithin? < 8seyn, welches eben sowenig mil bestehen kann. llb, Können aber beyde Prismenst und /? nicht un- M gleich groß seyn, so ist nothwendig st — /?. ^ j Zi? §. kch Jedes dreyseirige Prisma ^ ist die Hälfte eines Parallelepipedi, das mit § dcinselben eine gleiche Höhe und eine doppele k-n l so grosse Grundfläche har. ^, "Beweis. Durch die Seitenlinien AL, Lv, lege man Ebenen M, LL., mit den Seitenflächen ^ ^OO, 6/X, parallel, welche die Ebenen der Grundflä- chen in AK, st)L., Lb 7 , Lstl, schneiden: so erhält -§> man ' Der XVII. Abschnitt. 6-s man ein Parallelepipedum 6K — v — 2?, (zr6 §.) dessen Grundfläche /166H doppelt so groß, als des Prisma k Grundfläche 866. Aber jedes andre Parallelepipedum 6., dessen Höhe eben so groß, und dessen Grundfläche — ^66v ist, hat eben die Grösse: demnach ist auch 2?, oder?--: 4 H. . Also sind dreyseitige Prismen gleich groß, wen» sie gleiche Grundflächen und Höhen haben. zi8 §. Zwey Parallelepipeda ^ und von glei- »57 chen Höhen verhalten sich wie ihre Grund- x;». flächen Z und 5 . Beweis. Man nehme zuerst ein Paar rechtwinklichte Parallelepipeda ^6, und!)?, deren Grundflächen ^6 und DK, ihre gleich grossen Höhen 86 und h? sind. Man verlängere die eine Seitenlinie A6 der Grundfläche A 8 nach H, und setze an 66 ein Rechteck 86ID, welches so groß ist, als OK. (206 §.) Weil nun Hl mit 66 und pvrallel ist, (281 §.) so lege man durch ID eine Ebene Hk mit 66 parallel, welche die Seitenflächen in Uh, 8l§inlk, und die Ebene der Grundfläche IVldl zwischen den Parallelen 0 !vl, 6K, in KV stl-nei- det: so erhält man ein Parallelepipedum 6K — VH. Es ist aber Ppp. ^6: Ppp. 6 K—^ 6 : 61 , (321 §.) also auch Ppp. ^6 : Ppp. Vk — A 8 : VH. Statt jeder zweyer andern Parallelepipeden?, 51, deren Grundflächen 8 , />, sind, und deren gleiche Höhe A ist, kann man ein Paar rechtwinklichte ^6, VH verzeichnen, deren Höhe 66 --- hh — und wovon des einen Grundfläche A8 8 , des andern Grundfläche Oh — L ist: (zr; §.) sodann ist 1^6 - und VH —/i. Folglich auch ? : /i - 8 : L. Rr z Dem- 6ZO Dev Geometrie zweytev Theil. Demnach verhalten sich auch drcyseitige Prismen wie ihre Grundflächen, wenn ihre Höhen gleich sind. (zi6 §.) Auch ist jedes drenseitige Prisma einem Parüllele- pipcdo gleich, das mit demselben eine gleiche Grundfläche und Höhe hat. Zig §. rkv ^Jedcs vielseitige pristna verhält kis. zuin dreyscirigen voir gleicher O" Höhe wie des crjtcrir Grundfläche zur Grund- ^ fläche des letzter«. Nrwi Beweis. N'an thcile die Grundflächen i^LLDL!, j!«ch V6LIIX durch gleichnahmige Diagonallinicn?^L und S> kbl, AI) undLI, u. s. f. in Dreyecke; so sind jede zwo gleichnahmige Diagonallinien einander parallel, Wk»« (97 ^.) und die Diagonalflächen ALHL, AÜlL u. s. f. «ml theilcn das ganze Prisma in so viel drenseitige von just! eben der Hohe, rn so viel Dreyecke die Grundflächen tzmi! gethcilt sind. Nun sehe man der Kürze wegen das zieh, dreyseikige Prisma IAIdiOI'(H— 77, si-ine Grund- Litzl fläche I.AIX — /Z. Man setze ferner die Dreyecke lcks. ALL — a, ALI) — AI)I^ — c, und bezeichne lnsl die zu diesen Grundflächen gehörigen Prismen mit DI- k, L, so hat man aus dem z 18 H. L : 77 — « :A, (Z. 77 — L : /Z, It. : 77 — r : /Z, u. s. f. Also d v L.:?? — a-j-/--l-r:/Z,(i7i §.) oder ^ r Pr.NM : Pr. 77 ^ ALLM: A. Demnach ist ein vielseitiges Prisma einem drei)- H seitigen gleich, das mit ihm gleiche Grundfläche und ^ ^ Höhe hat: und eben deswegen sind alle Prismen, jtz,, die gleiche Grundflächen und Höhen haben, ^ gleich groß. Auch verhalten sich überhaupt z» ein Der XVII. Abschnitt. 6zr ein paar Prismen wie ihre Grundflächen, wenn die Höhen gleich sind, (za 8 H>) Z20 §. Zwey Prismen verhalten sich wie ihre Höhen, wenn die Grundflächen gleich sind. Beweis. Man vergleiche zuerst ein Paar rechk- winklichteParallelcpipeda AL, OL, die auf gleichen und ähnlichen Grundflächen Ab, OL, stehen so, daß AO — Oll, und 68 — OL sey. Die Höhe des ersten sey LL, die Höhe des andern LL. Nimmt man nun die Seitenflächen OL und OL als die, Grundflächen an; so sind die Höhen AO und OO gleich, und man hat Ppp. AL : Ppp. OL — OL :LO. (z,9§.) Esistai)cr6L:LO^8L:LL: (20z §.) also Ppp. AL : Ppp. OL — 8L :LL. Wenn nun übnhanpt ein Prisma L die Höhe A, ein andres /a die Höhe a hat, und beyder Grundflächen gleich sind: so kann man allemahl ei» Paargleiche und ähnliche Rechtecke A8, OL zeichnen, die so groß, als jene Grundstäcken sind. (216. 206 tz ) Seht man nun auf Ab ein rcchtwinklichteS Paral- lelsp. AL in der Höste KL — A, uns OL ein andres OL in der Höhe LL — n: so ist AL — L, und OL —7a, ( z 19. H.) folglich auch L: 7? — A: a. Z2l §. Das Verhältnis zwcyer Prismen ist aus den Verhältnissen ihrer Grundflächen und Höhen zusammengesetzt. Beweis. Des einen Prisma L Grundfläche sey k, und Höhe A, des andern 71 Grundfläche ä, und Höhe a: so kann man mit beyden ein drittes Prisma 77 vergleichen dessen Grundfläche ä, und Höhe Aist. Nun hat man Rr» r:-- 6Z2 Der Geometrie zweyter Theil. - 7 ? : /) — : a (^20 §.) Als-ist r:- -- d^)(2>s§.R-ch.) Hat man statt ? und /, ein paar Würfel L, e und ist h des ersten, /des zweyten Seitenlinie: so ist des ersten Höhe h,, des zweyten /. Also hat man L: c— /S- 5 > Vl. : //' Aber und L sind Quadrate, und h, / ihre Seitenlinien: also istL : L — (ro; §.) folglich wird lü: e — oder das Verhaltniß zweener Würfel ist dreymahl so groß, als das Ver« hältniß ihrer Seiten (rario lrixlicats laterum.) Z22 §. Weil ^^ 0 —(220 §. R.) so ist auch l':^ — oder zwei) Prismen verhalten siel) wie die Products aus ihren Grundflächen und Höhen. Dafern nun F: ö — a : -V ist, so hat man I — L x «. (176 H. Rech.) Wenn also die Grundflächen sich umgekehrt, wie die Höhen verhalten; so sind die Prismen gleich. Auch umgekehrt: wenn zwen Prismen gleich sind; so verhalten sich die Grundflächen umgekehrt, wie die Höhen. Z2Z §. Den körperlichen Inhalt eines Prisma ausrurechncn, wenn der Inhalt der Grundfläche ^ im (Ouadrarmaaß, und die Höhe ^ i?" sl-S« Ln'. A, WlR Wkstst KKi Ässd wß, xl UN Der XVIl. Abschnitt. 6zz im Längenmaaß, das mit jenem Guadrac-- maaß cinerlcy Nabmcn hac, gegeben sind. Ausl. Man muß einen andern Körper von bekannter Grösse für das Maaß annehmen, und prüfen, wie vielmahl derselbe entweder ganz, oder ein aliquoter Theil von ihm, in dem Prisma e enchal- ken sey. Hiezu erwählet man einen Würfel 0, dessen Seite b, so lang ist, als eines von de» im nz §. erklärten Maassen, z.E. ein Fuß, eine Ruthe, u.s. f. Der Würfel L erhalt den Nahmen von diesem Län- genmaasse, dem die Seite desselben gleich genommen wird: er Heist eine Lubrc-Ruche, einCubic- Fuß, Cubic-Zoll, u. s. f. nachdem seine Seite eine Ruthe, einen Fuß einen Zoll lang ist, u. s. f. Wenn nun die Grundfläche des Prisma in Zahlen nach einem solchen Quadratmaaß gegeben ist, das mit dem Längenmaaß, dem die Seite des Würfels gleich ist, cinerlcy Nahmen hat; so ist des Würfels Grundfläche — i ^ im O.nadratmaaß von eben dem Nahmen, und 0: k — : 6 x (Z 22 §.) Also ist der Würfel 0 im Prisma ? so vielmahl enthalten, als Eins in dem Product 8 x enthalten ist, und man findet den körperlichen Inhalt deS Prisma im Cubicmaaß, das mit dem Quodrat- maaß, wodurch der Inhalt der Grundfläche ausgedrückt ist, einerley Nahmen hat, wenn man den Inhalt der Grundfläche mit einer Zahl multiplicirt, welche die Höhe des Prisma im Längenmaaß von eben dem Nahmen auödrückt. Rr 5 Es 6z4 Der Geometrie zweyter Theil. - Es scy 8 — 582, Z74 Q. R. —— 6, 25z R. 1747122 2911870 1164748 3494244_ so wird k — z64i,584622 Cub. R. 324 §. Die Würfel selbst sind Prismen, und wenn eines Würfels Seite durch die Zahl x ausgedrückt: ist so ist seine Grundfläche — X. X, (220 §.) seine Höhe — x, also sein Inhalt — XXX — X^. wcnu man demnach ein Product drcycr Facroreu macht, wovon jeder die Länge der nach einem bekannten Längenmaaß gemessenen Gelte des Würfels ausdrückt: so ergiebc dies producr, wie vieimal ein Würfel, dessen Seite fs lang, als das gebrauchte Langenmaaß ist, in dein gegebenen enthalten fey. Dies ist der Ursprung des Namens einerCubic-Zahl (180 h. Rcchenk.) Ist umgekehrt die körperliche Grösse eines Würfels im Cubicmaaß gegeben; so wird die Seitenlinie des Würfels im Langenmaaß, das mit jenem Cubicmaaß einerlei) Nahmen hat, durch Auöziehung der Cubicwurzcl aus der gegebenen Zahl gefunden. Eins Cubic-.Ruthe enthalt also 1000 Cubic- Fuß, ein Cubic-Fuß 1000 Cubic-Zoll, ein Cubic- Zoll l Ovo Cubic-Linien, eine Cubiclinie 1000 Cu- bic-Scrupcl, wenn be»m Langenmaasse die Deci- mal-Abkheilung ist gebraucht worden. Hiedurch werden zugleich die Nahmen solcher Decimaltheile bestimmt, die an einer Zahl hängen, welche den Inhalt ß-h!« D !S^i< II» gk> iff, Äicc KÄ ülchk '»Ciii Lk« chiii 'Äue 1 ie> ! hi Der XVII. Abschnitt. 6zz Inhalt eines Körpers ausdrückt. Im vorigen §. fand man das Parallelcpipedum? —5641,584622 Cub. R. und den anhangenden Dccimalbruch bringt man dem 1 56 §. dcrRechcnk. gemäß, leicht auf Cu- bicfüsse und kleinere Theile des Cubicmajses. Es sind ncmlich 0,584622 Cub. R. — 0^584622 ^ ivoo Cub. Fuß — 584,622 Cub. Fuß, und0,622, Cub. F. — 0,622 x 1000 Cub. Zoll — 622 C. Z. Also ist ? — 5641 C. R.584 C.F.622 C. Z.grcß. Demnach kann manjcdeömahl die an einei Zahl von dieser Art hängende Dreimal-Zahl von der Linken gegen die Rechte in Clafscn so eintheilen, daß jede Classe z Ziffern bekommt, da man denn in der letzten eine oder zwo Nullen zusttzt, wenn unreine oder zwo Ziffern in dieselbe kämen. Nun werden diese Classen Cubic-Fuße, Cnbic-Zolle, Cubic-Linien u. s. f. nach einander bedeuten, wenn die Einheit eine Cubic-Ruthe ist: auch sicht man leicht, wie sich dies ändre, wenn die Einheit ein Cubic-Fuß, ein Cubic-Zoll, u. s. f. ist. Z25 §. Nach dem Duodeeimal-Maaß halt eine Cubic- Ruthe 1728 Cubic-Fnß, ein Cubic-Fnß 1728 Cubic-Zoll, ein Cubiczoll 1728 Cubiclinien, und in der Cubiclinie sind 1728 Cubic-Scrupel enthalten: also kann man leicht Decimal-Cubic-Maaß auf Duodecimal-Cubic-Maaß, und umgekehrt, dieses auf jenes bringen, wenn man folgende Sätze als Aeducrions-Gätze merket. Bey einerlei) Ruthenmaaß sind 1000 Dec. C. Fuß — 1728 Duod. C. Fuß: bey einerlei) Fußmaaß sind ' r ovo Dec. C. Zoll —1728 Duod., C. Zoll. 6z6 Der Geometrie zweyter Theil. Es sey die Frage: 584 Cubicfuß 6 rr Cubiczoll De- ^ cimalmaaß, wieviel sind es Duodecimal Cubicfuß und kleinere Duodecimal - Cubictheile von solchen Cubicfüssen: so ist der Ansatz ^ loooDec.C.F_,7-8Duod.C.F—;8qC. F.SrrC.Z.Dec.M.? ' X I OOO X 1222 ,220222 Cub. Zoll. 184622 Dec.E.F.Z. 1728 4676976 ,169244 H'-i 4092,14 584622 ? >2ioj2268>6 , , ,002200) " toioL.F. zyiC.Z. ^ ^ 1 ,^2i C. Lin. 2?4 L> , 8 > 4 i 28 «tz 4 i; 6 zr dkkL >; 877 lr »26816 ^lki IS«!s; 8 D 48 7222222 ) 9Z8048 AlM ich. ,72» 7 ;c> 4 Z 84 ,876096 ibmk 6z66z;6 y; 8;48 chej! 1621I>46944 M//' ,222222) - ,46944 ,728 IWk i>W, li?;;;» 29,888 r>»i ,228608 ,46944 ' !>s»>i 2 ,;i 9 > 92 zr ILVLLOO) Der XVH. Abschnitt. 657 > Wird umgekehrt gefragt: 597 Cub. Fuß 9,8 Cub. Zoll Duodec. Maaß wieviel stnds Cub. Fuß Dreimal-Maaß? so ist der Ansah dieser: >728 1728 Duod.C.F.—- ivsvDec.C.F. — ;v7 C. ff. s>8C. Z. Duvd.M.? >Z8r-» I55!r 4456 8S40 lrop6 pi 8 , »o; r;;4 Duvd. Cub. Z. 2SSrS»4 x >oco ^ ioz2;;4ocx>I ;45,7!-Z547422 2S8;v84) lDec. Lub.Fuß. Auster diesen Reductionen des Dreimal - und Duodecimal-CubicmaasteS, wobey einerlei) Langen- maaß zum Gninde liegt, macht die Verschiedenheit des an verschiedenen Orten gebräuchlichen Längen- maasses zuweilen die Reduction solcher Zahlen, welche die Größe eines Körpers im Cubicmaaß angeben, auf ein Cubicmaaß eines andern Nahmens nothwen- dig. Man muß von den Zahlen, welche dieVer- gleichungStafel der Fußmaafse im 254 H. der Rechenkunst angiebt, die Cubiczahlen machen, um solche zu erhalten, welche das Verhältnis der Cubic- maaste für die dabey angezeigten Oerter angeben: und wenn man den Reductionösah für zwey solche Cubic- maasse haben will; so cubirt man die Zahlen im Re- ductionssaß für die Längenmaaste. Sind 144 Lond. Fuß — rz; Paris. Fuß; so sind 144^ Lond. Cub.F.— izz' Paris. Cub. F. Die Reductionörechnungen selbst werden durch den Gebrauch der Logarithmen sehr erleichtert, wie in dem nachstehenden Exempel. » 44 * 6z8 Der Geometrie zweyker Theii. 144' Lond. §. F.— rZ 5' Paris. C. F. - 417 V44—2,1585625 /izz ^2,1 5 L.C.F.? ZZZ8 Bül ll 44 s-- 6 ,4752875 055^ — 6,5910214 /4I7 — 2,6221562 .— , 9 ,ornz 74 /i 44 ' — 6,4752875 Log. der gesuchten Zahl — 2,5560499 und diese ist— 545,597Z9r Paris.Cub. Fuß. 526 §. r ^2 lVenu eiiie Edene die Pyramide kis. mir der Grundfläche parallel schneidet: so ist die Durchschnitts-Figur 0/7/766 der Grund- Fläche äkniich, und oie FlächemRäume dey- der Figuren verhalten sich wie die (Quadrate ihrer Entsernungen von der Spitze der Pyramide. Beweis. Die Durchschnitts-Figur hat so viel Seiten-Linien als die Grundfläche, weil durch jede Seitenlinie der Grundfläche eine Seitenfläche geht, deren Durchschnitt mit der schneidenden Ebene eine Seitenlinie der Durchschnitts-Figur wird, lieber- dem ist jeder Winkel in der Durchschnitts-Figur so groß, als der ihm zugehörige Winkel in der Grundfläche, dessen Spitze ncmlich mit jenes Spitze in ei- ner Seitenlinie der Pyramide liegt. Denn es ist 66 mit Och, und 60 mit Ochl parallel, (295 H.) also 1-60 - chM. (282 §.") Auf ähnliche Art erhellet, daß auch 60 V - 6ttl, 0V6 - »116 sey, u. s. f. Ferner sind die gleichnahmigen Seiten bcyder Figuren einander proportional. Es ist nemljch 6? : 06 --- ^6 : /VO, und 60 : Ölst --/^8 ich«' AM !k», i mck MÄ HLr, Wp W Fi», Lch Der XVII. Abschnitt. 6Z9 Z l)!s- Kr M iss!« A ki E '.«d izk"^! >L^ -- 7^6 : ^O, (-82 §.) also auch 88:68 ^ 80 :68l. ?l»s einem ähnlichen Grunde folgt, daß auch 80 : 6D - 08 ): D! ^ 1)8 : IX sey, u. s. ft Also ist 808 ) 88 : 6DIX8 -88?: 68? .(210 §.) ! Es sey t^Xl eine lothrechte Linie von /V auf die Grundfläche, welche die Durchschnitts-Figur in XI trist: so ist auch 7VXI auf der Durchschnitts-Fi^ur senkrecht, und die Linien LXl, 6 X 1 sind parallel, (295 H.) mithin ist 7 ^X 1 : 7XXI — 7^8 : 7 V 6 , (182 §.) ^ LI" : 68. Demnach ist ferner 7 ^X 1 ? : ^Xls — L8s : 60 ?, folglich 808)88 : 6811 X 8 - 7 ^Ns : 7 ^X 1 ?. Z27 §. Jede dreyseirige Pyramide ^OO last stch in zwey pristncn und zwo Pyramiden eimhei- lcn, wovon die beyden Prismen zusammen mehr als die Hälfte der ganzen Pyramide de- i tragen. Beweis. Man kheile zuerst die drcy Seiten-Lft nien 7 ^ 8 , )X 0 , 7 X 8 ) bey 8, 8, 6 in zweene gleiche Theile; so schneidet die Ebene 886 eine Pyramide 7X886 ab. Alödenn ist 88 mit 80 , mit 86 mit 08 ) parallel, (176 H.) also ist die Ebene 886 mit KOI) parallel, (296 §.) und 886 c« 808 ). (za6 §.) Man theile ferner 80 , 08 ), 88) bey II, I, X in zweene gleiche Theile, und ziehe 888 81 l, 8!: so wird 88101 die zwote Pyramide, und ihre Grundfläche DOI ist der Grundfläche 886 der ersten Pyramide gleich und ähnlich. Denn es ist 81 mit 7 X 8 ) parallel, und 86 mic 1)1, also auch 1)1 — 86 — 08 Ili berdcm sind die Winkel DO! — 886, und 8 l !0 — 88)0 — 868: also passen die Dreyecke 8 ! 0 I und 886 auf einander. Ferner sind die Seitenflächen 7X86, 8D1, eben so 7 X 88 , 8 U 0 , und 7X86,. i 6 s 8iz. 640 Der Geometrie zweyter Theil. k(I, gegen die Grundflächen W6, Lttl, unter E gleichen Winkeln geneigt: (zo i §.) also sind beyde ^ Pyramiden AW6, und I'IäLI gleich groß, (z e i H.) Man ziehe noch 6X und klk, so sin! 6K und kkk ^ mit L6 parallel: (176 §.) also ist ein ^ Prisma, (goz §.) Ueberdem sind HO und mit Ol parallel, (176 §.) und die Ebene HOI ist mit 6IM parallel; also auch HOI6XO ein Prisma, (^oz §.) dessen Grundflächen die Dreyecke HOI, OIx.O sind. Man verzeichne die Parallelepipeda ^ Oh, lOVl, wie im: zr? §. so liegt HOll -14 in der ^ Ebene WO, und die Parallelepipeda Ost, sind gleich hoch. Ferner ist OXOI — 2MX (105 ^ ^ also sind auch ihre Grundflächen, und ^ dieserwegen beyde Parallelepipeda Oh, K^l, folglich «d ^ ihre Hälften, die Prismen HH6LOK, HOI6KV «t > gleich groß. M Nun zieht man HO und M: so erhellet leicht, Ä-'el" baß die Pyramide LllOK — ^WO mithin auch WM - HOOl sey. (ZU §.) Weil ferner Ä- LHOLOX >WOK; so ist auch HOI6KO > -M HOOI. Demnach betragen beyde Prismen zusam- > men mehr, als beyde Pyramiden zusammen, oder E.! beyde Prismen zusammen sind grösser, als die Hälfte Ä,gl der ganzen Pyramide ^LLO. Di 328 §. -N Man kann jede der Pyramiden >^W6, und hOOl eben so wieder eintheilen, wie vorhin die ganze U« Pyramide /rLEO eingetheilt ward, und es auf solc!)e Art dahin bringen, daß die Summe ^ aller Prismen, die man in der Pyramide LLD hervorbringr, grösser wird, als jeder Rörr ^ per, der kleiner ist, als die Pyramide Es ^ IM, N, «i ich ÜI, °rjj l!H cno ch « !)> I/dl! di!^ dk§^ Der XVII. Abschnitt. 641, Es sey nemlich L ein solcher Körper, und seine Differenz von der Pyramide ALLO sey O: so ist 7 . st-Ö ^ -XLLO. Wenn nun 8 die Summe der Prismen ist, und L ihr Unterschied von der Pyramide ALLO: so ist auch 8 st- F — -XLLO, und 8 st- F — 7 st- O. )lber bey jeder neuen Einthcilung geht ^ von F mehr, als die Halste ab, demnach muß ein- mahl F < O werden, und in diesem Fall ist 8 > L. ! Z29 §. ! Es sei) aür^ eine andre dreyseitige Pyramide i6r über der Grundfläche die eben so hoch ist, als die Pyramide -XLEO. ( ,6o Fig.) Wenn man diese eben so wie -XLLO in zwey Prismen und zwo Pyramiden a^/A,//^rr, theilt; so sind die Ebenen e/A, /,r^, und L!'6, LEO gleich weit von einander entfernt, und die Prismen Lb'6LOX, gleich hoch, denn ein Paar joth- rechke Linien aus -X und a aus LEO und Lrri werden von den Ebenen LL6, in dem Verhältniß -XL ! : Lk — ae: e/- getheilt, wie sogleich aus dem zoo H. erhellet, wenn man sich noch durch /X und a ein Paar mit den Grundflächen parallele Ebenen vorstellt. Demnach sind auch-XLLO, «e/A, und LOLI gleich hohe Pyramiden. Ferner ist LEO — 48M und Lee/ — stöU, (209 H.) also LIIL: ö/rä LEO : Aber LL6LOX: - LOL : 19 K.) also LLOLOL: e/§S/-L- LEO: Sech Man sehe Kürze halber das erste dieser Prismen — k das zweyte so ist auch 2k: 2/? — LEO : ürch oder die Summe der ersten benden Prismen in -XLLO verhalt sich zur Summe der ersten durch eben die Theilung entstandenen Prismen in abcal, wie LEO: Lcri. Rarst. Machen,.!. Th. SS Theilt 1 64s Der Geometrie zweyter Theil. Tbcilt man die gleich hohen Pyramiden und eben so ein: so erhellet, daß auch beyde Prismen in ALkO zu beyden Pribue» in a^/A sich verhalten, wie LkO: ^LLl) : örch und dies gilt auch von den Prismen, die man durch eben die Eintheilung in den gleich hoh-n Pyramiden kblLl und //-er hcrvorbringt. 2irso verhalten sich noch alle sechs Prismen in /XLED zu den ähnlichen sechs Prismen in aörch wie LED zu örLl. Man sieht leicht, daß dies Verhältnis; zwischen den Heyden Summen der Prismen in beyden Figuren allcmahl bleibe, wie oft auch die Eintheilung ist wiederholt worden. r>) KV, ßD I» ZZO H. i6o Zwo dreiseitige Pyramiden ^2(7O, aLech i6r die gleich hoch sind, verhalten sich wie ihre x, Grundsiächeir öcch W kcv Beweis. Man sehe —nLeri — L, so kann 2 weder kleiner noch grösser als ^LED scyn. i.) Es sey L < ^6LI), so kann man A8EO nach dem za8§.in sovicle Prismen und Pyramiden theilen, daß die Summe der Prismen 8 > 2 wird. Dies sey geschehen, die Pyramide aör-i sey eben so getheilt, und die Summe der Prismen i» dieser Py- «cv , , i;c» . ramide — so ist 8 > -. Eri, und -. -!° AI El -'lick, aörri > IlEO Lcv also wäre 8 > gegen den z 29 H. LEI) 8 oder — § r.) Es ch, »dil 'lllll ^w» lx,M Der XVII. Abschnitt. 64z Iktzk ^00 ^ , 2.) Es sey L > ^LLI), so ist -. näral > s /^LLO, folglich ^^7^ . /rkLD < Nun ^ theile mau die Pyramide aLeal dem Z28 §. gemäß ^ in soviele Prismen und Pyramiden, daß die Summe der Prismen / > —— . /^KLO wird; zugleich 6L1) theile man ^VLLO eben so ein, und die Summe der Prismen in ^LGO sey — 8. Ist dies geschehen, . , ^ öral L^v ' ^ . ,. . ^ örr/ mithin wäre-7->wiederum dem Z29 §. 8 LLÜ ^ Kn» W >rA ^idi»» 1 entgegen. 80D Demnach ist 2, — ^.KLO, oder —-. aäral-- üc« ^KLI), folglich KLD : äral — -^KLl) : ?ilso sind drei'seiklge Pnramiden gleich groß, wenn ihre Grundflächen und Höhen gleich sind. §. ZZl Eine vielseitige Pyramide ver- bälr frck zur dreyfemgen 6//^ von gieicl)er Höhe, wie der ersten Grundfläche zur Grundfläche der zweyten ////ö. Beweis. Man theile die Grundfläche KLOL? durch Diaaonallinien KO, KL u. s. f. in Drcyecke: so sind /rLGO, ^LOL, /rLLL ebenfalls dreysci- tige Pyramiden von eben der Höhe. Diese bezeichne man der Kürze wegen mit ?, (H, kt und ihre Grundflächen mit a, ö, c; überdem sey —77, die Ss 2 Grundig v 4 644 Der Geometrie zweyter Theil. l6g 1'. ,i-s M 3» Grundfläche HI 8 — /Z: so ist 8 :77 — a : /Z, L : /Z, 8:77 - c: /Z u. s. f. ( zzo §.) Folglich r 4- 6 4 k.: 77 — a -l- ö 4 c: /Z, (170 §.) oder /^808>88: 6 NIK - 80D88 : »18. Es erhellet leicht, daß der Beweis einerlei) bleibe, die Pyramide ^808)88 mag so viel Seitenflächen haben, als sie wolle. Jede vielseitige Pyramide ist also einer dreysei- tigen gleich, die mit ihr eine gleiche Grundfläche und Höhe hat; und hieraus folgt, daß alle Pyramiden !iN>° gleichgroß sind, die gleiche Grundflächen und hen haben. Auch ist das Verhältnis; gleich hoher M Pyramiden dem Verhältniß ihrer Grundflächen-är gleich. V,' zgi §. ^edes Prisma ist dreymabl so groß als/W eine Pyramide, die mir demselben eine gleiches Grunds lacbe und Höbe bat. Beweis. Es fty /^808)88 ein grades drey- ^ seitigeS Prisma, dessen Grundflächen ^80 und ^ 8)88 sind. In 'der Seitenfläche /V 888 ) ziehe man^/' die Diaqonallinie 88 ), und in der SeitenflächeV IO 8 O die Diagonallinie LI): so schneidet dis^ Ebene 808) vom Prisma eine Pyramide ^808)^- ab, die mit dem Prisma eben die Grundfläche ^60,'^ und Höhe ^1) hat. Man zieht auch in der Sei-?-^> tenfläche 8088 die Diagonallinie 08: so schneidet 6 > die Ebene 008 noch eine Pyramide 08)88 ab, die^hs mit dem Prisma einerley Grundfläche 8>88-^I80/A und Höhe 08 - ?e8> hat. Also ist I808) 08)88. (ggo §.) Das noch übrige Stück 888)0>»d ist gleichfalls eine dreyseitige Pyramide, deren ldkg Grundfläche 888) ^ ^80 ist. Weil nun ^80^, auch i , Der XVII. Abschnitt. 645 - !W Me auch eine Grundfläche der Pyramide -^KOV ist (ZIO §.) und der beyden letztgenannten Pyramiden ILOL, und KLOO Spitzen in L zusammen, ihre Grundflächen aber in einer Ebene fallen; so haben sie gleiche Höhen. Demnach ist ^LLO — KLOO, ! folglich auch LOLK — KLOO, und das Prisma ILLOLK ^ z Pyr. ^KLV. Ist nun eines jeden andern Prisma k Grundfläche L, und Höhe und hak eine Pyramide n eine eben so grosse Grundfläche und Höhe; so kann man ei» Dreyeck ^LO — k verzeichnen, und ein drey- seitiges graves Prisma /^LLOLK in der Höhe >^O — darauf sehen. Zieht man hiernächst KO und OO, so ist/XKLO —(zzo ^.) und z^kOO ! — Da nun -^KLOLK — z^LOO ist, so ist /VLOOL? - Z7-: aber auch k - ^LLOL? (zi<- Z.) also ? — z?r. Mil! indnv- Fi? iE zzz §. Diesemnach verhalten sich zwo Pyramiden wie die Prismen, so mit ihnen gleiche Grundflächen und Höhen haben, und ihr Verhältniß ist aus dem Vcr- halcniß der Grundflächen und Höhen zusammengesetzt. Wenn demnach die Grundflächen zwocc Pyramiden gleich sind; so verhalten sie sich wie die Höhen. Steht eine Peramide auf der Grundfläche k in der Höhe so ist eine andre Pyramide auf eben der Grundfläche in der Höhe z/X dreymahl so groß, und eben so groß ist ein Prisma auf der Grundfläche k in der Höhe -X: also ist ein Prisma einer Pyramide gleich, die eine eben so grosse Grundfläche, und eine dreymahl so grosse Höhe hat. S 6 z Haben 646 Der Geometrie zweyker Theil. - Haben zwo Pyramiden k und 77 dre Grundflächen 8, /Z/ und Höhen «; so ist auch ? : 77 — x 8 ^ : « X /Z. (322 H.) Sind also die Pyramiden gleich, so sind die Grundflächen den Höhen umgekehrt proportional; umgekehrt: wennll :/3 — «: ist; so folgt daraus 8 — 2t. Den Inhalt einer Pyramide 77 auszurech- k / nen, wenn der Guadrar-Inhalt ihrer Grund- ^ flache L nebst der Höhe ^ gegeben ist. ^ 2 lust. Ein Prisma l' auf eben der Grundfläche in gleicher Höhe wäre — 8 x (32z §.) und es W il ist 77 — 4 k, (332 §.) also wird 77 — 4.8 x Am! oder der dritte Theil des Products aus der Grundflä- l che in die Höhe, giebt den körperlichen Inhalt der „M Pyramide. Wenn 8 -- 7983,5246 O.uadratfuß ^ — 512,3 Fuß 2Z9?,oZ7Z8 15967)0492 79835,246 29 91762,30 so ist ? -- 4089959,65258 Cub. Fuß, und 77 — 1563319,884193 Cub. F. W ÜkÄ! jcich ,L rdin Der XVM. Abschnitt. 647 Äs Der XVIll. Abschnitt. Vorn Cylirrder und Kegel, zzz §. enn eine grade Linie Ll) durch des Kreises , ^ Mittelpunct L gehet, und nicht in dieses Krei- ^ ^ ' ses Ebene liegt; wenn ferner durch des Kreises Um» fang eine krumme Oberfläche gehet, die so beschaffen ist, daß jede durch einen Punct L im Umfang des Kreises mit L!) parallel gezogene grade Linie U? ganz in diese Oberfläche fallt; so heißt diese krumme Fläche nne Lylinderfiächc. Wird diese mit noch einer Ebene 6! der Fläche des Kreises ^1'. parallel geschmt- 'tm; so wird dadurch ein Körper H.L6I begränzt, den man einen Lylindcr, eine Walze, oder eineKunds Mle nennt. Die bepden ebenen Figuren 6k, heissen seine Grundflächen, Ll) seine Are, und die Entfernung der Grundflächen von einander heißt des Cylinders »höhe. 8)6 §. Bcyde Grundflächen des Cylinders find gleich grosse Rrcife, und die Are gehr durch x. bcydcrdlnctelpullcr. Beweis. Vermöge der gegebenen Erklärung ist die eine Grundfläche ein Kreis, durch dessen Mittelprrnet 6 die )l.re geht, welche die Ebene der andern Grundfläche in I) trist. Wenn nun durch die Linie ^6 mit Lv parallel gezogen ist; so schneidet ä6 auch die Ebene 61 in 6, und dieser Durch- fchnittspunct liegt in dem Umfang der Durchschnitts- figur. Ferner äst V6 mit ii.L parallel, (29z §. ) Ss 4 also 648 Der Geometrie zweyter Tyeil. also 06 — 4L. Wenn überdem durch jeden andern Punct 0 im Umfang des Kreises 48 die grade Linie ^ LO mit LI) parallel gezogen ist, welche den Umfang der Durchschnittsfigur in O trist; so ist auch OO — LO, vermöge des erwiesenen: folglich 00 — 00, ^ weil 4L — LO ist. Also find alle Puncte des Um- «> ^ fangs 60! von O gleichweit entfernt. Die Figur ^ 601 ist ein Kreis, dessen Mittelpunct O, und dessen Halbmesser — 4L ist, und beyde Grundflächen sind M gleiche Kreise. M Jeder Schnitt einer mit den Grundflächen paral- ta M lelen Ebene giebt also ebenfalls einen Kreis, dessen als!« Mittelpunct in denDurchschnittspunct mit derAxe fallt. zz? §. 2 Wenn eine Ebene durch die Axe des CylinderS Gm gehet, so ist die Durchschnittsfigur ein Parallele- M gramm4618: denn 48 und 61 sind parallel, und mm die graben Linien, welche durch 4 und 8 in LO paral- stst lel laufen, fallen zugleich in die Ebene 408 und in H des Cylinders Oberfläche, also sind es die Durch- schnittslinien mit der Cylinderfläche. de Li ZZ8 §. dich Ein senkrechter oder gradcr Cylinder ist, des- z« sen Are L 0 auf den Grundflächen senkrecht steht, ein W d schiefer Cplindcr aber, dessen Axe gegen die Grund- Z flächen unter einem schiefen Winkel geneigt ist. ^ Der Schnitt durch die Axe des senkrechten Cy- hch linderö ist ein Rechteck 4618, dessen Grundlinie 48 > dem Durchmesser der Grundfläche, und dessen Höhe , 46 der Höhe des Cylinders gleich ist. Es ist oft ^ bequem , blos diesen Schnitt durch die Axe anstatt ' ^ des Cylinders zu zeichnen, weil man sich den zugehö- rigen Cylinder leicht mit vorstellen kann. Gemeinig- ^ lich sÜi» M nK dm ißF ik^l" Hißi- »- P ^ lx! i>^ 'kll^ Der XVHI. Abschnitt. 649 lieh stellt man sich die Sache so vor: der Cylknder entstehe, wenn man das Rechteck HLlk um die Mittellinie LO so weit herum drehet, bis HO in KI, und bl wieder in H6 kommt. Man stehet leicht, daß HO bey diesem Herumdrehen durch die eine Halste, und LI durch die andre Halste der Cylindrischen Oberstache fortgehen, die EbeneHLOO aber in der einen, und OL KI in der andern Halste des Cylindri- schen Raums herumgehen würde. Es ist bloö ein Hülfsmittel für die Einbildungskraft, wenn man sich da einen Cylinder vorstellen soll, wo nur ein Rechteck als ein Schnitt durch die A,re gezeichnet ist. ZZ9 H- Wenn wiederum eine grade Linie HL zwar die Ebene eines Kreises KO im MittelpunctL trist, aber nicht indes Kreises Ebene liegt; wenn ferner durch einen Punct H der Linie HL und alle Puncte im Umfang des Kreises KO eine krumme Oberfläche von der Beschaffenheit durchgehet, daß jede durch H und einen Punct O im Umfang dieses Kreises gezogene gra- ! de Linie HO ganz in diese Oberfläche fällt: so heißt ^ diese krumme Fläche eine Regelflacke. Derjenige ^ geometrische Körper, welchen diese krumme Fläche > mit der Ebene des Kreises zusammen begränzt, wird ! ein Regel (coiE) genannt: die Linie HL heißt seine ! Axe, KO seine Grundfläche, H seine Spitze, und die Entfernung der Spitze von der Grundfläche seine Hö-- ! l)c. Die Seite des Kegels heißt jede grade Linie, wie Hk, auf der Oberfläche desselben zwischen seiner Spitze und einem Punct O im Umfang der Grundfläche. Schneidet man also den Kegel durch seine Axe; so ist die Durchschnittöstgur HKO ein Dreyeck, dessen Grundlinie KO der Durchmesser der Grundfläche, I- 650. Der Geometrie zweyttr Theil. und dessen zwo übrige Seiten ein Paar entgegenge.- AB' setzte Seitenlinien des Kegels sind. ^ F 340 §. Ein grader Regel ist, dessen Axe auf des Ke- Är gels Grundfläche senkrecht stehet, ein schiefer Kegel aber, dessen Axe gcgcir die Grundfläche unter einem schiefen Winkel geneigt ist. -x K 6; Alle Seitenlinien eines graden Kegels sind gleich Ach k. groß, und der Schnitt durch seine Axe giebt ein gleich- . zd, schenklichtes Dreyeck welches ebenfalls zuwei- len allein gezeichnet wird, wenn die Zeichnung eigent- Am lich einen Kegel Vörstetten soll. Man macht sich hier die Vorstellung, der grade Kegel entstehe, indem Z Das glcichschenklichte Dreyeck sich um die Mit- ^ « tellinie so weit drehet, bis chll in ^1), und wieder in fallt. Es fallt leicht in die Augen, daß Ax z auf solche Art AI'. durch die eine, und chk> durch die ^ andre Hälfte der Conifchcn Oberfläche, das Dreyeck ^ ^ ALll aber durch die eine, und /rOO durch die andre ^ Hälfte des inwendigen Conifchen Raums geführet werde. min 6 z wenn man den Regel mit einer ^ . k. Ebene -i'/ der GrundHache parallel schneidet; so wird die Durchschnittsfigur ^ ein Rrets, dessen Mirtclpuncc 6 in den Durch- .R jchnirc mit der Axe fällt. Beweis. Man schneide den Kegel auch durch » die Axe: so sind die Durchschnitte?>L, 16 einander . . parallel, (295 §.) und es ist L6:^6 ^ L6 : k6. ^ Wenn also der Grundfläche Halbmesser L6 — r ge- setzt wird; so ist 6k — allemahl von einer tich, ' Grösse Der XVI ll. Abschnitt. 651' Grösse, wo auch k im Umfang der Durchschnitts« sigur genommen wird. Demnach ist Ul ein Kreis, und 6 ist sein Mittelpunck. Aus dem 21; H. weiß man, es sey der Kreis kl: Kreis K-) — U6r : also ist auch derKreiS kl: Kreise iM — ^67 : . Wenn aber auf der Grundfläche senkrecht ist, und die Ebene der Durchschnittssigur in I< trist: so ist : ^L — : ^b, also auch der Kr. kl: Kr. ?>O — Al(r: /tb-, oder die Kreise verhalten sich wie die Ouadrate ihrer Entfernungen von der Spitze ^des Kegels. Z42 §. Zu der Grundfläche kl) des Cylinderö Ilc/ sey ein reguläres Polygon AllLVL beschrieben, und ^ durch jeden Wiukelpuncr desselben sey eine grade Linie wie Aa, L/-, u. s. f. mit des CylinderS Are parallel gezogen: so liegen diese Parallellinien insgesammt in des CylinderS Oberfläche, und wenn durch jedes Paar zunächst nach einander folgender Parallellinien eine Ebene gelegt wird, welche die entgegengesetzte Grundfläche in aS, />e, u. s. f. schneidet: so erhält man ein im Lylinder beschriebenes Prisma, dessen Grundflächen reguläre Polygone sind. Dies Prisma ist kleiner als der Cylinder, auch ist die (Oberfläche des Prisma, die Grundflächen ungerechnet, kleiner als die krumme Lylinderflache. Z4Z §- Um die Grundfläche des CylinderS (i 67F.) sey ein reguläres Polygon AKLOL beschrieben, und durch jeden BerührungSpunct der Seitenlinien mit dem Umfang der Grundfläche sey eine grade Linie, wie lX k,-, 8/, ' 1 '/, mit des CylinderS Axe parallel gezogen: so liegen auch diese Parallellinien möge« 652 Der Geometrie zweyter Theil. insgesammt in des Cylinderö Oberfläche. Man lege durch ^K und I'/) eine Ebene, so erhellet leicht, daß diese die Cylinderfläche in der graben Linieberühre, sonst aber ganz ausserhalb des Cylinders liege. Man lege ferner durch und KL eine Ebene, welche die vorige in KL schneidet, so berührt auch diese dieCy- linderfläche in und es ist nicht allein mit der Ebene Aaök, sondern auch mit der Durchschnitts- linie KS parallel. (281 §."> Auch die Durchschnits- linienn/i, ür, mit der andern Grundfläche sind mit ^Vk, KL, parallel. (29z tz.) Legt man so durch jede folgende Parallele Xr, 8-, 1 t, in des Cylinderö Oberfläche und die dazu gehörige Seitenlinie L 0 , VX, , des um die Grundfläche beschriebenen regulären Polygons eine Ebene, so erhält inan ein um den Cylindcr beschriebenes Prisma, dessen Grundfläche reguläre Polygone sind. Dies Prisma ist grösser als der Cylmder, auch ist Sie (Oberfläche dieses Prismen, die Grundfläche ungerechnet, grösser als die Oberfläche des Ly- Unders. 344 §. Ein Prisma ^ und ein Cylinder ( 7 , die gleiche Höhen haben, verhalten sich gegen einander, wie ihre Grundflächen. Beweis. Es sey K des Prismen ? und X des Cylinderö L Grundfläche, so ist X ein Kreis. Fer- (ss- bkiu i!m fss/ l glcick 7^ Mi Va!: iMüz 2 Tniiil 0 >tt ner sey . k — /, so ist 7 . grösser als jedes im En kreise ^ und kleiner als jedes um den Rreis beschricbeire reguläre Polygon. Im Kreise X (166 Fig.) sey ein reguläres Po- ^ lygon /3 von so viel Seiten als man will, und über ^ dem- ^ Die XVlU. Abschnitt. 65z demselben ein Prisma im Cylinder L beschrieben: (Z42§.)sü ist ^-. 6 -/ 3 , (319 §.) und^CL, (342 §.) also ^ . L, oder L > A Ferner sey um den Kreis K (i 67 Fig.) ein reguläres Polygon L von so viel Seiten als man will, und über demselben ein Prisma um den Cylinder L beschrieben: (34Z §-) soist-^-. L — ö, (319 §.) und F > L ( 343 §.) also . L < . L, oder 2, < Demnach istL — K, und ? : L — ö: X. 545 §- Ein Prisma und Cylinder, die gleiche Grundstachen und Höhen haben, sind also gleich grosse Körper: demnach sind alle Cylinder gleich groß, die gleiche Grundflächen und Höhen haben. Das Verhältnis; eines Cylinders zum andern, und eines Prisma zum Cylinder, ist aus den beydcn Verhältnissen der Grundflächen und Höhen zusammengesetzt, also einerley mit dem Verhältniß der Produkte der Grundflächen in die Höhen. Wenn ein Prisma und Cylinder, oder ein Paar Cylinder gleich groß sind; so verhalten sich die Grundflächen umgekehrt, wie die Höhen, und auS dem letztem folgt umgekehrt das erstere. Ein Cylinder ist dreymahl so groß, als eine Pyramide, die mit ihm gleiche Grundfläche und Höhe hat» Z46 §. Den Inhalt eines Cylinders auszurechnen, wenn der Durchmesser seiner Grundfläche, und stine Höhe« gegeben sind. Aufl. 654 Der Geometrie zweyter Theil. man den Quadrat-Inhalt der Grundfläche, und multiplicire ihn mit der Höhe « des Chylinders: so giebt das Product seinen Inhalt. Denn dies ist der ^ Inhalt eines dem Cylinder gleicher. Prisma. (Z45 §.) Es sey L — 7zF. « — 48 F: so ist des Cylinders Inhalt — ^77^ . « — rr. 5Z29.77— 6Z948. 7V ^ Cub. F. und man kann den Inhalt so scharf finden, als die jedesmalige Absicht der Rechnung erfordert, 0 ^ wenn man 77 scharf genug arisdrückt. 's' Wenn man in der Grundfläche eines Kegels Hri (r 6g Fig.) ein reguläres Polygon 8EOL? Wjsi beschreibt, und von allen Winkelpuncten nach der M Spihe des Kegels grade Linien zieht; so erhalt man jh»! eine im Begel beschriebene Pyramide. Der Inhalt dieser Pyramide ist kleiner als des Kegels W Inhalt: auch ist die Oberfläche der Pyramide, die Grundfläche ungerechnet, kleiner als die krumme ^ Kegelfläche. Wird statt dessen um die Grundfläche eines Ke- ^ gcls (169 Fig.) ein reguläres Polygon LLOki? beschrieben, und von allen Berührungöpuiicten ?, K, 8, "P, der Seitenlinien mit dem Umfang der O/l Grundfläche des Kegels nach der Spihe des Kegels A eine grade Linie gezogen; so kann man durch jede dieser Linien und die damit zusammen gehörige Sei- Cin tenlinie des Polygons eine Ebene legen. Alle diese U, y Ebenen berühren die Kegclfläche in den grade» Li- nien lU', u. s. f. wovon man sich sehr leicht überzeugt, und man erhält eine um den Aegel tz, beschriebene Pyramide. Der Inhalt dieser Py- fl ramide ist grösser als des Cylinders Inhalt, auch ?47 §. ist l- iitsi, H-Ii M :lj!l! s, ,S>t « k!S^ M lL!«k, iq^ Mb KM ,«> O!' l»I Der XVIII. Abschnitt- 6;; ist ihre Oberfläche, die Grundfläche ungerechnet, grösser als die krumme Kegelflache. Z48 §. wenn eine Pyramide ^ und ein Regel t7 gleich hoc!) sind: so verhalten sich beydeRör- per wie ihre Grundflächen. Beweis. Es sey L der Pyramide und der Kreis 8 des Kegels Grundfläche, und man setze, es sey e ^ . 8 — L, so ist L grösser, als jedes im Kreise K beschriebene, und kleiner als jedes um den Kreis L beschriebene reguläre Polygon. Der Beweis hievon ist dem Beweise im Z44§. ganz ähnlich. Wenn nemlich iin Kreise 8 das reguläre Polygon /Z und über demselben die Pyramideim Kegel ( Z47 §.) beschrieben ist, so hak man ^.8 — /Z (gzi §.) und n < L (^47 §.) also > /Z. Wird dagegen um den Kreis 8 das reguläre Polygon 5 und über demselben eins Pyramide ? um den Kegel be- schrieben; (Z47 §.1 so hak man -^-.8 —L, (zz i §.) und71 > L, (Z47 §.) also K 5. Denmach istL — 8, also?: L — 8 : 8. Z49 §- Eine Pyramide und ein Kegel sind also gleich groß, wenn sie gleiche Grundflächen und Höhen Huben: und hieraus folgt, daß alle Kegel gleich groß sind, wenn ihre Grundflächen und Höhen eö sind. Ein Cylinder ist dreymahl so groß, als ein Kegel, der mit ihm gleiche Grundfläche und Höhe hat: auch gelten alle übrige Satze vom Cylinder und Kegel 656 Der Geometrie zweyker Theil. gel, die im zzz §. vom Prisma und der Pyramide erwiesen sind. ZZO §. Den Inhalt eines Regels auszurechncn, wenn der Dlrrchmesscr seiner Grundfläche und seine Hohe hckannr ist. Ausl. Man berechne den O.uadrat-Inhalt der Grundfläche, und multiplicire ihn mit dem dritten Theil der Höhe des Kegels: so giebt das Product den Inhalt einer dem Kegel gleichen Pyramide, (zz4 H.) also den Inhalt des Kegels selbst. Wenn der Grundfläche Durchmesser F — 7z Fuß, die Höhe « — 48 Fuß ist; so ist deS Kegels Inhalt — 77 — 4.7Z*. — 2izi67r- Cub.F. und man kann den Inhalt so scharf als jedeömahl nöthig ist finden, wenn man 77 scharf genug ausdrückt. ZZI §. Concenrrijche Cylinder ALLO, LL6O, heissen solche, die einerlei) Axe haben, da dann ihre Grundflächen concentrische Kreise sind. Dar Stück, um welches der grössere Cylinder ALLO den kleinern L?6O überkrift, und welches zwischen den bey- den Cylindrischen Oberflächen und zweenen Ringen um O6 und LL eingeschloffen ist, Heist eine Cylin-- drische Röhre (tubus cilinciricus.) Die Axe bey- der Cylinder Heist auch die Axe der Röhre, unl- ihre Höhe ist mit der Cylinder Höhe einerlei). Wenn beyde Cylinder senkrechte sind; so ist die Röhre eine grade Röhre, im Gegentheil aber eine schiefe Röhre. Wenn das Rechteck durch die Axe ^8LV sich um die Axe so drehet, wie im zz8 §» ist ange« nom- HiZril! Kij L« Km chetr, im msil! itzc st Ar ^ Hrel iW 'Äm Lnr l>°! . E»c "Uj i> Ä> 6», «ch! iLÄ lilÜ» sA>^ i'M Av" Der XVIII. Abschnitt. 657 nommen worden; so beschreibt das Stück A8M desselben die eine Hälfte, und das Stück ObOV die andere Hälfte der Röhre. Sind die Rechteckes 801), Lk6tt durch die Axe der concentrischen Cylinder in der Zeichnung nur ausgedruckt; so kann man sich die Röhre zwischen ihren Oberflächen leicht vorstellen. 352 §. Das Stück M, welches vom Halbmesser 88 der grossem Grundfläche in den Ring zwischen den Kreislinien 80 und LL fällt, und die Breite dieses Rings abgiebt, ist zugleich die Dicke der Cylindrischen Röhre, deren Grundfläche der Ring ist. Der Durchmesser LL der kleinern Grundfläche kann die inwendige kVcire der Re hre, und 80, der grossem Grundfläche Durchmesser, die auswendige IVeire der Röhre heissen. Ein Rechteck, dessen eine Seite die ! Dicke der Röhre 8L, und die andre Seite der klebe» ! schuß L0 der auswendigen Weite über die Dicke ist, heißt der Kürze wegen das Rect-reck der Röhre. Das Rechreck der Röhre AL x LO ist so groß, als der Unterschied der (Quadrate der halben auswendigen und inwendigen kVeite der Röhre. I Beweis. Es sey LL auf 80 senkrecht: so ist M x LO-LH?. (lg6§.) Aber Lb---8ch-__ KL- (i o8 §.), also auch 8L x LO - 8.b-__ 8L- -- 8.8- - XL- Z54 Z. Eine Cylindrische Röhre ^LLO verhalt sich zu einem gleich hohen Cylinder wie das Rechteck der Röhre zum (Quadrat des Halbmessers der Grundfläche des Cylmders. Lach. Mach. Th. I, Tt Beweis. 6Z8 Der Geometrie zweyter Theil. - Beweis. Es ist Eyl. ^'LD : Cys. L 56 ki Kreis KL : Kreis LL (Z4? §.) Lös : LkI; M <315 §.) also LKLO - LbLbI : L?6» - Lös - v, k? KLs : LLs (165 H.) Ferner ist Lös - LLs — LLxLL, (zzg §.) und ?r6LO —LL6» — der «W Röhre also wird LLLV - L?6» - S- ZL x HL : LLs. Weiter ist LbLlck: LLs: O^is (Z45 §.); also ^Lkv : - z,W LLxLL:OL1s. ^ W Wenn also das Rechteck einer Cylindrischen Röh. meßr, re dein Quadrat vom Halbmesier'der Grundstäche ei- Mit nsö Cylinders gleich ist: so ist auch der Inhalt der Röhre dem Inhalt des Cylinders gleich. ' P Vom I n halt der Kugel. »«! E^ie Vugel ist ein Körper, den eine krumme a Oberfläche so umgiebt, daß alle ihre Puncte von einem Punct L innerhalb des Körpers, welcher der Kugel blArrelpuncr heißt, gleich weit ^lcch entsernt sind. Jede grade Linie L/V vom Mittel- ^>kch punct der Kugel bis an einen Punct ihrer Oberfläche «jch gezogen heißt ein Halbmesser der Kugel (iWius, 1 '. lemiäigmeker chpIuiemL): also sind alle Halb- Äci innerhalb der Kugel geht, trist ihre Oberfläche we- nigstens in zweenen Puucttn O und L, aber auch Der XIX. Abschnitt. Z55 §- meffer der Rugcl gleich groß. ZZ6 §. Ugi.-, Jede grade Linie ÖL, die durch einen Punct 6 nicht K:Iik -ch- R-!, tM Mir KP Ai- Kp - Der XIX. Abschnitt. 659 nicht Ln mchrcrn. Denn wäre L ein dritter: DurchschnittSpunct; so würde die Ebene durch 6, I), L, auch durch L gehen, (ro §.) und es würde 01) — OL — LL seyn müssen, welches dem 72 §. entgegen ist. Eine grade Linie durch der KugelMittelpunct L zu beyden Seiten bis an die Oberfläche der Kugel gezogen, heißt ein Durchmesser der Kugel. Dieser ist demnach doppelt so groß, als der Kugel Halbmesser, und deswegen sind alle Durchmesser in rinerley 2chgcl gleich groß. Z57 §- Jeder Punck, dessen Entfernung von der Kugel Mittelpunct kleiner oder grösser, als der Halbmesser ist, liegt in« ersten Fall innerhalb, im zmeyten Fall ausserhalb der Kugel, so wie er in der Oberfläche der Kugel liegen muß, wenn seine Entfernung vom Mittelpunct dein Halbmesser gleich ist. ! Z58 §. s wenn eine Ebenes dieRugel durch ib- ü'en Nmrelpuncr (7 schneidet; so ist die Durch-- *72 schnicrsfigur ein Rrcis, dessen Halbmesser und ^8- Mittelpunct mit der Zxuge! Halbmesser und iMicrelpunct eincrlcy isi: daß also alle diese leiste in cinerley Augcl gleich groß sind, die Ebene mag übrigens liegen w-e sic wolle. > Auch thcilct jede solche Ebene die Auge! in ! Zwo gleiche Halbkugeln. Beweis. Alle Puncte ch I), L, kl, u. s. f. des Umfangs der Durchschuittsflgur liegen in der Kugel Oberfläche; deswegen sindOch Och 01), OL, u. s. f. Halbmesser der Kugel, und insgesammt gleich groß. Tt 2 Dem- 66o Der Geometrie ziveyter Theil. k-Z. Demnach ist /MM ein Kreis, der mit der Kugel einerlei) Mittelpunkt und Halbmesser hak. Wenn nun ein Durchmesser der Kugel, ll6 auf der Ebene /MM senkrecht stehet, und wenn man Lurchs, L, und ll, oder durch!), L, und 6 eine Ebene legt; so werden beyde Durchschnittssiguren gleich grosse Kreise der Kugel, wovon die Stücke llll, 1)6 Quadranten sind, weil LLll — k. — 066 ist. ( 375 H«) Äst "un der Winkel /Zd — ^Ll), und man kehrt das unterste Stück -MKI)6 der Kugel um /ik herum, bis die Ebene ^kl) in fällt: so fällt 60 in Oll, (?7z §.) 6 in ll, 1)6 in 6ll, (18 tz.) und der Bogen VO in Lll. (ny §.) Dies geschieht allemahl, wie groß man /Mk nehmen will: also passen beyde Stücke der Kugel in einander, und sind gleich grosse Halbkugeln. Z 59 §- Wenn eine Ebene die Rugel nicht durch den Mittelpunkt schneidet, und von der Rüge! Mittelpunkt 6 auf diese Ebene eine lorhr rechte Linie LD gezogen wird: jo gehr diese durch einen Punkt O dieser Ebene innerhalb der Rugel. Beweis. Denn LI) ist die kürzeste Linie die von L nach gezogen werden kann, (276 tz.) also muß sie unter denjenigen befindlich seyn, welche die Ebene iVL innerhalb der Kugel treffen, (957 H.) z6o §. Wieder Rugelschnirr ist eiir Rreis, und sein Mittelpunkt ist nur demjenigen puncr einer- ley, worin eine grade Linie vom Mittelpunkt der Rüget auf dre Ebene des Schnitts lorh- rechr gezogen diese Ebene trist. In Iß ,1.^ /,äc AM Ilßisi"! ÄS, Es ic-c KM I«!>eÄ Ei» 0/ »n Off, Mß UM BkD Der XIX. Abschnitt. 66i In gleichen Entfernungen vom Mittel« puncr find diese Greife gleich groß: bey ungleichen Entfernungen aber ist derjenige groß fer, der dem Mirrelpuncr naher liegt, als der entferntere. Beweis. Es sey Lv aufdic Ebene HK lothrecht: so liegt V innerhalb der Durchsu-nittöfigur. (z 5 9 §.) z? Von I) sey nach einem Punct H im Umfang derselben vH, und überdem LH gezogen: so ist VH ^ ^^HLs — LOr). (225 ^.) Weil nun HL und Lv immer einerlei) Grösse behalten, wo auch H im Umfang der Durchschnittsfigur genommen wird: so ist VH immer von einerley Grösse, also die Figur ein Kreis, und v sein Mittelpunkt. Es sey Lv die Entfernung der Ebene eines andern Schnitts vom Mittelpunkt, in dessen Umfang v liegt: so ist auch dieser Schnitt ein Kreis, und sein Halbmesser vb' — /^Lks — Lvs). Es ist aber HL — Lv: (Z5; §.) wenn also überdem Lv —Lv ist, so ist VH - vv. Ist aber Lv > Lv; so ist VH < vv, woraus der zweyte Satz folget. z6i §. Unter allen Kreisen auf der Oberfläche der Kugel 172 sind diejenigen die größten, deren Ebenen durch der x. Kugel Mittelpunkt gehen, wie HVKV, und sie heissen deswegen größte Rreist, die übrigen aber kleinere Rreife der Kugel. Wenn ein Kugelschnitt ein größter Kreis ist: so geht seine Ebene durch der Kugel Mittelpunkt, weil es sonst auf eben der Kugel noch grössere Kreise geben müßte. Eine grade Linie Lv durch des kleinern Kreises 17z k6, und der Kugel Mittelpunkt steht auf der Ebene v. Tt z des 1 ' 662 Der Geometrie zweyterTheil. r. des Kreises LO lothrechk. Denn wäre nicht OL; sondern Oe aufL6 senkrecht: so wäre e dieses Kreises Mittelpunkt, (z6o §.) wider die Voraussetzung. Also geht auch jede grade Linie auf des kleinern Kreises 156 Ebene im Mittelpunkt L lothrecht gesetzt, durch der Kugel Mittelpunkt 0. Wäre 15c auf LO senkrecht, und gierige Lc nicht durch 0: so wäre zugleich OL ausLO senkrecht, welches nicht seyn kann. (27; §.) Sind zweene kleinere Kreise der Kugel AK, LO gleich groß; so sind sie vom Mittelpunkt der Kugel gleichweit entfernt. Denn ihre Entfernungen sind Ov, OL, und es ist 01) — /(AO- - AD§), OL /(ObA — LL§), also 01) — OL, wenn AI) ^1: LL ist. W zki-itl Der grössere Kugelschnitt liegt dem Mittelpunkt näher, als der kleinere: denn wird LL > AI) ange- ^ nommcn, so ist OL < OO. Z62 §. 72 Ein Durchmesser der Kugel ALLO, der auf der E L. Ebene eines Kugelschnitts I IL^M, oder AI)LL senk- pmi recht stehet, mithin durch des KngelschnittS Mittel- üeM, punct geht, heißt eine zri diesem Kugclschnitt gehör!- hlG ge Axe der Kugel. Diese Are ist zugleich auf aller: Wr übrigen Kreisen der Kugel senkrecht, deren Ebenen mit der Ebene des Kreises A DLL oder LI1A1X pa- Um, rallel sind, (298 §.) und sic geht durch die Mittel- -Asm puncte aller dieser parallelfreift. (g 6-2 §.) Die Endpunkte L, 0 , der Axe L 6 heissen die chU jAolc eines jeden der Parallelkreise, die zur Axe L 6 gehören, von^sXeL, (vortn) weil die ganze Kugel UjU sich um die Axe drehen kann : da dann jeder Punct ^ auf 'chii issks «Äi Mi MM yi/p I«« UÄ i ! M B?! i^- Der XIX. Abschnitt. 66.; auf der Oberfläche der Kugel einen zur Axe 56 gehörigen Parallclkreiö beschreibt, nur die Puncte 5 und 6 ausgenommen, welche völlig in Ruhe bleiben. Man kann sich vorstellen, eine Kugel entstehe, wenn sich ein Kreis H5K6 um seinen Durchmesser 56 drehet: (172 Fig ) es ist wiederum nur ein Hülfs- mittel für die Einbildungskraft, wenn man sich da eine Kugel vorstellen soll, wo nur ein größter Kreis der Kugel als ein Schnitt durch ihren Mittelpunct gezeichnet ist. Der auf 56 senkrechte Durchmesser Hk beschreibt alsdenn, indem er sich mit um 6 drehet, einen größten Kreis, jede damit parallele Seh-- ne 5lV1, die sich mit um I( drehet, einen dazu gehörigen Parallelkreis, und 56 wird die Axe dieser Parallelkreise. z6z H. Eine Ebene berührt die Kugel, wenn sie zwar mit der Kugel Oberfläche zusammenstößt, aber kein Punct von ihr innerhalb der Kugel fällt. Eine Ebene kann die 7>ugel nur in einem Puncc berühren. Wenn nemlich H und L zwei) verschiedene Puncte in der Oberfläche der Kugel sind, so liegt die grade Linie Hk in der Ebene eines größten Kreises der Kugel, der zuwege gebracht wird, wenn man durch 6, H und k eine Ebene legt. Von eben diesem Kreise ist Hk eine Sehne, die ganz innerhalb seines Umfangs liegt, (77 H.) auch liegt Hk in jeder andern durch H und 6 gelegten Ebene. Wenn also eine Ebene nur zwey verschiedene Puncte mit der. Oberfläche der Kugel gemein hat, so liegen Puncte von ihr innerhalb der Kugel, mithin ist eö keine Ebene, welche die Kugel berührt. T t 4 364 §> 664 Der Geometrie zweyter Theil. ^64 §. A'D' 7Z Eine Ebene durch einen punct //in gkl^ x. der Rugel (Oberfläche auf dem Halbmesser 1^ (.//senkrechtgesent, berührt dleRugel. Beweis. Denn Obi ist die kürzeste Linie, die iE' man von 0 nach XM ziehen kann, 276 §. also ist 7" die Entfernung Ol eines jeden ander» PunctS der ^ Ebene XlXl von der Kugel Mittelpunkt grösser als 1 ^. ihr Halbmesser, und daraus folgt, daß alle übrige 6UÄ Puncte der Ebene Xldl ausserhalb der Kugel liegen. kO >> (Z57 §.) lck§ g6; §. im»! rVenn eine Ebene M?/die ^ugel in ^ber gi> rühre; jö ist der Halbmesser O// rm Beruh-» M rungspuncc auf der Ebene senkrecht. Nm Beweis. Weil alle andre Puncte der Ebene dinj» Xldl, bl ausgenommen, ausser der Kugel fallen: so L müssen sie alle von 0 weiter entfernt feyn, als bl da- ML von entfernt ist. Demnach ist Obl unter allen Linien von 0 nach XHl die kürzeste, folglich auf XlXl senk- ^ recht. (276 H.) vick' Eine durch den Berührungspunct bl auf Xldl ^ senkrecht gefetzte Linie muß durch der Kugel Mittel- h!i»l punct 0, und jede von 0 auf XlX senkrecht gezo- M geue Linie durch den Berührungspunct bl gehen, m . (2/5 §.) S> Z66 §. KKL 74 Es sey ^KO ein Halbkreis, und der Halbmef- k. fer OK auf dem Durchmesser /M senkrecht. Der Halbkreis werde um KO gedrehet, bis in I), und D wiederum in -V gekommen ist; so beschreibt der Halbkreis eine Halbkugel, (Z62 §.) 0 ^ beschreibt ^ . die eine, und OO die andre Hälfte eines grösten Krci- ' Der XIX. Abschnitt. 66z ßl-K !i>ÄK !>»>P i mFK Äs» k rA«! k /) ÜS-- Kreifts, den man die Grundfläche der Halbkugel nennen kann, und auf seunr Ebene steht 08 senkrecht. Man kann 06 die Höhe der Halbkugel nennen, weil eine Ebene, welche die Halbkugel in 6 berührt, mit der Ebene der Grundfläche parallel ist. Wenn 8 ein Punct im senkrechten Halbmesser 80 ist, wodurch man eine Sehne 86 des Halbkreises mit AO parallel gezogen hat, und wenn 8O, 61 auf AO und eben so AK und OK, welche mit 86 in K und K zusammen stossen, auf A6 senkrecht gesetzt sind: so beschreibt das Rechteck O86I einen graden Cylinder, dessen Oberfläche in der Kugel liegt, das Rechteck AKKO aber einen graden Cvlinder, dessen Oberfläche ausser der Kugel fällt. Man kann jenen einen inwendigen, und diesen den zugehörigen auswendigen Cylinder nennen. Beyder Unterschied ist die Cylindrische Röhre A86O. (zzi §.) ««IB Mi- Z6? §- ^n einer Halbkugel kann man so viele inwendige, und um die Rugel soviele dazugehörige auswendige gleich hohe grade Cylinder beschreiben, daß der Unterschied aller inwendigen von den auswendigen weniger, als jeder gegebene Aörper betragt. Beweis. Man theile den senkrechten Halbmes- 174 ser 60 bey 8, Kl, bl, u. s. f. in so viel gleiche Theile, 8. als man will, und ziehe durch alle Theilungöpuncte mit AO die parallelen Sehnen 86,0?, u. s. f. auch zuletzt durch 6 mit AO die Parallele xö, welche den Kreis berührt. Man zeichne für 86 , 08 ,«/?, u. s. f. die zusammen gehörigen innern und äussern Cylinder U68I und A.KOO, 808 V und < 286 K u. s. f. wie Tt 5 im 666 Der Geometrie zweyter Thell. im z66 H: so erhalt man zuletzt einen auswendigen Cylinder dem kein inwendiger mehr zuge- hört. Nun fallt ohne Weicläufcigkeit leicht in die, Äugen, es sey ^ der Cyl. ttxX /3 — Cyl. W die Röhre 0«/Zl' — Röhre die Röhre k0?6 ^ Röhre «8VI ' die Röhre - Röhre ^V6I) , Ä Man addire alles auf beyden Seiten so erhalt Me man gleiche Summen. Nun macht die erste Sum- chli me die gesamte Differenz aller inwendigen und aus- M l wendigen Eylinder, die zweyte Summe aber den E ganzen Cylinder aus. Also ist dieser letzte Am Cylinder allemahl so groß, als die Differenz aller Alp, inwendigen und auswendigen in und um die Halb- W kugel beschriebenen Cylinder. M Halbirt man ferner jede der Abheilungen LL, LlVl, u. s. f. und verfährt, wie vorhin: so wird der ^ < I Cylinder/liilch) halb so groß, als vorher. (Z45H.) «>;«! Denn seine Höhe wird halb so groß, als die vorige war, und dies erfolgt jedcSmahl, wenn man aufs neue halbirt, und die übrige Arbeit wiederholt. Ist nun gleich O ein Körper, so klein man will: so wird endlich AKI-.V < v (12 8 §. Rech.) 3^8 §. fichc Der Unterschied der Halbkugel von der inwendi- ^ ^ gen Cylinder-Suyime ist allemahl kleiner als ^ also muß auch dieser Unterschied kleiner werden kön- ^ nen, als jeder gegebene Körper. Es sey ein gegebe- ^ ner Körper 2 kleiner als die Halbkugel, und sein Un- d,!> e terscbiedvon der Halbkugel styl): so ist/.-j-O—kl, wenn Ul die Halbkugel bedeutet. Die Summe aller inwendigen Cylinder sey 8, und ihre Differenz von Der XIX. Abschnitt. 667 der Halbkugel sey F: so ist auch 8 -j- F — Ll, und 8 -h L -j- O. Man nehme der inwendigen Cy- linder so viele, daß O wirb: so ist 8 > Demnach kann die Summe aller inwendigen Cylinder grösser werden, als jeder Aörpcr, der kleiner als die Halbkugel ist. Z69 §. Auch ist der Unterschied der Halbkugel von der auswendigen Cylinder-Summe kleiner als AkbO, also kann auch dieser Unterschied kleiner werden, als jeder gegebene Körper. Er sey und der auswendigen Cylinder Summe L: so ist L " bl -j- Ferner scy ein Körper V grösser, als die Halbkugel, und sein Unterschied von der Halbkugel sey L: so ist O-j-L^^. Man nehme der auswendigen Cylinder so viele, dass A < L wird: so ist O -j- A, < Ll -j- L, folglich Demnach kann die Summe der auswendigen Cylinder kleiner werden, als jeder Rörper der grösser als die Halbkugel ist. Z?o §. Die Summe aller in der Halbkugel beschriebenen gleich hohen graden Cylinder ist alleinahl kleiner, als ein Zxcgcl, dessen Grundfläche dem grossen Rreisc der Rngcl, und dessen Höhe ihrem Durchmesser gleich iss. Beweis. Wenn AL, OL ein Paar senkrechte Durchmesser des Kreises AOLL sind, und durch x. A, O, L, L Tangcuten des Kreises gezogen wer- den; so erhalt man ein Quadrat LaLO um den Kreis. Man ziehe LI', LO, und mache sich die Vorstellung, die Figur werde um OL gedrchet: so beschreibt der Kreis eine Kugel, LaSO sowohl als auch LAKO einer» 668 Der Geometrie zweyter Theil. einen Cylinder, LL6 einen Kegel, und der bey. den lehtern Grundfläche LO ist der Grundfläche der Halbkugel AOL oder dem grösten Kreise der Kugel gleich, so wie auch die Höhen LL und O6 des Kegels und der Halbkugel gleich find. Nun ist der Cylinder L^LO — z Kegel LLO. (g49 §.) Wenn man also den Kegel LEO aus dem Cylinder L^KO herausnimt; so bleibt das übrige Stück AL LKO ^ zLGO - LL6 - 2kLO. Noch ziehe man kO, 6O, so ist LOO ein Schiritt durch die Axe eines graben Kegels, der doppelt so gros;, als der Kegel fiLO ist: demnach ist der Körper ^XL6ö — dem Kegel LOO. 175 Man beschreibe in der Halbkugel AO8 so viel k. inwendige Cylinder XXl, X0,!'(),, als man will. In so viele gleiche Theile nun LI) bey O, l, X, u. s. f. ist getheilt worden, in eben so viel gleiche Theile sey auch OL bey X, 8, 1 , u. s. f. getheilt. Durch X, 8 ,1 ziehe man ferner OV, XVX, u. s. f. mit AL parallel, welche OL in «, /Z, u. s. f. OO in x, u. s. f. schneiden , und aus «, /Z, F, x, richte man über diesen Parallellinicn die senkrechten Linien «y, /ZA, -/Ir, Fx, k//, A, auf bis an die nächste Parallellinie. Wird hiernächst die ganze Figur um die Axe OL qedrehek, so entstehen, so viele in dem Körper AfiOOL beschriebene Cylindrische Röhren A«d. L,', l!«! mich j HÄ ^ »LZ« ' i K jt? ^ !.Wl» !»« K;> ^ j tlW! ->^ Lk j hiH Der XIX. Abschnitt. 669 ?--^xy8; 10- --VIx IL-17Sx5V; kl)- — Ok( x KL—Wx x ^X: also vermöge des ZZ 4 §» Cyl. Lkl ^ Röhre -^«FL. Cyl. ^0 - Röhre O/ZeV. Cyl. ktz^-Röhre W^X. Die Summe aller Cylinder sey 8, so ist 8 — Sum« me aller Röhren, und die letzte Summe ist kleiner als der Körper ^kLOL also 8 < /^LC6K. Vorhin aber war der Körper XkLOL — dem Kegel LO6, also ist 8 < der Kegel bDO. Z7i H. Die Summe aller um die Halbkugel beschriebenen gleich hohen graden Cylinder ist allemahl grösser, als ein Regel, dessen Grundfläche dem grösten Rreist der Bügel, und dessen Höhe ihrem Durchmesser gleich ist. Beweis. Die Figur sey sonst wie vorhin gezeichnet: stakt der innern Cylinder aber beschreibe man my die Halbkugel /VOL soviele auswendige Cylinder KL, KM, Ok, tzk, als man will. In soviele gleiche Theile alodenn CD bey I, k, u. s. f. ist getheilt worden, in eben soviele gleiche Theile sey auch LL bey 8,1, II, u. s. f. eingethcilt. Durch 8,1,0, ziehe man VW, XX, Ls mit R6 parallel, welche Lk in «, /Z, -y, und LO in F, k, ^ schneiden; durch diese Durchschnittöpuncte aber ziehe man ferner «y, ^ZZ-, ^»c, x^, auf jede zunächst nach unten folgende Parallellinie senkrecht: so ergeben sich um den Körper ALL6K so viele Cylindrische Röh- ren, wovon die erste V^LW selbst ein Cylinder wird, als um die Halbkugel auswendige Cylinder beschrieben sind. Es ist aber jede Röhre dem zugehörigen Cylinder gleich. Man hat nemlich kM- 670 Der Geometrie zweyter Theil. Ott XttL - V « ^ ri 5 - VI XIL ^ X/Z x /ZI, XX§ - VX xXL - ^ x Also vermöge des 345 und 354 H. Cyl. L8 — Col. 7 ^. Cyl. XIX - Röhre V-MV. Cvl. 0? - Röhre XA^V. C»l. tzX - Röhre ^2. Folglich die Summe aller Cylinder 8 - oller Röhren, also auch 8 > 7 ^LC 68 . aber /XLLO — dem Kegel LOO, (370 §.) also ist 8 > der Kegel LOO. ^5 -HP'! hri Summe Es war 372 §. Die Halbkugel ist einem Regel gleich, der mir ihr eincrley Grundfläche und eine doppelt so grosse Höhe hat. z,lch '»lNV djiz.1» L linPll Beweis. Ein Körper der grösser ist, als jede Summe in der Halbkugel beschriebener gleich hoher Cylinder, und kleiner, als jede Summe um die Halbkugel beschriebener gleich hoher Cylinder, muß der Halbkugel gleich seyn. Denn wäre dieser Körper noch kleiner als die Halbkugel, so märe er noch nicht grösser, als jede innere Cylindersumme: (Z68 §.) und wäre er grösser als die Halbkugel, so wäre er nicht kleiner als jede äussere Cylindersumme» (369 H.) Aber der Kegel LOO (175.176 Fig.) ist grösser als jede Summe der in der Halbkugel XO6 beschriebenen Cylinder, (370 H.) und kleiner als jede Summe der um die Halbkugel AO8 beschriebenen Cylinder: (371 H.) also ist der Kegel LO6, der mit der Halbkugel eiucrley Grundfläche, und eine doppelt so grosse Höhe hat, der Halbkugel gleich. mßr ' Mn Möci gesctzi HM chu W bnm,! Au 373 §' ü>r°luc> fUciky ck.kk Pll«' l-< Der XIX. Abschnitt. 6?r Z7Z §. Der Rörperliche Inhalt der ganzen Ru- gel beträgt zwey Driccheile eines Cylinders, dessen Grundfläche ihi enr gröstcn Rreife, und dessen Höhe ihrem Durchmesser gleich ist. Beweis. Die ganze Kugel ist dem doppelten Kegel IDO (176 Fig.) gleich, weil die Halbkugel diesem einfachen Kegel gleich ist. (I72 H.) Ferner ist der Kegel IDO — ^C»! kaLO, mithin ist die ganze Kugel /^l)8L — ^ Cyl. I'a-O. Ein Paar Kugeln verhalten sich demnach wie ein Paar Cylinder auf ihren gröstcn Kreisen in der Höhe der Durchmesser: also ist ihr Verhältniß aus dem Verhältniß der gröstcn Kreise und der Durchmesser zusammen gesetzt. Aber das Verhältniß der grösten Kreise ist das verdoppelte der Durchmesser: (215 §.) also ist das Verhältniß der Rugeln aus dem Verhältniß der Durchmesser, oder Halbmesser, dreymabl genommen zusammen gefetzt, oder dies Verhältniß ist die ratio tr^Iicata der halben oder ganzen Durchmesser Demnach verhalten stch ein paar Rugeln auch wie die Würfel ihrer Durchmesser, öder Halbmesser. ' Z74 §- wenn der Durchmessr einer Rugcl bekannt ist, ihren Inhalt im Cubicmaaß finden. Aufl. Aus dein bekannten Durchmesser der Kugel berechne man den Flachen-Inhalt ihres gröstcn Kreises. (274 §.) Hieraufnehme man^ des Products dieser Fläche mit dem Durchmesser multi- plicirt: so ist der Inhalt der Kugel im Cubicmaaß gesunden, welches mit dem Längenmaaß, das bcy Mes. 672 Der Geometrie zweyter Theil. Messung des Durchmessers gebraucht ist, also auch " mit dem Quadratmaaß, wodurch die Flache des groß. ken Kreises ausgedrückt ist, einerlei) Nahmen hat. Wenn der Durchmesser der Kugel — H ihr Halbmesser — ^ gesetzt wird, so ist die Flache ihres . 8'^ größten KreiseS —4 77^; also der Inhalt der Kugel ßtzÄ — 4 . 4 .77^ — oder auch eben der Inhalt M Es sey F — 7 z Fuß, so ist — z 89017, also Km der Inhalt der Kugel — 4 . -89017.77 Cub. Fuß, den man so scharf, als nöthig ist, jedesmahl finden M! kann, wenn man die Zahl -7 genau genug ausdrückt. MÄ Z 75 §. Aus dem bekannten körperlichen Inhalt der 'ch.ugel ihren Durchmesser zu finden. Aufl. Es sei- der Inhalt der Kugel — 8, also UNd?- 5- lillkM findet man 8 — 477-^I so ist umgekehrt ^ - - z 8 . -6 ^ B" , oder 8. Aus der im 25z §. n. 4. angegebenen Zahl 2 . 1 6 ^ 477 77 " 1,909859 ZI 7 I 02 744029 226607 556 . . .. Je mehr Decimaltheile von dieser Zahl in Rechnung gebracht werden, desto scharfer wird der gesuchte Durchmesser der Kugel gefunden. Z?6 §. Die Redensart: einen geometrischen Körper cubircn, wird in einem ähnlichen Verstände gebraucht, in welchem die Redensart: eine Flache rniadriren, in der ebenen Geometrie ist gebraucht worden; M, ' ich. Der. U,. Äicnia, Hdk Mlkei, ch,l !>»!^ Der XIX. Abschnitt. 67z worden; sie drückt kurz das Verfahren aus, vermöge dessen man einen Würfel, oder auch nur die Seite eines Würfels findet, der mit dem gegebenen Körper eine gleiche Grösse hat. Sucht man die Seite des Würfels durch eine geometrische Verzeichnung, ! so ist dieCudacur geometrisch; wenn sie aber durch ! Rechnung gesucht wird, so ist die Cubarur arithmetisch. Kann man den Inhalt des gegebenen Körpers in Cubicfussen und kleinern Theilen des CubicmaasseS finden; so hat man die Seite des eben so grossen ' Würfels im Langenmaaß, das mit dem Cubicmaaß, ' worin der Inhalt des Körpers ausgedrückt ist, einerlei) Nahmen hat, 'wenn man aus der Zahl, die den Inhalt des Körpers angiebt, die Cubicwurzel auszieht. Weil diese Wurzel, wenn man sie nöthig hat, ^ allemahl aus dem körperlichen Inhalt gefunden werden kann; so heißt das auch schon einen Körper cu-- biren, wenn man seinen Inhalt im Cubicmaaß ^ sucht. ! Der Inhalt der Kugel ist — also die Seite ,des eben so grossen Würfels —7?, und man findet — 0,52)598 775008 2Z4820 . Z77 §- Man findet eben so leicht die Abmessungen eines Prisma, eines Cylinders, eines Kegels, oder einer Pyramide, wenn die Grösse eines solchen Körpers im Cubicmaaß gegeben ist. Wird die Zahl, nchche die ! Grösse des Prisma oder Cylinders angiebt, in zwey ! Fackoren zerfallet; so giebt der eine Factor die Grösse der Grundfiache im Quadratmaaß, der andre die Rarst. Machen,. Th. I. Un Höhe 674 Der Geometrie zweyter Theil- Höhe im Längenmaaß an, und zwar unter eben dem Nahmen mit der gegebenen Cubiczahl. Wenn demnach die Grösse der Grundfläche imQuadratmaaß gegeben ist, so dividirt man damit die gegebene Cubic- zahl, nachdem beyde vorher auf einerley Nahmen ge. bracht sind, wofern sie nicht schon einerley Nahmen haben: der Quotient giebt die Höhe im Längenmaaß unter eben dem Nahmen. Ware die Höhe gegeben, so müste man die gegebene damit gleichnahmige Cubiczahl damit dividiren, um die Grösse der Grundfläche imQuadratmaaß eben des Nahmens zu finden. Für den Kegel und die Pyramide findet man so den dritten Theil der Höhe, wie man für das Prisma und den Cylinder die Höhe selbst findet: auch dividirt man mit dem dritten Theil der Höhe in die gegebene Cubiczahl, um die Grundfläche zu finden. Die alten Geometer suchten die Auflösung solcher Aufgaben allemahl durch Zeichnung, und es war unter ihnen vormahls das so genannte Deipbische Problem berühmt. Das Orakel zu Delphos soll den Atheniensern, welche bey Gelegenheit einer zu Athen grassirenden Pest den Apoll befragen ließen, durch welche Mittel sie die Götter versöhnen könnten? geantwortet haben: sie müßten dem Apoll einen doppelt so grossen cubischen Altar bauen, als derjenige gleichfalls cubische Altar war, den er damahls hatte. Dies soll die damahligen Geometer bewogen haben, die Auflösung der folgenden Aufgabe zu suchen: »>ib 2t. Mw chM Am Sichst st »st 8«t ,kn die :mä» qstilk. M» Mist DkWl Z?8 §. Es ist die Seite eines Würfels gegeben, man soll die Seite eines andern Würfels finden, der doppelt so groß, als der gegebene ist. Wenn Vista > D, di -iskdie !VMj rküßck Mj«U Mjiks U«iÄ lM« Mb MkW- W ^ O-p^ i>^ Der XIX. Abschnitt. 675 ^ Wenn / die Seite des gegebenen, und ^ die Seite deö gesuchten Würfels ist, st verlangt die Aufgabe, daß k.' — 2/' seyn soll: oder es soll sich verhalten ? : I» — i: 2 — /: 2/. Demnach soll das Ver- haltniß /: 2/ dreymahl grösser seyn, al 6 das Ver- hältniß/: (z2i §.) und es ist k. die erste von zwoen Mittlern stetigen Proportionallinien zwischen /und 2/. Daher kam die Auflösung des Delphischen Problems darauf an, daß man zwischen zwoen gegebenen graden Linien zwo mittlere stetige Proportionallinien suchen mußte. Eine solche geometrische ' Auflösung dieser Aufgabe, die allein von denFode- rungssäßen der Elementar-Geometrie abhienge, laßt sich nicht geben: das Problem gehört schon zur höhern Geometrie. Uebrigens stehet man wohl, daß auf eben die Art die Seite eines Würfels gefunden werden könnte, der zum gegebenen jedes andre Verhalt- niß hatte. Vermittelst der Rechenkunst laßt sich dies Delphische Problem in seiner ganzen Allgemeinheit leicht auflösen, weil es nur ein besondrer Fall von der allgemeinen Ausgabe des z ?6 H. ist. Man sucht den körperlichen Inhalt des gegebenen Würfels aus dev gemessenen Seite, duplirt denselben, oder mulkipli- cirt ihn auch in jedem andern Fall mit dem Exponenten des-Verhältnisses des gesuchten Würfels zum gegebenen Würfel. Wenn man hiernächst aus der "Zahl, die st gefunden wird, die Cubicwurzcl sucht; ! so ist die Seite des verlangten Würfels gefunden. 8 Ug Dev 676 DerGeometrie zweyter Theil. Der XX. Abschnitt. Vergleichung der Kugelfläche mit den Flächen des graderi Cylinders und Kegels. Mil > 379 §. 6r^ie Oberfläche eines graben Prisma, die Grund- flächen ungerechnet, ist so groß als ein Rechteck, wovon die Grundlinie dem Umfang der Grundfläche des Prisma gleich ist, und die Höhe so groß, als die Höhe des Prisma. Denn alle Seitenflächen des Prisma sind gleich hohe Rechtecke, und ihre Summe ist so groß, als ein Rechteck von eben der Höhe, wovon die Grundlinie so groß ist, als die Summe aller Grundlinien jener Rechtecke. Die Oberflächen gleich hoher grader Prismen, ohne die Grundflächen, verhalten sich demnach wie die Peripherien der Grundflächen der Prismen. «derb! GÜre -Hl AH AH 382 §. Die Oberfläche eines graben Prisma, ohne die Grundfläche, verhält sich zur Fläche eines eben so hohen Cylinders, die Grundflächen ebenfalls nicht miugerechner, wie die Peripherie der Grundfläche des Prisma zur Peripherie der Grundfläche des Cylinders. Beweis. Es sey die prismatische Fläche -- ?, der Umfang ihrer Grundfläche — /?, die Cylinderflä- che — C, der Umfang ihrer Grundfläche — II. Man sehe — U, so ist I. -- N, weil U grösser ist, als die Peripherie eines jeden Polygons im Kreise U und We lklmdl lkchli Nni ^ Äi'e Der XX. Abschnitt. 677 § und kleiner als die Peripherie eines um eben diesen , ! Kreis beschriebenen Polygons. Es sey nemlich im E. Kreise II ein reguläres Polygon beschrieben, und die ' Peripherie desselben — Ueber demselbeir als der Gnindfläche sey im Cyünder ein gradeö Prisina, wie im Z42 §. beschrieben, dessen Fläche, ohne die Grundflächen, — ^ ist; so hat man i . oder I- > 7 . Wenn dagegen um den Kreis H ein 'reguläres Polygon beschrieben und dessen Peripherie Äw 8 «> — (^ist; wenn ferner über demselben als über der l, llii ls! Grundfläche um den Cylinder ein grades Prisma wie im Z 4 Z §. beschrieben, und dessen Fläche ohne die ! oder?: L — : n. ' Wenn die Höhe der beyden Körper — a ist, so A! ^ man ? ^ a .Z', (Z7Y §.) alsoc a .n. ^ PM Demnach ist die krumme Fläche des graden Cylindcrs einem Rechteck gleich, desseir ^ Grundlinie der Peripherie der Grundfläche des Cylinders, und dessen Höhe der Höhe des ! Lylinders gleich ist. 8i , ^ Eine Pyramide, wovon die Grundfläche ein listfk reguläres Polygon ist, und deren Spitze in der gra- '" ^ den Linie liegt, die auf der Grundfläche im Mittel- >7 ck-W (Z79 §-) und L < c, (Z42 §.) also ftM, ( Z 79 §.) und K > c, ( Z 4 Z H.) also 1 . ? < PL — . p, oder I. < Diesemnach ist —17, Grundflächen — X ist, so hat man Uu z punct 678 Der Geometrie zweyter Tyeil. punct senkrecht steht, nenne ich hier eine reguläre pyramrdc. Die Oberfläche der regulären Pyramide, ihre Grundfläche nicht mitgerechnet, ist einem Dreyeck gleich, wovon die Grundlinie so groß ist, als die Peripherie der Grundfläche der Pyramide, und die Hohes) groß, als die Entfernung der Seitenlinien der Grundfläche von derSpihe der Pyramide. Denn alle Seitenflächen sind gleiche und ähnliche gleich- schenklichte Dreyecke, deren Summe so groß ist, als ein Dreyeck, dessen Grundlinie so groß, als die Summe der Grundlinien jener Drevecke, die Höhe aber ihrer gemeinschaftlichen Höhe gleich ist. 382 §» Wenn um den Kegel wie im Z47 §. eine reguläre Pyramide beschrieben ist, so verhält sich die Flache der Pyramide ohne die Grundfläche zu ihrer Grundfläche, wie die Seite des Kegels zum Halbmesser der Grundfläche. Denn die Höhe des der Pyramidenfläche gleichen Dreyecks ist der Seite des Kegels gleich, und die Grundfläche ist so groß als ein Dreyeck über eben der Grundlinie in der Höhe des Halbmessers. Es sey auch in dem graben Kegel eine reguläre Pyramide beschrieben, die Entfernung der Seitenlinien der Grundfläche von der Spihe der Pyramide — O, und die Entfernung eben dieser Seitenlinien vom Miktelpunct der Grundfläche — so verhält sich die Pyramidenfläche zu ihrer Grundfläche— 38z §. Die Flache des gradcn Regels ohne die Grundfläche verhält sich zur Grundfläche, S-k-' brns<» jW Mt k lim? ki, i (O ll. W- tl! itt! Cm »idni Der XX. Abschnitt. 679 U BW , A,Kr5 irrillt!! tzj, ^ Ä» K, «l- Ü lt, iir H! tii ^ wie die Seite des Regels zum Hnlbn,esser der Grundfläche. Beweis. Es sey der Grundfläche Halbmesser die Seite des Kegels — I., die Kcgelfläche, ohne die Grundfläche — L, die Grundfläche des Kegels—K, und man setze ^-. L — 2; so ist L grösser als jedes im Kreise k und kleiner als jedes um den Kreis X beschriebene reguläre Polygon. Es sey ?ch8 der grade Kegel, 6 der Mittelpunct i S9 seiner Grundfläche, die hier —X ist, und in dersel- kiZ. ben sey ein reguläres Polygon beschrieben, wovon lll eine Seitenlinie ist, die Zahl der Seitenlinien sey übrigens so groß, als man will. Man halbire lkl mit dem Halbmesser 6? in k senkrecht, und ziehe so ist tV? — I., 6? — lieber dem regulären Polygon sey eine Pyramide im Kegel beschrieben, die Fläche dieser Pyramide sey 7-, ohne die 6 K Grundfläche, und letztere — §, so ist — . ( 882 §.) Man ziehe kl. mit parallel, so ist 6k 6? 7 ^ vs ,, 6K 6K iT^ X?^ 17-"""L>«I-, I ,tl-- 6k ^ mithin ferner ^ Ueberdem ist/i < L (Z47 §.) also — ^. 0, und es war —. O — 2, also ist L > §. Man verzeichne auch um die Grundfläche des graben Kegels ein reguläres Polygon von sovielen Seiten, als man will, und setze darüber eine Pyramide um den Kegel; die Fläche dieser Pyramide ohne die Grundfläche sey —k, die Grundfläche—,^, so Uu 4 ist 680 Der Geometrie zweyter Theil. (Z 82 §.) und k>6, (Z47§.) also . L, mithin auch L < (). Diesemnach ist L — X, und man erhält -^. 6 —K. Der Grundfläche Umfang sei) — N, so ist K ^ 4 »-.II, (254 §.) also erhält man 6 — 4 . n . 6 . Dernnach ist die Fläche des graden Hegels, ohne die Grundfläche, einem Dreyeck gleich, wovon die Grundlinie der Peripherie der Grundfläche, und die Höhe der Seitenlinie des Regels gleich ist. Z 84 §. r 8 Z Es sey 48 ein Durchmesser des Kreises, dessen k. Mittelpunkt L ist, und l)L ein andrer Durchmesser, der auf dem vorigen senkrecht stehet. In dem verlängerten Halbmesser 61) nehme man einen Punct b' und ziehe durch denselben ein Paar Tangenten des Kreises IH, HK: wenn alsdenn 6 und I die Berüh- rungspuncte sind, so nehme man ferner 614 — 1K, und ziehe HIK; so wird H bK ein gleichseitiges Dreyeck, dessen Grundlinie von CK in O so wie die Sehne 61 bey senkrecht halbirt wird. Wenn sich nun Kreis und Dreyeck um die Axe Lk drehen, so beschreibt der Kreis eine Kugel, und das Drei,eck einen graden Kegel, ^6 aber wird der Durchmcss.r eines grösten Kreises und 61 der Durchmesser eines mit demselben parallelen Kreises der Kugel, dessen Peripherie zugleich in der Kugel- flä-he und der Kegclfläche liegt. Ucbrigens fällt jeder and-e Punct der Kegelfläche, der nicht im Umfang des Parallelkreises 61 liegt, ausserhalb der Kugel. Zklkc T h-hlkl Kugi iMkk! rühr> Mjk» killül! r Rege j'ülbii Mesik, cheb: - L A- s°isi( ich« »lchdi ^>n Mw dkl Mss, > /W.V- > f«k ! Md!S ,!i^ >H!Ül' Ad!!^ ßlld^^ „ki§E WiD Die XX. Abschnitt. 631 gel. Ein solcher- Punct LL mag in der Kegelfläche liegen, wo er wolle, so lege man durch ihn und die Axe IL eine Ebene, welche die Kegelfläche in der graden Linie Lik schneidet. Diese trist den Umfang des Paralleikreises irgendwo in 6, und alsdenn ist EO auf kli senkrecht, weil LO und k6 mit der Ebene de6 Parallelkreises allemohl gleiche Winkel machen, wo auch 6 im Umfang desselben liegt. Demnach ist LLi > L6 und Li liegt ausserhalb der Kugel. Die Kegelfläche stößt also auf ihrer inwendigen hohlen Seite mit der äußern erhabenen Seite der Kugelfläche so zusammen, daß kein Punct von ihr innerhalb der Kuaelfläche fällt: beyde Flächen berühren einander in einem Kreise, der eben deß- rvegen der Berührungskrcis heissen kann. Wenn die Kugel die Kegelfläche von außen berührte, so könnte die Berührung nur in einem Punct geschehen. Z8z §. wenn eine Rugcl die Flache des graden Aegels von innen so berührt, daß die Ebene des Berührungskreises die Axe des Ixegels halbier; so ist die Segelfläche einer eben so hohen Cylinderfläche gleich, die eine dem grösten Rreise der Rugel gleiche Grundfläche hak. Beweis. Wenn in der Zeichnung des vor. §. 6LL — 6k, also auch IIv — Ik genommen wird; so ist Okl — klk, und die Ebene des BerührungS- kreiseö halbirt die Höhe des Kegels. Man ziehe auch durch ^ und L Tangenten des Kreises, welche lM in k und (^schneiden; ferner ziehe man blXl Uu 5 durch 682 Der Geometrie zweyter Theil. durch k mit -^8 parallel; so stellet kkl^lO, den Schnitt durch die Axe eines graben Cylinders vor, dessen Höhe 01 ", und dessen Grundfläche dem grossen Kreise der Kugel gleich ist. Wenn nun OLO -- « geseht wird, und der Halbmesser der Kugel —ist; so hat man 6dl — »-lm«, also OO — 2 6dl die Grundfläche des Kegels klkk — ^r'lin«, seine Seitenlinie Hl" — 2N3N-7«, mithin seine Oberfläche — 477^^ stn« wnF«. (28g §.) Ferner ist kdl — 6k sin« — rtan^« im«, also Ok — 2kdl — 2^stn« mno«, und des Enlinders Oberfläche — 4^»-^ im« wnZ«. (z8o §.) Beyde die Kegelfläche und Cylinderfläche sind demnach gleich groß. 386 §. 86 Wenn eine Ebene O6 den Kegel -^80 mit der k. Grundfläche parallel schneidet, so heißt das Stück 6O6L des Kegels zwischen den beyden parallelen Ebenen ein abgekürzter Bcgel. In dem Fall, wenn der ganze Kegel ein gra« der Kegel ist, sind die Abmessungen des abgekürz. ten Kegels bestimmt, wenn die Höhe des Körpers 60 gegeben ist, und die Halbmesser 66, 01 ), bey. der Grundflächen, oder statt des Halbmessers Ol) der Neigungswinkel 66O der Seitenlinie gegen die Grundfläche. Man sehe 88 — r, Ol) — ?; so findet man den Inhalt des abgekürzkenKegels8l)8L^^ 77»"^.A6 --^-Trf^.^O. (z;o§.) Es sey Oll auf der Grundfläche senkrecht, so ist 6kl — wenn also nach 60 — « geseht wird, so hat man 7—§: a --- r: -^6, undr — §: a — />: ^O, mithin ^6 ''s-- zißlzli ssi- V i, 7 - lW L kltz! - 7 L ker;le I d>k«k Der XX. Abschnitt. 68z a»' r — ^ — ; und der Inhalt des ab- 47r a(» ' -f-) gekürzten Kegels ist — ----— — ^ ^ a ^ ch r-f ch Wäre statt des Halbmessers §> der Winkel ? 8 V ^-«gegeben, so hätte man^ —80 —ucot«, also » — ^> — n cot«, und dies in den gefundenen allgemeinen Ausdruck statt §> gesetzt giebt den Inhalt des abgekürzten Kegels—^ 75 tang« (»-'-(»-—« cot«) ^). Des abgekürzten graben Kegels 808dl Fläche ist — ?r (7 . /^8 — . -^O), ( 28 z §.) und-—^ : 80 - ^ : ^ 8 , 80 - f : /^O; also ^6 80.^ ^ 80.^> ^ , — -^ /XO — ——-: mithin eben dre abge- kürzte Kegelfläche — ^ ^ ^. 8 v ^-e . (»- -s- f ). 2l»S der Höhe des abgekürzten Kegels kO —» hat man alsdenn 80 f)ch, oder auch 80 — a. colcc«. Ferner ist t' -8 ^> — 2 »- — n cor«, mithin eben die abgekürzte Kegelflache r-: ?r « colcc« ( 2 »' — a cot« ). 387 §. wenn eine Rugel die Fläche des abgekürzten graden Aegels von innen so berührt, daß die Ebene des Bcrührungskreises die Höhe des abgekürzten Regels halbirr; so ist die abgekürzte Regelflache einer eben so ho, hen Lylinderflache gleich, die eine dem grö, ften kreise derRugcl gleiche Grundfläche har. Beweis. 684 DerGeometriezweyterTheil. 187 Beweis. Wenn AL, LO, ein Paar auf ein. 8. ander senkrechte Durchmesser des Kreises um L sind, so ziehe man durch einen willkührlich angenommenen Punck O des Quadranten AO eine Tangente, und nehme auf derselben Oll ^ 6!<, ziehe die Sehne 61 mit AL parallel, durch I ebenfalls eine Tan. gente und nehme auf derselben IK — 18 — 6ll. Man ziehe M und K8, so ist M und K8 mit 61 parallel, überdem ist der Winkel K6I — 6l8 KM - M8, und das Trapezium M8K stellet den Schnitt durch die Axe eines graben abgekürzten Kegels vor, dessen Flache die Kugel, wovon /MM ein gröster Kreis ist, berührt. Des Berührungs- kreists Durchmesser ist 61 und die Ebene desselben halbirt die Hohe OL des abgekürzten Kegels bey Kl. Wenn nun auch durch A und 8 ein Paar Tangen, ten gezogen sind, welche HK in k und (^, K8 aber in 8 und Kl schneiden; so ist ?LK1(^der Schnitt durch die Axe eines graben Cylinders, dessen Höhe O? und dessen Grundfläche so groß, als der gröste Kreis der berührenden Kugel ist. Ferner sehe man DOO — K 10 K. — OllK — «, de» Halbmesser der Kugel OO — so ist 6 Kl — ^l>n«, Ol — ^(llK ch K8) --- Oll -s- KL ( 178 §.) — L--im«, und HK — OL cosec«. Es ist aber die Flache des abgekürzten Kegels 1 lK 8 K — 7r. IlK sOll-s-KL), ( z86 §.) also eben diese Fläche — 2?r»- OL cosee« lm« — 2^-»-. OL, und eben so groß ist die Flache des Cylinders LLKK^, (z8o§.) Z88 §. 188 Es sei) AOK ein Halbkreis über dem Durch, messer AL und der Halbmesser Ov auf AL senk- recht. Der XX. Abschnitt. 635 recht. Man cheile jeden Quadranten HD, KD, in eine grade Anzahl gleicher Theile bey L, k, und 6, L, tt, und ziehe durch k, k, O, tt, Tangenten des Kreises, so baß man allemahl einen TheilungS» punct übergeht, so schneiden die Tangenten einander in XI, >1, O, und die bcyden äußersten schneiden Hk in k und 1'. Solchergestalt wird KX1XI0? der halbe Umfang eines um den Kreis beschriebenen regulären Polygons. Ziehet man ferner LX1, LXl, LO, so ge- hen diese Linien durch die übrigen Theilungspuncte V, O, L, und wenn man die Sehnen ^1, v^, M, ziehet, so hat man den halben Umfang eines innern ähnlichen regulären Polygons. Die ganze Figur drehe sich um die Axe LD, so beschreibet der Halbkreis eine Halbkugel, die Seitenlinien der Polygone aber soviele in und um die Halbkugel beschriebene conische Flächen, als Seitenlinien der Polygone zu jedem Quadranten gehören. Die- äußern conischen Flächen berühren inö- gesammt die Halbkugelsiäche so, daß einer jeden Höhe von der Ebene des BcrührungSkreiseS halbirt wird. Wenn also X8, kl ebenfalls ein Paar Tangenten sind, und 81 durch bl mit Hk parallel gezogen ist, so stellt -V81L den Schnitt durch die Ape eines graben CylinderS vor, dessen Flache so groß ist, als die Summe aller um die Halbkugel beschriebenen conischen Flächen. Wenn nemlich ^8,18, von XIO in a und ö geschnitten werden; so ist die Fläche XlblO — der Fläche a81ö, (zy; §.) und die Fläche KXäO? — Haäk, (z87 §.) Wäre der Halbkreis HDK in nochmahl soviele gleiche Theile getheilt, so hätte man drey dergleichen abgekürzte conische Flächen, die einem eben so hohen The» 686 Der Geometrie zweyter Theil. Theil der Cylinderfläche gleich wären. In allen Fällen aber bleibt die Summe aller conischen Flächen der Cylinderfläche ^816 gleich. Z89 §. Die Summe aller um die Halbkugel be- ^ schriebenen conistheu Flächen ist grösser, die . h Summe aller in der Halbkugel beschriebenen - conijchen Flächen aber kleiner als die Halb- 2 ' Man kann in und um die Halbkugel so- viele conische Flächen in gleicher Anzahl beschreiben, daß der Exponent des Verhältnisses der Summe aller äussern zur Summe aller inner» kleiner wird, als jede Zahl welche die y Einheit überrrifr. - M kis. Beweis. Die Figur sey wie im z 88 §-gleich- net, und man sehe den Halbmesser der Kugel — ^ 6» ^ den halben Centriwinkel /iLK ^ — «, die Summe aller äussern conischen Flächen — 8, so ist ^ —^ 5 ec«, und 8 — 27x1-^ lec«. Der Halbmesser LL halbirt die Sehne ^ in Itl ^ senkrecht, und LX ist der Halbmesser eines Halbkreises der alle Seitenlinien des halben Um- vl> kreises vom innern Polygon berührt. DieserHalb- kreis beschreibt bei) Umdrehung der Figur ebenfalls (M r eine Halbkugel, so wie die Seiten des halben innem Polygons conische Flächen beschreiben, welche die Halbkugel insgesammt in der halben Höhe be- ^ rührt. Man sehe also (>V und KVV auf ^8 senk- x recht, und ziehe VW durch O mit parallel, so ist HV VVK. der Schnitt durch die Axe eines graben ^ kugel. Z90 §. Cylin> "ch» -G r, d>r Kciim I >bc- !mis- rllcr rdie ;eilh> r, die so iß lioü Hoib- M' chil" O»- W „llls s Der XX. Abschnitt. 637 CylinderS, dessen Fläche so groß ist, als die Sum- me aller innern tonischen Flachen. Diese Summe sey ^ L, so ist L — 277 L^. LI). Es ist aber L<). — Lk. — rcos«, und LO — also L — 277^* cos«. Vorhin war 8 — 277»°* sec«, also findet man 8 lec« — — —^ — sec«*. Nun sey rr eine gegebene L coi« Zahl, die grösser als i ist, so kann «so klein genom» men werden, daß sec« < /)r ist, ( 192. 252 §.) und man hat zugleich sec«* < also < n. Z 9 i §. wenn eine Fläche ^ kleiner ist, als die Halbkugelfläche, so kann man in derselben soviele conische Flächen beschreiben, daß ihre Summe L > ^ wird. Beweis. Es sey die Halbkugelflache — 14 ,' und 1 — Man verzeichne in und um die Halb- 8 kugel soviele conische Flachen, daß < n wird, 8 1 ^ 8 ^1 (Z92 §-) so isti< also » : ^ oder . Ueberdem ist II < 8, (Z89 §.) also-->--, mithin auch—>7-, undL>r. 292 §. 688 Der Geormtris zweyker Theil. Z92 §. ^Venn eine Fläche 2 " grösser ist, als die Halbkugelfläche 2 /, so kann man um dieselbe sovwle conische Flächen beschreiben, daß ihre Summe 8 < 2 " wird. Beweis. Essey —— und man verzeichne wie vorhin in und um die Halbkugel so viele conische r ' Ä Flachen, daß < n wird. (Z90 §.) Alödenn ^ hat man-^- < —, und » > L, also — < Ai mithin auch und 8 < 'r. ^ 1b bl ^' I IM»! Z9Z §. ^ K r 88 Die Halbkugelfläche ^22S ist einer Cylin-» ^ ^ derfläche ü gleich, die rmc ihr gleiche Grundfläche und Höhe har. > Beweis. Die Cylmderfläche ist^- 2^^, ^ die Summe aller innen, conischen Flächen L — 277»-^ ist- cos«, die Summe aller äussern 8 — 277»-^ sec«, tins ( Z9o §-) und dies allemahl, wieviele conische Flä- ! chen man auch in oder um die Halbkugel beschreiben mß will. Demnach ist allemahl die Cylinderstäche -z 2^8 größer als L und kleiner als 8. Aber eine M Fläche die grösser als jede Summe der innern, und öm kleiner, als jede Summe der äussern conischen Flächen ist, muß der Halbkugelssäche gleich seyn. Wäre sie kleiner als die Halbkugelfläche, so wäre sie noch nicht grösser als jede Summe der innern conischen M Flächen: (Z91 §.) wäre sie grösser als die Halbku- M Der XX. Abschnitt. . 689 gelflache, so wäre sie nicht kleiner als jede Summe der äußern tonischen Flächen, (Z92 §.) Demnach ist die Cylinderfläche der Halbkugelflä- che gleich. Z94 §. Den Inhalt der halben oder ganzen Ru- gelfiäche nn Duadrarmaaß durch Rechnung zu finden. Ausl. Die Halbkugelfläche ist doppelt so groß, und die ganze Kugelfläche viermahl so groß, als die Fläche ihres grösten Kreises, Denn es ist die Halbkugelfläche — 271^, (zyz §.) also die ganze Kugelfläche ^ 47?^^, und 7^ ist die Fläche ihres grö- fien Kreises. (254 §.) Wenn also der Flächen. Anhalt des grösten Kreises der Kugel im Quadrat- maaß gesucht, und mit 2 oder 4 multiplicirt wird; so ist im ersten Fall die Größe der Halbkugelfläche, und im zweyten Fall die Größe der ganzen Kugel- fläche im Quadratmaaß gefunden. Dle ganze Kugelfläche ist so groß als ein Kreis dessen Halbmesser dem Durchmesser der Kugel gleich ist. Denn der Kugel Durchmesser ist — 2k-, und ein Kreis der diesen Halbmesser hat, ist — 47^. Für eine andre Kugelfläche, wozu der Halb- Messer k. gehört, hat man die Grösse ihres Inhalts — 475 : demnach verhalten sich ein Paar Kugel- flachen gegen einander wie die Quadrate ihrer hat- ben oder ganzen Durchmesser. Z95 §- Den Inhalt eines Kegels wenn der Halbmesser seiner Grundfläche — 2^, und seine Höhe — r- ist findet man . 47^', (z z o H.) und eben so groß Rarsi. Machen,, l. Th. Tx ist 690 Der Geometrie zweyter Theil. ist der körperliche Inhalt der Kuarl. (Z75 H.) Demnach ist die Saigel nach ihrem körperlichen einein ^egel, oder einer Pyramide gleich, deren Grundfläche so groß ist, als die C)berfla) serner auch, die Lehren von Vergleichung der Kugelfläche mit der Fläche des um die Kugel beschriebenen Cylinders, (;yz H>) sind Erfindungen des Archimcdes. Er hat zwey Bücher cis 8pbaera et Lyliriäro geschrieben, die dem Dosts theus jugeeignet sind, und die bisher von der Kugel vorgerragenen Lehren findet man nebst mehrern ander» im erslen Buch. Die guten Ausgaben von seinen sämtlichen Werken gehören zu den Büchern, die selten mehr zu haben sind. Man hat eine Lond- ner Ausgabe vom D. Barrav, vormahlö der Geometrie Professor zu Cambridge, vom Jahr 1675 in 4, die für die Beste gehalten wird: eben diese Ausgabe ist unter andern um deßwillen besonders schäzbar, weil sie ausser den Werken des Archimes des auch die Werke des Apollonius von Perga in Pamphilien, und des Theodostus von Tripolis, enthält, welches nächst dem Euclides die vornehmsten alten mathematischen Schriftsteller sind. Der vollständige Titel ist: ^rclstmechs Opera, /^pollo- iiu Oonica ac 'lAeoctolu Lxtiaeriea, metsioäo nova Mu- ^«ll> !Ii^ skl» stck jüli^ mite KlI!» lt!. dNIM >>NM dilsill lüttil! Der X^. Abschnitt. 691 Muürstg. Herr Prof. Scheibe! hat versprochen, in feiner Einleitung zur mathematischen Bü- chcrkennrnisi von des Archimedes Schriften und deren Ausgaben noch künftig Nachrichten zu geben, die allen Liebhabern der Mathematik sehr angenehm seyn werden. Theodosius hak die Lehre von den Kugelschnitten vollständig untersucht, wovon hier nur die ersten Grundlehren (z;8 - ^6, §.) vorge- tragen find, weil das übrige dem zweyken Theil dieses Lehrbuchs Vorbehalten bleibt. Die Kegelschnitte, welche Apolloniuö untersucht hat,, sind diejenigen krummen Linien, welche zuwege gebracht werden, wenn eine Ebene den Kegel in jeder gege- denen Lage gegen seine Axe und Grundfläche schneidet. Ein besondrer Fall davon ist, wenn die schnei« dende Ebene mit der Grundfläche parallel liegt, da dann der Schnitt ein Kreis wird. (zg > H.) In den mehresten übrigen Fällen sind die DurchschnitlS- linien vom Kreise verschieden, und die Lehre von diesen Kegelschnitten gehört schon zur hohem Geometrie. 2 Ver- Verzeichiiiß einiger Druckfehler, auch sonst einiger Verbesserungen. 8 Seite, 19 Zeile, vor dem Wort: einerley, muß das Wort: nicht stehen. z 1 S. 4 Z. muß über der ; ten 10 kein Punct stehen. > z6S. 4Z. von unten, Z- 4 - 5 -I -5 l. 5-l-Zch 5 4-5. 41S. 7Z. nach 4 x ioo setze man das Zeichen —. 5 z S. 2 Z. von unten 4 l. 4. 5 6 S. 21Z. und 5 7 S. i; Z. nach den Worten: der Divisor kleiner, sehe man hinzu: oder eben so groß. ^ S. 4 Z. statt addirt l. dividirt. 61 S. z Z. statt von l. vor. 80 S. 2 Z. von unten, nach dem Worte: befindlich, ' setze man hinzu: und dieje nicht etwa - selbst ein Maas aller übrigen. ^ Ebendas, nach der letzten Z. setze man noch hinzu: ' Sind aber zwey absolute Primzahlen unter mehrern andern Zahlen befindlich, so find sie allemahl inögesammt unter sich Prim- zahlen. 84 S. 6Z. von unten: Ems l. um Eins. 94 S. 7 Z. von unten, allein so, l. also. 97 S. 2 Z. von unten, angeführten l. geführten. i OO S. 1 Z. lösche man ai weg. ro? S. 8 u.f.Z. nach den Worten: kein gemeines Nöaaß mehr, hätte das übrige kürzer so heissen können: weil Z9 und 5i sthon ^ absolutepriiuzahlen sind. (66H.N.2.) r 2 0 S. 4 Z. von unten, der l. den. U? i; 6 S. 4 Z. und komiuen l. und es kommen. W r6z S. z Z. von unten ^ l. ^ i?6S. 1 76 S. 9 Z. soll l. so soll» i?9S. zZ. stattLl. L. r8oS. 9Z. von unten, 164 §. l. 149 H. 192S. ioZ. ^:L::L:V, l. ^.ö::O.O. 2Z2 S. n Z. (ä. 4- /Z)^ und l. (K 4- — 24z S. 20Z. L' l. 2aö^ 4- 36z S. 4.«. 5 Z. von unten, wenn die, l. wenn man die. 277S. 4Z. von unten, /loos —z, l./tooo-z. 288 S. 9 Z. nach der Zahl 1729 lösche man das Wort die, weg. Ebendas. 17 Z. der beyden l. der den bepden. 292 S. 22 Z. die nachkleinern, l. den nächstkleinern. Ebendas, am Ende der 4 Z. von unten setze man das Wort: den hinzu. 294 S. i?Z. nach dem Wort: Decimalstellen setze man hinzu: mir den Decimalstellen. 295 S. 4 Z. statt 1092 l. 109z. Ebendas. 12 Z. von unten, die 9, l. 9 die. 298S. izZ.l.,4(/V-/^). Z04 S. 2vZ. l.I.Schmids l. N. Schmids. ztoS. muß die 7. 8. und 9W Zeile von unten ganz weggelöscht werden. Das Exempel steht unnöthig zweymahl da. Z22S. i Z. bey Hannover 129 t. 1290. ZZ2 S. izZ. von unten 162 l. 160. Z40S. i?Z. selbst. Bleibt l. selbst bleibt, ohne Punct dazwischen. Z44S. 7Z. lösche man das Wort: worin weg. Ebendas. 9 Z. im Zähler z l. 2. Z74 S. 7. 8.Z. beschw., l. bejahte. z88 S. z Z. von unten, in l. mir. Z96S. i z Z. über, l. gegenüber. Ebendas. 7 Z. von unten O l. L. 408 S. 4^8 S. i z Z. 28 §.l. 82 §. 412 S. letzte Z. nach dem Wort: andern fehlt ^8. 4zr S. 12 Z. Cirkelsanen l. Clrkelspitzen. 4Z6S. I?Z. ^66«, l. ^8, 6». 448 S.I2Z. k6, l.k6^ 6(Z, 4; i S. oben i Z. fehlt am Rande 82 F. 479— 481 S. steht verschiedene mahl paralleli- nien statt parallellinien. 484 S. z Z. eben l. oben. 5 oi S. 9 Z. von unten, statt »5. ?. 8 ( 7 , l. /. m . und 80 5 68 S. iO Z. den Zähler H l. x.